Оптимизация динамики частиц в линейных ускорителях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Р Г Б ОД

санкт-петербургский государственный университет

оптимизация динамики частиц в линейных ускорителях

01.01.09 - математическая кибернетика

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и . математических методов в научных исследованиях (в области физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ЕДАМЕНКО Николай Семенович

Санкт-Петербург 1994

Ч

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Н.Е.КИРИН

доктор физико-математических наук, профессор Д.А.ОВСЯННИКОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.СВИСГУНОВ

кандидат физико-математических наук, С.Н.АНДРИАНОВ

Ведущая организация: Московский радиотехнический институт РАН

Защита состоится "XI* и^&кя 1994 в /4 час, на заседании специализированного совета K-063.57.I6 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в С.-Петербургском университете по адресу: 199004, С.-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, ауд.88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.А.М.Горького С.-Петербургского университета.

Автореферат разослан 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

В.Ф.ГОРЬКОВОИ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Математическим проблемам формирования пучков заряженных частиц в настоящее время уделяется возраставшее внимание. Практика диктует необходимость разработки эффективных математических методов анализа и синтеза систем ускорения и фокусировки заряженных частиц. Развитие вычислительной техники позволяет исследовать с помощью численного эксперимента все более сложные математические модели всаимодействия электромагнитных полей, создаваемых в ускоряюще-фокусирующих структурах, и движущихся в этих полях заряженных масс.

Возникло новое направление в разработке математических проблем оптимизации ускоряющих и фокусирующих структур. Эти проблемы рассматриваются как специальный класс вариационных задач, задач анализа и синтеза управляющих полей ( работы В.И.Зубова, Л.А.Овсянникова и других).

Актуальным в этом направлении является создание математического и программного обеспечения для исследования конкретных ускоряюще - фокусирующих структур и моделей динамики пучков заряженных частиц.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в разработке математических методов моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц и в создании, на основе этих методов, программ для исследования конкретных ускоряющих и фокусирующих структур.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Предложена математическая модель динамики пучка в линейных у скоряше ^фокусирующих структурах, состояние из соленоидов, квадруполей и ускоряющих зазоров.

Поставлена математическая задача управления динамикой пучка частиц в таких структурах. Разработаны алгоритмы решения поставленной задачи с учетом автономности модели динамики заряженных частиц.

Создано программное обеспечение для моделирования и оптимизации долинейных каналов ( программа ВРО - Beam Parameters Optimization).

Поставлена задача программного управления пучком, в которой часть связей подчиняется интегродифференциальнкм

уравнениям, а остэльные связи есть обыкновенные дифференциальные уравнения.

Получена необходимое условие оптимальности управления типа принципа максимума в такой задаче.

Предложены функционалы для оценки поперечного движения в моделях с огибающими пучка.

Разработаны конкретные интегродифференциальные модели для исследования динамики заряженных пучков с учетом взаимодействия частиц.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ основана на методах математического анализа, теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления применительно к задачам управления динамикой заряженных частиц в ускорителях.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа выполнялась в рамках научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ,проводимых в НИИ ВЫ и ПУ СПбГУ по планам госбюджетных и хоздоговорных (с НИИЭФА им.Д.В.Ефремова, с WFTM РАН и с другими организациями ) тем. Результаты исследований по теме диссертации включены в 13 отчетов. Разработанные программы апробированы на конкретных расчетах по оптимизации ускоряюще -фокусирующих структур.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 7-м Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям (Харьков, 1981), на 2-ой Всесоюзной конференции по теории упругости (Фрунзе, 1985), на конференции Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях (Киев, 1986), на Всесоюзной конференции Классические и неклассические задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, интегральные уравнения и их применение (Куйбышев, 1987), на конференции Применение вычислительной тбхники, математических методов и моделирования в автоматизации экспериментальных исследований (Киев, 1987), на 11-ом Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям заряженных частиц (Харьков, 1989), на международной конфе-

ренции по линейным ускорителям (Loa Alamos,1990), на международной конференции Accelerator and Large Experimental Physics Control Systems (Japan,1991), на международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (Петербург, 1993), на международной конференции Scientific Computation and Mathematical Modeling (Sofia, 1993), на научных соминарах в НИИ ВМ и ПУ СПбГУ и на факультете ПМ-ПУ СПбГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ.

СТРУКТУРА И 0КШ4 РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (44 наименования) и содержит 100 страниц, включая 11 рисунков. Основной текст занимает 81 страницу, а список литературы 6 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении отмечена актуальность проблем, рассмотренных в диссертации, установлены цели проводимых исследований и кратко изложены полученные результаты.

В первой главе диссертационной работа рассматривается задача математического моделирования и оптимизации ускоряющих и фокусирующих линейных структур, состоящих из высокочастотных зазоров, соленоидов и квадруполышх магнитных линз, разделенных участквми дрейфа. Разработанные при этом алгоритмы моделирования и оптимизации динамики пучков звряженных частиц положены в основу программы, которая действует на IBM -совместимых персональных компьютерах под управлением операционной системы US-DOS и предназначена для предварительного ( на стадии проектирования ) определения последовательности элементов структуры и расчета геометрических и электромагнитных параметров этих элементов, обеспечивающих, в рамках принятой модели, требуемые характеристики пучка частиц на выходе.

В первом параграфа исследуются уравнения движения отдельной заряженной частицы в каждом из упомянутых выше элементов

структуры при осычных на первой стадии проектирования упрощающих предположениях (квадратная волна, скачок скорости на границах соленоида и зазора, малый ток). Эти уравнения записываются в общей для всех элементов форме

Х(го+0) - p(X(z0), v(a,l)) (0.1)

х'(z) = F(X(z), v(a,l))t z«(zo,z1) (0.2)

X(z,) = q(X(z,-0), v(a.l)), (0.3)

где a - амплитуда поля (магнитная индукция Ь, электрическое напряжение в зазоре и или магнитная сила квадрупольной линзы g; l=z,-z0 -длина элемента; Р - вектор-функция (Fb,Fu,Fg или F^); векторные функции р и q определяют скачки фазового вектора X=(t,x,y,x,y,z2) на границах элемента.

Во втором параграфе предполагается, что пучок состоит из N частиц, а структура из • M элементов и указывается алгоритм

вычисления значений фазовых векторов X^l^.a.....n) в коше

структуры по их значениям в начале, т.е. решаются полученные в первом параграфе уравнения.

В третьем параграфе ставится задача управления разработанной в первых двух параграфах моделью. Именно, рассматривается управляемая система

xi<Vi+0> « Pk<xi<V,)» vw,

Х^(2) - Pk(X1(z),vk(ok,ll£)), z.(zk.t,zk)i (0.5)

W = qk<W0>* VW*- <0-6)

k»1 ,2.....m,

с начальными условиями

Xt(z0)= X01e m0c rn, 1=1,2.....n.

Здесь z - независимая переменная; X = (x,,^,....^) - вектор фазовых координат; Х* = dX/dz; Pk.Fk.qk - n-мерные векторные функции; у - скалярные функции; о^, lk*tzk-zk_1 - параметры, подлежащие выбору из условия минимума функционала

N

3«Х,1) - i. I g(X,(Z ). (О.Т)

N 1=1

заданного на траекториях системы (0.1-3). Вычисляются производные Функционала (0.7) по параметрам с^. 1к :

1 г

«V N 1Г,

ф»<2 )_£_£_*-* *

1 К ау

+ ф!(г., .+0) —-—=————-—-— + 1 1С~1 Зу

+ Ф ,(г) — .х. ■ ■ . * . * гщ - *■■« * , (0.8)

К 1 57 ] За Пс-1

аз . 1 т Г ,Г ^ууо'.ууу ¿V УУ .

3 ) г , Г бч. (X,

- - -1 Л

31к N г, С 1 к ( ау 31

+ ф*<2 ,0) ^УУ1^ аУУУ ,

1 57 31

+ %Ч-У Л

К 1 ЗУ 31 ]

В конце параграфа эти формулы для вариаций конкретизированы для каждого типа элементов структуры.

В четвертом параграфе разрабатываются алгоритмы вычисления значений градиентов (0.8 - 9) функционала (0.7) с целью последующего применения градиентного метода спуска при решении задачи минимизации. Приведены сопряженные системы уравнений для всех типов элементов структуры и решения этих систем в аналитическом виде всюду кроме зазоров, где сопряженная система решается приближенно.

Пятый параграф отведен под описание разработанной для 1ВМ-совместимых персональных компьютеров программы-математи-

+

ческого моделирования и оптимизации структур класса, так называемых, долинейных каналов. Приведены примеры конкретных вычислений в виде таблиц, графиков и рисунков. Описаны возможности, технические данные программы, работа пользователя. Пятым параграфом заканчивается первая глава.

Вторая глава состоит из четырех (с шестого по девятый) параграфов и посвящена интегродифференциальным моделям динамики сильноточных (нельзя пренебречь взаимодействием частиц) пучков в ускоряюще-фокусирующих структурах и методам оптимизации этих структур.

В шестом параграфе вводится система программного управления вида

(0.10) (0,11) (0.12)

где и[0.Т], Х=(ЗС,.Х2.....хп№Нп, у=(у1,уг,-....ут)«УсН'\

ц=и(г) - г-мерная функция управления из класса V кусочно-непрерывных на [ОД] функций со значениями в множестве исИ1-; фиксировано множество Н0<=Х и каждому х0 из М0 соответствует единственный вектор у0 из У; определена и непрерывна на множестве М0 неотрицательная функция р0(х); множество М,.^»

=^х(1;,х0): х0«=М0| называется сечением пучка траекторий системы (0.10)—(0.12), исходящих из множества М0 и соответствующих управлению и=и(0.

Качество управления характеризуется функционалом

+ / (1хт, (олз)

"т.и

йх

— = Р(г,х,и) = Г(1;,х,и) +Г

-

¿У

— = 1Щ,х,у.и), <11

эр ар

— + — Ра.х.у.и) + р с11у Р(1;,х,и) = о, аг ах *

В седьмом параграфе получено представление вариации фуышионвла (0.13) в виде т г .

оии) = - / X [ Ф*(г,х1.)ДиР(г.хг,и(1)) + 0 "г,и

+ п'^.х^уц^.уи.х^.иО:»* + мг.х^сш^а.х^ии))]^« (О.и)

через вспомогательные переменные ф, т), х, удовлетворяющие уравнениям

<Ч> г ари.х^щЧ)»*

— = - шу т.х4,иш) + -^-: ф -

<и I * * ах ]

I л ) п * Ч дх ]'

цави.^.хи.хд.ц)

ГШТ-ви.г^хи.х .ит* 1

*х(М —н к

— = - ШУ Р(1,х.,и(г))+---*- Т) + 1--Л- ,

« I х * а7 1 ах >

си I х * ау ^ ах

<зх

— - - \ ,и(г>) + -

аф(г.х<..у(г,хг).р(г.х1:)) _

Р^.Х,.) , (0.15)

со следующими условиями при г » Т :

х(Т).-Х(х1,У(1),р(Т,х1)),ах(^а),р(Т^>) р(Т,хт).(0.1б)

С помощью представления (О.Н-16) вариации 03 (и) доказана теорема о необходимом условии оптимальности управления и°= = u°(t) в виде принципа максимума :

шах Г [01>°(t.xt))*F<t,xt.u) + (t)°(t,xt>)*h(t,xt,y(t,xt),u) + U"U *t.u°

+A.0;t.xt)dlYJCF(t.xttu)](Ixtat = | ^°(t,xt))*F(t,xtlu<:>(t)) +

+ (r)0(tIxt))*h(t,xt,y(t,xt),u0)+x0(t,xt)dlvxF(t,xt,u0)J(lxtdt.

В конце седьмого параграфа приведена теорема существования решений в малом для систем вида (0.10)-(0.12).

В восьмом параграфе предлагаются функционалы для оценки динамики заряженных частиц в моделях с огибающей. Предполагается, что ускоряще - фокусирующая структура расположена по оси г и в каадом сечении z = const множество частиц представляется двупараметрическими семействами эллипсов для каждой поперечной фазовой плоскости:

a(a,p)u2 + 2b(a,0)u7 + c(a,(3)v2} < 1 . (0.19)

Здесь (a,P) это пара продольных фазовых координат, а (u,v) это пара поперечных фазовых координат, например, (r,dr/dz) или (x,dx/dz), или (y,dy/dz). Оценим расположение пучка в плоскости (u,v) относительно заданного эллипса функционалом

1г ' J РЕ<а>Р'Чг<а>Р' mes(Ea,p П е] da dp. (0.20) К

Здесь qz(a,p) - плотность распределения координат (u,v) по эллипсу (равномерная), рг(а,р) -плотность распределения пары (n(z),p(B)) в множестве Mz, а Е есть заданный эллипс в плоскости (u,v), именно,

Е = {(U.V): AU2 + 2BUV + Ст2} < 1 , (0.21 )

Задача вычисления площади пересечения двух эллипсов с ооиим

центром симметрии решается с помощью доказанной в этом параграфе теоремы: Если 1=1,2; а1>0; Л±= >0, Et*{(u,v):

aj.u2 + 2bjU7 + с.,?2} £ 1 , Д = (bg-b, )г -(a2-at)(c2-ct),

S ■ mes^Е, П Egj, тогда

ic / maxj ííj", í¿£ ] , при Д < O

ЯГ

arctg

£

J¡7

arctg

1 -h

M» " 1

(0.22)

,4>0.

Здесь ц,<1< ц£ и ц, ц2 — корни квадратного уравнения

А, цг- (Д + Д2) ц + Дг =0 при Д>0.

Предлагаются и другие функционалы типа (0.20). Например, можно вычислять долю частиц попавших в заданный эллипс в сечении г:

| рг(а,р)чг.(а,|3) теа(1^(рП Е) Да <10 Вв .-г-_ , - (0.23)

х Г р (а,0)ч (а,(ЭНа(а,0)с(а,0)-Ьг(а.е) Сайр Jи ъ ъ

Если Ь - координата конца структуры, то 1ь или характеризуют пучок частиц на выходе структуры. Можно следить за поведением пучка по всей длине ускорителя, вводя функционалы вида

X = (c(z)Idz , D = Г' Jo z Jo

C(Z)Dzdz, (0.24)

где- с(г) - заданная весовая функция, или характеризовать пучок в избранных сечениях г1,гг,...,гт:

1 - Слч • 11 - С°Ас-

В моделях с огибающей пучок в поперечном движении представляется элементами матрицы коэффициентов квадратичной формы

(0.18) или элементами обратной матрицы. Эти элементы, в свою очередь, связаны дифференциальными уравнениями между собой,

с продольным движением и с управлениями, то есть с параметрами ускоряющей структуры. Наличие формулы для выт/сления те8(Еа^рП Е) позволяет получать выражения для вариаций функционалов типа (0.20)-(0.23-25) по управлению.

Девятый параграф отведен для описания моделей динамики взаимодействующих частиц в виде систем интэгродифференциальных уравнений и доказывается применимость теоремы существования из восьмого параграфа. Так называемая, модель дисков, предназначенная для изучения продольной динамики, предстает в вида системы уравнений для функций £(т,£0,р0) и р(т,50,р0)

<Ц(т,Е0.р0) = р<*.{0.р„)

йт = <нрг<т,{о,ро))1/г ' ар(т.| .р )

—-£-^-2- = а(£)в1п(гкт+<р ) +

йг °

+ Я Р(1.?.Р)С(Е(1.50.Р0;-Е.Р) <1?<1р . (0.26) нг

Здесь 1Ц - множество, занимаемое дисками в момент т на плоскости (5,р): и0,р0)«М0. Ио - начальное положение пучка,

Р " еНаг

ИСх-у.р)=А(1+ре)> В и (х-у.р), А=-5-5-у. Е - электри-

т=1 г г% го с е Я (I °

о о

ческая постоянная; Вв= (Хт))]г, ит(х-у,р) =

г

й I в^-^.р). = з1€п(а)[1-ехр(-А.ю|з|)],

ат= <р(х(Нрг),/г+(-1)'М ). Ьт=9(у(1+рг)1/г+(-1)1й ), т=1.2;

Ф(а)=0 при в<0, ф(в)=в при э«р,1/Х], ф(а)=1/Х при в>Ь/х.

Одномерная дисковая модель удобна при изучении продольного движения в осесимметричных структурах. Для исследования трехмерных задач в качестве крупной частицы можно взять, на-

пример, равномерно заряженный пар радиусом а. Модель шаров представим в виде:

<Щ(т.Я0.р0) _ р(т,Ко,ро)

йх " С1+р2(т.Н .Р„))1/г' -° = В(т.В(т.Н0,р0)) + И+р(т,й0,р0)]-1/г х

х [р(т,В0.р0).В(т,Н(т.Н0.р0))]+А]- ро(Н',р')[л(т,Во,ро)-

О

- 11(1,Я' ,р' )]ф(Л.|И(т,йо,ро)-Я(т;.Н' ,р' )|/(2а))<»'йр'. (0.27)

Здесь X - длина волны высокочастотного электрического поля; р » пу/(шос) - приведенный импульс; И = гЛ; т = се/К;

Е(т,й) = еХЕ(Д.г/с,ХК)/(т0сг); В(т,Ю = еХВ(Хт/с,?Л)/(тос): А = е\г0/ (З21се0га0сга3); Мо - область шестимерного пространства переменных (В,р)= (х,У,2,рж,ру..р2); Р0^й,р) - плотность распределения шаров в начальный момент времени то, то есть неотрицательная непрерывная функция, определенная в Я0, причем ро(й,р)>0 при (й,р)«М0 и /и ро(Я,р)<Шс1р=1.

Имеет место существование и единственность решений системы (0.27) на отрезке [ го ,+<»•-, Используется и, так называемая, гибридная модель, в которой продольное движение исследуется с помощью дисковой модели, а поперечное - с помощью модели с огибающими пучка. Такая модель наполняет физическим содержанием систему (0.10-12) и к этой модели применимы все разработки второй главы.

В заключении обсувдаются теоретическое и практическое значение полученных в диссертации результатов.

ОБЩИЕ ВЫВОЛЫ ПО РАБОТЕ. В диссертационной работе предложена математическая модель начальной части линейного ускорителя протонов (долинейный канал).

Поставлена математическая задача управления динамикой пучка частиц в таких структурах. Разработаны алгоритмы решения поставленной задачи.

Создано программное обеспечение для моделирования и

оптимизации долинейных каналов ( программа ВРО - Beam Parameters Optimization).

Поставлена задача программного управления пучком, в которой часть связей подчиняется интегродифференциальным уравнениям, а остальные связи есть обыкновенные дайерен-циалыше уравнения.

Получено необходимое условие оптимальности управления типа принципа максимума в такой задаче.

Предложены функционалы для оценки поперечного движения в моделях с огибающими пучка.

Разработаны конкретные интегродифференциальные модели для исследования динамики заряженных пучков с учетом взаимодействия частиц.

РАБОТЫ АВТОРА ПС ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Едаменко Н.С. Оптимизация группирователя // Тезисы докл. 11-ой Всесоюзной конференции по методам и средствам измерения параметров магнитного поля. Ленинград, 19§0.

2. Едаменко Н.С. Оптимизация группирователя // Тезисы докл. 7-го Всесоюзного семинара по линейным ускорителям. Харьков, 1981.

3. Едаменко Н.С. Оптимизация предгруппирователя // Вопросы атомной науки и техники, сер.'.Техника физического эксперимента, вып.1С7], ХФТИАНУССР. 1981.

4. Едаменко Н.С., Овсянников Д.А. Об управлении системой, описываемой интегродифференшшьныими уравнениями // Тез. докладов 2-ой Всесоюзной конференции по теории упругости. 1рунзе, 1985.

Б. Едаменко Н.С. О моделировании динамки заряженных частиц с учетом их взаимодействия //в кн. Математические методы анализа управляемых процессов. Ленинград,ЛГУ,вып.8,1986.

6. Едаменко Н.С., Овсянников Д.А. О математическом моделировании динамики заряженных частиц // Тез. докл. кокф. Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях. Киев, 1986.

7. Едаменко Н.С. Одна интегродифференциальная модель динамики заряженных частиц // Тезисы докл.Всесоюзной научн.конф. Классические и неклассические задачи для дифференциальных

уравнений с частными производными, интегральные уравнения и юс применение. Куйбышев, 1987.

8. Едаменко Н.С. Математическое моделирование динамики несимметричных пучков в группирователе линейного ускорителя // Тез.докл.н-т. конф. Применение вычислительной техники, математических методов и моделирования в автоматизации экспериментальных исследований. Киев, 1987.

9. Едаменко Н.С., Овсянников Д.А. Моделирование я анализ динамики заряженных пучков в ускорителях // Межвуз. сборник Динамика систем и управление. Саранск, 1988.

Ю.Едамонко Н.С., Кабанов B.C., Овсянников Д.А. Анализ и оптимизация динамики пучка в долинвйном канале транспортировки линейного ускорителя протонов // Тезисы докл. 11-го Всесоюзного семинара по линейным ускорителям заряженных частиц. Харьков, 1989.

11.Едаменко Н.С. Дополнение III в монографии Овсянникова Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. ЛГУ, Ленинград, 1990.

12.Едаменко Н.С., ЯаОко А.П., Кабанов B.C., Овсянников Д.А. Beam Parameters Optimization In Initial Part or Llnacs // Abstracts of Linear Accelerator Conference. Los Alamos, 1990.

13.Едаменко Н.С,, Жабко А.П., Кабанов B.C., Овсянников Д.А. Modeling and Optimization oi Beam Dynamics In Ilnac // Proceedings оГ The International Conference on Accelerator and Large Experimental Physios Control Systems. KEK, Tsukuba, Japan, 1991.

и.Едаменко Н.С. On Program Control of Special Dynamic System // Abstracts of The International congress on Computer Systems and Applied Mathematics. St.Petersburg, 1993,

15.Едаменко H.C., Овсянников Д.А. The Control of Dynamic System Trajectories Set // Proceedings of The International Conference on Scientific Computation and Mathematical Modeling. Sofia, 1993.