Максимально вырожденные серии представлений группы SL(n, R) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Максимально вырожденные серии представлений "ранга 2" группы 8Ь(п, К)

§1 Группа 8Ь(п,К), ее подгруппы и разложения

§2 Пространство флагов

§3 Многообразие Штифеля

§4 Многообразия Грассмана

§5 Инвариантные дифференциальные операторы на многообразиях Грассмана

§6 Многочлены Коорнвиндера

§7 Гармонический анализ На многообразиях Грассмана

§8 Представления

§9 Структура представлений

§10 Сплетающие операторы

§11 Инвариантные эрмитовы формы и унитаризуемость

Глава II. Случай п =

§12 Связь с псевдоортогональной группой

§13 Грассманово многообразие

§14 Представления для п =

§15 .^-инварианты, ядро Пуассона

1. Под гармоническим анализом на однородных пространствах (2/Н обычно понимается разложение квазирегулярного представления группы (т сдвигами в пространстве Ь2(С/Н) по инвариантной мере. Это представление унитарно. Широкий и очень важный класс однородных пространств С/Н образуют полупростые симметрические пространства. Для них решение задачи о разложении квазирегулярного представления продвинуто далеко вперед: Хариш-Чандра, И. М. Гельфанд, С. Г. Гиндикин, Ф. И. Карпелевич - для римановых симметрических пространств (60-е годы), Хариш-Чандра для полупростых групп Ли (70-е годы), В. Ф. Молчанов для пространств ранга 1 (80-е годы), Н. Бопп, П. Харанк, С. Сано - для фактор-пространств комплексных групп по их вещественным формам, П. Делорм, Э. ван ден Бан, Г. Шлихткрулль - некоторые версии формулы Планшереля для общего случая (90-е годы). Однако, кроме этой (классической) задачи, в гармоническом анализе имеется еще много других, связанных с изучением представлений в пространствах функций на С/Н с нелокальным скалярным произведением или даже унитарных в индефинитном смысле. В частности, такие задачи естественно появляются при построении квантования в духе Ф. А. Березина на полу простых симметрических пространствах, которые являются симплектическими многообразиями (В. Ф. Молчанов, Г. ван Дейк и их сотрудники).

2. Одним из примеров таких пространств (имеющим большое значение) является пространство в/Н = ЗЬ(п,К)/5(СЬ(р,К) х вЦ^К)), р + д = п. (0.1)

Оно есть обобщение однополостного гиперболоида в М3 , который получается при п = 2,р = q ■= 1. В самом деле, этот гиперболоид есть 8Ь(2,К)/СЬ(1,К).

Как известно, группа БЬ(2, К) является ключевым примером в теории представлений. В частности, гармонический анализ на однопо-лостном гиперболоиде важен как сам по себе, так и как источник различных общих идей.

Пространство (0.1) - полупростое, псевдориманово, симплектичес-кое, оно относится к классу пара-эрмитовых симметрических пространств первой категории, см. [22], [26]. Оно имеет размерность 2pq и ранг гшп{р, д}.

Построение квантования на пространстве (0.1) и изучение тесно связанных с квантованием так называемых канонических представлений приводит к задаче о разложении тензорных произведений представлений группы 8Ь(п,К), относящихся к максимально вырожденным сериям, связанным с пространством (0.1). Это - представления группы 8Ь(п,К), индуцированные характерами (одномерными представлениями, не обязательно унитарными) максимальных параболических подгрупп Р±, для которых Н является подгруппой Леви. Это - подгруппы верхних и нижних блочно треугольных матриц.

3. В связи с этим возникает задача об исследовании самих этих максимально вырожденных представлений ц 6 С, £ = 0,1.

Случай q = 1 (или р = 1) был исследован в работе Г. ван Дейка и В.Ф.Молчанова [18].

Случай р > 1,д > 1 оказывается значительно более трудным. Это связано с тем, что в этом случае ранг пространства С/Н, а также ранг многообразия Грассмана, в функциях на котором реализуются представления, больше 1. Здесь имеется только один частный результат: в работе Д.Барбаша, С.Сахи, Б.Спех [16] для р = д предложена некоторая характеризация инвариантных подпространств в случае, если имеется конечномерное неприводимое подпространство.

4. В предлагаемой работе мы исследуем представления группы 8Ь(п,М) для случая # = 2 (мы считаем, что п > 4). В этом случае ранг пространства (0.1) и соответствующего многообразия Грассмана равен 2, поэтому мы называем наши представления "максимально вырожденными представлениями ранга 2."

Мы находим: различные реализации представлений, их структуру (приводимость, неприводимость, композиционные ряды в приводимом случае), сплетающие операторы (как в матричном, так и интегральном виде), находим инвариантные полуторалинейные формы и, наконец, выясняем, когда наши представления или их подфакторы уни-таризуемы.

Поскольку в качестве основного метода изучения представлений мы используем ограничение на максимальную компактную подгруппу К = БО(п), нам пришлось исследовать гармонический анализ на многообразии Грассмана двумерных ориентированных подпространств (плоскостей) в К". Здесь мы опирались на работу Т.Коорнвиндера [23], в которой расматривалось многообразие Грассмана неориентированных плоскостей.

5. Структура и содержание диссертации.

Диссертация состоит из Введения и пятнадцати параграфов, разбитых на две главы. Первая глава содержит одиннадцать параграфов (§§1 - 11), вторая - четыре (§§12 - 15).

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. V1., VIII. М.: Мир, 1978, 342 с.

2. Вилеикин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965, 588 с.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988, 576 с.

4. Желобенко Д. П. О бесконечно дифференцируемых векторах в теории представлений. Вестник МГУ. Сер. матем.-мех., 1965, N0. 1, 3-10.

5. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970, 664 с.

6. Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша-Гордана представлений групп. Киев: Наукова думка, 1979, 304 с.

7. Молчанов В. Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Мат. сб., 1970, том 81, N0. 3, 358-375.

8. Молчанов В. Ф. Представления псевдоунитарной группы, связанные с конусом. Функцион. анализ: Межвуз. сб., Ульяновск, 1984, Вып. 22, 55-66.

9. Молчанов В. Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах. Итоги науки и техники. Сер. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. / ВИНИТИ, том 59, 1990, 5-144.

10. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.

11. Ракитянский А. С. О некоторых представлениях группы 8Ь(4;К). Материалы научн. конф., изд-во ТГПИ, Тамбов, 1994, 6-7.

12. Ракитянский А. С. К вопросу о представлениях группы 8Ь(п;К). Материалы научн. конф., изд-во ОГПИ, Оренбург, 1995, 28-29.

13. Ракитянский А. С. Максимально вырожденная серия представлений группы ЭЦп; К.) ранга 2. III Державинские чтения: Материалы научн. конф., изд-во ТГУ, Тамбов, 1998, 14-15.

14. Ракитянский А. С. Сплетающие операторы для максимально вырожденных серий группы 8Ь(п;К) ранга 2. IV Державинские чтения: Материалы научн. конф., изд-во ТГУ, Тамбов, 1999, 31-32.

15. Ракитянский А. С. Гармонический анализ на многообразиях Грассмана. Материалы научн. конф., изд-во ОГПУ, Оренбург, 1999,16.19.

16. Barbasli D., Sahi S., Spell B. Degenerate series representations for GL(2n,R) and Fourier analysis. Symp. Math., 1989, vol. 31, 45-69.

17. Berger M., Les espaces symetriques non compacts. Ann. Sci. Ecole Norm. Super., 1957, t. 74, 85-177.

18. Dijk G. van, Molchanov V. F. Tensor products of maximal degenerate representations of the group SL(n;R). J. Math. Pures Appl., 1999, t. 78, No. 1, 99-119.

19. Helgason S. Differential geometry and symmetric spaces. New-York-London: Acad. Press, 1962,486 р. (Пер. на рус. яз.: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.-М.: Мир, 1964, 533 е.).

20. Helgason S. Groups and geometric analysis. New York, etc.: Acad. Press, 1984. (Пер. на рус. яз.: Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987, 735 е.).

21. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. Higher transcendental function, I, II. New York: McGraw-Hill, 1953; 1955 (Пер. на рус. яз: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции I, И, М.: Наука, 1973, 294 е., 1974, 226 е.).

22. Kaneyuki S., Kozai М. Paracomplex structures and affine symmetric spaces. Tokyo J. Math., 1985, vol. 8, No. 1, 81-98.

23. Koornwinder Т., Harmonics and spherical functions on Grassmann manifolds of rank two and two-variable analogues of Jacobi polynomials. Lect. Notes Math., 1977, vol. 171, 141-154.

24. Levine D. Systems of singular integrals on spheres, Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 144, 493-522.

25. Loos O. Jordan Pairs. Lect. Notes in Math., 1975, vol. 460, XVI+218 p.

26. Molchanov V. F. Quantization on Para-Hermitian Symmetric Spaces. Amer. Math. Soc. Transl., ser. 2, 1996, vol. 175, 81-85.

27. Molchanov V. F. Quantization on symplectic symmetric spaces. Вестник Тамбовского Университета, 1997, том 2, вып. 4, 372-385.

28. Molchanov V. F., Volotova N. В. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского Университета, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

29. Rakityansky A. S. Maximal degenerate series for SL(n,R) of rank two. Вестник Тамбовского Университета, 1998, том 3, вып. 1, 90-95.

30. Satake I. Algebraic Structures of Symmetric Domains. Iwanami

31. Satake I. Algebraic Structures of Symmetric Domains. Iwanami Shoten, Publishers, Princeton Univ. Press, 1980.

32. Strichartz R. S. The explicit Fourier decomposition of L2(SO(n)/SO(n m), Canad. J. Math., 1975, vol. 27, 294-310.

33. Wolf J. A. Spaces of constant curvature. Berkeley, 1972. (Пер. на рус. яз.: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, М.: Наука, 1982, 480 с.)