Макроскопические квантовые когерентные эффекты, индуцированные нестационарным магнитным полем в динамике высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Плохое Дмитрий Игоревич

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ ЭФФЕКТЫ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В ДИНАМИКЕ ВЫСОКОСПИНОВЫХ МАГНИТНЫХ НАНОКЛАСТЕРОВ,

МОЛЕКУЛ И ИОНОВ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2004

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Звездин Анатолий Константинович

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Николаев Павел Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Попов Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Мухин Александр Алексеевич

Ведущая организация: Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН

Защита диссертации состоится » 2004 года в часов на

заседании диссертационного совета К 501.001.17 на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета М1~У им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

Поляков ПА. Поляков ПА.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы интерес к проблематике, связанной с динамикой спиновых систем, получил значительный импульс. Во многом это связано с недавними открытиями макроскопического квантового туннелирования намагниченности, молекулярной бистабильности и квантового гистерезиса, нового типа магнитных осцилляции, связанных с фазой Берри. Эти мезоскопические эффекты обнаружены в так называемых системах с гигантским спином, системах магнитных нанокластеров (высокоспиновых магнитных молекул) Мп12 и Fe8, обладающих в основном состоянии спином, равным 10.

Очевидно с связи с этим, что исследование высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов представляет несомненный фундаментальный интерес, поскольку данные объекты являются источниками новых явлений, новых эффектов и новых свойств материи. Особое внимание привлекают вопросы, связанные с макроскопической квантовой когерентностью, квантовыми измерениями в спиновых системах и механизмами разрушения квантовых корреляций за счет взаимодействия с окружением, в особенности при переходе от микро- к макрообъектам.

Высокоспиновые магнитные нанокластеры, молекулы и ионы также представляют значительный практический интерес для магнитной наноэлсктроники (спинтроники) и квантовой информатики. Предлагается использовать нанокластеры с гигантским спином как бистабильные элементы для молекулярной памяти будущих поколений. Эти же системы интересуют специалистов по квантовым компьютерам как перспективные реализации кубитов - элементарных ячеек хранения информации при квантовых вычислениях.

Управлять состояниями высокоспиновых магнитных ианокластеров, молекул и ионов предполагается с помощью магнитных (в т.ч. и нестационарных) полей, поэтому исследование динамических свойств указанных систем является актуальным.

Динамика высокоспиновых магнитных молекул, находящихся в кристаллическом поле с симметрией типа «легкая ось», исследована весьма подробно. Вместе с тем изучению магнитных свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов,

симметрией типа «легкая плоскость», до настоящего времени уделялось недостаточно внимания.

В настоящей работе исследуется поведение именно таких магнитных нанокластеров, молекул и ионов с большим спином в нестационарном магнитном поле. Согласно уравнениям Максвелла, такое поле создает вихревое электрическое поле, которое существенно влияет на симметрию системы и является причиной возникновения новых квантовых эффектов в динамике спиновых систем с гигантским спином.

Целью работы является изучение динамики анизотропной квантовой системы с большим спином, находящейся в магнитном поле, напряженность которого изменяется с течением времени. Такое поле создает вращающий момент, действующий на спин и индуцирующий его прецессию, и, таким образом, выявляет новые черты в динамике спиновой системы.

В работе решались следующие задачи:

1. Исследование динамики квазиклассического спина (спинового момента высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул или ионов, обладающих симметрией кристаллическою поля типа «легкая плоскость») в нестационарном магнитном поле.

2. Описание макроскопических квантовых когерентных эффектов в динамике высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

3. Разработка методов компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

4. Описание новых возможностей использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях.

5. Исследование диссипативной динамики высокоспиновых магнитных нанокласхеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях и изучение механизмов потерь квантовой когерентности.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней

1. Исследована динамика анизотропной высокоспиновой квантовой системы в магнитных полях, нарастающих (убывающих) пропорционально времени, а также в полях, имеющих, кроме линейной, еще и гармоническую составляющую.

2. Предсказан ряд новых макроскопических когерентных квантовых эффектов в динамике квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле: образование зонного энергетического спектра с непрерывными спиновыми состояниями, спиновые осцилляции блоховского типа, межзонное зенеровское туннелирование, резонансы штарковского типа.

3. Разработаны программы, позволяющие проводить компьютерное моделирование динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов, обладающих различными типами магнитной анизотропии легкой плоскости в нестационарных магнитных полях, зависящих от времени по произвольному закону.

4. Описаны новые возможности использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях, показаны возможности практической реализации кубита, проанализированы возможности выполнения логических операций (вентилей), возможности воздействия на кубит при записи и считывании информации, а также возможности организации управляемого взаимодействия между ними, проведено обсуждение декогерентизации при выполнении квантовых вычислений.

5. Количественно изучены механизмы потери квантовой когерентности в динамике магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях при взаимодействии с диссипативным окружением, рассчитана ширина линии спиновых осцилляции блоховского типа, даны оценки времени декогерентизации, разработаны подходы построения диссипативной динамики указанных спиновых систем на основе использовании феноменологической модели Калдейры-Леггетта и решения квантового уравнения Ланжевена.

Практическая ценность работы заключается в том, что развиваемая в ней теория открывает новые возможности использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях в качестве кубитов, а

также описывает их свойства, понимание которых играет важную роль в применении высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в других приложениях (доставка лекарств к внутренним органам, магнитная холодильная техника, системы визуализации и др.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Основные уравнения квантовой динамики высокоспииовых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

2. Спектр гамильтониана спиновой системы с большим спином в магнитных полях, зависящих от времени, макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике квазиклассического спина.

3. Методы компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

4. Уравнения, определяющие логические состояния кубита, реализованного на высокоспиновых магнитных нанокластерах, молекулах и ионах, а также алгоритмы выполнения логических операций с использованием таких кубитов.

5. Основные уравнения диссипативной динамики высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных Maraитных полях.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Функциональные материалы - 2001» (ICPM-2001. Крым, Партенит); Первой всероссийской конференции «Высокоспиновые молекулы и молекулярные ферромагнетики» (Московская область, 2002); Московском международном симпозиуме по магнетизму (MISM-2002, Москва); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (НМММ-18, Москва, 2002); Международном семинаре «Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах» (Астрахань, 2003); Международной конференции «Функциональные материалы - 2003» (ICFM-2003, Крым, Партенит); научных семинарах Физического факультета МГУ, Института общей физики РАН, Физического института РАН, Института физических проблем РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации работы опубликованы в 9 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 125 страниц, включает 18 рисунков и 88 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель работы, описана структура диссертации, изложены основные научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается. обзор макроскопических квантовых когерентных эффектов типа блоховских осцилляции и зенеровского туннелирования, возникающих в динамике ансамбля блоховских электронов в кристалле под действием внешнего постоянного электрического поля и в динамике джозефсоновского туннельного контакта малой емкости, через который протекает внешний электрический ток. Эти эффекты аналогичны эффектам в динамике квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле, рассмотренным в первой главе. Для каждой из указанных систем подробно анализируется физическая сущность макроскопических квантовых когерентных эффектов, а также обсуждаются их экспериментальные наблюдения в полупроводниковых сверхрешетках и джозефсоновских туннельных переходах.

Вторая глава посвящена исследованию динамики высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях. Глава начинается с вводных замечаний, касающихся классической динамики магнитного момента в нарастающем (убывающем) пропорционально времени внешнем магнитном поле, а также в кристаллическом поле, обладающем симметрией типа «легкая плоскость», в которой имеется небольшая (тетрагональная) анизотропия. Показано, что, в зависимости от скорости изменения внешнего магнитного поля,

магнитный момент может находиться в локализованном и делокализованном по азимутальному углу состояниях, отвечающих соответственно отсутствию и наличию прецессии магнитного момента.

В квантовой динамике имеется возможность туннельного перехода между локальными минимумами потенциальной энергии магнитного момента в магнитном и кристаллическом полях. Таким образом, классические локализованные состояния уже не являются локализованными в строгом смысле этого слова. Для адекватного описания явления квантового туннелирования магнитного момента необходимо привлекать аппарат квантовой теории.

Во втором параграфе второй главы проводится систематическое исследование динамики анизотропной квантовой высокоспиновой системы, находящейся под действием нестационарного магнитного поля. Для описании эволюции спинового момеота удобно использовать аппарат когерентных квантовых состояний где - соответственно полярный и азимутальный углы спинового момента. Из

спинового гамильтониана системы [2] может быть получен лагранжиан системы. Оказывается, что в не очень сильных магнитных полях задача описания динамики квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле может быть сведена к решению одномерной задачи, выводу гамильтониана которой, а также исследованию его свойств и посвящен второй параграф второй главы.

Важно отметить, что в динамической группе симметрии полученного гамильтониана отсутствует симметрия относительно преобразования где

п - целое число. Это приводит к нарушению граничных условий 1у(/р + 2п) = у(<р) и, соответственно, стандартного квантования спинового момента. Состояния и

являются физически рахчичимьши. Этот факт очевиден, поскольку изменяющееся с постоянной скоростью магнитное поле порождает стационарное вихревое электрическое поле, работа по замкнутому контуру в котором не равна нулю. Отсюда следует, что повороты <р-*<р+2т, а также повороты по и против часовой стрелки не являются эквивалентными.

Уравнение Шредингера с полученным гамильтонианом квазиклассического спина сводится к уравнению Матье, из теории которого известно [3], что энергетический спектр гамильтониана имеет зонную структуру. Это означает, что собственные значения гамильтониана являются функциями, определенными в

8

соответствующих зонах Бриллюэна. Во втором- пункте параграфа приводятся формулы, достаточно точно описывающие спектр гамильтониана квазиклассического спина. Что же касается собственных состояний' этого гамильтониана, то они выражаются функциями Блоха.

В третьем параграфе второй главы обсуждаются макроскопические квантовые когерентные эффекты, индуцируемые нестационарным магнитным полем в динамике квазиклассического спина. Динамика магнитного момента рассматривается для случая адиабатически медленного изменения магнитного поля. В этом случае следует рассматривать динамику волнового пакета, составленного из собственных состояний полученного ранее гамильтониана квазиклассического спина. Волновой пакет под действием магнитного поля движется в зоне Бриллюэна, испытывая брэгтовские отражения на границах энергетической зоны, и поэтому совершает колебательное движение блоховского типа. При достаточно больших скоростях нарастания магнитного поля становятся возможными зенеровские туннельные переходы волнового пакета между соседними энергетическими зонами. В параграфе выводятся уравнения движения волнового пакета, позволяющие рассмотреть количественно проявления макроскопических квантовых когерентных эффектов. В случае свободной прецессии спина происходит экранирование вклада парамагнитной восприимчивости иона, и средний магнитный момент системы не зависит от величины приложенного поля. Наличие блоховских осцилляции приводит к появлению характерных скачков (ступенек) на кривой намагничивания системы. Рассчитаны положения и высоты эт их ступенек как в случае отсутствия, так и в случае наличия зенеровского туннелирования. Сформулированы условия экспериментального наблюдения указанных эффектов. Далее проведено описание отличительных особенностей динамики спиновых систем с тетрагональной и гексагональной анизотропией. Показано, что для таких систем ускоренная прецессия спина под влиянием нарастающего (убывающего) магнитного поля экранирует вклад парамагнитной восприимчивости частицы не полностью, что выражается в отсутствии горизонтальных участков на кривой намагничивания.

Описаны также особенности динамики квазиклассического спина в магнитном поле, имеющем гармоническую составляющую. Показано, что при соразмерности частоты внешнего воздействия и частоты блоховских осцилляции возникают

особенности кривой намагничивания, имеющие в своей основе резонансный xapaicгep. В случае сильного гармонического воздействия имеется коллапс энергетических зон, приводящий к локализации спиновых состояний.

Рисунок 1. Кривые намагничивания и пики магнитной восприимчивости в зависимости от величины магнитного поля для случая орторомбической азимутальной анизотропии Слева -с!В1<к = 0,5 • 10" Э/с „ вероятность зенеровского туннелирования пренебрежимо мала; справа -</бДЛ = 1,5-10" Э/с, имеет место зенеровский туннельный эффект, приводящий к гистерезису. Здесь и далее магнитный момент выражен в расчете на одну частицу в единицах магнетона Бора, магнитное поле измеряется в единицах приращения за один период блоховских осцилляции.

Рисунок 2. Кривая намагничивания для случая тетрагональной азимутальной анизотропии, ¿в/л В основной энергетической зоне имеют место блоховские

осцилляции. Вероятность зенеровского туннелирования отлична от нуля.

Третья глава посвящена компьютерному моделированию динамических свойств высокоспиновых магнитных молекул, кластеров и ионов в нестационарных магнитных полях. Описанные во второй главе новые квантовые когерентные эффекты

в динамике квазиклассического спина, находящегося в кристаллическом поле типа "легкая плоскость" под влиянием нестационарного магнитного поля (блоховские осцилляции в. прецессии спина, и зенеровское туннелирование) детально были исследованы для случая целого спина. Между тем, в работе [4] указано на,то, что различия в поведении целого и полуцелого спинов в магнитных полях имеют место и в квазиклассическом пределе. Вопрос о деталях таких различий является открытым. Целью настоящей главы является рассмотрение динамики указанной выше спиновой системы с использованием численных методов решения уравнения Шредингера.

Для удобства выполнения расчетов уравнение Шредингера рассмагриваемой спиновой следует обезразмерить. В качестве единицы измерения времени естественно выбрать величину периода блоховских осцилляции, а в качестве единицы измерения магнитного поля - величину его приращения за один период.

Решение полученного уравнения ищется в виде разложения по собственным функциям оператора . В этом случае уравнение Шредингера сводится к системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с зависящими от времени коэффициентами. При формулировке начальных условий предполагается, что в момент включения поля магнитный момент нанокластера (молекулы или иона) может быть ориентирован в пространстве произвольным образом. Поворотом системы координат вектор магнитного момента совмещается с осью аппликат, и тогда очень легко определяются коэффициенты разложения в начальный момент времени. Переход к исходной нештрихованной системе координат производится с помощью D-матриц Вигнера [5].

Таким образом, имеем полностью определенную задачу Коши. Точное аналитическое решение она допускает лишь в случае отсутствия азимутальной анизотропии в легкой плоскости, во всех остальных случаях приходится прибегать к численному решению. Стоит отметить, что наибольший интерес представляет не динамика одного спинового состояния, а динамика волнового пакета, составленного из достаточно большого числа таких состояний, отличающихся начальными ориентациями спинового момента. Обычно выбирается пакет состояний, нормально распределенных около равновесного направления спинового момента.

Расчеты проводятся по следующей схеме. На первом этапе задается система дифференциальных уравнений для действительных и мнимых частей коэффициентов

разложения. На втором этапе расчетов для действительных и мнимых частей коэффициентов определяются начальные условия. Затем, на третьем этапе, решается поставленная задача Коши. На основе метода Рунге-Кутта 4-5-ого порядков [6] в вычислительной среде MAPLE были разработаны программы, позволившие решить вышеупомянутую систему дифференциальных уравнений, получить явные зависимости для коэффициентов разложения и, тем самым, описать эволюцию спиновых состояний. На четвертом этапе рассчитывается среднее значение любой наблюдаемой физической величины, например,- магнитного момента, как функции' времени.

На рисунке 3 представлены зависимости среднего значения оператора магнитного момента частицы Мг от величины магнитного поля, полученные на основе теории, развитой во второй главе, и в результате численных расчетов. Хорошо видно, что результаты непосредственного численного расчета, основанного на решении уравнения Шредингера, согласуются с предсказаниями теории. Небольшие отличия объясняются тем, что при формировании волнового пакета используется конечный набор состояний (обычно несколько десятков). Увеличение числа используемых состояний приводит к неоправданным затратам времени на выполнение всех необходимых вычислений.

Рисунок 3. Кривые намагничивания для случаев: слева - целого (S = 10) спина, начальная ориентация центра волнового пакета S0 =(5,0,0); справа - полуцелого (5 = 19/2) спина, начальная ориентация центра волнового пакета Константы анизотропии

скорость нарастания магнитного поля ширина

волнового пакета

В четвертой главе обсуждаются возможности практического использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в качестве (магнитных) кубитов при квантовых вычислениях. Алгоритмы обработки информации, опирающие на законы квантовой, а не классической, физики, позволят решить многие вычислительные задачи, непосильные для «обычных» классических компьютеров, построенных на транзисторных схемах. Для таких классических схем существует дваЛ состояния, заметно отличающихся друг от друга своими характеристиками, например, величиной тока или напряжения. Эти состояния реализуют логический' ноль (соответствующий, например, отсутствию тока) и логическую единицу (наличие тока). В квантовых компьютерах информация хранится в кубитах, двухуровневых квантовых системах. Состоянию с энергией можно придать значение

логического нуля, а состоянию с энергией Е,>Е0 - значение логической

единицы.

В последние годы предложен ряд квантовых двухуровневых систем, которые могли бы стать физической реализацией кубита: ионы и молекулы в электромагнитных ловушках, переходы Джозефсона, ядерные спины в жидкостях,

31 р

ядерные спины атомов в кристаллическом кремнии, спины электронов в квантовых точках, созданных в двумерном электронном газе в гетероструктурах ОаЛ8, квантовые системы Холла, электроны в сверхтекучем гелии, фуллерены и др.

Каждый кандидат на роль кубита должен удовлетворять определенному набору общепринятых требований, так называемых критериев ди Винченцо. Во-первых, должна иметься возможность создания систем многих контролируемых кубитов, каждый из которых обладает двумя дискретными энергетическими уровнями. Во-вторых, должна иметься возможность приведения кубитов компьютера в основное состояние. В-третьих, должна имеется возможность преодоления эффектов потерь квантовой когерентности (декогерентизации). В-четвертых, должна иметься возможность реализации логических элементов (вентилей), достаточных для выполнения произвольной логической операции. И, наконец, в-пятых, должна-иметься возможность надежного измерения состояния кубитов по окончании вычислительного процесса.

Все вышеперечисленные системы в той или иной степени удовлетворяют указанным требованиям, однако «идеальный» кубит пока не найден. Поэтому

проблема поиска систем, пригодных для создания квантовых компьютеров, остается актуальной.

В настоящей работе предлагается использовать в качестве возможной реализации кубита высокоспиновые магнитные наночастицы (молекулы, нанокластеры или ионы) с симметрией кристаллического поля типа легкая плоскость. Их использование имеет ряд преимуществ. В настоящее время существует освоенная технология создания магнитных наночастиц обладающих достаточно большим спином (8 ~ 10.. .100), которым легче управлять, нежели малыми спинами традиционных частиц. Кроме того, магнитные частицы могут обладать значительной магнитной анизотропией, в силу чего два наиболее низко лежащих энергетических уровня частицы отделены друг от друга большой по величине энергией. Геометрические размеры частицы позволяют изменять ее положение в пространстве с помощью методов сканирующей туннельной микроскопии. Это обстоятельство имеет исключительную значимость в свете необходимости располагать частицы в определенном порядке, требуемом при реализации логических элементов. И, наконец, проявление в динамике таких частиц в нестационарных магнитных полях макроскопических квантовых когерентных эффектов свидетельствует о возможности достижения режима когерентной динамики уже на макроскопических микрометровых масштабах.

Инициализацию кубитов можно выполнять приложением однородного постоянною магнитного поля, направленного перпендикулярно оси трудного намагничивания. Управление состояниями магнитных частиц предполагается осуществлять с помощью сверхпроводящих токовых петлей, создающих нестационарные магнитные поля, способные изменять положение уровней энергетического спектра магнитных частиц. Вблизи точек пересечения энергетических уровней (точки вырождения) магнитное поле осуществляет поворот в спиновом пространстве, необходимый для реализации однокубитовых логических операций (вентилей), таких как вентиль НЕ, вентиль Адамара и др. Двухкубитовые вентили (контролируемое НЕ и др.) исполняют, воздействуя на два взаимодействующих между собой кубита: при этом посредством взаимодействия один кубит контролирует эволюцию другого. Непосредственное диполь-дипольное взаимодействие магнитных частиц, хотя и достаточное по величине, не обеспечивает

управляемость связи между кубитами, поэтому взаимодействие частиц вводится искусственно посредством дополнительной системы токовых петлей. Джозефсоновские переключатели позволяют связывать (управляемым образом) два любых кубита. Эти же токовые петли могут использоваться для измерения состояний кубитов по окончании вычислений.

Обсуждаются также вопросы, связанные с декогеренизацией состояний кубитов. Приводятся оценки времени декогерентизации, показывающие применимость .методов квантовой коррекции ошибок, как фазовых, так и амплитудных.

В пятой главе рассматривается диссипативная динамика высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарном магнитном поле. Первый параграф главы посвящен исследованию диссипативной динамики магнитного кубита при помощи спин-бозоиного гамильтониана [7]. Дается обзор точно решаемых моделей декогерентизации, которые могут быть применимы к рассматриваемой задаче лишь в случае отсутствия азимутальной анизотропии в легкой плоскости.

В случае наличия азимутальной анизотропии рассмотрение является достаточно простым при условии слабой связи магнитного кубита с диссипативным окружением. Действие последнего на динамику кубита можно рассматривать тогда как малое возмущение. Рассматриваемая задача аналогична задаче о динамике частицы со спином 'А в магнитном поле в теории ядерного магнитного резонанса. Использование этой аналогии позволяет получить уравнения Блоха для среднего значения спинового момента частицы.

Времена Тх и Т2 определяются процессами, в которых система совершает переходы между собственными состояниями 61 (т.е. между основным четным состоянием и возбужденным нечетным состоянием), с поглощением или испусканием. кванта энергии окружения. Непосредственные вычисления по теории возмущения показывают, что, с точностью второго порядка относительно константы связи кубита и окружения, как и следовало ожидать, равны.

При некоторой температуре имеется переход к режиму сильного

загухания. При характерной особенностью поведения системы является

медленная экпоненциальня релаксация, скорость которой убывает с увеличением температуры. Такое поведение обуславливается возрастающей эффективностью взаимодействия системы с окружением, разрушающего фазовую когерентность, необходимую для переходов кубита между энергетическими уровнями.

Рассмотрение на основе уравнений Блоха привлекает своей простотой, однако, очевидно, является недостаточно строгим. Альтернативный подход основан на рассмотрении в качестве малого константы азимутальной анизотропии, а не константы затухания. Использование золотого правила квантовой механики позволяет рассчитать в этом случае время декогерентизации.

Очевидно, что в общем случае динамику высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов нельзя сводить к динамике двухуровневой системы, и поэтому результаты, полученные в первом параграфе пятой главы имеют ограниченную область применимости. Для исследования диссипашвной динамики магнитных частиц необходимы более общие методы. Весьма простым и эффективным является подход, основанный на решении квантового уравнения Ланжевена [8].

Интенсивность взаимодействия квантовой спиновой системы с диссипативным окружением характеризуется с помощью параметра затухания, сопоставляющего время релаксации с собственной частотой системы.

В случае сильного затухания при малых значениях скорости нарастания магнитного поля магнитный момент остается равным нулю, однако при увеличении скорости нарастания поля выше некоторого порогового значения, магнитный момент начинает осцилляровать с периодом, уменьшающемся с увеличением скорости нарастания магнитного поля. Следует, однако, заметить, что характерного в данной задаче набора параметров, величина пороговой скорости нарастания магнитного поля превышает 1012 Гс/с.

Естественно ожидать, что в случае слабой диссипации наиболее заметно проявляются квантовые эффекты. Поскольку свойства процесса блоховских осцилляции непосредственно определяют характерные свойства кривой намагнивания, важным и интересным является вопрос о том, как диссипация сказывается на этом квантовом когерентном эффекте. Совершенно очевидно, что с течением времени квантовая когерентность утрачивается. Это приводит к тому, что блоховские осцилляции исчезают. Однако если затухание является достаточно

слабым, то в течение некоторого промежутка времени когерентные эффекты по-прежнему играют доминирующую роль в динамике системы. При этом частота блоховских осцилляции становится зависящей от величины магнитного момента, и, соответственно, блоховская линия приобретает конечную ширину.

Если температура достаточно мала, то система будет находиться в основной энергетической зоне. Если скорость изменения внешнего магнитного поля не превышает некоторого порогового значения, то уравнение движения квазиспина допускает существование статических решений, означающих отсутствие в системе спиновых осцилляции блоховского типа. При увеличении скорости изменения магнитного поля происходит возбуждение блоховских осцилляции, причем их частота становится зависящей от величины проекции магнитного момента системы на направление магнитного поля. Оценки показывают, что пороговая величина скорости нарастания магнитного поля является малой по сравнению с величинами скорости нарастания магнитного поля, характерными для динамики рассматриваемых спиновых систем (см. гл. 2).

Флуктуации квазиспина весьма удобно представлять как результат воздействия на систему некоторого зависящего от времени по случайному закону эффективного магнитного поля. Для нахождения спектральной плотности и корреляционной функции этой случайной обобщенной силы следует использовать теорему Каллена-Вельтона

Для расчета ширины линии блоховских осцилляции следует провести линеаризацию уравнения движения квазиспина, перейти к Фурье-представлению, и тогда получаемое выражение для спектральной плотности скорости изменения квазиспина позволяет найти искомую величину. Оказывается, что для случая достаточно больших скоростей нарастания магнитного поля (по сравнению с пороговым значением) ширина линии блоховских осцилляции оказывается прямо пропорциональной температуре и обратно пропорциональна четвертой степени скорости нарастания магнитного поля.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты и выводы:

1. В работе показано, что магнитное поле, возрастающее (убывающее) пропорционально времени, индуцирует новые когерентные квантовые эффекты в динамике анизотропной спиновой системы. К таковым относятся: образование зонного энергетического спектра с непрерывными спиновыми- состояниями, квазиблоховские осцилляции и межзонный зенеровский туннельный эффект. Эти квантовые эффекты проявляются в виде характерных скачков намагниченности и пиков восприимчивости в рассматриваемой спиновой системе.

2. Разработаны методы компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных молекул, кластеров и ионов в нестационарных магнитных полях. Описаны теоретические основы и алгоритмы компьютерного моделирования, проведено обсуждение полученных в ходе компьютерного моделирования результатов, которые сопоставлены с результатами последовательного теоретического рассмотрения. Результаты численного расчета свидетельствуют о хорошей точности теории применительно к описанию динамики большого как целого, так и полу целого, спина в нестационарном магнитном поле.

3. В работе описаны новые возможности практического использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в качестве (магнитных) кубитов при квантовых вычислениях. Подробно рассмотрены логические состояния, инициализация магнитных кубитов, а также алгоритмы реализации с их помощью основных одно- и двухкубитных логических операций. Проведено обсуждение вопросов, связанные с декогерентизацией и измерением состояний магнитных кубитов.

4. В работе изучена диссипативная динамика высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарном магнитном поле. На основе спин-бозонного гамильтониана исследована диссипативная динамика магнитного кубита: подробно рассмотрен случай слабой связи кубита с диссипативным окружением, а также общий случай при помощи золотого правила квантовой механики. На основе квантового уравнения Ланжевена изучена диссипативная динамика квазиклассического спина в нестационарных магнитных полях, наиболее обстоятельно рассматривается влияние диссипативного окружения на когерентность квантовых макроскопических эффектов в динамике квазиклассического спина.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Plokhov D.I., Zvezdin A.K. Large-spin nanoclusler systems induced by time-dependent magnetic field. // Functional materials. 2002. Vol. 9. No. 1, pp. 101-104.

2. Звездин А.К., Плохое Д.И. Нелинейная динамика квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле. //ЖЭТФ. 2003. Т. 124. Вып. 1(7), с. 96-104.

3. Звездин А.К., Плохое Д.И. Использование высокоспиновых магнитных частиц в квантовых вычислениях. // Кратк. сообщ. по физике ФИАН. 2004. Вып. 1, с. 9-15.

4. Plokhov D.I., Zvezdin A.K. Large-spin nanocluster systems under the influence of a time-dependent magnetic field. // Book of Abstracts of International Conference "Functional Materials". Partenit, 2001, p. 208.

5. Звездин А.К., Плохое Д.И. Квантовые макроскопические когерентные эффекты в системах высокоспиновых молекул. // Сборник тезисов- Всероссийской конференции "Высокоспиновые молекулы и молекулярные ферромагнетики". Москва, 2002, с. 10.

6. Zvezdin A.K., Plokhov D.I. Losses of quantum coherence in systems of clusters, molecules, and ions with a large spin. // Book of Abstracts of Moscow International Symposium on Magnetism. Moscow, 2002, p. 261.

7. Звездин А.К., Плохов Д.И. Нелинейная динамика квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле. // Сборник трудов XVIII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники". Москва, 2002, с. 524526.

8. Звездин А.К., Плохов Д.И. Компьютерное моделирование динамических свойств магнитных нанокластеров. // Сборник трудов Международного семинара "Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах". Астрахань, 2003, с. 128.

9. Plokhov D.I., Zvezdin A.K. Environmental effects in dynamics of large spin magnetic clusters in a swept magnetic field. // Book of Abstracts of International Conference "Functional Materials". Partenit, 2003, p. 275.

Список цитируемой литературы

1. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. - М.: Наука. 1987.268 с.

2. Ллышулер СА., Козырев Б.М. Электронный парамагнитный резонанс. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры. 1961. 368 с.

3. Абрамовиц М., СтегунИ. Справочник по специальным функциям. - М.: Мир. 1979.

4. Kalatsky V.A., MUller-Hartmann E., Pokrovsky V.L., Uhrig G.S. Berry's phase for large spins in external fields. // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80. No. 6. P. 1304-1307.

5. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. - Л.: Наука. 1975.436 с:

6. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука. 1978. 512 с.

7. Leggett A.J., Chakravarty S., Dorsey А.Т., Fisher M.P.A., Garg A., Zwerger W. Dynamics of the dissipative two-state system. // Rev. Mod. Phys. 1987. Vol. 59. No. 1. P. 1-85.

8. Ford G.W., Lewis J.T., O'Connell R.F. Quantum Langevin equation. // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 37. No. 11. P. 4419-4428.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Часть 1. - М.: Наука. 1976. 584 с.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 43 -100-04

to-* ' v -ее, ef

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ

ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ РАЗЛИЧНОЙ

ПРИРОДЫ

1.1. Движение электронов в кристалле под действием однородного постоянного j j электрического ноля

1.1.1. Елоховские осцилляции и зеиеровское туннелирование 1.2. Наблюдение блохоаских осцилляции в полупроводниковых ^ сверхрешетках

1.2. Макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике j 7 джозефсоновских переходов малой емкости

1.2.1. Вводные замечания

1.2.2. Адиабатический гамильтониан

1.2.3. Елоховские осцилляции и зеиеровское туннелирование

1.2.4. Динамика джозефсоновских переходов большей емкости

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО СПИНА 28 В НЕСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

2.1. Классическая динамика магнитного момента в магнитном поле, изменяющемся 28 с постоянной скоростью

2.2. Гамильтониан квазиклассического спина в нестационарном магнитном иоле

2.2.1. Постановка задачи и начальные замечания

2.2.2. Вывод гамильтониана квазиклассического спина

2.2.3. Свойства гамильтониана квазиклассического спина

2.3. Макроскопические квантовые когерентные эффекты, индуцированные 40 нестационарным магнитным полем в динамике квазиклассического спина

2.3.1. Случай прецессии спина в постоянном потенциале

2.3.2. Спиновые осцилляции блоховского типа

2.3.3. Межзонное зеиеровское туннелирование

2.3.4. Проявления макроскопических квантовых когерентных эффектов

2.3.5. Динамика спиновых систем с тетрагональной и гексагональной ^ анизотропией

2.3.6. Динамика спина в магнитном поле, имеющем гармоническую ^ составляющую

2.3.7. Случай сильной связи

ГЛАВА 3. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ

СВОЙСТВ ВЫСОКОСПИНОВЫХ МАГНИТНЫХ НАНОКЛАСТЕРОВ, 56 МОЛЕКУЛ И ИОНОВ

3.1. Теоретические основы и алгоритмы компьютерного моделирования

3.2. Результаты моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных gj нанокластеров, молекул и ионов

ГЛАВА 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСОКОСПИНОВЫХ МАГНИТНЫХ

НАНОКЛАСТЕРОВ, МОЛЕКУЛ И ИОНОВ В КВАНТОВЫХ 64 ВЫЧИСЛЕНИЯХ

4.1. Некоторые общие сведения о квантовых вычислениях

4.2. Использование высокоспиновых магнитных частиц в качестве кубитов при квантовых вычислениях

4.2.1. Логические состояния магнитных кубитов

4.2.2. Инициализация магнитных кубитов

4.2.3. Декогерентизация состояний магнитных кубитов

4.2.4. Реализация основных логических операций

4.2.5. Измерение состояний магнитных кубитов

ГЛАВА 5. ДИССИПАТИВНАЯ ДИНАМИКА ВЫСОКОСПИНОВЫХ

МАГНИТНЫХ НАНОКЛАСТЕРОВ, МОЛЕКУЛ И ИОНОВ В 76 НЕСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

5.1. Диссипативная динамика магнитного кубита

5.1.1. Спин-бозонный гамильтониан

5.1.2. Точно решаемая квантовая модель декогереитизации

5.1.3. Случай слабой связи кубита с окружением

5.1.4. Общий случай связи кубита с окружением

5.2. Диссипативная динамика высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул 90 и ионов в нестационарном магнитном поле

5.2.1. Квантовое уравнение Ланжевеиа

5.2.2. Случай сильного затухания 94 • 5.2.3. Диссипация и когерентные аффекты

Актуальность темы. В последние годы интерес к проблематике, связанной с динамикой спиновых систем, получил значительный импульс. Во многом это связано с недавними открытиями макроскопического квантового туннелирования намагниченности, молекулярной бистабильиости и квантового гистерезиса, нового типа магнитных осцилляции, связанных с фазой Берри. Эти мезоскопические эффекты обнаружены в так называемых системах с гигантским спином, системах магнитных нанокластсров (высокоспиновых магнитных молекул) Мп)2 и Fe8, обладающих в основном состоянии спином, равным 10.

Очевидно с связи с этим, что исследование высокоспиновых магнитных нанокластсров, молекул и ионов представляет несомненный фундаментальный интерес, поскольку данные объекты являются источниками новых явлений, новых эффектов и новых свойств материи. Особое внимание привлекают вопросы, связанные с макроскопической квантовой когерентностью, квантовыми измерениями в спиновых системах и механизмами разрушения квантовых корреляций за счет взаимодействия с окружением, в особенности при переходе от микро- к макрообъектам.

Высокоспиновые магнитные нанокластеры, молекулы и ионы также представляют значительный практический интерес для магнитной наноэлектроники (спинтроиики) и квантовой информатики. Предлагается использовать нанокластеры с гигантским спином как бистабильные элементы для молекулярной памяти будущих поколений. Эти же системы интересуют специалистов по квантовым компьютерам как перспективные реализации кубитов — элементарных ячеек хранения информации при квантовых вычислениях.

Управлять состояниями высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов предполагается с помощью магнитных (в т.ч. и нестационарных) полей, поэтому исследование динамических свойств указанных систем является актуальным.

Динамика высокоспииовых магнитных молекул, находящихся в кристаллическом ноле с симметрией типа «легкая ось», исследована достаточно подробно. Вместе с тем изучению магнитных свойств высокоспиновых магнитных панокластеров, молекул и ионов, кристаллическое поле которых обладает симметрией типа «легкая плоскость», до настоящего времени уделялось очень мало внимания.

В настоящей работе исследуется поведение именно таких магнитных нанокласте-ров, молекул и ионов с большим спином в нестационарном магнитном иоле. Согласно уравнениям Максвелла, такое поле создает вихревое электрическое поле, которое существенно влияет на симметрию системы и является причиной возникновения новых квантовых эффектов в динамике спиновых систем с гигантским спином.

Цслыо работы является изучение динамики анизотропной квантовой системы с большим спином, находящейся в магнитном поле, напряженность которого изменяется с течением времени. Такое иоле создает вращающий момент, действующий на спин и индуцирующий его прецессию, и, таким образом, выявляет новые черты в динамике спиновой системы.

В работе решались следующие задачи:

1. Исследование динамики квазиклассического спина (спинового момента высокоспиновых магнитных панокластеров, молекул или ионов, обладающих симметрией кристаллического поля типа «легкая плоскость») в нестационарном магнитном ноле.

2. Описание макроскопических квантовых когерентных эффектов в динамике высокоспииовых магнитных панокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

3. Разработка методов компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов.

4. Описание новых возможностей использования высокоспиновых магнитных на-нокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях.

5. Исследование диссипативной динамики высокоспиновых магнитных нанокла-стеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных нолях и изучение механизмов потерь квантовой когерентности.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней

1. Исследована динамика анизотропной высокоспииовой квантовой системы в магнитных полях, нарастающих (убывающих) пропорционально времени, а также в полях, имеющих, кроме линейной, еще и гармоническую составляющую.

2. Предсказан ряд новых макроскопических когерентных квантовых эффектов в динамике квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле: образование зонного энергетического спектра с непрерывными спиновыми состояниями, спиновые осцилляции блоховского типа, межзонное зенеровское туинелирование, рсзонансы штарковско-го типа.

3. Разработаны программгл, позволяющие проводить компьютерное моделирование динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов, обладающих различными типами магнитной анизотропии легкой плоскости в нестационарных магнитных полях, зависящих от времени по произвольному закону.

4. Описаны новые возможности использования высокосииновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях, показаны возможности практической реализации кубита, проанализированы возможности выполнения логических операций (вентилей), возможности воздействия на кубит при записи и считывании информации, а также возможности организации управляемого взаимодействия между ними, проведено обсуждение декогерентизации при выполнении квантовых вычислений и указаны пути ее преодоления.

5. Количественно изучены механизмы потери квантовой когерентности в динамике магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях при взаимодействии с диссипативным окружением, рассчитана ширина линии спиновых ос-цилляций блоховского тина, даны оценки времени декогерентизации, разработаны подходы построения диссипативной динамики указанных спиновых систем на основе использовании феноменологической модели Калдейры-Леггетта и решения квантового уравнения Ланжевена.

Практическая ценность работы заключается в том, что развиваемая в ней теория открывает новые возможности использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в квантовых вычислениях в качестве кубитов, а также описывает их свойства, понимание которых играет важную роль в применении высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в других приложениях (доставка лекарств к внутренним органам, магнитная холодильная техника, системы визуализации и др.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Основные уравнения квантовой динамики высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

2. Спектр гамильтониана спиновой системы с большим спином в магнитных полях, зависящих от времени, макроскопические квантовые когерентные эффекты в динамике квазиклассического спина.

3. Методы компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

4. Уравнения, определяющие логические состояния кубита, реализованного на высокоспиновых магнитных нанокластерах, молекулах и ионах, а также алгоритмы выполнения логических операций с использованием таких кубитов.

5. Основные уравнения диссипативной динамики высокосниновых магнитных панокластеров, молекул и ионов в нестационарных магнитных полях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Функциональные материалы - 2001» (ICFM-2001, Крым, Парте-нит); Первой всероссийской конференции «Высокоспиновые молекулы и молекулярные ферромагнетики» (Московская область, 2002); Московском международном симпозиуме но магнетизму (MISM-2002, Москва); XVIII международном школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (НМММ-18, Москва, 2002); Международном семинаре «Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах» (Астрахань, 2003); Международной конференции «Функциональные материалы - 2003» (ICFM-2003, Крым, Партенит); научных семинарах Физического факультета МГУ, Института общей физики РАИ, Физического института РАН, Института физических проблем РАН.

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 9 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. В каждой главе использована своя нумерация параграфов и формул. Нумерация рисунков является единой. Работа содержит 125 страниц, включает 18 рисунков и 88 библиографических ссылок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем основные результаты диссертации:

1. В работе показано, что магнитное поле, возрастающее (убывающее) пропорционально времени, индуцирует новые когерентные квантовые эффекты в динамике анизотропной спиновой системы. К таковым относятся: образование зонного энергетического спектра с непрерывными спиновыми состояниями, квазиблоховские осцилляции и межзонный зенеровский туннельный эффект. Эти квантовые эффекты проявляются в виде характерных скачков намагниченности и пиков восприимчивости в рассматриваемой спиновой системе.

2. Разработаны методы компьютерного моделирования динамических свойств высокоспиновых магнитных молекул, кластеров и ионов в нестационарных магнитных полях. Описаны теоретические основы и алгоритмы компьютерного моделирования, проведено обсуждение полученных в ходе компьютерного моделирования результатов, которые сопоставлены с результатами последовательного теоретического рассмотрения. Результаты численного расчета свидетельствуют о хорошей точности теории применительно к описанию динамики большого как целого, так и полуцелого, спина в нестационарном магнитном поле.

3. В работе описаны новые возможности практического использования высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в качестве (магнитных) кубитов при квантовых вычислениях. Подробно рассмотрены логические состояния, инициализация магнитных кубитов, а также алгоритмы реализации с их помощью основных одно- и двухкубитных логических операций. Проведено обсуждение вопросов, связанные с деко-герситизацией и измерением состояний магнитных кубитов.

4. В работе изучена диссипативная динамика высокоспиновых магнитных нанокластеров, молекул и ионов в нестационарном магнитном поле. На основе спин-бозонного гамильтониана исследована диссипативная динамика магнитного кубита: подробно рассмотрен случай слабой связи кубита с диссипативным окружением, а также общий случай при помощи золотого правила квантовой механики. На основе квантового уравнения Ланжевена изучена диссипативная динамика квазиклассического спина в нестационарных магнитных полях, наиболее обстоятельно рассматривается влияние диссипативного окружения на когерентность квантовых макроскопических эффектов в динамике квазиклассического спина.

1. Ашкрофт П., Мермин 1.. Физика твердого тела. В 2-х т. - М.: Мир. 1979. Т. 1 - 399 с. Т. 2 - 422 с.

2. Loser F., Rosam В., Meinhold D., Lyssenko V.G., Sudzius M., Dignam M.M., Glutsch S., Bechstedt F., Rossi F., Kohler K., Leo K. Nonlinear transport in superlattices: Bloch oscillations and Zener breakdown. // Physica E. 2001. Vol 11. P. 268-276.

3. Leo K. Interband optical investigations of Bloch oscillations in semiconductor superlattices. // Semicond. Sci. Technol. 1998. Vol. 13. P. 249-263.

4. Wannier G.H. Wave functions and effective Hamiltonian for Bloch electrons in an electric field. // Phys. Rev. 1960. Vol. 117. No. 2. P. 432-439.

5. Zak J. Stark ladder in solids? // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 20. No. 26. P. 1477-1481.

6. Emin D., Hart C.F. Existence of Wannier-Stark localization. // Phys. Rev. B. 1987. Vol. 36. No. 14. P. 7353-7359.

7. Luban M., Luscombe J.H. Localized eigenstates of one-dimensional tight-binding systems: a new algorithm. // Phys. Rev. B. 1987. Vol. 35. No. 17. P. 9045-9055.

8. Bleusc J., Bastard G., Voisin P. Electric-field-induced localization and oscillatory electro-optical properties of semiconductor superlattices. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. No. 3. P. 220-223.

9. Esaki L., Chang L.L. Semiconductor superfine structures by computer-controlled molecular beam epitaxy. //Thin Solid Films. 1976. Vol. 36. No. 2. P. 285-298.

10. Sakaki II. Quantum wire superlattices and coupled quantum box arrays: a novel method to suppress optical phonon scattering in semiconductors. // Jpn. Appl. Phys. 1989. Vol. 28. Part 2. No. 2A. P. L314-L316.

11. Esaki L., Chang L.L. New transport phenomenon in a semiconductor "superlattice". // Phys. Rev. Lett. 1974. Vol. 33. No. 8. P. 495-498.

12. Dingle R., Gossard Л.С., Wiegmann W. Direct observation of superlattice formation in a semiconductor heterostructure. // Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 34. No. 21. P. 1327-1330.

13. Tsu R., Chang L.L., Sai-IIalasz G.A., Esaki L. Effects of quantum states on the photocurrent in a "superlattice". // Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 34. No. 24. P. 1509-1512.

14. Leo K., Shan J., Gobel E.O., Damen T.C., Schmitt-Rink S., Schafer W., Kohler K. Coherent oscillations of a wave packet in a semiconductor double-quantum-well structure. // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. No. 2. P. 201-204.

15. Roskos H.G., Nuss M.C., Shah J., Leo K., Miller D.A.B., Fox A.M., Schmitt-Rink S., Kohler K. Coherent submillimeter-wave emission from charge oscillations in a double-wellpotential. // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. No. 14. P. 2216-2219.

16. Mendez E.E., Agullo-Rueda F., Hong J.M. Stark localization in GaAs-GaAlAs superlattices under an electric field. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. No. 23. P. 2426-2429.

17. Voisin P., Bleuse J., Bouche C., Gaillard S., Alibert C., Regreny Л. Observation of the Wannier-Stark quantization in a semiconductor superlattice. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. No. 14. P. 1639-1642.

18. Waschke C., Roskos H.G., Schwedler R., Leo K., Kurz IL, Kohler K. Coherent submillimeter-wave emission from Bloch oscillations in a semiconductor superlattice. // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. No. 21. P. 3319-3322.

19. Josephson B.D. Possible new effects in superconductive tunnelling. // Phys. Lett. 1962. Vol.1. No. 7. P. 251-253.

20. Anderson P.W. Lectures on the Many-Body Problem. Vol. 2. New York. 1964. 310 p.

21. Cohen M.H., Falicov L.N., Phillips J.C. Superconductive tunneling. // Phys. Rev. Lett. 1962. Vol. 8. No. 8. P. 316-318.

22. Caldeira A.O., Leggett A.J. Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems. // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 46. No. 4. P. 211-214.

23. Waxman D. Macroscopic quantum coherence and tunneling in a double well potential. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1985. Vol. 18. P. L421-L426.

24. Averin D.V., Zorin A.B., Likharev K.K. Bloch oscillations in small Josephson junctions. // JETP. 1985. Vol. 61. P. 407.

25. Gefen Y., Ben-Jacob E., Caldeira A.O. Zener transitions in dissipative driven systems. // Phys. Rev. B. 1987. Vol. 36. No. 5. P. 2770-2782.

26. Ben-Jacob E., Gefen Y., Mullen K., Schuss Z. Coherent versus noncoherent Bloch oscillations in the presence of direct and alternative fields. // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 37. No. 13. P. 7400-7418.

27. Mullen K., Ben-Jacob E., Schuss Z. Combined effect of Zener and quasiparticle transitions on the dynamics of mesoscopic Josephson junctions. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. No.1.. P. 1097-1100.

28. Keldysh L.V. //JETP. 1958. Vol. 6. P. 763.

29. Zwerger W., Dorsey A.T., Fisher М.Р.Л. Effects of the phase periodicity on the quantum dynamics of a resistively shunted Josephson junction. // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 34. No. 9. P. 6518-6521.

30. Ovchinnikov Yu., Ivlev B.I. Dissipative quantum mechanics of a particle in the washboard potential: application to the Josephson junction. // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 39. No. 13. P. 9000-9005.

31. Kuzmin L.S., Haviland D.B. Observation of the Bloch oscillations in an ultrasmall Josephson junction. // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67. No. 20. P. 2890-2893.

32. Ivanchenko Yu.M., Zil'bernian L.A. //JETP. 1969. Vol. 28. P. 272.

33. Ambegaokar V., Halperin B.I. Voltage due to thermal noise in the dc Josephson effect. // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 22. No. 25. P. 1364-1366.

34. Fulton T.A., Dunkleberger L.N. Lifetime of the zero-voltage state in Josephson tunnel junction. // Phys. Rev. B. 1974. Vol. 9. No. 11. P. 4760-4768.

35. Devoret M.I I., Martinis J.M., Clarke J. Measurements of macroscopic quantum tunneling out of the zero-voltage state of a current-biased Josephson junction. // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol.55. No. 18. P. 1908-1911.

36. Martinis J.M., Devoret M.H., Clarke J. Energy-level quantization in the zero-voltage state of a current-biased Josephson junction. // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55. No. 15. P. 1543-1546.

37. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. IX. Статистическая физика. Часть 2. М.: Наука. 1978.

38. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука. 1987. 268 с.

39. Feynman R.P., Hibbs A.R. Quantum mechanics and path integrals. New York. McGraw-Hill Book Company. 1965. 365 p.

40. Chudnovsky E.M., Tcjada J. Macroscopic quantum tunneling of the magnetic moment. -Cambridge. Cambridge University Press. 1998.

41. Kalatsky V.A., Muller-Hartmann E., Pokrovsky V.L., Uhrig G.S. Berry's Phase for Large Spins in External Fields. // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80. No. 6. P. 1304-1307.

42. Bloch F. Off-diagonal long-range order and persistent currents in a hollow cylinder. // Phys. Rev. 1965. Vol. 137. No. ЗА. P. A787-A795.

43. Bloch F. Flux Quantization and Dimensionality. // Phys. Rev. 1968. Vol. 166. No. 2. P. 415423.

44. Omar M.A. Elementary Solid State Physics. Reading, MA. Addison-Wesley. 1975.669 p.

45. Лихарев K.K. Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука. 1985. 320 с.

46. Schon G., Zaikin A.D. Quantum coherent effects, phase transitions, and dissipative dynamics of ultra small tunnel junctions. // 1990. Phys. Rep. Vol. 198. No. 5-6. P. 237-412.

47. Rao S. An anyon primer. // 1992. LANL e-print hep-th/9209066. 88 p.

48. Larkin A.I., Likharev K.K., Ovchinnikov Yu.N. Secondary quantum macroscopic effects in weak superconductivity. // Physica B. 1984. Vol. 126. No. 1-3. P. 414-422.

49. Абрамовиц M., Стегун И. Справочник по специальным функциям. М.: Мир. 1979.

50. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В. Управляемая эволюция электронных состояний в наноструктурах. //ЖЭТФ. 1995. Т. 107. Вып. 4. С. 1320-1349.

51. Holthaus М., Hone D. Quantum wells and superlattices in strong time-dependent fields. // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47. No. 11. P. 6499-6508.

52. Giraud R., Wemsdorfer W., Tkachuk A.M., Mailly D., Barbara B. Nuclear spin driven quantum relaxation in LiY0.998Ho0.002F4. // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. No. 5. № 057203. 4 p.

53. Альтшулер C.A., Козырев Б.М. Электронный парамагнитный резонанс. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры. 1961. 368 с.

54. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука. 1975.436 с.

55. Калиткин II.II. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

56. Fehlberg Е. Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Waermeleitungsprobleme. // Computing. 1970. Vol.6. P. 61.

57. Валиев K.A. Квантовые компьютеры: можно ли их сделать «большими»? // УФН. 1999. Т. 169. №6. С. 691-694.

58. Cirac J.I., Zoller P. Quantum computations with cold trapped ions. // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol.74. No. 20. P. 4091-4094.

59. Shnirman A., Schon G., Hermon Z. Quantum manipulations of small Josephson junctions. // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. No. 12. P. 2371-2374.

60. Cory D.G., Price M.D., Havel T.F. Nuclear magnetic resonance spectroscopy: an experimentally accessible paradigm for quantum computing. // Physica D. 1997. Vol. 120. No. 1-2. P. 82-101.

61. Kane B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer. // Nature. 1998. Vol. 393. No. 5. P. 133-137.

62. Loss D., DiVinccnzo D.P. Quantum computation with quantum dots. // Phys. Rev. A. 1998. Vol.57.No. l.P. 120-126.

63. Privman V., Vagner I.D. Kventsel G. Quantum computation in quantum-Hall systems. // Phys. Lett. A. 1998. Vol. 239. No. 3. P. 141-146.

64. Platzman P.M., Dykman M.I. Quantum computing with electrons floating on liquid helium. // Science. 1999. Vol. 284. P. 1967.

65. Tcjada J., Chudnovsky E.M., Barco E., Hernandez J.M., Spiller T.P. Magnetic qubits as hardware for quantum computers. // Nanotechnology. 2001. Vol. 12. P. 181-186.

66. Twamlcy J. Quantum-cellular-automata quantum computing with endohedral fullerenes. //

67. Phys. Rev. A. 2003. Vol. 67. № 052318. 12 p.

68. Meier F., Levy J., Loss D. Quantum computing with antiferromagnetic spin clusters. // 2003. LANL e-print cond-mat/0304296. 15 p.

69. Валиев K.A., Кокин A.A. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. // Москва-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2002. 320 с.

70. DiVincenzo D.P. Topics in quantum computers. // 1996. LANL e-print cond-mat/9612126. 22 p.

71. Звездин A.K. Магнитные молекулы и квантовая механика. // Природа. 2000. № 12. С. 11-19.

72. Звездин А.К. Макроскопические квантовые осцилляции в антиферромагнитных нанокластерах. // Кратк. сообщ. по физике ФИАН. 1999. Вып. 12. С. 13-21.

73. Звездин А.К. Квантовые осцилляции в анизотропных мезоскопических кольцах в вихревом электростатическом поле. // Кратк. сообщ. по физике ФИАН. 2000. Вып. 11. С. 3-10.

74. Звездин А.К., Плохов Д.И. Нелинейная динамика квазиклассического спина в нестационарном магнитном поле. //ЖЭТФ. 2003. Т. 124. Выи. 1(7). С. 96-104.

75. Preskill J. Reliable quantum computers. // 1997. LANL e-print quant-ph/9705031. 24 p.

76. Steane A.M. Error correcting codes in quantum theory. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 793-796.

77. Kotthaus J.R., Jaccarino V. Temperature dependence of the antiferromagnetic resonance linewidth in MnF2. // Phys. Lett. A. 1973. Vol. 42. No. 5. P. 361-362.

78. Barenco A., Bennett C.H., Cleve C., DiVincenzo D.P., Margolus N., Shor P., Sleater Т., Smolin J.A., Weinfurtcr H. Elementary gates for quantum computation. // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 52. No. 5. P. 3457-3467.

79. Pakes C.I., Josephs-Franks P.W., Reed R.P., Corner S.G., Colclough M.S. // IEEE Trans. Instrum. Meas. 2001. Vol. 50. P. 310.

80. Leggett A.J. Quantum tunneling in the presence of an arbitrary linear dissipation mechanism. //Phys. Rev. B. 1984. Vol.30. No. 3. P. 1208-1218.

81. Leggett A.J., Chakravarty S., Dorsey A.T., Fisher M.P.A., Garg A., Zwerger W. Dynamics of the dissipative two-state system. // Rev. Mod. Phys. 1987. Vol. 59. No. 1. P. 1-85.

82. Sun C.P., Zhan H., Liu X.F. Decoherence and relevant universality in quantum algorithms via a dynamic theory for quantum measurement. // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. No. 3. P. 1810-1821.

83. Mozyrsky D., Privman V. Adiabatic decoherence. // J. Stat. Phys. 1998. Vol. 91. No. 3-4. P. 787-799.

84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Часть 1.-М.: Наука. 1976. 584 с.

85. Palma G.M., Suominen К.-А., Ekert А.К. Quantum computers and dissipation. // Proc. Roy. Soc. Lond. 1996. Vol. A452. P. 567.

86. Viola L., Lloyd S. Dynamical suppression of decoherence in two-state quantum systems. // 1998. LANL e-print quant-ph/9803057. 18 p.

87. Simonius M. Spontaneous symmetry breaking and blocking of mctastable states. // Phys. Rev. Lett. 1978. Vol. 40. No. 15. P. 980-983.

88. Harris R.A., Stodolsky L. Two state systems in media and "Turing's paradox". // Phys. Lett. B. 1982. Vol. 116. No. 6. P. 464-468.

89. Ford G.W., Lewis J.T., O'Connell R.F. Quantum Langevin equation. // Phys. Rev. A. 1988. Vol.37. No. 11. P. 4419-4428.о 00