Эффекты асимметричных модуляций в задачах тепловой конвекции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Мелентьев Анатолий Борисович

ЭФФЕКТЫ АСИММЕТРИЧНЫХ МОДУЛЯЦИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Пермь 2012

005053676

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович

доктор физ.-мат. наук, профессор Брацун Дмитрий Анатольевич (зав. каф. теоретической физики и компьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пермский государственный педагогический университет»)

доктор физ.-мат. наук, профессор Фрик Пётр Готлобович (зав. лаб. физической гидродинамики ФГБУН Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН)

ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педагогический институт имени В. Г. Короленко», г. Глазов.

Защита состоится «15» ноября 2012 г. в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378388; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан «40» октября 2012 г.

Ученый секретарь совета БерезинИ.К.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование конвективных режимов в жидкостях и газах в системах с модуляцией параметра имеет много приложений на Земле и в космических условиях и проводилось во многих работах. Модуляция параметра относится к вопросу об управлении конвекцией за счёт внешнего воздействия. Внешние модуляции способны изменять устойчивость систем и порождать различные колебательные режимы системы в зависимости от параметров модуляций, таких, как частота, амплитуда, а также вид периодического закона модуляции. Однако в большинстве работ используются гармонические симметричные законы модуляций синусоидальной или прямоугольной (в виде «ступенек») формы.

Асимметричные колебания в природе не являются редкостью. Примером этих колебаний могут служить практически все стили плавания в воде и полёты птиц. Кроме того, перемещение поршня в двигателе внутреннего сгорания также является асимметричным. Известно, что асимметричность механических вибраций может быть вызвана различными способами и обладает полезными приложениями, связанными, в частности, с механическим перемещением1. Из этого обстоятельства вытекает вопрос о применении такого рода колебаний в задачах динамики жидких сред с целью выявления различных эффектов, применимых, в частности, в задачах управления конвекцией. Рассмотрение асимметричных модуляций вносит в задачу ещё один управляющий параметр — параметр асимметрии модуляций.

Работа посвящена исследованию конвективных режимов при негармоническом, асимметричном законе модуляции, вызванном меха-

1 Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994.400 с.

ническими колебаниями в типичных задачах тепловой конвекции.

Целью работы является исследование эффектов асимметричной модуляции параметров в задачах свободной конвекции. В рамках работы решались задачи:

1. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на режимы конвекции в слое жидкости со свободными границами при подогреве снизу (в задаче Рэлея);

2. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на надкритические режимы конвекции в полости квадратного сечения;

3. Исследование влияния асимметрии вращательных колебаний на конвективные режимы в полости квадратного сечения при подогреве снизу.

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы впервые:

1. Найдена формула, описывающая эффекты увеличения экстремальных значений интегральных характеристик установившегося колебательного режима конвекции при повышении асимметричности модуляций гравитации в горизонтальном слое жидкости со свободными границами и в полости квадратного сечения при подогреве снизу. При этом показано, что среднее значение амплитуд интегральных характеристик за период установившихся колебаний изменяется незначительно;

2. Обнаружен эффект смещения максимума экстремальных значений интегральных характеристик установившегося, режима колебаний из области резонансных частот (соответствующих «собственной» частоте системы) в сторону более низких частот при повышении асимметричности модуляции гравитации;

3. Найдено понижение порога устойчивости при асимметричности

модуляции в задаче Рэлея;

4. Вычислительные эксперименты доказали, что повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению «критического» значения амплитуды, соответствующего смене колебательного режима с переменой знака вращения жидкости на режим без смены знака. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона, даёт информацию о конвективных режимах при наличии низкочастотных вращательных колебаний;

5. Разработаны программы, позволяющие исследовать различные варианты асимметричных модуляций в рассмотренных задачах.

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием с известными решениями в предельных случаях; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; использованием известных апробированных методов и алгоритмов расчёта.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 9 работах [1-9]. Из них 2 статьи [1-2] в центральных российских изданиях из перечня ВАК, 1 статья в сборнике трудов международной конференции [3], 5 статей в печатных периодических изданиях не входящих в перечень ВАК [4-8], 1 статья в электронном журнале [9]. Личный вклад автора в работы [1-9] состоит в построении уравнений и разностных схем, в реализации методов исследования, в численных расчетах и обработке результатов вычислительных экспериментов. По материалам диссертации написаны и зарегистрированы программы, реализующие используемые модели [10-13], а также программа, реализующая варианты асимметричного вращения элементов инерцоида [14].

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конферен-

циях: Краевая дистанционная научно-практическая конференция молодых учёных и студентов «Молодёжная наука Прикамья», Пермь, 2009; International Summer School "Advanced Problems in Mechanics", Repino, 2010; Всероссийская конференция молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах», Пермь, 2010; Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», Новосибирск, 2010; Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», посвященная 50-летнему юбилею механико-математического факультета ПГУ, Пермь, 2010; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПГНИУ, 2011,2012; научный семинар ИМСС УрО РАН, Пермь, 2012.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из списка условных сокращений, введения, включающего общую характеристику работы, четырёх глав, заключения, списка литературы (163 наименования), состоящего из списка использованных источников и списка публикаций автора. Работа содержит 46 рисунков и 7 таблиц. Общий объем диссертации 130 страниц.

Практическая ценность: полученные результаты расчётов, выявленные зависимости и составленные программы могут быть использованы для расчёта влияния на конвективные режимы асимметричности модуляций гравитации и вращательных колебаний при планировании соответствующих лабораторных экспериментов и производства в наземных условиях и в невесомости.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится общая характеристика работы. В первой главе диссертации проводится обзор работ, связанных с темой исследования. В первом параграфе рассмотрены работы, в кото-

рых исследуются эффекты асимметричных колебаний при наличии нелинейности в механике. В следующем параграфе проведён обзор работ по использованию модуляции в конвективных задачах: при модуляции температуры, при модуляции гравитации, при вращательных колебаниях. Затем рассмотрены работы по негармоническим модуляциям в конвективных задачах, и сделан вывод о том, что в перечисленных работах редко рассматривались случаи модуляции конечной частоты и амплитуды и почти не рассматривались случаи асимметричной модуляции. Поэтому для рассмотрения эффектов асимметричности вначале требуется найти решение для симметричного варианта модуляций.

Во второй главе рассмотрены режимы конвекции в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и подогревом сни-т зу при наличии синусоидальных и асимметричных модуляций гравитации (рис. 1).

Размер рассматриваемой конвективной ячейки соответствовал минимуму на нейтральной кривой линейной теории устойчивости.

В первом параграфе описана асимметричная модуляция, используемая в работе:

>'4 1

7-0

/

I

О Т= 1 X

Рис. 1. Схема задачи из второй главы

_ соэ(<УД I е [0, );

Л-А

СО,

(1)

где / - функция модуляции (в главах 2 и 3 - координата слоя и полости по вертикали, в главе 4 - угол поворота полости), а - амплитуда, /0

- период модуляции, /, - первая часть периода, - циклические

частоты модуляций на первой и второй части периода, £ - параметр асимметрии. В дальнейшем будет использована циклическая частота колебаний на полном периоде £2 = 2я / /0.

Рассмотрена возможность замены используемой асимметричной модуляции суммой членов ряда Фурье. Отмечено присутствие эффекта Гиббса при описании второй производной от функции модуляции и отмечена сложность в добавлении нового параметра - числа членов ряда при описании второй производной с помощью суммы членов ряда Фурье. Сделан вывод о целесообразности использования кусочного

задания модуляции.

Во втором параграфе с помощью маломодовой модели конвекции Лоренца исследовалось влияние асимметричности модуляций на характеристики установившихся колебаний. Система уравнений Лоренца, как и в работе Д.В. Любимова, Т.П. Любимовой и Б.С. Марышева2 имела вид:

*=Рг(г+Л/(0)Г-Р1Х г = х-г-хг, ¿ = -Ъ2 + ХУ, (2) где Х,У,2 - амплитуды трёх Лоренцовских мод (X характеризует скорость вращения конвективных валов, а У и 2 — искажения поля температуры), Рг - число Прандтля, ¿ = 4(1+Я"2)"1 - геометрический параметр, г = Яа/Яа, - нормированное число Рэлея (Да. - критическое значение числа Рэлея в отсутствие колебаний), а М(Г) - модуляционная составляющая:

2 Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С. Влияние шума на возникновение конвекции в модулированном поле тяжести // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2010. №6. С.30-37.

[ас£\са&сол\1со , 0<Г</,,

М(0 = і , , (3)

у-аозі[соэа2(/-/,)]/<»,Г, </<?„■ где а - а£?рвНъ- безразмерная амплитуда модуляции, о,, а2, а, , /0 соответствуют безразмерным аналогам (1).

Значительная часть расчётов соответствовала условиям невесомости. Для решения уравнений системы использовался метод Рунге-Кутгы 4 порядка с автоматическим подбором шага по времени для обеспечения относительной погрешности менее Ю-6. Анализ результатов и нахождение аналитических зависимостей производилось с помощью метода наименьших квадратов.

Для случая невесомости найдена зависимость, показывающая понижение критического значения амплитуды модуляции (рис. 2) при увеличении параметра асимметрии:

о (О*5,086-0,3484" = = 4,738-0,348(4" -1), (4) 1<£"<5.

Получены зависимости экстремальных значений характеристик интенсивности течения от параметра асимметрии при различной амплитуде модуляции. Показано, что при значительном влиянии асимметрии на экстремальные характеристики конвективного течения, изменение средних за период интегральных характеристик незначительно.

Рис. 2. Нейтральные кривые на карте устойчивости: амплитуда а, обратная частота модуляций о)'1 для трёх значений параметра асимметрии С-и 2; 5

Для случая надкритических значений числа Рэлея (но меньших значения, когда появляются собственные колебания системы в отсутствие модуляций) показано увеличение амплитуды колебаний вследствие отклонения параметра асимметрии от 1.

2,15

2,1

2,05

2

1,95

1,9 «„V'

1,85

1,8

1,75

Рис. 3. Зависимость максимальных значений X от частоты модуляций о для параметров: г = 2;а = 0,2 и параметров асимметрии: а) £ = 1; 2/3; 1/2;б) £ = 1; 1,5; 2

Обнаружено, что для % < 1 максимум интенсивности течения колебательного режима, соответствующий резонансу, смещается в область более низких частот (рис. За). Для 1 область резонанса на амплитудной кривой «размывается» и наблюдается рост интенсивности течения на низких частотах (рис. 36).

Получены зависимости экстремального значения амплитуды колебаний и соответствующей частоты модуляции от параметра асиммет-

I

рии:

0,89^-1,824-+2,78, со.Ц)«1,67^+0,38, 0,5<<< 1, (5) А.СО« 0,1274+1,72, <а.»2,06, 1<^<2.

В третьем пара1рафе главы исследованы режимы конвекции с помощью полных уравнений конвекции в приближении Буссинеска. В

переменных функции тока у/, вихря скорости (р и температуры Т уравнения имели вид:

др+ско—, д^+^-о,

ду дх дх ду дх ^

дТ_ ду/ дТ ду/ дТ __ АТ _ 3* ду дх дх ду Рг '

Здесь Рг - число Прандтля, Сг(Г) = бг0 +Сги(/) - постоянная и модулируемая компоненты числа Грасхофа.

Ысф^)]! со2, 0 < г < ;

{-ффо^(г-г,))]/«»2, /,</<?„.

Для решения системы уравнений использовался метод конечных разностей на сетке, обеспечивающей погрешность решения по интегральным характеристикам не более 2%. Уравнения для рихря скорости и температуры решались по явной схеме, а для функции тока - методом последовательной верхней релаксации на каждом шаге по времени. Счёт производился до установления экстремумов интегральных характеристик на соседних периодах с относительной точностью 10~6. На вертикальных границах использовалось условие периодичности решения. Для экономии времени счёта использовался метод продолжения по параметру.

Исследованы надкритические режимы, обсуждены картины течений. Проведено сравнение с результатами, полученными с помощью модели Лоренца, и показано отличие значений резонансных частот. При этом обнаружено и сходство: в обоих случаях значения характеристик интенсивности течения изменяется в пределах 15% при 1/2<С<2.

В случае невесомости подтверждено понижение критического зна-

чения амплитуды модуляций числа Рэлея (в нашем случае, совпадающем с числом Грасхофа, т.к. Рг = 1) при повышении асимметричности модуляции:

СгХ)« 3344-228,7<Г = 3115,3-228,7(^-1), 1<^5. (8) Найдены зависимости экстремальных значений интегральных характеристик от параметра асимметрии для режимов с одинаковой над-

критичностью амплитуды модуляций.

В третьей главе диссертации исследованы надкритические режимы конвекции в замкнутой полости квадратного сечения при подогреве снизу при наличии гармонических и асимметричных модуляций конечной частоты (рис. 4). Случай симметричных модуляций в подобной постановке был

рассмотрен в работе Г.И. Бурдэ3.

Система уравнений конвекции в приближении Буссинеска в терминах функции тока и вихря скорости решалась аналогично алгоритму, описанному во второй главе. На твёрдых границах вихрь определялся

по формулам Тома.

Рассматривалось фиксированное надкритическое значение числа Рэлея (но меньше значения, когда появляются собственные колебания системы в отсутствие модуляций). Обнаружено повышение интенсивности течения при отклонении параметра асимметрии от 1. Показано, что для £ < 1 максимум функции тока колебательного режима, соот-

3 Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М: ИПМ АН СССР, 1970. №2. С.196-201.

У к

74)

г

\

Т=1-у

Т=1-у

7

.г

I

О Г=1 1 X

Рис. 4. Схема задачи из третьей главы

ветствующий резонансу на амплитудной кривой, смещается в область более низких частот. Найдена зависимость экстремального значения максимума функции тока ц/т и соответствующего значения частоты от параметра асимметрии:

-3,48^+7,15, ©(¿>33,46^+3,33, 0,5<^<1. (9) Для > 1 показано «размытие» области резонанса и увеличение значений характеристики интенсивности течения в области низких частот. Показано, что среднее за период значение интегральных характеристик изменяется незначительно при изменении параметра асимметрии. Проведено сравнение с задачей Рэлея из второй главы.

В четвёртой главе исследовалась естественная конвекция при низкочастотных вращательных колебаниях бесконечного горизонтального цилиндра квадратного сечения при подогреве снизу (рис. 5). Аналогичная постановка в случае высоких частот рассматривалась в работе A.A. Ивановой и В.Г. Козлова4. Система уравнений, описывающая поведение жидкости отличается от классического приближения Буссинеска добавлением в уравнение для скорости слагаемых, соответствующих силам, возникающим при вращении:

ь0,5-}' 4

Рис. 5. Схема задачи из четвёртой главы

4 Иванова A.A., Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция при непоступательных колебаниях полости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2003. № 3. С. 26-43.

—+ Ш)и = -Ур + РтАо + СтТ(1ът а( 0 + ] соб а(0) -81

-ОКО х г + й(0 х (й>(/) х г) + 2й(0 х 6 = 0,

дТ „ [аоСОзС^О^еСО,/,);

—+(йУ)Г = ДГ, а(/) = -

Здесь и = (н,и,0) - скорость жидкости, Г - температура, р - давление, Рг - число Прандтля, Сг - число Грасхофа, г = (х,у,0) - радиус-вектор, а - угол поворота, й-= (0,0, а) - угловая скорость,

ту = (0,0,а) -угловое ускорение, 7,7 - единичные горизонтальный и вертикальный векторы, направленные вдоль оси х и у.

12

-12

0 •

- А 2 У? -- з — 4 — 5 .... 6

-

! 151 1<?г* -1---1-■-1---г Стг .......1

"I-'-г

5000 10000 15000 20000 Рис. 6. Бифуркационная кривая для Рис. 7. Зависимость максимума постоянного угла наклона а = 5° функции тока от числа Грасхофа

при модуляции угла наклона с параметрами а0 =5°; 7П = 1; С -1 Система уравнений (10) решалась аналогичным, описанному в главе 3, образом. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона (рис. 6), даёт полезную информацию о возникающих конвективных режимах при наличии вращательных колебаний конечной частоты.

Сплошные линии 4 и 5 на рис. 6 соответствуют кубической аппроксимации двух устойчивых ветвей. Штриховая линия 3 соответствует ветвлению решений при а = 0. Пунктирная линия 6 определяет положение неустойчивой ветви, построенной методом наименьших квадра-

Методом вычислительных экспериментов с перебором угла наклона с шагом Аа = 0,1 ° и числа Грасхофа с шагом is.Gr = 103 была получена аналитическая зависимость «критического» значения угла наклона полости а,(Сг) (рис. 8) в виде полинома третьей степени, соответствующего значению Сг. (см. рис. 6), ниже которого не существует режима с вращением жидкости по часовой стрелке.

В случае модуляции (при £" = 1) соответствующие бифуркационные кривые имели вид рис. 7. Как видно, значение числа Грасхофа (7г я 7300 разделяет два режима: при йг < 7300 существует режим конвективного течения со сменой направления - вращения, при йг > 7300 конвективное течение сохраняет знак ц/т и колеблется около значения у/т, соответствующего стационарному режиму при а = 0. В случае асимметричной модуляции зависимость у/т(Сг) уже

не симметрична относительно оси ц/т = 0 .

Обработка результатов вычислительных экспериментов с перебором амплитуды угла поворота а0 и числа Грасхофа Сг позволила

10 -8 -б 4

Г

1 Ог

0

0 10000 20000 30000 Рис. 8. Зависимость критического значения угла наклона полости от числа Грасхофа

получить зависимость «критического» значения амплитуды aa(Gr) , в случае модуляции:

a0(Gr) «11- i/i(l,076 • (yj^ ~ 1))' 6-Ю3 <Gr<20-103, /0 = 1, Ç = \. (И)

Зависимость (11) соответствует фиксированному периоду модуляций /0 = 1. Вычислительные эксперименты с меньшими значениями периода обнаружили, что повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению «критического» значения амплитуды а]. В случае низких частот (/0 >0,5) «критическое» значение

амплитуды слабо зависит от параметра асимметрии. Введён критерий появления режима со сменой направления вращения жидкости за период. Этот критерий объединяет амплитуду и период вращательных колебаний:

S. = \{a{t)-a.)dt>S'a «4,2-Ю"3. (12)

д»

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Впервые найдены аналитические зависимости интегральных характеристик надкритических режимов конвекции от трёх параметров задачи, показывающие увеличение экстремальных значений характеристик при различных значениях параметра асимметрии.

2. Обнаружено, что амплитудные кривые для значений параметра асимметрии Ç > \ и Ç < 1 отличаются, особенно на низких частотах.

3. Показана эффективность использования амплитудных характеристик ветвления при фиксированных значениях угла наклона для предсказания результатов перестройки течения при вращательных колебаниях в случае низких частот.

4. Впервые обнаружено понижение «критического» значения амплитуды вращательных колебаний при отклонении параметра асимметрии от 1 в случае высоких частот.

5. Показано, что при сильном влиянии асимметрии на экстремальные интегральные характеристики течения, среднее за период значение этих величин меняется незначительно (не более 3%).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

1. Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Эффекты асимметричных колебаний в конвекции // Вычислительная механика сплошных сред. Пермь: ИМСС УрО РАН. №3,2012. С. 284-291.

2. Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Эффекты медленных вращательных колебаний полости, подогреваемой снизу // Естественные и технические науки. М.: Издательство «Спутник+». №1, 2012. С. 28-37.

3. Melentyev A.B., Tarunin E.L. Modulation of gravity in problem of free convection // Proceedings of XXXVIII International Summer School-Conference АРМ 2010. St. Petersburg, 2010. P. 453-456.

4. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Варианты асимметричного вращения // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы». Пермь, 2009. Вып. 41. С. 109-117.

5. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Резонанс при модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции при подогреве снизу // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы». Пермь, 2010. Вып. 42. С. 78-87.

6. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Асимметричные модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции в замкнутой области // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 1. С. 71-75.

7. Мелентьев А.Б. Эффекты асимметричных вращательных колебаний в задаче о тепловой конвекции в полости квадратного сечения с подогревом снизу // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 4. С. 41-48.

8. Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Асимметричная модуляция гравитации в задаче Рэлея // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2012. Вып. 1. С. 55-60.

9. Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Вращательные колебания в задаче о свободной конвекции с подогревом снизу // Эл. Журнал «Университетские исследования». URL: http://www.uresearch.psu.ru (дата обращения 05.06.2012).

10. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615830 «Линейная устойчивость». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Дата регистрации 07.09.10.

11. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2011613731 «Модель Лоренца». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Дата регистрации 13.05.11.

12. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615831 «Конвекция в квадрате». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Дата регистрации 07.09.10.

13. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2012612816 «Конвекция с наклоном полости». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Дата регистрации 21.03.12.

14. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010611554 «Исследование асимметричного вращения маятника». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин ЕЛ. Дата регистрации 25.02.10.

Подписано в печать 4.10.2012 г. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № 92 Отпечатано на ризографе ООО «Учебный Центр «Информатика» 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

Список терминов, условных обозначений и сокращений.

ВВЕДЕНИЕ.

1 Обзор литературы.

1.1 Асимметричные колебания в механике.

1.2 Гармонические модуляции в гидродинамике.

1.2.1 Модуляции температуры.

1.2.2 Модуляция гравитации.

1.2.3 Статическое изменение угла наклона в поле тяжести и постоянное вращение.

1.2.4 Вращательные колебания.

1.3 Асимметрия модуляций в гидродинамике.

1.4 Выводы.

2 Конвективные течения в горизонтальном слое жидкости со свободными границами с подогревом снизу при наличии модуляции гравитации.

2.1 Анализ используемой модуляции с помощью рядов Фурье.

2.2 Исследование надкритических режимов с помощью системы уравнений Лоренца.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Метод решения.

2.2.3 Результаты.

2.3 Исследование свободной конвекции в приближении Буссинеска

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Метод решения.

2.3.3 Результаты.

2.4 Выводы.

3 Надкритические режимы конвективных течений в замкнутой полости квадратного сечения при наличии модуляции гравитации.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Метод решения.

3.3 Результаты.

3.4 Выводы.

4 Конвективные течения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения при наличии вращательных колебаний.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Метод решения.

4.3 Результаты.

4.3.1 Стационарные значения угла наклона.

4.3.2 Вращательные колебания.

4.4 Выводы.

Актуальность темы. Известно, что асимметричность механических вибраций может быть вызвана различными способами и обладает полезными приложениями, связанными, в частности, с механическим перемещением [17]. Из этого обстоятельства вытекает вопрос о применении такого рода колебаний в задачах динамики жидких сред с целью выявления различных эффектов.

Исследование конвективных режимов в жидкостях и газах в системах с модуляцией параметра имеет много приложений на Земле и в космических условиях и проводилось во многих работах [8-123]. Внешние модуляции способны изменять устойчивость систем и порождать различные колебательные режимы системы в зависимости от параметров модуляций, таких, как частота, амплитуда, а также вид периодического закона модуляции. Однако в этих работах в большинстве своём используются гармонические симметричные законы модуляций синусоидальной или прямоугольной формы (формы «ступенек»).

Работа посвящена исследованию конвективных режимов при негармоническом, асимметричном законе модуляции, вызванном механическими колебаниями в типичных задачах тепловой конвекции. Проведено сравнение эффектов симметричной и асимметричной модуляции.

Целью работы является исследование эффектов асимметричной модуляции параметров в задачах о конвекции. Задачи:

1. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на режимы конвекции в слое жидкости со свободными границами при подогреве снизу (в задаче Рэлея);

2. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на надкритические режимы конвекции в полости квадратного сечения;

3. Исследование влияния асимметрии вращательных колебаний на конвективные режимы в полости квадратного сечения при подогреве снизу.

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из списка условных сокращений, введения, включающего общую характеристику работы, четырёх глав, заключения, списка литературы (163 наименования), состоящего из списка использованных источников и списка публикаций автора. Работа содержит 46 рисунков и 7 таблиц. Общий объем диссертации - 130 страниц.

В первой главе диссертации вначале (п. 1.1) проведён обзор работ, в которых исследуются эффекты асимметричных колебаний при наличии нелинейности в механике. В следующем параграфе (п. 1.2) проведён обзор работ по использованию модуляции в конвективных задачах: при модуляции температуры, при модуляции гравитации, при вращательных колебаниях. Затем (п. 1.3) рассмотрены работы по негармоническим модуляциям в конвективных задачах, и сделан вывод (п. 1.4) по проанализированной литературе.

Во второй главе рассмотрены режимы конвекции в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и подогревом снизу (задача Рэлея) при наличии синусоидальных и асимметричных модуляций гравитации. В первом параграфе (п. 2.1) рассмотрена возможность замены используемой асимметричной модуляции рядом Фурье. Во втором параграфе (п. 2.2) с помощью маломодовой модели конвекции Лоренца исследовалось влияние асимметричности модуляций на характеристики установившихся колебаний в надкритической области чисел Рэлея и в условиях невесомости. В третьем параграфе главы (п. 2.3) исследованы режимы конвекции с помощью полных уравнений конвекции в приближении Буссинеска. Проведено сравнение с результатами, полученными с помощью модели Лоренца.

В третьей главе диссертации исследованы надкритические режимы конвекции в замкнутой полости квадратного сечения при подогреве снизу при наличии гармонических и асимметричных модуляций конечной частоты. Показано влияние асимметричности на амплитуду установившихся колебаний. Проведено сравнение с задачей Рэлея из второй главы.

В четвёртой главе исследуется естественная конвекция при низкочастотных вращательных колебаниях относительно внутренней оси бесконечного горизонтального цилиндра квадратного сечения при подогреве снизу. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона, даёт информацию о конвективных режимах при наличии вращательных колебаний конечной частоты. Показано, что для высоких частот повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению критического значения амплитуды, соответствующему смене колебательного режима с переменой знака вращения жидкости на режим без смены знака вращения.

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы впервые:

1. Найдены формулы, описывающие эффекты увеличения экстремальных значений интегральных характеристик установившегося колебательного режима конвекции при повышении асимметричности модуляций гравитации в горизонтальном слое жидкости со свободными границами и в полости квадратного сечения при подогреве снизу. При этом показано, что среднее значение амплитуд интегральных характеристик за период установившихся колебаний изменяется незначительно;

2. Обнаружен эффект смещения максимума экстремальных значений интегральных характеристик установившегося режима колебаний из области резонансных частот (соответствующих «собственной» частоте системы) в сторону более низких частот при повышении асимметричности модуляции гравитации;

3. Найдено понижение порога устойчивости при асимметричности модуляции в задаче Рэлея;

4. ВЭ доказали, что для высоких частот повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению критического значения амплитуды, соответствующему смене колебательного режима с переменой знака вращения жидкости на режим без смены знака. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона, даёт информацию о конвективных режимах при наличии низкочастотных вращательных колебаний;

5. Разработаны программы, позволяющие исследовать различные варианты асимметричных модуляций в рассмотренных задачах.

Автором представляются к защите:

1. Результаты исследования режимов конвекции при подогреве снизу при наличии асимметричной модуляции гравитации, позволившие получить зависимости интегральных характеристик решения от параметров задачи;

2. Обнаруженные эффекты снижения порога устойчивости конвекции и эффекты повышения экстремальных значений интегральных характеристик колебательного конвективного режима при повышении асимметричности модуляции в задаче Рэлея;

3. Обнаруженные эффекты смещения максимума экстремальных значений интегральных характеристик течения при повышении асимметричности модуляции гравитации в сторону меньших значений частоты модуляции;

4. Обнаруженные эффекты понижения порога критического значения амплитуды вращательных колебаний для случая высоких частот при повышении асимметричности. Демонстрация применимости бифуркационной кривой конвективных режимов при наклоне полости квадратного сечения, для предсказания колебательных режимов конвекции при наличии вращательных колебаний низкой частоты.

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием с известными решениями в предельных случаях; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; использованием известных апробированных методов и алгоритмов расчёта.

Практическая значимость работы: полученные результаты расчётов, выявленные зависимости и составленные программы могут быть использованы для расчёта влияния на конвективные режимы асимметричности модуляций гравитации и вращательных колебаний при планировании соответствующих лабораторных экспериментов и производства в наземных условиях и в невесомости.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: Краевая дистанционная научно-практическая конференция молодых учёных и студентов «Молодёжная наука Прикамья», Пермь, 2009; International Summer School "Advanced Problems in Mechanics", Repino, 2010; Всероссийская конференция молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах», Пермь, 2010; Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», Новосибирск, 2010; Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», посвященная 50-летнему юбилею механико-математического факультета ПТУ, Пермь, 2010; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПТУ, 2011, 2012; научный семинар ИМСС УрО РАН, Пермь, 2012.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 13 работах [145-158]. Из них 2 статьи [157, 158] в центральных российских изданиях из перечня ВАК, 1 статья в сборнике трудов международной конференции

146], 5 статей в печатных периодических изданиях не входящих в перечень ВАК [145, 149, 152, 153, 156], 1 статья в электронном журнале [154] и 5 тезисов докладов на конференциях [147, 148, 150, 151, 155]. Личный вклад автора в работы [145-158] состоит в построении уравнений и разностных схем, в реализации методов исследования, в численных расчетах и обработке результатов вычислительных экспериментов. По материалам диссертации написаны и зарегистрированы программы, реализующие используемые модели [159162], а также программа, реализующая варианты асимметричного вращения элементов инерцоида [163].

Автор выражает благодарность В.Г. Козлову, Т.П. Любимовой, В.И. Полежаеву и С.А. Никитину за полезные дискуссии, [Д.В. Любимову, М.А. Марценюку, Г.Ф. Путину, Б.Л. Смородину, Н.И. Лобову, А.Н. Шарифулину и Д.А. Брацуну за полезные советы и замечания, С.В. Русакову и всей кафедре ПМиИ за поддержку, Б.И. Мызниковой за труд в прочтении работы и ценные замечания по работе и Е.Л. Тарунину за неоценимую поддержку и руководство при проведении исследований и подготовке диссертационной работы.

1 Обзор литературы

В данной главе вначале (п. 1.1) проведён обзор работ, в которых исследуются эффекты асимметричных колебаний при наличии нелинейности в механике. В следующем параграфе (п. 1.2) проведён обзор работ по использованию модуляции в конвективных задачах: при модуляции температуры, при модуляции гравитации, при вращательных колебаниях. Затем (п. 1.3) рассмотрены работы по негармоническим модуляциям в задачах гидродинамики, и сделан вывод (п. 1.4) по проанализированной литературе о недостаточном исследовании асимметричных колебаний.

4.4 Выводы

1. Показано, что зависимости характеристик ветвления при постоянных значениях угла наклона являются вспомогательными при определении эффектов модуляций при больших значениях периода > 0,5.

2. Введена величина и определено её критическое значение, позволяющее предсказать характер решения при модуляции.

3. Обнаружено, что при малых периодах вращательных колебаний (70 < 0,5) при отклонении параметра асимметрии от 1 наблюдается понижение критического значения амплитуды а() вращательных колебаний. При этом результаты при параметре асимметрии С, и обратном значении 1 / С, существенно отличаются.

4. Показано, что даже при значениях амплитуды колебаний больших критического а{] > а0 установившийся режим при малых значениях периода вращательных колебаний зависит от начальных условий, как в случае симметричных модуляций (<^ = 1), так и в случае асимметричных модуляций ф 1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые найдены аналитические зависимости интегральных характеристик надкритических режимов конвекции от трёх параметров задачи: параметра асимметрии, амплитуды и периода модуляции.

При этом обнаружено, что асимметрия модуляции ведёт к увеличению экстремальных значений характеристик интенсивности течения надкритического режима конвекции.

2. Обнаружено, что амплитудные кривые для значений параметра асимметрии С, и 1 ¡С, не совпадают. Это различие особенно проявляется на низких частотах.

3. Показана эффективность использования амплитудных характеристик ветвления при фиксированных значениях угла наклона для предсказания результатов перестройки течения при вращательных колебаниях в случае низких частот.

4. Впервые обнаружено понижение «критического» значения амплитуды вращательных колебаний при отклонении параметра асимметрии от 1 в случае высоких частот.

5. Показано, что при сильном влиянии асимметрии на интегральные характеристики течения, среднее за период значение этих величин меняется незначительно (не более 3%).

1. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Физматлит, 1964. 410 с.

2. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

3. Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л., Шапошников И.Г. К теории инерцоида// Ученые записки Перм. ун-та. Пермь, 1972. №257. С. 89-98.

4. Тарунин Е.Л. Снова об инерцоиде // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. Пермь: Перм. ун-т., 2008. №40. С. 179-192.

5. Тарунин Е.Л. Обзор особенностей асимметричных колебаний // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. Пермь: Перм. ун-т., 2005. №37. С. 169-187.

6. Жуковский Н.Е. Записка о плоском рассеве // Сб. соч. Н.Е. Жуковского. М.:Гостехиздат, 1949. Т.З. С. 515-522.

7. Толчин В. Н. Инерцоид (силы инерции как источник поступательного движения). Пермь: Перм. кн. изд-во, 1977. 99 с.

8. Benjamin Т. В., Ursell F. The Stability of the Plane Free Surface of a Liquid in Vertical Periodic Motion // Proc. R. Soc. Lond. A. London: The Royal Society, 1954. Vol. 225, № 1163. Pp. 505-515.

9. Donnely R. J., Reif F., Suhl FI. Enhancement of hydrodynamic stability by modulation // Phys. Rev. Lett. College Park: American Physical Society, 1962. Vol. 9, № 9. Pp. 363-365.

10. Donnelly R. J. Experiments on the Stability of Viscous Flow Between Rotating Cylinder. III. Enhancement of Stability by Modulation // Proc. R. Soc. Lond. A. London: The Royal Society, 1964. Vol. 281, № 1384. 130-139.

11. Meister В., Münzner W. Das Taylorsche Stabilitätsproblem mit Modulation // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). Basel, 1966, Vol. 17, № 4. Pp. 537-540.

12. Rosenblat S. Centrifugal instability of time-dependent flows. Part 1. Inviscid, periodic flows. // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1968. Vol. 33, part 2. Pp. 321-336.

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости // Прикладная математика и механика. М.: ИПМ АН СССР, 1963. Т.27. С. 779-783.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости теплового скин-слоя // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: СО АН СССР, 1965. №6. С. 55.

15. Venezian G. Effect of modulation on the onset of thermal convection // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1969. Vol. 35, part 2. Pp. 243-254.

16. Rosenblat S., Herbert D. M. Low-frequency modulation of thermal instability // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1970. Vol. 43, part 2. Pp. 385-398.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Юрков Ю.С. О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра // Прикладная математика и механика. М.: ИПМ АН СССР, 1970. Т.34. С. 470480.

18. Dowden J. The stability of a periodically heated layer of fluid // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1981. Vol. 110. Pp. 149-159.

19. Jhaverit B. S., Homsy G. M. The onset of convection in fluid layers heated rapidly in a time-dependent manner // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1982. Vol. 114. Pp. 251-260.

20. Yih C.-S., Li C.-H. Instability of unsteady flows or configurations. Part 2. Convective instability // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1972. Vol. 54. Pp. 143-152.

21. Ahlers G., Hohenberg P.C., Lucke M. Externally Modulated Rayleigh-Benard Convection: Experiment and Theory // Physical Review Letters. College Park: American Physical Society, 1984. Vol. 53, № 1. Pp. 48-51.

22. Ahlers G., Hohenberg P.C., Lücke M. Thermal convection under external modulation of the driving force. I. The Lorenz Model // Physical Review A. College Park: American Physical Society, 1985. Vol. 32, № 6. Pp. 34933518.

23. Ahlers G., Hohenberg P.C., Lücke M. Thermal convection under external modulation of the driving force. II. Experiments // Physical Review A. College Park: American Physical Society, 1985. Vol. 32, № 6. Pp. 3519-3534.

24. Niemela J.J., Donnelly R.J. Instability of a Thermal Stokes Layer // Phys. Rev. Lett. College Park: American Physical Society, 1986. Vol. 57. Pp. 583-586.

25. Or A. C., Kelly R. E. Time-modulated convection with zero mean temperature gradient // Physical Review E. College Park: American Physical Society, 1999. Vol. 60, № 2. Pp. 1741-1747.

26. Or A.C. Onset condition of modulated Rayleigh-Benard convection at low frequency // Physical Review E. College Park: American Physical Society, 2001. Vol. 64. Iss. 5. P. 050201(R).

27. Rogers J.L., Pesch W., Brausch O., Schatz M.F. Complex-ordered patterns in shaken convection // Physical Review E. College Park: American Physical Society, 2005. Vol. 71. Iss. 6. P. 066214.

28. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей при колебаниях температуры на внешних границах. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1971. №1. С. 144-150.

29. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 1. Theory // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1968. Vol. 33. Pp. 445-455.

30. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 2. An experimental test of the theory // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1968, Vol. 33. Pp. 457-463.

31. Rosenblat S., Tanaka G. A. Modulation of Thermal Convection Instability // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 1971. №14. Pp. 1319-1323.

32. Homsy G. M. Global stability of time-dependent flows: impulsively heated or cooled fluid layers // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1973. Vol. 60. Pp. 129-139.

33. Homsy G. M. Global stability of time-dependent flows. Part 2. Modulated fluid layers // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1974. Vol. 62, part 2. Pp. 387-403.

34. Roppo M. N., Davis S. H., Rosenblat S. itenard convection with time-periodic heating // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 1984. Vol.27. Pp. 796-804.

35. Swift J.B., Hohenberg P.C. Modulated convection at high frequencies and large modulation amplitudes // Physical Review A. College Park: American Physical Society, 1987. Vol. 36, № 10. Pp. 4870-4875.

36. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

37. Hohenberg P.C., Swift J.B. Hexagons and rolls in periodically modulated Rayleigh-Benard convection // Physical Review A. College Park: American Physical Society, 1987. Vol. 35, № 9. Pp. 3855-3873.

38. Bhadauria B.S., Bhatia P.K. Time-periodic Heating of Rayleigh-Benard Convection // Physica Scripta. Bristol: IOP Publishing, 2002. Vol. 66. Iss. 1. Pp. 59-65.

39. Freund G., Pesch W., Zimmermann W. Rayleigh-Benard convection in the presence of spatial temperature modulations // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. Vol. 673. Pp. 318-348.

40. Malashetty M.S., Basavaraja D. Rayleigh-Benard convection subject to time dependent wall temperature/gravity in a fluid-saturated anisotropic porous medium // Heat and Mass Transfer. Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. Vol. 38. Pp. 551-563.

41. Aniss S., Belhaq M., Souhar M., Velarde M.G. Asymptotic Study of Rayleigh-Benard Convection under Time Periodic Heating in Hele-Shaw Cell // Physica Scripta. Bristol: IOP Publishing, 2005. Vol. 71, №4. P. 395.

42. Singh J., Bajaj R. Temperature modulation in ferrofluid convection // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2009. Vol. 21. Iss. 6. P. 064105.

43. Smorodin B. L., Liicke M. Convection in binary fluid mixtures with modulated heating // Phys. Rev. E. College Park: American Physical Society, 2009. Vol.79. Iss. 2. P. 026315.

44. Smorodin B. L., Liicke M. Binary-fluid-mixture convection with low-frequency modulated heating // Phys. Rev. E. College Park: American Physical Society, 2010. Vol. 82. Iss. 1. P. 016310.

45. Зеньковская C.M., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М: ИПМ АН СССР, 1966. №5. С. 51-55.

46. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М: ИПМ АН СССР, 1970. №2. С. 196-201.

47. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Свободная тепловая конвекция в вибрационном поле в условии невесомости // Доклады Академии наук СССР. М.: Наука, 1979. Т. 249. С. 580.

48. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Вибрационная тепловая конвекция в условии невесомости // Гидродинамика и процессы переноса в условии невесомости. Свердловск: УрО АН СССР, 1983. С. 86.

49. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. Влияние высокочастотной вибрации на установление конвекции // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1986. №. 5. С. 51.

50. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной конвекции // Доклады Академии наук СССР. М.: Наука, 1985. Т. 281. С. 815.

51. Иванова А.А., Козлов В.Г. Экспериментальное исследование вертикальных вибраций на конвекцию в горизонтальном цилиндрическом слое // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1985. № 6. С. 18.

52. Wadih M., Roux В. Natural convection in a long vertical cylinder under gravity modulation // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. Vol. 193. Pp. 391-415.

53. Feonychev A.I., Ermakov S.V. Parametric resonance in nonisothermal fluid subjected to harmonical mass force // Advances in Space Research. San Francisco: Elsevier, 1991. Vol. ll,Iss. 7. Pp. 177-180.

54. Farooq A., Homsy G. M. Streaming flows due to g-jitter-induced natural convection // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. Vol. 271. Pp. 351-378.

55. Farooq A., Homsy G. M. Linear and nonlinear dynamics of a differentially heated slot under gravity modulation // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1996. Vol. 313. Pp. 1-38.

56. Chematinski V.I., Gershuni G.Z., Monti R., Savino R. Transient effects of g-pulses in a fluid cell heated from below.// Microgravity Quarterly. Michigan: Pergamon, 1995. Vol.5, № 3. P.152-161.

57. Чернатынский В.И., Чернатынский A.B. Конечномерная модель нестационарной конвекции в квадратной полости. Тезисы докладов 11-й (2-й международной) зимней школе по механике сплошных сред. Пермь, 1997.

58. Monti R., Savino R., Alterio G. Modelling and simulation of g-jitter effects on fluid science experimentation. Impact on the utilization of the ISS // Acta Astronáutica. San Francisco: Elsevier, 1997. Vol. 40, Iss. 2-8. Pp. 369-381.

59. Monti R., Savino R., Lappa M. On the convective disturbances induced by g-jitter on the space station // Acta Astronáutica. San Francisco: Elsevier, 2001. Vol. 48, Iss. 5-12. Pp. 603-615.

60. Hirata К., Sasaki Т., Tanigawa H. Vibrational effects on convection in a square cavity at zero gravity // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. Vol. 445. Pp. 327-344.

61. Ruiz X., Ermakov M. G-pulses and semiconductor segregation in |ig Bridgman growth // J. Crystal Growth. San Francisco: Elsevier, 2005. Vol. 275, Iss. 1-2. Pp. e21-e27.

62. Ruiz X. Single g-pulses and segregation in virtual |ag Bridgman growth environments. A complementary two-dimensional approach // Microgravity science and technology. Dordrecht: Springer Netherlands, 2006. Vol. 18, №№ 3-4. Pp. 51-56.

63. Sharifulin A.N. Bifurcations of Free Thermal Vibrational Convection in Cylindrical Fluid Layer in Micro-Gravity: Numerical and Analytical Research. URL: http://arxiv.org/pdf/0712.3281 (дата обращения 05.06.2012).

64. Полежаев В.И., Верезуб Н.А. и др. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука. 1991. 240 с.

65. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С. Влияние шума на возникновение конвекции в модулированном поле тяжести // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2010. №6. С. 30-37.

66. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal Vibrational Convection. N.Y.: Wiley, 1998.358 р.

67. Gresho P.M., Sani R.L. The effects of gravity modulation on the stability of a heated fluid layer // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1970. Vol. 40, part 4. Pp. 783-806.

68. Бурдэ Г.И. О конечно-амплитудной конвекции, возникающей в модулированном поле тяжести // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1972. №6. С. 124-134.

69. Маркман Г.С., Юдович В.И. Численное исследование возникновения конвекции в слое жидкости под действием периодических по времени внешних сил // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1972. №3. С. 81-86.

70. Clever R., Schubert G., Busse F.I-I. Three-dimensional oscillatory convection in a gravitationally modulated fluid layer // Phys. Fluids A. New York: American Institute of Physics, 1993. Vol. 5. P. 2430.

71. Гершуни Г.З., Келлер И.О., Смородин Б.Jl. О вибрационно-конвективной неустойчивости в невесомости: конечные частоты // Доклады Академии наук СССР. М.: Наука, 1996. Т. 348, №2. С. 194-196.

72. Закс М.А., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. М.: ИПМ АН СССР, 1983. №3. С. 312-314.

73. Boulal Т., Aniss S., Belhaq М., Rand R. Effect of quasiperiodic gravitational modulation on the stability of a heated fluid layer // Physical Review E. College Park: American Physical Society, 2007. Vol. 76. Iss. 5. P. 056320.

74. Boulal Т., Aniss S., Belhaq M., Azouani A. Effect of quasi-periodic gravitational modulation on the convective instability in Hele-Shaw cell // International Journal of Non-Linear Mechanics. San Francisco: Elsevier, 2008. Vol. 4. Iss. 3. Pp. 852-857.

75. Зеньковская C.M. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1968. № 1.С. 55-58.

76. Иванова А.А., Козлов В.Г. Экспериментальное исследование неустойчивости конвективных пограничных слоев в вибрационном поле // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 1998. № 3. С. 32-40.

77. Зюзгин А.В. Управление тепловой конвекцией с помощью переменных силовых полей. Дисс. к. ф.-м. н., Пермь, 1998. 134 с.

78. Chen W.-Y., Chen C.F. Effect of gravity modulation on the stability of convection in a vertical slot // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. Vol. 395. Pp. 327-344.

79. Davis S.I-I. The stability of time-periodic flows // Annu. Rev. Fluid. Mech. Palo Alto: Annual Reviews, 1976. Vol. 8. Pp. 57-74.

80. Christov C. I., Homsy G. M. Nonlinear dynamics of two-dimensional convection in a vertically stratified slot with and without gravity modulation // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. Vol. 430. Pp. 335360.

81. Davis S.H. Finite amplitude instability of time-dependent flows // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1971. Vol. 45, part 1. Pp. 3348.

82. Biringen S., Peltier L. J. Numerical simulation of 3-D Benard convection with gravitational modulation // Phys. Fluids A. New York: American Institute of Physics, 1990. Vol. 2. P. 754.

83. Volmar U. E., Muller H. W. Quasiperiodic patterns in Rayleigh-Benard convection under gravity modulation // Physical Review E. College Park: American Physical Society, 1997. Vol. 56, № 5. Pp. 5423-5430.

84. Grassia P., Homsy G.M. Thermocapillary and buoyant flows with low frequency jitter. I. Jitter confined to the plane // Phys. Fluids. College Park: American Physical Society, 1998. Vol. 10. P. 1273.

85. Grassia P., Homsy G.M. Thermocapillary and buoyant flows with low frequency jitter. II. Spanwise jitter // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 1998. Vol. 10. Pp. 1291-1315.

86. Suresh V.A., Christov C.I., Homsy G.M. Resonant thermocapillary and buoyant flows with finite frequency gravity modulation // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 1999. Vol. 11. P. 2565.

87. Rogers J.L., Schatz M.F., Bougie J.L., Swift J.B. Rayleigh-Benard Convection in a Vertically Oscillated Fluid Layer // Physical Review Letters. College Park: American Physical Society, 2000. Vol. 84, № 1. Pp. 87-90.

88. Suresh V., Homsy G.M. Stability of return thermocapillary flows under gravity modulation // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2001. Vol. 13. P. 3155.

89. Skarda J.R.L. Instability of a gravity-modulated fluid layer with surface tension variation // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. Vol. 434. Pp. 243-271.

90. Зеньковская C.M., Новосядлый В.А., Шлейкель A.JI. Влияние вертикальных колебаний на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная математика и механика. М.: ИПМ РАН, 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 277-288.

91. Aniss S., Souhar М., Belhaq М. Asymptotic study of the convective parametric instability in Hele-Shaw cell // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2000. Vol. 12. P. 262.

92. Bardan G., Mojtabi A. On the Horton-Rogers-Lapwood convective instability with vertical vibration: Onset of convection // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2000. Vol. 12. P. 2723.

93. Голдобин Д.С. Параметрическое возбуждение, локализация и синхронизация в распределённых нелинейных системах гидродинамического типа. Дисс. к. ф.-м. н., Пермь, 2007. 150 с.

94. Марышев Б.С. Нестационарные режимы тепломассообмена в пористой среде. Дисс. к. ф.-м. н., Пермь, 2010. 216 с.

95. Malashetty M.S., Swamy M.S. Effect of gravity modulation on the onset of thermal convection in rotating fluid and porous layer // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2011. Vol. 23. Iss. 6. P. 064108.

96. Jacqmin D., Duval W. M. B. Instabilities caused by oscillating accelerations normal to a viscous fluid-fluid interface // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. Vol. 196. Pp. 495-511.

97. Riecke H., Crawford J.D., Knobloch E. Time-Modulated Oscillatory Convection // Phys. Rev. Lett. College Park: American Physical Society, 1988. Vol. 61. Iss. 17. Pp. 1942-1945.

98. Паршакова Я.Н. Конвекция в системах с деформируемыми поверхностями раздела сред. Дисс. к. ф.-м. н., Пермь, 2008. 170 с.

99. Jacqmin D. Stability of an oscillated fluid with a uniform density gradient // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. Vol. 219. Pp. 449-468.

100. Saunders В. V., Murray В. T., McFadden G. B., Coriell S. R., Wheeler A. A. The effect of gravity modulation on thermosolutal convection in an infinite layer of fluid // Phys. Fluids A. New York: American Institute of Physics, 1992. Vol. 4. P. 1176.

101. Terrones G., Chen C. F. Convective stability of gravity-modulated doubly cross-diffusive fluid layers // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. Vol. 255. Pp. 301-321.

102. Jounet A., Bardan G. Onset of thermohaline convection in a rectangular porous cavity in the presence of vertical vibration // Phys. Fluids. New York: American Institute ofPhysics, 2001. Vol. 13. P. 3234.

103. Мьізникова Б.И., Смородин Б.Л. О конвективной устойчивости горизонтального слоя двухкомпонентной смеси в модулированном поле внешних сил // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2001. №1. С. 3-13.

104. Siddavaram V. К., Homsy G. М. The effects of gravity modulation on fluid mixing. Part 1. Harmonic modulation // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2006. Vol. 562. Pp. 445^75.

105. Siddavaram V. K., Homsy G. M. The effects of gravity modulation on fluid mixing. Part 2. Stochastic modulation // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. Vol. 579. Pp. 445-466.

106. Yu Y., Chan C.L., Chen C.F. Effect of gravity modulation on the stability of a horizontal double-diffusive layer // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. Vol. 589. Pp. 183-213.

107. Smorodin B. L., Myznikova В. I., Legros J. C. Evolution of convective patterns in a binary-mixture layer subjected to a periodical change of the gravity field // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2008. Vol. 20. Iss. 9. P. 094102.

108. Демин В.А. Влияние переменных силовых полей на нелинейные конвективные режимы. Дисс. д. ф.-м. н., Пермь, 2009. 291 с.

109. Bratsun D.A., Teplov V.S. On the stability of the pulsed convective flow with small heavy particles // Eur. Phys. J. A. P. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. Vol. 10. Pp. 219-230.

110. Смородин Б.JI. Тепловая конвекция несжимаемой жидкости в переменных и неоднородных полях. Дисс. д. ф.-м. н., Пермь, 2002. 318 с.

111. Крапивина Е.Н. Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях. Дисс. к. ф.-м. н. Пермь, ИМСС УрО РАИ, 2005. 165 с.

112. Ковалевская К.В. Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести. Дисс. к. ф.-м. н. Пермь, ИМСС УрО РАН, 2011. 124 с.

113. Повицкий А.С., Лгабин Л.Я. Основы динамики и тепломассообмена жидкостей и газов в условиях невесомости. Машиностроение, Москва, 1972. 251 с.

114. Ивашкин С.В., Козлов В.Г. Экспериментальное исследование конвективной устойчивости плоского слоя жидкости под действием качающих колебаний // Сбор. Науч. Труд. Перм. Пед. Ун-та «Конвективные течения». Пермь, 1987.

115. Chiffaudel A., Fauve S. Strong resonance in forced oscillatory convection // Physical Review A. College Park: American Physical Society, 1987. Vol. 35. Iss. 9. Pp. 4004-4007.

116. Богатырев Г.П., Ермаков M.K., Иванов А.И. и др. Экспериментальное и теоретическое исследование тепловой конвекции и наземной моделидатчика конвекции // Известия РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 1994. №5. С. 67-75.

117. Иванова А. А., Козлов В. Г. Вибрационная тепловая конвекция при непоступательных колебаниях полости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2003. № 3. С. 26-43.

118. Иванова А. А., Козлов В. Г. Вибрационная конвекция при непоступательных колебаниях полости (изотермический случай). // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2003. № 2. С. 25-32.

119. Ильин В.А., Смородин Б.Л. Нелинейные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости // Письма в ЖТФ. СПб: Наука, 2007. Том 33, вып. 8. С. 81-87.

120. Ильин В.А. Маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика // Журнал технической физики. СПб: Наука, 2010. том 80, вып. 8. С. 38-48.

121. Мордвинов А.Н. Электроконвекция в нематических жидких кристаллах и слабопроводящих жидкостях. Дисс. к. ф.-м. н., Пермь, 2011. 146 с.

122. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при вибрации его подвеса//ЖЭТФ. М.: Наука, 1951. Т.21, №5. С. 588-594.

123. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ АН СССР, 1973. №1. С. 64-70.

124. Сагитов Р. В., Шарифулин А.Н. Устойчивость стационарной тепловой конвекции в наклоняемой прямоугольной полости в маломодовом приближении. // Теплофизика и аэромеханика. Новосибирск: СО РАН, 2008. Т. 15, №2. С. 247-256.

125. Ladeindet F., Torrance К. E. Convection in a rotating, horizontal cylinder with radial and normal gravity forces // J. Fluid Mech. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. Vol. 228. Pp. 361-385.

126. Yuferev V.S., Polovko Yu.A., Sazonov V.V. Three-dimensional thermal convection caused by spacecraft rotation in a rectangular enclosure with rigid walls // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 1998. Vol. 10. P. 2517.

127. Zhang K., Liao X., Zhan X., Zhu R. Convective instabilities in a rotating vertical Hele-Shaw cell // Phys. Fluids. New York: American Institute of Physics, 2006. Vol. 18. Iss. 12. P. 124102.

128. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. Сб. переводных статей. Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1981. №22. С. 88-116.

129. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.

130. Тарунин Е.Л. Эффекты асимметричных колебаний // Сб. трудов Перм. пед. ун-та «Гидродинамика». Пермь, 2007. С. 236-249.

131. Любимов Д.В., ПерминовА.В. Воздействие несимметричных вибраций на движение тонкого слоя вязкопластичной жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2011. № 1. С. 30-41.

132. Mason W. P. (Ed.) Physical Acoustics. New York: Academic Press, 1966. Vol. 2, partB.

133. Schlichting H. Boundary-layer Theory. NY: McGraw-Hill, 1979. 817 p.

134. Иванова А.А., Козлов В.Г., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Мерад-жи С., Ру. Б. Структура осредненного течения, возбуждаемого вибрирующим телом с кромкой большой кривизны // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 1998. № 5. С. 30-38.

135. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990, 128 с.

136. Тарунин Е.Л. Ветвление решений уравнений конвекции в замкнутой полости с подвижной границей при подогреве снизу // Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции. Минск, 1974. С.51-58.

137. Gibbs J.W. Fourier Series. Nature. London: NPG, 1898. Vol. 59. P. 200.

138. Gibbs J.W. Fourier Series. Nature. London: NPG, 1899. Vol. 59. P. 606.

139. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задаче свободной конвекции. Учебное пособие. Иркутск: Иркутский ун-т, 1990. 228 с.

140. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

141. Вайнберг A.A., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

142. Келлер И.О., Тарунин E.JT. Управление устойчивостью конвективного равновесия жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 1990. №4. С.6-11.1. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

143. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Варианты асимметричного вращения // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы». Пермь, 2009. Вып. 41. С. 109-117.

144. Melentyev А.В., Tarunin E.L. Modulation of gravity in problem of free convection // Proceedings of XXXVIII International Summer School-Conference АРМ 2010. St. Petersburg, 2010. P. 453-456.

145. Melentyev A.B., Tarunin E.L. Modulation of gravity in problem of free convection // Book of Abstracts of XXXVIII International Summer School-Conference АРМ 2010. St. Petersburg, 2010. P. 68.

146. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Эффекты асимметричной модуляции ускорения свободного падения в модели Лоренца // Тезисы докладов. Международная конф. Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Новосибирск, 2010. С. 135-136.

147. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Резонансные эффекты свободной конвекции при модуляции ускорения свободного падения // Сб. тез. науч.-прак. конф. «Актуальные проблемы механики, математики, информатики». Пермь, 2010. С. 139.

148. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Асимметричные модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции в замкнутой области // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 1.С. 71-75.

149. Мелентьев А.Б. Эффекты асимметричных вращательных колебаний в задаче о тепловой конвекции в полости квадратного сечения с подогревом снизу // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 4. С. 41-48.

150. Мелентьев А.Б., Тарунин E.J1. Вращательные колебания в задаче о свободной конвекции с подогревом снизу // Эл. Журнал «Университетские исследования». URL: http://www.uresearch.psu.ru/main (дата обращения 05.06.2012).

151. Мелентьев А.Б., Тарунин E.JI. Асимметричная модуляция гравитации в задаче Рэлея // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2012. Вып. 1. С. 55-60.

152. Мелентьев А.Б., Тарунин E.JI. Эффекты медленных вращательных колебаний полости, подогреваемой снизу // Естественные и технические науки. М.: Издательство «Спутник+». №1, 2012. С. 28-37.

153. Мелентьев А.Б., Тарунин E.JI. Эффекты асимметричных колебаний в конвекции // Вычислительная механика сплошных сред. Пермь: ИМСС УрО РАН. №3,2012. С. 284-291.

154. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615830 «Линейная устойчивость». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 07.09.10.

155. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2011613731 «Модель Лоренца». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 13.05.11.

156. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615831 «Конвекция в квадрате». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 07.09.10.

157. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2012612816 «Конвекция с наклоном полости». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 21.03.12.

158. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010611554 «Исследование асимметричного вращения маятника». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 25.02.10.