Исследование алгоритмов оптимальной фильтрации с запаздыванием при изменении силы тяжести на подвижном основании тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Фильтрация полезного сигнала в морской гравиметрии JO

1.1 Задача линейной фильтрации

1.2 Особенности фильтрации в морской гравиметрии

1.3 Качественное сравнение винеровской и калмановской фильтрации в приложении к морской гравиметрии

1.4 Фильтрация с запаздыванием в теории линейной фильтра

1.5 Цели предлагаемого исследования

Глава 2. Модели полезного сигнала и инерциальной помехи

2.1 Общие замечания.

2.2 Статистические модели полезного сигнала

2.3 Статистические свойства инерциальной помехи

2.4 Параметры моделей, принятых при конструировании оптимальных фильтров.

Глава 3. Синтез квазиоптимальных систем с запаздыванием

3.1 Теоретически оптимальный фильтр

3.2 Аппроксимация Паде.

3.3 Общая формула передаточной функции оптимального физически реализуемого фильтра

3.4 Аппроксимация оператора запаздывания

3.5 Характеристики квазиоптимальных фильтров

3.6 Описание программ построения и исследования квазиоптимальных фильтров.

Глава 4. Дальнейшее развитие теории оптимальной фильтрации для целей практики. Субоптимальные фильтры

4.1 Особенности квазиоптимальных фильтров

4.2 Модели квазиоптимальных фильтров. Субоптимальные фильтры.

4.3 Характеристики субоптимальных фильтров

4.4 Передаточные функции субоптимальных фильтров, исследования на чувствительность

4.5 Описание программ расчета и исследования субоптимальных фильтров.

Глава 5. О практическом использовании субоптимальных фильтров с запаздыванием

5.1 Сравнение субоптимальных фильтров с простейшими . . . Т

5.2 Возможные способы реализации субоптимальных фильтров с запаздыванием.

5.3 Реализация фильтров на ЭВМ, работающей в реальном времени

5.4 Машинное моделирование работы субоптимального фильтра J3I

5.5 Описание программ моделирования работы гравиметра

Проблема повышения точности гравиметрических измерений возникла с первыми гравиметрами и остается, несмотря на последние достижения науки и техники в этой области, актуальной по сей день. Важность проблемы прямо следует из того положения, которое занимает гравиметрия во всем здании наук о Земле.

Требование повышения точности диктуется, прежде всего, основной прикладной стороной гравиметрии - выявлением аномальных масс в верхних слоях земной коры. Гравиразведка, как составная часть комплекса геофизических методов исследования структуры коры, позволяет получить информацию, которую не может дать никакой другой метод, и повышение точности здесь приносит прямые материальные выгоды, ибо влечет за собой уменьшение затрат на разведку, разработку и оценку промышленных запасов новых месторояздений.

Наряду с задачами, имеющими, в основном, практический интерес, существует ряд задач, успешное решение которых означало бы значительный шаг вперед в развитии науки о Земле, и которые также требуют повышения точности гравиметрических наблюдений. Это задачи, связанные с определением структуры глубинных слоев коры и верхней мантии. Впрочем, и здесь чисто научный интерес сочетается с практическим: так, в последнее время, помимо исследований, связанных с изучением строения и образования материков, горных областей, океанов и т.п., с помощью гравиметрических измерений изучают поведение вулканов, изменения, связанные с перетеканием вещества в недрах Земли, пытаются предсказывать землетрясения |l], т.е. и здесь требование повышения точности помимо научного значения вытекает и из практических потребностей человечества.

Еце одной областью, где повышение точности гравиметрических измерений всегда представлялось первоочередной задачей, является геодезия. Уточнение поверхности геоида, уклонений отвесных линий и аномалий силы тяжести вместе с научными и здесь дает результаты, практически важные для общества, выражающиеся, например, в повышении точности определения местонахождения объекта навигационными средствами.

Разумеется, проблема повышения точности стоит перед всеми подразделениями гравиметрии. Не обходит она и динамическую гравиметрию, объединяющую в себе методы измерения силы тяжести на подвижном основании - морскую гравиметрию, аэрогравиметрию и, в последнее время, космическую гравиметрию. Если говорить о том, что может дать решение проблемы точности в динамической гравиметрии, то надо, прежде всего, четко представить себе роль методов измерения силы тяжести на подвижном основании.

Методы динамической гравиметрии позволяют за сравнительно небольшие интервалы времени покрывать гравиметрической съемкой обширные площади земной поверхности, а приняв во внимание, что к настоящему времени сведения о|гравитационном поле Земли имеются только на 70% поверхности планеты [2] /о других небесных телах и говорить не приходится/, причем значительная доля неизученных районов приходится на труднодоступные области, можно сказать, что в масштабах планеты важность динамической гравиметрии сомнению не подлежит - здесь непригодны никакие другие методы.

Если же говорить о практическом интересе к динамической гравиметрии, в частности, к морской и аэрогравиметрии, то следует отметить такое обстоятельство. В 60-е годы XX века в науках о Земле произошла революция, следствием которой явилось бурное развитие теории тектоники плит. Согласно этой теории на границах плит, в районах контакта между породами древнего материкового и более молодого океанического фундамента возникают большие мощности осадков [2], которые, и это блестяще подтверждается практикой, являются перспективными на нефть и газ. Континентальный шельф и пассивные континентальные окраины стали предметом повышенного интереса именно с точки зрения поиска новых месторождений нефти и газа. Методы измерения силы тяжести на подвижном основании /морская гравиметрия, в основном/ занимают здесь почетное место среди прочих геофизических методов. Требования точности в данном случае выступают уже в совершенно конкретной форме. Согласно современным представлениям [з], крупные структуры, перспективные на нефть и газ - соляные купола, антиклинальные складки с крутым падением крыльев - создают аномалии, достигающие 10 - 50 мГал, пологие же структуры, поиск и исследование которых также представляют практический интерес, создают аномалии интенсивностью всего 0.1 - 1.5 мГал. Чтобы четко выделять такие образования, гравиметрические измерения необходимо проводить с точностью выше 0.1 мГал. Прямые поиски нефти и газа, хотя здесь гравиразведке и не принадлежит ведущая роль, предполагают возможность обнаружения аномалий интенсивностью 0.05 - 1.0 мГал. Если обратиться к современным достижениям приборостроения в морской и аэрогравиметрии, то можно убедиться, что даже в районах шельфа съемка с точностью 0.5 и 2 мГал, соответственно, - явление скорее уникальное, нежели рядовое, так что с точки зрения практики проблема повышения точности в динамической гравиметрии представляется основополагающей.

После рассмотрения той роли, которую играет точность гравиметрических измерений, остановимся кратко на тех факторах, которые так или иначе влияют на точность. Далее речь в основном будет идти о морской гравиметрии, хотя следует заметить, что подход, развиваемый в работе , может быть использован и в аэрогравиметрии.

В.Л.Пантелеев [4] выделяет пять основных источников возникновения погрешности при измерении силы тяжести на море.

1. Динамическая погрешность гравиметра. Гравиметр как динамическая система трансформирует поступающий на него сигнал. Эта трансформация выражается прежде всего в некотором запаздывании выходного сигнала гравиметра относительно входного, но кроме таких искажений, учитываемых простым сдвигом по времени, возникают еще и амплитудные искажения, скрадывающие истинную форму аномалий гравитационного поля.

2. Неполное подавление вертикальной составляющей помехи. Действие инерциальной помехи, согласно принципу эквивалентности, идентично действию силы тяготения, и априорно отделить их друг от друга невозможно. Динамическая система гравиметра, как и любая физическая система, не может полностью подавить помеху, поэтому какая-то часть ее неизбежно проникает в выходной сигнал системы.

3. Неточности учета эффекта Этвеша. Вариации эффекта Этвеша возникают вследствие несовершенства судовождения, а учет таких вариаций затруднен неидеальностью навигационной системы.

4. Возмущения второго порядка типа кросс-каплинг эффекта. Учет таких возмущений стал применяться сравнительно недавно, и методика такого учета разработана еще не в полной мере, между тем доказано, что при определенных условиях погрешности, вносимые такого рода возмущениями, могут свести на нет любые ухищрения при устранении других источников ошибок.

5. Технологическое несовершенство аппаратуры. Приводит к возникновению таких явлений, как нелинейное смещение нуль-пункта гравиметра, не позволяющих с достаточной степенью точности предсказывать поведение прибора в промежутках между наблюдениями на опорных точках.

В настоящей работы затронуты вопросы, связанные только с двумя первыми из перечисленных факторов, а именно: с факторами, так или иначе отражающими характеристики динамической системы гравиметра. Выбор предмета исследования вполне закономерен и продиктован следующими соображениями. Несовершенства технологии, навигационных систем, систем стабилизации, пути их преодоления лежат, как правило, вне компетенции гравиметрии и затрагивают, в основном, смежные области знаний, хотя некоторый вклад гравиметрией сделан и здесь [4], динамическая система гравиметра с этой точки зрения является наиболее доступной для модернизаций, которые могли бы повысить качество гравиметрической съемки уже сегодня.

Итак, в качестве одной из задач работы можно выделить задачу понижения до минимума удельного веса ошибок, связанных с динамической системой гравиметра.

В качестве другой такой задачи можно рассматривать задачу создания системы, обеспечивающей работу гравиметрического комплекса в реальном времени, т.е. возможность экспресс-обработки поступающей информации о гравитационном поле. Актуальность этого аспекта работы также не вызывает сомнений.

Структура работы во многом является отражением тех трудностей, которые неизбежно возникают при синтезе систем, сочетающих требования точности и работы в реальном времени. Приводимое ниже краткое содержание разделов работы дает представление также и о личном вкладе автора в решение проблем, затрагиваемых исследованием.

Результаты исследования быстродействия фильтров иллюстрируют рис.22,23, параметр ^ имеет здесь то же значение, равное 0.001 с'1. Как и в случае кривых погрешности фильтрации, качественно та же картина наблюдается и при других значениях ^ . Рис. 22 соответствует рис.18,20, рис.23 - рис.19,21. Не показано быстродействия фильтра класса 3^ в 1-й области устойчивости, ибо по

- Ю4 ит 'зп<а±эпзгослэт точностным характеристикам такую модель квазиоптимального фильтра здесь приходится забраковать. Обращает на себя внимание то, что такая характеристика квазиоптимального фильтра как быстродействие здесь уже не является предельной, и даже напротив, любая модель при некоторых 0 в отношении быстродействия.-:выглядит предпочтительнее. Это объясняется тем, что, как говорилось в главе 3 настоящей работы, расположение полюсов передаточной функции квазиоптимального фильтра в комплексной плоскости близко к баттер-вортовскому, что и является причиной низкого его быстродействия /расположение полюсов субоптимальных фильтров классов 3°, з1, 4^ при =0.001 = 260 с в сравнении с полюсами соответствующего квазиоптимального фильтра показано на рис.24/, и шансов на получение моделей с более высоким быстродействием, структура которых отличается от баттервортовской, было, конечно, немало.

Проведенные исследования полученных субоптимальных фильтров позволяют уже на данном этапе сделать некоторые выводы, касающиеся таких фильтров.

1. Исследуемые классы субоптимальных фильтров имеют достаточно протяженные области устойчивости /за исключением, пожалуй, систем самой большой сложности: 5^, 6^, 5^/, чтобы попытаться применить их на практике.

2. При выполнении условия устойчивости существуют сравнительно протяженные интервалы изменения параметра & , в которых имеет место близость точностных характеристик субоптимальных систем к аналогичным характеристикам квазиоптимальных и, следовательно, оптимальных систем. Отсюда возможность использования ошо

0.005 а 1

О < Т 0 о: <с

-0005 s:

-Q0I0

1 1 1 1 --1- з1 о • .0 •з1 и0 у о 3° 1 --------------------------- 3' • •о 30 J = 0.001 .о з 9 = 260. А0* З1 0 1 1 1 1 1 1

-0025 - 0020 - 0.015 -0010 -Q005 0 Q005

ЛЕЙСГВЫТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ, С-1 рис. 2к субоптимальных систем в качестве оптимальных.

3. Среди устойчивых систем, близких по точности фильтрации к оптимальным, существуют системы, превосходящие квазиоптимальные по таким характеристикам как помехозащищенность /определяется классом фильтра/ и быстродействие. Такие системы лишены недостатков как оптимальных фильтров /субоптимальные фильтры устойчивы и имеют дробно-рациональную передаточную функцию/, так и квазиоптимальных /обладают хорошей помехозащищенностью и высоким быстродействием/, следовательно, могут быть применены на практике.

Полученный материал может послужить основой для выделения среди исследуемых классов фильтров тех из них, которые наиболее удовлетворяют тем или иным ставящимся конкретным задачам. Критерий простоты изготовления заставляет прежде всего обратиться к фильтрам минимального дефекта при минимальных порядках числителя и знаменателя передаточной функции, т.е. к фильтрам классов 3^, З1, 4Я; требованию максимальной помехозащищенности удовлетворяют фильтры максимального дефекта, т.е. классов 5^, 6^, требованию максимальности быстродействия - фильтры классов 6^, 4^; требованию близости к оптимальным по точностным характеристикам в широком диапазоне изменения времени запаздывания 112

- 3 , 4 , 3 ; требованию работы в реальном времени при нулевом запаздывании, т.е. устойчивости при условии отсутствия запаздыр вания - фильтр класса 3 ; требованию минимальности времени запаздывания при наименьшей погрешности фильтрации - 4^, З^, 41, 51, З2; и т.д.

Далее исследоваться будут только самые простые системы -3^, 4^, З1, имеющие помимо простоты еще целый ряд неоспоримых преимуществ /см. выше/. Системы большого дефекта забракованы по той причине, что требуют для своего функционирования точной настройки параметров, которая не всегда возможна на пракр тике. Система класса 3 отброшена ввиду сложности и недостаточного быстродействия, а класса - ввиду того, что область устойчивости этой системы начинается при слишком больших значениях времени запаздывания.

4.4. Передаточные функции субоптимальных фильтров: исследования на чувствительность

Поставим перед собой задачу построения субоптимальных систем с запаздыванием, производящих фильтрацию полезного сигнала с погрешностями 0.1, 0.2 и 0.5 мГал при минимальном времени запаздывания выходного сигнала фильтра относительно входного. Погрешность фильтрации, как нетрудно заметить, не определяет систему единственным образом даже при фиксированном классе фильтра, существенное значение здесь играет еще и параметр полезного сигнала J /модель помехи, как уже говорилось ранее, соответствует условиям наблюдений близким к предельным в морской гравиметрии/. Так, например, при заданном уровне точности 0.1 мГал и поле силы тяжести, определяемом 0.0002 с"*, квазиоптимальным фильтром, моделированием которого могут быть получены соответствующие субоптимальные системы, будет фильтр со временем запаздывания 0 с, т.е. система, функционирующая без запаздывания выходного сигнала относительно входного, полезный сигнал с 0.0004 с"* при точности фильтрации 0.1 мГал требует запаздывания в 150 с и т.д. /см, главу 3/. Можно было бы найти максимальное значение Y , при котором такая заданная точность еще достижима, но при этом, во-первых, время запаздывания будет равно бесконечности, а во-вторых, нельзя забывать о "модельности" представлений о поле, т.е. такая задача не адекватна тем представлениям о структуре сигналов, воздействующих на гравиметр, которые были положены в основу работы. Следует заметить также, что выбор предельных параметров по характеристикам квазиоптимального фильтра должен учитывать ухудшение точностных характеристик при переходе к субоптимальным системам, а субоптимальные системы на практике при возможной неточной настройке будут иметь еще большие отличия реальных характеристик от ожидаемых - отсюда следствие: аппроксимируемые квазиоптимальные системы должны обладать требуемыми свойствами "с запасом".

Заметим, что системы, рассчитанные на какое-то значение параметра ^ не ухудшат показателей при уменьшении этого параметра, но не будут обладать ожидаемой точностью при увеличении ^ , т.е, в случае более изрезанного поля силы тяжести или при увеличении скорости судна.

В качестве исходных при построении субоптимальных систем были приняты квазиоптимальные фильтры, рассчитанные способом, изложенным в главе 3 настоящей работы, и обладающие характеристиками: ожидаемая точность 0.1 мГал

0.001 с"1, 9 = 260 с, 6"е= 0.075 мГал; ожидаемая точность 0.2 мГал

0.0018 с"1, б = 210 с, §,=0.154 мГал; ожидаемая точность 0.5 мГал

0.004 с"1, 0 = 140 с, §е" 0.412 мГал.

Способ, предложенный в настоящей главе, дает возможность в явном виде получить коэффициенты передаточных функций субоптимальных систем. Коэффициенты передаточных функций фильтров классов 3®, 4Я, З1 приводятся в табл. 4. В этой же таблице, при условии точной настройки, даны погрешности фильтрации и быстродействие фильтров.

Исследования чувствительности - следующий этап изучения субоптимальных фильтров. Несмотря на то, что на практике получаемые субоптимальные системы могут быть реализованы различными способами, причем коэффициенты конкретных реализаций по чувствительности будут, конечно, далеки от коэффициентов исходной системы, такие исследования позволяют прогнозировать свойства конкретных систем, кроме того, нельзя забывать, что исходная система может быть реализована и "напрямую", например, в цифровом виде. Далее будет показано также, что исследования системы на чувствительность параллельно дают возможность варьирования ее характеристиками, например, возможность повышения точности за счет некоторого понижения быстродействия или наоборот, а в отдельных случаях - возможность улучшения системы по обоим пара' метрам сразу.

Уточним, что в данном случае понимается под словами "исследование чувствительности" или "исследование на чувствительность". Классическое определение чувствительности дается Воде [зб]: пусть 7(Й) - некая характеристика системы, X - вектор параметров, S^. - чувствительность системы, тогда, согласно Воде , имеем с/ J

Э Ых

2 > эс;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Во введении перечислены все основные результаты, касающиеся проведенного исследования, поэтому в качестве заключения представляется целесообразным кратко рассмотреть те направления, которые могли бы являть собой логическое продолжение темы, затронутой данной работой.

Объекты для углубленного изучения можно найти на любом этапе синтеза оптимальных фильтров, начиная с моделирования свойств полезного сигнала и помехи. В случае полезного сигнала совершенно необходимым представляется накопления статистики по различным регионам Мирового Океана и, возможно, составление атласа моделей поля аномалий силы тяжести. Несомненно, нуждается в известной доработке и модель инерциальной помехи на нижних частотах, также, как и методика моделирования помехи непосредственно в условиях гравиметрических наблюдений на борту судна.

Далее, при синтезе фильтра единственным критерием оптимальности служил критерий точности фильтрации - такой критерий качества системы, как быстродействие, носил явно вспомогательную функцию,- и следующим шагом развития теории оптимальной фильтрации стало бы создание алгоритма синтеза фильтра, оптимального по двум указанным параметрам, что, в свою очередь, невозможно без уяснения соотношения точности и быстродействия динамических систем в условиях использования их на практике.

Весьма существенной для целей практики представляется проблема идентификации динамической системы гравиметрического комплекса, и одним из направлений теоретических разработок является создание методики идентификации с использованием оптимальных тестовых сигналов. Совершенно необходимым является здесь включение в гравиметрический комплекс управляющей ЭВМ. Это позволило бы с решением проблемы идентификации легко решить и проблемы, связанные с практической реализацией фильтров с требуемыми передаточными характеристиками.

Излагаемый в работе способ синтеза фильтров, близких по точности к оптимальным с запаздыванием, существенным образом использует предположение о стационарности процессов, воздействующих на чувствительный элемент гравиметра. Невыполнение условия стационарности в случаях, например, смены курса судна и проч., приводит к тому, что переходные процессы, начинающиеся в гравиметрическом комплексе, как в динамической системе с фиксированными параметрами, вынуждают считать некондиционными наблюдения на сравнительно протяженных отрезках времени. Применение систем с перестраиваемыми параметрами - адаптивных систем -существенно повысило бы производительность гравиметрического комплекса; информация, необходимая для функционирования такой системы в данном случае может быть получена с лага и гирокомпаса. Создание таких систем также можно считать важным достижением динамической гравиметрии.

Использование информации о медленно меняющейся составляющей гравитационного поля /также привелегия адаптивных систем/ - еще один возможный путь повышения точности фильтрации полезного сигнала в морской гравиметрии. Качественно использование такой информации может быть пояснено на примере системы с переменным запаздыванием: проходя более изрезанные участки поля с большим запаздыванием выходного сигнала системы относительно входного, т.е. приближая точность фильтрации к теоретически достижимой, и уменьшая время запаздывания на "гладких" участках, можно добиться уравнивания точности фильтрации во всех точках профиля, повысив, таким образом, точность относительно какого-то среднего времени запаздывания системы с фиксированными параметрами. Эта качественная картина не дает, конечно, представления о возникающих трудностях теоретического порядка. Весьма вероятно, что калмановский подход теории фильтрации здесь будет более перспективен.

Как уже говорилось ранее, результаты работы имеют отношение, в основном, к морской гравиметрии, тем не менее предлагаемый подход к решению задачи синтеза оптимальных фильтров с запаздыванием легко может быть обобщен и на аэрогравиметрию. О прямой экстраполяции результатов, конечно,не может быть и речи, но сопоставление условий съемки позволяет сделать весьма обнадеживающие выводы. Действительно, характеристики полезного сигнала в случае аэрогравиметрических наблюдений не имеют принципиальных отличий от характеристик полезного сигнала в морской гравиметрии, а присутствие на борту самолета /или вертолета/ датчиков иной физической природы, нежели гравиметрические, позволяет надеяться, что модели помехи в области низких частот окажутся даже более обоснованными, нежели соответствующие модели в морской гравиметрии. Заметим, что исследования помехи могут оказать известное влияние и на модель полезного сигнала: может оказаться, что модели будут призваны отражать свойства сигналов в иной полосе частот, нежели в морской гравиметрии, и асимпто

-6 тика убывания спектральной плотности полезного сигнала СО окажется в данном случае непригодной. Создание моделей сигналов в аэрогравиметрии будет означать, что на пути создания оптимальных фильтров с запаздыванием в аэрогравиметрии остались лишь технические трудности, возможный способ преодоления которых предлагает настоящая работа. Результаты, полученные для случая гравиметрической съемки на море, .позволяют надеяться, что использование оптимальных фильтров с запаздыванием может быть весьма перспективным и в аэрогравиметрии.

Большую помощь при синтезе и исследовании фильтров могло бы оказать создание пакета программ работы с кратными фильтрами.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору физ.-мат. наук В.Л.Пантелееву за консультации и советы, без которых работа, возможно, никогда бы не была выполнена. Большую благодарность автор приносит также сотрудникам отдела гравиметрии ГАШ А.В.Логинову, М.Н.Ломоносову, А.А.Ражину за моральную поддержку в критических ситуациях, обсуждение некоторых аспектов работы, обеспечение практически бесперебойного функционирования ЭВМ, на которой выполнена львиная доля представляемого исследования.

1. Дубои Т. Гравитационное поле Земли. Пер. с япон.т М., Мир, 1932. 288 с.

2. Делинджер П. Морская гравиметрия. Пер. с англ.- М., Недра, 1982. 312 с.

3. Гравиразведка. Справочник геофизика /под ред. Е.А.Мудрецовой/. М., Недра, 1981. 397 с.

4. Пантелеев B.JI. Основы морской гравиметрии. М., Недра, 1983. 256 с.

5. Kailath Т. A View of Three Decades of Linear Filtering Theory. IEEE Trans, on Inf. Theory. V.IT-20, No 2,pp 146-187. (March 197^).

6. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. Пер. с нем.-М., Наука, 1982. 200 с.

7. Колмогоров А.Н. Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей. Изв. АН СССР, сер. мат.,№5, 1941.

8. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. John Wiley, N.Y., 1949.

9. Солодов А.В. Методы теории систем в задаче непрерывной линейной фильтрации. М., Наука, 1976. 264 с.

10. Калман Р., Бьгоси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания. Труды амер. общ. инж.-мех.,сер.Д,№1, 1961.

11. Волков А.С. Построение формирующего фильтра инерциальной помехи. В сб. Гравиинерциальные приборы и измерения.Тула,ТПИ,1930,с77-83.

12. В.D.O.Anderson, J,В.Moore. Solution of a Time-varying Wiener Filtering Problem. Elect.Lett, v 3, PP 562-563, Dec 1967.

13. Jazwinski A.H. Adaptive Filtering. Automatica, 1969» v 5» pp. 475-485.

14. Волков А.С. Моделирование полезного сигнала в задаче оптимальной фильтрации в морской гравиметрии. ВИНИТИ. Деп.1984. 12 с.

15. Левицкая З.Н. Оптимальные линейные алгоритмы фильтрации силы тяжести на море по экспериментальным данным. Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук. М., 1972.

16. Благовещенский С.Н., Холодилин А.Н. Справочник по статике и динамике корабля. Л.Судостроение,1975, т.1 335 е., т.2 176 с.

17. Давидан И.Н., Лопатухин Л.Й., Рожков В.А. Ветровое волнение как вероятностный гидродинамический процесс. Л., Гидрометео-издат, 1978. 286 с.

18. Луговский В.В. Нелинейные задачи мореходности корабля. Л., Судостроение, 1966. 235 с.

19. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимация. М., Мир, 1980. 608 с.

20. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М., Наука, 1968,

21. Солодов А.В., Солодова Е.А. Систеш с переменным запаздыванием. М., Наука, 1930, 384 с.

22. Soliman М.А. A New Necessary Condition for Optimality of Systems with {Dime Delay. J. of Optimization Theory and Applications, 1973, v 11, N 3, PP 249-254.

23. Харатишвили Г.Л. Оптимальные процессы с запаздыванием. Тбилиси, "Мецниереба", 1966. 84 с.

24. Roth М., Reschke D. Ein neues totzeitmodell nach PADE-Appro-ximation. Messen, Steuern, Regeln, 1974, 17, 2, 57-60.

25. Волков А.С. Возможности динамических систем с запаздыванием в морской гравиметрии. ВИНИТИ. Деп. № , 1984. 16 с.

26. Мелса Дж., Джонс Ст. -Программы в помощь изучающим теорию линейных систем управления. М., Машиностроение, 1981. 200 с.

27. Баранов В. Потенциальные поля и их трансформации в прикладной геофизике. М., Недра, 1980. 152 с.

28. Волков А.С. Расчет субоптимальных систем с запаздыванием в морской гравиметрии. ВИНИТИ. Деп. № , 1984. 22с.

29. Takashi J. On the Simplification of the Transfer Functions of Linear Dynamical Systems. J. of Dynamic Systems, Measurement and Control. 1980, v 102, no 1, p 7-12.

30. El-Sawah M.S. Optimal Higher-order System Approhimation by Second-order Model. International Conf. of Cybernetics and Society. Denver, Proc., N.Y., 1979, p. 840-844.

31. Sinha N.K., Bereznai G.T. Optimum Approximation of High-order Systems by Low-order Models. Int. J. of Control, 1971» v.14, No 5, P. 951-957.

32. Bistritz У., Langholz G. Model Reduction by Best Chebyshev Rational Approximation in the Complex Plane. Int. J. of Control, 1979, v 30, No 2, p 277-289.

33. Malinowski K., Nowosad K., Strulak M. Упрощение моделей систем методом непрерывных дробей и применение упрощенных моделей. Arch. Automat, i Telemehaniki, 1979, v 24, N 3, p 351-370.

34. Aral G., Franklin G.F. Order Reduction and Modelling of Unstable Systems by Matching Moments. In Proc. 18-th Conf. on Desision and Control. Fort "Landerdale, 1979, v 2, p 859-863.

35. Баграмянц B.O. Автоматизированный морской пружинный гравиметр ГШ.- Прикладная геофизика. М.,Недра, 1975. с. 159-170.

36. Bode H.W. Network Analysis and Feedback Amplifiers Design. D. van Nostrand Co. Inc., N.Y., 1945, p.223.

37. Rolirer R.A., Sobral M. Jr. Sensitivity Consideration in Optimal System Design. IEEE Trans, on Automatic Control, 1965,1. V AC-10, No 1, pp 43-48.

38. Ur H. Root Lotus Properties and Sensitivity Relations in Control Systems. IRE trans, on Automatic Control, 1960, 1,1. V АС-5» No 1, pp 57-66.

39. Mehra R.K. Optimal Input Signals for Parameter Estimation in Dynamic System Survey and New Results. IEEE Trans, on Automatic Control, 1974, V AC-19, No 6, pp 753-767.

40. Kuszta B., Sinha N.K. Synthesis of Optimal Input Signals for System Identification. Int. J. of System Sci., 1979»1. V 10, No 3, PP 251-258.

41. Парусников H.A. Морозов B.M. Борзов В.И. Задача коррекциив инерциальной навигации. М., Изд-во Моск. Ун-та, 1982,176 с.

42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976, 576 с.

43. Форсайт Дж., Малкольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М., Мир, 1980, 280 с.