Линейные задачи теории поверхностных волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

V НЛ

' РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА Санкт-Петербургское отделение

На правах рукописи УДК 517.958:532.59

■ 'КУЗНЕЦОВ Николай Германович

ЛИНЕЙНЫЕ -ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ • диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт - Петербург 19 9 2

Работа выполнена в лаборатории математических моделей механики Института проблем машиноведения РАН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

доктор физико-математических наук, профессор В.М,БАБИЧ

доктор физико-математических наук, профессор В.И.НАЛИМОВ

доктор физико-математических наук, профессор Е.Я.ХРУСЛОВ

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится "

2£ илл.

1992 г. в

14

часов

на заседании Специализированного совета Д 002.38.04 цри Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стек-лова РАН (Санкт-Петербург, Фонтанка, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке С.-Петербург ского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Автореферат разослан

22 Сь^хр £/-«-<?

11 I» ' I

1992 г.

Ученый секретарь Специализированного! совета, д-рф.-м.н., профессор

А.П.Осколко!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Линейная теория поверхностных волн является важным разделом классической гидродинамики, привлекающим внимание математиков и механиков со времен Кош й Пуассона. Несмотря на солидную историю и огромное количество работ теория до сих пор далека от полного завершения. Б первую очередь, среда вопросов, наименее исследованных математически, следует назвать задачи, которые описнвагат взаимодействие волн с погруженными в жидкость телами. Именно эти задачи, с другой стороны, наиболее ванны для приложений. Такого сорта задачи естественно разбиваются нз три класса:

1) Задачи об установившихся гармонических по времени колебаниях жидкости, заполняющей слой, который, вообще говоря, имеет переменную глубину и содержит тела, погруженные полностью или частично. Такие задачи описывают процессы излучения волн и их рассеяния препятствиями.

2) Задачи об установившихся волнах, вызываемых поступательным движением полностью или частично погруженного тела относительно жидкости с постоянной скоростью. Они носят собирательное название задача Неймана - Кельвина.

3) Нестационарные задачи о волнах, вызываемых различными возмущениями.

Первые математически обоснованные результаты в линейной теории волн были получены в 30-е годы (М.В.Келдыш, Н.Е.Кочин, М.А. Лаврентьев, Л.И.Седов, Л.Н.Сретенский, Т.Х.Хавелок). Они относились к задачам первых двух классов, для которых были построены функции Грина. При помощи последних задачи сводились к интегральным уравнениям, что позволило установить разрешимость, правда, при довольно жестких ограничениях.

В 50-е - 80-е года ряд достижений линейной теории поверхностных волн связан с именами Ф.Джона, А.С.Питерса, Дж.Дж.Стокера, Ф. Урселла, Р.М.Гаршюва, А.Фридмана, М.Шинброта, Б.Р.Байнберга, В.Г.Мазья, Дж.Т.Била, С.Ю.Доброхотова и др. Остановимся на некото-

рых результатах, полученных в этот период для задач указанных выше классов.

Ф.Джоном (1950) была доказана первая теорема об однозначной разрешимости задачи об излучении и рассеянии волн полупогруженным телом, на которое был наложен ряд геометрических ограничений. Некоторые из них удалось в дальнейшем ослабить (М.Саймон и Ф.Ур-селл, Е984), а требование перпендикулярного пересечения трлом поверхности жидкости было снято в кандидатской диссертации автора (1983). В той же работе Ф.Джона возникла так называемая проблема иррегулярных частот колебаний, которые образуют стремящуюся к бесконечности последовательность. При таких частотах интегральное уравнение, возникающее при использовании потенциала простого слоя, разрешимо не для .любой правой части. Некоторого успеха в решении проблемы иррегулярных частот - получении интегральных уравнений, для которых онл отсутствуют - добился Ф.Урселл (1981). Другой, весьма сложный подход к ней предложен Л.Винертом (1988)".

Первая теорема единственности для задачи об излучении и рассеянии волн полностью погруженным телом была доказана В.Г.Мазья (1977). Б.Р.Вайнберг и В.Г.Мазья (1973) исследовали ату задачу для препятствий, представляющих собой неровности дна определенного вида.

Таким образом, для задачи об излучении и рассеянии волн актуальны следующие два вопроса:

1) Выявление новых классов препятствий (частично и полностью погруженных тел, неровностей дна), для .которых имеет место однозначная разрешимость задачи.

2) Получение интегральных уравнений, для которых отсутствуют иррегулярные частоты.

Задача Неймана - Кельвина изучена в меньшей степени. Давно известны функции Грина для плоской и трехмерной задач (Т.Х.Хавелок, Н.Е.Кочин, Л.Н.Сретенский, А.С.Питере и др.). Н.Е.Кочин (1937) исследовал интегральные уравнения, к которым сводятся плоская и трехмерная задачи для полностью погруженного тела. Он доказал разрешимость при значениях скорости, стремящихся нулю (плоский и трехмерный случа;:) и к бесконечности (плоский случай). Интеграль-

ное уравнение трехмерной задачи при скорости, стремящейся к бесконечности, совсем недавно изучили Б.Р.Вайнберг и В.Г.Мазья (1991). Они же отметили в Г973 г., что следствием разрешимости при больших и малых скоростях является разрешимость при всех значениях скорости за исключением, быть может, конечного числа значений. В той же работе 1973 г. получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости плоской задачи для полностью погруженного тела.

Первая работа, относящаяся к плоской задаче Неймана - Кельвина для полупогруженного тела, опубликована Ф.Урселлом (1981). В ней на частном случае полупогруженного кругового цилиндра обнаружено, что уравнении, краевым условиям и условиям на бесконечности, которые составляют классическую постановку задачи Неймана - Кельвина, удовлетворяет семейство решений, зависящее от двух вещественных параметров.

Таким образом, первоочередным вопросом является отыскание корректной постановки плоской задачи Неймана - Кельвина для полупогруженного тела, т.е. формулировка таких дополнительных условий, которые обеспечивали бы однозначную разрешимость, возможно, при каких-либо ограничениях. Далее, следует развить аппарат, позволяющий находить решение задачи.

Для задач, относящихся к третьему классу, ряд теорем об однозначной разрешимости доказан Р.М.Гариповым (1967), А.Фридманом и М.Шинбротом (1967, 1969) и др. К нерешенным вопросам в этом классе задач относится обоснование при помощи асимптотических методов некоторых классических эвриктических рассуждений. Например, рассуждения, интерпретирующего начальное значение потенциала скоростей на свободной поверхности как импульс поверхностного давления.

Цель работы. Для задачи об излучении и рассеянии волн: описать новые классы препятствий, для которых имеет место однозначная разрешимость; при наличии теоремы единственности свести задачу к однозначно разрешимым интегральным уравнениям. Найти корректные постановки плоской задачи Неймана - Кельвина для полупогруженного тела и разработать аппарат отыскания решений. Исследо-

вать асимптотическое поведение решений нестационарной задачи, отвечающих кратковременным и быстро осциллирующим воздействиям на жидкость. В частности, рассмотреть воздействия указанных видов, которые оказывают поступательно движущиеся объекты (погруженное тело, поверхностное давление). Изучить свойства некоторых функционалов от решений нестационарной задачи.

Методика исследования. При исследовании вопроса о единственности решений стационарных задач основным аппаратом служит метод интегральных товдеств и неравенств. Разрешимость указанных задач доказывается при помощи методов теории потенциала. Асимптотические свойства решений нестационарной задачи изучаются при помощи техники сингулярных возмущений, в частности, метода усреднений

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты^

1) Для задачи об излучении и рассеянии волн найдены новые классы препятствий, для которых решение единственно. В частности впервые получена теорема единственности для плоской задачи при наличии двух полупогруженных тел.

2) Предложена однозначно разрешимая система интегральных уравнений для задачи об излучении и рассеянии волн.

3) Получены двусторонние оценки собственных частот для плоских колебаний жидкости в канале.

4) Впервые для полупогруженного цилиндра с произвольным поперечным сечением найдены корректные постановки плоской задачи Ней мана - Кельвина и получены необходимые, и достаточные условия ее однозначной разрешимости.

5) Разработан аппарат отыскания решения для корректных поста новок плоской задачи Неймана - Кельвина.

6) Получены двухмасмтабные по времени асимптотические разложения для решений нестационарной задачи, отвечающих кратковремен ным и быстро осциллирующим возмущениям. Найдены оценки остаточны членов.

7) Обосновано классическое эвристическое рассуждение, служащее для интерпретации начального значения потенциала как импульса поверхностного давления.

8) Обнаружен эффект снижения волнового сопротивления для некоторых тел при переходе от движения со средней скоростью к дви-кению с быстро осциллирующей поступательной скоростью.

Приложения. Результаты работы могут быть полезны в гидродинамической теории качки корабля, теории корабельных волн и волнового сопротивления, геофизической гидродинамике.

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы работы Г 1.7 - /"14 7

Апроб/ация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и школах:

1) им. И.Г.Петровского (1985, 1986 гг., Москва);'

2) "Теория операторов в функциональных пространствах" (1987 г. Тамбов; 1989 г., Новгород);

3) "Граничные интегральные уравнения" (Г988 г., Пущино);

4) "Современные проблемы механики жидкости и газа" (1988, :990 гг., Иркутск);

5) "Динамические задачи механики сплошных сред" (1988 г., 'еленджик) ;

6) "Гидродинамика больших скоростей" (Г989 г., Чебоксары);

7) им. А.Н.Крылова (Ï989 г., Ленинград);

8) "Спектральные и эволюционные задачи" (1990 г., Ласпи, :рым).

Кроме того, результаты докладывались в Ï986-I99I гг. на сейнерах Н.Н.Поляхова; В.М.Бабича; М.Ш.Бирмана и О.А.Ладыженской С.-Петербург); С.В.Нестерова и С.Я.Секерж-Зеньковича (Москва); .В.Овсянникова (Новосибирск); В.А.Марченко (Харьков).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, етырех глав и двух приложений. Общий объем диссертации - 344 стр. ашинописного текста; в том числе рисунков - 20, таблиц - 5. Спи-ок литературы составляет 146 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена постановка задач, рассматриваемых в лссертации, и дан обзор современного состояния линейной теории эверхностных волн с математической точки зрения.

Первая глава посвящена установившимся колебаниям жидкости, гармоническим по времени. Б параграфе 1.1 обсуждаются процессы, математической моделью которых служит задача об излучении и рассеянии волн:

У2Ц= 0 в V/

на

(I)

^777

В

'//////У//;

им-^и=0 Эи/ЭГ1= £ на £ ; ЭцуЭп = 0 на В 9и/Э|х| - = О (|ХГ1/2) щж |х|—■ оо з ^Ц^сЫу + у Ц|йс|х < оо, \л/а(Ра) =

Здесь \д/ - область, заполненная жидкостью (остальные обозначения см. на рис. I). Излучаемые и рассеиваемые препятствием 3 и (В\ \ = - Ь}) установив- $

шиеся волны описываются потенциалом скоростей

причем ^ = ($ ~

ускорение свободного падения), а - единственный положительный корень уравнения = = При бесконечной глубине жидкости В следует опустить.

В параграфе 1.2 найдены новые классы препятствий, для которых однородная задача (I) имеет лишь тривиальное'решение при частотах, принадлежащих определенному промежутку. В этом случае область \л/ называется неловушечной для соответствующих значений V. Опишем некоторые из полученных классов нелогушечных областей.

А) Пусть доя области \л/ можно подобрать параметры к , Н и Д. , так, что:

1) ке [ 0, 2] ; Н^ [-1, -1/2] ; а 6 [ 0, +оо);

2) ~2Н > к 2 (1*Н) ;

3) на Б и В справедливо неравенство

Э ¡х|2/3п + ке(у + а)УЭп «г 0 ,

на этой кривой имеет место нера-

Рис. I.

а условие на дне

а в случае, когда 5 Г) Я ^ 0

венство П 0 » 0 , где X = 0) , а А0 - нор-

маль к 5 Л Я , направленная внутрь Р .

Тогда область \л/ неловушечна для значений ^ , удовлетворяющих неравенству кйл'$2(1+-Н).

_ В)_Цусть отсутствуют частично погруженные в жидкость тела ( Й П $ = 0 ), и существует <Х>0 , такое, что на Я II В справедливо неравенство

(^-|х|2-а2)Э!х1 удп _ 2ШгЦг/Ъгх >0.

Тогда при всех \)> О область \л/ неловушечна.

Результаты Б.Р.Вайнберга и В.Г.Мазья (1973) являются частными случаями теоремы А. Теорема В содержит в качестве частного случая теорему В.Г.Мазья (1977). Доказательства теорем А и В, а также ряда других теорем единственности для задачи (I) и ее двумерного аналога базируются на интегральном тождестве, которое является обобщением тождества В.Г.Мазья (1977) и пригодно для более широких классов препятствий. Иной оригинальный метод использован в доказательстве следующей теоремы единственности для двумерного аналога задачи (I).

С) Пусть плоская область бесконечной глубины имеет вид, показанный на рис. 2, причем 1)1.с:{у<0, [Хт(а + г)]'2+у2 < Г0-}, где 2г= тах{-(й+а_), а^-О. }, и кроме того, всякая прямая, цроведенная

У

а. . -а Р. +а

параллельно оси ординат через произвольную точку множества не имеет общих

точек с кривыми Б±. Рис. 2.

Если Г - а > 0 , то область \л/ неловушечна для всех , удовлетворяющих неравенствам

П ^ ч) <- _г - а

и (а2 +2'га)1/г '

Насколько известно автору, это первая теорема единственности для плоской задачи при наличии двух полупогруженных тел.

Параграф 1.3 посвящен методу интегральных уравнений для задачи (I). Для простоты изложения принято, что жидкость имеет постоянную глубину, и в ней содержится одно полупогруженное тело. Использование интегральных уравнений для отыскания решения обладает рядом преимуществ и является классическим. Однако, еще Ф. Джон (1950) указал, что классическая техника представления решения (потенциал простого слоя, формула Грина) приводит к уравнениям, однозначная разрешимость которых нарушается для некоторой последовательности частот. В п. 1.3.3 предложена однозначно разрешимая система интегральных уравнений. Она получается при представлении решения через функцию Грина задачи (I) в виде комбинации потенциала простого слоя поверхности £ и объемного потенциала области 3). .

Несколько особняком стоит параграф 1.4, в котором речь идет о плоской задаче о собственных колебаниях жидкости в канале. Он введен в первую главу по двум причинам. С одной стороны, указанная задача возникает в главе 2 при изучении интегро-алгебраичес-кой системы, к которой сводится корректная постановка плоской задачи Неймана - Кельвина. С другой стороны, эта задача позволяет продемонстрировать еще одну область црименения интегрального тождества, использовавшегося для доказательства теорем единственности. В п. 1.4.5 с его помощью получены оценки снизу для собственных значений, улучшащие ряд имеющихся результатов. Кроме того, в этом параграфе получена новая информация о свойствах линий тока свободных колебаний и собственных частотах.

В главе 2 вводятся и исследуются корректные постановки плоской задачи Неймана - Кельвина для жидкости бесконечной и конечно! глубины (в последнем случае рассматривается докритический режим, когда "О > L ). Остановимся на результатах для бесконечноглубоко! жидкости. Потенциал скоростей , который описывает пло-

скопараллельное обтекание полупогруженного цилиндра с сечением ]), в связанной с ним системе координат должен удовлетворять соотношениям:

7ги=0 в ; Ылхна Р+иГ_;

Эи/"3п=| на 1ЩЗ = Б\3{у = 0,

(¿т |я?и| = 0; $ |\7и|гах<4у ^ оо .

Г. . WaE 0 12),'

вир 11VII | : (х, ^) е Е } < <*>.

Здесь "О = §( Т^о - скорость набегающего потока при

X—* + оо )> а геометрические обозначения см. на рис. 3. Под Е

понимается произвольный

¡гг£ с а. а + р, компакт в (Ре , такой, ■_I >_!_±—_

что1)<=Е'и Р±ПЕ*0. ■ ^ х

На примере, когда ^

Б - полукруг, Ф.Ур- П ^о

селл (1981) продемонстрировал, что задача (2) име- Рис. 3. ет семейство решений, зависящее от двух вещественных параметров. Поэтому доя выделения единственного решения требуются дополнительные условия. О двух корректных постановках с различными дополнительными условиями идет речь в параграфе 2.1.

' Сначала изучается поведение произвольной функции и , удовлетворяющей соотношениям (2), вблизи точек Р± = ( О. ± , 0) при

4 - Последнее неравенство предполагается выполненным всюду далее. Асимптотика обеспечивает существование конечных пределов у производной Цх(х,0) при X. -->- й ± ± О ; они обозначаются и^СР*). Затем в п. 2.1.2 выписана асимптотика при|2|-»-°о: ЫСХ, = С + +

+ Н(-х) эип^х + Фсоб^х) , г =

Здесь С - произвольная постоянная, с точностью до которой определен потенциал скоростей, Н - функция Хевисайда. Для справедливы оценки: ^ = 0(|2|"1), |7П|;| = 0(|гГа). а для 0 формула:

«КО + 1ДХ(Р.)1 - 5 Зи/Зп си. (3)

£

Для постоянных $ и Ъ также приведены формулы.

В п. 2.1.3 сформулированы корректные постановки задачи Неймана - Кельвина, обозначенные 1.1 и 1.2. Решение задачи 1.1 (1.2) метано удовлетворять соотношениям (2), и для него величины 0 и их(Р_) ( и (Р+) - и (Р_) ) должны принимать заданные значения.

В параграфе 2.2 получены формулы для горизонтальной компоненты силы, действующей на обтекаемый цилиндр (волнового сопротивления). Они-обобщают формулы Н.Е.Нцчияа (1937) и М.Д.Хаскинда (1945), которые имеют место в случае полностью погруженного цилиндра в потоке бесконечной и конечной глубины соответственно.

В параграфах 2.3 - 2.5 изучается вопрос об однозначной разрешимости задач 1.1 и 1.2. В 2.3 при помощи методов теории потенциала установлено, что, когда глубина жидкости бесконечна, а 3 принадлежит классу С2 , эти задачи имеют единственное решение при всех ^ > 0 за исключением, быть может, некоторой стремящейся к бесконечности последовательности значений. Решение предста-вимо в виде

и(гН^/Д^Й-Л2^)^ ^/д^Л^а*), (4)

где Ст^ - функция Грина задачи (2), необходимые сведения о которой приведены в приложении 2.,

В п. 2.3.5 показано, что при определенных условиях собственные значения плоской задачи о колебаниях жидкости в канале являются теш значениями параметра , при которых нарушается однозначная разрешимость интегро-алгебраической системы. Последняя возникает при отыскании решения задачи 1.1 в виде (4).

Другой подход к вопросу об однозначной разрешимости задач 1.1 и 1.2 развит в параграфах 2.4 и 2.5. Он базируется на использовании вспомогательных задач дифракционного типа. Решение 1У вспомогательной задачи П.1 (П. 2) должно удовлетворять всем соотношениям (2) кроме условия при X—*-»-оо , а также допускать представление ■

Я)Чх,у) = 0 «од №1) + Я0(х,у). (5)

Величины и ( *1)"(Р+) - *0"(Р_) ) должны принимать

заданные значения, а функция *£>"„ удовлетворять условию излучения

&т - = о.

1x1-—««

Основные результаты параграфов 2.4 и 2.5 можно сформулировать следующим образом.

Если задача 1.1 (1Г.2) однозначно разрешима, то для однозначной разрешимости задачи 1.1 (1.2) необходимо и достаточно, чтобы имыю место неравенство V") ^ I,. Здесь V - решение задачи Д.1 (П.2), для которого: Эе в условии Неймана

на 5 , 01 = 0, в представлении (5), Ух(Р-)= (У(Р+)-

- У(Р-) = - е1Лх- ) ,.а через £>±(У) обозначаются коэффициенты в асимптотике при I 2. | —»- оо :

• У(х, у) = , ±х>0,

где 0(1Ы"1), = 0(!гГ2).

Условк^ <3)+(V) £ 1 эквивалентно неравенству 1(V)! ^ I. Однозначная разрешимость задач ПЛ и Ж. 2 имеет место при которых геометрических предположениях относительно 5 . Например, достаточно, чтобы на Л выполнялось неравенство ХС05(П,Х)>0 Имеются и другие условия на 5 , обеспечивающие однозначную разрешимость задач ЕЛ и Л.2.

В п. 2.5.3 приведены результаты расчетов на компьютере величины 15)_(У^1 , где V - описанное выше решение задачи ПЛ. Для кривой £ , определяемой уравнением у + 1. = ,

- I 6 у 6 О , оказалось, что |5)_С\Г)| = 0,999963 при V = 0,112. Это указывает на возможность наличия нетривиального решения (оно может быть только одно с точностью до постоянных множителя и слагаемого) у однородной задачи 1.1. Для кривых семейства у + 1 =

- ~ Н3*! )""!•], ^ > О # > 1 численный эксперимент указывает на возможность нетривиальных решений у однородной задачи 1.1 при oi.fi [ 2., 3 ] .

Главы 3 и 4 посвящены использованию теории сингулярных возмущений для исследования нестационарных задач о поверхностных ол-нах, вызванных кратковременными и быстро осциллирующими воздействиями на жидкость. В главе 3 рассматривается задача о воздействии на покоящуюся жидкость неподвижного поверхностного давления, величина которого претерпевает резкое изменение в течение короткого промежутка времени (параграф 3.1) или быстро осциллирует (параграф 3.2). В безразмерных переменных, базирующихся на характерном линейном размере К0 , ускорении свободного падения д и

плотности жидкости £> , задача принимает следующую форму: ?2ф=0 в \л/ , ?Ф/Эп = 0 на £

на

Э на £ , |

при Ь ъ- О ; (6;

4> = 0 , Ф± = 0 на Р при Ь-О^ (7)

Здесь для'простоты записи принято, что жидкость имеет бесконечную глубину (см. рис. 4). Предполагается, что давление имеет вид

где - достаточно гладкая функ- Рис. 4.

ция, быстро убыващая на бесконечности (например, имеющая компакт ный носитель). Считая, что £ << I , и делая те или иные предположения о функции ^ , в главе 3 выписываются асимптотические разложения для потенциала Ф .

Если ^(Т) - непрерывная функция, производная которой куг-оч но-непрерывна и достаточно быстро стремится к нулю при Т -*- , то при £—- О имеет место асимптотическое разложение (п. 3.1.2) 2.И+1 г

ф(х,у, с) = 2: етЫт ш *-т(ъ,ц,г) +

Здесь Н - натуральное число, зависящее от функции (8), функция с1 т задаются явно

а функции 1Хт и определяются из рекуррентных последователь ностей задач. Сначала находится функция 1Ут :

= О в IV , ЭяГт/Эп = 0 на 5 ,

' Г 0 при т - 0, <10>

^пу =л при П! » 1 ( на

I - Э1Хт,-2./Зу при (71 = 2,3,...

а затем функция , которая является решением начально-краевой задачи:

?г1р(П=0 в Ы , Э^/Зп-О на 5 , "V

У при Ь > О;

-Р / сщ

Если У б и при —°° имеет место оценка

^СС) = О ('С 2Л/ 3-с') ( Гд0 0 , то дяя остаточного член" справедливо неравенство

1ричем константа С^ не зависит от £ . Здесь И (IV) - пространство с нормой

1 через II • 11к обозначена обычная норма в пространстве Соболева Нк(Р) . Помимо (12) для остаточного члена справедливы и другие зценки; все они следуют из результатов Р.М.Гарипова (1967). Ясно, что функции к тождественно равны нулю в V/ . Когда О (Ъ/С) - С"1 О (£/е) , где 0(0)= 0 'и

•'о ^ = ^ , то в пределе при е-«- О выражение (8) опи-

сывает так называемый начальный импульс поверхностного давления [см. . например, параграф 6.1 книги: Дд.Дж.Стокер, Волны на'воде. 1.: Изд. иностр. лит., 1959). При этом главный член .разложения :9) приобретает вид

Со

Сункция - является потенциалом ударного воздействия на по-5ерхность жидкости, коэффициент при котором достаточно быстро ис-

• чезает со временем. Поэтому при достаточно больших временах волно вое движение жидкости в главном описывается потенциалом ^ с начальными данными:

Ъу,./дЬ=0 на Р при t = 0. (13)

Таким образом, разложение (9) позволяет связать воедино задачи, которые ранее рассматривались гидромеханикачи изолированно друг от друга. Оно асимптотически описывает переход от стационарной задачи об ударе по поверхности к распространению волн от мгно венного начального импульса поверхностного давления. Вместе с тем разложение (9) обосновывает эвристический вывод первого из условий (13), который приводится во многих учебниках гидродинамики.

Когдв <^СС) - непрерывно дифференцируемая функция с единичным периодом, разложение для потенциала ф цри £ -*■ 0 также имеет вид (9), и функции и находятся из тех же задач (10) и (II). Однако функции ) определяются иначе чем ви-

ре. А именно:

«¿ак(«Е) = 1 при «С» 0, к = 0, ¿ги-^" С (<С Тс [0,13, к= 1,2,...,

а на полуось <С > 1 функгтии <>1 1 продолжаются периодически. Ядра Гк(«С, ) задаюгся рекуррентно:

г4 С-с, 6Г)-^.'С|ЧГ-€Г| - - й; -

обобщенная функция Грина периодической краевой задачи на промежутке (О, I) для оператора сР/сК2;

'''гк(*>е>тХг'Ъ/1)Гк-1(/л>6)<,/л> к =

В рассматриваемом случае для остаточного члена справедлива оценка типа (12) с той разницей, что 1 нужно заменить на "¿2, а

тмн на

На основе асимптотических разложений для потенциала скоростей в пл. 3.1.3 и 3.2.3 найдены главные члены асимптотик различных гидродинамических характеристик изучаемых волновых движений жидкости; приведены примеры явного вычисления коэффициентов в прос-

ах ситуациях; дана гидродинамическая интерпретация полученных сражений.

В четвертой главе исследуются задачи о поверхностных волнах, азываемых поступательно движущимися объектами, скорость которых ибо меняется в течение короткого промежутка времени, либо быстро сциллирует. Рассматриваются два типа объектов: поверхностное деление и полностью погруженное тело.

В параграфах 4.1 и 4.2 речь идет о движущемся поверхностном аЬлении

р'ъ,г,±;е) = fP(x-S0 и/е)«^, я), (14) '

це скорость представляет собой неотрицательную негре-

авную функцию, причем ч)'(<с) либо достаточно быстро стабилизи-¡гется (параграф 4.1), либо имеет единичный период (параграф 4.2). эответствуюций потенциал скоростей должен удовлетворять соотно-зниям (6) и, вообще говоря, неоднородным начальным условиям:

Ф= {о , Ь на ^ при í = 0.

В пп. 4.1.2 и 4.1.4 получены следующие результаты. В здпо-эжении, что при 1: —*-оо выполняется оценка 1/(11)- =

г 0(4:'"' , где I , с/ > 2 , а чГМ - значение, к ко-зро1лу стабилизируется скорость, имеет место справедливое при ; —- 0 асимптотическое разложение

звисимость функции от аргумента ~Ь/$ выписана явно, а от згальных аргументов эта функция зависит через решения ре-

/ррентной последовательности задач (т > 2)

ъ2итг = о в № , 9ит1/дп=0 на 5 , | Г'19/дхт" при

Для отыскания функции Т^т служит начально-краевая задача

в V/ , Ъут/дп~0 на £ , дг-Ц)т 9 я/у, =

Я-ш Я «7 Л на ^ при

а для функции начальные условия те же, что и для ф . Еслй, кроме того,

<°°> е = <.....

(оЛ/~2.е + 2<й II ■

¡1 < оо, С-О,...,[N/2],

и

то для остаточного члена выполняется оценка

В п. 4.1.3 анализируются асимптотики гидродинамических характеристик волнового движения. Остановимся на одном эффекте, связанном с горизонтальной компонентой силы, которая действует со стороны жидкости на давление во время его разгона. Предполагаетесь, что жидкость первоначально покоилась, в ней отсутствуют тела а снизу она ограничена дном. Эффект заключается в том, что указанная компонента силы способствует (препятствует) движению давления, если оно происходит под (против) уклон(а) дна. Следует, правда, отметить, что величина силы, о которой идет речь, мала. Она пропорциональна Ьг , в Ь = О (с),

При рассмотрении движущегося давления (14) с периодической функцией ТХ('С) (параграф 4.2) получены первые два члена асимптотики и оценен остаток. В этом случае все гидродинамические характеристики в главном совпадают с теми, которые имеют место для давления, движущегося со средней скоростью <7Х> . Это связано

со слабым характером взаимодействия давления с жидкостью.

Иные результаты получены в параграфах 4.3 и 4.4, где речь идея о движении полностью погруженного тела в жидкости постоянной глубины. В связанной с телом системе координат задача для жидкости бесконечной глубины (см. рис. 4) формулируется следующим образом в безразмерных величинах. Найти пару (ф, у) , удовлетворяющую начально-краевой задаче:

Vгф= 0 в \л/ , Л

= г ( , п

Г '

дф/дп= ИГсов(п,х)на в )

Ф в {о , ? = - на Р при 4=0.

Здесь ф((С,у ,2., Ь) с) - потенциал скоростей, £,£;£)-

возвышение свободной поверхности жидкости, V (Ь/с) - скорость тела. Считая, что £ << { , и делая те или иные предположения о функции ЧУ , выписываются двучленные формальные асимптотические разложения для ф и .

В параграфе 4.3 рассматривается случай, когда функция 1)'(ГС) достаточно быстро стабилизируется при Тоо , а в параграфе 4.4 - случай 1-периодической функции тУ^С) . Так как вид получающихся разложений одинаков (ср. с результатами гл. 3), то здесь приводятся разложения для периодического случая, который более интересен с гидродинамической точки зрения. Имеем:

г,*) + £{/>(£)[$£(*,*.*) + +

+ + •••

Здесь = Х^З^/ЭтЯ^Ю^^с/б при 0*7« * , а на

полуось функция р (Т) продолжается периодически (функция

ГА приведена выше). Функция 1Хт (т = ОД) определяется из задачи

УгЧ, = 0 в \л/ . на Р ,

от ССвСп.х) на £ ,

где ^¿у - символ Кронекера. Для отыскания пары (^т } ^т) > т = 0,1, служит задача •

0 в \л/ ,

9Х Уна Г , > при 4

/Эп = 5оя)<^>С05(П)Х>а 5

\ на Я

Функция 'Уо описывает волновое движение жидкости, возника! щее при поступательном движении тела со средней скоростью К.1Х) Основной гидродинамический интерес представляет волновое с< . противление /?(£; е) • Его асимптотика, полученная в п. 4.4.3 имеет вид

2 +

♦£<»> (Ц^ - ъШ)113*

* й. (V - 4- (<«■*> - I * «5 (л, «■.

Я

где Г -

элновое сопротивление того же тела, движущегося со средней ско-эстью. Среднее волновое сопротивление за период в главном равно

Ro U ) - 4 (<**> - <*>2) Jgl^ol*CDi(n )X)d$.

ак как дисперсия скорости "(ч?2} - положительна, то

яак второго члена зависит от интеграла. Последний равен нулю, эгда тело симметрично относительно вертикальной плоскости (без граничения общности ее можно считать плоскостью X = 0). Чис-знный эксперимент, проведенный для двумерного случая, показыва-г, что существуют тела, для которых рассматриваемый интеграл от-лцателен. Это означает, что для этих тел волновое сопротивление ри движении с осциллирукщей скоростью меньше,чем при движент. э средней скоростью.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТБМЕ ДИССЕРТАЦИИ

. Kuznetsov Л/.G. Asymptotic analysis cj Wav&s due to a pressure system acceitratina rapidly over surface o| w/ater//Proc. o| 5th /Vat. Conor, on Th&or. and Qpp£. lAech. Varna, 1985. P. 3*//l ~ ЪЧ/4. . Кузнецов Н.Г., Мазья В.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, вызываемых кратковременными возмущениями// Асимптотические методы. Прикладные задачи механики. Новосибирск: Наука, 1986. С. 103-138. . Кузнецов Н.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, возникающих при движении давления с быстро осциллирующей скоростью//Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та/1Латематическое моделирование и автоматизированные системы в судостроении 1986. С. 60-65.

. Кузнецов Н.Г., Мазья В.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, вызываемых быстро осциллируюцимисяили ускоряющимися возмуценкями//Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука, 1937. С. 136-175. , Кузнецов Н.Г. Плоская задача об установившихся колебаниях жидкости в присутствии двух полупогругенных цилиндров/Аат.

заметки. 1988. Т. 44, № 3. С. 369-377.

6. Кузнецов Н.Г., Мазья В.Г. Об однозначной разрешимости плоско! задачи Неймана - Кельвина/Дат. сборник. 1988. Т. 135, Ж. С. 440-462.

7. Кузнецов Н.Г. Установившиеся волны на поверхности жидкости пе ременной глубины в присутствии плавающих тел /Регулярные асид птогические алгоритмы в механике. Новосибирск: Наука, 1989. С. 200-270.

8. Кузнецов Н.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, возникающих при движении тела с быстро осциллирующей скоростыо//Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1989. № 3, С. 138-145.

9. Кузнецов Н.Г. Волновое сопротивление цилиндра^, частично погрт женного в жидкость бесконечной глубины//Гидродашамика больши; скоростей. Чебоксары: ЧувГУ, 1990. С. 53-60.

10. Кузнецов Н.Г. О вариационном методе определения собственных частот колебаний жидкости в канале//Прикл. мат. и мех. 1990 Т. 54, №4. С. 553-561.

11. Кузнецов Н.Г., Акимов А.Н. Волнообразование при обтекании цилиндра, частично погруженного в поток конечной глубины. Препринт № 44. Леничгр. филиал Ин-та машиноведения АН СССР.

1990, 38 с.

12. Кузнецов Н.Г. О единственности решения линейной задачи об установившихся колебаниях жидкости//Дифференц. уравн. 1991. Т. 27, 2. С. 264-272.

13. Кузнецов Н.Г. Интегральные уравнения для -задачи об устано-

• вившихся волнах, вынуждаемых плавающим телом//Мат. заметки.

1991. Т. 50, № 4. С.75-83.

14. Кузнецов Н.Г. Оценка снизу собственных частот плоских колебаний жидкости в канале//Прикл. мат. и мех. 1992. Т. 56,

№ 2. С. 376-380.

РТП ЛИЯФ,зак.273,тир.100лч.-изд.л.1;13/0Ы992г. Бесплатно