Математические методы построения моделей квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г 5 Л п т>ьпах рукописи

Д УДК 517.2 + **9.1

1 * СЕН «Л--

ОСИПОВ Эдуард Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЬ'" >СТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛй

01,01.0; - Математический ангин? ?•

01.04.02 - Теоретическая (Ьичик"

АВТОРЕФЕРАТ'

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК, 1995

Работа выполнена в отделе и лаборатории теоретической физики Института Математики имени С. Л. СОБОЛЕВА Сибирского Отделения РАН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Гуц Александр Константинович

Ребенко Алексей Лукич

Копылов Анатолий Павлович

доктор физико-математических наук, профессор.

Омский государственный университет, г. Омск, доктор физико-математических наук, профессор,

Институт математики г. Киев.

доктор физико-математических наук, профессор.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск.

Ведущая организация:

Институт проблем передач информации РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится " 2?"" СЙ-К7"- 1995 г. в ^ часов на заседании специализированного совета Д.002.23.02 при Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН (630090, г. Новосибирск, Университетский пр. 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО РАН . Автореферат разослан " ^ "

1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук I/ ¡к/^1 В.А. Шарафутдинов

№

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение хкории поля и понимяят» физи-

ческих и Г11лч.ких структур, требуемчг для се описания, было и остается

пептралыюы проо>?»\;сп. Приблемз описания конкретных моделей и взаимодействий 1 ребует понимания возможностей, возникающих при применении общих математических структур к конкретным моделям. Поэтому построение конкретных моделей дает возможность понять структуру сингулярностей, возникающих в квантовой теории поля, и возможность более адекватного их описания.

Цель работы. Основной целью диссертации является исследование методов математического описания моделей квантовой теории поля. Целью диссертации является также построение на основе этих методов конкретных моделей взаимодействий квантовой теории поля как в двумерном пространстве-времени, так и в четырехмерном и в высших размерностях пространства-времени.

Методика исследования. Исследование проводится при помощи методов функционального анализа (гильбертовы и банаховы пространства, пространства обобщённых функций), теории мер на бесконечномерных пространствах, теории комплексных голоморфных функций, теории нелинейных эволюционных уравнений, теории представлений и физической интерпретации рассматриваемых конструкций.

Научная новизна. В диссертации изложены основные результаты работ автора по (математическому) построению моделей квантовой теории поля. В этих работах исследованы следующие вопросы.

1. Рассматриваются двумерные модели Р(у?)з, Юкаваз и Р(у>)г + Юкава^. Новым, по сравнению с другими [1], результатом является доказательство условий спектральности и пуанкаре-инвариантности для >тих моделей (и технические летали, связанные с необходимостью учета контрчленов для взаимодействия Юкава2).

2. Рассмотрены условия существования для (неперенормируемого) взамодействия : ехр уз и в (¿-мерном пространстве-времени.

В первую очередь, показано, что прямолинейная аппроксимация (ультрафиолетовое и объемное обрезание без контрчленов) дает тривиальную теорию. Этот результат пезависимо был получен также Альбеверио и Хоэг-Кроном [2.3] и, кроме того, вызвал попытки получить аналогичный результат и для взаимодействия ф*, см. результаты Фрёлиха и Айзенмана [4,5,6] о тривиальности ф\ (а также работу Сигала и др. [7], указывающую на возможность нетривиальных аппроксимаций для взаимодействия ф\).

Далее, рассматривается возможный подход к построению квантовой теории поля со взаимодействием : ехр (¿> . Для квантового поля : ехр <р:а, принадлежащего классу Борхерса свободного поля ц>л, строится евклидова реализация ф, соответствующая формальной замене переменных :ехр £ ф (здесь £ - гауссово свободное евклидово поле). Евклидова реализация ф строится с помощью аналога теоремы Хана-Банаха и продолжения функций Швингера для поля :ехр которые корректно заданы при несовпадающих аргументах. Доказывается существование (счетно-аддитивной евк-лидово-инвариантиой) комплексной меры для поля ф с моментами, совпадающими с продолженными функциями Швингера для поля :ехр . Построенные евклидовы

реализации ф зависят от сингулярных контрчленов. С помощью такой евклидовой реализации для чисто мнимых значений константы связи получено интегральное выражение для порождающего функционала функций Швингера и/или статсуммы для экспоненциального (или полиномиального) взаимодействия без ультрафиолетового обрезания и в конечном объёме ¿-мерного пространства-времени. Дальнейшее продвижение для континуального интеграла в евклидовой области требует получения условия типа интегрируемости экспоненты от лагранжиана взаимодействия с объемным и временным обрезанием. Этот вопрос остается открытым.

Аналогичная конструкция на уровне теорем существования возможна и для континуального интеграла типа интеграла Фейнмана. При этом, для записи на языке интеграла Фейнмана требуется условие интегрируемости мнимой экспоненты от лагранжиана взаимодействия. Так как при рассматриваемой замене возникающий лагранжиан вещественен, то мнимая экспонента от лагранжиана взаимодействия с объемным и временным обрезанием и интеграл от нее корректно определены. Однако местонахождение всей схемы в случае интеграла Фейнмана менее ясно и, кроме того, возникает вопрос о трансляционной и лоренц-инвариантности используемой меры.

3. Рассмотрена калибровочная модель в 2-, 4-, 8-мерном пространстве-времени.

Для четырехмерного случал она была предложена Альбеверио и Хоэг-Кроном [8,9]

и в четырехмерном случае ее можно рассматривать ка к модель нелинейного электромагнитного поля.

Основной пример соответствует полю А = 5* С и является решением системы линейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных вида &А = Здесь д дифференциальный оператор первого порядка, факторизующий лапласиан, А и С дву-, четырех-, восьмимерные обобщённые случайные поля со значениями в комплексных числах, кватернионах и октавах, соответственно, и £ является негауссовым белым шумом. Используя решение этой системы уравнений, строятся (негауссовы и неультралокальные) случайные поля и, затем, с помощью аналитического продолжения - соответствующие вайтмановские функции, удовлетворяющие условиям релятивистской ковариантности, спектральности и локальности. В двумерном случае, выполняется и условие положительности (как следствие отражательной симметрии и марковского свойства).

4. Для решений классического релятивистского волнового уравнения с кубической нелинейностью вводится комплексная структура и рассматриваются ее свойства. Это позволяет рассмотреть квантовое волновое уравнение для (перенормируемой) четырехмерной модели квантового взаимодействия : ф* в котором решение определяется как билинейная форма, разложимая по полиномам Вика т-поля, с соответствующим определением нелинейного члена. Такое рассмотрение было предложено Рончкой [10], см. также работу [11], частично исправившую просмотр Рончки.

Заметим, что хотя здесь, фактически, реализуется идея Сигала-Костанта [12, 13, 44] о комплексной структуре и квантовании, но комплексная структура для квантового поля на этом этапе используется лишь для когерентных векторов близких к вакууму.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации, относящиеся к построению моделей теории поля в высших размерностях, позволяют дать более последовательную и математически

и физически более адекватную трактовку нелинейным квагповым волновым уравнениям и описанию пропес-ов рождения и уничтожения элементарных частиц.

Апробация работы. Основные результаты диссрг.^»—--__, ¿.„¡л- и* ноту-еиая

докладывались на uav4HU" •—*г„__к(ьл Vrw-Tn п лао^раюиии ■"^стлакии «рязвкв,

.-'i'-^-iuoiw т=орттт bcpujiThom»» ™ • г., uui и маской статистики, лаборатории функционально! u а-налма, отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН, на семинарах теоретического отдела Института ядерной физики РАН, на семинарах квантовой теории поля и отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на семинарах кафедр теории вероятностей, теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, в теоретическом отделе Физического института РАН, на семинарах теоретического отдела ОИЯИ, г. Дубна, в Институтах математики и теоретической физики, г. Киев, в Курантовском институте математических наук, г. Нью Йорк, па математическом факультете Гарвардского университета, г. Кембридж, па факультете математики Массачуссетского технологического института, г. Кзмбридж, в Институте теоретической фичики Гегтингенского университета, г. Геттинген, в Институте математики Рурского университета, е. Бохум, на физическом факультете Ьиелефельдского университета, на семинарах Исследовательского центра BiBoS, г. Ьиелефельд, в Математическом и Фиэ;5ческом институте Боннгкога университета, г. Бонн, на российских. союзных и международных конференциях, в том числе, на V международном симпошуме по теории информации, г. Тбилиси (СССР, 1978 г.), на Научной сессии Отделения ядерной физики АН СССР, г. Серпухов (СССР, 1980), на Международной конференции по обобщенном функциям и их применению а математической физике, г. Москва (СССР, 1980). ча Научной сессии Отделения идериой физики АН СССР г. Москва (СССР, 1981), на Семинаре по теории многокомпонентных случайных систем и Координационном совещании по примедатето теории многокомпонентных систем в кибернетике, г. Ташкент) Кумыгак'ш) (СССР. 19Я2), на Всесокиной школе молодых ученых "Комплексные методы в математической физике'', г. Донецк (СССР, 1981). на VI международном симпозиуме по теории информации, г. Ташкент (СССР, 1934), на X Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах, г. Новосибирск (СССР, 1984), на международном конференции по алгебре памяти А.И. Мальцева, г. Новосибирск (СССР, 1989), па рабочем семинаре ■'Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике", г. Тарту(Таравере) (СССР, 1989), на III сибирской школе "Алгебра и Анализ", бухта Песчаная близ г. Иркутска (СССР, 1989), на XVIII международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике, г. Москва (СССР, 1990), на конференции Национального фонда исследований по волновым процессам, г. Бостон (США, 1990), на международномсимпозмуме "Квантовые аспекты нелинейных систем", г. Нордкирхен (Германия, 1990), на 5-ой международной конференции по адронной механике и непотенциальному взаимодействию, г. Сидр Фоллс (США, 1990), на II Вигнеровском симпозиуме, г. Гослар (Германия, 1991), на 10 конгрессе Международной ассоциации математической физики г. Лейпциг (Германия, 1991), на конференции "Ренормгруппа 91", г. Дубна (СССР, 1991), на конференции в г. Кацивели (Украина, 1992), на конференции "Волновой анализ и приложения", г. Тулуза (Франция, 1992), на конференции "Нелинейные эволюционные динамические уравнения 92", г. Дубна (Россия, 1992), читались лекции ца школах: на школе-семинаре "Математические методы анализа сложных систем со

случайными компонентами", г. Миасс (СССР, 1989), на Всесоюзной школе "Алгебра и Анализ", с. Чернолучье близ г. Омска (СССР, 1990), на Всесоюзной школе "Методы функционального анализа", около г. Виноградове (СССР, 1990), на школе "Бесконечномерная геометрия в физике", г. Карпач (Польша, 1992) и других.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1544].

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, девяти глав, разделенных на разделы с автономной нумерацией формул и утверждений по главам, заключения и списка литературы, содержащего 366 наименований. Общий объем диссертации 288 стр. В автореферате в нумерации утверждений первая цифра указывает на главу диссертации, содержащую это утверждение, а следующие совпадают с нумерацией этого утверждения в диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

При изложении содержания диссертации мы в автореферате даем формулировки основных теорем, относящихся к результатам диссертации, и кратко описываем основные методы и идеи доказательства.

Во Введении дается обзор круга вопросов, рассматриваемых в диссертации, определяется их место и значение среди современных работ по математическому описанию квантовой теории поля, обосновывается актуальность темы диссертации и кратко излагается содержание диссертации. В главах 1-4 и главе 8 рассмотрены двумерные модели, а в главах 5-7, 9-10 мы рассматриваем четырехмерные и ¿-мерные модели квантовой теории поля.

В первом разделе главы 1 сформулированы основные результаты, относящиеся к модели теории поля со взаимодействием Р(у>}г + Юкава2. Она рассматривается как динамическая система, заданная на С алгебре СП¡. Основные результаты, относящиеся к модели Р(<р)г + Юкаваг, содержатся в следующей теореме, см. [21]:

Теорема 1.1.1. Пусть и основное состояние с периодическими граничными условиями для модели Р(у>)2 + Юкава2. Такие состояния существуют как состояния над алгеброй 01/ п локально фоковы. Справедливы 7г, Ууз оценки и полученные состояния реализуют канонические представления алгебр ККС. Соответствующие функции Вайтмана и Грина существуют как обобщённые функции над пространством Шварца. Функции Вайтмана удовлетворяют всем аксиомам Вайтмана, кроме, возможно, единственности вакуума и лоренц-инвариаитности.

В случае теории Р(<р)г состояние и и соответствующие функции Вайтмана лоренц-инвариантны.

В случае теории Р(*р)г + Юкаваз существуют СРТ инвариантные основные состояния с периодическими граничными условиями и каждое такое состояние лоренц-инвариана-но, а соответствующие функции Вайтмана лоренц-ковариантны.

Доказательство теоремы 1.1.1 сводится к доказательству теоремы 1.2.1, позволяющей доказывать лоренц-инвариантпог.ть определенного класса теорий при некоторых " предположениях.

Подробно чти предположения сформулированы в разделе 2 главы 1. Они сводятся к предположению о существовании локальной и ковариантной динамики, кттг.г.рц-антного локально-фоковского вакуумного согтегттття, ок'.мральпости, и СРТ-инвариантчогттт. В .них предположениях гпрчпгдлива |еорема 1.2.1 о суще-слвинанни функций Цайтчапа кик обобщенных функций над пространством Шварца и их пуанкаре-ковариантности.

Доказательство теоремы 1.2.1 состоит в построении функций Вайтмана и, затем, в использовании трансляционной инвариантности, спектральности и локальности для получения аналитического продолжения функций Вайтмана в расширенную трубу. После этого из условия положительности и двумерного варианта теоремы о конечной ковариантности Броса-Эпштейна-Глазера следует лоренц-инвариантность. Теорема 1.2.1 реализует идею о жесткой связи спектральности, локальности и пуанкаре-инвариантности, замеченную еще Хаагом.

Тем самым, рассмотрение модели К)кава2 состоит в построении и докача-

Н'лытве предположений теоремы 1.2Л. Оно с помощью подхода Глимма и Джаффе своди тся к получению условий спектральности и локальности и доказательству технических требований и некоторых оценок, в первую очередь, линейной оценки.

Главы 2-4 посвящены анализу и доказательству предположений 1-7 теоремы 1.2.1 для модели /'(у Ъ I" Юкаваг.

0< новным пренятсчвием в доказательстве является необходимость учеча конч р-членов. Идейно простой способ преодоления этого препятствия состоит в получении линейной Ыт оценки (теорема 2.1.3} и использовании локально-фоковского свой< гва. вытекающего из линейной .\'т оценки (чеорема 2.1.2).

Для получения линейной Nr опенки мы используем полуевкш«дотто интегральное представление Мэттьюса-Оалама для явпию вычисления г его помощью вакуумных ожиданий по фермионным переменным и представлении вакуумных ожиданий по бочоиным перемеинь!м в виде инчеграла по гауссовой мере (1Г, отвечающей двухточечной функции

О,(и - г2,х, -х2) = (П0,¥)(х,)ехр(-]г1 - (2|(Я0 -«ЛГт)Мгг)По).

Длячтого мы доказываем теорему 2.2.1 о справедливости интегрального представления Мчттыоса-Оалама для теории с гамильтонианом 11{д, а) — оЛ'т, где Н(д.(т) гамильтониан теории /'() ■ -г Юкава-2 и получаем необходимые нам оценки.

В разделе 6 главы 2 получен также главный технический результат главы 2 -по оценка на £;,(/1г)-нормы для 4(4,,„(1 + Л ) (теорема 2.6.1.)

Полученные оценки позволяют, рассматривая матричные элементы от ехр(-гЯ(<7,<г)

на евклидовых векторах Йоста, оценить их, в итоге, выражением вида ехр(с^<;|) равномерно по а и. тем самым, получить линейную Л^-оценку (раздел 7 главы 2).

В главе 3 доказано условие спектральности модели Р(<р)г + Юкава2 с периодическими граничными условиями. Идея доказательства состоит в использовании положительности Остервальдера-Шрадера в пространственном направлении для получения требуемого неравенства.

Для этого, прежде всего, в разделе 1 главы 3 доказывается Мту оценка (равномерная лишь по ультрафиолетовому обре.занию) для лоренц-повернутого гамильтониана А>Яу> + /¿/V. Чаметим, что полугруппа операторов ехр(—1Н0.у({1)), где сво-

бодный лоренц-повернутый гамильтониан, вообще говоря, не <ч>храняет положительность. и доказательство Ыгу оценки, основанное на формуле М »ттьюса-Салама, не проходит. Мы здесь пользуемся тем, что рассматриваем, следуя Глимму, аппроксимацию приближенно обратную к коммутатору.

В разделе 2 главы 3 рассматривается вопрос о положительности Остервальде-ра-Шрадера в пространственном направлении. Условие положительности Остер-вальдера-Шрадера в пространственном направлении есть, фактически, следствие евклидовой симметрии, и, как заметил А. Джаффе, следует из комплексной лоренц-инвариантности.

В разделе 3 главы 3 свойство положительности Остервальдера-Шрадера в пространственном направлении используется для доказательства перекрывания вакуума. т.е. неортогональности свободного вакуума и вакуума гамильтониана 11 у

В разделе 4 главы 3 из полученных ранее утверждений и оценок выводится

Теорема 3.4.1. Объединенный спектр Ну " Л' лежит в верхнем световом конусе,

т.е.

И0Ну + >'*Л/ > О, Н1 - 1\* > О, Е[И) = ш/ яргНтит Н^-(в) = ЕЩ = 0).

Вакуумные подпространства Ну{(1) и Ну совпадают.

Теперь из теоремы 3.4.1 и коммутационных соотношений следует следствие 3.4/2, дающее соответствующие тг-, У^-оценки.

В главе 4 для завершения доказательства теоремы 1.1.1 доказывается согласованность периодических и свободных граничных условий как для вакуума, так и для автоморфизмов (теорема 4.2.3). Для этой согласованности весьма важно существование линейной Л'т>' оценки и локальная фоковость рассматриваемого состояния.

Этот результат позволяет нам перенести спектральное условие, установленное в главе 3 для V < ос на случай предела V ос.

В разделе 4 главы 4 завершено доказательство всех предположений 1-7 теоремы 1.2.1 и, тем самым, завершено доказательство теорем 1.1.1. 1.2.1 для модели +

Юкаваз с периодическими граничными условиями.

В главах 5-6 мы рассматриваем взаимодействие экспоненциального типа в <1-мерном пространстве-времени. Вопрос о петривиальности и сходимости разных аппроксимаций весьма важен для выбора правильного подхода и обоснования тех или иных возможностей. В первую очередь мы показываем (в главе .э), что прямолинейная аппроксимация (ультрафиолетовое и объемное обрезание без кон трчленов) дает тривиальную теорию. Этот результат независимо был получен также Альбеверио и 'Хоэг-Кроном [2.3] и инициировал получение аналогичных результатов и для взаимо-деи^вия ф\ [4,5,6]. .

Если сделать обрезания и не вводить контрчлены, то легко корректно определи! 1. 'выражение для экспоненциального взаимодействия в евклидовой области

1л.*.« = 1^<1"Л„.„(.г) = I <['.Г I ,МА) : ехрАЫ.г): . (1)

Tíiк как (1) положи тельная функция, ю легко определить вакуумные средние. ('пранедливо следующее утверждение.

Теорема 5.1.1 ([2,3,22]). IWп J ^ 1 ** « = > и щрр ^ О - С,

riüiiü», pvmCKVíe функции К'ОРИИ ГО »ЗПТТМиД,с Гн iBHeM (1) сходятся к свободным

при гнвтг»» г?/<н'»лаии.

В утверждении теоремы 5.1.1 проявляется, фактически, то, что гауссова мера /¿о и сдвиг гауссовой меры //<> на ее ковариацию G(x — .) являются сингулярными по отношению к друг другу мерами.

В главе 6 рассматривается возможный подход к построению квантовой теории поля с экспоненциальным взаимодействием. Теорему 5.1.1 мы интерпретируем как указание на необходимость изменения затравочного взаимодействия на малых рас-тояниях. Один из вариантов такого изменения состоит в введении и рассмотрении контрчленов. Структура контр членов и аппроксимация с их помощью теории вне рамок теории возмущений поддаётся явному описанию лишь н суперперенормиру-емых теориях. Описание контрчленов в перенорм иру ем ых теориях и, тем более, в неперенормируемых теориях весьма сложно. Экспоненциальное взаимодействие (в смысле теории возмущений) представляет собой пеперенормируемое взаимодействие. Однако исполь зонание с\iK'pnponai a i орноп техники позволяет получить конечные члены теории возмущений по главной констап ie < вя зи. ')ю отражает тот факт, что является квантовым полем Найтманн-Джаффе.

И глав«' ("i мы предлагаем математически строгий метод построения (вне рамок теории возмущений) квантовой п-ории поля со взаимодействием :ехр^:,/ в конечном объеме </- мерного постранства-времени и Печ улырафиолетового обрезания. Этот метод учитываех наличие ультрафиолетовых расходимостей и наличие котпрчленов с помощью теоремы Хана-Банахя С мптсм.»1 ической точки -зрения он является анало-*гом течремы < у шее гновация. Основная и лея главЕ.1 (i состоит в юм, что мы совершаем формальную замену переменных л'1Я евклидова поля £ —>-:Рхр£: Ч-контрчлены и придаем обра зуюшимсн формальным выражениям корректный математический смысл. Для этого мы строим евклидову реализацию, т.е. евклидово поле (см. раздел 6 главы 6) для квантового поля Вайтмана-Джаффе : ехр^(х) и. гле свободное скалярное квантовое поле, и используем эту евклидову реализацию для построения теории поля со взаимодействием : expi^ :,¡ . ilpyi ими словами, при построении теории с ж( поненпиальным взаимодействием, мы исходим ие из гауссова случайного поля £(./'), являющегося евклидовой реализацией свободного квантового поля уз(о;), а строим взаимодействующую теорию при помощи евклидовой реализации некоторого представителя класса Борхерса свободного поля, а именно, при помощи евклидовой реализации квантового поля Вайтмана-Джаффе : ехр<^(х) . При этом евклидова реализация ф(х) такова, что моменты поля ф(х) равны функциям Швингера поля :exp£:¿ при несовпадающих аргументах (в смысле обобщённых функций).

Таким образом, основная идея главы б состоит в построении евклидового поля ф{.г), соответствующего нормально упорядоченной экспоненте от свободного квантового поля, и в использовании этого евклидового поля для построения евклидовой квантовой теории поля с экспоненциальным взаимодействием. В отличие от внедиа-гональных функций Швингера свободного поля внедиагональные функции Швингера квантового поля :expv?:¿ неннтегрируемы и для их продолжения на диагонали (т. е. для совпадающих аргументов) приходится рассматривать их как обобщённые функ-

Н

ции в, тем или иным способом, продолжат!, на диагональ (например, с помощью теоремы Хана-Банаха). Кроме того, с помощь«» функций Швингера можно задать лишь моменты меры и, хотя в случае свободного поля мера однозначно восстанавливается по своим моментам, в общем случае это не так. Поэтому евклидово поле, вообще говоря, не задается однозначно одними функциями Швингера, для однозначности необходимо требовать выполнения ещё каких-то условий. Вопросы, связанные г однозначностью построения евклидового поля, требуют дальнейшего изучения.

(' помощью способа, предложенного в этой главе, для чисто мнимых значений константы связи построен порождающий функционал для функций Швингера теории :ехру::,* без ультрафиолетового обрезания и с фиксированным объёмным.

Построенная этим способом теории при разложении по константе связи дает перенормированный ряд теории возмущений. Аналогичный метод применим и к полиномиальным взаимодействиям в (¿-мерном пространстве-времени [26], хотя в этом случае вопрос о связи с обычным рассмотрением модели £{ и неясен.

Аналогичные рассуждения можно применить и к построению функций Грина [24,25], т. е. к построению интеграла Фейнмана. Однако местонахождение всей схемы в случае интеграла Фейнмана менее ясно.

Основные результаты главы б сформулированны п разделе 2. Они сводятся к формулировке и доказательству утверждения о существовании евклидовой реализации н доказательству, соответствующих оценок на функции Швингера квантового поля : ехр<р{х) где .г) ¿-мерное свободное скалярное массивное квантовое поле Вайтмана и : : виково упорядочение (теоремы 6.2.1. (¡.6.2 и лемма (¡.6.4).

(• помощью меры, существование которой доказывается в теореме 6.2.1. мы получаем интегральное представление (в области чисто мнимых значений константы связи) для статсуммы и порождающего функционала функций Швингера теории с экспоненциальным взаимодействием и с пространственно-временным обрезанием.

Аналогичные построения можно провести и для полиномиального взаимодействия [26]. Отличие заключается в том, что для полиномиального взаимодействия в интегральном представлении для порождающего функционала функций Швингера, возникает интеграл по нескольким полям вч(.г). соответствующим :£(.;•)'": + контрчлены.

Само получение требуемых оценок (т.е. теоремы 6.6.2) проводится с помощью техники Рюзлля для оценки пространственноподобной асимптотики усеченных вакуумных средних. Используя симметричность и евклидову инвариантность функций Швингера и теорему реконструкции Остервальдера-Шрадера. функции Швингера можно представить как скалярное произведение (в фоковском пространстве свободного поля) некоторых векторов Поста. С помощью »того представления и того факта, что поле : ехр <^(:г) принадлежит классу Г>орхерса свободного поля, и получается требуемая оценка на усеченные функции Швингера.

В разделе 7 главы 6 рассматривается вопрос о связи положительности Остервальдера-Шрадера и положительности меры. Следует от метить, что условие (физической) положительности Остервальдера-Шрадера. которое влечет положительност ь меры, значительно сильнее просто условия положительности Остервальдера-Шрадера.

Мера, существование которой утверждается в теореме 6.2.1, вообще говоря, как неположительна, так и неединственна. ')тн неединственность отражает как неединственность перенормировок, так и неединственность восстановления теории по ряду

теории жммущений. С общей точки зрения. отраженной в работах ('иманзика, Шап-лнфоура и (¡линкера, мера, соответствующая физической теории, должна быть комплексной в силу нарушения Т инвариантности. Кроме того. ть меры соответствует старой идее о введетпш и i сорит состояний с иидефикмтттоп лнчрикой н.™- ус. ip^üt-.ния ультрафиолетовых расходпмисте.й.

Кгпп сраишшачь полученное нами евклидово представление с обычным, то, прежде всего, в свободном случае построенная таким образом мера (с использованием интегрируемых функций Швингера) дает (единственную) гауссову меру. Для экспоненциального взаимодействия в двумерном пространстве-времени

Va(Í) = jd'x-.rxрА?(х):2Л(х), А € (-V^F, N/S),

можно показать, что существует положительная счётно-аддитивная евклидово-ин-вариантная мера /<. Эта мера задана на сг-алгебре, порождеппой борелевскими цилиндрическими множествами пространства КнЛШ1)', удовлетворяет условию ноло-жптелыюст Остервальдера-Шрадера для ограниченных функций и такова, ч то для f(,r) € K'n,(Hil), неотрицательных ц и неотрина 1елышх А(.г) g L^iffi') П L\{lti*)

I <<Mí)<-M(tf) Á(í)) = <'хр(-~(Я'7')| f Мф)<'х\>(-;Кф-^))-

при ном функция ехр(~ц(<!>.\j)) € Li(k'r,{Bí¿)\ii). Следует, однако, отметить, что так как 1 \ i с) '■/ (К/,\ [ У. fio) при достаточно больших )>, то у меры /' су л (ест вукн лишь моменты не ньинг некоторого порядка р,> (совпадающее с соответствующими функциями Швингера квантового поля : rx¡> Аг-( г):, м ! и поному мера /í ае является евклидовой реалтацией поля : ехр Ау"(,с) :|+) в смысле определения раздела 6 главы б. где требуепя существование всех моментов.

Построение вчаимодг-Пс i вующих релятивт пкнх !■, c.ain иных полей гесно связано с построением евклидовых случайных полей имеющих подходящие марковские свойства. В [лаве 7 рассматривается система линейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных вида

<)LMALM = t CJ)

в дву-. четырех-. и восьмимерном про< транп вах. Чдесь <i!ii левый, или правый, дифференциальный оператор первого порядка, фактортуюший лапласиан. А1'" и С дну-. четырех-, восьыпмерные обобщённые случайные под я со значениями я комплексных числах, кватернионах и октавах, соответственно, и £ является негауо о-В1.Ш белым шумом. Эта система является (в 4-мерном случае) нелинейным аналогом электромагнитного поля в фейпмановской калибровке.

Используя решение этой системы уравнений строятся (негауссовы и неультрало-кальные) случайные поля и, затем, с помощью аналитического продолжения, строятся соответствующие вайтмановские функции, удовлетворяющие релятивистской ковариантности, спектральности и локальности (в четырех- и восьмимерных пространствах возможно без условия положительности). Это позволяет построить поля в дву-. четырех и восьмимерном пространствах. Рассмотрение для четырехмерного и восьмимерпого случая аналогично и ведётся, в основном, для восьмимерного поля. В двумерном случае аналитическое продолжение возможно с помощью положительное тп Остервальдера-Шрадера и изложено в главе К.

Основной пример поля { есть белый шум. Случайные поля öL, решения уравнений (2), определены как стохастические интегралы (теорема 7.'2..'i) и обладают марковским свойством (теорема 7.3.1).

Если { инвариантно относительно вращений части координат, тогда, вопреки евклидовой неинвариантности Al"!i 8-мерное поле Alj,!i может иметь евклидовы инвариантные локальные и квазилокальные редукции на нижние размерности. В частности, если £ лишь G-i инвариантно, то Л1И может иметь евклидово инвариантные локальные и квазилокальные редукции к 4-мерным полям.

Заметим, что хотя рассматриваемые поля обладают марковским свойством, отражательная симметрия в четырехмерном и восьмимерном случаях, вообще говоря, не выполняется и, тем самым, возможно не выполняется и положительность Остерваль-дера-Шрадера. Однако важной и привлекательной особенностью рассматриваемых моделей является их, в некотором смысле, явность. Аналитическое продолжение функций Швингера можно получить непосредственно.

Теорема 7.4.1 (Существование функций Вайтмана). В четырех- и восьмимерных случаях функции Швингера поля AL'H(x), т.е. его моменты, могут быть аналитически продолжены до функций Вайтмана. Эти (единственные) функции Вайтмана являются умеренными распределениями и удовлетворяют релятивистской ковариантности, спектральному условию и локальности.

Доказательство состоит в построении функций Вайтмана прямым аналитическим продолжением усеченных функций Швингера. т.е. семиинвариантов построенного поля. Явный вид рассматриваемых функций, их евклидова ковариантность, а также связь аналитичности и преобразования Фурье-Лапласа обобшённых функций с носителем в октанте или конусе позволяют представить голоморфное расширение А"'"' как преобразование Фурье-Лапласа обобщённой функции c подходящим носителем и

показать, что каждое .S„(yi.....Уп) имеет голоморфное расширение .9'"' определенное

на переставленной расширенной трубе будущего. Из работ Зиновьева следует также единственность голоморфных расширений А1'"' |

В главе 8 рассматривается система стохастических уравнений вида (2) в двумерном пространстве. С помощью решения чтой системы уравнений определено ка-либровочно инвариантное векторное (негауссово и неультралокальное) обобщённое случайное поле (на подпространстве функций с нулевым интегралом и нулевой дивергенцией). Это поле удовлетворяет всем аксиомам Остервальдера-Шрадера (теорема 8.5.1).

Обычный способ доказательства положительности Остервальдера-Шрадера. состоящий в рассмотрении отражательной симметрии и использовании марковского свойства, для нескалярных многокомпонентных полей затруднен. В двумерном случае. если поле обладает дополнительной симметрией (= абелевой калибровочной симметрией), возможно рассмотрение положительности Остервальдера-Шрадера аналогичное скалярному случаю. Оно основано на соединении марковского свойства с калибровочной инвариантностью и отражательной симметрией и излагается в главе 8 для рассматриваемой двумерной модели. В »той двумерной модели в калибровочно инвариантном случае использование марковского свойства тривиально, так как существует (сингулярная) калибровка в которой будущее не зависит от прошлого. (' помощью аппроксимаций мы и используем чту калибровку для доказательства по-

ложи ! ельмос ги Ос ге рвал ».дера-Шрадера. Аналогичное рассмотрение для четырехмерного и восьмимериого 1н>.ия но проходит потому, что отражение времени меняет поле-решение с левым оператором AL на поле-решение г nn»»"» ^rrrpàiupwM А .

и '—ь. 10 i/см.t мотпрно построение модели к па что-то Пали дли взаимодействия

Оно го^-.«- с ¡ноиинием комплексной структуры для решений классиче-

ского нелинейного волнового уравнения. Для описания комплексной структуры мы (в главе <)) рассматриваем классическое релятивистское нелинейное уравнение

Ov 4- т*и + Aii:î = 0, т» >0, Л > 0, (3)

«

в четырехмерном пространстве-времени Минковского и показываем, что оператор рассеяния и волновые операторы задают комплексно аналитические отображения положительно частотных частей свободных решений с конечной 'энергией, в частности, мы доказываем следующую теорему.

Теорема 9.1.1.

П\. 1 ь ¡{{¿.?Г)-- ¿ + изоморфизм H'ï/l на ll*ri( W волновой

гор для нелинейного волнового уравнения (•'{}• Тогда отображение R\YR~~l корректно определено как о поражение //'(ff^.O на НХ{ШЛ и является комплексно .шали гическнм отображением комплексного гильбертова пространства И{ ( IR* Л-) в < ебя. H част ногти, для

Л

г„.(о) = - //'(tf'.i').«, е i\h € //,/2(Ж\Г)

/ --- j

функции \HW H"lZm{<\), A)//W2(f?i являются целыми голоморфными функциями по i<V[....n,v) € rN.

\ нелогичное v ( верл-.дение верно и для опердi ора рассеяния нелинейного волно-HOI I) \ )ЫВНгт1Я { Î )

В разделе 2 главы ÎÏ излагаются идеи доказательства теоремы 9.1.1. а в разделах Я-(> главы !) дано ее доказательство. Эти идеи опираются на результат Кумлина о вещественной аналитичности (вещественных) решений (II) по начальным данным, см. также раСмн v [I 1]. и резуль гати 11 а ней па о единственности сушесч венной униз а-ри iveMoci н и Панейца и Сигал.] о стабильное i и. исполыуюшие результаты Далец-кого и крейи;). ')|и позволяет получить комплексную аналитичносгь в окресноети нуля (начальных данных) и (единственным образом) расширить ее и на большие начальные данные, точнее, набольшие попожительночастотные части (вещественных) решений.

В главе 10 производится построение квантового поля-решения для нелинейного квантового волнового уравнения

®(/.х) = Фт('-х)-Ajf I H{t-r.x-у) :^(г,у):сЫ5у (4)

с помощью рассмотрения терапий и доказательства их сходимости, при этом квантовое поле Ф( t. х) определяется как билинейная форма в фоковском пространстве свободного ¿»-поля, разлагаемая по полиномам Вика и являющаяся решением квантовой)

1.4

волнового уравнения с нелинейным членом, определенным как нормальное упорядочение по отношению к т-полю.

На этом пути удается построить билинейную форму, представляющую квантовое поле. Этот подход, с одной стороны, отражает взгляд Сигала-Костанта на возможность построения квантовой теории с помощью введения комплексной структуры, а с другой, комплексная структура нелинейного волнового уравнения для построения квантового поля-решения явно не вводится. Явное введение комплексной структуры используется на этапе рассмотрения вакуумных средних.

Для построения решения уравнения (4) с помощью итераций мы используем конструкцию полиномов Вика от свободного поля в изложении Сигала и соавторов [14]. Так как такое разложение сходится не на любых векторах, то для построения билинейной формы, соответствующей квантовому полю, мы специальным образом выбираем подпространство £>« векторов в фоковском гильбертовом пространстве, а именно, берем близкие к вакууму когерентные вектора гп-поля и их конечные линейные комбинации. Рассматриваемое нами разложение квантового поля по полиномам Вика свободного гп-поля сходится и задает решение квантового волнового уравнения как билинейную форму на О) х 0$. Такая же конструкция позволяет построить и билинейную форму соответствующую квантовому он(-полю.

Построенное квантовое поле скалярно относительно преобразований Пуанкаре

!'(в,А)(Н1дК'(«.Л)'' =«Н(п,Л)(<,х)), где П(а,\) = */,„(«,Л),

а входящие сюда гамильтониан и оператор импульса удовлетворяют условию спектральности. Оно нелокально по отношению к свободному <6,„((,х) полю, а вопрос о том, является ля оно само локальным, остается пока открытым.

Заметим, что используемая нами конструкция по построению билинейной формы была изложена в работе [11], правда, в [11] для малых комплексных начальных данных вместо ^-нормы используется более сложный вариант Я-нормы. Аналогичное рассмотрение квантового поля как билинейной формы проводилось и Рончкой [10]. который определял матричные элементы квантового поля между когерентными векторами (виковские символы) как решения для любых (необязательно малых) комплексных начальных данных. Это, вообше говоря, неверно. Однако в комплексной окрестности нуля комплексная структура и комплексная аналитичность позволяют рассматривать построение матричных элементов квантового поля-решения с помощью итераций.

Следующими шагами [4:1], не вошедшими в диссертацию, является доказательство. что билинейная форма, сглаженная с пробной функцией, расширяется по непрерывности до единственного ограниченного оператора, и построение с помощью эгих операторов вакуумных средних.

Построение нужных нам решений уравнения Янга-Фелдмана с кубической нелинейностью мы производим с помощью техники Моравец и Штраусса, расширенной на случай малых комплексных ¿п-данных. В разделе 2 главы 10 доказываются нужные нам утверждения о решениях нелинейного волнового уравнения с малыми комплексными гп-данными. Мы используем их для доказательства сходимости итераций для квантового волнового уравнения. Нужные для доказательства оценки нелинейных преобразований, в которые входит риманова функция, даны в разделе 3 главы 10. Для рассмотрения билинейной формы сглаженной с пробной функцией весьма важно.

что рассматриваемая F-норма трансляционно инвариантна. Основное утверждение раздела 4 главы 10 следующее:

Tenne«»» in.-М. Hji-ii.

х, = £>iC<""+>а =

j=i fc=i

когерентные вектора близкие к вакууму, Хь Хг в О«' Тогда равенства

i.*

а

CWi(f,X)(\|, )fi) = ?>„U!t),

J.i

задают симметричные билинейные формы на Dg X О«, удовлетворяющие квантовому волновому уравнению (3). На /?« х Пв билинейная форма 0(t + Т, х) при 7' —> +оо сходится к билинейной форме <£„„<(/, х).

Построенные билинейные формы «!>((, х), фтг(1, х) преобразуются как скаляры при преобразованиях Пуанкаре, порождаемых j'n-полем, и константа связи А однозначно определяется матричными элементами интерполирующего поля, построенными в теореме 10.4.1.

Литература

1..1.GLIMM. A..IAFFE. Quantum physics. A functional integral point of view. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1981. ( Русский перевод: Дж. ГЛИММ, А. Джаффе. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. Пер. с англ. Москва, Мир, 1984.)

2.S.ALBEVERIO, G.GALLAVOTTl, R.HOEGH-KROHN. The exponential interaction in IT. Phys. Lett. 83B (1979) 177-178.

3.S.ALBEVERIO, G.GALLAVOTTl, R.HOEGH-KROHN. Some results for the exponential interaction iu two or more dimensions. Oommun. Math. Phys. 70 (1979) 187-192.

4.J.FROHLICH. On the triviality of Xipj theories and the approach to the critical point in d > 4 dimensions. Nucl. Phys. B200 [FS4] (1982) 281-296.

5.M.AIZENMAN. Geometric analysis of ф4 fields and Ising models (Part I к И). Oommun. Math. Phys. 86 (1982) 1-48.

6.M.AIZENMAN, R.GRAHAM. On the renormalized coupling constant and the susceptibility in <t>\ field theory and the Ising model in four dimensions. Nucl. Phys. B225 [FS9] (1983) 261-288.

7.J.PEDERSEN, I.E.SEGAL, Z.ZHOU. Massless $ quantum field theories and the nontriviality of ф\. Ann. Phys. B376 (1992) 129-142 .

8.S.ALBEVERIO, R.HOEGH-KROHN. Euclidean Markov fields and relativistic quantum fields from stochastic partical differential equations in four dimensions. Phys. Lett. B177 (1986) 175-179.

9.S.ALBEVEEI0, R.HOEGH-KROHN, K.IWATA. Covariant markovian random fields in four space- time dimensions with nonlinear electromagnetic interaction. In: "Applications of self-adjoint extensions in quantum physics". Proc. Dubna Conference 1987, eds. P.Exner, P.Seba (Lecture Notes in Physics, v. 324). Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1989.

10.R.RACZKA. The construction of solution of nonlinear relativistic wave equation in A : Ф* : theory. J. Math. Phys. 16 (1975) 173-176.

11.E.HEIFETS. The ф\ classical wave equation and the construction of the quantum field as a bilinear form in the Fock space. Novosibirsk, Institute of Mathematics, 1974.

12.1.E.SEGAL. Quantization of nonlinear systems. J. Math. Phys. 1, n.6 (1960) 468-488.

13.1.E.SEGAL. Explicit formal construction of nonlinear quantum fields. J. Math. Phys. 5, n.2 (1964) 269-282.

14.J.BAEZ, I.SEGAL, Z.ZHOU. Introduction to algebraic and constructive quantum field theory. Princeton, Princeton University Press, 1992.

Список основных публикаций по теме диссертации

15.E.OSIPOV. Connection between the spectrum condition and the Lorentz invariance of the Yukawa2 quantum field theory. Commun. Math. Phys. 57 (1977) 111-116.

16.E.OSIPOV. The Yukawa2 quantum field theory: linear Nr bound, locally Fock property. Institute for Mathematics, TPh-95, Novosibirsk. 1977.

17.E.HE1FETS, E.OSIPOV. The energy-momentum spectrum in the Р(ч>)2 quantum field theory. Commun. Math. Phys. 56 (1977) 161-172.

18.E.HEIFETS, E.OSIPOV. The energy-momentum spectrum in the Yukawaj quantum field theory. Commun. Math. Phys. 57 (1977) 31-50.

19.E.OSIPOV. The Yukawa2 quantum field theory: linear Nr bound, locally Fbck property. Ann. l'Inst. Henri Poincare 30 (1979) 159-192.

20.E.OSIPOV. The Yukawa? quantum field theory: the Matthews-Salam formula. Ann. l'Inst. Henri Poincare 30 (1979) 193-206.

21.E.OSIPOV. The Yukawa2 quantum field theory: Lorentz invariance. Ann. Phys. (N.Y.), 125 (1980) 53-66.

22.E.OSIPOV. On triviality of the :exp\<p:t quantum field theory in a finite volume. Новосибирск, Институт математики, ТФ-103, 1979 Аг Rept. Math. Phys. 20 п. 2 (1984) 111-116.

23.E.OSIPOV. A possible approach to the construction of the :exp(:j quantum field theory. J. Math. Phys. 25 (1984) 633-648.

24.Э.П.ОСИПОВ. Интеграл Фейнмана для 'экспоненциального взаимодействия в четырехмерном пространстве - времени, I. Теор. Мат. Физ. 47 (1981) 307-314.

25.Э.П.ОСИПОВ. Интеграл Фейнмана для экспоненциального взаимодействия в четырехмерном пространстве - времени, II. Теор. Мат. Физ. 48 (1981) 156-167.

26.Э.П.ОСИПОВ. Интегральные представления функций Швингера для полиномов Вика свободного псшя. Теор. Мат. Физ. 71 (1987) 31-39.

27.E.OSIPOV. Euclidean Green functions for nonlocalizable fields with exponential growth in momentum space. Новосибирск, Институт математики, ТФ-24(156), 1988.

28.E.OSIPOV. Euclidean Markov fields from stochastic partial differential equations in eight-dimensional space. Новосибирск, Институт математики, ТФ-15(152), 1987.

29.E.OSIPOV. Euclidean Green functions for quantum Fainberg-lofa fields. Lett. Math. Phys. 17 (1989) 165-172.

30.E.OSIPOV Oct»«:«- u—H-v t-zZm 4uant<tm wt<! -n «ght-

dirncnçiùiiaî ¿pace Unie. Новосибирск Li..f-TrT.r.vnu^, Tv-13(ZGi), iÛM.

il.t.OSIPOV. Two-dimensional random fields as solutions of stochastic differential equations. Siberian Advances in Mathematics 2 n.3 (1992) 173-186.

32.E.OSIPOV. The central extension of Kac-Moody-Malcev algebras. Lett. Math. Phys. 18 (1989) 35-42.

33.E.OS1POV. Sugawara's construction for Kac-Moody-Malcev algebras. Phys. Lett. B214 (1988) 371-373.

34.E.OSIPOV. Algebras of Kac-Moody-Malcev type on genus g Riemann surfaces. Phys. Lett. B222 (1989) 43-48.

35.E.0.4IP0V. The central extensions of Kac-Moody-Malcev algebras. Proceedings of the Workshop and Conference "Frontiers in Non perturbât ive Field Theory" F.ger, Hungary, 18-23 August 1988. Eds. X.Horwata, L.Palla, A.Patkos. World Scientific, Singapore, 1989, pp. -104-413.

36.E.OSIPOV. Markov properties of solutions of stochastic partial differential equations in a finite volume. In: "Ideas and Methods in Mathematical Analysis, Stochastirs, and Applications." hi Memory of Raphael Hoegh-Krohn (1938-1988). Edited by .4. Albe-verio, .1. E. Feustad. H. Holden, T. Lindstrom. Cambridge University Press 1992, vol.1, pp. 234 - 251.

37.E.OSIPOV. Kac-Moodv-Malcev algebras and superalgebras. Invited / Contributed talk. In: Mathematical Physics X. Proceedings of the Xth Congress on Mathematical Physics. Leipzig, 30 July - 9 August 1991. K. Schmudgen (Ed.), p.478. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, New York, 1992 and the whole text, appear» in: C'lssicrd an.' Quantum "ум.епи- - i-oundations and Symmetries. Proceedings of the ÏI. International Wigner Symposium. Woild Scientific.

.¡8.E.0S11'0V. Kac - Moody - Malcev and .Super - Kac - Moody - Malcev algebras. Phys. Lett. B274 (1992) 341-344.

39.E.OSIPOV. Quantum fields and solutions of stochastic partial differential equations. Lectures given at the 28th Winter School of Theoretical Physics, Karpacz, Poland, February 1392. Novosibirsk, institute of Mathematics, TPh-195, 1992 and to be published.

40.E.OSIPOV. Two-, four-, eight-dimensional fields and solutions of stochastic partial differential equations. Progress in wavelet analysis and applications. Proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France - June 1992. Eds. Y.Meyer, S.Roques, pp. 735-743. Frontières, Gif-sur-Yvette, 1993.

41.E.P.OS1POV, G.V.TOLKACHEV. Sugawara construction for the birepresentation of the Moufang loop. Institute for Mathematics, Novosibirsk, 1993 and to be published in Acta Apppl. Math.

42.E.OSIPOV. Quantum interaction <j>\\ the construction of quantum field defined as a bilinear form. Новосибирск, Институт математики, TPh-205, 1994.

43.E.OSIPOV. Quantum interaction ф*г the construction of the solution of quantum wave equation, the construction of Wightmau functions. Symposium on quantization and nonlinear wave equations, MIT, Cambridge, June 1994.

44.3.П.ОСИПОВ. Комплексная структура многообразия решений классических нелинейных уравнений и квантование. Шестой международный симпозиум по теории информации. Тезисы докладов. Часть III. Москва-Ташкент, 1984, стр. 164-166.