Математические методы формирования динамики заряженных частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Г§ Ом

! 3 MAI W*

САНКТ-ПЕГ331БУРП31К1 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОТИНА. ЕШЙА ДМИТРИЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГЛЕГОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЕША'-КХИ ЗАРЖЫййЛ. ЧАСТИЦ

УДК 517.97:621.384.6

01.01.09 - математическая кибернетика;

ÛI.QI.II - систамный алаляз к авто.ултическое управление

Автореферат

диссертации i:a соисканге учено»: степени ковдядата &пзЕко-«атеиатическгас наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научны!: руководитель: член-корреопондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор В.И.ЗУБОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.З.АЛЗШКСЗ

кандидат физико-математических наук, профессор М.Ф.РОМАНОВ

Ведущая организация: Российский научнкй центр "Курчатовский институт"

Защита состоится 1934 т. ъ ¡~1 час.

на заседании специализированного совета К-063.57,16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в С.-Петербургском университете по адресу: 199004, 0.-Петербург, КМ линия В.О., д. 33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. 1,1.Горького С.-Петербургского университета.

Автореферат разослан " ()' " с 1994 г.

Учены!! секретарь специализированного совета, доктор физико-математическлх каук З.З.Горьковой

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Проблемы решения разнообразных обратных задач математической физики, теории дифференциальных уравнений, теории управления постоянно находятся в центре внимания многих исследователей. Это вызвано,с одной стороны,интересом к теоретическим проблемам, возникающим при их рассмотрении, их новизной и нестандартностью постановок. С другой стороны,решение обратных задач имеет широкие практические приложения, связанные с разработкой новой техники, технологии и т.д.

Диссертационная работа посвящена исследованию проблем формирования управляющих полей в задачах электродинамики. Рассматриваются задачи построения электромагнитных полей, вызывающих движения заряженных частиц, в соответствии с заданным полем скоростей. Эти проблемы, рассматриваемые, как обратные задачи электродинамики, впервые были сформулированы В.И.Зубовым.

Актуальность разрабатываемых проблем диктуется интенсивной разработкой в настоящее время разнообразной электрофизической аппаратуры различного назначения. Электронные и. ионные пучки используются не только в таких классических направлениях как ядерная физика, приборы СВЧ, но стали эффективным инструментом при термической обработке и соединении тугоплавких металлов, нанесении покрытий, получении новых структур и материалов. •

С изменением областей применения электронных и ионных пучков менялись их функции и требования, предъявляемые к пучкам и создающим их электроннооптическим системам. Для обеспечения необходимых режимов ускорения, фокусировки и транспортировки пучков заряженных частиц необходимо создание специальных

структур электромагнитных полей, обеспечивающих функционирование этих систем в требуемом режиме. Теория,практика расчета и проектирования ускоряющих и фокусирующих структур, основанная на физических принципах ускорения и фокусировки пучков заряженных частиц.достаточно хорошо разработана и известна. В этом направлении имеется много работ различных авторов. Однако, новые прикладные задачи физики пучков заряженных частиц, новые требования к характеристикам пучка порождают необходимость специального исследования проблем формирования динамики частиц. Нестандартный характер возникающих при этом математических проблем требует и нестандартных подходов к их решению.

ЦЕЛЬ РАБОТО состоит в разработке математических методов построения .электромагнитных полей, инициирующих заданные движения заряженных частиц, в создании алгоритмов и программ, реализующих предложенные методы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Предложены методы построения управляющих электромагнитных полей в цилиндрической системе координат на основе подхода В.Л.Зубова к решение данной проблемы.* В аксиальносимметричном случае проблема построения указанных полей сведена к решению квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Сформулирована соответствующая этой проблеме задача 1'урса и предложен алгоритм ее решения. Разработана программа построения стационарного магнитного поля, вызывающего заданное движение заряженных частиц.

к Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., 1982.

Зубов В.И. Колебания и волны. Л., 1989.

ОВДЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ основано на аналитических методах электродинамики, разработанных В.И.Зубов™, теории дифференциальных уравнений и методах вычислений,.математическом моделировании и системном анализе управляемых процессов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских работ в 1Ш вычислительной математики и процессов управления Санкт-Петербургского госуниверситета. Разработанные методы могут найти применение при решении разнообразных проблем ускорения, фокусировки и транспортировки пучков заряженных частиц.

АПРОБАЦИЯ РАБОТУ. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на Международном семинаре по методам и программному обеспечению для исследования систем, автоматического управления (г.Иркутск, 1991 г.); на ХШ Харьковском семинаре по линейным ускорителям (г.Харьков, 1993 г.); на Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (г.Санкт-Петербург, 19УЗ г.); на Международной конференции "Интервальные и компьютерно-алгебраические методы в науке и технике (Интервал 94)" (г.Санкт-Петербург, 1994 г.); на 25 (юбилейной) научной конференции "Управление динамическими системами" факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского университета (г.Санкт-Петербург, 1994 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪьМ РАБО'Ш. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (43 наименований). Объем работы составляет 87 страниц машинописного текста, включая 2 рисунка и 4 таблицы.

КРАТНОЕ СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается важность и актуальность исследуемой темы; дается краткий обзор литературы, непосредственно примыкающей к рассматриваемым в диссертации вопросам. Приводится краткое содержание работы.

Реальные задачи управления пучком заряженных частиц по своей постановке очень сложны. Моделирование динамики пучка на ЭВМ с параллельным определением полей из соответствующих уравнений Максвелла является трудоемким процессом в вычислительном плане. Проблемы построения полей реализующих заданные движения частиц, решение задач формирования оптимальной динамики частиц становятся еще более сложными. Поэтому предлагаются различные подходы к решению упомянутых проблем. Так в работах Б.Н.Бублика, Ф.Г.Гаращенко, А.А.Кураева, Д.А.Овсянникова, В.В.Петренко, Ю.А.Свистунова разрабатывались задачи многопараметрической оптимизации динамики частиц на основе теории управления, устойчивости, различных модельных представлений изучаемых процессов. Особое внимание уделялось выбору функционалов качества и методам их оптимизации. В работах В.И.Зубова был предложен иной подход к решению задач формирования динамики заряженных частиц. Им предложено осуществить поиск электромагнитных полей по заданному полю скоростей заряженных частиц. При этом необходимо, чтобы электромагнитное поле инициировало движения заряженных частиц идентичные движениям, определяемым заданным полем скоростей. Данная диссертация продолжает исследование именно в этом направлении.

Первая глава посвящена проблемам построения управляющих

электромагнитных полой. В работах В.И.Зубова разработана аналитическая теория построения электромагнитных полей, инициирующих заданные движения заряженных частиц. Дана теория построения таких полей в декартовой системе координат и доказан ряд теорем. В данной главо упомянутая теория дается в цилиндрической системе координат, проводятся соответствующие выкладки и выписываются некоторые уравнения и соотношения, касающиеся определения электромагнитных полей. Ь п.1.1 рассматриваются ¿равнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В л Д.2 задача определения электромагнитных полей рассматривается в следующей формулировке.

Пусть имеется поле скоростей

Здесь О , £ - цилиндрические координаты, Ь -

время, (% 2" ) ; ^ЯЗ; ,¿(4$), -

компоненты заданной векторной функции Б) в цилиндри-

ческой системе координат.

Необходимо найти электромагнитное поле, движение заряженных частиц в котором происходит в Соответствии с указанным полем скоростей.

Рассмотрим движение заряженной частицы в цилиндрической системе координат. Оно описывается системой дифференциальных уравнений

Здесь У"(У1,Ув> Уг) - вектор скорости частицы в цилиндрической системе координат, т /VI- уус1 - релятивистская масса частицы, То - масса покоя частицы, С скорость света, £ - заряд частицы, £ - векторная функция, определявшая напряженность электрического поля.

А 6

/ О гЬ^ о

-еЬ.

\ е60

г

, Ьо , 6г - компоненты векторной функции , определявшей магнитную индукцию, .• У) - векторная функция, представляющая различные потенциальные и диссипатив-кые силы, возникающие от взаимодействия движущейся частицы с окружающей средой.

Имеет место следующая теорема В.И.Зубова об универсальности уравнений Максве'дла.

Теорема. Дусть задано поле скоростей (I). Тогда существуют векторные функции Е и & , удовлетворяющие уравнениям Максвелла и такие, что система (2) определяет движения заряженной частицы, идентичнее движениям, определяемым систе-

мой (I), при одинаковых начальных условиях.

Для нахождения векторных функций Я* и В приводятся соответствующие уравнения в цилиндрической системе координат. Рассматриваются так же и другие способы задания и определения электромагнитных полей, реалидущих заданное движение.

В п.1.3 исследуется проблема формирования динамики частиц в стационарном магнитном поле. Движение заряженной частицы описывается следующей системой дифференциальных уравнений

г - &

¿=Уг

где Й , О )* . /П - масса частицы.

Показано, что магнитное поле, реализующее заданные движения, можно искать в виде

+ (4)

где к- - произвольная функция, удовлетворяющая условию

сйьк^ ■

Вторая глава посвящена проблеме формирования заданных движений в аксиальносимметричном стационарном магнитном поле. В отличие от предыдущей главы, дается несколько иная постановка задачи. Часто на практике нас интересует движение заряженных частиц только по части переменных, а движения по другим переменным могут быть произвольными, т.е. на них те накладыва-

ется особых ограничений. В этом сдучае целесообразно математическую постановку проблемы более тесно увязать с ее физической постановкой. Во многих задачах фокусировки и транспортировки заряженных частиц нас интересует поведение частиц в плоскости ('С-, 2.) . Поэтому в п.2,1 рассматривается следующая постановка. Пусть в плоскости (Ъ, г ) задано поле скоростей

аН(а,г) • <5)

Требуется найти стационарное аксиальносимметричное магнитное поле, движение заряженных частиц в котором, описываемое системой (3), совпадало бы в плоскости (%£) с движениями, задаваемыми уравнением (5). В данном пункте эта задача сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, 11ри этом существенно используется наличие интегралов системы, в частности интеграла Буша,

В п.2.2 рассматривается та же постановка, что и в п.2.1. С использованием представления (4) данная проблема сводится к решению специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Доказаны следующие теоремы.

Введем в рассмотрение систему дифференциальных уравнений

где - полная скорость частицы,

с , / г Э/г г ЭЬ г

+ Эг Т • +ЭГТ ^ь'эг

Под решением системы (б) понимаем дважды непрерыено-дифферсн-цируемуе функцию и непрерывно-дифференциру-

емую функцию , обращающие уравнения (0) в

тождества.

гаогалл I. Для любой непрерывно-дифференцируемой функции £ , для которой существует решение системы (6), существует аксиальноеикметричное магнитное поле, в котором движение заряженных частиц, определяемое системой (3), будет совпадать в плоскости (Ъ|2) с движениями уравнения (5), при совпадении начальных условий отих движений. Причем компоненты магнитного поля 6 определяются по формулам

Введем в рассмотрение следующую систему

(9)

Под решением системы (9) понимаем дважды непрерывно-дифференцируемую функцию р = рСС,2) и непрерывно-дифференцируемую функции , обращающие уравнения (9) в тождества.

ТЕОРЕМА 2. Для любой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой существует решение системы (9), существует аксиальносимметричное магнитное поле, в котором движения заряженной частицы, определяемые системой (3) будут совпадать в плоскости 2) с движениями уравнения (5), при одинаковых начальных условиях. Компоненты магнитного поля определяются по формулам

I (II)

В каждом конкретном случае использование одной из систем может оказаться более удобным к целесообразным.

В третьей главе проводится исследование полученных в предыдущей главе систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Они решаются на основе метода характеристик. Указанные системы зависят от некоторой произвольной функции 2 ) , определяющей поле скоростей в плоскости . При любом выборе данной функции системы являются гиперболическими. На основе полученных дифференциальных соотношений вдоль характеристик строятся алго-

ритмы численного реоения этих систем.

В п.3.1 проводится исследование систем (б), (9). Рассмотрим его на примере системы (6), Выпишем для нее уравнения направлений характеристик и дифференциальные соотношения на них

1-е семейство

(12)

2-е семейство

Здесь

Уравнения направлений характеристик определяются только функцией и не зависят от искомых функций, они определяют два ортогональных семейства характеристик.

Используя полученные дифференциальные соотношения в п.3.2 для системы (6) рассматриваем задачу Гурса, т.е. ищем решение Ь , к- системы (б), при условии, что на двух характерно-

тиках, выходящих из одной точки, заданы значения Ь ъ к

Рассматриваются возможные варианты задания функций Ь ,к на соответствующих характеристиках.

В п.3.3 приводится алгоритм численного решения задачи Гуроа на основе метода Массо, в основе которого лежит замена дифференциальных уравнений характеристик соответствующими ко- . нечнораэностными уравнениями.

В п.3.4 по значениям Ь и к. в узлах сетки характеристик определяются компоненты искомого магнитного поля, обеспечивающего требуемую дчнамику частиц.

В п.3.5 рассматриваются примеры численной реализации предложенных алгоритмов. Рассматривается, в частности; задача фокусировки с заданным полем скоростей вида

где А - некоторая постоянная.

Результаты численных расчетов приводятся в виде рисунков и таблиц.

Таким образом, используя предложенную методику нахождения магнитных полей, мы можем решать разнообразные задачи фокусировки и транспортировки заряженных частиц.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОЗЩИЕ швода 110.РАБОТЕ

В диссертации на основе аналитических методов электродинамики В.И.Зубова разработаны математические методы построения управляющих электромагнитных полей в цилиндрической системе координат.

Для стационарных магнитных полей найдены их представления для решения задачи формирования динамики заряженных чвстиц по заданному пол» скоростей.

Проблема нахождения аксиальносимметричных магнитных полей, инициирующих заданные движения заряженных частиц, сведена к решению специальных квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Осуществлена постановка задачи Гурса для исследуемой проблемы и предложен алгоритм ее решения на основе метода Массо.

Рассмотрены конкретные примеры формирования заданных движений в стационарном мапмтном поле. Разработана программа, осуществляющая построение магнитного поля, инициирующего движение заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей.

-IS-

РАБОТЫ АВТОРА ТО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Qvayannlkova (Kotina) E.D. On charged particle beam control.-Abstracts.Int. Workah.. Methods and Software Tor automatlk control aysterns.IMACS/IFAO,Irkutsk,i991.

2. Котина Е.Д. Oö определении стационарного магнитного поля . формирувдэго заданную динамику заряженных частиц.-Тезисы докл. хш Харьковский семинар по линейным ускорителям заряженных частиц. Харьков, 1993.

3. Kotlna E.D. The construction ol axtally symmetric magnetic field , inducing a given motion.-Abstracts. International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics. CSAM'93 , St. Petersburg, 1993.

4. Kotlna E.D. Numerical method of the construction of magnetic field Initiating given motion.-Abstracts. International Conference on Interval and Computer - Algebraic methods In Science and Engineering, interval'94, St-Petersburg. 1994.

5. Котина Е.Д. 0 формировании динамики заряженных частиц в магнитном поле.-Тезисы докл. 25 (юбилейная) научная конференция -Управлегат динамическими системами-факультета прикладной математшш-процессов управления Санкт-Петербургского университета.С.-Петербург.1994.