Математические модели конвекции при пониженной гравитации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М.А.ЛАВРЕНТЬЕВА

УДК 532.517 На правах рукописи

Гончарова Ольга Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОНВЕКЦИИ ПРИ ПОНИЖЕННОЙ ГРАВИТАЦИИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете и Алтайском государственном университете

Научный консультант: чл.-корр. РАН, профессор В.В. Пухначёв

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор A.B. Кажихов д.ф.-м.н., профессор Е.Л. Тарунин д.ф.-м.н., профессор Г.Г. Черных

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред

УрО РАН

Защита состоится " " 2005 г. в ^^ часов на

заседании диссертационного совета Д003.054.01 в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан " ^ " ¿t^m^j/^ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

С.А. Ждан

i^Ü 236 6/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучению конвективных течений вязких теплопроводных жидкостей уделяется много внимания в связи с важностью этих процессов для приложений. Интенсивное развитие теории конвекции и численных исследований в настоящее время связано с активным изучением космического пространства, с развитием новых технологий, в том числе, в наземных условиях, что обуславливает интерес к конвективным явлениям в микромасштабах. Возможные направления математического моделирования конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах отражены в обзорах Хомси (G.M. Homsy) и B.B. Пухначёва.

Большой вклад в математическое моделирование режимов конвекции и в исследовании устойчивости внесли Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, В.И. Юдович, A.A. Непомнящий, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Веларде (M.G. Velarde), Джозеф (D. Joseph), Легро (J.-C. Legros). В статьях В.И. Юдовича, В.В.Пухначёва излагается анализ моделей, описывающих конвективные движения жидкостей, начиная с классиков этой науки Обербека (А. Oberbeck) и Буссине-ска (J. Boussinesq) и заканчивая современными проблемами, которыми занимаются авторы статей, а также К.А. Надолин, В.К. Андреев. Одной из первых работ с обоснованием приближения Обербека — Буссинеска была статья Михаляна (J.M. Mihaljan). Аналогичный анализ был продолжен в работах Веларде. Развитию математических методов, используемых для исследования корректности постановок различных задач гидродинамики, посвящены работы O.A. Ладыженской, Л.В. Овсянникова, С.Н. Антонцева, A.B. Кажихова, В.Н. Монахова, В.А. Солонникова. Аналитические и численные исследования новых, уточненных, моделей, а также классических, но дополненных, например, отказом от постоянства коэффициентов переноса, подтверждают наличие новых эффектов в движении жидкостей. В задачах гидродинамики и тепломассообмена, возникающих при моделировании многих технологических процессов, существенным является учет зависимости коэффициента вязкости от температуры. Аналитические исследования начально-краевых задач в различных моделях конвекции с вязкостью, зависящей от температуры, опубликованы Бемом (М. Boehm), Т.Н. Шилкиным и его соавторами. Построение точных решений уравнений конвекции с учетом вязкости от температуры проведено в работах С.Н. Аристова. Начиная с 1984 г., автором изучаются вопросы корректности начально-краевых задач для уравнений Обербека — Буссинеска с вязкостью, зависящей от температуры.

С 1991 г. сформировался интерес к уточненным моделям конвективных движений, когда В.В. Пухначёвым было замечено, что мо-

дель Обербека — Буссинеска непригодна к описанию конвекции, если некоторый параметр, названный параметром микроконвекции, достаточно мал. Если исходить из точных уравнений сохранения массы и импульса, но упрощенно принимать уравнение сохранения энергии, предполагая также постоянство всех коэффициентов переноса, то будет представлена для исследования модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Эта модель характеризуется свойством несоленоидальности поля скоростей, учет которого призван выявить небуссинесковские эффекты в течениях. При использовании зависимости плотности от температуры определенного вида может быть осуществлен переход к модифицированной соленоидальной скорости, что облегчает аналитические и численные исследования, но приводит к рассмотрению на твердой непроницаемой границе замкнутой области, занятой жидкостью, условия второго рода для температуры с необходимым требованием равенства нулю интегрального теплового потока. В 1997 г. аналогичная модель для исследования концентрационной конвекции была предложена Перерой и Секеркой (P.S. Perera, R.F. Sekerka). В работах В.К. Андреева и его учеников проводятся исследования устойчивости решений в модели микроконвекции и исследования условий возникновения конвективных движений на основе модели микроконвекции. Групповой анализ уравнений микроконвекции был проведен A.A. Родионовым. Им же построен ряд точных решений уравнений микроконвекции. Нестационарные и стационарные режимы конвекции исследовались автором численно для сравнения результатов с теми, что предписываются классической моделью.

Вместе с тем, в работах Хагстрома (Т. Hagstrom), Лоренца (J. Lorenz), Клайнермана (S. Klainerman), Майды (А. Majda), В.Б. Мосеенкова, Э.Г. Шифрина осуществлялось математическое моделирование для сжимаемых жидкостей и аналитическое исследование возникаюших начально-краевых задач. Если для газов свойство сжимаемости или способность легко изменять плотность под действием изменений давления или температуры является естественным и даже определяющим свойством, то для жидкостей, как правило, оно выражено слабо. При рассмотрении жидкости, как двухпараметри-ческий термодинамической среды, и в условиях малости параметра сжимаемости В.В. Пухначёв получил в 2002 г. асимптотическое упрощение основных уравнений механики сплошной среды, названное уравнениями конвекции слабо сжимаемой жидкости. Им же изучена линейная модель переходного процесса, который сопровождается распространением нелинейных акустических волн высокой частоты. Следует подчеркнуть, что высокочастотные акустические колебания "отфильтрованы" в результирующих уравнениях модели сла-

бо сжимаемой жидкости, они учитываются лишь на начальном этапе движения. Процедура "фильтрации звука" в уравнениях конвекции газов впервые была осуществлена Паолуччи (S. Paolucci, 1982 г.) и независимо А.Е. Кузнецовым и М.Х. Стрельцом (1983 г.).

В области вычислительной гидродинамики развиваются численные методы применительно к различным задачам конвекции, обосновываются различные подходы к созданию вычислительных алгоритмов, проводится апробация последних на тестовых задачах. Численные методы для исследования динамики вязких жидкостей разрабатывались в работах H.H. Яненко, Г.И. Марчука, Ю.И. Шокина, A.A. Самарского, О.М. Белоцерковского, В.А. Гущина, Б.Г. Кузнецова, Ш. Смагулова, их соавторов и учеников, а применительно к задачам конвекции — в работах А.Ф. Воеводина, В.И. Полежаева, E.JT. Тарунина, Г.Г. Черных, их соавторов. Для численного решения уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссинеска в данной работе применяются методы исследования конвекции в замкнутых объемах. Они связаны с введением функции тока и вихря скорости для двумерных задач, векторного потенциала и ротора скорости для трехмерных задач. Среди численных методов и алгоритмов, разработанных применительно к системе уравнений, записанных в таких переменных, следует отметить работы К.И. Бабенко, П.Н. Вабищевича, Б.М. Берковского и Е.Ф. Ноготова, В.А. Брайлов-ской, Л.А. Чудова. Для трехмерных задач еще бблыней проблемой, чем для двухмерных, становится запись условий прилипания на грат нице в терминах новых искомых функций. Эти трудности обсуждаются, например, в монографии П. Роуча. Варианты граничных условий для векторного потенциала и ротора скорости предлагаются в работах А.Т. Исмаил-заде, В.И. Полежаева, Г.Г. Черных и их соавторов, а сами условия являются чаще следствием условий непротекания и идеального проскальзывания. Анализ постановок граничных условий для трехмерных задач конвекции представлен в работах Б.И. Мыз-никовой и ЕЛ. Тарунина, Мэллисона и Вал Дэвиса (G.D. Mallison, G. de Vahl Davis), где рассмотрены также тесты для трехмерной конвекции.

Для создания вычислительных алгоритмов применяется идея расщепления по физическим процессам. Так называемые конвективный и диффузионный переносы естественным образом в&деляются, как в уравнениях движения, так и в уравнении переноса тепла. Общая теория расщепления наиболее полно изложена в монографии Г.И. Марчука. Явная схема расщепления по физическим факторам используется в работах О.М. Белоцерковского и соавторов. В данной работе применяются численные методы, развиваемые автором совместно с А.Ф. Воеводиным, Т.В. Протопоповой.

Цель работы. Математическое моделирование естественной конвекции жидкости в условиях пониженной гравитации, также применимое в микромасштабах. Аналитическое и численное исследование новых моделей конвекции, учитывающих несоленоидальность поля скоростей, и модели Обербека — Буссинеска с вязкостью, зависящей от температуры.

Исследование вопросов корректности начально-краевых задач теории конвекции, построение точных (инвариантных) решений.

Разработка вычислительных алгоритмов решения двумерных и трехмерных задач конвекции в замкнутых областях на основе реализации идеи расщепления по физическим процессам в классических уравнениях конвекции.

Методика исследования. При получении результатов работы используются идеи и методы функционального анализа, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, численных методов гидродинамики и теории разностных схем. Оценка применимости предлагаемых математических моделей конвекции проводится на основе теоретических результатов о корректности рассматриваемых начально-краевых задач, получении точных (инвариантных) решений, а также вычислительных экспериментов и сопоставлении результатов с тестами и с результатами других авторов.

Научная новизна. Впервые представлены результаты исследования корректности начально-краевых задач для классических уравнений конвекции (с вязкостью, зависящей от температуры), для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости и для нагруженных уравнений в модели микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости; для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости и для уравнений микроконвекции построены и исследованы инвариантные решения в бесконечной полосе; представлены результаты численного исследования нестационарных и стационарных задач микроконвекции, проанализированы количественные и качественные отличия в характеристиках течений, полученных с использованием классической модели и модели микроконвекции; предложен численный метод исследования конвективных движений в двумерных и трехмерных областях на основе расщепления по физическим процессам.

Теоретическая и практическая ценность работы. Для классических уравнений конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры в двумерном случае, как и в теории уравнений Навье — Стокса, полностью решены вопросы, связанные с корректностью постановок начально-краевых задач. Вопрос о единственности решения является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотерми-

ческих движений, здейь не удается воспользоваться. Аналитически и численно исследованы новые математические модели в теории конвекции: модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости и модель конвекции слабо сжимаемой жидкости. Для классических уравнений конвекции с постоянным коэффициентом вязкости предложены методы численного исследования двумерных и трехмерных задач на основе расщепления по физическим процессам. Полученные результаты связаны, в первую очередь, с исследованием конвективных движений жидкости в условиях микрогравитации, но могут быть использованы при анализе течений в микромасштабах. Результаты получены благодаря развитию и применению математических методов для получения новых математических моделей конвекции, для исследования корректности постановок краевых задач, для построения точных инвариантных решений, а также для разработки численных алгоритмов решения задач конвекции. Некоторые из результатов имеют весьма общий характер и широкий диапазон применения в различных прикладных вопросах. Разработанные методики аналитического и численного исследования могут быть применены к изучению других задач математической физики и механики сплошной среды.

Исследования по теме диссертации выполнялись автором в рамках Интеграционной программы СО РАН "Фундаментальные проблемы гидродинамики и тепломассопереноса в условиях микрогравитации" N 5-2000, а также при финансовой поддержке грантов РФФИ "Микроконвекция в жидкостях" N 95-01-01348а, "Двухфазные течения, порожденные термокапиллярным эффектом" N 99-01-00529, гранта Программы поддержки ведущих научных школ N 00-15-96162, гранта Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ РФ N 902.2003.01.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: Международная конференция Ninth European Symposium "Gravity-dependent phenomena in physical sciences" (Berlin, Germany, May 2-5, 1995); Международная конференция Second European Symposium "Fluids in Space" (Naples, Italy, April 22-26, 1996); Международная школа-семинар International workshop "Free Boundaries in Viscous Flows" (St. Petersburg, September 3-5, 1996); Международная конференция Joint X European and VI Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (St. Petersburg, June 15-21, 1997); XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости "Вычислительные технологии 98" (Новосибирск, 13-18 сентября, 1998 г.); Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25-31 января 1999 г.); VII Российский симпозиум "Механика невесомости. Итоги и

перспективы фундаментальных исследований гравитационно - чувствительных систем" (Москва, 11-14 апреля 2000 г.); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 18-24 августа 1999 г.); V Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 18-22 сентября 2000 г.); Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященная 80-летию академика Н.Н.Яненко (Новосибирск, 24-29 июня 2001 г.); VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001 г.); Международная конференция First Conference of the International Marangoni Association "On Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems" (Glessen, Germany, September 12-16, 2001); Всероссийская школа "Задачи со свободными границами. Теория и приложения" (Бийск, 2-6 июля 2002 г.); Международная конференция по вычислительной математике МКБМ-2004 (Новосибирск, 21-25 июня 2004 г.); Международная конференция International Marangoni Association Congress 2004 "Second Conference on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems" (Brussels, Belgium, July 14-17, 2004); Международная конференция 21st International Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Warsaw, Poland, August 15-21, 2004); объединенный семинар ИВТ CO РАН, НГУ, НГТУ "Информационно-вычислительные технологии" под руководством Ю.И. Шокина, В.М. Ковени; семинар ИГиЛ СО РАН "Механика неоднородных сред" под руководством В.Ю. Ляпидевского, В.М. Тешукова; семинар ИГиЛ СО РАН "Математические проблемы механики сплошной среды" под руководством В.Н. Монахова, П.И. Плотникова; семинар ИГиЛ СО РАН "Прикладная гидродинамика" под руководством В.В. Пухначёва; научный семинар ИМСС УрО РАН; Пермский городской гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого; научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Алтайского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14-ти работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 243 страницы. Список литературы содержит 174 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

В Главе 1 в качестве уравнений, описывающих конвективные движения, рассматриваются уравнения, обобщающие уравнения Обер-бека — Буссинеска на случай коэффициента вязкости и, зависящего от температуры:

Vt + (V- V)V = 2Div (и(Т) D{V)) - p~lVp' - pgT,

div V = 0, Tt + V VT = хДГ. (1)

В этих уравнениях t обозначает время, х — пространственную переменную, V — скорость жидкости, р — ее плотность, р' — отклонение от гидростатического давления, Т — температуру, д = const — вектор ускорения силы тяжести, D(V) — тензор скоростей деформаций, 0 = const, х — const — коэффициенты температурного расширения и температуропроводности, соответственно.

В разделе 1 Главы 1 осуществляется постановка начально-краевой задачи. Пусть движение происходит в ограниченной области Q С R" (п = 2,3) с неподвижной непроницаемой границей 8Q класса С2+а . В момент времени t — О заданы начальные условия

V{x, 0) = Щх), Т(х, 0) = Т0(х), xeil, (2)

на границе дП выполняется условие прилипания и известно значение температуры:

V{x, t) = 0, Т(х, t) = Т°{х, t), (х, t) € дС1 х (0, i,) (3)

При этом начальная скорость Vq(x) удовлетворяет требованиям

div V0 = 0, Vo = 0, х е дП. (4)

Предполагается, что начальная температура 7о(х) и функция TG( х, t) — положительные и ограниченные функции,

0 < тп < Т0(х) < М < ос, m < Т°{х, t) < М. (5)

Пусть, кроме того,

Vo € АО), То{х) е с2+а{П), TG{x,t) е с2+аЛ+f(dn х (о,«,)), (6)

начальные и граничные условия согласованы:

Го(х) = т°(х, 0), Tf(x, 0) = хДТо(х), х е an, (7)

непрерывно дифференцируемая функция у{Т) такова, что

0<щ< v{T) <и2<оо, \dv/dT\ < и3, Те [тп, М). (8)

Ранее автором доказано существование решения трехмерной нестационарной задачи для вышеназванных уравнений. Полученное решение представляет собой аналог слабого решения Хопфа в классической задаче для уравнений Навье — Стокса. Обобщенное решение

нестационарной задачи для уравнений свободной конвекции обладает следующими свойствами:

V е Ьоо{0,и^(ЩШ2(0,t.; J\n)), Т' е Loo{0,U-,L2(n))nL2{0,tt)WÏ (n))nLx(Q), Q = fi x (0,t»).

Одним из центральных результатов в теории уравнений, описывающих течения вязкой несжимаемой жидкости, является нахождение класса, в котором может быть доказана единственность решения. Вопрос о единственности решения нестационарной краевой заг дачи для уравнений конвекции является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь не удается воспользоваться.

В Главе 1, как и в теории уравнений Навье — Стокса, решаются сначала вопросы, связанные с повышением гладкости полученного решения. Показывается справедливость более сильных оценок для температуры, а затем осуществляется повышение гладкости скорости. Существенным моментом в проведении последнего анализа является использование разбиения векторного пространства Ь2 на сумму ортогональных подпространств. В дальнейших рассуждениях полагается п — 2, а область fi — односвязной.

В разделе 2 Главы 1 доказывается справедливость более сильных оценок для температуры Т'(х, t), (Т'(х, t) = Т(х, t) — Т°(х, t)) и

о

принадлежность функции Т' классу Loo(0, U; W2 (fi)) П W^iQ)-С использованием разложения векторного пространства L2 (fi) на два ортогональных подпространства: L2(Q) — G(Q) ф J(i7) доказывается

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)-(8) и Уо(^) € J1(fi). Тогда существует решение двумерной задачи (1)-(3), обладающее следующими свойствами:

V G ¿„(О,«.; Jx(n))nL2(0,U-,Wi(n)), Vt e L2(Q),

T' € L^iQ) П ¿00(0, t.; (fi)) П L2(Q, tW|(fi)), T[ e L2(Q).

В разделе 3 Главы 1 доказывается, что в этом же классе функций имеет место теорема единственности.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4) - (8) и Vo(x) e J1 (Я). Тогда решение двумерной задачи (1) - (3), обладающее свойствами

V € Loo(0,i*; j!(fi)) nL2(0,t.;W?(fi)), Vt € L2(Q),

О

т' e LoolQ) П ¿00(0, t»; W2 (fi)) П L2(0, £*; W| (fi)), T? G L2(Q),

единственно.

При тех же предположениях на начальные данные задачи доказывается теорема единственности слабого решения.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4)-(8) и Vq(x) € J^fi). Тогда существует единственное решение двумерной задачи (1)-(3), обладающее свойствами

V е ¿«.(О, t,; J(Sl)) П 1,2(0, t,; J1 (О)), T' € Wl\Q)nLoo(0,t,-,Wi (fi))nioo(Q).

Таким образом, вопросы корректности рассматриваемой математической модели конвективного движения жидкости с учетом зависимости от температуры коэффициента вязкости полностью решаются в двумерном случае.

В Главе 2 в качестве математических моделей конвективных движений жидкости используется классическая модель Обербека — Бус-синеска с постоянной вязкостью и модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Используя зависимость плотности от температуры вида р — ро/(1 + РТ), можно записать уравнения микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости с новой искомой скоростью W (W — V — fix^T), которая уже обладает свойством соленоид ал ьности :

Wt + W ■ S7W + /?x(VT • VW - VW ■ VT) + /32x2(AT ■ VI' - VjVT|2) =

= (1 + (3T){-Vq + г/AW) - 0$T, div W = 0, Tt + W-VT + /?x|VT|2 = (1 + /3T)XAT.

Здесь q — p'/po - ¡3x&T(v + X/pa — x) — модифицированное давление.

Система уравнений Обербека — Буссинеска (1) рассматривается в случае v = const. В Главе 2 проведен сравнительный анализ обеих моделей при численном исследовании конвективных течений жидкостей в областях с твердыми и свободными границами в условиях кратковременной невесомости.

В разделе 1 Главы 2 демонстрируется применение модели микроконвекции для отыскания инвариантного решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в противофазе.

Пусть (x,y,z) декартовы координаты в пространстве, а система координат выбрана так, что д = (0, — <7,0), и жидкость заполняет слой \х\ < а, на твердых границах которого задан тепловой поток. Если величина теплового потока не зависит от z , то возможны плоские течения в вертикальном слое. Эти течения реализуются в случае,

если начальное распределение скорости и температуры не зависят от г, и третья компонента скорости равна нулю. Рассматривается специальный класс решений системы уравнений микроконвекции, инвариантных относительно оператора

где v?(t) — произвольная функция времени. Такие решения имеют вид W = {u,v), и = U{t), v = v(x, t), Т = Т(х, t), q = (<p(t)-g)y + h(x, t).

Отыскание инвариантного решения сводится к решению второй краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности и последующему решению первой краевой задачи для линейного уравнения, которое не является дифференциальным в обычном смысле. Для построения асимптотики решения выбирается в качестве малого параметра число Буссинеска е. Далее рассматривается задача нахождения главных членов разложений по е (периодические решения в случае [/(f) = - sin 7t). Функции Г(°\ г/1) имеют вид

Г(0) = Та(х) sin7« + Тс(х) cos 71, г/1) = t;e(x)sin7í + vc(x) cos 7Í.

При использовании полученных ранее В.В. Пухначёвым выражений для компонент скорости находятся траектории жидких частиц при различных значениях параметров течения. Поскольку инвариантные решения представляют собой точные решения линеаризованной модели микроконвекции, проведен анализ нетривиальной составляющей движения на основании метода усреднения Крылова — Боголюбова.

Предполагается, что в условиях применимости модели микроконвекции интенсивность периодического движения и дрейфа частицы определяется, в первую очередь, значениями угловой частоты 7, числом Буссинеска е и положением стартовой точки (хо, уо) относительно боковых границ области. При очень малых £ и 7, сравнимых с 1, делается вывод о типичности режима микроконвекции с медленным дрейфом жидких частиц в вертикальном направлении. Подтверждает этот факт и анализ нетривиальной составляющей движения. Показывается также, что траектории, рассчитанные по модели

0.2 -

04 07 ОЛ 09 1Л

(В

Рис. 1: Траектории частицы на промежутке времени [0, 2400]; стартовая точка (0.8; 0); параметры расчета: е = 7 = 0.5; Рг = 0.01, г) = 0.4.

Обербека — Буссинеска, представляют собой отрезки прямых х = хо-Траектории, рассчитанные для линейного приближения модели микроконвекции, демонстрируют сложный и разнообразный дрейф жидкой частицы. В работе представлены графики траекторий жидких частиц, рассчитанные по альтернативным моделям конвекции для разных модельных сред. (Пример траекторий см. на рис. 1.) Все размерные параметры определяются в системе СГС.

Использование модели микроконвекции порождает ряд нестандартных начально-краевых задач.

В разделе 2 Главы 2 исследуется их разрешимость. При отыскании инвариантного решения в вертикальной полосе имеет место следующая начально-краевая задача для отыскания второй компоненты скорости

+ ^ (и + Г*) «х = (1 + еТ) (ьхх - ч>) + еТд, (10)

V = ь0(х), Ь = 0, |х| < 1, (11)

1>(-М) = »(М) = о, г>о, (12)

и начально-краевая задача следующего вида для нелинейного уравнения теплопроводности:

РгТ{ + е(и + ТХ)ТХ = (1 + еТ)Тхх, (13)

Т = Т0(х), I = 0, \х\ < 1, (14)

Гя(-1,«) = Тх( М) = -17(0, I > 0. (15)

При этом функция (р удовлетворяет соотношению

1

-1

Предположим, что выполнены условия

у0(х) е С2+°([-1,1]); Т0(х) € С3+а([-1,1]); Щ4) € С1+Л/2([0, Ьеп4))

(16)

при произвольном конечном а также условия согласования вида

-17(0) = Т0х(±1), ± [1 +еГо(±1)]То«и(±1) + и'{0) = 0,

«о(±1) = 0, (1 + еТо(±1)) [г>01а;(±1) — <¿>(0)] + еТо(±1)<7 = 0, (17) где

т = \ («0.(1) - г*х(-1)) + | / Т+ЛЪ**-

-1

Если искать функции v и Т в виде разложений в ряды по степе-

оо оо

ням малого параметра е то главные

к=0 к=1 члены разложеьшй являются решениями задач

РгТ[0) = (18)

Т™(х,0) = Т0(х), 2*°>(-М) =2«0)(М) = -£/(*); (19)

1

^>(1,4) _ vCi>(_ijf) + JTodx

+ (20)

t>W(®,0) = vo(x), vW(-l,t) = v^(l,t) = 0. (21)

Все остальные функции v^ могут быть определены рекур-

рентным образом как решения начально-краевых задач, следующих из (10)—(15). Уравнения вида (20) называются нагруженными.

Для доказательства разрешимости (20), (21) используется представление гД1) в виде суммы четной и нечетной составляющих. Задача для четной составляющей сводится к решению некоторого интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром, имеющем слабую

особенность. Тем самым находится функция f(t) = обла-

дающая свойствами гладкости, позволяющими установить разрешимость исходной задачи в классе функций C2+Q:,1+a/2([0,1] х [0,tend]). При выполнении условий (16) и условий согласования (17) имеет место также разрешимость краевой задачи для главного приближения температуры (18), (19), причем £ C3+e'<3+a>/2([-lf 1] х [0,terui}). Используются известные результаты O.A. Ладыженской, В.А. Солон-никова, H.H. Уральцевой по разрешимости в классах функций Гель-дера вышеназванных задач. Аналогичным образом устанавливается разрешимость рекуррентных задач. Окончательно имеет место

Теорема 4. Пусть выполнены условия (16), (17), причем |T0|3+a < 1. Существует такое ё > 0, что при 0 < £ < ё задача (10)—(15) имеет решение вида v G C2+a'1+a/2([-l,l] х [0,iend]), Т е с3+а'(-3+а^2 ([-1,1] х [0, tend])- Это решение есть аналитическая функция параметра е в точке е — 0.

В разделе 3 Главы 2 численно исследованы нестационарные режимы микроконвекции в кольцевых областях и длинном прямоугольнике, вытянутом по направлению силы тяжести для жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Границы области считаются твердыми, непроницаемыми.

В разделе 2.3.1 конвекция в длинном прямоугольнике, вытянутом по направлению силы тяжести, исследуется в случае теплоизоляции торцов прямоугольника и периодического потока тепла через длинные стороны. При этом выполняется условие равенства нулю интегрального теплового потока. Классические уравнения конвекции и уравнения микроконвекции рассматриваются в переменных и) — вихрь скорости, ф — функция тока (или модифицированная функция тока). В этих переменных обе системы уравнений выглядят следующим образом:

LJt + viujx + V2ujy = РАш + /ЗдТу 4- Fu, Аф — -ш, Tt + vxTx + v2Tv = хАТ + FT\ vi = фу, V2 = -фх-Для модели микроконвекции имеют место соотношения

й = (1 + 0Т)и, х=(1 + РТ)Х, FT = -f3X\VT\2, Fu = /?( - Txqy + Tvqx) 4- v(3{Av2Tx - АьхТу) + +(-/?*) (w AT + VT■ Vw) + (-p\2)(ATx Ty - ATy Tx).

Для модели Обербека — Буссинеска имеем, соответственно, Р = и, X = Х> Ft — 0, Fu = 0. Граничные условия для модели микроконвекции, сформулированные в терминах функции тока, имеют вид

Х = 0:ф = 0,фх= рХТу, Тх = 0;

х = х0 : ф = ¡ЗххоА sin 7Í, фх = РхТу, Тх = 0;

у = 0,у = 1 : ф = PxxAsin-yt, фу = -/ЗхТх, Ту = Asinjt.

Для модели Обербека — Буссинеска граничные условия записываются следующим образом:

х — 0, х = х0 : ф — 0, фх = 0, Тх = 0; у = 0,у = 1 : ф — 0, фу = 0, Ту = Asiwyt.

Начальные условия для обеих моделей таковы: ш = 0, ф = 0, Т = Tq.

Численное исследование поставленных задач проводится с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы, известной как метод переменных направлений. Для решения уравнения

Пуассона на каждом временном шаге ¿д. — кт, (к = 1,2,...) применяется итерационная схема. Для задания граничных условий для вихря выводятся условия типа Тома или Вудса. Итерационный процесс при решении уравнения Пуассона считается сошедшимся, если выполнен критерий сходимости

- Гп,т\ < Ч тахЮ-

П,Ш ' ** 1

Точность выполнимости граничных условий для вихря определяется по величине вида Е = тахп —

{'Фп 2) I • Устойчивость алгоритма и порядок сходимости проверяется путем вычислительного эксперимента на последовательностях сеток (200 х 20, 400 х 40 , 800 х 80), при этом ведутся наблюдения за величиной, характеризующей для каждой сетки интенсивность движения или являющейся интегральной нормой. Экспериментальный порядок сходимости г и приближенно определенная относительная погрешность е вычисляются согласно правила Рунге. Если основной величиной наблюдения является интенсивность движения, то г та 1.8 и е та 3%. Если же таковой является интегральная Ьг-норма для функции тока, то г ~ 2 и е ~ 3%. Расчеты проводятся для нескольких модельных жидкостей при действии микроускорений, достижимых на орбитальной станции. На рисунках данного раздела представлены траектории жидкой частицы. Траектории, рассчитанные с использованием модели Обербека — Буссинеска, заполняют отрезки прямых, параллельных Ох. Траектории, рассчитанные по модели микроконвекции имеют более сложную структуру (см. рис. 2). Кроме качественного отличия наблюдаются и количественные различия для скоростей. Поля температуры, рассчитанные по обеим моделям, практически одинаковы по своим количественным и качественным характеристикам. Проводится исследование зависимости траекторий от угловой частоты 7, амплитудного коэффициента Л и от положения частицы в начальный момент времени.

В разделе 2.3.2 в случае круговых областей Я\ < г < Я2, 0 < в < 27г рассматривается нестационарная конвекция в условиях переменного гравитационного поля д = д(Ь) = до сов^), (до = Ю-3,

Рис. 2: Траектории частицы на промежутке времени [0, 240]; параметры расчета: Рг = 0.75, £ = 0.01, ч = 1, 7=2; стартовая точка — (5; 0.6).

7 = Ю и изменяющегося во времени граничного температурного режима дТ/дг = #(<)совв; #(*) = (7\ - Т0)фх + Т0, Ь < Н(Ь) = Ть г > ¿1 (¿1 = 60, Т0 = 35°С, Тх = 70°С). Начальные условия определяются состоянием покоя. Рассматриваются два вида граничных условий, соответствующих двум характерам температурного режима: Вариант I — 0 — поток тепла через внешнюю границу области и теплоизоляция внутренней границы; Вариант 1 = 1 — поток тепла через внутреннюю границу области и теплоизоляция внешней границы.

Уравнения Обербека — Буссинеска и уравнения микроконвекции записываются в полярных координатах для искомых функций ф — и. Граничные условия для ф являются следствием условий прилипания на твердых непроницаемых границах, при этом, разностные граничные условия Тома связывают функции ф, ш. Для численного решения задачи используется метод расчета конвективных течений в двухсвязных областях с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы. Расчеты показывают качественные и количественные отличия картин течения, рассчитанных по двум различным моделям. Это касается структуры течения, его топологии, развития по времени (см., например, рис. 3).

Рис. 3: Вариант I = 1 (поток тепла через внутреннюю границу области и теплоизоляция внешней границы). Поле скоростей при £ — 120; параметры расчета: Рг = Ю-1, »7=1, Яа = 10~4; модель Обербека — Буссинеска (а); модель микроконвекции (б).

Для температуры расчеты показывают лишь некоторые количественные отличия температурных полей, рассчитываемых по двум различным моделям. Качественно наблюдаются два типа семейств изотерм, соответствующих двум различным типам граничных условий (Вариант I = 0 и Вариант I = 1).

В разделе 4 Главы 2 проведено исследование стационарных

конвективных процессов в областях со свободными (слабо деформируемыми) границами. Учет несоленоидальности в стационарных задачах микроконвекции ведет к поправкам порядка числа Буссинеска, что согласуется с теоретическими результатами. Вместе с тем, расчеты стационарных задач со слабо деформируемой свободной границей выявляют ситуации, когда различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микроконвекции, проявляются достаточно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование больших градиентов в тепловом граничном режиме на свободной границе. Гравитационно-капиллярная конвекция рассчитывается в кольцевых областях и полукруге. Поправка к свободной границе может быть найдена из динамического условия на свободной границе. Расчеты проводятся для различных значений чисел Прандтля, Марангони и Грасгофа. Уравнения Обер-бека — Буссинеска и уравнения микроконвекции записываются в безразмерном виде в полярных координатах для искомых функций гр—и. Граничные условия для tp являются следствием условий прилипания на твердой непроницаемой границе. Кинематическое и динамическое условия на свободной границе также записываются в терминах ф, to.

В разделе 2.4.1 при изучении стационарной гравитационно-термокапиллярной конвекции в полукруге 0 < г < R < +оо, 7г < <р < 2тг свободной границей считается диаметр полукруга, предполагаемый теплоизолированным, а полуокружность представляет собой твердую непроницаемую границу с потоком тепла через нее. Для реализации быстропеременных температурных полей моделируется локальная особенность теплового потока на свободной и на твердой границе. В связи с этим рассматриваются три вида граничных условий для обеих моделей. Обозначим их условно: Вариант I — "всплески" (особенности) отсутствуют; Вариант II — особенность в тепловом граничном режиме на свободной границе; Вариант III — особенность в тепловом граничном режиме на твердой границе. Граничное условие для температуры на твердой границе имеет вид дТ/дг — Tq cos 7</?, 7 = {1,2, 4}.

Численное исследование поставленных задач для систем уравнений конвекции проводится методом установления с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы. Итерационные процессы считаются сошедшимися, если выполняется критерий сходимости, аналогичный выписанному выше. Помимо этого, стационарное течение считается достигнутым, если выполняется не менее К внешних итераций, и осуществляется проверка выхода на стационарный режим методом возмущения решения. Устойчивость алгоритма проверяется также путем вычислительного эксперимента на последовательностях сеток. В случае Варианта I устойчивость алгоритма

и экспериментальный порядок сходимости проверяется путем вычислительного эксперимента на последовательностях сеток (41 х 41, 81 х 81, 161 х 161) при наблюдении за интенсивностью движения. Расчеты для одной из модельных жидкостей показывают экспериментальный порядок сходимости и относительную погрешность, равные 1.8 и 5% соответственно. В итоге для Варианта I качественных различий в топологии течений, рассчитанных по двум альтернативным матемаг тическим моделям, не наблюдается.

Рис. 4: Вариант II; Sil; 7 = 4. Структура течения: модель микроконвекции (а); модель Обербека — Буссинеска (в).

При рассмотрении Варианта II для жидкости типа расплава кремния могут наблюдаться различия в результатах стационарных задач, получаемых по двум математическим моделям конвекции при моделирование локальной особенности Гауссова типа (см. рис. 4). Заметим, что параллельно с особенностью на свободной границе моделируется граничный температурный режим на твердой границе со значениями 7 > 1. Количественные характеристики, полученные по двум разным математическим моделям, практически одинаковы. Для Варианта III качественных различий в структуре течения, рассчитанного по двум математическим моделям, практически не наблюдается. В работе некоторые расчетные данные приводятся в таблицах.

В разделе 2.4.2 численно исследуется микроконвекция в кольцевой области 0 < Ri < г < i?2 < +оо, 0 < <р < 2п со свободной грат ницей. При этом рассматриваются модельные ситуации, когда внутренняя окружность г = Ri - твердая граница с потоком тепла через нее, а внешняя окружность г — R2 ~ свободная граница, предполагаемая теплоизолированной; и наоборот, когда внешняя окружность г = R2 — твердая граница с потоком тепла через нее, внутренняя окружность г = R\ — свободная граница, предполагаемая теплоизолированной. Классические уравнения конвекции Обербека — Буссинеска и уравнения микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости рассматриваются в безразмерной форме в полярных координатах. В результате численных исследований каких-либо суще-

ственных качественных и количественных различий в характеристиках течений, полученных с использованием двух различных моделей конвекции, не обнаружено.

В Главе 3 изучаются уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости, которые могут быть применены также для моделирования конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах.

В разделе 1 Главы 3 исследуется корректность начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости

P{Vt + V- VV) = Pr (1 + еТ) [V(-p + £ div V) + Д V] + т)РгР до, (22)

(1 + еТ) Р - eP(Tt + V ■ VT) + Р (1 + еТ) div V = 0, (23) Р (Tt + V • VT) - Р (а2 + еоцТ) = (1 + еТ) AT. (24)

На границе Е области fí во все моменты времени задается условие прилипания для скорости

r(x,t) = 0, ieS, t >0. (25)

Для температуры на границе Е рассматривается граничное условие третьего рода

дТ/дп + кТ = f{x,t), хеЕ, t>0. (26)

В момент времени t = 0 задаются вектор скорости и температура

V(x,0) = Vo(x), T(x,0) = Т0(х), х € гг. (27)

Функция P(t) удовлетворяет уравнению

rj[-£[a\++?TT)] d* = ej(f-KT)dZ, (28)

П Е

и начальному условию Р(0) = 1.

Предполагается, что исходные данные задачи являются достаточно гладкими и подчиняются локальным условиям согласования

V0{x) = 0, /(х,0) = дТ0/дп+кТ0, ft{x,0) = dF/dn+KF, х € Е, (29)

где F(x) = (1 + еТ0)АТ0 - V0 ■ VT0 + Р0(а2 + «*iT0). Кроме того,

div (?о - eVr0) + [l - £(а; + Го = 0, х € П. (30)

-1

j(/(х, 0) - кТо) dE.

Е

здесь

Ро = е

/О

.п

е(а2 -НеахГо)' 1 + еТ0 .

dx

Подчиним исходные данные нелокальному условию согласования в терминах функции 7Го(х) — р(х, 0)

<ИУ [(1 + £ГО)Утго] = Н- — £>

гт

97Г0

Рг

<Иу(?0 • хеп,

где введены обозначения 6

(1 + еТ0) = в ■ п, хе Е,

(1 + еТ0) (¿УсКу Уо + ДУ0) + т]9о ~ ^^о •

сИУ^О

Ро [: - ^

к*

+ еахТа)

+ еТ0

(1+£Т0)2

с1х

Ро =

е ¡(Мх, 0) - кГ) ¿Е + Р0е2(ах - а2) / у—— 2

I

п

е(а2 4- есцТо)

йх

1+еТо

Требуемое нелокальное условие имеет следующий вид:

(1 + еТ0) [Утг0 - (Утг0 • п)п] = б - {6 ■ п)п, х е Е.

(31)

Пусть выполнены следующие предположения:

(г) поверхность Е принадлежит классу Гельдера С4+а, 0 < а < 1,

(И) входящие в условия (25)-(27) функции удовлетворяют условиям

гладкости

/(х,г) е С3+а'(3+а^2(Е х [0,4.]); Уо(х) £ С2+а(П); Т0(х) € С4+а(П)

и условиям согласования (29)-(31).

При выполнении этих предположений доказывается теорема существования гладкого решения. Эта теорема относится к так называемым локальным теоремам существования и выполняется в условиях малости числа Буссинеска. Доказательство основано на построении решения задачи в виде рядов по степеням малого параметра е (числа Буссинеска) и доказательству разрешимости получаемых рекуррентных задач. Последовательно решаются третья начально-краевая задача для линейного неоднородного уравнения теплопроводности, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и первая начально-краевая задача для нестационарной системы Стокса.

Используются известные результаты В.А. Солонникова по разрешимости в классах функций Гельдера вышеназванных задач. Принципиальным моментом является использование представления скорости (для каждого приближения) в виде суммы соленоидальной и градиентной части и нахождение потенциала (для каждого приближения) как решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. Сходимость выбранных разложений по степеням параметра е устанавливается в подходящих гельдеровских нормах при малых значениях е.

Итак, имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (г), (гг) и 0 < е < £о, где £0 определяется решением некоторой системы нелинейных алгебраических уравнений. Тогда задача (22)-(28) имеет решение V € С2+а,1+а/2 е С"'«/2^), у £ С4+а,2+0/2^^ р £

^2+(1+а)/2 ([о,¿о]). Это решение есть аналитическая функция параметра £ в точке е = 0.

Определенное представление о характере движения может быть получено при изучении линейной модели. Замечено, что линеаризованные уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости допускают группу с прибавлением к давлению произвольной функции времени.

В разделе 2 Главы 3 рассматриваются точные решения конвекции в вертикальном слое, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в проти-вофазе, как было для уравнений микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Проводится построение решений, инвариантных относительно оператора (9) и имеющих вид

V " (и,у), и = и{х,Ь), у = и(х,£), Г = Г(х,0, р = ф)у + г(х,1).

Рис. 5: Траектории жидкой частицы на промежутке времени [О, 240]; стартовая точка (0.95,0); паг раметры расчета: Рт — 0.1; Г) = 0.4; £ = 0.02; ш = 0.5; А — —1.

Если разложения первой и второй компонент скорости и, v в ряды по степеням малого параметра £ начинаются с членов первого порядка U и V, а функций Т,Р — с членов нулевого порядка Т^ и 1, соответственно, то периодические решения имеют вид

Т° = Ts(x) sinuit + Тс(х) cos wt,

V = V3(x) smut + Vc(x) coswt, U = + xa(t).

(Начальные условия не задаются, а граничные значения для температуры определены функцией a(t) = Л sinwí.) Выражения для Ts, Тс, V3, Vc выписываются с использованием тригонометрических и гиперболических функций в результате решения определенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Тс = С\ ch fix cos fix + С^ sh fix sin fix, 2fi2

Ts =-f-Ci shi9x sin fix 4- C4 ch$x cos fix].

<jj

Vc(x) = C\ ch kx eos kx + c4 sh кх sin кх + V'(x), Pr

V3(x) = — f — 2С\к2 sh кх sin кх + 2С^к2 ch кх cos кх+

Ь) L

+2fi2 (Gi ch fix cos fix - Ga sh fix sin fix) ] -

~[2kCi(C -B) + 2кС4(С + B) - 2fi{G\D + G4A)] - ^I2+ Prr)

+--\Ci ch fix cos fix + С4 sh fix sin fix].

Компоненты физической размерной скорости определяются как v\ = v,u, V2 = v*v, где и — eU, v = eV, v» = x/l- Траектории движения жидких частиц находятся как решения задачи Коши

dx dtu

— = vi(x,t), -£=v2(x,t), t> 0; x(0) = xo, y(0) = 0.

При построении траекторий жидких частиц по модели Обербе-ка — Буссинеска следует взять Vi = 0, в то время как выражение для i>2 не меняется.

В работе представлены траектории жидких частиц, рассчитанные для различных вариантов модельных жидкостей при различных значениях е, и). (См., например, рис. 5: сравнивая траектории, заметим, что согласно модели микроконвекции получается спиралеобразная траектория большего диаметра, чем при расчете по модели слабо сжимаемой жидкости. Различно и развитие траекторий во времени.)

В Главе 4 реализуется идея расщепления по физическим процессам, как основу для организации расчета свободной конвекции. Рассматриваются классические уравнения конвекции с постоянной вязкостью. Конвективный и диффузионный переносы выделяются как для уравнений движения, так и для уравнения переноса тепла. В безразмерном виде уравнения Обербека — Буссинеска представляются следующим образом:

^ + = -Vp' + DV + /, div V = 0, ^+KT = ТУГ.

Здесь К — оператор конвективного переноса (К — V ■ V), И — оператор диффузионного переноса (£> = РД, й = 1/Де или 9 = \fRePr для первого и третьего уравнений, соответственно), / = —(Ог/Не2)доТ.

В разделе 1 Главы 4 предлагается численный метод исследования двумерных задач конвекции. Расщепление на два этапа проводится в уравнениях конвекции, записанных в исходных, физических, переменных. Тогда этап конвекции реализуется для вектора скорости

и состоит в вычислении вспомогательной функции V, условно назы-

V - V -

ваемой "конвективной" скоростью: -= —КУ. Особенность ре-

т

ализации этапа конвекции состоит в том, что из условий прилипания и гиперболичности системы следует, что граничные условия на этапе конвекции являются следствием уравнений. Этап диффузии определяется уравнением

V — V , -

-= -V р' + лу + /.

т

На этапе диффузии осуществляется переход к новым искомым функциям (вихрю и функции тока)

и) — Ш л / "Ч л л

-= Иш 4- [тоЬ/, к), &ф = -и.

т

Расщепление такого вида позволяет исключить расчет градиента давления для определения поля скоростей и обеспечить соленоидаль-

ность вектора скорости, при этом "диффузионная" скорость V принимается в итоге в качестве искомой. Для функции ф считаются выполненными следствия условий прилипания для физической скорости, т.е. ф = 0, дф/дп = 0.

Предлагаемый метод расчета обладает свойством энергетической нейтральности поля скоростей, благодаря кососимметричности конвективного оператора Кь = К1т) + К2У и сохранении этого качества при конечно-разностной аппроксимации. Здесь

„ . 1 ( дь дь1ь\ г. . 1 ( &й Эу2у\

ЛГ)' К*"°2Ы + -0Г)-

Свойство энергетической нейтральности поля скоростей заключается в сохранении среднеквадратичной нормы скорости при переходе со слоя на слой (А.Ф. Воеводин, Т.В. Протопопова). В расчетной области вводится основная разностная сетка (п,т) для расчета температуры и реализации этапа диффузии и две вспомогательных разностных сетки (п,т'), (п',т) для расчета первой и второй компонент конвективной скорости г»1, {>2, соответственно.

При реализации этапа конвекции начальные условия для V задаются с предыдущего временного слоя и представляют собой диффузионную скорость, рассмотренную на вспомогательных сетках. Для вычисления конвективной скорости и температуры на этапе конвекции используется двуцикличекий способ расщепления по направлениям на основе элементарных схем Кранка — Николсона.

Отличительной особенностью вычислительного алгоритма является организация прогонки с параметрами для реализации этапа диффузии. Оригинальный алгоритм прогонки с параметрами применяется для реализации условий прилипания и имеет целью точно реализовать эти условия в разностном смысле. Используется разностная схема второго порядка аппроксимации

ТгТ3ш^ = п = 2,.., ЛГ; т = 2,..., М,

где Т1=Е-^РА1,Т2 = Е-^РА2,

= (£ + ^ЛО • (Е + Г*Л2)<т +

а Л, представляют собой разностные аналоги операторов второй производной по г-й пространственной переменной (г = 1,2). Решение будем искать в виде

, ,к+1 °,к+1 . ,к+1 , о , ,*Н-1 ■ Л , ,к+1 , Ъ . .к+1

,т т п,1 ~ п,М'

при этом ап, Рп удовлетворяют соотношениям

Тхап = О, «1 = 1, а^-0; Т!0п = О, & = 0, /Здт = 1.

Аналогично с оператором Т2 находятся ат, /Згп. Для определения

шп,т имеет место задача

о*+1 и

Т\Т2 ип>т= **

I т

с однородными граничными условиями. Для нахождения соответствующей функции тока ф построим итерационный процесс для решения уравнения дф/дЬ = \(Аф + ш) на основе продольно-поперечной конечно-разностной схемы (метод переменных направлений), имеющей второй порядок аппроксимации:

<ш'2 - Ф'п,т _ %

+ + 4- Рт^п.М

,8+1-+1/2 г .

^ — = А Агф^2 + Л2<> С +

п.М

о*Н-1

Здесь А — итерационный параметр, а вихрь на границе связан с функцией тока условиями Тома. Заметим, что качестве параметров выступают искомые (неизвестные) граничные значения вихря. Прогонка с параметрами, предложенная А.Ф. Воеводиным, получила недавно математическое обоснование в работах Т.В. Протопоповой. Этот метод может быть реализован также в трехмерном случае.

Тестирование метода проводится на известной задаче о свободной конвекции в квадратной полости при подогреве сбоку.

Тест 1.1. В начальный момент времени жидкость покоится и нагрета по закону Т(х,у, 0) = х. Граничные условия соответствуют твердым непроницаемым границам с заданной температурой: Т(х, у, г) = х. Сила тяжести направлена против оси Оу. Тест заключается в получении стационарного решения до удовлетворения неравенства < е, где число Нуссельта Ыи определяет интегральный поток тепла на правой (горячей) границе х = 1. Число Нуссельта рассчитывается с использованием аппроксимации второго порядка для первой производной на границе. При тестировании полагается е = Ю-12, £ф = Ю-5, г = т0 - Л2/4, Н = кх = ку. Результаты расчетов при йг — 104, Яе = Рг — 1 (характеристика интенсивности течения фтах и интегральный тепловой поток на правой стенке х = 1) приводятся в работе в виде таблицы.

Представлены также рисунки для иллюстрации тестовых расчетов (см., например, рис. б). Устойчивость алгоритма и экспериментальный порядок сходимости г проверяется путем вычислительного эксперимента на последовательностях сеток (11 х 11, 21 х 21, 41 х 41), при этом ведутся наблюдения за величиной, характеризующей интенсивность движения. Для исходной сетки (11 х 11) определяется г « 1.88 и относительная погрешность е « 2.89%.

Тест 1.2. В начальный момент времени жидкость покоится и прогрета по закону Т(х,у,0) — 0 или Т(х,у,0) = х. Граничные условия для температуры определяются как Т = 0 при х = 0 и Т — 1 при х = 1. Две другие границы теплоизолированы: дТ/ду = О при у — 0; 1. Для проверки работы алгоритма в условиях переходного режима для данного теста был продолжен расчет до повторного выхода на стационарный режим с граничным условием Т — 2 при х = 1, достигаемым линейным по времени нагревом в течение промежутка времени 4 — 20т. Для второго теста также приведены рисунки с типичными линиями тока и изотермами. Результаты расчетов при

Ют

0 8 / /

//.Л

06

04

02

ч

/ Ж,!11

1.0,

0.8

0.6

02

Ж? - ' <

УУУ//1 -■'■'{[ {{

\\\

Ч

' I /

\\\ I

\\\\Ч -

II

00

0.2

0.4 0.6 (б)

0.8

Рис. 6: Тест 1.1. Начальное состояние: жидкость покоится и прогрета по закону Т(х,у,0) = х; граничные условия для температуры: Т(х,у,Ь) = х; = 104. Линии тока (а) и изотермы (б).

С?г = 104 (характеристика интенсивности течения фтах и интегральный тепловой поток на правой стенке х = 1) приводятся также в виде таблицы.

1 В разделе 2 Главы 4 идея расщепления по физическим процес-

сам в уравнениях конвекции реализуется для численного исследования конвективных движений в трехмерных областях вида [0, х$\ х [0, г/о] х [0,-го] с твердыми непроницаемыми границами. Этап конвекции, по-прежнему, реализуется для компонент скорости, а на этапе диффузии осуществляется переход к функциям "ротор скорости' векторный потенциал скорости":

IV - IV ^ -

-= В1У + гоЬ/, ДФ = -Ж.

т

Этап диффузии представляет возможность расщепления по направлениям, которое является типичным для всех компонент, что дает возможность организовать экономичный алгоритм расчета.

Поскольку вычисляемыми функциями являются как компоненты скорости, так и новые искомые функции, то принципиальным моментом в организации расчета является введение смещенных сеток (В.М. Белолипецкий и др.). Смещенные сетки вида (п',тп,1), (п, тп', I), (п, т, V) вводятся для расчета, соответственно, первой, второй, третьей компонент векторного потенциала и ротора скорости. Сетки (п,т',1'), (п',т,1') и (п',т',1) используются для расчета компонент конвективной скорости, а (п, т, I) — для расчета температуры. Смещенные сетки позволяют проследить за автоматическим

выполнением условия несжимаемости и организовать восстановление скорости через векторный потенциал. При переходе на этап диффузии ротор конвективной скорости рассчитывается на нужных вспомогательных сетках.

Рассматриваются следующие граничные условия в терминах новых искомых функций:

дфг д2ф2 д2ф3

х = 0, z = 1 : ~ = 0,wi = 0; ф2=0, w2=—ф3 = 0,w3=—

дф2 д2фз д2фх

У = °,г/ = 1 : = 0,^2 =0; фз=0,Шз=—щ^-- ф\ — 0,w\—

дфч дРфл д2ф2

z = 0, г = 1 : = 0, W3 = 0; ^=0, ^2 = 0, w2=--^.

При реализации этапа диффузии используется метод стабилизирующей поправки. Объясняется реализация граничных условий на физических и смещенных границах.

Трехмерная задача проверяется на тесте о свободной конвекции в замкнутой кювете при подогреве одной грани х — xq и теплоизоляции остальных: Т = 0 при х = 0, Т = 1 при х = xq, дТ/дп = 0 при у = 0, у = уо, 2 = 0, z — zq. При этом осуществляются наблюдения за безразмерными тепловыми потоками на изотермической холодной или нагретой стенке, определяемыми числами Нуссельта zo Уо

Nucn, =- / Numean(z)dz, Numean(z) = / Nutoc(y, z)dy,

Vqzq J J

о о

где Nuioc(y,z) — дТ/дх\х_£ и x — 0 или x = aro-

Рассматриваются следующие тесты.

Тест 2.1. Сила тяжести направлена против оси Oy. Область течения определяется значениями хо = 1, уо — 1, zo = 1. При тестировании полагается х — xq, Gr = 105, Pr = 1, Re = 1. Расчеты ведутся на сетке (41 х 41 х 41), т = 0.0001, а условием выхода на стационарное решение является выполнение неравенства liVu^1 - < едги,

где epju — Ю-5, а. еф — Ю-4, ё — Ю-4. Изолинии температуры в плоскости z — zq/2 представлены в работе на рисунке.

Тест 2.2 Сила тяжести направлена по оси Oz. Область течения представляет собой куб, определяемый размерами хо = 1, уо = 1, zo = 1. При тестировании полагается 5 = 0, Ra — 5 • 105, Pr — 0.71, Re = \/Pr.

Результаты сравниваются с расчетами G.D. Mallison, G. de Vahl Davis, 1977 г. (вторая строка). Для сравнения берется число Нуссельта и максимальное значение величины ф2 при у = уо/2 (фтах)•

Nuov Фтах

7.37 18.4

7.30 18.78

Тест 2.3. Сила тяжести направлена по оси Ог. Область течения представляет собой прямоугольный параллелепипед: хо = 1, уо — 2, го = 1. При тестировании полагается х = 0, Яа = 1.5 • 105, Рт = 1, Де = 1. Результаты в сравнении с расчетами, проведенными в цитируемой литературе, представлены в работе в виде таблиц.

Данный метод может быть обобщен для численного исследования конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры, а также конвекции в областях с достаточно гладкими криволинейными границами.

В Заключении приведены Основные результаты диссертации и положения, выносимые на защиту:

1. Исследована корректность начально-краевой задачи для классических уравнений конвекции (уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссинеска) с вязкостью, зависящей от температуры. В двумерном случае доказаны теоремы существования и единственности глобального по времени сильного решения, а затем и единственность слабого решения типа Хопфа.

2. Для модели микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости, используемой для исследования конвекции в слабых силовых полях и в микромасштабах и характеризуемой несоленоидальностью поля скоростей, изучены инвариантные решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в противофазе. Изучена нестандартная начально-краевая задача для нагруженного уравнения, возникающая при построении данного инвариантного решения. Исследована ее разрешимость в классах гельдеровских функций.

3. В канонических областях с твердыми непроницаемыми границами численно исследованы нестационарные режимы микроконвекции для модельных жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Подтверждены количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках классической модели и модели микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Величины скоростей, рассчитанных по модели микроконвекции, могут на три порядка превышать те, что предписываются традиционной моделью. Существенно различается структура течения, его топология, развитие во времени, а также траектории движения жидких частиц.

4. Численно исследована стационарная микроконвекция в областях со слабо деформируемой свободной границей. Расчеты проведены для различных значений чисел Прандтля, Марангони и Рэлея, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима. Количественные различия в величинах скоростей здесь значительно меньше, чем в нестационарном случае. Численно подтвер-

ждено, что учет несоленоидальности в стационарных задачах микроконвекции ведет к поправкам порядка числа Буссинеска. Выявлены ситуации, когда в стационарных задачах микроконвекции различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микроконвекции, проявляются довольно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование большого градиента в тепловом граничном режиме.

5. Изучены уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости, которые могут применяться и для исследования конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах. Построены инвариантные решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в противофазе, как того требовала модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Исследована корректность в классах гельдеровских функций начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости с температурным условием третьего рода на границе области.

6. Предложен численный метод исследования конвективных движений жидкости в замкнутых областях с твердыми непроницаемыми границами на основе расщепления по физическим процессам. Расщепление на два этапа, условно названных конвективным и диффузионным переносами, проведено для уравнений конвекции, записанных в физических переменных. Этап конвекции реализован для вектора скорости. На этапе диффузии осуществлен переход к новым искомым функциям: вихрю и функции тока для двумерных задач и ротору скорости и векторному потенциалу для трехмерных задач. Расчет организован с использованием метода прогонки с параметрами (двухпо-левого безытерационного метода расчета вихря скорости и функции тока), позволяющем точным образом в разностном смысле удовлетворить на границе следствиям условий прилипания. Предлагаемый метод расщепления обладает также свойством энергетической нейтральности поля скоростей, а его реализация позволяет экономично организовать процесс вычисления. Тестирование метода проведено на известных задачах о свободной конвекции в кювете при подогреве одной грани.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гончарова О.Н. Микроконвекция в слабых силовых полях. Сравнение двух моделей при численном исследовании//Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38. N 2. С. 58-63.

2. Гончарова О.Н. Численное исследование микроконвекции в областях со свободными границами//Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38. N 3. С. 64-68.

3. Гончарова О.H. Микроконвекция в области со свободной границей/Вычислительные технологии. 2000. Т. 5. N 2. С. 14-25.

4. Гончарова О.Н. Численное исследование микроконвекции в длинном прямоугольнике//Вычислительные технологии. 2000. Т. 5. N 5. С. 26-37.

5. Гончарова О.Н. Точные решения линеаризованных уравнений микроконвекции в бесконечной полосе//VII Российский симпозиум "Механика невесомости. Итоги и перспективы фундаментальных исследований гравитационно-чувствительных систем". Москва, 11-14 апреля 2000 г.: Сб. тр. 2000. С. 78-85.

6. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции//Математическое моделирование. 2001. Т. 13. N 5. С. 90-96.

7. Гончарова О.Н. О единственности решения двумерной нестационарной задачи для уравнений свободной конвекции с вязкостью, зависящей от температуры//Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. N 3. С. 1-9.

8. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расчета двумерных задач конвекции на основе расщепления по физическим процес-сам//Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. N 1. С. 66-74.

9. Гончарова О.Н. Точные решения линеаризованных уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости//Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46. N 2. С. 52-63.

10. Gontcharova O.N. Comparison of two models of microconvections for the low gravity forces//Microgravity Quarterly. 1995. Vol. 5. N 4. P. 211-215.

11. Gontcharova O.N. Microconvection in the domains with free boundaries under low gravity: numerical simulation//Albert - Ludwigs -Universitaet Freiburg. Mathematische Fakultaet. Freiburg, Germany. 1996. Preprint Nr. 20/1996 - 5.08.1996.

12. Gontcharova O.N. Microconvection in a semicircle with free flat boundary//Sec. Europ. Symp. "Fluids in Space". 22-26 April 1996, Naples, Italy. Books of Proc. P. 383-388.

13. Voevodin A.F., Goncharova O.N. Methods of splitting for physical processes for computation of convection problems in closed do-mains//Int. Conf. on Computational Mathematics ICCM-2004. 2125 June 2004, Novosibirsk, Russia. Books of Proc. P. 942-947.

14. Goncharova O.N. Numerical modelling of convection of isother-mally incompressible fluid under low gravity in domain with free boundaryZ/Вычислительные технологии. 2004. T. 9. N 5. С. 3-

РНБ Русский фонд

2007-4 3565

Подписано в печать 20.07.2005 Формат 60x84 1/16 Офсетная печать Уч.-изд. л. 2 Тираж 100 экз. Заказ X' 380

Лицензия ЛР Л> 021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

I 3 поя 20054'

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕКТНОСТИ ДВУМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ С ВЯЗКОСТЬЮ, ЗАВИСЯЩЕЙ

ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 1.1 Постановка задачи.

1.2 Гладкость обобщенного решения.

1.3 Теорема единственности.

ГЛАВА

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МИКРОКОНВЕКЦИИ • В ОБЛАСТЯХ С ТВЕРДЫМИ И СВОБОДНЫМИ ГРА

НИЦАМИ

2.1 Точные решения уравнений микроконвекции в бесконечной полосе.

2.1.1 Расчет траекторий. G

2.2 О разрешимости начально-краевой задачи для урав-щ нения теплопроводности (2.13) и нагруженного уравнения (2.12).

2.2.1 Разрешимость начально-краевых задач для главных членов разложения.

2.2.2 Схема доказательства разрешимости начально-краевых задач (2.19)-(2.24).

Численное исследование нестационарной микроконвекции в канонических областях с твердыми границами

2.3.1 Нестационарная микроконвекция в длинном прямоугольнике

2.3.1.1 Численная реализация. Схема расчета.

2.3.1.2 Результаты численного исследования микроконвекции в длинном прямоугольнике.

2.3.2 Нестационарная микрокопвекция в кольцевой области

2.3.2.1 Численная реализация. Схема расчета.

2.3.2.2 Результаты численного исследования мик-рокопвекции в кольцевых областях.

Численное исследование стационарной микроконвекции в областях со свободными границами.

2.4.1 Микрокопвекция в полукруге со свободной границей

2.4.1.1 Постановка задачи. Классическая модель Обербека - Буссинеска в терминах ф — ш (безразмерная форма, полярные координаты).

2.4.1.2 Постановка задачи. Модель микрокоивекции в терминах ф — ш (безразмерная форма, полярные координаты).

2.4.1.3 Численное исследование. Схема расчета.

2.4.1.4 Результаты численного исследования микрокоивекции в полукруге со свободной границей.

2.4.2 Микроконвекция в кольцевой области со свободной границей.

2.4.2.1 Постановка задачи.

2.4.2.2 Схема численного исследования.

2.4.2.3 Результаты численного исследования микроконвекции в кольце со свободной границей.

ГЛАВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ СЛАБО СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

3.1 Исследование корректности начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости

3.2 Точные решения уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости в бесконечной полосе.

3.2.1 Решение задачи (3.58), (3.60), (3.61) для температуры

3.2.2 Решение задачи (3.63)-(3.65) для скорости.

3.2.3 Расчет траекторий.

ГЛАВА

МЕТОД РАСЧЕТА ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ НА ОСНОВЕ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ 187 4.1 Расщепление по физическим процессам для расчета двумерных задач конвекции.

4.1.1 Постановка разностной задачи.

4.1.2 Реализация этапа конвекции

4.1.3 Реализация этапа диффузии с использованием прогонки

Ф с параметрами

4.1.4 Результаты численного анализа в двумерном случае

4.1.5 Тестирование алгоритма.

4.2 Расщепление по физическим процессам для расчета трехмерных задач конвекции

4.2.1 Постановка разностной задачи.

4.2.2 Реализация этапа конвекции

4.2.3 Реализация этана диффузии

4.2.4 Результаты численного анализа в трехмерном случае

Изучению конвективных течений вязких теплопроводных жидкостей всегда уделялось много внимания в связи с важностью этих процессов для приложений. В последнее время иитеисивиое дальнейшее развитие теории и численных экспериментов но конвекции связано с активным изучеиием космического пространства и с развитием новых технологий, в том числе, и в наземных условиях. Стало особенно интересным предсказать поведение некоторых жидкостей в слабых гравитационных полях, сравнить эти результаты с экспериментами, обнаружить влияние свободных или частично деформируемых границ на поведение жидкости. Потребностями современных технологий обусловлен интерес к конвективным явлениям в микромасштабах.

Вопросами математического моделирования движения жидкости в условиях действия массовых, поверхностных сил, а также под воздействием тепловых нагрузок занимались и занимаются многие ученые в России и за рубежом. Большой вклад в моделирование режимов конвекции и в исследование устойчивости внесли Г.З. Гершуии, Е.М. Жуховицкий, А.А.Непомнящий. Моделирование и численные методы для исследования динамики вязких жидкостей, в том числе, двумерной и трехмерной конвекции, развиваются в работах А.Ф. Воеводина, В.И. Полежаева, E.JI. Та-рунина, Г.Г. Черных и их учеников. Развитие математических методов, используемых для исследования корректности постановок различных задач гидродинамики, сделано в работах О.А. Ладыженской, JI.B. Овсянникова, С.Н. Антопцева, А.В. Кажихова, В.Н. Монахова, В.А. Солоннико-ва. Построению точных решений уравнений конвекции посвящены работы

Р.В. Бириха, С.Н. Аристова, А.А. Родионова.

В работах В.И. Юдовича, В.В. Пухпачёва, Д. Джозефа излагается анализ моделей, описывающих конвективные движения жидкостей, начиная с классиков этой иауки Обербека (A. Oberbeck) и Буссинеска (J. Boussinesq) и закапчивая актуальными, современными проблемами, которыми занимаются К.А. Надолин, В.К. Андреев, Е.Б. Соболева и др. Одной из первых работ с обоснованием приближения Обербека — Буссинеска была статья Михаляиа (J.M. Mihaljan) [143]. Аналогичный анализ был продолжен в работах Веларде (M.G. Velarde) [155, 156]. В статье Файфа (R. Fife) [134] с применением общих уравнений рассматривалась стационарная конвекция и исследовались вопросы о сходимости решений к стационарным решениям классической модели. Таким образом, к 1991 г. сформировался интерес к альтернативному моделированию конвективных движений, и В.В. Пухначёв предложил модель микроконвекции для исследования этих движений в условиях слабых гравитационных полей и в микроканалах. Несколько позже подобная модель, но для исследования концентрационной коивекции была предложена Перерой и Секеркой (P.S. Регега, R.F. Sekerka). Аналитические и численные исследования новых, уточненных, моделей для изотермически несжимаемых жидкостей (см. [2, 12, 89]), а также классических, но дополненных, например, отказом от постоянства коэффициентов переноса (см. [4, 119]), подтверждают наличие новых эффектов в движениях жидкостей.

Моделированию новых явлений в рамках механики сплошной среды и изучению движений обобщенных ньютоновских жидкостей посвящены недавние работы Ружички (М. Ruzicka) и его соавторов [149, 152]. В работах Хагстрома (Т. Hagstrom), Лоренца (J. Lorenz) [135], Клайпермапа (S. Klainerman), Майды (A. Majda) [139], В.Б. Мосеенкова [61], Э.Г. Шифри-на [113] осуществляется математическое моделирование для сжимаемых жидкостей и аналитическое исследование начально-краевых задач. Если для газов свойство сжимаемости или способность легко изменять плотность под действием изменений давления или температуры является естественным и даже определяющим свойством, то для жидкостей, как правило, оно выражено слабо. Вместе с тем, учет в том или ином виде слабой сжимаемости приводит к интересным результатам и призван выявить иебуссииесковские эффекты.

Предметом исследования дайной работы являются математические модели, используемые для описания естественной конвекции жидкости в условиях пониженной гравитации прежде всего, но также применимые и в микромасштабах [137, 147].

Рассмотрим вязкую теплопроводную жидкость иод действием силы тяжести д, заполняющую замкнутый объем с твердой недеформируемой непроницаемой границей. Пусть жидкость считается двухнараметрической термодинамической средой, плотность которой р определяется уравнением состояния р = R(T,p), (0.1) где Т — абсолютная температура, р — давление. Предположим также, что реология жидкости задается законом Стокса. Искомые функции скорость V, давление р и температура Т удовлетворяют системе уравнений гидродинамики [2, 72, 95] dV p— = V(-P + л divV) + Div (2 fiD{V)) + pg, (0.2) at + pdivK = 0, (0.3) at где d/dt = d/dt + V - V — оператор полного дифференцирования по времени, D(V) — тензор скоростей деформаций, D(V) = ^[VK + (VK)*], Ф(К) — диссипативиая функция, Ф = A(drvV)2 + 2fiD : D, ц, А — динамические коэффициенты первой и второй вязкости, к — коэффициент теплопроводности, Ср — теплоемкость при постоянном давлении, предполагаемая в дальнейшем положительной постоянной.

При задании уравнения состояния в виде зависимости плотности от температуры и давления мы предполагаем рассмотрение истинных жидкостей, для которых R есть неубывающая функция р, а кроме того, эта функция монотонно убывает с ростом Т. При рассмотрении течений, вызванных силами плавучести, зависимость плотности от температуры и давления предполагается линейной [39]. При этом, в отличие от газов, значительные вариации температуры и еще большие вариации давления приводят к малым изменениям плотности.

В случае, если жидкость изотермически несжимаема, т.е. р = р(Т), уравнение состояния вида р = Ро(1 - Р(Т - Т0)) (0.5) приводит нас к аппроксимации Обербека — Буссинеска или классической модели конвекции [2, 39]. Здесь [3 — температурный коэффициент объемного расширения жидкости, а ро — некоторое относительное значение плотности, принимаемое жидкостью при Т = То. Считается, что в большинстве случаев изменение плотпости жидкости возникает именно вследствие разностей температур, а ие разностей давлений. Вызвать такое же изменение плотности, какое возникает при понижении температур в 1 °С , можно, изменив давление иримерпо па 5 атмосфер. Данный факт дает основания считать зависимость плотности жидкости от давления более слабой, чем от температуры [39].

Предполагая коэффициент теплопроводности постоянным, иногда следует учитывать зависимость вязкости от температуры, что подтверждается экспериментально для многих реальных жидкостей типа глицерина, жидкого стекла и даже воды. К примеру, для воды v — 1.006-Ю-2 см2/сек. при 20°С, v = 0.568 • Ю-2 см2/сек. при 50°С, для глицерина v = 850 • Ю-2 см2/сек. при 20°С, v = 350 • Ю-2 см2/сек. при 30°С, для некоторых видов стекла v = 0.23 • Ю4 см2/сек. при 1000°С, v = 0.0036 • 104 см2/сек. при 1400°С ([25]). Здесь v - кинематическая вязкость и — ц/ро. Учет зависимости коэффициентов переноса, в частности, вязкости, от температуры является принципиально важным при решении задач гидродинамики при пониженной гравитации, что обосновывается также и в [20].

В качестве системы уравнений, описывающей конвективные движения, будем использовать уравнения, обобщающие уравнения Обербека — Бус-сипеска на случай переменной вязкости,

Vt + (V- V)V = 2 Div (v(T) ■ D(V)) - p~lWp' - (ЗдГ, (0.6) div V = 0, (0.7)

Tt + V-VT = хЛТ. (0.8)

Здесь р' = р — род • х — отклонение от гидростатического давления. Эти уравнения получаются в результате аппроксимации общих уравнений гидродинамики (0.2)-(0.4) и представляют собой линейное приближение последних при условии стремления к нулю числа Буссинеска е = (ЗТ*, тогда как учет силы плавучести, пропорциональной числу Рэлея Ra = ег), предполагается обязательным в уравнении сохранения импульса (0.2). Здесь в качестве Т* обозначается характерная температура (или характерный температурный перепад). Классической моделью конвекции назовем уравнения (0.6)-(0.8) в случае постоянного коэффициента кинематической вязкости v.

Вопросам математического обоснования моделей динамики вязкой жидкости посвящено много работ. Различные аспекты теории уравнений вязкой несжимаемой жидкости, в том числе получение обобщенных решений, изложены в монографиях О.А. Ладыженской [53], Р. Темама [105] и в монографии С.Н. Аитоицева, А.В. Кажихова, В.Н. Монахова [3], посвященной вопросам неоднородных жидкостей (см. также цитированную там литературу). В большинстве работ получены важные результаты в области математической теории течений вязкой несжимаемой жидкости в случае постоянного коэффициента вязкости. Исследование корректности начально-краевых задач для уравнений Навье — Стокса с вязкостью, зависящей от тензора скоростей деформаций, в частности, модели Ладыженской, проводится в работах Бейрао да Вейга (Н. Beirao da Veiga) [120, 121] (см. также [130]). В задачах гидродииамики и тепло- и массообмена, возникающих при моделировании многих технологических процессов, существенным оказывается учет зависимости коэффициентов переноса от температуры. Актуальность рассмотрения математических моделей этих явлений подтверждается многочисленными приложениями, экспериментальными данными и численными исследованиями [45, 127, 148]. На изучение задач в случае зависимости от температуры коэффициентов переноса обращено внимание в работе Бема (М. Boehm) [122], где, видимо, впервые анонсирован результат о существовании по крайней мере одного обобщенного решения в некоторой модели неоднородной жидкости. Исследованию разрешимости некоторых краевых и начально-краевых задач и свойств решений системы уравнений, описывающей движение теплопроводной ньютоновской жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры и диссипацией эиергии, посвящены работы Т.Н. Шилкина [153, 154] (см. также работы [125, 126, 138, 150, 151]). В работах С.Н. Аристова и его соавторов [4, 97, 119] получены интересные примеры точных решение уравнений конвекции в случае зависимости от температуры коэффициента вязкости.

Учет зависимости от температуры коэффициентов переноса в теоретическом анализе математических моделей вызывает трудности, связанные с дополнительной пелииейностыо уравнений. Изучению вопросов существования и единственности стационарных краевых задач для уравнений свободной конвекции в случае зависимости от температуры коэффициентов вязкости посвящены работы автора [158, 159]. В работе [160] доказано существование решения трехмерной нестационарной задачи для вышеназванных уравнений. Полученное решение представляет собой аналог слабого решения Хопфа в классической задаче для уравнений Навье—Стокса.

Одним из центральных результатов в теории уравнений, описывающих течения вязкой несжимаемой жидкости, является нахождение класса, в котором может быть доказана единственность решения. Вопрос о единственности решения нестационарной краевой задачи для уравнений (0.6)-(0.8) является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь не удается воспользоваться.

В данной работе в Главе 1, как и в теории уравнений Навье — Стокса, решаются сначала вопросы, связанные с повышением гладкости полученного решения. Показывается справедливость более сильных оценок для температуры, а затем осуществляется повышение гладкости скорости. Существенным моментом в проведении последнего анализа является использование разбиения векторного пространства L2 на сумму ортогональных подпространств.

Таким образом, вопросы корректности рассматриваемой математической модели конвективного движения жидкости с учетом зависимости от температуры коэффициента вязкости решаются в двумерном случае. При дополнительном условии на начальную скорость доказываются теоремы существования и единственности глобального но времени сильного решения, а затем и единственность исходного, слабого решения.

В.В. Пухпачсвым было замечено (см. [85]), что модель Обербека — Буссинеска непригодна к описанию конвекции, если параметр г] достаточно мал г] < 1. Параметр гназванный параметром микрокопвекции [2], определяется следующим образом: ri = —, при этом I - характерный размер уX области, х - коэффициент температуропроводности, х — -) 9 = \d\роср

Значение данного параметра было выяснено в 1991 г. В.В. Пухпачёвым, и с этого времени начинается математическое моделирование микрокоп-векции (см. [2, 85, 86]). Параметр микрокопвекции т] имеет простой физический смысл: он равен отношению порядков скоростей, порожденных объемным расширением жидкости и фактором плавучести. Термин "микроконвекция" был введен для описания коивекции жидкости при малой гравитации, в микромасштабах, а также для жидкостей, свойства которых обеспечивают большие значения произведения коэффициентов вязкости и температуропроводности. Вывод уравнений Обербека — Буссииеска из общих законов сохранения массы, импульса и энергии построен на упрощении этих законов на основе гипотезы об изотермической несжимаемости (0.5) и предположении о том, что движение жидкости подобно движению несжимаемой жидкости, когда иоле скоростей является соленоидальпым (0.7). При этом в уравнении сохранения импульса малые отклонения плотности от среднего значения, вызванные неоднородностью температуры, учитываются лишь в силе плавучести. В уравнении сохранения энергии не учитывается действие диссипативных сил. Если же теперь исходить из точных уравнений сохранения массы и импульса (0.3), (0.2), ио упрощенно, в виде (0.8), принимать уравнение сохранения энергии, предполагая постоянство всех коэффициентов переноса, то будет представлена для исследования модель микрокопвекции. Эта модель характеризуется несоленоидальностыо поля скоростей. Используя зависимость плотности от температуры вида можно записать модель микрокоивекции с новой искомой скоростью W

W = V - PXVT. (0.10) 4

Эта модифицированная скорость обладает уже свойством divW" = 0. Заметим, что с физической точки зрения зависимости (0.5) и (0.9) практически эквивалентны, т.к. в реальных конвективных течениях значения (3\Т\ не превышают Ю-2, Ю-3 [2, 39]. Зависимость (0.9) позволяет не только перейти к соленоидальному нолю модифицированной скорости. Теплоемкость при постоянном давлении ср изотермически несжимаемой жидкости не зависит от давления в том и только том случае, когда уравнение состояния имеет вид (0.9) (см. [88, 115]).

Итак, модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости состоит из системы дифференциальных уравнений divW = 0, (0.11)

Wt + W ■ VW + Px(VT • VW - VW • VT) + /32x2(ATVT - V|VT|2/2) = (1 + /3T)(-Vq + и AW) - PTg, (0.12)

Tt + W'VT + Px\V7f = (1 + PT)XAT, (0.13) а также начальных и граничных условий. Здесь q = р'/ро ~ (А/ро) divV - PxW ~ х)&Т = p/pQ - (3x^T(v + А/р0 - х).

Пусть движение возникает из заданного начального состояния

У(я,0) = 0, хеП, (0.14)

Т(х,0) =Т0(х), хвП, (0.15) и рассматривается в замкнутой области Q с твердой непроницаемой границей dQ = Е, па которой выполняются условия прилипания v = o, хеп, te [о, г J. (0.16)

Тогда модифицированная скорость в начальный момент времени будет удовлетворять условиям

W(x,0) = Щ(х), хеП, (0.17) и вследствие условий прилипания граничные условия для W будут иметь следующий вид:

W = -PxVT, хбЕ, te [0Л]. (0.18)

Заметим, что в результате именно уравнения состояния вида (0.9) и уравнения (0.11), требуется задавать па границе поток тепла

ОТ = f(x,t), zGE, t G [0, £*], (0.19) при условии нулевого интегрального потока f{x, t) dZ = 0, V£ G [0, U], (0.20) что обеспечивает необходимое условие разрешимости задачи. Избежать данное ограничение можно при рассмотрении конвективных движений в области со свободной или упругой границей [115, 116]. Вместе с тем, стационарная задача для уравнений микрокопвекции оказывается поставленной L корректно, как при температурном условии на границе области второго рода, так и при условии первого рода [87].

Изучению конвективных процессов в слабом гравитационном поле посвящено много работ, например, [78, 79, 27]. С точки зрения строгого математического обоснования альтернативные теории конвекции развивались в работах Михаляпа (J.M. Mihaljan) [143], В.И. Юдовича [115], К.А. Надо-лина [G5, GG, 07]. Интерес к альтернативным моделям конвекции особенно стал заметным, начиная с 1995 г. Он вызван, в частности, необходимостью объяснить так называемые пебуссинесковские явления, наблюдаемые в экспериментах, выполненных на борту орбитальной станции и не находящих, видимо, подтверждения с использованием классической теории [8, 9, 10, 11, 19, 20, 42]. Подобная (0.11) - (0.13) иесолеиоидальная модель для концентрационной конвекции несколько позже была получена Перерой и Секеркой (P.S. Perera, R.F. Sekerka) [145]. В работах В.К. Андреева и его учеников [2, 12, 40] проводятся исследования устойчивости решений в модели микрокопвекции и исследования условий возникновения конвективных движений па основе модели микроконвекции. Групповой анализ уравнений микроконвекции был проведен А.А. Родионовым. Им же построен ряд точных решений уравнений микроконвекции [2, 89]. Интерес к математическому моделированию конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах усилился в последние время. Эта тематика была широко представлена на международных конференциях "21-st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics" (Warsaw, Poland, August 1521, 2004) и "Second Conference on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems" (Brussels, Belgium, July 14-17, 2004), а ее актуальность отражена в обзорах Хомси (G.M. Homsy) и В.В. Пухпачёва (см. [137, 147]).

В Главе 2 представлены начально-краевые задачи модели микрокоп-векции в областях с твердыми и свободными границами. Проведен сравнительный аиализ обеих моделей при численном исследовании конвективных течений жидкостей в условиях кратковременной невесомости.

В параграфе 1 второй Главы демонстрируется применение модели микроконвекции для отыскания инвариантного решения в бесконечной полосе, запятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в противофазе. При использовании полученных ранее В.В. Пухпачёвым выражений для компонент скорости [2] находятся траектории жидких частиц при различных значениях параметров течения. Графики траекторий позволяют сравнить решения, полученные в результате применения модели Обербска — Буссинеска и модели микрокопвекции. Поскольку инвариантные решения представляют собой точные решения линеаризованной модели микрокопвекции, проведен аиализ нетривиальной составляющей движения на основании метода усреднения Крылова — Боголюбова [21, 60].

Использование модели микрокопвекции порождает несколько нестандартных начально-краевых задач. В параграфе 2 Главы 2 исследуется их разрешимость. Одно из уравнений не является дифференциальным в обычном смысле. Уравнения подобного вида оригинально названы нагруженными [68], а в [22] исследуются разностные методы решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-диффе-репциальных уравнений. Частный случай задачи с нагруженным уравнением был рассмотрен в дипломной работе H.JI Воронина [86].

В параграфе 3 Главы 2 численно исследованы нестационарные режимы микрокопвекции в кольцевых областях и длинном прямоугольнике, вытянутом по направлению силы тяжести, для жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Границы области считаются твердыми. В случае круговых областей ускорение силы тяжести совершает периодические но времени колебания. Конвекция в длинной прямоугольной области исследуется в условиях периодического потока тепла через длинные стороны. При этом суммарный поток равен нулю. Подтверждены количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках классической и новой моделей под действием микроускорений, достижимых на орбитальной станции. В частности, величины скоростей, рассчитанных по новой модели, могут на три порядка превышать те, что предписываются традиционной моделью. Кроме того, существенно различается структура течения, его топология, развитие во времени, а также траектории движения жидких частиц.

Модель микрокопвекции применяется в первую очередь для исследования нестационарных задач. Учет иесолепоидалыюсти в стационарных задачах микрокопвекции в замкнутых областях ведет к поправкам порядка числа Буссинеска, что согласуется с теоретическими результатами [87].

В параграфе 4 Главы 2 проведено исследование стационарных конвективных процессов в областях со свободными границами, когда уже оба механизма конвекции играют существенную роль. Течение предполагается стационарным. Рассчитана гравитационно-капиллярная конвекция в кольцевых областях и полукруге. Одна из границ, по-прежнему, считается твердой, а другая является свободной, подверженной действию термокапиллярного эффекта. В условиях невесомости и в случае, когда параметр, ответственный за деформацию свободной поверхности термокапиллярными силами (капиллярное число), довольно мал, рассмотрены педеформи-руемые свободные границы, приближенно определяемые как поверхности капиллярного равновесия. Поправка к свободной границе находится из динамического условия па свободной границе, подобно тому, как делается в [6, 157]. Расчеты проведены для различных значений чисел Прандтля, Марапгопи и Грасгофа, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима. Исследована структура конвективных течений, проанализированы ситуации, когда топология течения существенно различается. Количественные же различия в величинах скоростей здесь значительно меньше, чем в нестационарном случае. Вместе с тем выявлены ситуации, когда даже в стационарных задачах микрокопвекции различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микрокопвекции, проявляются довольно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование больших градиеитов в тепловом граничном режиме.

Солепоидальиость модифицированной скорости W позволяет ввести аналог функции тока для плоских и осесимметричпых задач и выполнять расчеты конвективных течений в переменных "функция тока-вихрь". На соответствующих рисунках представлены для наглядности поля скоростей, линии тока, изотермы, графики траекторий жидких частиц.

Рассмотрим теперь иную аппроксимацию уравнения состояния (0.1), а именно, = 1 + Р(Т — То)' (0'21)

Выберем I в качестве характерного масштаба длины, v4 — x/l ~ скорости,

U — l/v* = 12/х — времени, р* = pov^Pr = Pqvx/12 — давления и Т* — температуры, и обозначим через Тир отклонения Т — То и р — ро от некоторых равновесных значений То, ро, соответственно (см. [88], ро = р(То,ро)). Заметим, что введение подобной характерной скорости v4 обеспечивает ее независимость от температурного граничного условия. Тогда уравнение состояния в безразмерной форме имеет вид

Р = \±%, (0.22) н 1+f-T' v 1 а система уравнений (0.2)-(0.4) в безразмерной форме записывается следующим образом:

1+SpdV г, , Лт71 , т]Рг(1 + 6р)

1 +еТ dt = Рг

V(-p + Miv V) + ДК + 7 4 (0.23)

1 + £1 dp £ dT + dWV = 0, (0.24)

1 + 6р dt 1 + еТ dt 1 + 6р dT е2 + ee\T dp AT + 61Ф. (0.25)

1 + еТ dt 1 +еТ dt Здесь для безразмерных функций оставлены прежние обозначения, 6 =

7р* — параметр сжимаемости, е = (ЗТ* — число Буссинеска, в\ = vv*/(lCpT*) = uX/l2cpT„ е2 = £€\То/Т* = puXT0/(l2cp%), = \/(Pou) - отношение коэффициентов второй и первой вязкости, до = д/д, безразмерная диссипативиая функция Ф определяется равенством

Ф = £(div V)2 + 2D : D.

Коэффициенты переноса fi, к предполагались постоянными, Pr = vjx ~~ число Праидтля.

Для того, чтобы получить в дальнейшем разложения только по малому параметру сжимаемости, полагаем е\ = ai6, 62 = 0.26, ai = 0(1), (г = 1,2) при 5 —> 0. Тогда уравнение (0.25) запишется следующим образом:

1 + sTdt 1 +еТ dt к J

Таким образом, искомой системой уравнений для неизвестных функций

V, р, Т будут уравнения (0.23), (0.24), (0.26).

В [88] проводится аиализ критериев подобия задачи и характерных величин процесса, в том числе, и характерных времен. При построении модели конвекции, справедливой в условиях микрогравитации, выбираются характерные внутренние времена (время релаксации температуры) и t„ = l2/v (время релаксации вязких напряжений), которые имеют один порядок, вообще говоря, при Pr ~ 1, а также характерное время tf (время изменения функций, определяющих граничный тепловой режим). Условие Pr ~ 1 определяет достаточно широкий класс жидкостей, включая воду и газы, применяемые в космических экспериментах для изучения конвекции. Введение отношения £ = t*/tf в граничные температурные условия может позволить рассмотреть ситуации, когда эти характерные времена существенно различаются. Краевые условия для уравнений (0.23), (0.24), (0.26) запишем в форме

V = 0, ieS, t > 0, (0.27) дТ = f(x,(t), xGS, £>0, (0.28) либо , ,

Г = h(x, Сt), x e £, t > 0. (0.29)

Начальные условия для замыкания постановки задачи примем в виде

V = V0(x), хеП, t = 0, (0.30) т = т0(х), хеп, t = о, (0.31) р = р0(х), хеп, t = 0, (0.32)

Отметим, что моделирование конвекции для слабо сжимаемой жидкости в условиях микрогравитации предполагает автоматически малость параметра микроконвекции г] за счет значений g ~ Ю-2,103 (см/сек2) и I ~ 1 (см). Следующий безразмерный параметр, число Буссинеска, является величиной порядка 10~3, Ю-4 и даже Ю-5, благодаря малости коэффициента Р даже при значительном, например, 50 К, перепаде температур. Параметр 5, пропорциональный изотермическому коэффициенту сжимаемости 7, будет величиной порядка 109-f Ю-11 и даже Ю-14, поскольку для обычных жидкостей 7 6 [Ю-9, Ю-10] (см. [25, 39, 88]). Очень малыми по сравнению с е получаются и значения параметров е\, 62. Параметры ei, 62 имеют тот же порядок, что и 5. Используя малость параметров 5, е\, 62, В.В. Пухначёв получил асимптотическое упрощение системы (0.22)-(0.24) [88].

Асимптотическое разложение решения системы (0.23), (0.24), (0.26) строится по параметру сжимаемости 6 —> 0 и при условии, что е, Pr, г], qi, 0:2 сохраняют конечные значения. Другими словами, решение системы (0.23), (0.24), (0.26) ищется в виде формальных степенных рядов k=0 k=0 A;=0

0.33)

Функция p имеет сингулярную составляющую, когда 5 —> 0, а величину (P(t) — 1)5-1 отождествляют со средним по области Г2 давлением жидкости. Если стенки полости неподвижны и непроницаемы, то масса заключенной в ней жидкости сохраняется. При отличном от пуля суммарном тепловом потоке через границу и конечному изменению вследствие этого средней но области температуры, мы наблюдаем в силу уравнения состояния (0.21) изменения среднего давления па величину порядка при

Подстановка разложений (0.33) в уравнения (0.23), (0.24), (0.26) приведет к рекуррентной системе для функций р^к\ к = 0,1,. Разрешимость некоторой начально-краевой задачи исследуется в параграфе 1 Главы 3.

Главные члены разложений удовлетворяют системе уравнений [88]

1 + еТ(°) уМ + у(о) . Vy(о)^ = Pr [v(V0) + Idiv V<°>) + д v?(°>] + ^^Ь, (°-34) TT^W (Tf(0) + ^'VT(0))+ div ^ = (0,35)

24 р т/0) + v<® • vr<°>) - р = дт<°>, (0.36) которые называются уравнениями конвекции слабо сжимаемой жидкости. При этом Р= dP(t)/dt. Начально-краевая задача для системы (0.34)-(0.36) может быть сформулирована следующим образом. В начальный момент времени задаются вектор скорости и температура

V(°\x,0) = V0(x), Т(°)(х,0) = Т0(х), хеП. (0.37)

Рассматриваются условия прилипания для вектора скорости и условия второго рода для температуры, задающие поток тепла на границе области Е: ят(°) i/(°) = о, —— = f(x,Ct), X е Е, £>0. (0.38) on

Разрешимость этой задачи в классе гладких функций установлена в [88], а для нахождения функции P(t) выведено обыкновенное дифференциальное уравнение рассматриваемое с начальным условием

Р( 0) = 1, (0.40) что согласуется с предположением о конечности значений функции ро(х) при <5 —> 0.

Заметим, что в предельном случае при £ = 0 уравнения (0.34)-(0.36) превращаются в уравнения Навье — Стокса несжимаемой жидкости.

Корректность сформулированной начально-краевой задачи исследуется в [88], где показывается, что построенное приближенное решение может рассматриваться, как аппроксимация порядка 0(6) при £ —► 0 решения соответствующей начально-краевой задачи для исходной системы (0.23)-(0.26) па временах t > 1. Формальная асимптотика (0.33) не работает па малых временах, но для уравнений (0.23)-(0.26) может быть осуществлена линеаризация вблизи состояния изотермического равновесия. Так возникает для изучения линейная модель переходного процесса (см. [88]). Асимптотическое решение линейной задачи переходного процесса пе имеет поточечного предела при £ —► 0, но может быть рассмотрено в качестве главного члена внутреннего разложения линеаризованных уравнений движения (0.23)-(0.26), описывающего начальный этап конвекции. Переходный процесс сопровождается распространением нелинейных акустических волн высокой частоты. Подчеркнем, что высокочастотные акустические колебания "отфильтрованы" в результирующих уравнениях модели слабо сжимаемой жидкости, они учитываются лишь на начальном этапе движения. Характеристика осцилляций, их локализация изучаются в [88].

Следует заметить, что процедура фильтрации звука в уравнениях конвекции осуществлялась и в работах [5G, 70, 123, 144]. (См. также [71, 157].) Процедура фильтрации звука в уравнениях конвекции впервые была осуществлена S. Paolucci [144] и независимо А.Е. Кузнецовым и М.Х. Стрельцом [50]. В [99, 100] излагается модель сплошной среды, применимая для существенно дозвуковых течений. Гидродинамическое приближение с "фильтрацией акустики" используется для описания околокритических явлений. В указанных работах речь шла о конвекции в газах, где предположение о слабой сжимаемости среды не является столь естественным, как для жидкостей. В.Б. Мосеепков [61] называет неоднородной жидкость с уравнением состояния вида (0.1) и рассматривает слабо сжимаемые жидкости, как жидкости с малыми коэффициентом теплового расширения и параметром сжимаемости, выступающими множителями при температуре и давлении, соответственно, на этапе формулировки термодинамического уравнения состояния. Им проведено математическое моделирование, носящее асимптотически обобщающий характер для классической модели Обербека — Буссипеска, исследована разрешимость некоторых осесим-метрических и общих трехмерных задач, а также вопросы устойчивости решений.

В первом параграфе Главы 3 исследуется корректность начальпо-крае-вой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости с граничным условием третьего рода для температуры вместо условия (0.38). При выполнении естественных условий гладкости и согласования начальных и граничных функций доказывается теорема существования гладкого решения. Эта теорема относится к так называемым локальным теоремам существования и выполняется в условиях малости числа Буссипеска. Доказательство основано на построении решения задачи в виде рядов по степеням малого параметра е (числа Буссипеска) и доказательству разрешимости получаемых рекуррентных задач. Последовательно решаются третья начально-краевая задача для линейного неоднородного уравнения теплопроводности, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и первая начально-краевая задача для нестационарной системы

Стокса. Используются извсстиые результаты В.А. Солонникова по разрешимости в классах функций Гельдера вышеназванных задач [51, 101]. Принципиальным моментом является использование представления скорости (для каждого приближения) в виде суммы солепоидальпой и градиентной части и нахождение потенциала (для каждого приближения), как решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. Сходимость выбранных разложений по степеням параметра е устанавливается в подходящих гельдеровских нормах при малых значениях е.

Определенное представление о характере движения может быть получено при изучении линейной модели (0.34)-(0.3G). В частности, замечено, что линеаризованные уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости допускают группу с прибавлением к давлению произвольной функции времени. В параграфе 2 Главы 3 рассматриваются точные решения конвекции в вертикальном слое, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в нротивофазе, как было для уравнений микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости.

Обширный раздел гидродинамики вязкой жидкости представляет собой вычислительная гидродинамика. В этой области развиваются численные методы применительно к различным задачам конвекции, обосновываются различные подходы к созданию вычислительных алгоритмов, проводится апробация последних на тестовых задачах, а также численно моделируются различные конвективные движения. Уравнения Навье — Стокса, составляющие основу классических уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые необходимо учитывать при их численной реализации. Эти особенности, а также преодоление сложностсй, возникающих при расчетах задач конвекции, изложены в известных работах и монографиях Д. Андерсона, А.Ф. Воеводина, В.И. Полежаева, П. Роуча, E.JI. Тарунина и их соавторов (см., например, [1, 29, 77, 78, 79, 90, 103, 104]).

Для численного решения уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссипеска в данной работе применяются методы, развиваемые в работах [28, 29, 30, 32, 34, 35, 1G9, 171], прежде всего для исследования конвекции в замкнутых объемах. Они связаны с введением для двумерных задач функции тока ф и вихря скорости uj и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно ф, uj. При таком подходе пет необходимости заботиться о солепоидальпо-сти вектора скорости, так как это условие выполняется автоматически. Известным фактом являются трудности, возникающие при задании граничного условия для вихря па границе с прилипанием. Среди численных методов и алгоритмов, разработанных применительно к системе уравнений, записанных в переменных "функция тока-вихрь", следует отметить работы [5, 17, 24, 34, 35, 58, 90, 103]. Эти методы отличаются друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся на практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для и) и ф [17, 103]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухнолевым методом [103]. Типичным в большинстве вычислительных алгоритмов является прием, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. Полученное уравнение относительно значений uj на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция г[) па верхнем слое. Однако, при использовании подобных алгоритмов возникают довольно жесткие ограничения на шаг по времени. Обнаружено также, что устойчивость вычислительного процесса существенным образом зависит от способа вычисления вихря на твердой границе. В ряде работ решаются вопросы снятия ограничений на временной шаг, усовершенствования двухполевого метода решения и улучшения сходимости (см. [24, 78, 81, 103]). Большое внимание уделено тестированию вычислительных алгоритмов, построенных в том числе и с использованием переменной "функция тока", в работах Г.Г. Черных и соавторов [62, 109, 124], где рассмотрены тесты для трехмерной мантийной конвекции. Трехмерная конвекция численно моделируется в переменных "векторный нотеициал-ротор скорости" в работе [112], там же предлагаются граничные условия для новых искомых фуикций и тестируются вычислительные алгоритмы.

Будем рассматривать классические уравнения конвекции (0.6)-(0.8) с постоянной вязкостью. Так называемые конвективный и диффузиопый переносы естественным образом выделяются как в уравнениях движения, так и в уравнении переноса тепла. Тогда вполне обосновано применение идеи расщепления по физическим процессам в уравнениях па каждом временном слое. Идея метода расщепления по физическим процессам базируется на методе слабой аппроксимации [117] и аддитивности этих процессов для достаточно малых шагов по времени. С математической точки зрения расщепление разностного уравнения на составляющие, а затем обоснование аддитивности процессов, описываемых отдельными частями, рассматривается в [91] и проводится доказательство суммарной аппроксимации исходного уравнения вследствие расщепления.

Общая теория расщепления наиболее полно изложена в [59]. Основополагающими работами в этом направлении являются работы Дугласа (J. Douglas), Г.И. Марчука, Рэчфорда (Н.Н. Rachford), А.А. Самарского, Н.Н. Янснко (см. также [26, 131, 132, 47, 48, 57, 59, 93, 105, 117] и ци-тироваипую там литературу). Явная схема расщепления по физическим факторам используется в работах О.М. Белоцерковского, В.А.Гущииа, В.В. Щеииикова [14, 15, 16] и заключается в трехшаговой реализации, включающей расчет давления. Физическая интерпретация расщеиления приводится в [16].

В параграфе 1 четвертой Главы предлагается численный метод исследования конвективных движений жидкости в замкнутых двумерных областях, обладающий свойством энергетической нейтральности поля скоростей, благодаря кососимметричности конвективного оператора и сохранении этого качества при конечно-разностной аппроксимации. Свойство энергетической нейтральности поля скоростей заключается с математической точки зрения в сохранении среднеквадратичной нормы скорости при переходе со слоя па слой [81, 34]. Сохранение энергии в скоростях, а не в вихре является преимуществом такого расщеиления. Расщепление па два этапа (конвективный и диффузионный переносы) проводится для уравнений конвекции, записанных в исходных, физических, переменных. Следовательно, этап конвекции реализуется для вектора скорости и состоит в вычислении "конвективной" скорости. На этапе диффузии осуществляется уже переход к новым искомым функциям: вихрю и функции тока для так называемой "диффузионной" скорости. В этом подходе проявляется основное отличие от метода расщепления по физическим процессам, развиваемом активно в работах Т.В. Протопоповой [34, 35, 81].

Поскольку этап конвекции реализуется для переменной типа "вектор скорости", то за ней и оставляется условное название "конвективной" скорости. "Конвективная" скорость является лишь вспомогательной функцией. Особенность реализации этапа конвекции в замкнутых областях с твердыми непроницаемыми границами состоит в том, что из условий прилипания и гиперболичности системы следует, что граничные условия на этапе конвекции являются следствием уравнений. На этапе диффузии осуществляется переход к вихрю и функции тока, что позволяет, во-первых, исключить расчет градиента давления для определения поля скоростей и, во-вторых, обеспечить соленоидальиость вектора скорости, при этом "диффузионная" скорость и принимается, в итоге, в качестве искомой, истинной. В дальнейшем будем опускать кавычки в терминах конвективная или диффузионная скорость. Тестирование метода проводится па известной задаче о свободной конвекции в квадратной полости при подогреве сбоку.

Во втором параграфе четвертой Главы численный метод, основанный па идее расщепления но физическим процессам, предлагается для исследования конвективных движений жидкости в трехмерных областях с твердыми непроницаемыми границами. Этап конвекции, по-прежнему, реализуется для компонент скорости, а на этапе диффузии осуществляется переход к новым искомым функциям. Для трехмерных задач эти функции являются ротором скорости и векторным потенциалом скорости. Заметим, что этан диффузии представляет возможность расщепления по направлениям, которое является типичным для всех компонент, что, в свою очередь, дает возможность организовать экономичный алгоритм параллельных вычислений.

Поскольку вычисляемыми функциями являются, как компоненты скорости, так и новые искомые функции, то принципиальным моментом в организации расчета является введение смещенных сеток (см., например, [13]). Смещенные сетки позволяют проследить за автоматическим выполнением условия несжимаемости ноля скоростей и организовать восстановление скорости через векторный потенциал. Для трехмерных задач еще большей проблемой становится запись условий прилипания па границе в терминах новых искомых функций. Эти трудности обсуждаются в [13, 43, 90], варианты граничных условий для векторного потенциала и завихренности предлагаются в [18, 112], а сами условия являются чаще следствием условий пепротекапия и идеального проскальзывания [43]. В данном параграфе па твердых непроницаемых границах используются условия, выражающие равенство пулю касательных составляющих векторного потенциала и производной по нормали его нормальной составляющей. Тестирование метода расщепления по физическим процессам в трехмерных задачах проводится па известных задачах о свободной конвекции в кубической полости или параллелепипеде при подогреве одной грани [18, 142].

Другой отличительной особенностью вычислительного алгоритма является организация прогонки с параметрами в двумерном случае. Оригинальный алгоритм метода прогонки с параметрами применяется для реализации условий прилипания и имеет целыо точно реализовать эти условия [28, 29, 34, 30]. Прогонка с параметрами, предложенная А.Ф. Воеводиным, получила недавно достаточно строгое математическое обоснование, благодаря результатам Т.В. Протопоповой [81], и может быть реализована также и в трехмерном случае. Метод расщепления но физическим процессам может быть эффективно применен для численного исследования конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры, а также в произвольной области с достаточно гладкой границей.

Таким образом, тема диссертации является актуальной как с точки зрения математического моделирования конвективных процессов, так и с точки зрения численного моделирования движений в слабых силовых полях и построения численных алгоритмов для исследования задач конвекции.

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Списка литературы и изложена на 243 страницах. В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [161]-[174].

Основные результаты, полученные в диссертации

1. Исследована корректность начально-краевой задачи для классических уравнений конвекции (уравнений Навье —Стокса в приближении Обербека —Буссинеска) с вязкостью, зависящей от температуры. Вопрос о единственности решения является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь воспользоваться не удается. В двумерном случае доказаны теоремы существования и единственности глобального по времени сильного решения, а затем и единственность слабого решения типа Хоифа.

2. Для модели микрокопвекции изотермически несжимаемой жидкости, используемой для исследования конвекции в слабых силовых полях и в микромасштабах и характеризуемой песолепоидальпостыо ноля скоростей, изучены инвариантные решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла па границе колеблется в нротивофазе.

Изучена нестандартная начально-краевая задача для нагруженного уравнения, возникающая при построении данного инвариантного решения.

3. В канонических областях с твердыми непроницаемыми границами численно исследованы нестационарные режимы микрокоивекции для модельных жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Подтверждены количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках классической модели и модели микрокоивекции изотермически несжимаемой жидкости. Величины скоростей, рассчитанных по модели микрокоивекции, могут па три порядка превышать те, что предписываются традиционной моделью. Существенно различается структура течения, его топология, развитие во времени, а также траектории движения жидких частиц.

4. Численно исследована стационарная микроконвекция в областях со слабо деформируемой свободной границей. Расчеты проведены для различных значений чисел Праидтля, Марангопи и Рэлея, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима. Количественные различия в величинах скоростей значительно меньше, чем в нестационарном случае. Численно подтверждено, что учет несолепоидальности в стационарных задачах микрокоивекции ведет к поправкам порядка числа Буссинеска. Выявлены ситуации, когда в стационарных задачах микрокоивекции различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микрокоивекции, проявляются довольно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование большого градиента в тепловом граничном режиме.

5. Изучены уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости, которые могут применяться и для исследования конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах. Построены инвариантные решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в противофазе, как того требовала модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Исследована корректность в классах гельдеровских функций начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости с температурным условием третьего рода на границе области.

6. Предложен численный метод исследования конвективных движений жидкости в замкнутых областях с твердыми непроницаемыми границами па основе расщепления по физическим процессам. Расщепление на два этапа, условно названных конвективным и диффузионным переносами, проведено для уравнений конвекции, записанных в физических переменных. Этап конвекции реализован для вектора скорости. На этапе диффузии осуществлен переход к новым искомым функциям — вихрю и функции тока для двумерных задач и ротору скорости и векторному потенциалу для трехмерных задач. Расчет организован с использованием прогонки с параметрами (двухполевого безытерациопиого метода расчета вихря скорости и функции тока), позволяющей точным образом в разностном смысле удовлетворить на границе следствиям условий прилипания. Предлагаемый метод расщепления обладает также свойством энергетической нейтральности ноля скоростей, а его реализация позволяет экономично организовать процесс вычисления. Тестирование метода проведено па известных задачах о свободной конвекции в кювете при подогреве одной грани.

Полученные результаты в первую очередь связаны с исследованием конвективных движений жидкости в условиях микрогравитации, по могут быть использованы при анализе течений в микромасштабах и выявлении пебуссииесковских эффектов. Результаты получены благодаря развитию и применению математических методов для исследования корректности задач в теории конвекции, с выводом новых математических моделей конвекции, с построением точных инвариантных решений, а также с разработкой численных алгоритмов решения задач конвекции. Они имеют весьма общий характер и широкий диапазон применения в различных прикладных вопросах. Результаты исследования нашли свое отражение в ряде статей, обзоров, монографий, представлены в докладах и трудах многих научных конференций. По материалам исследований прочитаны спецкурсы и проведены спецсеминары по математическому моделированию движений жидкостей в слабых силовых нолях, по численным методам исследования конвективных движений. Некоторые аспекты математического моделирования конвекции предложены в качестве тем исследования, по которым выполнены курсовые и дипломные работы.

В 1995-2005 гг. работа поддерживалась грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований, программой Комплексных Интеграционных Проектов СО РАН, грантами Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ РФ, Фондом Гумбольдта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследованы новые математические модели в теории конвекции: модель микрокопвекции изотермически несжимаемой жидкости и модель конвекции слабо сжимаемой жидкости. Для классических уравнений конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры в двумерном случае, как и в теории уравнений Навье — Стокса, полностью решены вопросы, связанные с корректностью постановок начально-краевых задач. Для классических уравнений конвекции предложены методы численного исследования двумерных и трехмерных задач на основе расщепления по физическим процессам.

1. Андерсон Д., Таппехнлл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах (пер. с англ.). М.: Мир. 1990.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухиачёв В.В., Родионов А.А. Применение теоретико групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука. 1994.

3. Аитоицев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983.

4. Аристов С.Н. Стационарное течение жидкости с переменной вязкостью // Доклады физики. 1998. Т. 43. С. 241-244.

5. Бабенко К.И., Введенская Н.Д. О численном решении краевой задачи для уравнений Навье Стокса // Журнал вычислит, математики и матем. Физики. 1972. Т. 12. N 5. С. 1343-1349.

6. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин JI.A., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости. М.: Наука. 1985.

7. Бабушкин И.А., Богатырев Г.П., Глухов А.Ф. и др. Изучение тепловой конвекции и низкочастотных микроускорений па Орбитальном комплексе "Мир" с помощью датчика "Дакон"// Космические исследования. 2001. Т. 32. N 2. С. 150-158.

8. Бабушкин И.А., Богатырев Г.П., Глухов А.Ф. и др. Система для измерения оперативного расчета и тестов тепловой конвекции в космическом полете // Зимняя школа но механике сплошных сред (двенадцатая). Пермь. 1999. Тезисы докладов. С. 79.

9. Бабушкин И.А., Богатырев Г.П., Глухов А.Ф., Путин Г.Ф. и др. Изучение тепловой конвекции и низкочастотных микроускореиий па орбитальном комплексе "Мир" с помощью датчика "Дакон" // Космические исследования. 2001. Т. 32. N 2. С. 150-158.

10. Бекежапова В.Б. Об одном стационарном решении уравнений микрокоивекции в вертикальирм слое // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42. N 3. С. 63-71.

11. Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю., Шокин Ю.И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. Новосибирск: Наука. 1991.

12. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щепников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1975. Т. 15. N 1. С. 197-207.

13. Белоцерковский О.М., Гущии В.А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР. 1982.

14. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. 1984.

15. Борковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника. 197G.

16. Бессонов О.А., Брайловская В.А., Никитин С.А., Полежаев В.И. Тест для численных решений трехмерной задачи о естественной конвекции в кубической полости // Математическое моделирование.1999. Т. 11. N 12. С. 51-58.

17. Бессонов О.А., Полежаев В.И. Математическое моделирование конвекции в датчике "Дакон" в условиях реального космического полета // Космические исследования. 2001. Т. 32. ? 2. С. 170-178.

18. Боголюбов Н.Н., Митронольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.

19. Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф. Разностный метод решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения.2000. Т. 36. N 11. С. 1560-1562.

20. Бублик В.В. Групповая классификация уравнений динамики вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. СО РАН. Ин-т гидродинамики. 1998. Вып. 113. С. 19-21.

21. Вабищевич П.Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье — Стокса в переменных функция тока вихрь // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. N 7. С. 1135-1144.

22. Варгафтик Н.Б. Справочник по тенлофизическим свойствам газов и жидкостей. Минск: Наука. 1972.

23. Васильев О.Р., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулентности жидкости в стратифицированной среде // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. N 3. С. 108— 115.

24. Ветошкип A.M., Корольков А.В., Савичев В.В. Особенности поведения жидкости и системы жидкость газ в условиях, близких к невесомости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1994. N 5. С. 122-128.

25. Воеводин А.Ф. О корректности метода прогонки для разностных уравнений // Численные методы механики сплошных сред: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-иие. Ип-т теор. и нрикл. механики. 1972. Т. 3. N 5. С. 17-26.

26. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы решения одномерных систем. Новосибирск: Наука. 1981.

27. Воеводин А.Ф. Устойчивость конечно-разностных граничных условий для вихря па твердой стенке // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1998. Т. 38. N 5. С. 855-859.

28. Воеводин А.Ф. Метод дробных шагов для уравнений Стокса и Навье-Стокса в замкнутых односвязиых и двухсвязных областях //ф Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние.

29. Ип-т гидродинамики. 1998. Выи. 113. С. 22-2С.

30. Воеводин А.Ф., Юшкова Т.В. Численный метод решения началыю-краевых задач для уравнений Навье Стокса в замкнутых областях па основе метода расщепления // Сиб. жури, вычисл. математики. 1999. Т. 2. N 4. С. 321-332.

31. Воеводин А.Ф., Протопопова Т.В. Метод расчёта вязких течений в замкнутых областях // Сиб. жури, индустриальной математики.1.2001. Т. 4. N 1. С. 29-37.ф

32. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972.

33. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. 1989.

34. Гущин В.А. Метод расщепления для решения задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости // Журнал вычислит, математики и матем. Физики. 1981. Т. 21. N 4. С. 1003-1017.

35. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир. 1981.

36. Жмакин А.И., Макаров Ю.Н. Численное моделирование гипозвуко-вых течений вязкого газа // Доклады АН СССР. 1985. Т. 280. N 4. С. 827-830.

37. Исмаил-заде А.Т., Короткий А.И., Наймарк Б.М., Цепелев И.А. Численное моделирование трехмерных вязких течений под воздействием гравитационных и тепловых эффектов // Журнал вычислит, математики и матем. Физики. 2001. Т. 41. N 9. С. 1399-1415.

38. Калиткии Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978.

39. Карпилова О.И., Сысоев Г.М. О движении жидкости переменной вязкости // Вестник МГУ. 1997. Сер. 1. N 1. С. 59-62.

40. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы выриациопного исчисления. М.: Наука. 1986.

41. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука. 1981.

42. Кочип Н.К., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 1. М.: Наука. 1963.

43. Ладыженская О.А., Солонпиков В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967.

44. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973.

45. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970.

46. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986.

48. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука. 1989.

49. Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. О внутренних волнах, индуцированных коллапсом зоны смещения в стратифицированной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ии-т гидродинамики. 1975. Вып. 22. N 2. С. 108-115.

50. Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах численного решения уравнений Навье Стокса // Журнал вычислит, математики и матем. Физики. 1980. Т. 20. N 4. С. 1005-1020.

51. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988.

52. Митропольский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. Киев: Наукова думка. 1983.

53. Мосеепков В.Б. Качественные методы исследования задач конвекции вязкой слабо сжимаемой жидкости. Киев: Наукове видания. 1998.

54. Мошкии Н.П., Рычкова Е.В., Тычков С.А., Черных Г.Г. Тестирование некоторых численных моделей конвективных течений применительно к задачам геодинамики. // Вычислительные технологии. 1995. Т. 4. N 13. С. 224-232.

55. Мызпикова Б.И., Тарунин E.JT. Процессы установления стационарных конвективных течений в кубической полости при подогреве снизу // Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1983. С. 20-29.

56. Мызпикова Б.И., Тарунин E.JI. Конвективное течение в кубической полости при подогреве внизу // Числ. методы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1983. С. 241-245.

57. Надолин К.А. Конвекция в горизонтальном слое жидкости при инверсии удельного объема // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1989. N 1. С. 43-49.

58. Надолин К.А. О приближении Буссинеска в задаче Рэлея-Беиара // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1995. N 5. С. 3-10.

59. Надолин К.А. О проникающей конвекции в приближении изотермически несжимаемой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1996. N 2. С. 40-52.

60. Нахушев А.Н., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. N 1. С. 105-110.

61. Непомнящий А.А., Тарунин E.JI. Двухнолевой метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей // Труды VI Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. 1978. С. 197-206.

62. Никулин Д.А., Стрелец М.Х. Численное моделирование нестационарной естественной конвекции сжимаемого газа в замкнутой недиабатичсской области // Теплофиз. высок, температур. 1984. Т. 22. N 5. С. 900-912.

63. Никулин Д.А., Потехип Г.С., Стрелец М.Х. Приближение системы уравнений для описания нестационарной естественной конвекции в бинарных газовых смесях // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1980. N 5. С. 57-59.

64. Овсянников JI.B. Введение и механику сплошных сред. Новосибирск: Изд-во НГУ. 197G.

65. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

66. Овчарова А.С. Метод решения термокопвективной задачи в многослойной среде с криволинейными границами раздела // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. СО РАН. Ин-т гидродинамики. 1994. Выи. 106. С. 108-120.

67. Оняиов В.А., Тарунин E.JI. Численные эксперименты но использованию различных разностных схем для задач свободной конвекции в замкнутой области // Гидродинамика: Уч. зап. Пермск. ун-та N 327. 1975. Выи. VI. С. 156-173.

68. Остапенко В.В. Разностная схема повышенного порядка сходимости на нестационарной ударной волне // Сибирский журнал вычислительной математики. 1999. Т. 2. N 1. С. 47-56.

69. Паскопов В.М., Полежаев В.И., Чудов П.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмепа. М.: Наука. 1984.

70. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена па основе уравнений Навье Стокса. М.: Наука. 1987.

71. Полежаев В.И., Белло М.С., Верезуб Н.А. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука. 1991.

72. Поляпип А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит. 2003.

73. Протопопова Т.В. Численные методы решения задач тепловлй конвекции па основе уравнений Навье-Стокса. Диссертация па соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. ИГиЛ СО РАН. 2003.

74. Пухиачёв В.В. Лекции по динамике вязкой несжимаемой жидкости. Часть 1. Новосибирск: НГУ. 1969.

75. Пухиачёв В.В. Термокапиллярная конвекция в слабых силовых полях. Препринт ИТ СО АН СССР N 178-88. 1988.

76. Пухиачёв В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Новосибирск: НГУ. 1989.

77. Пухиачёв В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. Т. 6(23). N 4. С. 47-5G.

78. Пухиачёв В.В. Микрокопвекция в вертикальном слое // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1994. N 5. С. 76-84.

79. Пухиачёв В.В. Стационарная задача микрокопвекции // Динамика сплошной среды: Сб. пауч. тр. СО РАН. Ип-т гидродинамики. 1996. Вып. 111. С. 109-116.

80. Пухначёв В.В. Иерархия моделей в теории конвекции // Записки ПОМИ им. В.А. Стеклова. 2002. Вып. 288. С. 152-177.

81. Родионов А.А. Некоторые точные решения уравнений микрокоивекции // Сб. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск. 2000. С. 186-189.

82. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1975.

83. Самарский А.А. О принципе аддитивности для построения экономичных разностных схем // ДАН СССР. 1965. Т. 165. N 6. С. 12531256.

84. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977.

85. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: Ип-т матем. моделир. РАН. Ип-т матем. НАНБ. 1998.

86. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука. 1978.

87. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. Москва: Изд-во иностр. лит. 1963.

88. Сипяев В.Н. Об одном принципе построения конечно разностных схем, основанных на законах сохранения полной энергии // Численные методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ип-т теор. и ирикл. мех. 1974. Т. 5. N 2. С. 108-115.

89. Скульский О.И., Аристов С.Н. Механика аномально вязких жидкостей // Регулярная и хаотическая динамика. Москва, Ижевск. 2004. С. 156.

90. Смириов В.И. Курс высшей математики. Том II. Москва: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1953.

91. Соболева Е.Б. Моделирование естественной конвекции на основе уравнений Навье — Стокса в приближении дозвукового течения. Москва: ИПМ РАН. 1997. Препринт N 602.

92. Соболева Е.Б., Крюков И.А. Моделирование околокритических явлений в гидродинамическом приближении с "фильтрацией звука". Москва: ИПМ РАН. 1998. Препринт N 624.

93. Солонников В.А. Дифференциальные свойства решения первой начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса // Труды Математического института им. В.А. Стеклова Москва. 1964. Т. 73. С. 221-291.

94. Суд, Элрод мл. Численное решение уравнений Навье — Стокса в двухсвязных областях для течения несжимаемой жидкости // Ракетная техника и космонавтика. 1974. N 5. С. 76-82.

95. Тарунин E.JL Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркутского университета. 1990.

96. Тарунин E.JI. Нелинейные задачи тепловой конвекции. Избранные труды. Пермь: Изд-во ПГУ, ПСИ, ПСИ МОСУ, ПССГК. 2002.

97. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир. 1981.

98. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.

99. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1980.

100. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит. I960.

101. Тычков С.А., Червов В.В., Черных Г.Г. Численная модель трехмерной конвекции в верхней мантии Земли // Selected Papers of the International Conference "Fluxes and Structures. St. Petersburg, Russia, June 23-26 2003, Moscow, IPM RAS.

102. Федорюк M.B. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

103. Фихтепгольц Г.М. Основы математического анализа. Том И. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1956.

104. Червов В.В. Трехмерное моделирование конвективных процессов в мантии Земли. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. РАН, СО, Ин-т геологии, ИВТ.

105. Шифрип Э.Г. Условие непрерывной зависимости от сжимаемости нестационарных течений вязких мало сжимаемых жидкостей // Доклады АН. 1999. Т. 365. N 2. С. 197-200.

106. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-па-Допу: РГУ. 1973.

107. Юдович В.И. Конвекция изотермически несжимаемой жидкости. Препринт. Ростов-на-Доиу: РГУ. 1983.

108. Юдович В.И. Конвекция изотермически несжимаемой жидкости. Деп. в ВИНИТИ 28.05.99. N 1699 В99. 1999.

109. Яиепко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. 1967.

110. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Applications of group-thcorctical methods in hydrodynamics. Kluwer Academic Publ. Dordrecht/Boston/London. 1998.

111. Aristov S.N., Zelenina V.G. Effect of heat transfer on plane-channel Poiseuille flow of a thermo-viscous fluid // Fluid Dynamics. 2000. Vol. 35. No 2. P. 217-221.

112. Beirao da Veiga H. Vorticity and smoothness in incompressible viscous flows // Wave Phenomena and Asymptotic Analysis. RIMS Kokyoroku 1315. Research Institute of Mathematical Sciences. Kyoto University. 2003. P. 37-42.

113. Beirao da Veiga H. On the regularity of flows with Ladyzhenskaya shear-dependent viscosity and slip or nonslip boundary conditions // Communications on Pure and Applied Mathematics. 2004. Vol. LVII. P. 0001-0026.

114. Boelim M. On a Nonhomogeneous Non-Newtonian Fluid // LCDS Report 83-8 March 1983. Division of Applied Mathematics Brown Universiti providence R1 02912.

115. Chenoweth D.R., Paolucci S. Natural convection in an enclosed vertical air layer with large horizontal temperature differences //J. Fluid Mech. 1986. Vol. 169. P. 173-210.

116. Consiglicri L. Stationary weak solutions for a class of non-Newtonian fluids with energy transfer // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1997. N 32. P. 961-972.

117. Corisiglieri L. Weak solutions for a class of non-Newtonian fluids with energy transfer // J. Math. Fluid Mech. 2000. N 2. P. 267-293.

118. Cuvelier C., Driessen J.M. Thermocapillary free boundaries in crystal growth // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 169. P. 1-26.

119. Davis G. de Vahl. Natural convection of air in a square cavity: a bench mark numerical solution // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1983. Vol. 3. P. 249-264.

120. Douglas J., Gunn J.E. A general formulation of alternating direction implicit methods. Part 1. Parabolic arid hiperbolic problems // Num. Math. 1964. B. 6. P. 428-453.

121. Douglas J., Rachford H.H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. P. 421-439.

122. Dorfler W., Goncharova 0., Kroner D. Fluid flow with dynamic contact angle: Numerical simulation 11 ZAMM. 2002. Vol. 82. N 3. P. 167-176.

123. Fife P. The Benard problem for general fluid dynamical equations and remarks on the Boussinesq approximations // Indiana Univ. Math. J. 1970. Vol. 20. P. 303.

124. Hagstrom Т., Lorenz J. All-time existence of classical solutions for slightly compressible flows // SIAM J. Math. Anal. 1998. Vol. 29. N 3. P. 652-672.

125. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. N 12. P. 2182-2189.

126. Homsy G.M. Microgravity and microscale fluid mechanics // 21-st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. 15-21 August 2004, Warsaw, Poland. Books of Abstracts and CD-ROM Proc. P. 35-36.

127. Kagei Y., Ruzicka M., Thater G. Natural convection with dissipative heating // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 214. P. 287-313.

128. Klainerman S., Majda A. Singular limits of quasilinear hyperbolic systems with large parameters and the incompressible limit of compressible fluids / / Communications on Pure and Applied Mathematics. 1981. Vol. XXXIV. P. 481-524.

129. Kirdyashkin A.G. Thermocapillary periodic flows // Int. J. Heat Mass Transfer. 1987. Vol. 30. N 1. P. 109-124.

130. Kirdyashkin A.G., Zaporozhko V.F., Popov S.P. Thermocapillary steady and periodic flows in a horizontal layer much thicker than the boundary layer at the free surface // Int. J. Heat Mass Transfer. 1990. Vol. 33. N 8. P. 1G49-1666.

131. Mallison G.D., de Vahl Davis G. Three-dimensional natural convection in a box: a numerical study // J. Fluid Mech. 1977. Vol. 83. Part 1. P. 1-31.

132. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid // Astrophys. Л. 19G2. Vol. 13G. N 5. P. 1126-1144.

133. Paolucci S. On the filtering of sound from the Navier-Stokes equations // Sandia Nat. Lab. Rep. SAND 82. December 1982.

134. Perera P.S., Sekerka R.F. Nonsolenoidal flow in a liquid diffusion couple // Phys. Fluids, 1997. Vol. 9. N 2. P. 376-391.

135. Pukhnachov V.V. Solvability of initial boundary value problem in nonstandart model of convection // Зап. науч. семинаров ПОМИ им. В.А. Стеклова. 1996. Т. 233, С. 217-226.

136. Ratcliff J. Т., Schubert G., Zebib A. Effects of temperature dependent viscosity on thermal convection in a spherical shell // Physica.D. 1996. 97. N 1-3. P. 242-252.

137. Rajagopal K.R., Ruzicka M. Mathematical modeling of electrorheological materials // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2001. Vol. 13. P. 59-78.

138. Rodrigues J.F. Weak solutions for thermoconvective flows of Boussinesq-Stefan type //In Mathematical topics in fluid mechanics. J.F. Rxxlrigues and A. Sequeira (eds). Pitman R,es. Notes in Math. Longman. 1992. P. 93-116.

139. Rodrigues J.F. Thermoconvection with dissipation of quasi-Newtonian fluids in tubes. //In Navier — Stokes equations and related nonlinear problems. A. Sequeira (ed). Plenum Press. New York. 1995. P. 279-288.

140. Ruzicka M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. Lecture Notes in Mathematics, 1748. Springer. Berlin. 2000.

141. Shilkin T. Partial regularity of weak solutions of the stationary 3D-Boussinesq system // Zapiski Nauchn. Seminar. POMI. 2002. Vol. 288. P. 256-270.

142. Shilkin T. Classical solvability of the coupled system modelling a heat-convergent Poiseuille- type flow // Journal of Mathematical Fluid Mechanics (in press).

143. Velarde M.G., Cordon R.P. On the (non-linear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid. (I). Viscous dissipation and large cell gap effects // Le Journal de Physique. 1975. Vol. 36. P. 591.

144. Velarde M.G., Cordon R.P. On the (non-linear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid. (II). Viscousdissipation and large cell gap effects // Le Journal de Physique. 1976. Vol. 37. N 3. P. 177-182.

145. Zebib A., Homsy G.M., Meiburg E. High Marangoni number convection in a square cavity // Phys. Fluids. 1985. Vol. 28. N 12. P. 3467-3476.

146. Гончарова O.H. О свободной конвекции в случае зависимости коэффициента вязкости от температуры // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-иие. Ии-т гидродинамики. 1984. Вып. 68. С. 74-81.

147. Гончарова О.Н. О единственности решения стационарной задачи для уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-иие. Ип-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 22-28.

148. Гончарова О.Н. Разрешимость нестационарной задачи для уравнений свободной конвекции с вязкостью, зависящей от температуры // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ип-т гидродинамики. 1990. Выи. 96. С. 35-58.

149. Gontcharova O.N. Comparison of two models of microconvections for the low gravity forces // Microgravity Quarterly. 1995. Vol. 5. N 4. P. 211-215.

150. Gontcharova O.N. Microconvection in the domains with free boundaries under low gravity: numerical simulation // Albert Ludwigs -Universitaet Freiburg. Mathematische Fakultaet. Freiburg, Germany. 1996. Preprint Nr. 20/1996 - 5.08.1996.

151. Gontcharova O.N. Microconvcction in a semicircle with free flat boundary // Sec. Europ. Symp. "Fluids in Space". 22-26 April 1996, Naples, Italy. Books of Proc. P. 383-388.

152. Гончарова O.H. Микроконвекция в слабых силовых нолях. Сравнение двух моделей при численном исследовании // Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38. N 2. С. 58-63.

153. Гончарова О.Н. Численное исследование микрокопвекции в областях со свободными границами // Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38. N 3. С. 64-68.

154. Гончарова О.Н. Микроконвекция в области со свободной границей // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5. N 2. С. 14-25.

155. Гончарова О.Н. Численное исследование микрокопвекции в длинном прямоугольнике // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5. N 5. С. 26-37.

156. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления но физическим процессам для расчета задач конвекции // Математическое моделирование. 2001 Т. 13. N 5. С. 90-96.

157. Гончарова О.Н. О единственности решения двумерной нестационарной задачи для уравнений свободной конвекции с вязкостью, зависящей от температуры // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. N 3. С. 1-9.

158. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расчета двумерных задач конвекции па основе расщепления но физическим процессам // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. N 1. С. 66-74.

159. Goncharova O.N. Numerical modelling of convection of isothermally incompressible fluid under low gravity in domain with free boundary // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. N 5. С. 3-13.

160. Гончарова О.Н. Точные решения линеаризованных уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46. N 2. С. 52-63.