Локальные диффеоморфизмы евклидова пространства n-пространства и геометрия ассоциированных с ними пар гиперраспределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ю

сг3

^ 22московсгат педагогический государственный

0 ^ УНИВЕРСИТЕТ имени В. II. ЛЕНИНА сг -

Диссертационный Совет к 053.01.02 -

О- ч—

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВ Геннадий Васильевич

ЛОКАЛЬНЫЕ ДИФФЕОМОРФИЗМЫ ЕВКЛИДОВА п ПРОСТРАНСТВА И ГЕОМЕТРИЯ АССОЦИИРОВАННЫХ С НИМИ ПАР ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИП

Специальность 01.01.04 — геометрия н топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена в Московском педагогическом университете имени В. И. Ленина.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор [ В. Т. БАЗЫДЕВ I

доктор физико-математических наук, профессор М. А. АКИВИС

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Л. Е. ЕВТУШИК,

кандидат физико-математических наук, доцент А. А. РЫЛОВ

Ведущая организация — Калининградский государственный университет.

Защита состоится «. Ж. .».......1995 года в часов

на заседании диссертационного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Московском педагогическом государственном университете.

Адресу 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. .Ж..!...

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета (119882, г. Москва, ул. М. Пироговская, д. 1).

Автореферат разослан «..

.л1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета V Г. А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Геометрия распределений и отображений областей евклидова пространства Е" интенсивно изучается с различных точек зрения.

Первой работой по теории распределений следует считать, вероятно, статью А.Фосса1^, посвященную исследованию свойств двумерного распределения Д в трехмерном евклидовом пространстве. В настоящее время геометрия распределений в однородных и обобщенных пространствах; изучается довольно-таки широко с различных точек зрения. Это объясняется, прежде всего, близостью теории распределений ж теории поверхностей однородных пространств, многочисленными связями этой теории с различными разделами геометрии, а также возможностью применения геометрии распределений в физике .

Теория локальных диффеоморфизмов областей евклидова Г1 -пространства составляет важный раздел современной математики, развивающийся в рамках геометрии, дифференциальной топологии и мат ематического. анализа. Диффе-ренниально-геометрический аспект этой теории связан с наличием на подмногообразии дополнительной структуры.'

В исследовании геометрии отображений многомерных евклидовых пространств большую роль сыграли работы В.Т.Базылева. Весьма плодотворной-оказалась его идея о конструктивном графике отображения*^ и неоднократно использованном его учениками.

За последнее время в рамках указанной прйблемати-ки: возрос интерес- к одновременному изучению распределений и дифференцируемых отображений.. Однако крут публикаций по указанной тематике еще достаточно узок. Здесь

1}То5$ А. ЛЛ. , 8, Н, то..

О) ' /

■Бюшгенс С.С. Геометрия стационарного потока идеальной несжимаемой яидкости//Известия академии наук СССР: Серия математическая/12,1948.-с.481-512.

*^Базнлев В.Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств//Вопроеы дифференциальной геометрии: Уч. .зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В.И.Ленина/ ЖНИ им. В.И.Ленина.-М., 1970,-I,№374.-С.41-51.

следует отметить работы Т.А.Дулалаевой (например^), которая рассматривала пару гиперраспределений в ¡^-мерном проективном пространстве. А. также работы М.Н.Марюкова .(см,., например5^) о паре р -распределений. (2¿р*и.-I) в евклвдовом ц -пространстве.

Таким образом, одновременное изучение геометрии распределений, и отображений может, составить предмет диссертационной работы, а вышесказанное подтверждает ее актуальность.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании локальных диффеоморфизмов :Е~*Е , а также в изучении, геометрии, ассоциированных с ними пар гиперраспределений в евклвдовом пространстве £ .

Конкретные задачи исследования состояли в следующем: .1) разработать структурный аппарат векторного доля, задающего диффеоморфизм ^ , и пары (А" 1 , Ди 1 )■ ассоциированных гиперраспределений;

2) выделить важнейшие специальные типы распределений

, А*и-дать их характеристики; .

3) охарактеризовать некоторые специальные типы отображений , получить их свойства.

Научная новизна заключается в постановке и разрешении перечисленных выше задач, а также в методических.приемах проводимого исследования. Впервые раскрыта геометрическая сущность векторов конформного и геодезического отображения: векторы являются .в, Еп соответственно сходящимся, и параллельным векторными поляки.

Круг .общих методов исследования включает метод.подвижного репера и внешних дифференциальных' форм Э.Картаяа. Все рассмотрения носят локальный характер, а встречающиеся

4^Дулалаева Т.А. К геометрии пары гшерраспределений в проективном пространства.//Дифференциальная геометрия многообразий фигур/Калининград, ун-т.-Калининград, 1981.-с.23-26.

5^Марюков М.Н. О геометрии пары р -распределений в евклидовом *г-пространстве//Геометрия погруженных много-образийДШШ ш.В.И,Ленина.-М.,1985.-е.-56-60.

функции предполагаются достаточно гладкими.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрии распределений и геометрии точечных соответствий между областями евклидова пространства, а также при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии в вузах, где ведутся исследования по близкой тематике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно. обсуждались на заседаниях семинаров по дифференциальной геометрии при МШИ им. В.И.Ленина под руководством проф. В.Т.Базылева (1988г.), проф. В.Ф.Кириченко (1994г.), а также на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре алгебра Т1ЯИ им.Л.Н.Толстого под руководством проф. В.Н.Безверхнего (1992-1994гг.).

Публикации. По результатам выполненных исследований имеются три публикации Г - 3 , отражающие основные результаты и основное содержание диссертации. Работы написаны без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит "из введения; трех глав основного текста, включающих 10 параграфов;..списка цитируемой литературы,из 49 наименований и изложена на 99 страницах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

' Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели" и задачи диссертационной, работы и приводится ее краткое содержание.

Первая глава "Общий случай отображения ^ "

(§§1-4) посвящена отображению ^ . когда на него

не накладывается ни каких ограничений и когда в области определенным образом' задается гиперраспределение А Вводный §1 носит преимущественно реферативный характер:

он содержит основные понятия и определения, необходимые

для дальнейшего изложения. _

Рассматриваются две области ^ и й--мерного евкли-. дова пространства и $ -диффеоморфизм области^ на

область О. , так что для точки зсьОН имеем ъ {х)б<=И . В области^ будет определено гиперраспределение Ап~1 , ортогональное прямой (хь ) в каждой точке ос. С каждой точкой ХбО. связывается репер где векторы в} при-

надлежат гиперраспределению А ~1 , а вектор би направлен вдоль прямой (х^). Далее, полагаем ()» где,

А,б,С,К=1,И и ^х-касательное линейное отображение к отображению ^ - в точке .

. "Основная система уравнений, определяющая гиперраспре-

Ал-1 т ^

, запишется в виде ':

1 X . \ . I и

гае

Дифференцируя последние уравнения внешним образом и применяя лемму Картана, получим:

После дифференцирования е- • =0, получаем ,

Рассмотрены основные дифференциальные уравнения рассматриваемого диффеоморфизма ^ : Вводится понятие тензора деформации евклидовой связности при точечном соответствии к представление векторов с£д через векторы £д .

Во втором параграфе; вычисляются компоненты тензора ЙАВ >Л£ ) и компоненты тензора деформации- .

В третьем параграфе даются определения (А , д*""* )-соп-ряженности и (-Й,, )-асимптотичности направлений, принадлежащих гиперраспределению . Выясняется геометрический смысл введенных понятий. Справедлива

ТЕОРЕМА 3.3. Если любая гладкая линия ^ , принадлежащая гиперраспределению Д является ( А , А'1" ' )-асимпто-

тической, то скалярные кривизны гиперраспределений Д*1"^

Д-ч-1

равны.

-^Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения т.-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности//В кн..

В четвертом параграфе рассматривается пересечение гиперплоскостей ^ (х ) и I" ( Ы ), где } )_ гиперплоскость, проходящая через точку -х. , а (^ ) - гиперплоскость, проходящая через точку 5 . Гиперплоскости j и ^ , в общем случае . пересекаются по (д- -2)-мерной плоскости У • Со~ казывается, что точки пересечения V и ] принадлежат плоскости, определяемой ковектором р? (теорема.4.1) , ■ где

и Т-ЗГ+^Р*..

Показано, что конусы асимптотических направлений, ассоциированные с. текущими элементами гиперр&спределений и А^ соответственно, пересекаются в плоскости У по одной поверхности второго порядка тогда и только тогда, когда любая гладкая линия, принадлежащая гиперраспределению 4" ^ » является ( )-асимптотической (теорема 4.2). Также

.л-1 ТП-1 г4

доказывается, что для Л и Л в пространстве Ь существует и притом единственное поле соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда любая гладкая линия, принадлежащая ДЛ"Г .. является ( А, )-асимптотической (следствие 4.1). Найдено необходимое к достаточное условие наличия общей соприкасающейся гиперквадрики у гшерраспределений Д*"* и Д*~1 . Это будет тогда и только тогда, когда конусы асимптотических направлений, ассоциированные с текущими элементами гшерраспределений , соответственно,

пересекаются, в плоскости У по одной поверхности второго порядка (теорема 4.4).

Рассмотрен случай параллельности гиперраспределений Л и А . Гиперраспределения Л и А параллельны тогда и только тогда, когда =0 (теорема 4.6). И в завершении параграфа, находятся условия градиентности векторного поля .Векторное поле. является градиентным тогда и только тогда, когда гиперраспределение Дп~'? вполне интегрируемо (теорема 4,7)..

ОПРЕЯЕШИЕ. Гиперраспределение называется, плос-

ким,, если все направления, принадлежащие его элементам (ос,^), будут асимптотическими.

Во второй'главе рассматривается плоское гиперраспредвле-ние и нормальная конгруэнция линий к нему, а такяв (п, -1)~ ткань линий кривизны относительно векторного поля , при-

- ь ~

надлежащая гиперраспределению ,

Пятый параграф посвящен плоскому гиперраспределению.. Имеет место

ТЕОРБМА 5.1. Нормальная конгруэнция линий к плоскому ишерр&спределешоз состоит из прямых тогда и только

тогда, когда тензор кососимметричен по индексам. I и ] .

В случае, когда -плоское, то ответом на вопрос о. том, когда /Г будет плоским, является

* * Я-'!

ТЕОРЕМА 5.3. Плоское гиперраспределение А перейдет в плоское гкперраспределение &п~1 при отображении ^ тогда и только, тогда, когда любая гладкая линия $ , принадлежащая гиперраспредёлению , является ( , АЛ~ )-асимптоти-ческой. . .

В начале шестого параграфа раскрывается геометрический смысл ковектора Д[ . Имеет место

ТЕОРМА 6.1. Соприкасающаяся плоскость линии нормальной конгруэвдии к гиперраспределению Дл ' перпендикулярна плоскости АЛ Д.л , определяемую ковектором А1 - г г

Пусть /- -ЗГ+Ле^- фокальная торса, то есть с1-РЦ . Получаем )ю*=0, где = А .С нормалью (в

общем случае, ассоциируется (л -I)-инвариантных точек, лежащих на этой нормали, и.в гиперплоскости элемента (п. -I) инвариантных направлений."Эти направления называются направлениями кривизны. Верна

ТЕОРЕМА. 6.2. (л -1)-ткань линий кривизны, принадлежащая гиперраспределеникз Д11 ортогональна, вообще говоря, тогда и только тогда, когда гиперраспределение йл~1 вполне интегрируемо.

В случае голономного А фокальные точки являются бесконечно удаленными на нормали ) точками

тогда и только.тогда, когда (и, -!)-ткань линий кривизны является асимптотической (»г -1)-тканью. . Находится условие, при котором гиперраспределение А , несущее (Я -I)-ткань линий кривизны, является сферическим:

ТЕОР0у!А 6.6. Гиперраспределение , несущее, (я- -I)-ткань линий кривизны относительно нормали (а,, ), является сферическим тогда и только тогда, когда все фокусы на данной нормали совпадают.

Также показывается, что в случае вполне интегрируемого гипер-

распределения ¿f'1 полная кривизна векторного поля равна нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из фокусов является бесконечно удаленным, (теорема 6.8).

Вводится понятие геодезической линии, принадлежащей гиперраспределению А .. Ог -1)~ткань линии кривизны и интегральные линии векторного поля образуют в области £2 сеть, которую обозначим JEл . Верна

ТЕОРЕМА 6.10. Сеть 2п является геодезической тогда и только тогда, когда Л; -0 и Aijj =0.

Вектор * сС1 ортогонален гиперраспределе-

нию (ц -Г)-ткань линий кривизны гиперраспределения Ап

переходит^ (/j. -I)-ткань линий кривизны ¡Цп~1 относительно нормали ~с?п тогда и только тогда, когда векторы ~сС\ репера Ну являются собственными векторами аффинора Aj , Также зерна ^

ТЕОРЕМА 6.14.,Если вектор а» коллинеарен вектору еп , то сферическое Д*1" переходит в сферическое .

В третьей главе "Частные случаи отображения ^ " исследуются некоторые специальные случаи, связанные с отображением j- .

Так, в §7 рассматривается тот частный случай, при котором вектор (th ортогонален векторам а.г . Имеет место

ТЕОРЕМА 7.1.-Вектор а?п перпендикулярен векторам ctl тогда и только тогда, когда плоскость f --j (-х )П ^ (у ) перпендикулярна к соприкасающейся плоскости интегральной линии векторного поля . д. -г? -

Если обозначим ef + nj » то = i>j , где

с; = - Верна;

ТЕОРЕМА 7.2. В случае перпендикулярности .векторов <Ki и &л вектора л; будут совпадать с векторами I/ тогда и только тогда, когда гиперраспределение Д'1 является 1-парамётри-ческим семейством гиперплоскостей.

В §8. исследуется конформное соответствие между областями пространства, £п . В этом случае = , где Е 0*л8~ метрические тензоры областей и: зП соответственно. Рассмотрим bQ подповерхности уровня коэффициента конформности ob - эквиконформные гиперповерхности. На эквиконформной гиперповерхности cLd,=0,u>n =0. Показывается, что эквикон-

формные гиперповерхности являются гиперсферами . Дифференцируя (1<1=с1Л1оА и ¡о^-к)^-^^ )

получаем .. .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Торсообразующим называется векторное поле ¡[А , удовлетворяющее в пространстве £ уравнениям

В зависимости от выбора и, и Д можно определить некоторые специальные виды торсообразующих векторных полей:

1) Конциркулярное векторное поле,

2) Специальное конциркулярное поле.

3) Конкуррентное (сходящееся) векторное поле.

4) Рекуррентное (параллельное) векторное поле.

5) Абсолютно параллельное (ковариантко постоянное) векторное поле.

а а£

Тогда векторное поле л <¿5 , будет сходармся. Верна

ТЕОРЕМА 8.1. Конформное отображение ^

определяет

в области £2 сходящееся: векгорнс-е поле. ■ ■

Векторное поле будет перпендикулярно к гиперефэрё и все прямые с направляющим вектором о£А, проходящие через точки.гиперсферы 5>п~'1, будут проходить через центр гиперсферы. .....

Также доказывается, что при конформном отображении ^ плоское гиперраспределение А"-'' перейдет в плоское Ту'1 тогда и только тогда, когда отображение } является подобием (теорема 8.2).

Из теоремы 8.2 вытекает __

СЛЕДСТВИЕ 8.1. Конформное отображение ^ имеет -

коэффициент тогда и только тогда, когда любая харак-

теристическая линия в области конформного отображения является -асимптотической.

Будет справедлива

ТЕОРЕМА 8.3. В случае конформного отображения интегральные линии векторного поля являются прямыми тогда и только тогда, когда гшерраспределение Дп является сферическим.

В девятом параграфе рассматривается геодезическое соответствие .При геодезическом отображении плоское гиперраспределение переходит в плоское гшхерраспре-

деление . Также при геодезическом отображении ^ -»О1 любаа гладкая линия V * принадлежащая гнпврраспрвдблв-

яизо Д*^ , является ( А*'1 )-асимптотической.

Далее рассматривается вектор геодезического преобразования евклидовой связности и подповерхности уровня коэффициента геодезичности А , которые обозначим М"'* . По аналогии с конформным преобразованием такие, поверхности назовем зквигеодезическими гиперповерхностями. На эквигео-дезической гиперповерхности- А =0, со" =0. Показывается, что эквигеодезические гиперповерхности являются гиперплоскостями, а также при геодезическом преобразовании эквигеодезические гиперплоскости перейдут в эквигеодезические гиперплоскости.

Дифференцируя А = Ад¿оА и ¿Х+Х^оо*, по-

лучаем ЛА£; = Ад Л6 ■ Справедлива

ТЕОРЕМА 9.2. Вектор геодезического преобразования является в области параллельным векторным полем.

Заключительный десятый параграф посвящен нахолздению условий голонсмности основания соответствия ^ . Более интересным из них .является второе.

Тензор = имеет простую структуру. Область

О. отнесем к ортонормированному реперу, построенному на касательных к линиям основания С,г отображения ^ , а область О. к реперу, построенному на касательных к линиям основания 6),. 1-мерные направления ДА(ДА) и Дд (¿5), являющиеся касательными.к соответствующим линиям основания соответствия, ортогональны.

Наряду с 1-мерными распределениями Аа и Ад введем дополнительные распределения ДА и ДА . Пусть -интегральная гиперпойерхнссть распределения АА голономной ортогональной систеш <Г„ . Оказывается, что интегральные поверхности У Д.-7 голономной ортогональной системы пересекаются по поверхностям, образующим сеть линий кривизны на каждой поверхности .

Будет верна .__

ТЕОРЕМА 10.2. Основание соответствия ^ голономно

тогда и только тогда, когда выполняются условия

Яи =0 (АП-,6*С , С*А)

где Не ^Чс Г*« '

Рассмотрим в ь2 сеть2и , состоящую из (>г-1)-ткани линий кривизны, принадлежащую гиперраспределению Д , и интегральных линий векторного поля . Справедлива

- 12 -

ТЕОРЕМА 10.3. Сеть «=£„ будет основанием отображения тогда и только тогда, когда интегральные линии векторного поля ё^ являются прямыми и гиперплоскости (х,) и 2" ) параллельны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Получены геометрические свойства гиперраспределения А*1 и его образа в отображении ;

2) Найдена нормальная конгруэнция линий к плоскому гиперраспределению Дп~ в случае кососимметричности Д^ к » а также ( п.-I)-ткань линий кривизны.,, принадлежащая гиперраспределению А""" ;

3) Выявлена-природа векторов конформного и геодезического отображений;

4) Найдено необходимое и достаточное условие голоном-ности основания соответствия в евклвдовом пространстве £п.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЖЕ ДИССЕРТАЦИЙ

[1] Кузнецов Г.В. Об одном способе задания сетей на подмногообразиях евклидова п. -пространства/Дифференциальная геометрия многообразий фигур/Калининград. ун-т.-Калининград, .1989, -20. -С. 45-50.

[2] Кузнецов Г.В. О субпроективных подпространствах/ Тез. докл. 3-й Межд. конф. по алгебре.-; Красноярск, 1993,-С. 191.

[3] Кузнецов Г.В. О голономности основания соответствия// Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп/ Тула, 1994.-С. 85-89..