Тепловая конвекция в коллоидной суспензии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Черепанов Иван Николаевич

ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В КОЛЛОИДНОЙ СУСПЕНЗИИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЗО МАІЇ.Ш

Пермь-2013

005060360

005060360

Работа выполнена на кафедре физики фазовых переходов ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Смородин Борис Леонидович

Официальные оппоненты: Саранин Владимир Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педагогический институт имени В. Г. Короленко», кафедра физики, профессор

Демин Виталий Анатольевич, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», кафедра теоретической физики, профессор

Ведущая организация: ФГБУН «Институт механики сплошных сред

УрО РАН»

Защита состоится 25 июня 2013 г. в 15 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном национальном исследовательском университете (г. Пермь, ГСП, 614990, ул. Букирева, 15), зал заседаний Ученого совета ПГНИУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан «7-3 » « «-¿^ _» 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

канд. физ.-мат. наук, доцент —' В.Г. Гилев

Актуальность проблемы. Объектами исследования являются процессы переноса коллоидных частиц (термодиффузия, гравитационное оседание, конвективное перемешивание), связанные с ними механизмы неустойчивости, а также эволюция конвективных течений коллоидных суспензий. В отличие от истинных растворов, в которых примесь диспергирована на молекулярном уровне, коллоидные суспензии (растворы) содержат наночастицы размером 10-100 нм, что приводит к их гравитационному расслоению. Частицы коллоидной суспензии участвуют в тепловом движении, которое препятствует выпадению их в осадок, что отличает коллоидные суспензии от грубо-дисперсных смесей, таких как взвеси. Другое важное отличие молекулярных и коллоидных растворов, также связанное с различием в размерах примесей, состоит в различии коэффициентов диффузии: для наночастиц они на два порядка ниже. Данные отличия приводят как к качественным, так и к количественным изменениям процессов тепло- и массопереноса, а также требуют особых методов теоретического анализа. Транспорт коллоидных частиц оказывает ключевое влияние на структуру конвективных течений в данных системах. Перенос наночастиц под действием гравитационного и теплового полей меняет силу плавучести, действующую на элемент коллоидной жидкости и, следовательно, интенсивность конвективного перемешивания, стремящегося гомогенизировать смесь. Явления массо- и теплопереноса в коллоидных суспензиях не только входят в широкий спектр задач фундаментальной гидродинамики, но и часто проявляются в технических приложениях, в том числе в системах охлаждения, датчиках и немеханических переключателях. Под влиянием различных транспортных, механизмов в коллоидных суспензиях могут формироваться протяженные и локализованные в пространстве конвективные течения, которые интенсивно изучаются в настоящее время.

Исследования, результаты которых вошли в диссертацию, проводились при поддержке РФФИ (грант 10-01-96037), гранта «Нелинейная динамика гетерогенных сред. Процессы структурообразования. Управление свойствами функциональных материалов» Федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы».

Цель работы: анализ влияния конвективных, гравитационных, термодиффузионных механизмов переноса тяжелой примеси в коллоидных суспензиях на возникновение и свойства течений, характеристик стационарных и волновых режимов конвекции, объяснение процессов эволюции бегущих волн.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

- подробно исследовано влияние гравитационного и термодиффузионного механизмов разделения на поведение малых возмущений в горизонтальном слое коллоидной суспензии; характеристики конвективной неустойчивости найдены в широком диапазоне изменения параметров внешнего воздействия и свойств коллоидной суспензии;

- доказана определяющая роль геометрического параметра седимента-

ции на характер эволюции конечно-амплитудных волновых режимов конвекции коллоидной суспензии и нарушении зеркально-сдвиговой симметрии бегущей волны, характерной для молекулярных растворов;

- в результате численного моделирования получены бифуркационные диаграммы конвективных режимов коллоидной суспензии, характеризующие ее поведение в горизонтальном слое;

- в случае конкуренции гравитационной и термодиффузионной стратификации выяснены механизмы формирования стационарной конвекции и волновых структур в коллоидной суспензии;

- при сильной отрицательной термодиффузии в замкнутых горизонтальных ячейках обнаружены режимы модулированных бегущих волн; проанализированы их пространственная структура и временное поведение.

Автор защищает:

- результаты линейного анализа конвективной неустойчивости коллоидной суспензии, стратифицированной в поле тяжести и под действием эффекта термодиффузии;

- результаты моделирования процессов переноса примеси в коллоидном растворе, стратифицированном в поле тяжести;

- результаты анализа нелинейных конвективных течений, бифуркационные диаграммы и характеристики представленных на них режимов: стационарной конвекции, бегущих и модулированных бегущих волн;

- вывод о том, что в случае большого отрицательного коэффициента термодиффузии при меньшей степени нагрева реализуется более сложный режим модулированных бегущих волн.

Научное и практическое значение работы.

- Усовершенствована математическая модель конвекции коллоидной суспензии, позволившая корректно рассчитывать границы перехода между различными режимами течения и распределение примеси тяжелых частиц;

- показано, что в коллоидных суспензиях существование устойчивых режимов бегущих волн может быть связано не только с гравитационной стратификацией, но и термодиффузионным разделением; объяснены механизмы формирования подобных течений и эволюция поля концентрации на-ночастиц;

- проведенный нелинейный анализ конвективных режимов и переходных состояний дополняют теорию конвекции бинарных растворов, позволяет более глубоко понять причины возникновения конвективных колебаний коллоидной смеси в замкнутых ячейках;

- результаты работы могут быть полезны как для решения практических задач об эффективном управлении конвекцией в коллоидных суспензиях, так и при планировании новых экспериментов.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается применением апробированных подходов, хорошим согласием данных, полученных различными численными методами, согласием результатов с ранее известными теоретическими и экспериментальными данными, иллюстрируется подробным графическим материалом; границы устойчивости, полученные в рамках линейной теории, согласуются с данными расчетов с использованием методов конечных разностей и конечных объемов.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ [1-10]. Из них [3,6,7,10] - статьи, включая одну [3] из списка ВАК и Web of Science, остальные тезисы.

Личный вклад автора. Автор самостоятельно проводил аналитические вычисления и численное моделирование, принимал активное участие в постановке задач: обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами. Основные положения, выносимые на защиту и представленные в диссертации, получены автором лично.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края» (Пермь, 2010, 2012); конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2010, 2012); 10-th International Meeting on Thermodiffusion (2012, Brussels, Belgium), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2011; 2013); Пермском гидродинамическом семинаре (Пермь, 2012, 2013), на семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (2013).

Структура объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, трех глав с результатами исследований автора, заключения и списка литературы (117 наименований). Общий объём диссертации 135 страниц, включая 62 рисунка и 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе обоснована актуальность работы, дан обзор литературы, относящейся к теоретическому и экспериментальному исследованию конвекции в молекулярных и коллоидных растворах, приведена общая характеристика работы, обсуждаются новизна результатов, выносимых автором на защиту, и их достоверность.

Во второй главе проанализировано влияние гравитационной седиментации и эффекта термодиффузии на распределение концентрации наночастиц в состоянии механического равновесия в горизонтальном слое коллоидной суспензии, найдены границы и характеристики конвективной неустойчивости этого состояния.

В первом параграфе обсуждается постановка задачи о тепловой конвекции коллоидного раствора в горизонтальном слое толщиной h, к границам

которого приложена разность температур 0 . Приводится система уравнений свободной конвекции коллоидной смеси в приближении Буссинеска, предполагающего линейную зависимость плотности от температуры и концентрации:

где ро- средняя плотность смеси, Т, 8С=С~С - отклонение температуры и

концентрации тяжелой компоненты от средних значений Т , С ; а, ß- коэффициенты теплового и концентрационного расширения, соответственно. Эволюция поля концентрации примеси и характер конвекции зависят не только от диффузионного и термодиффузионного потоков, но и от гравитационной седиментации частиц (Путин Г.Ф. Материалы 11-го Рижского совещания по магнитной гидродинамике. Рига. 1984. Т. 3. С. 15-18; Глухов А.Ф., Путин Г.Ф., Изв. РАН, МЖГ, 2010, №5, С. 41-48).

Во втором параграфе анализируются особенности распределения концентрации наночастиц в состоянии механического равновесия, когда отсутствует макроскопическое движение жидкости, и установился линейный профиль температуры. Получено стационарное распределение концентрации С„ (г), которое в размерном виде выглядит следующим образом:

где I л = кьт I- седиментационная длина, -разность плотности твердой примеси и жидкости-носителя, К-объем примесных частиц, кь- постоянная Больцмана, S - коэффициент термодиффузии Соре. Показано, что в предельных случаях отсутствия термодиффузии (5-^0) или отсутствия седиментации (г л -> ж ) выражение (2) совпадает с известными результатами.

Из (2) следует, что, несмотря на различную природу механизмов разделения смеси, гравитационная стратификация коллоида может быть полностью скомпенсирована термодиффузионным дрейфом частиц, если разность температур на границах слоя удовлетворяет условию:

т.е с помощью подходящего выбора разности температур на границах слоя можно добиться однородной концентрации смеси.

Система уравнений конвекции коллоидного раствора (Shliomis M.I., Smorodin B.L. Phys. Rev. E, 2005, V. 71,036312) после введения следующих масштабов: расстояния - h, времени - h2/%, скорости - температуры - 0 , концентрации - Сй / l,ed , давления - p^/h2 ( v и х~ соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности), примет вид:

p=p„(\-aT + ßbC)

(1)

(2)

(3)

Зг> . . ( дТ дС)

— + (®У)г> = -Чр + Р/-ДС - Рг\ Д--В- ,

^ Л дх дх )

дг

— + (»У)Г = ДЗ\ <Иу» = 0, (4)

3*

££ д(

( 1 ас я ^

(г>У)С = ¿6 ДС +--+ «—ДТ ,

^ I дг В )

с граничными условиями, соответствующими твердым идеально теплопроводным непроницаемым плоскостям:

дС 1 дТ

г = 0 : г> = 0, Г = 1/2, -+ -С +--= 0;

дг I В дг

ас 1 ЭГ

г = 1: г> = 0, Г = -1/2, -+ -С +--= 0.

Зг / Я Зг

Задача (4), (5) содержит следующие безразмерные параметры:

Я =ga 0Н.3/\>х - число Рэлея, В=д0 С - число Больцмана, Рг—у/х - число

Прандтля, Ье= Б/х — число Льюиса, [с__=5///а - параметр термодиффузии Соре, /=4„//1 — безразмерную длину седиментации. Отметим, что для коллоидных растворов число Льюиса мало ( Ье ~ 10"4 ).

В изначально стратифицированной в поле тяжести, покоящейся (и = 0 ) коллоидной суспензии решение уравнений (4), (5) получены с помощью метода конечных разностей. Приложенная к границам слоя разность

Рис. 1. Эволюция профиля отклонения Рис. 2. Зависимости критического числа Рэлея концентрации коллоидных частиц от Кс от параметра Больцмана В при £ > 0 . среднего значения в случае начальной Сплошная линия - граница монотонной негравитационной стратификации коллои- устойчияости$ „уиктирися - колебательной, да и разности температур на границах Тонкими сплошными линиями обозначены зави-0, (3). 1е=Ю\ 1=30. симости (6)

температур Ой (3), вызывает термодиффузионный поток частиц, который конкурирует с гравитационным оседанием и приводит к однородному распределению наночастиц. Результат эволюции вертикального профиля концентрации частиц в этом случае представлен на рис. 1.

Третий параграф посвящен линейному анализу устойчивости механического равновесия коллоидной суспензии, проведенному с помощью метода стрельбы с ортогонализацией и метода Галеркина с разложением по большому числу базисных функций. Предложены базисные функции для концентрации, удовлетворяющие граничным условиям (5). На основе анализа спектра декрементов определены характеристики конвективной неустойчивости в широком интервале изменения чисел Больцмана для различных значений параметров задачи.

Для случая нормальной термодиффузии (Ё_>0) при нагреве снизу, когда гравитационный и термодиффузионный механизмы стратификации конкурируют, неустойчивость может быть связана как с монотонными, так и с колебательными возмущениями (рис. 2). Если преобладает термодиффузия (В < дс°£ , =1708 - порог возникновения конвекции для однородной жидкости) критическое число Рэлея подчиняется закону:

= (6) причем, при малых числах Больцмана (В<В.(Ц)) неустойчивость связана с монотонными возмущениями, а при В>В*(\^) с колебательными. В случае преобладания гравитационной седиментации (В > ) зависимость йс от В остается линейной, но лежит ниже той, что предсказывается соотношением (6). Наиболее опасны колебательные возмущения.

В отсутствии термодиффузии (¡1=0) гравитационная стратификация приводит к колебательной неустойчивости: критическое число Рэлея (рис. 3), критическое волновое число кс и частота колебаний слабо зависят от числа Прандтля. При отрицательной термодиффузии (£_=-0.8) порог устойчивости и частота нейтральных колебаний резко возрастают. Критическое волновое число, соответствующее ячеистым возмущениям, слабо меняется при изменении числа Больцмана. Кроме того, изменение безразмерной длины седиментации I в широком интервале значений (5-1000) не влияет на границу конвективной устойчивости.

Рг=100: £ — 0.8 ..

'Pt-Ъ. 5; É =- О. 8__. — -

ЧгЮ"

Рг=100; е=0 Рг=5. 5; С=<Г

0 200 400 600 В

Рис. 3. Зависимость критического числа Рэлея от параметра Больцмана В при различных значениях коэффициента Соре Iе и числа Прандтля Pr. Le=l,5-10 ', 1=30

Третья глава посвящена нелинейному анализу конвективных течений коллоидного раствора в горизонтальном слое. В первом параграфе приведены основные уравнения и граничные условия, сформулированные в терминах функции тока 4х и завихренности <р. На вертикальных границах расчетной области используются условия периодичности. Размер расчетной области Л = 1ж / кс = 2 . Второй параграф посвящен описанию численных методов решения нелинейных уравнений (4) с граничными условиями (5). Проведено сравнение различных конечно-разностных схем, применяемых при численном моделировании.

В третьем параграфе приведены результаты прямого численного моделирования конвективного течения коллоидной жидкости, заполняющей плоский горизонтальный слой, подогреваемый снизу, с учетом только гравитационной стратификации примеси. На бифуркационной диаграмме режимов, соответствующей набору параметров В=399, Ье=1.5 10~4, Рг=5.5, 1=30, приведены зависимости вертикальной конвективной скорости (рис. 4 а) и частоты (рис. 4 б) от интенсивности нагрева г = Д / Яс, где Кс - критическое число Рэлея для однородной жидкости (Яс =1705.8 для расчетов на сетке 124x81). Конвекция возникает в результате подкритической бифуркации Хопфа при значении гагс = 1.218 , которое находится в хорошем соответствии с результатами линейной теории гпКс -1.217 . На начальном этапе эволюции существует стоячая волна с растущей амплитудой, которая с течением времени разрушается с образованием бегущей волны (Т\У). Затем, в течение

ЙОС

\

м

1 1.2 1. 4 г

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма режимов

конвекции. Пунктирная линия соответствует Рис. 5. Изолинии полей концентрации, сове-неустойчивой бегущей волне, штрих- тующие точкам Ли Б рис. 4 пунктирная - однородной жидкости. В=399,

1е=1.5 1СГ

4. Рг-5.5

длительного (диффузионного) времени происходит эволюция течения. Численный эксперимент показал, что на больших временах волновой характер течения определяется неоднородной концентрацией, поддерживаемой гравитационным оседанием, величина которого обратно пропорциональна безразмерной длине седиментации (в нашем случае 1//=1/30).

На бифуркационной диаграмме видно, что устойчивый режим бегущих волн (TW) существует в интервале чисел Рэлея от г™ до г*. Частота бегущей волны уменьшается при увеличении интенсивности нагрева (рис. 4 б), обращаясь в ноль в точке г* = 1.42, где режим бегущей волны переходит в режим стационарной конвекции (SOC), в котором распределение концентрации практически однородно.

Изолинии полей концентрации в режиме бегущей волны приведены на рис. 5 для значений г, обозначенных точками А и Б на рис. 4 а. Отметим, что в обоих случаях поле концентрации обладает сильным пространственным ангармонизмом. При большой надкритичности (рис. 5 Б) интенсивность течения высока, что приводит к интенсивному перемешиванию коллоида. На профиле концентрации видны очень тонкие пограничные слои между вихрями. При меньшем значении г- rjw (рис. 5 А) меньшая интенсивность течения приводит к большей неоднородности распределения концентрации.

Неустойчивый режим бегущих волн (штриховая линия на рис. 4) получен с помощью лимитационного метода, в котором начальные состояния

0.4

0.5

представляет собой суперпозицию устойчивых состояний, взятых с некоторыми весовыми коэффициентами.

Отметим, что

0.3

зеркально-сдвиговая симметрия бегущей волны, присущая случаю молекулярных бинарных смесей (Fütterer С., Lücke М. Phys. Rev. Е 2002, Vol. 65, 036315), в коллоидных суспензиях нарушается благодаря гравитационной стратификации.

Ф

0.2

0.1

1650 1660 1670 1680 1690 1700 1710 1720 1730

В четвертом параграфе рассматривается задача о конечно-амплитудной конвекции коллоидной суспензии, стратифицированной в поле тяжести и обладающей большим положительным коэффициентом Соре |е=10. Бифуркационные диаграммы режимов построены для различных значений числа Больцмана (рис. 6). Показано, что в случае преобладания термодиффузии над гравитационной стратификацией (В /с < = 1708 ), например, рис. 6, линия для 5=1.65-104) наблюдается мягкое возбуждение конвекции. При этом критическое число Рэлея соответствует результатам линейной теории (6). Отметим в очень узком интервале значений числа Рэлея (Rc <R< Rs') может наблюдаться устойчивый колебательный режим конвекции, а начиная с Rst течение становится стационарным В случае преобладания гравитационной стратификации (В Iе > R°c = 1708) конвекция возникает в результате подкритической бифуркации Хопфа (рис. 6, линия для 5= 1.73-104), и в результате эволюции формируется бегущая волна. Зигзаг на неустойчивой ветви бегущей волны (штриховая линия на рис. 6) соответствует значению числа Рэлея, где фазовая скорость волны совпадает с вертикальной конвективной скоростью. Частота устойчивой бегущей волны наибольшая при RTS'V , уменьшается при увеличении числа Рэлея и обращается в ноль при некотором значении Rst. Зависимости критических чисел Рэлея , Rst от числа Больцмана, ограничивающие области механического равновесия (EQ), бегущих волн (TW) и стационарной конвекции (SOC), представлены на рис. 7.

от параметра Больцмана, с = 1 о , Рг=10,1=30

R=2550

jjLuiJLLihu«

R=2GOO

Wi

-1--—I-1-1_._I-

I R

aubii— ........

2650

R=2700

i-ÏL—1—.—I_,—L-

R=2800

i,_i...........i„

_i—.—_i—

M

-I-.-1-. 1 t_L-.

-1_.-1_._1_

I . I . I

0 ф

0 l[/

0 l]<

О ty

о 1 г а 4 51 ?з 1« по

т (

Рис. 8. Спектр Фурье и поведение локального значения функции тока.

В четвертой главе рассматривается Rs Rr

„<р8

о и И",

У ш 0». Рг=6

о о O'i'. Рп>10

® о

Рис. 9. Бифуркационная диаграмма, показывающая зависимость максимального значения функции тока и частоты бегущей волны от числа Рэлея. 1е-=НМ-1(У, с = -7.5

а) ш-т \J

«,

в) Ш щ

г) rS 1 J \)

Д) mm i - * ч

•ШЛ^1

Рис. 10. Эволюция пот концентрации в режиме бегущей волны. R=2.8-103

конвекция коллоидном жидкости, обладающей аномальной термодиффузией ( 6 < 0 ), заполняющей замкнутую полость. Первый параграф посвящен постановке задачи, приведена система уравнений и граничные условия. В качестве параметров задачи выбраны значения безразмерных параметров £_=-7.5, Le=8.84-10~4 соответствующих эксперименту (Donzelli G., Cerbino R, Vailati A. Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. 104503). Отметим, что для данного набора параметров изначально стратифицированная коллоидная суспензия устойчива по отношению к малым возмущениям.

Во втором параграфе анализируются нелинейные режимы конвекции. В качестве начальных условий для концентрации выбиралось однородное распределение.

В численном моделировании использованы сетки с шагом h=0.0125. Обнаружено, что при аномальной термодиффузии в отсутствии гравитационной стратификации существуют устойчивые режимы модулированных бегущих волн. В системе наблюдаются более сложные течения при меньшей разности температур. На рис. 8 приведен Фурье спектр бегущих волн для различных значений числа Рэлея. Видно, что при больших числах Рэ-

лея (И>2.67-103) в спектре имеется одна частота. При уменьшении интенсивности нагрева появляется две дополнительных частоты (Я=2.65-10>). При еще меньших числах Рэлея наблюдается большой спектр частот. При этом частоты являются кратными.

Бифуркационная диаграмма режимов приведена на рис. 9, где для бегущей волны представлено поведение максимального значения функции тока и частоты с максимальной амплитудой в спектре Фурье в зависимости от числа Рэлея. Результаты приведены для двух значений числа Прандтля Рг=6; 10. Критическое число Рэлея В. = Я3 соответствует переходу между механическим равновесием и бегущей волной. Цифрами I и II обозначены различные конвективные режимы: с множеством кратных частот и с одной или тремя частотами, соответственно.

Смена режимов происходит при Я = Ят , при этом основная частота меняется скачком, а максимальное значение функции тока (и число Нусель-та) меняются непрерывно. Эволюция полей концентрации в режиме II приведена на рис. 10, где видно, что по мере продвижения волны в ячейку у левой границы последовательно формируются конвективные вихри, вращающиеся против (рис. 10 а, ж) или по часовой стрелке (рис. 10 г). По мере удаления вихря от границы растет интенсивность его вращения и, следовательно, интенсивность конвективного перемешивания.

На характеристических плоскостях (рис. 11) для режимов I и II представлены изменения со временем координат узлов вертикальной скорости, соответствующих экстремумам функции тока. Скорость вихря обратно пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к соответствующей характеристике. В режиме II все вихри ведут себя одинаково (рис. 11 а), фазовая

X X

Рис. 11. Характеристические плоскости a)R-2.8-10> и 6) R=2.5510' е = -7.5, Рг-6, Le—8.84*10'*

скорость волн слабо модулирована. В сильно модулированном режиме I (рис 11 б) присутствуют два типа вихрей. Одни (например, рождающиеся у левой границы при t=5; 20) пробегают ячейку,

практически не меняя фазовой "года зооо R шю soon

скорости. Второй тип вихрей

значительно меняет фазовую рис [2. Время существования конвективного скорость за время существо- течения. Окружности соответствуют экспе-ВЭНИЯ риментальиьш данным, квадраты - резупъта-

, . - „.............там численного моделирования

Причинои существования бегущих волн является

взаимодействие течения с границей полости и накопление примеси в углах ячейки: при замене условий, соответствующих твердым вертикальным границам, на периодические условия бегущая волна разрушалась, и система переходила в состояние механического равновесия.

Показано, что Rs растет с ростом аспектного соотношения полости L:

от Rs = 2.45-103 для L = 4 до Rs =2.8-103 для L = 8 . При понижении числа Рэлея ниже критического Rs наблюдаются сложные переходные конвективные режимы: локализованная бегущая волна, стоячая волна.

В третьем параграфе главы проведен учет отрицательной термодиффузии и гравитационной стратификации для конвекции в ячейке с L = 8.14. Сравнение времени существования течений, полученных в эксперименте (Donzelli G., Cerbino R, Vailati A. Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. 104503) и численном моделировании, при различной интенсивности нагрева представлено на рис. 12. Черные символы соответствуют течениям, которые не затухли за указанное на графике время, белые символы показывают время затухания течения. При росте числа Рэлея и приближении к критическому значению Rs время существования течений резко возрастает. Результаты численного моделирования дают значение Rs = 3.35-103 , которое хорошо согласуется с результатами эксперимента Rs = (3.4 + 0.1)-Ю3. Таким образом, стратификация в поле тяжести сильно влияет на порог устойчивости конвективного течения.

В Заключении перечислены основные результаты исследований, изложенных в диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Найдены зависимости критических чисел Рэлея и частоты нейтраль-

ных колебаний коллоидной суспензии от параметров задачи: числа Больцма-на, числа Прандтля, параметра разделения смеси. Определены условия существования монотонной и колебательной неустойчивости.

2. Проанализировано влияние безразмерной длины седиментации на эволюцию конвективных течений коллоидной смеси. Показано, что границы конвективной неустойчивости не зависят от данного параметра, который влияет только на результат нелинейной эволюции течения: образование бегущей волны.

3. Построены бифуркационные диаграммы режимов, возникающих в стратифицированной и изначально однородной коллоидной суспензии, найдены характерные частоты нелинейных конвективных колебаний, соответствующие устойчивым и неустойчивым режимам. Определены области существования стационарной конвекции, бегущих и модулированных бегущих волн.

4. Изучены переходные процессы: от механического равновесия к бегущей волне, и от бегущей волны к равновесию. Показано, что первый этап формирования бегущей волны, заключающийся в росте амплитуды стоячей волны и разрушении симметрии, определяется тепловыми временами. После формирования бегущей волны поле концентрации долго (на диффузионных временах) эволюционирует к конечному состоянию.

5. Проанализированы свойства симметрии конвективных течений коллоидной суспензии, показано, что в отличие от молекулярных бинарных смесей зеркально-сдвиговая симметрия бегущих волн разрушается вследствие гравитационной стратификации.

6. В замкнутой полости, заполненной коллоидной суспензией с большой аномальной термодиффузией, обнаружены два различных режима модулированных бегущих волн. Проанализированы свойства этих волн. Показано, что усложнение режимов связано с увеличением фазовой скорости волны, набегающей на границу полости.

7. Показано, что полученные в результате численного моделирования характеристики перехода от волновых режимов конвекции коллоидной суспензии к состоянию равновесия находятся в соответствии с данными эксперимента.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Черепанов И, Н., Смородин Б. Л., Мызникова Б. И. Эволюция бегущий волн в смесях, стратифицированных в поле тяжести // Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Физика для Пермского края". — Пермь,—2010. — С. 27-28.

2. Черепанов И. Н., Смородин Б. Л., Мызникова Б. И. Колебательные режимы конвекции в стратифицированных коллоидных смесях // Те-

15

зисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2010. — Пермь,—2010. —С. 95.

3. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity / B. L. Smorodin, I. N. Cherepanov, В. I. Mymikova, M. I. Shliomis //Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 84. — P. 026305.

4. Смородин Б. Л, Черепанов И. Я, Мызникова Б. И. Конвекция стратифицированной коллоидной бинарной смеси // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 28 февраля - 3 марта. Тезисы докладов. — 2011. — С. 293.

5. Cherepanov I. N.. Smorodin В. L. Traveling wave convection and heat-transfer in a nanofluid // 10-th International Meeting on Thermodiffusion, 4-8 June 2012, Brussels, Belgium, Abstr. — 2012. — P. 92.

6. Черепанов И. Я, Смородин Б. Л. Волновые режимы течения коллоидной смеси при наличии термодиффузии // Материалы краевой научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». — Пермь.— 2012. — С. 34-35.

1. Черепанов И. Н., Смородин Б. Л. Волновые течения наножидкости в замкнутой полости // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. — 2012. — Вып. 3(21). — С. 53-57.

8. Черепанов И. Я, Смородин Б. Л. Конвективные бегущие волны в наножидкости, заполняющей замкнутую полость // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2012. — Пермь.— 2012. — С. 80.

9. Черепанов И. Н., Смородин Б. Л. Конвективные течения коллоидной жидкости в замкнутой полости // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 18-22 февраля 2013 г. Тезисы докладов. Пермь-Екатеринбург. — 2013. — С. 373.

10. Черепанов И. Я, Смородин Б. Л. Конвекция в стратифицированной коллоидной бинарной смеси с нормальным эффектом термодиффузии // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. — 2013. — Вып. 1(23). —С. 14-19

Подписано в печать 21.05.2013 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ .. Типография Пермского государственного национального исследовательского

университета. 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15.

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Тепловая конвекция в коллоидной суспензии

Специальность 01.02.05. «Механика жидкости, газа и плазмы»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

042 и1 ^ уу^

Черепанов Иван Николаевич

Научный руководитель: д. ф-м. н., Смородин Б.Л.

Пермь - 2013

Содержание

Введение 4

1 Конвекция в однородных жидкостях и бинарных растворах 6

1.1 Обзор литературы................................................6

1.1.1 Конвективные течения и их устойчивость............6

1.1.2 Конвекция в молекулярных бинарных растворах . . 11

1.1.3 Коллоидные суспензии..................................16

1.2 Общая характеристика диссертации..............25

2 Возникновение конвекции в коллоидной суспензии 32

2.1 Система уравнений конвекции коллоидной суспензии . ... 33

2.2 Механическое равновесие ......................................35

2.3 Линейная теория устойчивости ................44

2.3.1 Метод Галеркина в случае коллоидной суспензии . . 46

2.3.2 Спектр декрементов возмущений......................50

2.3.3 Границы монотонной и колебательной

неустойчивости.....................55

3 Нелинейные режимы конвекции коллоидной суспензии 61

3.1 Постановка задачи........................61

3.2 Численные методы, применяемые для расчетов течений коллоидной жидкости............................................63

3.2.1 Схема "классики"........................................63

3.2.2 Метод контрольного объема..............66

3.2.3 Решение уравнения Пуассона..........................69

3.3 Влияние гравитационной стратификации......................70

3.3.1 Начальная стадия формирования бегущей волны . . 71

3.3.2 Бифуркационная диаграмма режимов течения коллоидной суспензии.................78

3.4 Конвекция под действием гравитационной стратификации

и нормального эффекта Соре....................................82

4 Конвекция коллоидной суспензии в замкнутой полости 90

4.1 Постановка задачи........................91

4.2 Конвекция при отрицательной

термодиффузии .........................94

4.2.1 Начальная стадия эволюции. Формирование

бегущей волны .....................95

4.2.2 Бифуркационная диаграмма..............101

4.2.3 Пространственная структура бегущей волны . . . .107

4.2.4 Влияние длины ячейки.................111

4.2.5 Переходные процессы .................115

4.3 Влияние гравитационной стратификации...........116

Заключение 122

Список литературы 124

Введение

Конвективные течения в жидкостях и газах возникают при неоднородном пространственном распределении величин, характеризующих жидкость, которое может быть вызвано множеством факторов [1-9]. В поле тяжести, например, источником конвекции является неоднородность плотности, связанная 1) с неоднородностью нагрева жидкости в силу ее теплового расширения (термогравитационная конвекция), либо 2) с неоднородным распределением примеси (концентрационная конвекция). Конвекция Марангони (термокапиллярная конвекция) возникает под действием сил поверхностного натяжения, обусловленных неоднородностью температуры или концентрации на поверхности раздела фаз. Среди других причин конвекции, следует отметить, неоднородность электрических свойств жидкости или жидких кристаллов (электроконвекция) [5-8] или магнитных свойств феррожидкости [9-11].

Благодаря широкому распространению конвективных явлений в природе и технике, они являются объектом исследования не только фундаментальной гидродинамики, но и многочисленных прикладных наук. Изучение конвективных течений, их устойчивости и свойств, актуально в связи с возможностью управления тепло- и массопереносом. Исследование механизмов возникновения и эволюции различных гидродинамических структур представляет интерес для геофизики, метеорологии, астрофизики и техники.

В бинарных (многокомпонентных) смесях возникающая конвекция осложняется диффузией и термодиффузионными явлениями, обусловленными связью между градиентом температуры и концентрацией (эффектом Соре) [2,4,5]. Кроме того, в коллоидных суспензиях, представляющих собой среду-носитель с крупными частицами примеси, перераспределение частиц происходит за счет их оседания в гравитационном поле [12]. Изменение концентрации примеси в молекулярных и коллоидных растворах приводит к изменению сил плавучести, что является источником большого разнообразия протяженных и локализованных конвективных структур [5]. Причем, при изменении внешних условий (например, интенсив-

ности нагрева) возможны переходы от одних режимов течения к другим, с качественным изменением их свойств.

Изменение характера конвективных течений приводит к изменению распределения температуры и концентрации внутри жидкости. Также существенно изменяется тепловой поток через слой жидкости. В различных технологических процессах явления такого рода могут оказывать как положительный, так и отрицательный эффект.

В диссертационной работе исследована конвекция коллоидных суспензий (растворов), заполняющих горизонтальный слой или замкнутую полость. При этом учтены явления термодиффузии и оседания частиц в поле тяжести.

Глава 1

Конвекция в однородных жидкостях и бинарных растворах

1.1 Обзор литературы

1.1.1 Конвективные течения и их устойчивость

Теоретический анализ конвективных течений и их устойчивости, как и любых макроскопических движений газа или жидкости производится на основании системы нелинейных дифференциальных уравнений гидродинамики [1]. Для вязкой неизотермической сжимаемой жидкости в поле тяжести Земли система уравнений, описывающая тепловую конвекцию, содержит уравнение Навье-Стокса, уравнение переноса тепла, а также закон сохранения массы, выражающийся в уравнении непрерывности. Данная система уравнений может включать дополнительные уравнения, связанные с особенностями конкретной среды и условиями возникновения конвекции.

Решение задачи в полной постановке является довольно сложным. Для ее упрощения используются различные приближения. Широкое распространение получило приближение Обербека-Буссинеска [2]. В данном приближении температурная и концентрационная неоднородности плотности полагаются малыми, что позволяет линеаризовать исходные уравнения вблизи некоторой средней температуры Т, концентрации С и плотности ро. При этом полагается линейная зависимость плотности от температуры р = /?о(1 — сх(Т — Т) — Р(С — С)), где - коэффициенты теплового расширения и концентрационного изменения плотности, которые считаются постоянными. При выводе уравнений конвекции изменением плотности пренебрегается везде, кроме слагаемого в уравнении движения, учитывающего подъемную силу (силу Архимеда). Это позволяет считать жидкость несжимаемой. Несмотря на то, что такое приближение кажется непоследовательным, многие эксперименты подтвер-

ждают его справедливость. Стоит отметить, что в данном приближении рассматривается в некотором смысле слабая конвекция. Это накладывает определенные ограничения на размер системы, разность температур, а также градиент давления и скорость течения жидкости или газа. Подробный вывод уравнений свободной конвекции в приближении Буссинеска содержится в [2] и [13].

При определенных условиях жидкость или газ при неоднородном распределении плотности может находиться в покое. Это состояние принято называть механическим равновесием, поскольку полное термодинамическое равновесие при этом отсутствует, так как в системе существуют потоки тепла и (или) вещества. Вывод условия механического равновесия для неоднородно нагретой однокомпонентной жидкости при отсутствии внешних воздействий приведен в [2]. Условие механического равновесия выражается уравнением:

V т = -л7, (1.1)

здесь Т- температура, 7 - единичный вектор, направленный вдоль силы тяжести, А- некоторая константа. Данное уравнение говорит о том, что механическое равновесие возможно только при постоянном градиенте температуры, направленном вдоль силы тяжести. При этом градиент температуры может быть как положительным, так и отрицательным. Данное условие в общем виде было сформулировано В. С. Сорокиным [14].

Условие (1.1) является обязательным условием существования механического равновесия. Например, при подогреве снизу слоя жидкости, среда стратифицирована потенциально неустойчиво даже при строго вертикальном градиенте температуры. Более плотные слои жидкости расположены над менее плотными. Однако, при малой разности температур жидкость остается неподвижной, находясь в состоянии устойчивого равновесия. Все возмущения затухают.

Конвективное течение возникает в случае, когда разность температур на границах слоя (характерный градиент температуры) превышает некоторое критическое значение. Равновесие становится неустойчивым, поскольку существуют такие возмущения, которые со временем нарастают. Эволюция этих возмущений приведет к образованию течения. Конвектив-

ные течения сами могут быть неустойчивыми. В таком случае развитие возмущений приводит к образованию вторичных течений. В реальных условиях в результате эволюции реализуются только устойчивые состояния (равновесие или течения), так как в системе неизбежно возникают различные возмущения. Так же стоит учитывать, что не все устойчивые состояния реализуются в эксперименте. Для образования некоторых устойчивых режимов конвекции могут потребоваться очень специфические начальные условия [13].

Для задач конвекции справедлив закон подобия гидродинамических течений [1], поэтому вместо порогового значения градиента температуры используют безразмерные числа Грасгофа, Рэлея или друге безразмерные параметры, являющиеся комбинациями размерных параметров системы и пропорциональные градиенту температуры.

Ввиду сложности уравнений гидродинамики точные аналитические решения существуют лишь в особых случаях. Поэтому существует множество подходов в решении задач конвекции, позволяющих определить порог возникновения конвективных течений и их свойства.

Линейная теория устойчивости основана на анализе эволюции малых возмущений. В рамках данного подхода на основное состояние (течение или механическое равновесии) накладывается малое возмущение. Малая амплитуда возмущений позволяет отбросить нелинейные слагаемые, имеющие второй порядок малости. Из условия разрешимости полученной системы линейных уравнений определяется характер возможных возмущений при заданных параметрах системы. Таким образом, система считается устойчивой, если все возможные возмущения затухают со временем. Если система линейных уравнений допускает решения, при которых малые возмущения неограниченно нарастают, то данное состояние считается неустойчивым.

Изучению конвективных течений и их устойчивости посвящено множество работ [2,3,6, 15-17]. Большая часть монографии [2] посвящена анализу устойчивости механического равновесия жидкости на основании линейной теории. Подробно рассмотрены множество задач: плоский горизонтальный слой со свободными и твердыми границами (задача Рэлея),

вертикальные каналы различной геометрии, замкнутые полости и многие другие. Рассмотрен вопрос устойчивости слоя бинарной жидкости, а также влияние на систему модуляции параметров (вибрация, модуляция температуры) или магнитного поля.

Детальный анализ устойчивости горизонтального слоя однородной неизотермической жидкости в поле тяжести Земли содержится во второй главе монографии [2]. Отметим здесь хорошо известные, но важные для дальнейшего факты. В жидкости, подогреваемой сверху, возможны колебательные возмущения, однако все они затухают со временем. При подогреве горизонтального слоя жидкости снизу все возмущения монотонны, и устойчивые течения появляются при превышении порогового числа Рэлея Я® « 1708. Конвективные течения в этом случае обладают ячеистой структурой (конвективные валы), периодичной вдоль слоя с волновым числом к ~ 3.11. Конвекция возникает в результате бифуркации вперед.

Более полное и детальное изучение устойчивости стационарных конвективных течений приведено в работе [3]. Рассмотрена устойчивость течения в вертикальном канале, а также различные факторы влияющие на данное течение, такие как: наклон слоя, температурная неоднородность вязкости, влияние кривизны границ, вибрация, примесь твердых частиц, внутренние источники тепла. Подробно изложены основные численные методы решения спектрально-амплитудной задачи в применении к задачам гидродинамической устойчивости (метод Галеркина, метод численного интегрирования с ортогонализацией, метод дифференциальной прогонки). Выводы о порогах устойчивости и свойствах течений основаны на анализе спектра декрементов нормальных возмущений.

Большое количество теоретических работ посвящено изучению конвективных течений, возникающих в плоском горизонтальном слое жидкости. Данная геометрия находит приложение в метеорологии, астрофизике и геофизике [18]. Плоский горизонтальный слой легко реализуем в эксперименте с помощью использования области с большим отношением длины к высоте, когда можно пренебречь эффектами вблизи боковых границ.

Малые возмущения не могут нарастать бесконечно. В результате временной эволюции они приведут к образованию течений конечной амплитуды. Анализ таких течений выходит за рамки линейной теории. Аналитические методы изучения течений конечной амплитуды, то есть течений для которых не применима линейная теория, изложены в ряде монографий [3,17,19]. К ним относятся методы амплитудных функций с использованием разложений по малому параметру (степени надкритичности).

С появлением компьютеров широкое распространение получила вычислительная гидродинамика. Методы вычислительной гидродинамики основаны на прямом численном моделировании уравнений гидродинамики [20-29], при этом производится дискретизация исходных уравнений как по пространственным координатам, так и по времени. На основании исходных дифференциальных уравнений составляются конечно-разностные аналоги, при помощи которых производится моделирование поведения жидкости (газа).

Вычислительная гидродинамика является отдельной дисциплиной, дополняющей теоретическую и экспериментальную гидродинамику. Численный эксперимент имеет в некотором смысле ограничения, свойственные реальному эксперименту. В результате моделирования мы получаем лишь дискретную информацию для определенной комбинации параметров системы начальных и граничных условий. Численное моделирование позволяет произвольно задавать различные свойства среды и внешние условия. Таким образом, можно изучать поведение жидкости при различных условиях, трудно реализуемых, или вообще не достижимых в лабораторных условиях. Основные положения вычислительной гидродинамики изложены в [21]. Данная книга посвящена изучению различных конечно-разностных схем. Подробно изложены различные способы конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений гидродинамики. Рассмотрены методы изучения устойчивости конечно-разностных схем, такие как: метод Фон Неймана, метод дискретных возмущений. В конце книги приведены полезные советы автора исследователям, занимающимся вычислительными экспериментами.

Книга [24] посвящена компактным разностным схемам. В данной книге кратко приведены способы получения схем повышенной точности: построение сеток адаптирующихся к решению, схемы с многоточечными шаблонами, использование дифференциальных следствий исходных уравнений. Подробно изложен способ получения компактных разностей. Показано, что составление конечно-разностной аппроксимации обладает некоторым произволом, который можно использовать для получения схем обладающих требуемыми свойствам, например, консервативностью или транспортивностью. Рассмотрено применение несимметричных схем третьего порядка точности к течениям вязкого газа и несжимаемой жидкости. Также приведены уравнения для симметричных схем четвертого порядка точности относительно пространственных переменных.

Применению вычислительной гидродинамики в задачах конвекции посвящены работы [23,25,28,29]. В данных работах рассмотрены задачи как тепловой так и термомагнитной конвекции. Рассмотрено множество численных схем, их свойства и устойчивость, а также даны практические советы по их применению.

1.1.2 Конвекция в молекулярных бинарных растворах

Важный пример с точки зрения фундаментальной науки и промышленных приложений представляют растворы: жидкости-носители, содержащие молекулярную или коллоидную примесь. Изучение процессов тепло- и массопереноса в данных системах привлекает большое внимание исследователей.

В отличие от однородной жидкости в смесях появляется дополнительная причина возникновения подъемной силы (силы Архимеда), а также дополнительный диссипативный механизм - диффузия. Это приводит к появлению качественно новых эффектов. Кроме гидродинамических и температурных в системе присутствуют концентрационные в�