Локальное определение аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии с использованием сферического вейвлет-разложения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

Вязьмин Вадим Сергеевич

ЛОКАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПО ДА,ИНЫМ АЭРОГРАВИМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СФЕРИЧЕСКОГО ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 АВГ 2014

Москва, 2014

005551705

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова».

Научныый руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Болотин Юрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор

Конешов Вячеслав Николаевич, доктор технических наук, Институт физики Земли имени О.Ю. Шмидта РАН

Каршаков Евгений Владимирович, кандидат физико-математических наук, Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН

Открытое акционерное общество «Центральный научно-исследовательский институт «Дельфин»

Защита диссертации состоится 12 сентября 2014 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертаций Фундаментальной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: Ломоносовский проспект, д. 27.

Автореферат разослан 12 августа 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22, кандидат физико-математических наук,

доцент Прошкин В.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Аэрогравиметрпческпе съемки предназначены для локального определения аномалии силы тяжести в исследуемом районе. Данные об аномалии используются в разведочной геофизике, навигации, геодезии и пр. В настоящее время аэрограпиметрия является основным средством быстрого получения локальных данных высокой точности и пространственного разрешения об аномалии силы тяжести. Аэрогравиметричеекие съемки проводятся также; для уточнения глобальных моделей гравитационного ноля Земли. Методы уточнения глобальной модели хороню развиты (интегральные методы, метод средпеквадратической коллокации) и основываются, как прямило, па разложении поля силы тяжести и ряд по сферическим (шаровым) функциям.

В приложениях часто не требуется построение глобальной модели гравитационного поля, а достаточно локально определенных ого характеристик (аномалия силы тяжесгп на земной поверхности, возмущающий потенциал, уклонение отвесной линии, высота геоида и др.). Для определения в локальной области укачанных характеристик но данным аэрогравиметрии необходима нелокальная информация о гравитационном ноле Земли. В связи с чем данные аэрогравиметрии целесообразно комбинировать с данными глобальных моделей гравитационного поля. Новые глобальные модели высокого разрешения, такие как EGM2008, требуют совершенствования методов комбинирования. В настоящее время и мире активно развивается метод многомасштабного представления поля силы тяжести па основе сферического вейвлет-разложеиия, имеющий свойство пространственно-частотной локализации. Актуальной задачей является применение этого метода в аэрогравиметрии для локального определения аномалии силы тяжести но данным аэрогравпметрии совместно с данными глобальной модели.

Цель работы.

Целью диссертации является разработка, методики локального определения аномалии силы тяжести и других характеристик поля силы тяжести по данным аэрогравиметрии и глобальной модели ноля с использованием метода многомасштабного представления на. основе сферического веивлет-разложепия. Отличительным свойством метода, является возможность пространственно-частотной локализации функции, что удобно при работе

с локальными аэрогравиметрическими данными. В работе не,пользуется сферическое вейвлет-разложеиие li концепции, разработанной Техническим университетом Kiiii:jcpc:jiayi4ij»iui (Германия)1. Вснвлеты данной концепции являются гармоническими функциями вне сферы и, таким образом, могут использоваться при решении разных задач преобразования поля силы тяжести.

Методы исследований.

Теоретические результаты диссертации получены м(¡'годами математической фи:шки, мпогомасштабпого вейвлст-апализа па сфере, оптимального и мин имакспого оцепипаним.

Достоверность результатов.

В работе приведены подробные доказательства полученных теоретических результатом. Разработанная методика проверена обработкой модельных и реальных данных.

Научная новизна.

Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. В разработанной методике; локального определения аномалии силы тяжести метод многомасштабного представления на сфере на основе гармонических вейвлетов Абеля-Пуассона впервые применен для локального определения аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии. Впервые получены соотношения на характеристики ошибок данных аэрогравиметрии и глобальной модели гравитационного поля Земли, при которых комбинирование указанных данных проводить нецелесообразно.

Теоретическая и практическая ценность.

Разработанные алгоритмы и методы обработки данных аэрогравиметрии могут быть использованы для повышения точности локального определения аномалии силы тяжести и других характеристик аномального поля силы тяжести Земли (потенциал, уклонение отвесной линии, высота геоида и др.) с приложениями в прикладной геофизике. Теоретические результаты работы могут быть также, использованы при выборе методики комплексиронания данных.

'I'rccclcn \\\, Michel V. Mnltisralc Potential 'Пкчму (With Applications I" Gcoscicnce). lJiikliaiiscr Wring, Boston, 20(1-1. 509 p.

Апробация работы.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих научных семинарах и конференциях:

1. Семина]) имени АЛО. Ишлинского по прикладной механике; и управлению иод рук. проф. Александрова В.В.. проф. Парусникова H.A.. проф. Болотина IO.B. (МГУ. 2012, 2014).

2. Конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2014).

3. Симпозиум Международной ассоциации по геодезии (IAG) «Наземная, морская и азрогравпметрия: измерения на неподвижных и подвижных основаниях» (С.-Петербург, 2013).

4. Международный коллоквиум имени А. фон Гумбольдта. «Роль фундаментальных паук в современном обществе» (Москва. 2012).

5. Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2010, 2011).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора. |1-5|, из которых 3 в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работа над диссертацией выполнялась при поддержке РФФИ (проекты 10-01-00703-а. 13-01-0()G04-a).

Личный вклад.

В совместных работах [1,3,4| Болотину IO.В. принадлежит постановка, задач и общее научное руководство, а все результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из списка, сокращений, введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 98 наименований, включая работы автора. В диссертации приведено 1С рисунков, 3 таблицы. Общий объем диссертации 108 страниц.

Содержание диссертации

Во введении формулируется цель диссертационной работы как разработки методики локального определении аномалии силы тяжести по данным аэрограг.иметрии и глобальной модели гравитационного поля Земли с использованием метода многомасштабного представления па основе сферического вейвлет-разложепия. Приводится структура работы.

Первая глава является вводной. В § 1.1 кратко рассмотрены история гравиметрии, история и современное состояние скалярной аярогравиметрии. В § 1.2 изложены теоретические основы гравиметрии. Аномальным полем силы тяжести называется отклонение реального поля силы тяжести от нормального, вызванное неравномерностью распределения масс в Земле. Потенциал аномального поля (возмущающий потенциал) определяется как Т(х) = \У{х) — и{х), где I Е I'1 - точка 1! геоцентрической системе координат, П/(х) потенциал поля силы тяжести Земли, и(х) потенциал нормального поля силы тяжести, т. е. поля силы 'тяжести уроненного эллипсоида вращении, близкого к поверхности Земли (реферепц-эллипсоид).

Вектор аномалии силы тяжести в свободном воздухе определяется как Дg(.7;) = g(.г•) — g(l(.г•), где g(.x■) = £пн1 \У(х) вектор реальной силы тяжести, g()(x) = £гн<1 [/(ж) вектор нормальной силы тяжести. В скалярной нэрограви метрик рассматривается только вертикальная составляющая вектора Дg (проекция на географическую вертикаль), которую далее будем обозначать через Д/у:

А, к) = А, к) - ^(¡р, к), (1)

где у(<р, А, к) - вертикальная составляющая вектора силы тяжести, взятая с обратным знаком; к) абсолютное значение нормальной силы тяжести, А, к географические координаты. Величина у^(р.к) в прикладных задачах определяется с помощью формулы Гельмерта2. В геофизике и геодезии для аномалии силы тяжести применяются внесистемные единицы измерения: 1 Гал - 1(Г2 м/с2, 1 мГал -- 1()~г' м/с2.

Основной задачей прикладной гравиметрии является определение характеристик аномального поли силы 'тяжести (возмущающий потенциал, аномалия силы тяжести на заданной высоте, уклонение; отвесной линии, высота. геоида и др.) по измерениям аномалии силы тяжести. Определение этих характеристик называется трансформациями поля. Формально большинство

'-Торге 1!. Гравиметрия. М.: Мир. 1999. -Ш с.

характеристик может быть найдено по известным формулам физической геодезии (Стакан, Венииг Мейпеса, Хотииа, Брупса. и др.)1.

В § 1.3 приведены принципы проведения и обработки измерении в скалярной аэрогравиметрии, состав измерительной аппаратуры. Измерения проводятся е. борта летательного аппарата, как правило, на постоянной высоте над рсферепц-эллппсоидом. Траектории движения над исследуемым участком земной поверхности представляет собой набор параллельных отрезков (галсов) и разворотов между ними. Измерения аномалии силы тяжести проводятся вдоль галсов, па. которых аномалию удобно представлять как функцию времени.

Авиационная гравиметрическая система, рассматриваемая в диссертации, включает в себя бортовые приемники сигналов спутниковой навигационной системы (СНС); гиростабилизированпую платформу в клрдаповом подвесе, па которую вертикально установлен одноосный гравиметрический датчик. Также; используется наземный приемник сигналов СНС (базовая станция) для обработки измерений СНС в фазово-дпфферепцналыюм режиме. Гравиметрический датчик измеряет проекцию удельной силы, действующей па его чувствительный элемент (ЧЭ) со стороны подвеса, па ось чувствительности датчика. Основным уравнением скалярной аэрогравиметрип является уравнение движения ЧЭ п проекции на географическую вертикаль:

Д.<7 = ~h - <7п + Я F. + /:«• (2)

где h вертикальная составляющая скорости ЧЭ; flu абсолютное значение нормальной силы тяжести: Д/у вертикальная составляющая вектора, аномалии силы тяжести: J-.\ вертикальная составляющая удельной силы, действующей на ЧЭ со стороны подвеса гравиметра; су/; поправка Этвсша для учета центробежного и корнолисова ускорений во время движения. Искомой величиной в (2) является аномалия Аг/. Величина, вертикальной проекции f:i удельной силы измеряется гравиметром, величины (//■;. fjo, Ii определяются по измерениям СНС.

Обработка авиационных измерений аэрогравиметрип включает следующие основные этапы:

1) определение аномалии силы тяжести па траектории полета из решения основного уравнения аэрогравиметрип (2);

2) вычисление определяющих характеристик аномального поля силы тяжести.

■'Ilnskaneii \\\, Moritz Н. Pliysicnl iyndrsv // Sali IY;ninsm; Гпччшш. 1 ОПТ. ЗС> I р.

На этапе 1 сначала определяется оценка аномалии Д</ по «сырым» измерениям Ii'. у'{1, у\.:. и виде

После чего к данным Ау' применяемся гравиметрический фильтр4, определяющий сглаженную оценку аномалии Ау'. На этапе 2 чаще, ист) is качестве определяющей характеристики аномального ноля выбирается карга аномалии силы тяжести и свободном воздухе па высоте полета.. Построение карты аномалии ведется без привлечения какой-либо геофизической информации па участке съемки. Измерения аномалии при этом редуцируются па заданную на постоянной высоте сетку узлов карты. Карта характеризуется разрешением половиной минимальной выявляемой длины волны аномалии. Точность съемок оценивают по расхождениям в точках пересечения галсов и сравнением с имеющимися наземными данными. К другим определяющим характеристикам поля относятся коэффициенты разложения аномалии или возмущающего потенциала в ряд по системам сферических вейвлетов, радиальных мультиполеи. точечных масс, гармонических сплайнов или других систем функции па сфере.

В § 1.4 рассматривается одна из основных трансформации ноля силы тяжести в аэрогравиметрип задача локального определения возмущающего потенциала Т па участке земной поверхности. Т является гармонической функцией во внешнем пространстве Земли в предположении об отсутствии притягивающих масс. Данная задача трансформации сводится к решению вспомогательной задачи определения Т в локальной области па некоторой сфере (формально на всей сфере) из уравнения вида0:

Ау(х) = - / ^щ^Пу) МУ), ■<■ е £,„ (3)

i'h,

где Иц так называемая сфера Бьерхаммера, лежащая внутри Земли сколь угодно близко к ее поверхности, (ки элемент поверхности на сфере, П(х. у) ядро Пуассона. £/, участок съемки па постоянной высоте над реферепц-эллипсоидом. Данный подход к определению Т основан на теореме Рупге Уолшас о приближении гармонической функции другой, имеющей большую область гармоничности. Особенность рассматриваемой

'Bolotin Y.V., Ylirist S.S. Stlbuptiiiinl smoothing liltri for (lie murin« «rnvimclci- GT-2M // Gyrosropy аш! Navigation. 2011. V. 2 (3). P. 132-153.

r,Topiv H. Грашшстрия. M.: Мир. 19!)!). 42!) г.

"l'Wd™ \\\, Mii licl V. Mnltiscale Potential Theory (Willi Application« to Gcosiienee), Uirklmuscr Vorlag, Boston, 2004. 30!) p.

трансформации состоит в том, что (3) относится к классу обратных некорректно поставленных по Ада мару задач (оператор трансформации не ограничен').

Другая особенность связана с тем. что данные аэрогравимстрин об аномалии Дд(х) локальны, тогда, как для корректного приближенного решения (3) требуется нелокальная информации о поле силы тяжести. Вследствие чего данные а:->рограпиметрпи необходимо комбинировать с данными глобальных моделей поля. В завершение параграфа рассмотрены известные подходы к комбинированию локальных и глобальных данных, основанные на разложениях аномалии силы тяжести или возмущающего потенциала в ряд по шаровым функциям, сферическим вейвлетам, радиальным мультпполям. точечным массам, гармоническим сплайнам и др. Сделан вывод о предпочтительности применения в задаче комбинирования авиационных и глобальных данных сферического пейвлет-разложепия, обладающего возможностью миогомасштабного представления поля силы тяжести.

Во второй главе изложен метод миогомасштабного представления на. сфере, основанный на. гармонических екейлинг-фупкциях и вейвлетах Абеля-Пуассона. Данная концепция метода, разработана Техническим университетом Капзерслаутерна. (Германия)8. Скейлинг-фуикцпя Абеля-Пуассона. уровня детализации j € No определяется формулой:

i |гр _ а'2!)-

Ф'(-Г-//} ' 4^7? (|л:|2 + ПЩ - 2ftj .т7>/):,/2' ''' ■ Г (4)

где х £ М'1. |х| > У € П/f. Здесь 11 н сфера некоторого радиуса. II > 0.

Сферическим веивлетом Абеля-Пуассона, уровня детализации j называется функция

VI/,(.т. у) = Фу+1 (.г. у) - Ф;(:/:. у). (5)

Скейлипг-функция ФД.г, у) и вейвлет Ф,(х.//) являются гармоническими функциями в области определения х и зависят только от сферического расстояния от у до своего центрах при фиксированном |.т|. Ф/(х, у), Ф ¡{х.у) локализованы па сфере (убывают при удалении у от х), при этом чем выше уровень детализации j, тем лучше пространственная и тем хуже частотная локализация (в разложении в ряд но сферическим гармоникам).

7\Y;ihba G. С'опупдпит rates of certain approximate solutions lo Frodhohn integral equations of the first kind. J. c.r Appro*. Theory. 1073. -V'7. P. 107-18.1.

"Freeden \\\, Mirliol V. Multisc»lo Potential Theory (Willi Applications to Geoscience). Ilirkliniisor Wring, Boston, 2(H) I. 500 p.

Рис. 1: Сечения скейлинг-фупкции (слепя) для у--1, у 2 (пунктир) и вейвлета Абеля-Пуассона (справа) для_у---1, j--() (пунктир) и зависимости от величины угла [рад] между х и у и])!! = |у|, Я = 1 м. [м-2].

Многомасштабпое представление произвольной гармонической функции /(х-) из пространства Соболева Н.^Щр), где = Щ? II Пц, -О О,

состоит в ш•йилс.т-ришгж.е.пии (вычислении г.ксйлипи-кол/и/шциспточ (СК) и всймлст-кскф/тцис.пшоч (ВК) на ])азных уровнях детализации) и вс.йчлс.т-чосстткнштии /{:>;) па некотором (максимальном) уровне; детализации ,/ (вычислении сглаженной и детальных компонент функции па разных уровнях детализации). Скейлипг-коэффицнепта.Ду) функции /(ж) на уровне детализации ,/ 1! точке; у € Пи определяется формулой свертки:

«•/(</) = (Ф/ * Л(у) = У ФЛу,«)/(«) 'М"), «, У е Пи. {о)

Вейвлст-коэффициепт (-]{()) в точке у € 1}ц па уровне детализации j, О ^ ] ^ J 1, определяются как:

Ф) = * ЯЫ- (7)

Отметим, что в терминах теории фильтров СК и ВК интерпретируются как результаты низкочастотной и полосовой фильтрации /(.(;) соответственно.

Формула и(Лилс.1п-<1()с(:111ин()(ш:ния /у (ж) функции /(:/-') па уровне; детализации J но ВК па уровнях ..., ■/ 1 и по СК па уровнено имеет вид:

./-I

/Л-'') = //,(•'•)+ Е (8)

]=к

где //„(.т) сглаженная компонента /(.т), (}]{х) детял!.ная компонента /(.т), Ф_/(.т,у) = Ф,-+1 (:с. у) + ФД.т, у). При этом /./(•'') может быть записана как

Ых) = (Ф./ * я./)(-т). (9)

Известно, что//(.т) имеете с ее частными производными порядка, меньшего

1, равномерно сходя гея в £2'//' при ,/ —оо к /(х) п ее соответствующим частным производным.

В § 2.3 метод миогомасштабного представлении на сфере адаптирован для обработки локальных данных аэрогравиметрии. Проиллюстрирована, возможность регуляризации некорректной обратной задачи трансформации при использовании данного метода. Приведены квадратурные формулы для интегральных сверток. Выписаны формулы некоторых трансформации с использованием миогомасштабного представления аномалии силы тяжести. Получена оценка погрешности вычисления СК аномалии при интегрировании в ограниченной зоне, получена оценка, степени «сглаженности» аномалии в результате пенплст-восстапоплспия. Показано отсутствие прямой суммы детализирующих подпространств миогомасштабного представления в случае вейвлетов Абеля-Пуассона, а также I! случае произвольных вейвлетов с неограниченным числом гармоник в разложении по сферическим функциям.

В третьей главе представлена разработанная методика локального определения аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии и глобальной модели гравитационного ноля Земли с использованном метода сферического вейвлет-разложепия, изложенного в главе 2. Методика состоит из трех этапов.: 1) оценивание СК аномалии силы тяжести на максимальном уровне детализации по данным аэрогравиметрии; 2) вычисление ВК аномалии силы тяжести на разных уровнях детализации по СК, оцененным на. первом этапе по данным аэрогравиметрии; вычисление ВК аномалии силы тяжести по данным глобальной модели: 3) уточнение; ВК данных аэрогравиметрии по ВК глобальной модели на. общих уровнях детализации. Для решения задачи этапа 1 используется рекуррентный метод наименьших квадратов (МНК) с шагом рекурсии по помору галса съемки, позволяющий учесть специфику данных аэрогравиметрии, в частности некоррелированность ошибок измерений на разных галсах. В силу плохой обусловленности задачи первого этапа применена информационная форма МНК с регуляризацией информационной матрицы СК на последнем шаге рекурсии. Задача этапа 3 поставлена как задача оценивании ВК аномалии силы тяжести и решена, с помощью алгоритма. МНК в ковариационной форме.

В §3.1 вводится модель сглаженных авиационных измерений на. галсе полета. Каждый галс Г/, будем представлять в виде; непрерывной

параметризованном временем кривой в К'5:

Г,, = {а:А.(0 = (wit), Ai,(t), hk{t))\t G /а- С M}, fr = 1,..., А',

>'Д(! ^^графические координаты леггателытге) аппарата

па fr-ом галсе. Д. интервал времени движения по А; му галету, К общее число галсов. Сглаживание авиационных измерений па галсе проводится с помощью гравиметрического фильтра9. Фильтр характеризуется импульсной переходной функцией G(t) и частотой среза cjn,t■ Разрешающая способность в пространстве фильтра равна, половине; выявляемой длины волны L аномалии, амплитуда которой в результате фильтрации подавляется вдвое;. Величина L определяется выражением L = 2irV/и!ги1. Здесь V средняя скорость движения летательного аппарата вдоль галса.

Модель сглаженных авиационных измерений па галсе запишем в виде:

i+M

№■-*,„*)+ г = 1,...,Мк, (10)

m=i-.\l

где Ag(xk(t, „/,)) аномалия силы тяжести в свободном воздухе; в точке измерения xk(tmk) € R'!, заданной в сферической системе кеюрдипат; tmi,-, t'tk S h. дискретные моменты времени записи данных, отпе)сящие;е:я к fr-ому галету; сглаженное измеречше; аномалии силы тяжести иа Ат-

ом галете;, ö<]k(tik) ошибка измерения па галете;. Мк число измерений на fr-ом галете;, 2M + 1 длина. носителя гравиметрического (фильтра. Координаты точек измерений преуцюлагаютетя известными. Будем считать, что ошибка измерения па fr-ом галсе как функция полеттюго времени является случайным процессом ет нулевым математическим ожиданием и известной корреляционной функцией 6Y (/;/,. — fw/,), определяемой погрешностями «сырых» измерений и свойствами гравиметрического фильтра. Ошибки измерения па разных галетах не ке)рре;лире>вапы:

E[Stjk{tik)Sm{tmi)] = 0, к±1. (И)

Оценивание скейлинг-коэффициентов в информационной форме

Об аномалии А.еу(.т) предполагается, что функция |а;|Д/у(х) являеггея гарме)ииче;етке)й нИ'Ц1 и принадлежит пространству Соболева Н.Ч(Щ['), s > 1. Радиу«: Я сферы Иц раве;н минимальному значению длины |а.Ч-(-)| по вет<;м

"Bululiii V.V., Yurist S.S. Sulxiptiiiuil smoothing Bllor for the marine grnviiiiHer GT-'J.M /,' Gyrosiopy and .Navigation. 2(111. V. 2 (3). Г. 152-155.

точкам измерении на галсах. Дополнительно предположим, что Д,<j(x) имеет ограниченный спектр (i¡ разложении по сферическим гармоникам). Пусть J максимальный уровень детализации, отвечающий максимальной частоте гармоники. Тогда Afj(x) может быть аппроксимирована сверткой скейлипг-фупкции Абеля-Пуассона с СК па уровне; детализации ./:

Ас,(х,(!„,,)) = (Ф./ * )(х,,(!,„,)), (12)

где; свертка. определена в (G), «./(?/) СК аномалии силы тяжести па уровне детализации ./ в точке у € Иц- В силу нормировки скейлииг-фуикции СК имеют размерность аномалии силы тяжести (мГал). Уравнение (10) в рамках принятых выше; предположений может быть переписано в виде;

i+.M

m=¡-M

[■де; i. = 1.....А//.. Вве;де;м квадратурную ф«]1мулу для свертки (12):

(Ф., * <7,/)(.T/,(í„„0) = Y^ ш»« фЛ*У„») «./(?/„*), (14)

II.-ч

|'Де JJ,is узлы эквиапгулярной сетки па сфере íl¡f.

?/„., = П. (eos A., eos О,,, sin A., cos#„, sin 0„)т , (15)

0„ сферическая ко-широта, А.ч долгота. Значения шагов не) долготе ДА и но ко-широте А0 выберем эквивалентными минимуму из двух величин: расстояния между галсами и полонппы разрешающем"! способности в пространстве L/2 гравиметрического фильтра. Веса интегрирования uinfi зададим формулой

w„.,. = Л'-'ДА А0 sin в,„ (1G)

получаемой в результате дискретизации интеграла в (14) по долготе по формуле трапеций, по широте по формуле Гауеса-Чебышева. В силу локализации скейлинг-фупкции Ф./ па сфере суммирование в (14) достаточно проводить не) узлам у,,., из некоторой окрестности точки .т;а-(f)/?/|.т-/..(í1 на е:фере. В результате множество узлов ?/„.,, определяемых квад1)а.турпой «формулой (14) не) всем галсам съемки (обозначим его через У. количество узлов в нем через N — |У|). состоит из узлов внутри участка сьемки и узлов вне; е;го па расстоянии, не большем радиуса окрестности суммирования. Представим У в виде; объединения его подмножеств Уд-, к = 1,.... К: К

Y = У У,. У, С У, Агд- = |У,-|, (17)

А = 1

где каждый Уд- состоит из узлов У, заметаемых окрестностями суммирования точек измерений хк{! шк) /.'-го галса. Л'/.- количество узлов в Уд-. В силу построения подмножества Уд. имеют по крайней мере попарные пересечения.

Пренебрегая погрешностью квадратурной формулы (14), запишем модель авиационных измерений на галсе (13) в матричной форме:

Ау[. = П 1,(4, + 6дк, к = 1,..., К, (18)

где АГ/к = 6ук = {5ук{ик),..., 6укЦ:Щк))т. Через «д.

обозначен вектор размерности Мкх 1 неизвестных СК «,/(•) в узлах множества Уд-, через //;■ матрица размера Д/д х ./Уд., элементами кото])ой являются суммы 111>омзведепий значений весовой функции гравиметрического фильтра в (13), весов квадратурной формулы и значений екейлппг-функции в узлах Уд-. Введем матрицу ковариаций случайного вектора ошибок измерений па А:-ом галсе Пк = Е[6ук6у1]. Элементы матрицы Як определяются как

Е\ёук{Ь,к)8ук{и,а )] = С{ик - (.,„к), г, т = 1,..., Мк.

Ошибки измерений на разных галсах не коррелированы в силу (11): Е[5цк5!,'[} = 0, к ф I.

Поставим задачу оценивания вектора СК па максимальном уровне; детализации ■/ в виде задачи МНК: к

^(Д.% - Нкак)гщ[{Ау'к - Нкак) шш: (19)

где минимизация 111)оводится по ак Е Кл*. к — 1 ,...,К. При этом векторы ак им(!ют хотя бы нона])но общие; элементы. В силу пост1)оеиия множества узлов У задача (19) часто оказывается неполного ранга.

Задача (19) может быть решена с помощью алгоритма рекуррентного МНК I! информационной форме1". В диссертационной работе алгоритм адаптирован для учета специфических особенностей проведения аэро-гравпметричееких сьемок так, чтобы вектор неизвестных расширился автоматически при добавлении очередного галса.. Формулы адаптированного алгоритма имеют вид:

(¿ю = (\1] 1)+1[н'[П^Нк1к, к=1,...,К, (20)

Ь{к) = (\|))+2/'Я/7?аТ1 ДЙ, (21)

'"Александрии В.13., Болтянский В.Г., Лемак С.С.. Парупшкои II.Д., Тнхимирои И.М. Оити.ма.чыкк! унраккчше днижешюм. М.: Фтмат.ип, 200.1. 370 с.

с начальными условиями (¿^ = 0. Ь^ = 0, где (¿^ информационная матрица вектора СК п^ размера N^4 X АГ(д-), Ь^ информационная оценка вектора СК а^ размера А7^ х 1, X/,. пре>екцие)нпам матрица размера ЛГд. х ДГ(А), е)пре;де;ле;нная равенством ец. = где; вектор а/,- £ состоит

из СК. коррелированных с А-ы.м галсом, вектор «(/,) € состоит из

СК, определенных галсами Г|,..., Полученные на последнем ЛГ-ом таге; рекурсии информационна» мятриця векто1)а СК С?(Л) 11 ипе}юрмациоппаи оценка вектора СК Ь^ имеют разме;ры N х N и Лг х 1 соответственно, где N = |К|. Матрица С?(л) » вектор ¿>(д-) связаны соотношением:

Ь(Л-) = Q(Л•)«• (22)

Здесь а € Кл - вектор, состоящий из всех СК па дачном участке съемки.

Определение оценок скейлинг-коэффициентов

Из уравнения (22) определяется оценкам вектора СК. По информационной матрице (¿(к) векторя СК вычислением ее приближенной обратной определяется ковариационная матрица ошибок оценки СК Р,)„,- Матрица С?(А) часто является плохо обусловленной, в связи с чем требуется ее регуляризация. Предлагаемая методика регуляризации информационной матрицы использует данные глобальной модели гравитационного поля Земли и состоит в следующем. Проводится редукция матрицы в ходе;

которой обнуляются ее информационно мало значимые строки и столбцы. А именно, I! случае, если г,се элементы п-ой строки и и-ого столбца по модулю меньше ¿1п~{'1>11 (где информация о средиеквадратической

погрешности данных глобальной модели, £ - настроечный безразмерный параметр), то н-ая строка и н-ый столбец обнуляются. К полученной I! результате 'такой процедуры матрице; затем добавляется регуляризующий член /(о/, и обратная к регуляризоваппой матрице; принимается за оценку ковариационной матрицы ошибок оценки СК Ра,,.,- В качестве параметра регуляризации /'о выбирается величина

/'<> = /¿Щ. (23)

где; вариация СК аномалии силы тяжести в регионе съемки,

рассчитываемая по глобалыюй модели; /1 безразмерный настроенный параметр регуляризации.

Таким образом, с точностью до перестановки строк и столбцов е>це;пка ковариационной матрицы Р&п имеегг вид:

ГЛ<- Q(K) подматрица Q(K)-. строки и столбцы которой содержат хотя бы один элемент по модулю больший -2<7~/,л: • h единичные матрицы соответствующих размерностей. Оценка пектора СК определяется выражением (с. точностью до перестановки элементов в векторе):

«зд

где 1>(л) часть вектора Ь(Ку соответствующая подматрице; Q^y Поясним физический смысл редукции информационной матрицы Q(k): можно показать, что в результате редукции обнуляются СК в дальних узлах (в узлах, отстоящих от участка ci,емки).

Вычисление вейвлет-коэффициентов

Далее в § 3.1 но найденным оценкам вектора. СК h и ма трицы ковариации их ошибок Р,),,, вычисляются оценки векторов ВК r.j и матриц ковариации их ошибок Psrj на. уровнях детализации j = jo,...,./ 1 с помощью формулы:

<"./(?/,'/) = ЦI(ïï!>IУ'1»)"ЛУ»*), (20)

/Î..S

гдо àj(ylls) элемент вектора, п (оценка СК в угито упя), Ф.Д?/,'/, ?/„*) вейвлет Абеля-Пуассона. Узлы у„.ч и веся определены в (15) (1G). Множество узлов y'v! ВК па уровне j определено на эквиапгулярпой сетке па <ч|к;ро Q/i в результате прореживания в 2,/~1~' раз по сферической ко-широте и долготе узлов множества Y (17), а также; включения дополнительных узлов из-за. увеличения радиуса пространственной локализации вейвлета при уменьшении j. Обозначим число узлов сетки на. уровне j через Lj. Элементы матрицы ковариации ошибок ВК /¿v, размера Lj х Lj вычисляются как

= "»»Un.flj (?//,„ y„s)^j{yln,, 11т,,) E[Sn,,(y,„)Sa i(yniq)\, (27)

7Î..S tll.t,

где Sr.jli/^), Scjii/j,!,) ошибки оценок ВК, y'llh у3,,, узлы сетки на уровне j, <5п./(у„,), Saj(?/„„,) ошибки оценок СК, E[Sa.i(y,ls)5aj(ynlll)] элемент матриц!)! Рд,,,.

Комбинирование вейвлет-коэффициентов данных аэрогравиметрии и глобальной модели на основе МНК

В § 3.2 поставлена, и решена задача уточнении оценок ВК cj G и матриц ковариаций их ошибок РЛ> (27), полученп1>1х из данных аэрогравиметрии, поданным глобальной модели гравитационного ноли Земли. Предполагается, что данные глобальной модели представлены в виде; набора ВК <е М''у (вычисленных на том же множестве; узлов, что и cj) и мат1>иц кова1)иаций их ошибок Р'!м' на уровнях детализации j = jo,.... </,,/„(,—1. Ввиду более высокого пространственного разрешения данных аэрогражшетрпп справедливо соот-пошспис Jijhj, ^ ,/. Введено предположен не о нек()р])елироваппости ошибок ВК как данных аэрогравиметрии Sc'-"', так и глобальных данных 6с'-"Ь на разных уровнях детализации:

Е[6(!}'г{6с>}!г)т] = 0, E\6cf'h{Scf')r} = 0, при всех j ф f. (28)

Задача оптимального оценивания ВК па общих уровнях детализации j = ;j{),..., J;lUii,-1 поставлена в виде; задачи МНК:

(cj ~ rj)rl\.](rj -<",) i (О- (<")-'\cj - cf'h) -> min . (29)

J J Cj-eR'-j

Решение (29) возможно в ковариационной форме по алгоритму МНК:

= {I-Sj)cj + Sj(f\ /% = (/- 5,)РЙ,,, (30)

sj = h-^ + iP^T1-

где оценка Щ есть результат уточнения ВК данных аэрогравиметрии по ВК глобальной модели, Рл*. матрица коварпацпй ошибок оценки.

Комбинирование вейвлет-коэффициентов данных аэрогравиметрии и глобальной модели в постановке задачи гарантирующего оценивания

Согласно теории МНК, комбинирование оценки ВК. полученной по данным аэрогравиметрии, с ВК глобальной модели улучшает оценку. Но на практике это не всегда так. В § 3.3 рассмотрена задача комбинирования ВК данных аэрогравиметрии и глобальной модели в постановке метода гарантирующего (минимаксного) оценивания11. Предполагается, что статистические характеристики ошибок ВК неизвестны, по заданы множества, описывающие их неопределенность. Рассмотрена задача поиска линейного оцеиивателя, оптимального по кр/ггерию минимума дисперсии ошибки оценки, для случая «наихудшего» из допустимых распределений ошибок ВК.

"Лидои М.Л., Бахишим Ь.Ц., Млтжчш А.II. Об одном iianpnairmiH u npiiilicMr гарантирующего оцепнкамп» (оСпор) // Космические иге.м'/юплппи. 1УУ1. Т. 20. .V-'i. С. G~j!)~(>81.

Получены соотношения на характеристики ошибок и данных, при которых комбинирование ВК нецелесообразно.

Введем векторы ВК данных аэрогравиметрии с""' и данных глобальной модели <•/''"'' уровня детализации опустив индекс размерности Lj х 1, которые представим в виде:

е"'г = с + Ас"'"' + 8<Г\ _ (31)

с11'"'' = с + А<<''"\ (32)

где с 6 К'-' неизвестный вектор (истинных) ВК на уровне детализации предполагаемый детерминированным; 8(!"г 6 — случайный вектор ошибок ВК с: нулевым математическим ожиданием и неизвестной неотрицательно определенной ковариационной матрицей Рш> такой, что дисперсии ошибок авиационных ВК ограничены, а их ковариации неизвестны:

о^с'П < иг?, ^ /Г'/С, (33)

где р"'г > 0 заданные числа, <5с""' элементы вектора 6с""\ г = I..... Далее, Ас""'. А<?'"ъ в (31) (32) детерминированные векторы методических погрешностей ВК, элементы которых удовлетворяют ограничениям:

| \Ас?"''\^е«'"\ 1 = 1 (34)

где £""', с"'"1' > 0 заданные числа.

Введем вектор С = (Яс!"'Т + Дг:""'Т Ас»'"''Т)т. Через П обозначим множество всех векторов характеристики компонент которых удовлетворяют (33) (34). Будем искать оценку вектора В К г: £ М7^ с помощью линейного оценнвателя Т : К2'"-1 —> М.1'-' в виде с = Т(с!'"'Т с'1'"1,Т)т. Введем гарантированное значение для второго момента ошибки оценки

г/£(Л = м.р Е[\\с-с\\2}. (35)

генл'

Запишем условие оптимальности оценивателя Т в виде следующей вариационной проблемы

Т* = агц пин шах (30)

Результаты, полученные в параграфе, сформулированы в виде утверждения.

Утверждение. Оптимальный оцг.ниватгль в минимаксной ладане. (Н6) имеет иид 3-* = {В* / Т7*), где. F* диагональная матрица раямкра х Ь-, г. моментами /* на диагонали, определяемы.ми, выражениями:

1) ^ = (,'ГТ + (еГ-гГ>Г (3?)

если Оля каждого г = \,...,Ь]

е'М"Ь < тт{(рГ)* + (С')2, (38)

оптимальное, тшчс.пш: <Г функционала шиит аид:

(ли /Л 2 (сч1"1>\2

(1*=у-^ Н-> ) ■ (39)

1=1

2) /; = 5 + - (/Г? - (С)2), (40)

для каждого г = 1,..., Ь}

> шш{(/П2 + (-П2, (^'"'О2}; (41)

оптимальное, значение. (I* функционала О^З") имеет аид:

О* = тт{(р?г? + (е<!"Г, (42)

;=1

3) /* принимает значение (Н7) Оля г €Е 11 и (40) для. г 6 если Оля г £ /) аыполнены условия (Ув), Оля г £ 1> - условия, (41). где. множ.ества индексов /ч »с пусти, не пересекаются. 1> = {1,..., 1^-}; оптимальное значение (Г функционала имеет вид:

,Г = у- (/С)2(д""Т , (43)

и^гг + ^г-^'У

¡е!2

Оптимальная оценка с вектора ВК определяется равенством с = Р*с""' + (/ — F',)c•'y'"''. В случае оцсшшателя (40) элементы с; вектора с для каждого ¿' = 1 ,...,Lj определяются выражением:

. _ если (е-?'"6)2 > (р'Г)2 + (еГ)2,

с> — \ чы,

I с[ , и противном случае.

О тсюда имеет место

Следствие. Оптимальная оценка с вектора ВК имеет, над с. = с"" в случае, когда характеристики ошибок ВК ивиациоииых и глобальны,:/: данных удовлетворяют условиям:

е'М',ь>и/ГГ + (е'Г)2, 1.....1,г (44)

Другими словами, уточнение авиационных ВК по данными глобальной модели нецелесообразно при выполнении (44). На практике это возможно лишь в редких случаях, когда ошибки ВК глобальной модели чрезвычайно высоки.

Четвертая глава посвящена проверке разработанной методики локального определения аномалии силы тяжести но данным аэрогравиметрии и глобальной модели поля силы тяжести с использованием метода, мпогомает-штабпого представления на сфере. В § 4.1 проведена обработка модельных данных, покапавшая эффективность разработанной методики. В §4.2 приведены результаты обработки данных реальных аэрогравиметрических измерений в районе Новой Земли12 и данных глобальной модели EGM200813. Авиа-с'ьемка выполнена, с использованием аэрогравиметрической системы GT-1A1'. Длина, волны гравиметрического фильтра в (10) L = 10 км (фильтр близок к еглаживатслю Баттерворта. 3-го порядка). Частота выходных данных 1 Гц. Ошибки измерений примерно соответствуют модели белого шума на частот«; 1 Гц с СКО 50 мГал, пропущенного через гравиметрический фильтр. Географическая широта региона съемки: 74° 76°. Регион съемки был покрыт сетыо параллельных галсов. Для проверки алгоритмов выбран 31 галс (рис. 2). Расстояние между галсами 4 км. Высота полета 3500 4700 м, средняя высота 3900 м. Скорость самолета 100 м/с. Максимальное и минимальное значения данных об аномалии в свободном воздухе; равны 82.G мГал и -15.0 мГал соответственно.

По авиационным данным с помощью алгоритма. (20) (25) (первый этап разработанной методики) проведено оценивание; вектора CK п./ на. уровне ,/ = 10, соответствующем минимуму из L¡2 и расстояния между галетами (4 км). Узлы эквиангулярнеш сетки (15) определены на сфере Иц радиуса R = G3G0.8 км. Шаг сетки не) сферической ко-ширеш; Aß взят рапным 0.045°, что эквивалентно половине минимальной длины волны L/2 аномалии, определяемой па галете. Шаг по долготе ДА равен 0.13е и эквивалентен расстоянию между галетами. Множество узлов Y (17), определенное» таким образом для данного участка, съемки, изображено па. рис. 3. Величина порога для редукции информационной матрицы Q{k) па последнем шаге; рекурсии К = 31 выбрана, в соответствии с: информацией о етре;дпеквадратиче»е:кой погрешности гт;//„/, данных глобальной модели EGM2008 ((тды, составляет порядка 30 мГал в регионе етъемки в гармоническом разложении аномалии

'"Подеттле данные предостанлсны Институтом фи шки Земли имени O.IC). Шмидта РАН.

''Pavlis i\.K.; IIniines S.A., Kenyon S.C., Factor .I.K. The development, and evaluation of 1 be Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) // J. Geopliys. lies. 2012. V. 117 (В1М40Г>). P. 1-38.

1 'BerzWtzky V..V, Holotin V. V., Golovan A.A., Parnsnikov Х.Л., Vnrist S.S. ct al. GT-1A incriial Rravinietcr system. Results of flight tests // Moscow State University. 2002. 32 p.

до степени 1800).

Настроечный безразмерный параметр е и (24) принят равным 1,

2 -2

откуда величина порога е а (1)Ь равна 0.001 мГал-2. Значение вариации СК аномалии силы тяжести в регионе съемки рассчитанное по глобальной модели, равно 140 мГал2. Безразмерный параметр регуляризации ц в (24) взят равным 0.1. Значение ц настраивалось так, чтобы уменьшить ошибку восстановления аномалии по оцениваемым СК па галсах и чтобы в то же время уменьшить вариацию оцениваемых СК I! регионе съемки. Отметим, что регуляризация в форме (24) сохраняет физический смысл ковариационной матрицы Рй(1, ошибок оценки Рис. 2: Схема галсов аэрогравимет-СК (плохо оцениваемые и обнуленные; рической съемки. СК имеют большие дисперсии), что

важно для корректного комбинирования данных. На рис. 3 изображены галсы, множество узлов, в которых оценены СК и множество узлов, в которых СК обнулены в ходе; редукции информационной матрицы- Как и ожидалось, обнулены лишь СК 1! дальних узлах.

По найденным СК а./ проведено восстановление аномалии силы тяжести на галсах но формуле (9). Средиекнадратическое отклонение ошибки восстановления на каждом галсе изменяется от 0.03 мГал (1-ый галс) до 0.10 мГал (21-ый галс). На рис. 4 приведем пример восстановления аномалии на одном галсе. В результатах практически отсутствует эффект Гиббса на краях галсов. Далее, по найденным СК а,/ авиа-даппых и матрице ковариаций их ошибок Р,чи1 были вычислены ВК с,- аномалии силы тяжести авиа,-данных и матрицы ковариаций их ошибок РцС} на уровнях ] 7 9 по формулам (2С)-(27) (второй этан разработанной методики).

Вычисление вейвлет-коэффициентов по глобальной модели ЕСМ2008

Для уточнения данных аэрогравиметрии использовалась глобальная модель ЕСМ2008. По данным модели были рассчитаны ВК на уровнях ■] 7 9 в тех же; узлах, как и ВК авиа-данных. ВК вычислены по формуле

долгота, гдад

55 56 57 58 59 60 61 долгота, град

Рис. 3: Схема галсов; множество узлов, в которых оценены СК аномалии силы тяжести поданным аэрогравиметрии (светло-серая область); множество узлов, в которых обнулены СК (темная область).

80 60 40 20

74.5 75 75.5 76 Географическая широта, град

1 44

/ ! 40

74.42 74.5

!

76.5

Рис. 4: Аномалия силы тяжести на, галсе по данным аэрогравиметрии (сплошная линия) и результат восстановления аномалии по СК, оцененным по данным аэрогравиметрии на максимальном уровне детализации .7 10 (пунктирная линия), мГал.

(7) по значениям аномалии силы тяжести в свободном воздухе;. Аномалии рассчитаны по гармоническим коэффициентам /(о степени 1800 в узлах 0д., Д., эквиангулярной сотки У (17), использовавшейся при вычислении СК авиаданных. Матрица ковариаций ошибок измерения в данных об аномалии силы тяжести глобальной модели рассчитана, по диагональной матрице ковариаций ошибок гармонических коэффициентов, предоставляемой моделью ЕСМ2008.

Комбинирование данных

Комбинирование ВК данных аэрогравиметрии и ВК модели ЕСМ2008 (третий этап разработанной методики) на уровнях ] 7 9 выполнено с помощью алгоритма. МНК (30). Результаты комбинирования приведены в табл. 1 и на рис. 5. На. графиках результатов комбинирования па каждом уровне детализации прослеживается коррекция алгоритмом множества авиационных ВК на краях области по ВК глобальной модели. Это связано с тем, что авиационные ВК в узлах на краях области малодостоверны, так как в ходе редукции информационной матрицы СК на максимальном уровне ./ были обнулены СК на краях области. Алгоритмом скорректированы также «выбросы», вызванные регуляризацией.

Таблица 1: Результаты комбинирования данных: СКО разности

комбинированных и глобальных ВК. 5„,.,„ СКО разности комбинированных и авиационных ВК.

Уровень Разрешение, км Бфы,, мГал

7 10 2.3 2.0

8 8 2.3 2.0

9 4 2.0 2.2

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

• Поставлена и рем юна задача локального определения аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии и глобальной модели гравитационного поля Земли с использованием метода, сферического вейвлет-разложепия. Предложена и реализована методика решения задачи, включающая этапы: 1) оценивания скейлииг-коэффициентов

(СК) аномалии силы тяжести на. максимальном уровне детализации по данным аэрогравимеггрии; 2) вычисления вей влет-коэффициентов (ВК) но данным глобальной модели и оценок ВК по СК, оцененным на первом этапе, па. разных уровнях детализации: 3) уточнения оценок ВК данных аэрогравиметрии по ВК глобальной модели на. общих уровнях детализации.

• Для решения задачи оценивания СК (первый этап методики) применен рекуррентный алгоритм МНК в информационной форме с шагом рекурсии по номеру галса. Алгоритм адаптирован для учета, специфических особенностей проведения аэрогравиметрических съемок (вектор неизвестных автоматически расширяется па каждом шаге рекурсии). Разработана физически обоснованная методика, регуляризации информационной матрицы СК. получаемой на последнем шаге рекурсии. Методика использует данные глобальной модели поля в качестве априорной информации. Задача, уточнения оценок ВК по данным глобальной модели (третий этап методики) поставлена как задача МНК и решена в ковариационной форме.

• Задача уточнения ВК данных аэрогравиметрии по глобальным данным рассмотрена в постановке гарантирующего оценивания. Исследованы условия на характеристики ошибок ВК. при которых уточнение проводит!» нецелесообразно. Сделай вывод, что на практике уточнение; следует проводить всегда.

• Проведена проверка разработанной методики на модельных данных и на. результатах реальной аэрогравиметрической съемки и данных глобальной модели гравитационного поля ЕСМ2008, показавшая эффективность методики. Алгоритмы методики позволяют корректно обрабатывать данные полетов, проводимых на разных высотах. Методическая погрешность обработки авиа-данных порядка 0.2 мГал.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Юрию Владимировичу Болотину за помощь в работе. Авто]) благодарен заведующему лабораторией управления и навигации А.А. Головану, профессору А.И. Матасову, профессору Н.А. Парусникову, старшим научным сотрудникам М.К). Попеленекому и А.В. Козлову за критические замечания и обсуждения.

Рис. 5: ВК.на уровнях 7-9 (по строкам); 15 каждой строке: комбинированные ВК (слева), глобальные ВК (в центре), авиационные ВК (справа), мГал.

Работы автора по теме диссертации

1. Болотин К).В., Вязьмин B.C. Сферический ас.йалст-аиалиа аэрограви-мстричс.ския: данных // Геофигшчеекир исследования. 2012. Т. 13. jV-'2. С. 3349. -

2. Vyazmin V.S. Refinement of a global model for- the Earth's gravitational. field using airborne gravimetry data // Moscow University Mechanics Bulletin. 2013. V. G8. №4. P. 97-100.

3. Bolotin Yu. V., Vyazmin V.S. Estimation of coefficients of the gravity spherical wavelet transform from airborne gravimetry data j j In: Proceedings of IAG International symposium on terrestrial gravimetry: static and mobile measurements (TG-SMM 2013). Concern CSB.I Elektropribor, St. Petersburg. 2014. P. 84-88.

4. Болотин К).В.. Вязьмин B.C. Локальное, мнпгомасштабпос. оценивание аномалии силы, тяжести по данным азрогравимс.трии // Геофизические исследования. 2014. Т. 15. №3.

5. Вязьмин B.C. Минимаксное оценивание, в задаче, комбинирования данных азрогравиметрии и глобальной модели гравитационного поля, Земли, в миогомаеттабном представлении // Тезисы докладе)!! XXIII международного научно-технического семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации»- Алушта. 2014. (В печати).

2G

и

Подписано в печать 04.07.2014 Формат А5 Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 100 экз. Заказ № 2646 Отдел полиграфии Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова 119192 Москва, Ломоносовский проспект, 27

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

0420Н60302 Вязьмин Вадим Сергеевич

ЛОКАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПО ДАННЫМ АЭРОГРАВИМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СФЕРИЧЕСКОГО ВЕЙВ ЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ю.В. Болотин

Москва, 2014 г.

На правах рукописи

Оглавление

Список сокращений 3

Введение 4

Глава 1. Задача обработки данных аэрогравиметрии 8

§ 1.1. История гравиметрии..........................................8

История и современное состояние аэрогравиметрии .... 11

§ 1.2. Модели поля силы тяжести ..................................15

Аномалия силы тяжести........................................18

Гармоническое разложение потенциала притяжения .... 19

Глобальные модели гравитационного поля....................22

Трансформации поля силы тяжести..........................23

§ 1.3. Аэрогравиметрические измерения............................25

Обработка данных аэрогравиметрии..........................26

§ 1.4. Обзор методов комбинирования локальных и глобальных

данных............................................................27

Глава 2. Многомасштабное представление аномалии силы

тяжести на основе сферического вейвлет-разложения 32

§ 2.1. Вводные обозначения..........................................32

§ 2.2. Сферическое вейвлет-разложение в Ь2......................34

Многомасштабное представление функции..................38

Об ортогональности суммы детализирующих подпространств 40

§ 2.3. Сферическое вейвлет-разложение гармонических функций 42

Определение максимального уровня детализации............44

Оценка погрешности интегрирования в малой зоне..........46

Дискретный вид вейвлет-разложения........................47

Трансформации поля силы тяжести..........................48

а

§ 2.4. Выводы к главе 2

50

Глава 3. Оценивание аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии с использованием многомасштабного

представления 51 § 3.1. Оценивание коэффициентов сферического вейвлет-разложения аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии ........................................................52

Постановка задачи оценивания скейлинг-коэффициентов

на максимальном уровне детализации................54

Алгоритм оценивания скейлинг-коэффициентов............58

Регуляризация оценок скейлинг-коэффициентов............60

Вычисление вейвлет-коэффициентов..........................61

§ 3.2. Комбинирование вейвлет-коэффициентов данных аэрогравиметрии и глобальной модели на основе МНК..............63

§ 3.3. Комбинирование вейвлет-коэффициеитов данных аэрогравиметрии и глобальной модели в постановке задачи гарантирующего оценивания ........................................65

Модели погрешностей данных и обсуждение................65

Определение общего вида оценивателя........................68

Оптимальный алгоритм оценивания..........................71

§ 3.4. Выводы к главе 3..............................................77

Глава 4. Обработка данных 78

§ 4.1. Обработка модельных данных................................78

§ 4.2. Обработка реальных данных..................................82

§ 4.3. Выводы к главе 4..............................................86

Заключение 95

Список работ автора 97

Литература 98

Список сокращений

ЛА - летательный аппарат

СНС - спутниковая навигационная система

ЧЭ - чувствительный элемент

СВР - сферическое вейвлет-разложение

ВК - вейвлет-коэффициент

СК - скейлинг-коэффициент

МНК - метод наименьших квадратов

СКО - среднеквадратическое отклонение

1 Гал - 10"2 м/с2

1 мГал - 1(Г5 м/с2

Введение

Данная работа является исследованием в области аэрогравиметрии. Аэрогравиметрические съемки предназначены для локального определения силы тяжести в исследуемом районе с целью разведки полезных ископаемых или вычисления геоида (эквипотенциальная поверхность поля силы тяжести). Точность и пространственное разрешение данных о силе тяжести, получаемые в настоящее время по результатам авиационных съемок, близки к достигаемым в наземной гравиметрии. Преимуществами аэрогравиметрии являются быстрота получения информации о силе тяжести и возможность исследований в труднодоступных районах (шельфы, горы, тропические леса, полярные районы).

Аэрогравиметрические съемки часто проводятся также для уточнения глобальной модели гравитационного поля Земли [29], рассчитываемой, главным образом, по спутниковым наблюдениям. Методы уточнения глобальной модели хорошо развиты (интегральные методы, метод коллокаций) и основываются, как правило, на разложении поля силы тяжести в ряд по сферическим (шаровым) функциям.

Для локального определения силы тяжести по данным аэрогравиметрии, в свою очередь, требуется информация о глобальном гравитационном поле Земли. Требование вызвано тем, что данная задача часто включает вычисление характеристик поля - трансформации (например, продолжение силы тяжести, заданной на высоте полета, на поверхность Земли), для которых необходима нелокальная информация. Применение в этом случае глобальной модели в стандартном виде разложения в ряд по сферическим функциям технически сложно и не всегда корректно. Использование метода коллокаций, основанного на стохастических моделях поля силы тяжести, не всегда оправдано. Сравнительно новые подходы к локальному определению силы тяжести основаны на исполь-

зовании альтернативных разложений. К ним относятся многомасштабные представления на основе сферических вейвлет-разложений [55], [61], разложения по радиальным мультиполям [71], точечным массам [95] и

др.

Цель работы

Целью данной работы является разработка методики локального определения силы тяжести и ее трансформаций по данным аэрогравиметрии и глобальной модели гравитационного потенциала Земли. Для локального комбинирования указанных разнородных данных используется метод многомасштабного представления на основе сферического вейвлет-разложения. Отличительным свойством метода является возможность пространственно-частотной локализации функции, что удобно при работе с аэрогравиметрическими данными. В работе используется сферическое вейвлет-разложение в концепции, представленной Техническим университетом Кайзерслаутерна (Германия) [55]. Вейвлеты данной концепции являются гармоническими функциями вне сферы и, таким образом, могут использоваться при решении разных задач трансформации. Задача комбинирования данных решается методами оптимального оценивания.

Структура работы

Работа состоит из введения и четырех глав.

Первая глава является вводной. Кратко изложены теоретические основы аэрогравиметрии, приведены состав измерительной аппаратуры, принципы проведения авиационных измерений и обработки данных; поставлена задача, изучаемая в диссертационной работе, и обозначено место, занимаемое ее в общей процедуре обработки результатов аэрогравиметрических съемок. Рассмотрены известные методы решения этой задачи, в частности, использующие многомасштабные представления потенциала силы тяжести с помощью сферических вейвлет-разложений.

Во второй главе описан метод многомасштабного представления на основе сферического вейвлет-разложения. Изложение проведено по ма-

териалам работ В. Фредена и др. [55], [56], [57], [54]. Получена оценка погрешности вычисления скейлинг-коэффициентов (СК) силы тяжести при интегрировании в ограниченной зоне, предложен вариант квадратурной формулы для аппроксимации интеграла по сфере при вычислении вейвлет-коэффициентов (ВК) силы тяжести, получена оценка степени «сглаженности» функции в результате вейвлет-преобразования на сфере, показано отсутствие прямой суммы детализирующих подпространств многомасштабного представления при использовании вейвле-тов с неограниченным числом сферических гармоник.

В третьей главе излагается разработанная методика локального комбинирования данных аэрогравиметрии и глобальной модели. Методика состоит из трех этапов: оценивания СК силы тяжести на максимальном уровне детализации по данным аэрогравиметрии; вычисления ВК на разных уровнях детализации по оцененным на первом этапе СК; совместного оценивания ВК данных аэрогравиметрии и глобальной модели. На первом этапе используется рекуррентный метод наименьших квадратов (МНК) с шагом рекурсии по номеру галса (параллельного прямолинейного участка траектории) съемки, позволяющий учесть специфику данных аэрогравиметрии, в частности некоррелированность ошибок измерений на разных галсах. В силу плохой обусловленности задачи первого этапа применена информационная форма МНК с регуляризацией информационной матрицы СК на последнем шаге рекурсии. Комбинирование ВК данных аэрогравиметрии и глобальной модели на последнем этапе методики проводится с помощью ковариационного алгоритма МНК. В §3.3 рассмотрена возможность примеиения метода гарантирующего (минимаксного) оценивания в решении задачи комбинирования данных.

В четвертой главе проведен анализ результатов обработки алгоритмами методики модельных данных и данных реальной аэрогравиметрической съемки в Арктике и глобальной модели гравитационного поля Земли ЕСМ2008.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Юрия Владимировича Болотина за постановку задачи, внимание к ее решению и многочисленные обсуждения. Автор благодарен заведующему лабораторией управления и навигации А.А. Головану, профессору А.И. Ма-

тасову, профессору H.A. Парусникову, старшим научным сотрудникам М.Ю. Попеленскому и A.B. Козлову за критические замечания и обсуждения.

Глава 1. Задача обработки данных аэрогравиметрии

В § 1.1 приводится краткий обзор развития и современного состояния аэрогравиметрии. В §§1.2-1.3 формулируются математические и геофизические основы метода аэрогравиметрии, а также принципы проведения авиационных измерений и их обработки. В конце § 1.3 ставится задача локального определения аномалии силы тяжести и ее трансформаций по данным аэрогравиметрии, изучаемая в диссертационной работе, и обозначается место, занимаемое ею в общей процедуре обработки авиационных измерений. В § 1.4 приведен обзор применяемых подходов к решению данной задачи. Подробно рассмотрены подходы, использующие параметризацию потенциала поля силы тяжести с помощью сферического вейвлет-разложения.

§1.1. История гравиметрии

Гравиметрия - наука об измерении силы тяжести на поверхности и близ поверхности Земли. Начало гравиметрии связывают с именем Г. Галилея, открывшего закон свободного падения и закон колебаний маятника. В конце XVII в. маятниковым методом была экспериментально обнаружена зависимость силы тяжести от местоположения, объясненная затем в работах И. Ньютона и X. Гюйгенса. В 1687 г. Ньютоном открыт закон всемирного тяготения. Впоследствии Ньютоном и Гюйгенсом был установлен эффект полярного сжатия для фигур равновесия вращающейся жидкости и получена модель Земли в виде эллипсоида вращения с силой тяжести, возрастающей от экватора к полюсам. Дальнейший

вклад в область гидростатики Земли внесен К. Маклореном, П. Буге, К. Якоби, JL Эйлером. В 1743 г. А.К. Клеро открыл возможность определения геометрических параметров Земли по информации о силе тяжести на ее поверхности, составивший суть гравиметрического метода в геодезии.

Завершение становления теоретических основ гравиметрии связано с именами П.С. Лапласа, A.M. Лежандра, С.Д. Пуассона, Д. Грина, Ж.Д. Лагранжа, К.Ф. Гаусса, разработавших теорию потенциала физического поля. Гауссом предложено в качестве математической фигуры Земли рассматривать эквипотенциальную поверхность, для которой И.Б. Листингом в 1873 г. введено название геоида. Дж.Г. Стоксом показана неединственность решения обратной задачи определения распределения масс внутри Земли по ее внешнему гравитационному полю и получена формула вычисления формы геоида по значениям силы тяжести.

Измерительными приборами, использовавшимися при гравиметрических измерениях вплоть до середины XX в., были маятниковые гравиметры. С накоплением гравиметрических данных стало возможным первое вычисление по формуле Клеро сжатия Земли как 1 : 330, выполненное Лапласом в 1799 г. В XIX в. маятниковыми методами начинают проводиться систематические относительные измерения, позволяющие определять приращения силы тяжести между пунктами наблюдений. С развитием относительной гравиметрии потребовалось высокоточное определение абсолютного значения силы тяжести. На основе абсолютных измерений, проведенных в Постдаме в 1909 г., была принята Потсдамская гравиметрическая система и получена Ф.Р. Гельмертом формула для вычисления нормальной силы тяжести.

К 1930-му г. входят в пользование пружинные гравиметры, постепенно вытеснившие маятниковые приборы. Одно из преимуществ этих гравиметров - возможность быстрой съемки больших площадей. Пружинные гравиметры основаны на наблюдении положения равновесия пробной массы в поле силы тяжести (удерживающая сила создается металлической или электрической пружиной). В середине 1930-х гг. Л.Дж.Б. Ла Костом создан известный прецизионный гравиметр, применяемый и в настоящее время. Примерно с 1939 г. гравиметры используются при раз-

ведке нефтяных месторождений.

В 1920-х гг. начинают проводиться интенсивные гравиметрические съемки на океанах с использованием разработанного Ф.А. Венинг-Мейнесом двухмаятникового прибора для измерений на подвижном основании. В 1950-х гг. при относительных измерениях на океанах начинают применяться морские гравиметры, в которых гравиметрический датчик с вертикальной осью чувствительности установлен на гиростаби-лизированную платформу.

В 1950-1960-х гг. ведутся интенсивные международные работы по созданию мировой опорной гравиметрической сети. В результате работ создана Международная гравиметрическая стандартизационная сеть (МГСС-71, Ю8М-71), принятая в 1971 г. вместо Потсдамской системы. Новая сеть построена в основном по абсолютным измерениям силы тяжести с баллистическими гравиметрами (основанными на наблюдении свободного падения пробной массы) и относительным измерениям с гравиметрами Л а Коста-Ромберга. С 1970-х гг. сеть совершенствуется благодаря новым измерениям с баллистическими абсолютными гравиметрами и пружинными гравиметрами.

Начиная с 1960-х гг. выполняются спутниковые измерения в геодезии. Внедрение ЭВМ сделало более интенсивным использование гравиметрических данных в геодезии и геофизики. Значительно развиваются методы обработки измерений в связи со становлением информационного подхода. Основы методов заложены в работах А.Н. Колмогорова, Н. Винера, К. Шеннона, Р. Калмана, В.А. Котельникова и др. в области теории вероятностей и математической статистики, теории информации, оптимального оценивания, обработки сигналов.

В настоящее время измерения силы тяжести выполняют многочисленные государственные и частные организации. Координацию международного сотрудничества в этой области осуществляет Международная ассоциация геодезии (1АС).

В СССР первым научным институтом геофизического профиля стал созданный в 1928 г. Сейсмологический институт Академии наук (СИАН) в Ленинграде. Наряду с сейсмологией в нем были организованы работы по гравиметрии. В 1930 г. осуществляются первые в СССР морские гравиметрические измерения (Черное море) на подводной лодке, выполнен-

ные Государственным астрономическим институтом им. П.К. Штернберга (ГАИШ) с использованием четырехмаятникового прибора собственной разработки (Л.В. Сорокин). Систематические наблюдения на надводных судах начались в 1951 г., в которых участвовали сотрудники ГАИШ, геологического факультета МГУ, Всесоюзного научно-исследовательского института геофизических методов разведки (ВНИИГеофизика), Института физики Земли (ИФЗ АН СССР, созданного в 1956 г. на базе бывшего СИАНа), ЦНИИГАиКа и других организаций. Во второй половине 1950-х гг. для гравиметрических измерений на океанах начинают применяться специальные морские гравиметры. Теория морских гравиметров в СССР разрабатывалась К.Е. Веселовым (ВНИИГеофизика), ВЛ. Пантелеевым (ГАИШ) [27] и др. В дальнейшем конструированием гравиметров занимались ГАИШ, ВНИИГеофизика, ИФЗ АН СССР, Всесоюзный институт разведочной геофизики (ВИРГ) и др. На основе накопленного к 1989 г. объема гравиметрических данных в СССР введена система геодезических «Параметров Земли 1990 г.».

История и современное состояние аэрогравиметрии

В настоящее время аэрогравиметрия подразделяется на скалярную, векторную, а также градиентометрию. В скалярной аэрогравиметрии измеряется вертикальная компонента вектора силы тяжести, в векторной -все три компоненты. В авиационной градиентометрии измеряются компоненты тензора градиента гравитационного потенциала. Ограничимся здесь рассмотрением скалярной аэрогравиметрии.

В 1959-1960 гг. в СССР и США были проведены первые попытки гравиметрических съемок с самолета. В СССР использовались демпфированные кварцевый и струнный гравиметры, помещенные на гироста-билизированную