Лучевой метод для задач распространения электромагнитных волн в средах с поглощением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

г» .-

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Татаринов Виктор Викторович

ЛУЧЕВОЙ МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СРЕДАХ С ПОГЛОЩЕНИЕМ

01.04.03 — Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного университета.

Научный руководитель — кандидат физико-математических

наук, профессор НОВИКОВ В. В. Официальные оппоненты — лауреат Государственной премии

СССР, доктор физико-математических наук, профессор БАБИЧ В. М. доктор физико-математических наук, КИСЕЛЕВ А.П;

Ведущая организация — Московский Физико-Технический Институт.

Защита состоится «22» С 9 1994 года вчас. so МИД. на заседании Специализированного Совета Д 063.57.36 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физикоматема-тических наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, г.Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького при СПбГУ.

Автореферат разослан ••23 - ОС

1994 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

/С. Т. Рыбачек/

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Идею распространения спета вдоль некоторых кривых, обычно называемых лучами, следует отнести к первым научным идеям человечества. Законы геометрической оптики (ГО) об отражении и преломлении лучей были открыты задолго до получения Дж. К. Максвеллом уравнений электромагнитного поля. Связь ГО с уравнениями Максвелла давно установлена. Известно, что геометрооптическое описание электромагнитного поля является приближенным и, вообще говоря, не всегда верным. Вместе с тем, в большинстве практических задач значение поля, вычисленного в геометрооптическом приближении, хорошо согласуется с экспериментальными данными. Это, а также "согласованность" законов ГО с "физической интуицией" исследователей, их относительная простота и обусловили широкое применение ГО. „

Со времени появления классических работ П. Дебая [1] и У. Гамильтона [2] в геометрической оптике сформулирован свой математический аппарат и очерчен круг задач в теории и практике, где он применяется [3].

Проблема нахождения лучевой траектории и напряженности поля вдоль нее была сведена к задаче интегрирования соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка [4]. В задачах прогнозирования электромагнитного поля это широко используется при пренебрежении влияния поглощения на траекторию лучей. Оценивается также и затухание волны вследствии наличия в среде поглощения. Для этого с помощью классической ГО строятся вещественные лучи и вдоль них оценивают поглощение.

Вместе с тем. используя классическую геометрическую оптику, невозможно оценить поле, просочившееся за каустику, предсказать поле в средах с относительно большим поглощением. Заметим, что сред без диссипации не бывает и пренебрежение погло-

щением средой энергии волны носит приближенный и локальный характер. В атом смысле метод, обобщающий классическую ГО — Метод комплексной геометрической оптики (КГО) более полезен.

По-видимому, впервые на возможность применения комплексных лучей и исследовании отраженного от поглощающих сред поля была указана Бреммером (5}. С тех пор и по настоящее время этот метод активно разрабатывается и осмысливается.

В целом, в развитии метода КГО можно выделить два направления:

1) гибридный подход,

2) общий подход.

На первом пути априори вводятся дополнительные предположения и после этого исследуют распространение волн. При втором подходе известные уравнения ГО обобщаются на комплексную область. Первый подход более легок с точки зрения физической интерпритадии получаемых решений. В этом смысле второй путь более труден. С другой стороны, первый путь имеет ограничения либо на "малость" поглощения, либо на иные соображения, привлекаемые извне, а для практических приложений оценка применимости получающихся формул может оказаться довольно сложной. С этой точки зрения второй путь более удобный.

Основные трудности, встречающиеся на этом пути:

1) интерпритация комплексных "лучевых траекторий",

2) нахождение нулевого члена асимптотического разложения решения уравнений Максвелла методом КГО,

3) границы применимости КГО.

Отметим также отсутствие алгоритмов в применении комплексных лучей при численных расчетах поля.

Целью диссертации являлось:

1. Сравнение решений, получающихся на комплексных характеристиках для модельных задач, с уже известными.

4

2. Нахождение амплитуды нулевого члена асимптотического разложения решения уравнений Максвелла в стационарных задачах распространения электромагнитных волн в трехмерно-неоднородных изотропных и анизотропных средах с поглощением.

3. Оценка границ применимости лучевого метода в этих задачах.

4. Построение алгоритмов для численных расчетов.

5. Проведение качественного сравнения результатов численного расчета и экспериментальных данных для подтверждения возможности использования предлагаемого метода КГО при расчете полей ДВ,СВ диапазонов, однократно отраженных от ионосферы.

Научная новизна работы и основные защищаемые положения

1. Способ нахождения нулевого члена асимптотического разложения решения уравнений Максвелла в стационарных задачах распространения электромагнитных волн п трехмерно-неоднородных изотропных и анизотропных средах с поглощением.

2. Способ нахождения следующих членов асимптотического разложения для оценки границ применимости КГО.

3. Методика численного исследования полей, отраженных от поглощающей ионосферы Земли, радиоволн ДВ и СВ диапазонов, основанная на алгоритмах, базирующихся на комплексных лучах.

Численные результаты находятся в соответствии с экспериментальными данными.

Практическая значимость работы. Результаты работы могут быть использованы при исследовании отраженных волн ДВ и СВ диапазонов на расстояниях вдоль земной поверхности 50500 км., что является одним из возможных методов для изучения нижней ионосферы.

Систематическое, с единых позиций проведенное исследование не чувствительно к изменению объекта исследования, что позволяет применять полученные математический аппарат и алгорит-

5

мы его численной реализации ко всем задачам распространения электромагнитных водн п средах с поглощением.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в Санкт-Петербургском Государственном Университете, Санкт-Петербургском отделении Математического Института им. В. А. Стеклова, Московском Физико-Техническом Институте, Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, Московском Государственном Педагогическом Университете, ИЗМИР РАН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано две работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и четырех приложений. Она содержит 140 страниц текста, 5 рисунков. Список литературы включает 70 наименований, в том числе и работы автора.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая характеристика лучевого метода в задачах распространения волн в неоднородных поглощающих средах, его развития и актуальности для практического применения, Сформулированы цели диссертационной работы и основные положения выносимые на защиту, приведены сведения о структуре работы, ее краткое содержание и основные результаты.

Первая глава посвящена лучевому методу в задачах распространения электромагнитных волн в изотропных средах с поглощением. Дебайевской процедурой уравнения Максвелла преобразуются в бесконечную систему зацепляющихся уравнений и задача построения геометрооптического приближения сводится к решению однородной системы алгебраических уравнений. Уравнение эйконала, получающееся из условия существования нетривиального решения однородной системы, принадлежит к классу

в

уравнений ГамильтОна-Якоби. Éro решение сводится к интегрированию характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, причем в качестве переменной интегрирования выбирается одна из координат.

Для плоскослоистой изотропной среды система ОДУ может быть получена в виде

dz_ da _ 1 dn dr¡> _ n

dp dp n di' dp sino'

ф — эйконал, n — коэффициент преломления. Для точечного осесимметричного источника, расположенного в начале координат на границе вакуум-поглощающая среда, а, вообще говоря, комплексно, a решение системы ОДУ должно удовлетворять начальным условиям

г !(>=<) = 0, а\р=0 = £*о, Ф\р=ч - 0.

Далее рассматриваются аналитические решения для ряда модельных задач.

Для точечного осесимметричного источника, расположенного на границе вакуум-линейный слой, в явном виде получены характеристики и эйконал вдоль них, а также решена обратная задача. В среде без поглощения в области каустической тени возникает необходимость отбора решений по принципу предельной амплитуды. В случае расположения точки наблюдения на плоскости раздела даух сред правило отбора может быть сведено к отбору решений по эйконалу, причем, как было показано, это же правило остается в силе и для линейного поглощающего слоя.

Для точечного осесимметричного источника, расположенного па границе вакуум-экспоненциальный слой в явном виде получены характеристики и эйконал вдоль них. Аналитически исследовано поведение эйконала в точках наблюдения, расположенных на плоскости 2=0, при различных углах входа лучей из источника в среду. В случае низких частот получено совпадение затухания,

7

обусловленного мнимой частью эйконала при почти вертикальных углах входа из источника, и модуля коэффициента отражения плоской волны от экспоненциального слоя при нормальном падении.

Характеристику, полученную для точечного источника, можно рассматрисать и как "траекторию" луча, отвечающему плоской волне, прошедшей через местоположение источника. Исходя из этого, сравнивалась точка поворота луча в комплексной области для экспоненциального поглощающего слоя с серединой области, существенной для отражения, полученной из точного решения для того же слоя [б]. Для численных оценок выбиралась изотропная плазма с квадратом коэффициента преломления

= (X)

где приняты стандартные обозначения:

А' = —-2 А^г), 17 = 1-Н^, ГДсо^ ш

Д'е(г) — электронная концентрация, у(г) — частота соударений электронов. В качестве модели для электронной концентрации брался экспоненциальный слой

N¿2) = Л^'-Ч (2)

Эффективная частота соударений также апроксимировалась экспонентой

"{') = кие«'-*». (3)

I/

зт, когда и> ■< V и и кг ¿—, в)

и)

квадрата коэффициента преломления (1) имеет вид

и

В случае низких частот, когда и> ■< V и I/ кг 1—, выражение для

где 7 = 5 + & — „м^иеу- Выбирались следующие значения в (2) и (3)

.У,, = 80эл/см3, 6 = 0,2км-1, ;„ = С0км, .

к„ = 4,7- 107с-', 5 = 0,15км-1, ^

что примерно соответствует Б-слою дневной ионосферы Земли. Из численных расчетов следует примерное равенство зпачешШ середины области, существенной для отражения, и значений максимумов вещественной части комплексной координаты г луча, выходящего на вещественную плоскость ; = 0, для различных углов и частот. Показано также, что наличие поглощения в ионосфере сильно изменяет траекторию луча для частот от 10 до 100 кГц (для 10 кГц высота точки поворота меппется примерно в два раза). Поглощение увеличивает пысоту точки полорота луча, с ростом частоты влияние поглощения на изменение траектории падает.

Решение уравнения переноса в общем случае может быть записано в виде [2*]

Ао = Сх[х, У, + с2(х, у, .-)Дг>, (5)

где С\ нС-2 — произвольные функции координат, называемые амплитудами пулевого члена асимптотического разложения, Ад я известные частные решения алгебраического уравнения. Из условия существования решения неоднородного алгебраического уравнения для следующего члена асимптотического разложения получается система ОЛУ для С) и Сг на характеристиках, совпадающими с характеристиками эйконала

-Г- = ¿ЗцС) + А2С2, = Рг\С\ + РпСч, ах ах

где /9,4 — переменные коэффициенты.

При возбуждении волны точечным осесимметричиым источником, расположенным на границе вакуум-плоскослоистая среда,

9

система ОДУ для эйконала и амплитуд нулевого члена асимптотического разложения может быть представлена в виде

dz _ ' <к* _ 1 дп ¡1ф _ п ^ — с в а, дг, лх - В|па. ^

где д з —. Для замыкания системы ОДУ для амплитуд С( и С% получено уравнение для производной. Второе уравнение (6) с учетом первого можно представить в виде

да 4 15« •

Дифференцируя это равенство по 2 и выделяя производную ^ вдоль характеристики, окончательно переходим к дифференциальному уравнению для д

(8)

Лх ¡¡й?7* Эгуп дг'' К >

Начальные условия ставятся на замкнутой кривой, окружающей источник (внутри »той кривой п2 = 1). Для первых трех уравнений они могут быть представлены так

= г0 = £<к^адт о{х«„ = ао

у|*=*. = ^о = Ко = + «о» я|«=«. =50 = При постановке начальных условий для последних двух уравнений (6) в качестве источника выбирался вертикальный электрический диполь, точное решение для которого в вакууме известно.

При расчетах на ЭВМ допоявительао к задаче ивтегрирова-шя уравнений (6), (В) возникает задача "нацеливания" луча из комплексного пространства в вещественную точку. Что в свою очередь разбивается на две подзадачи:

1) выход луча при заданном угле Леаа в заданной точке Rezaux (при численных расчетах задавалось ПегШ1 — 0).

2) выбор /под таким образом, чтобы JmtaM ш 0.

Очевидно, что подзадача 1 "вложена" в подзадачу 2. Для численного расчета этих подзадач применялся метод дихотомии. В целях акономии машинного времени /то0 подбиралось из результатов интегрирования первых двух уравнений (6) и только потом при найденных начальных условиях интегрировались все уравнения (6) и (8).

В качестве модели среды выбиралась плазма С алектронной концентрацией (2) и частотой соударений (3), коэффициенты в этих выражениях задавались равенствами (4). Для изотропной плазмы с поглощением, апроксимирующей ионосферу Земли,' била получена эвристическая оценка компонент воля: 0(££-), где R — комплексная длина "траектории" луча. Это легко понять, учитывая мадое отличие п от 1 почти на всем пути распространения волны в земной ионосфере. .

Во второй главе границы применимости лучевого метода предложено искать иэ оценки следующих членов асимптотического разложения. Эти члены находятся иэ неоднородных алгебраических уравнений и условий их разрешимости. Задача о нахождении n-го члена асимптотического разложения била сведена к задачам:

1) на собственные вектора и собственные значения,

2) решение системы уравнений в частных производных.

Первая задача была явно решена, а вторая преобразована к

системе" ОДУ на характеристиках эйконала.

В явном виде была построена и замкнута по процедуре аналогичной (7)—(8) система ОДУ для амплитуды первого члена асимптотического разложения в декартовой системе координат для плоскослоистых, сред. Общее число дифференциальных уравнений в полученной системе равно двадцати одному. Указано, что таким путем можно получить систему ОДУ и для других членов

и

асимптотического разложения, причем для нахождения п-го члена необходимо знать псе предыдущие (п — 1) члены разложения.

Из-за того, что уравнения Максвелла можно представить в виде двух несвязанных друг с другом систем, отвечающих полерсчпо-влектричсскому относительно координаты г (ТЕ) и поперечно-магнитному (ТМ) полям, для получения системы ОЛУ для амплитуд первого приближения в случае возбуждения поля вертикальным электрическим диполем в осесиммстричной неоднородной изотропной среде применялось асимптотическое разложение к системе уравнений Максвелла для ТМ поля. Общее число уравнений » полученной системе равно девяти. Указана связь получающихся в результате функций с компонентами поля.

Третья глава посвящена лучевому методу при распространении электромагнитных волн в средах с поглощением. После использования математического формализма, описанного в главе 1, в явном виде была получена характеристическая система С)ДУ для эйконала [1*].

Решение уравиепия переноса может быть записало в виде

■ Ло = соЗо-

Здесь со — произвольная функция, называемая амплитудой пулевого члена асимптотического разложения, а$ — известпое частное решение алгебраического уравнения.

Для определения амплитуды нулевого члена асимптотического разложения решения уравнений Максвелла в стационарных задачах распространения электромагнитных волп в трехмерпо-яеодпородных анизотропных средах с поглощением была получена относительно компактная замкнутая система ОДУ первого порядка на характеристиках, как показано, совпадающих с характеристиками эйконала. Указана процедура построения замкнутой системы ОДУ для нахождения следующих членов асимптотического разложения.

12

Для плоскослоистых сред алгоритм расчета эйконала был сведен к интегрированию системы уравпепий

« 2 . í ■ п ■ ■

j 2п smctsm/J — smnrcosasmp—--cos/J——

dy _ __и да " ¿J/jt

dx . 2 . 2 ,

2n sin acosp — smo-cosacos0——|-smp—

да dp

r. 2 . .9 3n2

2n smocosa + sm tt-r-

21 - ______da_

íix 2-2 л . , . „дп2

da ах

2n sin a cos/? — smacormcos/i——sia3~~

aa up Va;

. 2 дп1 — sm <v—— _<¿r

Ж? íh?'

2n2 sin2 a eos в - sin a cosacos/}——t-sin/3-^-r

¿ía dp

_ _2n3sma__

dx n2.2 Z ! „On* . adril'

2nsm acoso - ana cosacos o——(- sm/í—

c/e ¿//i

при /J = const Окончательно от 0 в уравнениях (9) избавиться пе-возможпо, так как /3 — есть величина комплексная, явное значение которой заранее неизвестно. В работе выписаны явные формулы для квадрата коэффициента преломления и его производных, выведенные из компонент тензора комплексной диэлектрической проницаемости (тензор магнитной проницаемости полагался единичным) для холодной плазмы.

Для точечного осесимметричного источника, расположенного в начале координат, ставятся следующие начальные условия к системе

2/|*=о = О, Z¡1=0 = °> а1*=о = <*о, = О-За счет анизотропии произошло усложнение задачи нахождения эйконала по сравнению с изотропным случаем: во-первых, появился эффект двояколучепреломления, и, во-вторых, при за-

даяии угла входа Пеад в плоскости (х, z) (Reß — 0) и произвольной ориентации магнитного поля вещественная точка выхода луча смещается га этой плоскости.

Чтобы оценить эйконал в данной точке необходимо ответить на вопрос: какие лучи приходят в избранную нами точку? Поиск ствета вылился в решение ряда подзадач:

1) фиксация луча на данном уровне Лег (исследовался случай Rex =s 0),

2) "нацеливание" луча в вещественную точку Imy = 0, Imz = 0,

3) "нацеливание" луча в данную точку (ж, у).

Причем они решались отдельно для обыкновенной и необыкновенной волн. В решении первой подзадачи ничего не меняемся по сравнению с первой главой. Для решения подзадачи два применялся метод дихотомиии при одновременном переборе Ima и Imß. Тоже справедливо и для подзадачи три, только здесь перебирались Rea и Reß.

Проведено качественное сравнение результатов численного расчета по описанному алгоритму с экспериментальными данными и теоретическими оценками. Точечный источник возбуждал волну 100 кГц. Электронная концентрация и частота соударений описаны выше. Магнитное поле Земли полагалось соответствующим 60° северной широты и не совпадающим с плоскостью Rea (Reß = 0) входа луча в среду. Основные результаты численного расчета могут быть сформулированы так:

1) точки выхода лучей, отвечающим обыкновенным волнам оказываются смещенными в область положительных у, а точкам выхода необыкновенных волн соответствовали отрицательные у. Дашшй результат согласуется с уже известным, полученным для коротких волп в непоглощакицей ионосфере {7].

2) точки поворота необыкновенного луча (понимаемые в смысле таxRez) расположены выше точек поворота обыкновенной волвы, что согласуется с теоретическими данными [8]. Высота точек поворота попадает в интервал 60-80 км., определенный эксперимен-

14

тальяо [9j.

3) как и в случае изотропной плазмы для обыкновенного и необыкновенного лучей имеет место приближенное равенство

ПеП кз Яеф, ImR « 1тф,

где Я — комплексная длина траектории. Это легко понять, используя факт малого отличия коэффициентов преломления обыкновенной и необыкновенной волн от 1 почти на всем их пути распространении в земной ионосфере.

В приложении 1 приведена система ОДУ для амплитуды первого члена асимптотического разложения в декартовой системе координат для плоскослоистых сред, отличающаяся от соответствующей системы ОДУ, полученной во второй главе, тем, что в нее входят дифференциальные уравнения первого порядка для да д*а &>а да d'à _

-rr-, тг-?, -?гт вместо -7Г-, -я-т. Эта система оказывается бо-дх ох их* dz uz azi

лее простой в том смысле, что для ее интегрирования необходимо знать коэффициент преломления вместе с первой и второй производной по г, тогда как для интегрирования ранее полученной

03п д*п

системы дополнительно требуется и -тг-г-

0zi dz'

В приложении 2 приведена замкнутая система ОДУ для амплитуды первого приближения d случае возбуждения поля вертикальным магнитным диполем в осесимметричной неоднородной изотропной среде и указана связь получающихся в результате интегрирования функций с компонентами поля.

В приложение 3 вынесен явный вид коэффициентов системы ОДУ, полученной в третьей главе для амплитуды нулевого члена асимптотического разложения в стационарных задачах распространения электромагнитных волн в трехмерно-неоднородных анизотропных средах с поглощением.

В приложении 4 рассматривается вопрос об интерпритации комплексных лучей. Система уравнений, полученная после прн-

15

ыеяения метод» характеристик к обычному уравнению эйконала, разделенному на вещественную и мнимую части, оказывается намного сложнее соответствующей системы, вытекающей из метода КГО. Проводится обсуждение возможных интерпритаций полученных систем уравнений. Делается вывод о том, что комплексные лучи есть очень удобный математический аппарат для построения физически понятного решения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты работы могут быть сформулированы так:

1. Построены замкнутые системы ОДУ первого порядка для нахождения нулевого члена асимптотического разложения решения уравнений Максвелла в стационарных задачах распространения электромагнитных волн в трехмерно-неоднородных изотропных и анизотропных средах с поглощением.

2. Границы применимости лучевого метода предложено искать из оценки следующих членов асимптотического разложения. Для изотропных сред получены соответствующие ОДУ, для анизотропных указала процедура построения и замыкания аналогичных систем ОДУ.

3. Построены алгоритмы для проведения численных расчетов.

4. Предложена методика, использующая комплексные лучи, для численных исследований зондирования нижней ионосферы Земли волнами ЛВ и СВ диапазонов. Показано, что для радиоволн этого диапазона использование комплексных лучей для исследования полей, отраженных от поглощающей ионосферы, возможно, так как имеется качественное согласие результатов численного расчета с экспериментальными данными и теоретическими оценками.

Основные научные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы В следующих работах:

1б

1*. Татаринов В. В. Лучевой метод для задач распространения электромагнитных волн в анизохрпных средах с поглощением. // Вестн. С.-Петербургского ун-та, Сер. 4: Физика, Химия, 1993г., Вып. 3 (№18) С. 83-87.

2*. Татаринов В. В. Лучевой метод в изотропных средах с поглощением // Вестн. С.-Петербургского ун-та, Сер. 4: Физика, Химия, 1994г., Вып. 1 (№4), С. 20-28.

17

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Debay Р. Примечание к статье: Sommerfeld А., Runge Y. Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen Geometrischen Optik // Ann. Pliys., 1011, Vol. 35, p. 277.

2. Hamilton W. R. Matkematical Papers. Cambridge Univ. Press, pt. 1, 1931; pt. 2, 1940.

3. Дешамн. Лучевые методы в теории электромагнетизма // ТИИЭР 1972г., Т. СО, №9, С. 5 -20.

4. Лукин Д. С., Спиридонов Ю. Г. Применение метода характеристик для численного расчета амплитуды поля в неоднородной нелинейной среде // РЭ, 1969г., Т. 14, №9, С. 1673-1677.

5. Breauner Н. Terristorial Radio Waves. N.-Y.: Elsevier, 1949, pp. 144-182.

6. Budden K.G. Radio Waves in tLe Ionosphere. Cambridge Univ. Press, 1961.

7. АяьпертЯ.Л. Распространение радиоволн и ионосфера. М.: Изд. АН СССР, 1960г., 480 с.

8. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд. М.: Наука, 1967г., 684 с.

9. Кокогроп А. В., Петрухин В. Ф. Экспериж-нталььое зондирование нижней ионосферы в СДВ-диапазоне // Исслед. по геомагн. аэрон, и физ. Солнца, Москва, 1980г., №51, С. 123-130.

1S