Некоторые вопросы корректности абстрактной задачи Коши первого порядка в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ' ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.М.ГОРЬКОГО

Альшанский Максим Алексеевич

УДК 517.9

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОИМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физике- математических наук

РГ Б ОД

На правах рукописи

Екатеринбург - 1994

РсЛота ьшшлнена на кафедре математического анализа н 'Глории функций Уральского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени А. М- Горького

Научный руководитель - доктор физшсо-математичс-ских наук, профессор и. В. Мельникова

официальные оппонент доктор фиашш-митематических наук, профессор С. Т.Зааашщин; доктор фяэико-ыатеиагйчеекик наук, С. Г. Овиридюк.

Ведущее учреждение - Институт Математики СО РАН

Зашмта состоится в Сь'ОР часов

на ааеедании специализированного совета'К 063.78.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени А. М. Горького («20083, Екатеринбург, К-83, пр. Ленина. Б1, комната 248)

О диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ур<иьского государственного университета.

Автореферат разослан ■ Т/У Л, ? У г__

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических

наук, доцент *----В. I'. Пименов

ОШН ХАРАКТЕРИСТИКА РЛВОГН

Актуальность теш. Многие задачи физики управляй»,кх систем и математической биологии могут быть представлены в виде краевых лзд'ш для даг^фершндоалыю-операторних уравнений перю-ю и втпрот порядка в абстрактных пространствах

'Л

(02) = Аи(е, о^^т, те(о-,+оо],

что позволяет исследовать их общими методами. Особое место среди этих палач занимает задача Ковш

(8К) и'ю - Ш), -и о,

(— Х-

с лшгаткм замкнутым оператором Д , действующим в банаховой -пространстве Е . Связанная с задачей (ЭК) теория полугрупп ли-пеинм операторов применяется в наследовании гадочл Кокш для урашсияй второго и выеккто порядков, а также, задач с более ОЗДМИ граничными условиями.

Можно выделить два подхода к исследованию (ЗК), не являющейся равномерно корректной на "То(А4) - области определения оператора А . Один состоит а рассмотрении атсЛ задачи в пространствах абстрактных распределений (Х-Ь.ХСЬаг.лвд!м и лр.) и получении обобщенных решений задачи для произвольных начатым "качений из Е . Второй (теория интегрированных полугрупп) является обобщением теории сильно непрерывных полугрупп. Он состоит ь построении классических решений задачи на более узких классах начальных значений, чем Г.ЫеиЬтлк1еиу А/. ТамЫ, М.Окигаыа и др.). Вызывает интерес вопрос о связи мелду этими двуыя подходами, частично он бил исследован д/.Тйлокл и МОкан^а . Исследованию этого вопроса поспящена первая глава.диссертации.

Ро второй главе рассматривается задача Коши для уравнения первого порядка с вырожденным оператором при производной

(R3K) №=Au(r>,i>0?

и {c\ - "X.

где А ив- линейные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Е , А замкнутий, В orpanü'iлшнй с (¿«eft ^ {с^ ■ Задача (ВЗК) в различных постановках npuBJieiicina внимание многих исследователей. Отметим одесь работы С.Г.Крейна, С.Н.Зубовой, К.И.Чериышова, H.A.Сидорова, О.А.Романовой, С.Г.Свиридова. F.A/eu6eav<Wrt.» А . Pßv;*/< . В работах названных авторов достаточно полно исследован слу 4aii. когла. на операторы А и Ь наложены условия, которые и случав обратимости Ь влекут за собой ограниченность оператора Р А. Особенно подробно изучен случай, когда Ь- фредголь-мов оператор. До сих пор менее полно был изучен случай, когда уелч.'.яя на А и ft не гарантируют ограниченности в'А в случае обратимости ß> , в частности, не было получено необходимое п достаточное условие равномерной корректности задачи.

Третья глава посвящена некоторым вопросам, связанным с решением некорректных задач Коши (ЗК) и

= Aua), -Uo,

методами регуляризации. Первый из них - свойство Маслова (свойство эквивалентности существования решения задачи и сводимости регуляризущего алгоритма), являющееся ванной, характеристикой регуляризукщих алгоритмов. Второй - численная реализация метода "краевых задач" - для (ЗК) и (ЗК1) на модельных примерах обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности и задачи Коии для уравнении Лапласа. Предложен алгоритм, позволяющий снижать затраты машинных ресурсов при численной реализации этого метода на ЭВМ.

Целью работа является: 1) исследование связи между корректностью задачи Коши (ЗК) в пространствах абстрактных распределений и порождением оператором интегрированных полугрупп; 2) исследование корректности задачи Коши (ВЗК); 3) изучение свойств и вопросов практического использования ре-гуляриоующих алгоритмов для (ЗК) и (ЗК1).

¡Лаулшая новизна,. Впервые, благодаря использованию структурных .теорем для пространств абстрактных распределении, уста-.ловлена-конструктивная связь между интегрированными полугруппами и обобщенными решениями задачи Коти (ЗК).

Обобщение ..понятия п. раз интегрированной полугруппы на вырожденный случай позволила получить необходимое и достаточное условие равномерной корректности вырожденной задачи Коши (ВПК) на максимальном множестве корректности и получить достаточные условия разрешимости задачи на более ушсих массах начальных значений.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные в ней результаты позволяют с единой точки зрения взглянуть на разные подходи к исследованию (ЯК), не являющейся равномерно корректной. Важным теоретическим аспектом работы является конструктивный характер доказательства связи между интегрированными полугруппами, и обобщенными решениями, что, как представляется, проясняет смысл понятия интегрированной полугруппы.

Применение.идей теории интегрированных полугрупп к изуче-. нш задачи-даю позволило полностью исследовать вопрос о рав-.номерной-корректности згой задачи, а именно: изучить структуру ¡множества.корректности аздачи, получить условие равномерной корректности (ВЗК) на некотором подмножестве пространства , выделить максимальное множество корректности и получить необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи на этом множестве.

Лрактичеаия ценность работы состоит в том, что предложенный в ней алгоритм численного решения некорректной задачи Коши для уравнения второго порядка позволяет свести возникающую при регуляризации нестгшдартную разностную задачу, требующую при ее решении на ЭВМ значительных машинных ресурсоз, к серии более простых и хорош изученных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации -докладывались и обсуждались на семинаре кайюдри математического анализа и теории функций УрГУ, на ВоронежЬкой весенней математической школе 1393 г. "Понтрягинские чтения", на международной конференции "Некорректные задачи в естественных науках" Москва, 1991 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1.1-16]. '

Структура и объем работы. Диссертационная раоота состоит иа введения и трех глав, изложенных на 10ü страницах машинописного текста. Список литературы включает 66 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАШ'Ш

В Главе 1 изучена связь ыеиу штгегрироватшми полугруппами и обобщенными решениями задачи Коши (ЭК).

В параграфе 1 приведено основные необходимые в дальнейшем сведения из теории распределений со значениями и абстрактных пространствах. Важную роль впоследствии играм "структурные" теоремы для пространств "£)'(£} и о'(Б) ( пространств раоп-ределений со значениями в банаховом пространстве EL над пространствами основных функций О* и S соответственно ).

Теорема 1.3.^ Пусть Ufc<"Ä'(E') , - некоторое от крытое ограниченное подмножество . Тогда существует непрерывная функция С —»E и целое im * С такие, что для любой функции с носителем S-t*[>/» СЧ®^ - П. тсст место равенство

■ 'Ji'O -

При атом, если U-Ü на (-'*>,я) , то ^(tV-0 при i <-а . i'i

Теорема I.V. - Пусть Ufr £'(£■)■ Тогда существует ц<-лие fa,x > Ü и непрерывная функций такие, что для

любой функции ft с,

UM = ■

= при \t\-cv.

При этом, если U - 0 на (-с*>; а^ , то -ИЛ -0 'фи t- * а ■

В параграфе 2 главы 1 приводится постановка аадачи. Пусть А - линейный замкнутый плотно определенный оператор, действующий в банаховом пространстве £ , X'• г- [Я)(/\')\ -

FafctoR'.w,. И.О. -The' CaucU peoifem. ReaciUio. Maä>.; A,Wvi hcAi-V/estey. «Eb.-6i>6p - (Еас^сЦ). Math App ( ö Vot. M)

в

= ('й(М,1Н14^ , где 1|1||д •• - 1МЫ1М- норма графита йпера-тора А . Рассмотрю! распределение

Г.- = - \ € ^ХхСК^Е^).

определение 2.1. Распределение ие^СХ^ называется обо&дешшм решением задачи -Ксгаи (ЗК), если для него выполнено равенсво Р*и = 5®Х.

Шазаряном Л до.сааано, что если Ре "й^ - опера-

тор-распределение, введенное нше, то задача Коши (ЭК) корректна в обобщенном смысле (т.е. для .иобого т£ Е существует единственное обобщенное решение задачи и для любой последовательности ^х,^ начальных значений , сходящейся в Е. к нулю, соответствующая последовательность обобщенных решений с-^ЙсСХ4) сходится к нулю в этом пространстве распределений) тогда и только тогда, когда существует распределение б-^^„(^(Е/ХЛ"") такое, что выполняются равенства

(2.2) Р*С>=о@1 =

где I - тождественный оператор в Е1, 5 - тождественный оператор в X • Оператор-распределение С) (Е]К)) > УД°Б~ лотеоряющее равенствам (2.2), называется фундаментальным обобщенным решением задачи (ЗК). Будем говорить, что задача (ЭК) корректна в классе (<56 (,Е;ХУ) экспоненциальных распределений ( (Е ;)С) 1 ' подпространство ^„(^Е'/Х?), состоящее из распределений I/ таких, что если она корректна в обобщенном смысле и ее фундаментальное решение принадлежит пространству ■ При этом будем писать Р£. Будем говорить, что задача Коган (ЗК) корректна в классе Е ' (запись: ), если ее фундаментальное решение является элементом ЯьЦ^Е.Х'Л

В параграфе 3 исследована связь между корректностью задачи (ЗК) в классе экспоненциальных распределений и интегриро-

^СКагаса'ч^ .Т. РгоЬ(ете5 Не Слчс.^ арр^са-

Р. Жб'-ччс,

ванными экспоненциально ограниченньши полугруппами.

Определение 3.1.^ Пусть И £ /4 . Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов 5.0^5 в ба-

наховом пространстве Е. называется П. раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппой, если" .5+1 5,

для любого хеЕ при ;

У(о) = О ;

(12) отображение УХОх '. [ 0 и «»4) -> Е. непрерывно;

(13) 3 м > 0 , и)€ к : |Г\ЦЩ £ Ме^ , V г 0 .

Полугруппа называется невырожденной, если

(14) >А»0 = 0 ■=> по = 0.

Арендтом ^ доказано, что если - сильно непрерыв-

ная оператор-функция такая, что

3 И> 0 , и>€ К : II 1| $ ИЬ.0,

(3.1) —

для некоторого пе^ , то при КеУ^е^сО удов-

летворяет тождеству

(3.2) (р-У^^Ж^ -

тогда и только тогда, когда удовлетворяет соотношению

СИ).

Оператор А, = \- , где определен равен-

ством (3.1), Р_еУ > и) называется генератором полугруппы ¡У^НО1) ( в силу (3.2) этот оператор по зависит от выбора

X).

Как доказано в5^ . если оператор является генератором п.

раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруйпи {ХДВД г 0 ^ для некоторого , то для любого определена функция ц.(0): = , + >-0 , которая явля-

ется единственным решением (ЗК) с начальным значением а: . Основным результатом параграфа 3 является Теорема 3.4. Пусть А - линейный замкнутый оператор, действующий в банаховом пространстве Е , со всюду плотной в Е. областью определения Следующие утверждения эквива-

лентны

(х) А является генератором ¡а раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы ^[-ВД^О} для некоторого VI6 М (г) Ре^хСЕ-дУ^ . При отом, для фундаментального обобщенного решенияцзадачи (ЭК) имеет место равенство

где производная в правой части равенства понимается в смысле теории распределений.

В параграфе 4 главы 1 исследована связь между корректностью задачи Коей (ЗК) в классе ^ (£ и локальными ут раз интегрированными полугруппами.

Определение 4.1.") Пусть , Те-(о^о^. Семейство

^ и«:4), 0 ± -Ь < Г ^ с о^Е'Е") называется локальной п. раз интегрированной полугруппой в Е • . если

(Ш) 1/(Ш(^=гЧ,[ Н&+ ГиС1^*- к« ''иСО* Лт

(и-0'1 ь 'о .

для любого ХСг Е. при Оь^Д ;

(1%) отображение Щ'^х ■- [о,!"4)—> Е. непрерывно для любого тс- Е

(УЗ) иШх - 0, [0,7") влочет за собой х^О .

У#с{ой, уг^иеч! 1.0pffi.Cc. (Н'Л Сочс^ [■«(¡/¿ч»?

// ЬгоеС I. ИгД . 'И . р. -V-? - То .

чЧ>Тлл/4л , Оксгдм,« М. Ьсс-лР С-«►»^еои^ (аа( ¡мЬ^ес^ '-с.т; г)Г-сир1 //ГсссЛсиДо^ М«^-V. )<У)С.\/с? <Л, Р.С.-Л-90.

Инфинигезимальным генератором локальной и рат интегрированной полугруппы OfctiT1] называется оператор А0 , определяемый равенством

V-»P+ К ' ■

Ч С" ^ 3иЧ^ТГ^ ''

- множество всех хеЕ таких, что отображение U СО* : [о; о) —* П раз непрерывно дифференцируемо.

__ В ^ доказано, что оператор А0 замыкаем. Оператор f\~-= А, называется полным инфмнитезимальпым генератором локальной а раз интегрированной полугруппы \ U(-t); 0 ё -t <Т ^ •

Центральным результатом теории локальных интегрированных полугрупп является утверждение о том, что если А - полный инфинитезималыплй генератор локальной Iь раз интегрированной полугруппы, то задача Ковш (310 корректна на промежутке [ О )Т) в следующем смысле: для любого х ^ существует един-

ственное решение ulk*) такое, что

IluWII < МШ*«* .

для любых -bt[G')~0 , где \\ т ограниченная на каждом компактном подмножестве функция, ]|=.|1 Ц/V .

Ранее5V) ,с> была исследована связь между регулярны).«! голу группами-распределениями и локально эквинепрерывпыми полугруппами в пространстве Фреше "t с системой полунорм { f^C*) = 1\ А^хЦ" ^ кп=0,1г..} . Било доказано, что ли-' нейный оператор (К в банаховом пространстве Е является _ин-финитеаимальным генератором регулярной полугруппы-распределения (эквивалентно: задача (ЗК) корректна в классе

) тогда и только тогда, когда он плотно определен, замкнут, резольвентное множество к непусто и су-

^ Fuy,wüfct\ D. А clin.ac.ctееvbcA.',o« о^ tUi-U^whc*/

sem-^tonj.« Н J. MairU . Soc. Jap., -I966. VoC. 1Ä ^tJ'b. г. 2И .

Т. |r>e.of>«EV-€S O^ te(ju(ü.e. dUstti^u ¡1олУ

Uwi;<js.oups II Pcoe. Лсрал; Acod. >\S. <169. Р. 224-22}

Ю

жение A|-f оператора А на Y порождает локально эквинел-реривную полугруппу на Y" . Позднее Сило доказано, что линейный замкнутый плотно определенный оператор является полним ипфинитезималышм генератором локальной п раз интегрированной полугруппы \ UlO, 0 <-Т } для некоторого ne N тогда и только тогда , когда сужение оператора А на

Y порождает локально эквинепрерывную полугруппу на Y , откуда, пользуясь приведенным выше утверждением, был сделан вывод со эквивалентности корректности задачи Коти (ЗК) в imacce ^■(.^(Е^У) тому, что А является полным инфянитезималь-ным генератором локальной п. раз интегрированной полугруппы для некоторого п & Ы

В настоящей работе эта эквивалентность доказана напрямую с помощью "структурной" теоремы 1.3.

Теорема 4.3. Пусть А - линейный замкнутый плотно определенный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. . Следующие утверждения эквивалентны

(X) оператор А является полным мнфинитезимальным итератором локальной п. раз интегрированной полугрупш для некоторых nt/^' ,

u) PÉrCcti;(Jei£-,X^V

Конструктивные доказательства теорем 3.4 и 4.3 показывают, что и])т.;грирогси1ные полугруппы есть ни что иное, как первообразные некоторого порядка обогащенных Фундаментальных решений задачи (ЗК). в силу теорем 1.3 и 1.7, зги первообразные существуют ло1сально для произвольных распределений №C£>ç(ài(£,Xj) и глобально для экспоненциальных распределений.

В Главе 2 изучается задача Коши (ГОК), где А и Ь линейные операторы, действующие но банахова пространства X. в банахово пространство Е , А замкнутый, Ь ограниченный с

В параграфе 5 введены в рассмотрение вырозденные полугруппы и их генераторы.

Определение 5.1. Пусть'* né Ai . ОднопараметричеС(Юе се-

//Poeturt

maUi.

■IdfcO. Met АЬ^^Ъ-Ч. Р.Ш-ф.

Il

ыейство линейных ограниченных операторов \ V/ >. О || ,• дой ствующих в банаховом пространстве Е называется вырожденной К\ раз интегрированной экспоненциально ограниченно»! полугруппе и, если для.него выполнены условии (Ш'- (ХЗ) определения 3.1 и не выношено условие (Г4).

Определение 5.2. Одноиараметричэское семейство лшюйьш ограниченных операторов ^I)(У),-I * 0 \ , действующих,в 'банаховом пространство X .называется, вырожденной полугруппой класса Со (или 0 раз интегрированной.вырожденной полугруппой), если

(СП ШиО = "ОИУН^ ^ * ^ > о;

(СЕ) V X и^У1- непрерывна по I' при ^ >, 0 ,

(сз) и (о) [ с^

Определение &.4. Пусть А - банаховы пространства.

Линейные операторы А и Ь , действующие из \ в 11 , называются генераторами вырожденной и раз ( п(г',с\ил^ ) ннтег рироиашюй полугруппы У\ДО,"Ь ® I) ^ с .^(К ,Х ^ если А замкнут, ограничен и верно равенство

(5.6) (\Ь-А.Уё> = ¡, . *

Далее, на основе теоремы Арендта-Уидйера ^ получена характеристика генераторов вырожденной интегрированной полугруппы.

Теорема 6.4. Следующие утверждения экнивалонтны

(I) Операторы А и Ь являются генераторами >>ч раз интегрированной вырожденной полугруппы {М (I171 > С1;, удовлетворяющей условию

(6.6) и ^ , Ь >,0 ,

_ с ч 0+ и 1 Ь

(II) Выполнены оценки

3 ЬА>() , К. '. Ч ВеУ.>и>

И параграфе 5 задача Копт (ВЗК) исследуется с помощью один раз интегрирование!) вырожденной полугруппы, удовлетворяющей условию (5.6).

Определение 6.1. Пусть А и (Ь линейные операторы, действующие из X в Е . Задача Коши (ВЗК) называется равномерно корректной на множестве ^-Х , если для люб ого Р'ч;кч!но задачи u(t) существует, единственно и

(fi.11 V Т> О J Мт \еЦс ,т J || ult^l i Мт W-xII.

Пгмечание 6.1. Очевидно, что если - решение уравне-

ния P-Vlt^ =. At4V> , то для любого t г= 0 е :

А т. е ЬпЬ j

Лап re в рассмотрение вводится множество Ъ^: - /V)1 Ь ,

где \е ^(А4) (через ^(А") обозначается ЕЬ -резольвентное >!иоу.ег.тсо оператора А - множество всех \£i£ , для которых оператор (ДЬ- AY' Ь - X —* X определен и ограничен. Сам оператор ПРИ этом называется fo-резольвентой

оператора А ).

Предложение 6.1. Пусть А и Ь - линейные операторы, действующие из X. ■ в Е , • Тогда имеет место ра-

венство

[ тб<й(АУ AxGln&J =<3 .

Отсюда, в частности, следует независимость "ft от выбора X в рьСА") •

Предложение 6.2. Пусть А и Ь - генераторы один раз интегрированной вырожденной полугруппы » удовлетво-

ряющей условию (5.6). Тогда ),

кееЬ©Х, является подпространством в X . ■

Теорема 6.3. Пусть А и Ь - генераторы один раз интегрированной вырожденной полугруппы ^/(О^г • удовлетворяющей условию (5.6), тогда

(6.3) Ob - А")1 V'(t)(\b ■ А4)"1Ь , "¿>,0 , ЕеХ>еО ;

i

(6.4) t 5х - 6V(l)t - A \7(s)x,(s , г fc к«ЬС£)Хл ;

япляется вырожденной полугруппой класса С0 в подпространстве Kfcb®X, - которое совпадает с Р ; ~

(6.5) Ь^У'(1)х - ДуЧ^ас: , * 6 ОЬ-А^ЬО^У

На основе этой теоремы доказывается основная в этом параграфе

Теорема 6.4. Пусть А и В ~ линейнь'е операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Е. , А замкнутый, Ь ограниченный и выполнены оценки (5.9) (при п = 0 ). Тогда задача Когаи (ВЗК) равномерно корректна на множестве начальных значений ^ - - АУ1В(Х1) » где \б£ , •

О параграфе 7 получено необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи (ГОК) на максимальном множестве корректности этой задачи, которое, как следует из замечания 6.1 и предложения 6.1, совпадает с С31 .

' Теорема 7.1. Пусть А и Ь - линейные операторы, действующие из .X в Е , А замкнутый, 6> ограниченный, кее. Ь | о} , . Следующие утверждения эквивалентны

(I) ¡Задача Кони (ВЗК) равномерно корректна на множестве

(I) Операторы А и Б являются генераторами вырожденной полугруппы класса Сс ^((ОД^О^ .

(3) Выполнены оценки (5.9) при п = 0 и пространство X распадается в прямую сумму Х=&еЕ>©Х •

В параграфе 8 введено понятие и-и)-корректности (ВОЮ и получено условие, гарантирующее к-ы-корректность этой задачи на подмножестве пространства X •

Для этого введены множества

^ : - Ы(Х0в-лУе>У, { = ¿,2,2.,... .

Далее показано, что зти множества но зависят от выбора

е ^СКУ .

Через , К £- ^ обозначено банахово пространство

(здесь ((\,Ь-аУ Ь^'Ч •. = | уеХ : (О^-лУ ьТ^ = х ) •

Определение а. 1. Задача Коши (1НК) называется >1 -Ы-корректной на множестве ЯЬ ^ (^»Л (П-бд^ые^ ), если для любого с решение задачи существует, единственно, и

для ц(АЛ - решения (К1К) с начальным значением 'хе'й , выполнено неравенство

(ал) Ци1П1\< Ие'11зцп

Для получения достаточного условия к-<•<>• корректности Далее доказывается

Теорема 8.1. Пусть Д и Ь - генераторы п+1 раз интегрированной вырожденной полугруппы {УЦО^^О1/ , удовлетворяю -щей условию (5.6) ( п£\о\\Л4 ), тогда

(8.2) (>Ь - А^' - А4)1 Ъ , Ь 0 , ел > со ;

, ии т _

(8.3) -±---Ьх - ЕЛ/ЧОх - Л У\Г (%у:с <(<■ , ;

^1 у '

(тТ)!

Семейство операторов ^УЧО,^^ является вырожденной И рал интегрированной пгсспоненциалыю ограниченной полугруппой В подпространстве Р-. = (^¿"д^^МЩ ^ • Для любых

* 0,1,2, .. ^ п , "X ь ((_\Ь верно равенство

(8.4) * - ^ Б* л-, ¿»О; а для любого х ь ЕЛ""^'!) выполнено

(8.5) = ау^'Ч^У*-, ио.

Центральной теоремой этого параграфа является Георема 8.3. Пусть Д. и Ь - линейные операторы, действующие -из X. в Е , А, замкнут, Ё> ограничен и выполнены оценки (б.9), тогда задача (ВЗК) а-некорректна на множестве , ■ ЛУ'ЬУ^'СсСв^Ь^") £

¡'лава 3 диссертации посвящена некоторым вопросам регуляризации некорректных задач для дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве.

В параграфе 9 доказано, что регуляризующие алгоритмы для

Ь*

некорректной задачи Коши (ЗК) , построенные методами кьаоиоо-ращения и краевых задач, обладает свойством Маслоьа в; , т.е. сходимость регуляризумдего семейства на некотором элементе тье £ , эквивалентна существованию решения задачи, соответствующего начальному значению х. . .

В параграфе 10 рассмотрена численная реализация метода ' "краевых задач" на примере обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности и задачи Коши дли уравнения Лапласа. Дли получения численного решения используются разностные методы. Предложен алгоритм, позволяющий свести возникающую при отом нетрадиционную разностную схему большой размерности к серии хорошо наученных схем, для. численного решения которых сущост вуют экономичные мьтоды. В конце параграфа приведены результаты численного эксперимента с использованием предложенного алгоритма .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образои, в диссертационной работа получены следующие результаты

1. Доказано, что вадача Коши (УК) является корректно« в классе зкснаненциалышх распределений тогда и только т-.л-да, когда оператор /\ является генератором /I раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы \ \Г((Л, ^? 0Длл некоторого (Ч/ . Указана конструктивная связь мемду интегрированными полугруппами (экспоненциальными и локальными) и обобщенными решениями задачи *(010 .

2. Исследовал вопрос о равномерной корректности ОШ), а именно: изучена структура множества корректности задачи, ¡юлу чено достаточное условие равномерной корректности (ЬЛК) на подмножестве пространства X , выделено максимальное множество корректности и получено необходимое и достаточное условие рав -номерной корректности задачи на этом .множестве. Кроме того, введено понятие п-и)-корректности задачи (ЮК) и получило достаточное условие и-с*/-корректности задачи на подмножестве

Маслов В.П. Существование решения некорректной вадачи эквивалентно сходимости регуляризующего процесса // Усп. мат. наук. 1968. Т. 23,^-3. С. 183-184.

пространства X .

3. Доказано, что регуляризующие алгоритмы для некорректной задачи (ЭК), построенные методами квазиобрашэния и краевых задач обладает свойством Маслова Предложен алгоритм, позволяющий уменьшать затраты машинных ресурсов при численной реализации на ЭВМ метода краевых 8адач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Альшанский НА. , Шлышкова И. Е , Фрейберг1 А.Ю. Численная реализация метода краевых задач // ЖШиМЬ 1991. Т. 30,Л3 6. С. 929-933.

2. Альшанский И А. Выровденные интегрированные полугруппы и а-ю-корректность задачи Коши для уравнения типа Соболева // Сб. статей "Теория уравнений типа Соболева и ее приложения" под ред. с. Г. свнрздюка. - Челябинск. 1994.

3. Альшанский и. А. Численная реализация метода "краевых задач" // Некорректные задачи в естественных науках. Тезисы докладов международной конференции. - Москва. 1991.

4. Мельникова И. В. , Альшанский Ы. А. Свойство Маслова ре-гуляриэующих алгоритмов дифференциальных задач. - Екатеринбург, 1992. - 10 с. Дел. в ВИНИТИ, а/^3202-В92.

5. Мельникова Я. Е , Альшанский М. А: Корректность вырожденной задачи Кэши в банаховом пространстве // ДАН. Т. 336,И»1. 1994. С. 17-24.

6. МзльникоЕа И. Е , Альшанский М. А. Ызтод ВГУ для вырожденной задачи Ковш. - Тез. дога. Воронежской матем. школы "Понтрягинские чтения". 1693, с. 133.

\Т-