Конвективные течения и тепломассообмен при модуляции граничной температуры в пористом прямоугольнике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Булгакова Наталья Сергеевна

КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛОМАССООБМЕН ПРИ МОДУЛЯЦИИ ГРАНИЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ В ПОРИСТОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

Специальность 01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

-6 ОКТ 2011

Махачкала-2011

4855274

Работа выполнена в учреждении Российской академии наук «Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Рамазанов Мукамай Магомедович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

академик РАЕН

Каракин Андрей Владимирович

доктор технических наук, профессор Джаватов Джават Курбанович

Ведущая организация: УРАН «Институт Океанологии РАН»

Защита состоится 27 октября 2011 г. в _15_ часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 002.071.01 при учреждении Российской академии наук «Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра» по адресу: 367030, г. Махачкала, пр. И.Шамиля, 39а, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УРАН ДНЦ. Автореферат разослан "/I " сентября 2011г.

Ученый секретарь Объединенного диссертационного совета ДМ 002.071.01

д.т.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одним из механизмов теплообмена является тепловая конвекция. В земных условиях флюиды представляют собой многокомпонентные смеси, в которых плотностная неоднородность, вызывающая конвекцию, обуславливается кроме температурной еще и концентрационной неоднородностью, а градиенты температуры и концентрации далеко не всегда оказываются постоянными. Наличие примеси и переменного параметра в гидродинамической системе может существенно повлиять на ее устойчивость. Понимание свойств конвекции и характера влияния различных осложняющих факторов на устойчивость способствует созданию и совершенствованию методов управления устойчивостью течений и равновесия. Актуальность работы обусловлена важностью изучения новых механизмов гидродинамической неустойчивости и способов воздействия на устойчивость равновесий и течений жидкостей и газов с помощью различных внешних факторов, например, таких как модуляция граничных условий.

Рассмотренные в представленной работе вопросы связаны, например, с проблемой теплоизоляции пористыми материалами, которая призвана уменьшать тепловой поток. Передача теплоты происходит через каменный остов материала вследствие теплопроводности и через поры, заполненные воздухом, путем конвекции. Температура окружающей среды периодически меняется в зависимости от скорости ветра, смены дня и ночи, поэтому при расчете коэффициента теплопроводности теплоизолятора желательно учитывать колебания температуры на его границах.

С развитием новых технологий наблюдается устойчивая тенденция к поиску оптимальных условий выращивания кристаллов наилучшего качества. Причем, управление конвективным движением расплава желательно бесконтактным способом, так как вращательные механизмы вносят элемент случайных возмущающих воздействий на процесс роста кристалла и являются источниками загрязнений. Результаты исследований влияния модулируемых параметров на конвективную устойчивость гидродинамической системы и развитие нелинейных режимов конвекции могут быть использованы применительно к задачам выращивания кристаллов.

Кроме того, конвективный теплообмен играет важную роль в формировании месторождений термальных вод конвекционного типа, а также газогид-ратных залежей. Геотермальные системы конвекционного происхождения, располагаются в районах современных, или недавно потухших вулканов, а вулканическая деятельность имеет свой характерный период флуктуации, что естественно отражается на гидротермальной активности. Поэтому наличие конвекции в данный момент может зависеть от градиента температуры, который существовал 100 тыс лет назад. В этой связи, данная работа важна для описания процессов, происходящих при фильтрации жидкости в пористых пластах при наличии переменного геотермального градиента.

/

Цели работы:

1. Изучение влияния периодически меняющегося градиента температуры на возникновение конвекции в горизонтальном слое бинарной смеси.

2. Изучение влияния модуляции градиента температуры (концентрации) на возникновение конвекции в пористом прямоугольнике, насыщенном бинарной смесью, а также трехкомпонентной изотермической смесью.

3. Изучение влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смесей.

4. Выявление закономерностей влияния модуляции граничных условий на развитие нелинейных режимов конвекции смеси в пористом прямоугольнике.

Научная новизна работы

1.Исследована конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси, на границах которого концентрация легкого компонента постоянна, а температура изменяется с частотой £У, при условии отсутствия перекрестных эффектов. В данной постановке задача решена впервые. Построены карты устойчивости в плоскости частота - амплитуда модуляции для различных пар значений теплового и диффузионного чисел Рэлея.

2. Показано, что скин-эффект является стабилизирующим фактором при больших частотах и дестабилизирует равновесие с уменьшением частоты. При достаточно малых частотах влияние скин-эффекга не сказывается.

3. Получено, что в случае фильтрационной конвекции бинарной, а так же трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике, модуляция граничных условий играет только дестабилизирующую роль (в отличии от конвекции в полости, где были выявлены области параметрической стабилизации для надкритических диффузионного и теплового чисел Рэлея).

4. Получены численные данные о структуре течений и термоконцентрационных полей для надкритических режимов конвекции бинарной и трехкомпонентной изотермической смесей в вертикальном пористом прямоугольнике при стационарных и модулируемых граничных условиях. Показаны зависимости чисел Нуссельта от времени для различных параметров задачи.

Автор защищает

1. Результаты исследования влияния периодической модуляции градиента трилпопат \mi-T ЧО УЛиоА1ГГ1ЛЛППП 17ЛТПШ1НПППТ1: Книапцпн ркр™ п тпнтпи.

тальной полости и в пористом прямоугольнике.

2. Результаты исследования влияния периодической модуляции градиента концентрации на конвективную устойчивость трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике.

3.Результаты исследования влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси в горизонтальной полости и в пористом прямоугольнике.

4. Результаты численного исследования структур течений и термоконцентрационных полей для надкритических режимов конвекции бинарной и трехкомпонентной изотермической смесей в вертикальном пористом прямоугольнике при стационарных и модулируемых граничных условиях.

Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными предельными случаями, а также адекватностью

методов исследования и согласием результатов, полученных с помощью разных подходов.

Практическая ценность.

Проведенные исследования вносят вклад в развитие теории конвекции и научных основ ее приложений: задачи выращивания кристаллов; задачи теплоизоляции; описание процессов, происходящих при фильтрации жидкости в пористых пластах при наличии переменного геотермального градиента и т.д.

Полученные результаты имеют практическую значимость, поскольку при исследовании конвективной устойчивости гидротермальной системы в реальных условиях необходимо учитывать такие факторы, как нестационарные (модулированные по частоте и амплитуде) тепловые потоки, резкие колебания температуры окружающей среды.

Результаты, полученные в работе, углубляют представление о нелинейных режимах конвекции при нестационарных граничных условиях.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных школах и конференциях:

Международная научная конференция, посвященная 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН,- Махачкала: РАН ДНЦ, 1999.

Международная конференция "Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы", Махачкала,2005.

Конференция, посвященная 70-летию со дня рождения Магомедова K.M. «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов», Махачкала, 2006.

II Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов.», Махачкала, 2008.

Международная конференция «Мухтаровские чтения»: «Современные проблемы математики и смежные вопросы». Махачкала, 2010.

II Международная конференция «Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы». Махачкала, 2010.

III Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала. 2010.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [1-16].

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (131 наименование) и приложения. В работе содержатся 47 рисунков. Общий объем диссертации 159 страниц.

Содержание работы Введение включает в себя общую характеристику работы, обоснование научной и практической значимости.

В первой главе приводится краткий обзор небольшой части работ посвященных свободной конвекции жидкости и газа, имеющих отношение к проблемам, рассматриваемым в настоящей работе. Конвекция в плоском горизонтальном слое жидкости (газа), подогреваемом снизу, или конвекция Рэлея-Бенара, является типом конвекции, который рассматривается чаще всего. Литература

по конвекции Рэлея—Бенара ведет свою историю с книги Чандрасекара [S. Chandrasekhar, 1961], в которой ряд линейных задач об устойчивости были рассмотрены очень подробно. Далее вышли такие монографии, как «Устойчивость течений жидкости» Джозефа {Д.Джозеф, 1981] и «Гидродинамическая устойчивость» Дрейзина и Рейда [P. G. Drazin, W. H. Reid, 1981], которые продолжили линию систематизации различных аспектов теории устойчивости, а книга Гершуни и Жуховицкого «Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости» [Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., 1972] была посвящена разнообразным конвективным явлениям (не только в горизонтальных слоях). Исследования конвекции на их различных этапах приведены также в ряде обзоров, например, Кошмидера [Е. L. Koschmieder, 1974; 1975], Норман и Помо [С. Normand, Y. Pomeau, 1977], Буссе [F. H. Busse, 1978, 1984] и Берингера [/?. P. Behringer, 1985]. Имеются также подробные обзоры общих закономерностей формирования структур — например, опубликованные Ньюэллом с соавторами [А. С. Newell, 1988,1989; А. С. Newell, T. Passot, J. Lega, 1993].

Большую роль конвективный тепло- и массоперенос играет в процессе концентрации рудных и углеводородных компонентов в формировании соответствующих месторождений, при этом важное значение имеет структура и режим конвекции [C.JI. Лопатчиков, 1995]. Однако в большинстве работ рассматривалась чистая жидкость. Поскольку в земных условиях, мы имеем дело со смесями, представляется очень важным исследование устойчивости с учетом влияния наличия примеси. При этом имеются две причины появления конвективной силы — неоднородности температуры и концентрации, а также два диссипативных механизма — теплопроводность и диффузия. Это приводит к появлению качественно новых эффектов. В отличие от чистой среды, равновесие смеси может оказаться неустойчивым относительно колебательных возмущений. Конкуренция диффузии и теплопроводности приводит к тому, что при определенных условиях оказываются конвективно-неустойчивыми такие состояния равновесия, при которых градиент плотности направлен вниз (внизу среда более плотная). Д.А. Нилдом (1968 г.) решена задача о конвективной устойчивости бинарной смеси в пористой среде, X. Брандом (1982 г.) исследована конвективная неустойчивость бинарных смесей в пористой среде при подогреве снизу или сверху. Систематизация работ по конвекции бинарной смеси в полости проведена в главе 7 книги [Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., 1972].

С точки зрения геотермических отложений воды в пористой горной породе интересен вид течения, возникающего при переносе энергии сквозь пористое твердое тело, насыщенное жидкостью. Разность температур вызывает выталкивающую силу и приводит к циркуляции жидкости сквозь пористую среду. Скорости, вызванные выталкивающей силой, большей частью очень малы из-за большого влияния вязкости на течение в узких каналах. Теории конвекции жидкости в пористых средах посвящено большое количество работ как зарубежных так и отечественных авторов. Каноническая задача о конвективной устойчивости жидкости в горизонтальном пористом слое впервые теоре-

тически решена в работе [Horton C.W. and Rogers F.T., 1945], а затем в работе [Lapwood E.R., 1948]. Ее решение приведено и в [Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., 1972; ТеркотД., Шуберт Дж., 1985]. Гравитационная конвекция является одним из механизмов циркуляции флюидов в земной коре, для которого требуются относительно хорошая проницаемость и большие градиенты температуры. Другими важнейшими механизмами флюидодинамических процессов в верхней коре являются дилатансия и компакция [Каракин A.B., Курьянов Ю.А., Павленкова Н.И., 2003]. Дилатансионнный эффект связан со сдвиговым напряжением трещиноватых пороупругих слоев. Вязкая консолидация (компакция) связана с динамикой поровязких сред. Эти механизмы существенным образом влияют на распределение рудных месторождений.

Наличие переменного параметра в гидродинамической системе может существенно повлиять на ее устойчивость. Явление параметрического резонанса в различных механических системах хорошо изучено. Тем не менее, специфика различных задач вносит в результаты свои особенности. Кроме того, решение новых задач представляет интерес и с точки зрения количественных оценок различных величин, что важно для практических приложений. Во второй главе изучается влияние модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси. Рассматривается горизонтальная полость, заполненная бинарной смесью. Температура на одной из границ, а вместе с ней и ее градиент модулируется с частотой со. Концентрация легкого компонента на границах постоянна. Используются уравнения тепловой конвекции в приближениях Буссинеска:

+ чУТ = %АТ

о1

РС

— + чУС = БАС

81

с/пУ = О

Здесь V - поле скоростей, р-дав лен не в смеси, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего р^, v- кинематическая вязкость, % - температуропроводность, В- коэффициент диффузии, у - единичный вектор направленный против поля тяжести, /?, и ¡32 - коэффициенты температурного и концентрационного расширения.

Границы слоя предполагаются свободными плоскими:

— + (vV)v =

Vp + vAv + g(ßj + ß2C)y

(2.1)

A

dT

z = 0: T = TX,C = C, z = L: T = Г2 +rosin<y/, C-C.

(2.2)

<3v 3v„

z = 0,L: vz =0, —-2- = —- = 0 8z dz

где L- толщина полости.

Подставив возмущенные величины Ts+T', Cs + С, Ps + р' {Ts, С,, ps- решения системы (2.1) при механическом равновесии, v - малая скорость) в уравнения, взяв rot rot от первого уравнения и спроецировав полученные уравнения на ось Z, обезразмерим и линеаризуем систему (2.1) в окрестности механического равновесия, опуская штрихи, получим:

dt

dz

(23)

^JL.A^aV&Vay ъ?

' A-L

Qs ('> z) = Qx (z) sin Qt + Q2 (z) cos Q t,

Ql (z) = qtshaz eos az + q2chozsmaz, Q2 (z) = q^chazsm az - q2shaz eos az qx = shacosa/S, q2 = cha sin a/S, S = sh2a cos2 a + ch2asin2 a Q = col}¡v - безразмерная амплитуда модуляции, a = ^Q.P/2

Используя метод Галеркина-Бубнова, представим решение в виде:

00 00

т=1 т=1 (2.4)

00

С - elkr'Y_lgm(t)únnmz кг ~кхх+к2у

где и к2- вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль* и у; fn,Wn,gn- соответственно амплитуды температуры, скорости и концентрации.

Подставив (2.4) в (2.5), получим бесконечную систему уравнений :

- W'{t)- (к2 + (m)2)W„(0 + k] {Rfn(t) + Rdg„(t)) = О

К +\7ГП)

(2.5)

pm-wn(t)-viwm(t)Gmn=-(к2 + и2 )/„(/)

p¿g'n(o-K(o=-(k2+H2)g„(t)

i до (z,t)

Gm„ = 2 ísin miz sin mz —5——dz o dz

Здесь P,Pd- числа Прандтля, к - волновое число, характеризующие периодичность возмущений вдоль х и у, t]- безразмерная амплитуда модуляции, R,Rd " числа Рэлея,

Для чисел Прандтля, характеризующих газовую смесь: р = 0.75, Pd -1.5,

i t

взаимное расположение линий на плоскости (R , Rd):

it

Рис. 2.1. Карта устойчивости в плоскости (R , Rj).

Ломаная линия ABC служит границей устойчивости бинарной смеси при отсутствии модуляции. Причем при пересечении луча ВА снизу вверх имеет место колебательная неустойчивость, а при пересечении луча ВС- монотонная.

о, . Ш1 »>..- У

{кг+я2?' ' {кг+п2?

Чтобы выявить критерий устойчивости, следуя теории Ляпунова-Флоке, необходимо найти периодические и квазипериодические решения системы (2.5), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия. Система линеаризованных уравнений малых возмущений равновесия решалась численно с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. В области равновесия смеси при отсутствии модуляции (угол ABC, рис. 2.1.),

каждой точке (R ,Rd), на плоскости амплитуда-частота модуляции соответствует нейтральная кривая, ниже которой возмущения затухают, выше - нарастают. Данная область в пределе низких частот разбита на подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа: «целого» (период колебаний соответствует периоду модуляции), «полуцелого» (период колебаний вдвое больше периода модуляции) и «смешанного» типа, которые состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типа.

Для случая гармонической модуляции в приближении малых частот методом малого параметра можно найти кривую МК, разделяющую область ниже ABC на подобласти с нейтральными кривыми полуцелого и смешанного типа. Точкам области между лучом ЕС и осью R' (области I на рис. 2.1.) соответствуют на плоскости (г, l/vv) нейтральные кривые целого типа, точкам области II (ограниченной кривой КМЕ и осью R') - нейтральные кривые

полуцелого типа, точкам области III - нейтральные кривые смешанного типа.

Где г, w - приведенные амплитуда и частота модуляции: ... _ ^ . у = qR'.

к1 + п

с 1 г ,/l* II 1 г s ,Л» о 2 ' в

Рис. 2.2. Нейтральные кривые, соответствующие на рис. 2.1: а) области I (R =-1.1, Rd =2), б) области II ÍR =1 Rd =-2), с) области III (R =2.3 Rt¡ =-2). Области неустойчивости заштрихованы, сплошные линии соответствуют нейтральным кривым целого типа, штриховые - нейтральным кривым полуцелого типа (светлые линии относятся к случаю приближения малой частоты модуляции).

Рассмотрим область над ломанной ABC (рис. 2.1), где при отсутствии модуляции механическое равновесие не устойчиво. Расчеты показали, что в этой области модуляция градиента температуры может привести к стабилизации механического равновесия, т.е. к параметрической стабилизации. А именно, каждой точке над ломаной ABC, на плоскости (r,l/w) соответствует область параметров, для которых механическое равновесие стабилизируется, т.е. становится устойчивым, причем стабилизация наступает для больших частот. Для точек выше луча ЕС указанная область ограничена снизу целыми нейтральными кривыми, сверху - полуцелыми, параметрическая стабилизация возможна только тогда, когда частота превосходит фиксированное значение, зависящее от параметров. Над отрезком ВЕ основная область параметрической стабилизации существует для всех частот, однако с уменьшением частоты эта область быстро сужается, т.е. в этом случае нет определенной критической частоты. Над лучом ВА, область стабилизации ограничена снизу нейтральной кривой, соответствующей квазипериодическим решениям, а сверху нейтральной кривой «полуцелого» типа, при этом параметрическая стабилизация возможна лишь для частот w>2 (рис. 2.3).

При определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением. При колебаниях температуры на границах градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат. Модуляции градиента в основном сосредоточены в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эффект). С целью выявления влияния скин-эффекта на конвективную устой-

чивость смеси, задача решена также в приближении малой частоты модуляции, когда не учитывается скин-эффект. В этом случае, нейтральные кривые сместились вниз по оси амплитуд (рис. 2.3, светлые линии), т.е. скин-эффект приводит к увеличению критической амплитуды наступления стабилизации.

(r,\Jw)ebiuie границы устойчивости ABC (рис. 2.1): а) над ЕС (R —0.9 Rd =2), б) над BE (R =3.2 Rd =-2), с) над ВА (R =4 Rd =-3). Штрихпунк-тирные линии - квазипериодические нейтральные кривые, остальные обозначения те же, что на рис. 2.2.

В области равновесия смеси (ниже ABC рис. 2.1), нейтральные кривые, соответствующие областям I, II, III, на плоскости (r,\¡w) со стороны больших частот смещаются вниз (рис. 2.2- светлые линии), затем проходят немного выше и, при низких частотах, в приведенном на фигурах масштабе, сливаются с нейтральными кривыми, полученными при решении задачи с учетом скин-эффекта.

Из приведенных рисунков видно, что учет скин-эффекта изменяет нейтральную кривую: при больших частотах скин-эффект играет стабилизирующую роль, которая сменяется на дестабилизирующую с уменьшением частоты, и в пределе малых частот полностью исчезает.

Рассмотрен также случай Р=5, Pd=10. Эти значения являются искусственными, и были взяты лишь для того, чтобы на основе сравнения с результатами аналогичной задачи для пористого слоя, насыщенного бинарной смесью (куда входит отношение их фильтрационных аналогов) выявить качественные особенности влияния силы инерции. В естественных условиях насыщенных пористых сред сила инерции при фильтрации жидкостей обычно мала, поэтому для ограничения влияния инерции, значения чисел Прандтля в задаче о конвекции в полости были увеличены, сохраняя их отношение. Расчеты показали, что большинство результатов (для данных параметров) качественно совпадает со случаем пористой среды. Существенным отличием является то, что в данном случае на плоскости частота-амплитуда модуляции имеется область параметрической стабилизации, которая возникает лишь над той частью границы, где при отсутствии модуляции неустойчивы монотонные возмущения, что связано с наличием силы инерции.

В третьей главе изучается влияние модуляции граничных условий на конвективную устойчивость смеси в пористом прямоугольнике. Первый параграф данной главы посвящен выявлению условий возникновения фильтрационной конвекции бинарной газовой смеси, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения при модуляции граничной температуры около некоторого среднего значения.

Систему уравнений конвекции бинарной смеси в пористой среде в приближении Дарси-Буссинеска без учета перекрестных эффектов и граничные условия можно записать в виде [Бедриковецкий П.Г., Полонский Д.Г., Шапиро А. А., 1993]:

^и=-Ур - рояп - р,г - р2с;у

к (3.1)

Ст^+СрРоиУТ = ХАТ

дС

т— + иУС = £)ДС Зг

с1Ш = О

2 = 0: Г = Г1)С=С1,м;с=0 г = Ь: Т = Т2+Т0 зтШ, С = С2, и2= О

. , дТ ВС п

х = -Ь;Ь: — = — = 0, их = О дх дх

Здесь и - поле скоростей, р - давление в смеси, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего 77- динамическая вязкость, Л -эффективная теплопроводность пористой среды, Ст - эффективная теплоемкость единицы объема пористой среды, С - теплоемкость смеси при постоянном давлении, £> - коэффициент диффузии, к - проницаемость, т- пористость, у - единичный вектор, направленный против поля тяжести.

После обезразмеривания (масштабы: Ь - толщины пористой среды, АЬ-температуры, р^крхАЬ/г]- скорости, тАГ]Ср¡С^кАР^ -времени, ВЬ-концентрации, -давления (А,В - градиенты температуры и концен-

трации)), линеаризации системы (3.1) относительно механического равновесия (подставляя возмущенные величины Т5+Т', С, + С, рз + р', и - малая скорость), введем функцию тока (//, исключив давление и опустив штрихи, получим:

Лу/ =

5Т_ dt '

дТ Rd дС дх LeR дх

дщ

uz = —L- и, =■ * dz 2

дцг

dz

R

А Т

R =

p2gkpxAL2C.

Xr¡

R,,

pQgkp2Bb DJJ

1

}_дС__ =_

b dt Uz~ LeR

Л С

Le = -

Le =

Л

Расро- рйсро

Qs - функция от вертикальной координаты и времени, определенная аналитически при нахождении установившегося решения при механическом равновесии.

Методом Галеркина-Бубнова получим систему амплитудных уравнений:

Ми. R_

Я(1 ц„

f'n(t)"

<у„ --

LeR m=1

RH

fm(0+^gm(0 LeR

(3.2)

\g'Jt) =

o

" LeR LeR, \2

gn(t)+Gnfn(0 1

\Хп = (пк)2 + (тш)2,о- = {кк) , /п№п>8п- соответственно амплитуды тем-

Рп

пературы, скорости и концентрации.

Для случал наличия примеси на рис. 3.1 приведена карта устойчивости на плоскости (К при отсутствии модуляции.

Рис. 3.1. Карта устойчивости бинарной смеси при стационарных граничных условиях.

FÍO

(R' =

R

Ал2

R, =-

Jk

4 л2

Область устойчивости расположена внутри угла АБС, причем при пересечении луча ВА имеет место монотонная неустойчивость, а при пересечении луча ВС- колебательная.

Были найдены периодические решения системы (3.2), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия. Отдельно рассмотрен случай газа без примеси.

Изучен сценарий изменения структуры нейтральных кривых, разделяющих нарастающие и затухающие возмущения, в плоскости амплитуда частота модуляции, в зависимости от теплового и диффузионного чисел Рэлея. При

наличии примеси, характер изменения структуры нейтральных кривых аналогичен случаю чистого газа, что связано с большим значением Ъ для газовых смесей (Ь » 1), при Ъ~ 1 наличие примеси влечет за собой качественное изменение результатов [Рамазанов М.М., 1999,2001].

Если температура вдоль смеси не меняется, то единственной причиной, вызывающей конвекцию, является неоднородность концентрации. Случай бинарной изотермической смеси аналогичен обычной тепловой конвекции однородной среды (роль теплопроводности играет диффузия). В трехкомпонентных изотермических системах при определенных условиях возникают конвективные потоки, наложение которых на молекулярный перенос приводит к неустойчивости механического равновесия смеси при диффузии [Косое В.Н., Жав-рин Ю. , 1990, В.Н. Косое. В.Д. Селезнев, Ю.И. Жавргш, 2000]. Во втором параграфе описаны результаты численного исследования фильтрационной конвекции трехкомпонентной изотермической смеси, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения при модуляции градиента концентрации одной из компонент около некоторого среднего значения. В случае присутствия третьей компоненты примеси картина в плоскости амплитуда-частота модуляции такова, что критическая амплитуда с уменьшением частоты стремится к постоянному значению, и для трехкомпонентной смеси область равновесия разбита в пределе низких частот на три подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа. Исследовано влияние концентрационного скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси. Проведен сравнительный анализ случаев бинарной и трехкомпонентной изотермических смесей.

Таким образом, в главе 3 на основе линеаризованной системы дифференциальных уравнений, описывающих свободную конвекцию бинарной (или трехкомпонентной изотермической смеси) смеси были получены условия возникновения конвективных потоков в условиях периодической модуляции параметра. С увеличением амплитуды возмущений, возникают нелинейные механизмы, которые могут быть исследованы лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Конечные возмущения в надкритических условиях при стационарных граничных условиях, вообще говоря, демонстрируют довольно сложное поведение. Основным предметом обсуждения в четвертой главе является вопрос о влиянии периодически модулируемого параметра в системе на развитие конечных возмущений.

Для случая фильтрационной конвекции бинарной смеси, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения при модуляции градиента температуры, нелинейная, обезразмеренная система (3.1), после введения функции ди/ дш

тока цх = —!— и: —--— и исключения давления примет вид:

дг 2 дх

(4.1)

1 дС дС ВС 1

АС

--+ м,-+ и,--и. --¡ г

Ъ 8t дх z 8z Le\R\

+ и

-и

Граничные условия:

ох бх

z = 0;1: Г = О, С = 0,\|/ = О

Le - число Льюиса, R, Rd - число Рэлея и его диффузионный аналог.

Задача решена конечно-разностными методами, с использованием неявной разностной схемы расщепления для уравнений переноса в сочетании с методом переменных направлений с постоянными параметрами для уравнения Пуассона [Клейн И.С., Полежаев В. И, 1978]. Полученная разностная схема решалась методом продольно-поперечной прогонки, с проверкой невязок на каждом временном шаге. В качестве начального условия было выбрано распределение температуры и концентрации Т(х, z) = a, cos ях sin яг, С(х, z) ~ а2 cos лх sin ш, в отсутствии конвекции i//(x, z) = 0 • Построены зависимости безразмерного потока тепла (число Нуссельта) от времени при различных режимах конвекции.

Расчеты показали, что при стационарных граничных условиях граница устойчивости (рис. 3.1), полученная по линеаризованным уравнениям достаточно точно разделяет установившиеся и затухающие решения нелинейной задачи. Выявлено, что при модуляции градиента температуры, линейная теория завышает критическую амплитуду потери устойчивости, т. е. дает границу условной устойчивости (устойчиво относительно бесконечно малых возмущений, и не устойчиво относительно конечных).

t t

Например, по линейной теории, для точки Rd =-0.5, R =0.5 при частоте модуляции l/w=1.5 критическая амплитуда, выше которой возмущения нарастают равна г=5.564. Расчеты по нелинейной системе уравнений, показали, что для l/w=1.5 при г=4.6, через определенный промежуток времени возникает трех ячеистое движение (рис. 4.1), при увеличении амплитуды модуляции, с течением времени происходит перестройка режимов конвекции, изменяется количество ячеек и направление движения (рис. 4.2).

0.в -

04 •

Рис. 4.1. Зависимость усредненного числа Нуссельта от времени, справа пока-

1

заны линии тока и под ними изотермы при На =-0.5 Я =0.5, [¡ц/=1.5 и г=4.6.

Рис. 4.2. Зависимость усредненного числа Нуссельта от времени, справа показаны линии тока и под ними изотермы в различные моменты времени, =-0.5 Я =0.5, 1/-и, =1.5 и г=5.5.

Получено, что для каждой пары надкритических чисел Релея в случае постоянных граничных условий существует несколько стационарных режимов, отличающихся либо количеством конвективных ячеек, либо направлением движения. Модуляция градиента температуры приводит к тому, что число Нуссельта при малых амплитудах модуляции колеблется около установившихся решений, с увеличением амплитуды модуляции, возмущения установившихся движений нарастают, и в результате их слияния образуется единственное решение. При дальнейшем возрастании амплитуды модуляции может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений в различные моменты времени. При подогреве сверху имеется область установившихся колебательных возмущений, в которой тепловой поток направлен вниз, при этом возникает двух ячеистая концентрационная конвекция. В этой области модуляция градиента температуры с достаточной амплитудой вызывает периодические потоки тепла вверх.

Для случая конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при стационарных граничных условиях в параграфе

О ГА «Л СИЛ. >>А> •

Рис. 4.4. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от времени ( =-/ =1.9;, справа показаны линии тока и изолинии концентрации примеси, соответствующие соответственно линиям (1), (2).

3.2 по линейной теории построена карта устойчивости на плоскости диффузионных чисел Рэлея (рис. 4.3)

Рис. 4.3 Карта устойчивости трехкомпо-нентной изотермической смеси при стационарных граничных условиях.

Rj\, Rj 2 -¿Ф

Ак1 "" Аж1 фузионные числа Рэлея

При пересечении луча ВА снизу вверх имеет место колебательная неустойчивость, а при пересечении луча ВС - монотонная. Над ломаной ABC, имеет место неустойчивость для всех частот и амплитуд.

Численный расчет на основе нелинейной системы дифференциальных уравнений, описывающих концентрационную конвекцию изотермической трехкомпо-нентной смеси в пористом прямоугольнике, показал, что на карте диффузионных чисел Релея (рис. 4.3) при стационарных граничных условиях имеется область подкритической неустойчивости, которая изображена на рис. 4.3 (заштрихованная область угла ABC). Для остальных пар значений диффузионных чисел Релея ниже ABC в отсутствии модуляции, решения нелинейной задачи полностью подтверждают линейную теорию, т.е. при всех начальных условиях возмущения затухают. Например, при R'¿2 =-1 R'dl=l.9 (область подкритической неустойчивосги), в отсутствии модуляции, для разных начальных условий имеются два стационарных течения (линии 1 и 2, рис. 4.4) и одно затухающее (линия 3, рис. 4.4), причем течения 1 и 2 двух ячеистые и разнона-правленые.

Рис. 4.5. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от времени ( R'd2 =-1 R'dl -1.9): а) при частоте модуляции градиента концентрации w=l и г=0.1, Ъ) при w=l и г=0.5, с) при w=l и г=1. (линии 1,2,3 соответствуют различным начальным условиям).ф линии тока и изолинии концентрации при w =1, г=1 в различные моменты времени ( R'd2 =-1 R'd] =1.9).

При модуляции градиента концентрации с малыми амплитудами, числа Нуссельта колеблются вокруг соответствующих стационарных решений (рис. 4.5а). Течения по-прежнему двух ячеистые и противоположно направленные. Для амплитуд порядка 0.5 при любых начальных условиях возмущения затухают (рис. 4.5Ь). При дальнейшем увеличении амплитуды, для любых начальных условий имеется единственное решение (рис. 4.5с), при этом с течением времени течения могут быть как двух ячеистыми, так и четырех ячеистыми, возможна и смена направлений движения (рис. 4.5d).

В надкритической области (над ломанной ABC , рис. 4.3), прилегающей к границе устойчивости при R'd2 < -2, при постоянных граничных

условиях имеется стационарное (1) и установившееся колебательное (2) движение (рис. 4.6), соответствующие различным начальным условиям. Движения двух ячеистые сонаправленные. При возрастании R'd] движения только стационарные противоположно направленные.

При R'd2 > -2 для различных начальных условий вблизи границы устойчивости имеется два двух ячеистых противоположно направленных ста-

Рис. 4.7. Зависимость диффузионного числа Нусселъта от времени при постоянных граничных условиях, (1,2) - стационарное двух ячеистое движение, (3,4) - стационарное четырех ячеистое ( =2 К'^ =1). Справа линии

тока и под ними изолинии, соответственно для линий (1) и (3). Для линий (2) и (4) течения противоположны соответственно (I) и (3).

Модуляция градиента концентрации при надкритических числах Релея приводит к тому, что для любых частот при малых амплитудах модуляции появляются колебания около стационарных или установившегося колебательного решений (рис. 4.8а, Ь), число ячеек при этом соответствует их числу при постоянных граничных условиях (рис. 4.6, 4.7). С возрастанием амплитуды модуляции возмущения исходных движений нарастают, и в результате возникает одно установившееся решение (рис 4.8с,с1). При этом линии (1), (2) рис. 4.8а, сливаясь, принимают вид зависимости на фиг. 4.8с, а линии (1)-(4) рис.

о 2оо 400 600 еда ■< о '

Рис. 4.6. Зависимость усредненного диффузионного числа Нусселъта от времени при постоянных граничных условиях, (1) - стационарное движение, (2) - установившееся колебательное ( К'гП = -3, л ¿л =-5-4/> справа линии тока и под ними изолинии, соответственно для линий (1) и (2).

ционарных решения. При движении вверх по оси получаем по две пары

разнонаправленных движений, причем одна пара (1), (2) соответствует двух ячеистому движению, а вторая (3), (4) - четырех ячеистому (рис. 4.7).

4.8Ь переходят в одно установившееся решение (рис. 4.8с1). Количество конвективных ячеек сохраняется на всем временном диапазоне.

В случае достаточно больших амплитуд модуляции с течением времени может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений.

В Приложении 1 приведена программа расчета зависимости теплового потока от времени, функции тока и изотерм, составленная на языке программирования Дельфи.

Рис. 4.8. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от времени при модуляции граничных условий а) при = -3, с час-

тотой 1/м>=10 и амплитудой г=0.05, (1) - вокруг стационарного режима, (2) -около установившегося колебательного; Ъ) при с частотой

1А\>=1 и амплитудой г=0.1; с) при К[;2 = К'^ =5.2 с частотой 1/м>=10 и амплитудой г=0.1; ф при л',2 л",. =7 с частотой 1/м>=1 и амплитудой г=1.

Заключение

1. Обнаружено, что модуляция равновесного градиента температуры в полости, заполненной бинарной смесью может, как дестабилизировать механическое равновесие смеси (в сравнении со случаем стационарных граничных условий), так и стабилизировать его, что можно объяснить наличием силы инерции. Показано, что точкам области равновесия смеси (при отсутствии модуляции), на плоскости амплитуда-частота модуляции соответствует нейтральная кривая, ниже которой возмущения затухают, выше - нарастают. Имеются нейтральные кривые: «целого» типа (период колебаний соответствует периоду модуляции), «полуцелого» типа (период колебаний вдвое больше периода модуляции), и «смешанного» типа, которые состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типа.

2. Показано, что в области параметрической стабилизации скин-эффект приводит к увеличению критической амплитуды наступления стабилизации. В области равновесия смеси (при отсутствии модуляции), скин-эффект является стабилизирующим фактором при больших частотах и дестабилизирует равновесие с уменьшением частоты. При достаточно малых частотах влияние скин-эффекта не сказывается.

3. В случае конвекции бинарной смеси в пористом прямоугольнике, модуляция градиента температуры играет только дестабилизирующую роль (в отличие от случая бинарной смеси в полости). Выявлено, что структуры нейтральных кривых в случаях отсутствия и наличия примеси в газах качественно совпадают.

4. В случае фильтрационной конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике, модуляция градиента концентрации играет только дестабилизирующую роль. Над границей устойчивости (при отсутствии модуляции) сохраняется неустойчивость для всех частот и амплитуд. В области равновесия смесей при стационарных граничных условиях, структуры нейтральных кривых в случаях бинарной и трехкомпонентной изотермических смесей качественно различны. Для трехкомпонентной изотермической смеси эта область разбита на три подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа.

5. Для случая постоянных граничных условий построены зависимости безразмерного потока тепла (число Нуссельта) от времени при различных режимах конвекции. Для каждой пары надкритических чисел Релея существует несколько стационарных режимов, отличающихся либо количеством конвективных ячеек, либо направлением движения. При подогреве сверху имеется область установившихся колебательных возмущений, в которой тепловой поток направлен вниз, при этом возникает двух ячеистая концентрационная конвекция.

6. Для случая фильтрационной конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при стационарных граничных условиях имеет место эффект подкритической неустойчивости. То есть, на карте

диффузионных чисел Релея в области устойчивости смеси имеется подобласть, где одновременно устойчивы два стационарных решения, отличающихся направлением циркуляции, и механическое равновесие, в зависимости от начальных условий реализуется одно из этих решений.

7. При модуляции граничных условий для случаев как бинарной, так и трехкомпонентной смесей, линейная теория завышает критическую амплитуду потери устойчивости, т. е. дает границу условной устойчивости (устойчиво относительно бесконечно малых возмущений, и не устойчиво относительно конечных). Модуляция градиента температуры приводит к тому, что число Нуссельта (тепловое и диффузионное) при малых амплитудах модуляции колеблется около установившихся решений, с увеличением амплитуды модуляции, возмущения установившихся движений нарастают, и в результате их слияния образуется единственное решение. При дальнейшем возрастании амплитуды модуляции может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений в различные моменты времени.

Основные публикации по теме диссертации

1. Магомедов K.M., Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах конвективной устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах // Журн. «Вестник ДНЦ РАН»,1999, №5. С.46-50. (из перечня ВАК)

2. Рамазанов М.М., Зульпукарова 3.3., Булгакова Н.С. Влияние адсорбции на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальном пористом слое// Журн. "Вестник ДНЦ РАН", 2001, № 11. С.1-5. (из перечня ВАК)

3. Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси при низкочастотной модуляции градиента температуры.// Журн. "Вестник ДНЦ РАН", 2007, №28. С. 18-24. (из перечня ВАК)

4. Булгакова Н.С., Рамазанов М.М. Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси при модуляции градиента температуры)/ Изв. РАН.МЖГ, №3. 2010. С. 22-32. (из перечня ВАК)

5. Булгакова Н.С. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры.// Известия вузов Северокавказского региона: Естественные науки. № 1 (153). Ростов-на-Дону, 2010. С. 26-30. (из перечня ВАК)

6. Булгакова Н.С. Конвективная устойчивость трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента одной из компонент.// Вестник ДНЦ. №38. 2010. С.13-20. (из перечня ВАК)

7. Булгакова Н.С. Конвективная устойчивость бинарной смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры.// Известия вузов Северокавказского региона: Естественные науки. Ростов-на-Дону 2011. №3. С. 22-26. (из перечня ВАК)

8. Булгакова Н.С. Условие возникновения и нелинейные режимы конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольни-

ке при условии модуляции градиента концентрации// (в печати, Изв. РАН МЖГ) (из перечня ВАК)

9. Булгакова Н.С. Нелинейные режимы конвекции бинарной смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры// (в печати, «Вестник» ДНЦ РАН) (из перечня ВАК)

10. Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах// Тез. докл. Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала: РАН ДНЦ, 1999.- С.129-130.

11. Булгакова Н.С.Конвективная устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничных температур// Материалы международной конференции "Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы", Махачкала, 2005.С.283-287.

12. Булгакова Н.С. Влияние низкочастотной модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси// Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов. Материалы конференции, посвященной 70-летию со дня рождения Магомедова K.M. Махачкала, 2006, С. 226-230.

13. Булгакова Н.С. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси при модуляции граничных температур// Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов. Материалы II Школы молодых ученых. 18-22 сентября 2008 г. Махачкала: АЛЕФ, 2008, С. 247-253.

14. Булгакова Н.С. Влияние модуляции граничной температуры на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости// Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы Международной конференции, Махачкала, 2010. С. 26-28.

15. Булгакова Н.С. Численное исследование влияния переменного градиента температуры на конвективную устойчивость бинарной газовой смеси в пористом прямоугольнике// Материалы II Международной конференции «Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы». Махачкала, 2010. С. 354-360.

16. Булгакова Н.С. Конвекция трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике в условиях переменного градиента концентрации одной из компонент// Материалы II Школы молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала. 2010. С.247-252.

Подписано в печать 02.09.2011г. Формат 60х841Л6. Печать ризографная. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. п. л. 1. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии АЛЕФ, ИП Овчинников М.А. Тел.: +7-928-264-88-64, +7-903-477-55-64, +7-988-2000-164

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Конвективный теплообмен.

1.1. Конвекция в полости.

1.2. Конвекция в пористой среде.

1.3. Конвекция при наличии переменного параметра в системе.

1.4. Нелинейные режимы конвекции.

ГЛАВА 2. Влияние модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси

2.1. Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной газовой смеси при модуляции градиента температуры.

2.2. Конвективная устойчивость горизонтального слоя вязкой бинарной смеси при низкочастотной модуляции градиента температуры.

2.3. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры.

ГЛАВА 3. Влияние модуляции граничных условий на конвективную устойчивость смеси в пористом прямоугольнике.

3.1. Конвективная устойчивость бинарной смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры.

3.2. Конвективная устойчивость трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента одной из компонент.

ГЛАВА 4. Нелинейные режимы конвекции при модуляции некоторого параметра гидродинамической системы.

4.1. Влияние модуляции градиента температуры на нелинейные режимы конвекции бинарной смеси в пористом прямоугольнике.

4.2. Нелинейные режимы конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при условии модуляции градиента концентрации.

Одним из видов тепломассообмена является процесс переноса тепла, происходящий в движущихся текучих средах (жидкостях либо газах) и обусловленный совместным действием двух механизмов переноса тепла: собственно конвективного переноса и теплопроводности - конвективный теплообмен. Таким образом, в случае конвективного теплообмена распространение тепла в пространстве осуществляется за счет переноса тепла при перемещении текучей среды из области с более высокой температурой в область с меньшей температурой, а также за счет теплового движения микрочастиц и обмена кинетической энергией между ними. В связи с тем, что для неэлектропроводных сред интенсивность конвективного переноса очень велика по сравнению с теплопроводностью, последняя при ламинарном течении играет роль лишь для переноса тепла в направлении, поперечном течению среды. Роль теплопроводности при конвективном теплообмене более значительна при движении электропроводных сред (например, жидких металлов). В этом случае теплопроводность существенно влияет и на перенос тепла в направлении движения жидкости. Участие теплопроводности в процессах конвективного теплообмена приводит к тому, что на эти процессы оказывают существенное влияние теплофизические свойства среды: коэффициент теплопроводности, теплоемкость, плотность.

Наиболее интересным с точки зрения технических приложений случаем конвективного теплообмена является конвективная теплоотдача, то есть процесс двух конвективных теплообменов, протекающий на границе раздела двух фаз (твердой и жидкой, твердой и газообразной, жидкой и газообразной). При этом задача расчета состоит в нахождении плотности теплового потока на границе раздела фаз, то есть величины, показывающей, какое количество тепла получает или отдает единица поверхности раздела фаз за единицу времени. Помимо указанных выше факторов, влияющих на процесс конвективных течений, плотность теплового потока зависит также от формы и размеров тела, от степени шероховатости поверхности, а также от температур поверхности и теп-лоотдающей или тепловоспринимающей среды.

Основная часть тепловой энергии трансформируется в различных тепло-обменных аппаратах. С ростом энергетических мощностей и объема производства все более увеличиваются габариты применяемых теплообменников. Уменьшение объема, создание более компактных теплообменников могут обеспечить значительную экономию материалов и металлов, понизить затраты труда. Повышение энергетической эффективности и компактности теплообменников тесно связано с интенсификацией процесса теплообмена.

В современных мощных энергетических и технологических установках превалирующую роль играют стационарные процессы конвективного теплопе-реноса, которые характерны для рекуператоров и теплообменников с внутренними источниками энергии. В рекуперативных аппаратах тепло передается* от горячего теплоносителя к холодному через твердую стенку.

Циркуляция теплоносителя в конвективных теплообменниках, вынужденная, и интенсивность теплообмена, а тем самым и теплообменная поверхность, в значительной степени зависят от рода теплоносителя. Например, при одинаковых условиях и скоростях потока коэффициент теплоотдачи в потоке воды обычно на один - два порядка выше, чем в потоке воздуха. Однако воздух в неограниченном' количестве- находится в атмосфере Земли, он менее агрессивен, чем вода, не вызывает коррозии и солевых отложений, что позволяет применять при изготовлении теплообменников более дешевые углеродистые стали или легкие сплавы.

Как известно, при взаимодействии твердой теплопередающей непроницаемой поверхности с омывающим ее потоком образуется пограничный слой, оказывающий основное сопротивление теплопередаче. Чем больше толщина теплового пограничного слоя и чем ниже теплопроводность теплоносителя, тем меньше теплоотдача. Увеличить теплосъем можно разными путями, в первую очередь подбором теплоносителя.

Определив теплоноситель с учетом его теплофизических свойств, можно рассматривать вопрос интенсификации теплообмена за счет выбора надлежащего гидродинамического режима. Наиболее выгодным в отношении теплообмена гидродинамическим режимом является турбулентный или переходной режим в пограничном слое, но естественное развитие турбулентности начинается при весьма высокой скорости потока, а следовательно, и значительном - гидравлическом сопротивлении. Поэтому во многих случаях для интенсификации конвективного теплообмена необходима либо искусственная турбулизация пограничного слоя, позволяющая перенести процесс теплообмена из ламинарной области в турбулентную, либо уменьшение толщины или разрушение пограничного слоя. Дальнейшее развитие современных эффективных энергетических установок и теплообменников базируется на последних достижениях теории теплообмена [24]. В этой связи, можно рассмотреть задачу о смешанной конвекции в теплообменнике, при этом учесть влияние переменного градиента температуры на скорость течения флюида.

Рассмотренные в представленной работе вопросы также связаны с проблемой теплоизоляции, которая призвана уменьшать тепловой поток через материал. К теплоизоляционным относятся легкие, обычно пористые материалы, имеющие низкий коэффициент теплопроводности. Теплоизоляционные свойства материала зависят от количества и характера пор. Передача теплоты, например, в легком бетоне происходит через каменный остов материала вследствие1 теплопроводности и через поры, заполненные воздухом, путем конвекции. Чем меньше размер пор, тем меньшей подвижностью будет обладать в них воздух, передавая минимальное количество теплоты, и тем более высокими теплозащитными показателями будет обладать бетон. Но температура окружающей среды периодически меняется в зависимости от скорости ветра, смены дня и ночи, поэтому при расчете коэффициента теплопроводности теплоизолятора желательно учитывать колебания температуры на его границах.

В последние десятилетия стала очень актуальной задача тепломассопере-носа в расплаве при выращивании кристаллов в связи с развитием новых технологий, которые были бы невозможны в отсутствие полупроводниковых монокристаллов. Поскольку для нужд новых технологий нужны кристаллы наилучшего качества, то встал вопрос о том, чтобы улучшать структуру кристалла, влияя на процесс кристаллизации. Получение монокристаллов полупроводников и целого ряда других материалов, используемых в электронной технике, осуществляют в основном методами, которые разделяются на три группы: кристаллизация из расплава, из твердой или из газовой фазы. Конфигурация теплового поля и процессы конвективного тепломассопереноса в кристаллизационной среде являются основополагающими факторами при выращивании кристаллов многих материалов. В последнее время наблюдается устойчивая тенденция к поиску оптимальных условий выращивания кристаллов. При выращивании некоторых материалов (например, боратов) из растворов-расплавов, обладающих высокими значениями динамической вязкости, конвективное движение жидкости проявляется в очень малой степени. Вследствие недостаточного перемешивания нарушается однородность раствора-расплава, что может приводить к гравитационной или иной дифференциации, и получение качественного кристалла становится проблематичным или даже невозможным. В стационарных тепловых полях могут возникать естественно-конвективные течения, только в радиальном направлении, что, как правило, не обеспечивает достаточное перемешивание в кристаллизационной среде вблизи фронта кристаллизации. В результате в кристаллах проявляется "фундаментальная" слоистость, ухудшающая качество выращиваемых кристаллов [56,5]. В таких случаях принудительное перемешивание раствора-расплава может быть достигнуто использованием формообразователя-мешалки, вращением кристалла и/или тигля. Эти методы так или иначе основаны на активном (контактном) воздействии какого-либо конкретного физического тела на расплав. При этом, как правило, возникают вибрации вращательных механизмов и необходимость создания зазоров и/или уплотнений, усложняющих ростовые установки и, главное, вносящих элемент случайных возмущающих воздействий на процесс роста кристалла и являющихся источниками загрязнений [36].

В этой связи, необходимы исследования в области управления конвективным движением расплава бесконтактным способом. Например, путем воздействия на осесимметричное тепловое поле и на процесс вынужденной конвекции в ростовом объеме, основанное на бесконтактном возбуждении азимутальных круговых течений - вынужденной конвекции в ростовом объеме посредством вращения теплового поля [35]. Результаты исследований влияния модулируемых параметров на конвективную устойчивость гидродинамической системы и развитие нелинейных режимов конвекции также могут быть использованы применительно к задачам выращивания кристаллов.

Кроме того, конвективный теплообмен играет важную роль в формировании месторождений термальных вод конвекционного типа. До глубины 20-25 м температура верхних слоев земной коры испытывает сезонные колебания. На этой глубине расположен нейтральный слой, температура в котором равна средней годовой температуре воздуха на поверхности Земли. Ниже нейтрального слоя находится геотермическая зона, на температуру которой влияет тепло, генерируемое самой Землей. Под геотермической энергией понимают физическое тепло глубинных слоев Земли, имеющих температуру, превышающую температуру воздуха на поверхности. В качестве носителей этой энергии могут выступать как жидкие флюиды, так и сухие горные породы. Сухие и пористые породы обладают меньшим коэффициентом теплопроводности, чем монолитные и влажные. Наличие'в порах пород движущейсяI жидкости изменяет механизм теплопереноса, добавляя к кондуктивному конвективный теплоперенос. Несмотря на то, что конвективный перенос тепла не является главной причиной теплопереноса, подземные флюиды и, прежде всего, воды занимают особое место в общем переносе тепла Земли благодаря их высокой миграционной способности, значительной теплоемкости и участию в геологических процессах. Подземные воды при движении перераспределяют тепловой поток, вызывая тепловые аномалии [1].

Внимание к использованию тепла Земли усилилось уже давно. Распределение тепловых потоков, пространственное и временное распределение температур, энергии внутри Земли и планет, преобразование видов энергии изучает геотермия, которая сложилась как раздел геофизики. С другой стороны, геотермия изучает локальные области земных недр как объекты геотермальной энергетики. С точки зрения теоретической геотермии явления и процессы теплового режима Земных недр описываются физико-математическими моделями. Изучение этих моделей основано на достижениях механики сплошных сред и физики, прежде всего термодинамики. Институт проблем геотермии, в котором выполнена представленная работа, занимается комплексным изучением источника геотермальной энергии методами физики, механики, химии, информатики с максимальным использованием возможностей математического моделирования [52]. Важное место в исследованиях института проблем геотермии ДНЦ РАН принадлежит созданию теории геотермальных циркуляционных систем [51, 15]. Выявлены основные критерии для выбора геологических объектов при создании конкурентоспособных с традиционными системами, систем геотермального теплоснабжения [26,6]. Ведутся исследования по проектированию ГеоТЭС с различными вариантами ее подземной, и наземной составляющих на базе среднепотенциальных термальных вод. Подробно изучены возможные термодинамические циклы в объектах геотермальной энергетики [2, 3]. Рассмотрен общий случай тепломассопереноса на основе теории неравновесной термодинамики [50]. Исследованы устойчивость механического равновесия и движения жидкости в пористых средах [49; 48].

Происхождение термальных вод может быть связано с деятельностью тепловых очагов, но чаще всего вода, тем или иным способом попадая в пласт породы, совершает долгий путь, пока не приходит в контакт с тепловым потоком или постепенно разогревается, отбирая тепло у пород. В зависимости от глубины проникновения инфильтрационных вод они становятся более или менее нагретыми. Инфильтрационные гидротермы способны изливаться на поверхность в виде горячих источников, если существует возможность разгрузки воды на поверхность по разломам, выклиниваниям слоев, что происходит в более низких относительно области питания участках. Причем, чтобы вода оставалась термальной, подъем ее к поверхности должен происходить очень быстро, например, по широким трещинам разломов. При медленном подъеме гидротермы остывают, отдавая аккумулированное тепло вмещающим породам. Однако, еели пробурить скважину на глубину 3-4 тыс. м и обеспечить быстрый подъем воды, можно получить термальный раствор с температурой до 100 °С. Все это касается областей со средними геотермическими показателями и не относится к вулканическим районам или зонам недавнего горнообразования. В США и странах Евросоюза в качестве низкотемпературных источников тепла для систем отопления и горячего водоснабжения с использованием насосов применяют грунтовые теплообменники. Скважинные теплообменники используются также и в России для теплоснабжения зданий. В работе [4] проведено численное исследование задачи о нестационарном конвективном теплообмене в системе вертикальная скважина - водоносный горизонт. Определены условия, при которых конвекция вносит заметный вклад в теплообмен. Установлены количественные и качественные закономерности зависимости теплового потока в скважину от времени при различных числах Рэлея и толщинах проницаемого слоя пород.

К месторождениям конвекционного типа относятся также гидротермальные проявления так называемых рифтовых зон, характеризующихся активным тектоническим режимом и умеренно повышенными геотермическими градиентами - 45-70 °С/км [21]. Жидкая фаза воды и тепло могут происходить из одного источника лишь в том случае, если таковым является остывающий магматический расплав. Перегретая вода в виде паровых струй выделяется из расплава вместе с газами и легколетучими компонентами, устремляясь в верхние, более-холодные горизонты. Повышенный тепловой поток в рифтовых зонах связан с многочисленными, неглубоко залегающими магматическими очагами, из которых происходят излияния магмы, наращивающей океаническое дно. Обнаруженные сравнительно недавно (в 70-х годах), магматические образования на дне океана «черные курильщики» позволили определить условия, в которых формировались медно-колчеданные месторождения геологического прошлого [32]. В этой работе показано, что гидротермальная деятельность в рифтовых зонах океанов протекала неравномерно а периодически, то усиливаясь, то затухая, что связано со скоростью тектонического раскрытия рифтов. В [22] выдвинута гипотеза образования газогидратных залежей на мелководных склонах и срединно-океанических хребтов в результате действия двух факторов: тепловой конвекции воды в трещиновато-пористых породах коры и реакции серпентини-зации коры. При серпентинизации происходит интенсивное выделение углеводородов, а условия конвекции воды в пористой среде способствуют формированию и аккумуляции газогидратов в приповерхностных слоях океанической коры. (Серпентинизация - процесс изменения (гидратации) силикатных горных пород (дуниты и оливиниты) под воздействием термальных водных растворов, выражающийся в замещении безводных магнезиальных силикатов минералами группы Серпентина; в результате образуются Серпентиниты). Большую роль конвективный тепло- и массоперенос играет также в процессе концентрации рудных и углеводородных компонентов в формировании-соответствующих месторождений, при этом важное значение имеет структура и режим конвекции [43]. Гравитационная конвекция является одним из механизмов циркуляции флюидов в земной коре, для которого требуются относительно хорошая »проницаемость и большие градиенты температуры. Фильтрация- в пористой среде с. жестким скелетом изучена довольно подробно. Учет деформаций скелета пористой среды сразу создает множество проблем. Взаимодействие флюида и скелета не сводится к простому суммированию процессов фильтрации в среде с жестким скелетом и деформирования однофазной среды скелета. Поэтому необходимо помнить о границах применимости тех или иных математических моделей пористых сред. Другой подход связан с рассмотрением таких важнейших механизмов флюидодинамических процессов в верхней коре как дилатан-сия и компакция [28]. Дилатансионный эффект связан со сдвиговым напряжением трещиноватых пороупругих слоев. Он сопровождается резким понижение порового давления. В момент землетрясения в его очаге образуются крупные трещины и даже полости, в которые засасываются флюиды. После релаксации сдвиговых напряжений имеет место упругая консолидация трещиноватой зоны под действием веса вышележащих пород. Дилатансия и консолидация, действуя совместно, создают направленное движение флюидов в земной коре на большие расстояния. Вязкая консолидация (компакция) связана с динамикой поровязких сред. К поровязким средам относятся частично расплавленные горные породы, зыбучие пески, илы, водонасыщенные глины и т.д. В последние годы появились работы, в которых фигурируют вязкоупругие модули пористых сред. Данное направление еще не вполне сформировалось и наталкивается с определенными трудностями. Одна из этих трудностей связана с оценкой реологических параметров из данных наблюдений. Можно предположить, что механизмы дилатансии и компакции, связанные с тектоническими напряжениями, существенным образом влияют на флюидодинамические процессы в верхней коре и являются причиной образования наблюдаемого распределения рудных месторождений.

В районах расположения современных или недавно потухших вулканов, на поверхность выходят не только горячие воды, но и пароводяная смесь с температурой до 200 °С и более. На сегодняшний день все геотермальные электростанции работают в районах современного вулканизма. Для высокотемпературных гидротермальных систем источником тепла могут быть только магматические камеры. В работах [59, 58] показана кривая флуктуации мощности вулканизма на Камчатке за последние 850 тыс.лет. Из этой кривой видно, что мощность вулканической деятельности носит колебательный характер, что- естественно отражается и на гидротермальной активности. Поэтому наличие конвекции в данный момент может зависеть от градиента температуры, который существовал 100 тыс лет назад. В этой связи, данная работа важна для описания процессов, происходящих при распространении флюида в пористых пластах при наличии переменного геотермального градиента.

Таким образом, процессы свободноконвективного переноса имеют важное значение для таких областей науки как геотермия, теплоэнергетика, океанология, климатология, химическая технология, ракетная техника, холодильная техника, микроэлектроника и другие. Поэтому неудивительно, что свободной конвекции посвящено огромное число публикаций. Тем не менее, многие вопросы в этой области, как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения не решены в полной мере. Понимание свойств конвекции и характера влияния различных осложняющих факторов на устойчивость способствует созданию и совершенствованию методов управления устойчивостью течений и равновесия.

Наличие переменного параметра в гидродинамической системе может существенно повлиять на ее устойчивость. В случае модуляции градиента температуры или ускорения поля тяжести, при определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости. Для случая однокомпонентной жидкости эти явления описаны Гершуни Г.З., Жуховицким Е.М (1972 г). Но простейшие модели однокомпонентной жидкости не всегда адекватно описывают гидротермальные процессы. При этом могут искажаться структура и характер конвективных течений. Поэтому изучение влияния примесей на особенности конвективного течения имеет важное прикладное значение.

С точки зрения геотермических отложений воды в пористой горной породе" интересен вид течения-, возникающего при переносе энергии сквозь пористое твердое тело, насыщенное жидкостью. Разность температур вызывает выталкивающую силу и приводит к циркуляции жидкости сквозь пористую среду. Скорости, вызванные выталкивающей силой, большей частью очень малы из-за большого влияния' вязкости на течение в. узких каналах. Теории конвекции жидкости в пористых средах посвящено большое количество работ как зарубежных так и отечественных авторов. Многие работы, концентрируются на случае простой жидкости или газа в пористой среде. Д.А. Нилдом (1968 г.) решена задача о конвективной устойчивости бинарной смеси в пористой среде, X. Брандом (1982 г.) исследована конвективная неустойчивость бинарных смесей в пористой среде при подогреве снизу или сверху. Различными авторами исследованы пористые среды разной геометрии, кроме того, проведены исследования фильтрационной конвекции многокомпонентных жидкостей, рассмотрены свободная и принудительная конвекция вокруг линейных источников тепла и нагретых цилиндров в пористых средах.

Данная диссертационная работа посвящена изучению влияния модулируемых градиентов температуры и концентрации на условия возникновения конвективных течений смесей, а также на нелинейные режимы конвекции в пористой среде.

Работа состоит из введения и четырех глав. Первая глава содержит краткий обзор работ, имеющих отношение к теме диссертации. Приведены некоторые результаты работ по изучению конвекции флюида в полости и в пористых средах, результаты исследований влияния переменного параметра в гидродинамической системе на ее конвективную устойчивость, результаты анализа развития возмущений в надкритических условиях, указаны некоторые направления исследования в этой области.

Основные результаты исследований, выполненных в диссертационной работе:

1. Численно исследована свободная конвекция бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции градиента температуры около некоторого среднего значения. В* плоскости частота - амплитуда модуляции над границей устойчивости (при отсутствии модуляции) имеются области параметрической стабилизации, которые возникают и с учетом скин-эффекга и без него. Скин-эффект приводит к увеличению критической амплитуды наступления стабилизации. При этом над частью указанной границы, связанной с колебательными возмущениями, стабилизация вызвана* квазипериодическими решениями: В отличие от случая однородной жидкости, здесь имеются ситуации, когда основная подобласть стабилизации ограничена критической частотой, ниже которой стабилизация невозможна. В. случае однородной жидкости эта область неограниченна, хотя и быстро сужается с уменьшением частоты.

В области равновесия смеси (при отсутствии модуляции) каждой точке на плоскости амплитуда-частота модуляции соответствует нейтральная кривая, ниже которой возмущения затухают, выше - нарастают. Данная область в пределе низких частот разбита на подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа: «целого» (период колебаний соответствует периоду модуляции), «полуцелого» (период колебаний вдвое больше периода модуляции) и «смешанного» типа, которые состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типа. Скин-эффект является стабилизирующим фактором при больших частотах и дестабилизирует равновесие с уменьшением частоты. При достаточно малых частотах влияние скин-эффекта не сказывается.

2. Сравнительный анализ результатов исследований конвективной устойчивости горизонтального слоя вязкой бинарной смеси при модуляции градиента температуры с результатами, полученными для пористой среды [64], показал, что качественно результаты исследования влияния^ модуляции совпали.

Важным отличием результатов исследования конвективной устойчивости смеси в полости является наличие участков параметрической стабилизации для определенного интервала изменения амплитуды и частоты. То есть, модуляция равновесного градиента температуры в данном случае может, как дестабилизировать механическое равновесие смеси (ниже границы устойчивости в плоскости чисел Рэлея), так и стабилизировать его (над границей устойчивости), что можно объяснить наличием силы инерции. Причем стабилизация происходит в области монотонной неустойчивости.

В области равновесия смеси (при отсутствии модуляции), в данной постановке задачи, скин-эффект приводит к стабилизации равновесия при больших частотах модуляции и не является дестабилизирующим фактором с уменьшением частоты, как это было в случае с пористой средой^ [62]. При достаточно малых частотах влияние скин-эффекта не сказывается. Над границей устойчивости (при стационарных.граничных условиях), скин-эффект приводит к увеличению критической амплитуды возникновения стабилизации.

3. Численно исследована конвективная устойчивость бинарной смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры около некоторого среднего значения. В"отличие от случая:бинарной смеси-в полости, выданном случае модуляция параметров играет только дестабилизирующую роль.

В области равновесия смеси, нейтральные кривые могут быть «целого», либо «полуцелого», либо состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типов. Структуры нейтральных кривых в случаях отсутствия и наличия примеси в газах качественно совпадают.

4. Численно исследована конвективная устойчивость трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента одной из компонент около некоторого среднего значения. В плоскости частота -амплитуда модуляции над границей устойчивости (при отсутствии модуляции) сохраняется неустойчивость для всех частот и амплитуд.

В области равновесия смеси (при отсутствии модуляции), структуры нейтральных кривых в случаях бинарной и трехкомпонентной изотермических смесей качественно различны. Для трехкомпонентной смеси эта область разбита на три подобласти, которым соответствуют нейтральные, кривые одинакового типа. Концентрационный скин-эффект является стабилизирующим фактором при больших частотах и дестабилизирует равновесие с уменьшением частоты. При достаточно малых частотах влияние скин-эффекта не сказывается.

5. Приведен анализ результатов исследования свободной конвекции? бинарной смеси газов в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры около некоторого среднего значения^ на основе полных дифференциальных уравнений. Расчеты показали, что при стационарных граничных условиях граница устойчивости, полученная по линеаризованным уравнениям (п. З), достаточно точно разделяет установившиеся/ и затухающие решения нелинейной задачи. Выявлено, что при модуляции градиента температуры, линейная теория завышает критическую амплитуду потери устойчивости, т. е. дает границу условной устойчивости (устойчиво- относительно бесконечно5 малых возмущений, и не устойчиво относительно конечных). Построены зависимости безразмерного потока тепла (число Нуссельта) от времени при различных режимах конвекции.

Получено, что для каждой .пары надкритических чисел Релея в случае постоянных граничных условий существует несколько стационарных режимов, отличающихся либо количеством конвективных ячеек, либо направлением движения. Модуляция градиента температуры приводит к тому, что число Нуссельта при малых амплитудах модуляции колеблется около установившихся решений, с увеличением амплитуды модуляции, возмущения установившихся движений нарастают, и в результате их слияния; образуется единственное решение. При дальнейшем возрастании амплитуды модуляции может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений в различные моменты времени. При подогреве сверху имеется область установившихся колебательных возмущений, в которой тепловой поток направлен вниз, при этом возникает двух ячеистая концентрационная конвекция. В этой области модуляция градиента температуры с достаточной амплитудой вызывает периодические потоки тепла вверх.

6. Численно исследована свободная конвекция трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента одной из компонент около некоторого среднего значения.

Численное исследование нелинейных режимов конвекции трехкомпонентной изотермической смеси на основе полных дифференциальных уравнений показало, что при стационарных граничных условиях имеет место эффект под-критической неустойчивости. То есть, на карте диффузионных чисел Релея (построенной на основе линейной теории) в области устойчивости смеси-имеется подобласть, где одновременно устойчивы два стационарных решения, отличающихся направлением, циркуляции, и механическое равновесие. Также выявлено, что при модуляции градиента концентрации, линейная теория в некоторых случаях завышает критическую амплитуду потери устойчивости, т. е: дает границу условной устойчивости (устойчиво относительно бесконечно малых возмущений, и не устойчиво относительно конечных). Построены зависимости безразмерного потока вещества: (концентрационное число Нуссельта) от времени при различных режимах конвекции.

Получено, что для каждой пары надкритических диффузионных чисел Релея в случае постоянных граничных условий существует несколько стационарных режимов, а в некоторых областях также и установившееся колебательное движение, отличающихся либо количеством конвективных ячеек, либо направлением движения. Модуляция градиента концентрации приводит к тому, что диффузионное число Нуссельта при малых амплитудах модуляции колеблется около стационарных или установившегося колебательного решений. С увеличением амплитуды модуляции, возмущения установившихся движений нарастают, и в результате их слияния образуется единственное решение. При дальнейшем возрастании амплитуды модуляции может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений в различные моменты времени.

128

Заключение.

1. Алхасов А.Б. Геотермальная энергетика. Проблемы, ресурсы, технологии. М: Физматлит. 2008. 375с.

2. Алхасов А.Б., Абдулагатов И. Преобразование геотермальной энергии в электрическую с использованием во вторичном контуре сверхкритического цикла//Теплоэнергетика. 1998. №4. С.53-56.

3. Алхасов А.Б., Исрапилов М.И. Использование геотермальной энергии для подогрева подпиточной воды// Водоснабжение и санитарная техника. 1996. №4. С.25-26.

4. Алхасов А.Б., Рамазанов М.М., Абасов Г.М. Конвективный теплообмен между вертикальной скважиной и водоносным горизонтом// Изв. АН. Энергетика. 2009.№6. С. 144-150.

5. Аполлонов В.Н. Механизм и условия роста ритмично построенных кристаллов. ДАН, 1999, т. 364, № 1, С. 94-96.

6. Бакриева Н.С., Юсупова* М.Е. , Исрапилов М.И. и др. Нетрадиционные ресурсы региона и их экономическая оценка. Махачкала: Дагкнигоиз-дат, 1988. 230 с.

7. Бедриковецкий П.Г., Полонский Д.Г., Шапиро A.A. Анализ конвективной неустойчивости бинарной смеси в пористой среде// Изв. РАН. МЖГ. 1993. №1. С.110-119.

8. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988. 167 с.

9. Бурдэ Г.И. Численное исследование нестационарной конвекции, возникающей в условиях модуляции температуры границ. Сб. «Численные методы механики сплошной среды». Новосибирск, 2. №4, 1971. С. 16.

10. Буссе Ф., Любимов Д. В., Любимова Т. П., Седельников Г. А. Трехмерные режимы конвекции в кубической полости// Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2008. № 1. с. 3-11.

11. Вертгейм Б. А. Об условиях возникновения конвекции в бинарной смеси// ПММ, 1955, № 6, 19, С.745-750.

12. Власюк М.П., Полежаев В.И. Естественная конвекция и перенос тепла в проницаемых пористых материалах. Препринт / ИПМ АН СССР. М., 1975. № 77.78 с.

13. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвектив-ные течения, тепло- и массобмен. М.: Мир, 1991.528 с.

14. Георгиадис К. Влияние числа Прандтля на конвекцию Бернара в пористой среде // Теплопередача. 1986. №2. С.31-38

15. Геотермия/ под ред. Магомедова K.M. Вып. 1. М.: Наука. 1991. 143с.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость. Механика жидкости и газа. 11. М;: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1978. С. 66154.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.:Наука, 1972. 392 с.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 319с.

19. Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. М.: Эди-ториал УРСС, 1999. 248 с.

20. Гетлинг A.B. Формирование пространственных структур конвекции Рэ-лея-Бенара//УФН. 1991. Т. 161. С. 1-80.

21. Дворов И.М. Геотермальная энергетика. М.: Наука, 1976. 192 с.

22. Дмитриевский А.Н., Каракин A.B., Баланюк И.Е., Матвеенков В.В. Гидротермальный механизм образования углеводородов в срединно-океанических хребтах// Геология нефти и газа. 1997. №8. С.4-16.

23. Жаврин Ю.Н. Косов В.Н. Концентрационная конвекция и диффузионная устойчивость в изотермических трехкомпонентных газовых смесях //Докл. АН PK. 1996. №3. С. 22-28.

24. Жукаускас A.A. Конвективный перенос в теплообменниках. М: Наука. 1982. 472с.

25. Зюзгин А.В:, Путин Г.Ф. Динамическое управление устойчивостью механического равновесия конвективной системы. Гирдродинамика, Пермь: ПермГУ, 1998, С. 123-139.

26. Исрапилов М.И. Ресурсы углеводородов и геотермический режим осадочных бассейнов. М.: Недра, 1991. 208 с.

27. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде// Изв. РАН. МЖГ. 2004. №3. С. 123-133.

28. Каракин A.B., Курьянов Ю.А., Павленкова Н.И. Разломы, трещиноватые зоны и волноводы в верхних слоях земной оболочки. М.: Государственный научный центр Российской Федерации. ВНИИгеосистем, 2003. 230 с.

29. Карапац A.C., Рамазанов-М.М. Конвективная неустойчивость жидкости, в двухслойных насыщенных пластах// Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 1. С. 165-169.

30. Клейн И.С., Полежаев В.И. Конвективный теплообмен в проницаемых пористых средах: Препринт / ИПМ АН СССР. М., 1978. № 111. 67 с.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831с.

32. Короновский Н. В-. Гидротермальные образования в океанах// Соросов-ский Образовательный Журнал. 1999. №10. С.55-62.

33. Косов В.Н., В.Д. Селезнев, Ю.Н. Жаврин. О диффузионной неустойчивости в изотермических трехкомпонентных газовых смесях //Теплофизика и аэромеханика, 2000, том 7, № I. С. 127-135.

34. Косов В.Н., Жаврин Ю.Н. Экспериментальное исследование на диффузионную устойчивость некоторых изотермических трехкомпонентных газовых систем // Изв. АН КазССР. Сер. физ,-мат. 1990. №2. С.66- 69.

35. Кох А.Е. Метод управления процессами тепломассопереноса при выращивании кристаллов посредством изменения симметрии и вращения теплового поля// Диссертация на соискание Ученой степени дтн, 2002 , Новосибирск, 271 с.

36. Кох А.Е., Кононова Н.Г., Кох В.Е. Способ управления процессом кристаллизации и устройство для его осуществления// Патент Российской Федерации.

37. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Нелинейные режимы конвекции упру-говязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу//Изв. РАН, МЖГ, 2000, Т.1, №4, С.5-11.

38. Кэвиани. Термоконвективные неустойчивости в пористых средах // Тр. амер. об-ва инж.-мех. Сер. С// Теплопередача. 1984. Т. 106. №1. С.136-141.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, «Наука», Москва, 1964. 568 с.

40. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред, Гостехиздат, Москва, 1953. 788 с.

41. Ландау Л.Д. О проблеме турбулентности// ДАН СССР. 1944. Т. 44.С.339-342.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М: Наука, 1986.736 с.

43. Лопатников С.Л. Тепловая конвекция и образование месторождений нефти//Докл. РАН: 1995. Т. 345. № 4. С. 541-543.

44. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Муратов И. Д., Шишкина Е. А. Влияние вибраций на возникновение конвекции в системе горизонтального слоя чистой жидкости и слоя пористой среды, насыщенной жидкостью// Изв РАН МЖГ. 2008. №5. С.132-143.

45. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу// ПМТФ. 1975. №2. С. 131-137.

46. Любимов Д.В., Хеннер М.В. Об устойчивости плоскопараллельного вибрационного течения неоднородной жидкости// Сб. статьей «Гидродинамика», Пермь. 1998, С. 191-196.

47. Магомедбеков Х.Г. Свободноконвективное течение бинарной смеси в тонком пористом кольце// Изв. РАН. МЖГ. 1997. №6. С. 102-111.

48. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Гидротермальная конвекция втонком пористом кольце// Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 6. С.4-8.

49. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Линейный анализ конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальной кольцевой полости, заполненной пористой средой// Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 3. С.19-25.

50. Магомедов K.M. К теории неравновесной термодинамики фильтрации//Докл. РАН. 1998. Т.361. №6. С.768-772.

51. Магомедов K.M. О расчете геотермальных циркуляционных систем// Докл. АН СССР. 1990. Т.311. №6.С.1333-1339

52. Магомедов K.M. Теоретические основы геотермии. М. Наука, 2001. 277с.

53. Магомедов K.M., Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах конвективной устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах // Вестник ДНЦ РАН. 1999. №5. С. 46-50.

54. Магомедов K.M., Рамазанов М.М. Конвективная устойчивость флюида в коллекторах с учетом теплообмена с окружающим массин вом пород// Геотермия. Геотермальная энергетика. Махачкала, 1994.1. С. 43-49.

55. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Едитория УРСС, 2004. 432 с.

56. Мильвидский М.Г., Освенский В.Б. Проблемы современной кристаллографии. М.: Наука, 1975, с. 79-109.

57. Поляк Б.Г. Различия в вулканической активности в современных подвижных поясах// Современная тектоническая активность Земли и сейсмичность. М.: Наука. 1987. с. 206-217.

58. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,1974. 332с.

59. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

60. Рамазанов М.М. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в пористом слое при-модуляции граничной температуры// Изв. РАН. МЖГ. 2001. №2. С. 122-127.

61. Рамазанов М.М. Конвекция жидкости в тонком пористом кольце эллиптической формы при наклонном подогреве // Изв. РАН. МЖГ. 2000.№6. С.134-141.

62. Рамазанов М.М. Устойчивость бинарной смеси в пористой среде при модуляции параметров// Изв. РАН. МЖГ. 1999. №5. С. 118-125.

63. Рамазанов М.М., Булгакова Н-.С. О задачах устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах// Тез. докл. Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала: ДНЦ РАН. 1999. С. 129-130.

64. Рамазанов М.М., Зульпукарова 3.3., Булгакова Н.С. Влияние адсорбции на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальном пористом слое// Вестник ДНЦ РАН. 2001. № 11. С. 1-5:

65. Робиллард JL, Вассер Р., Нгуен Т.Н. Свободная конвекция в двумерном пористом контуре// Теплопередача. 1986. №2. С.24-30.

66. Самарский- А. А. Введение в теорию разностных схем. «Наука». М. 1971.552с.

67. Самарский A.A. Теория разностных схем. «Наука». М. 1983. 616 с.

68. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. «Наука». М., 1978. 592 с.

69. Славнова Э. И. О свободной тепловой конвекции в водных растворах солей, заполняющих вертикальную трубу круглого сечения// Инж.-физ. журнал, 1963, 6, № 3, С. 106.

70. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры// ПМТФ. 2002. Т.43. №2. С.54-61.

71. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика. М.: Мир, 1985. Т.1. 374 е., 1985. Т.2. 730 с.

72. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

73. Трубицын В.П., Николайчик В.В. Тепловая конвекция в пористых сре-дах//Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1991. №1. С. 3-18.

74. Трубицын В.П., Николайчик В.В. Численное моделирование гидротермальной циркуляции в пористых средах. М.: Деп. ВИНИ-ТИ.23.10.90.№5462-В90. 82 с.

75. Уолкер Хомси. Замечание о неустойчивости конвективного движения в пористой среде в приближении Буссинеска// Тр. амер. об-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача. 1977. №2. С. 197.

76. Уховский М. Р., Юдович В. И. Об уравнениях стационарной конвекции// Прикл. мат. мех., 1963. Т. 27 (2), С. 295-300.

77. Цянь Сюэ-Сень. Физическая механика. М.: Мир, 1965. 544с.

78. Шапошников И. Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси// ПММ, 1953, 17, № 5, 604.

79. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление// Прикл. мат. мех., 1967.'Т. 31 (1), С. 101-111.

80. Юдович В. И. О возникновении конвекции// Прикл. мат. мех., 1966, Т. 30 (6), С. 1000-1005.

81. Anderson D.A. J.C.Tannehill, R. H. Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer (Hemisphere, New York, 1984).

82. Behringer R. P., Rayleigh—Benard convection and turbulence in liquid helium, Rev. Mod. Phys. 57 (3, pt. 1), 657-687 (1985).

83. Bories S.A., Combarnous M.A. Natural convection in a sloping porous layer //J. Fluid Mech. 1973. V.57, No 1. P. 63-79.

84. Brand H., Steinberg V. Convective Instabilities in Binary Mixture in a Porous Medium. Physica. 1983. V. 119A. P. 327-338.

85. Busse F. H. Non-linear properties of thermal convection, Rep. Prog. Phys.il (12), 1929-1967(1978).

86. Castinel G., Combarnous М. Critere d'apparation de la convection naturelle dans une couche poreuse anisotrope horizontale // C.r. Acad. Sci. Ser. B. 1974. V. 278. №15. P. 701-704.

87. Chandrasekhar S., Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability (Clarendon Press, Oxford, 1961):

88. Damerell P.S., Schoenhals RJ. Flow in a toroidal thermosyphon with' angular displacement of heated and cooled sections // J. Heat Transfer. 1979. 101. P.672-676.

89. Drazin P. G., W. H. Reid, Hydrodynamic Stability (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981).

90. Elder J.W. Steady free convection in a porous medium heated from below // J.Fluid Mech. 1967. 27. P. 29-48.

91. Fletcher C.A.J. Computational Galerkin Methods, Springer Series in Computational Physics (Springer, New York, 1984).

92. Fletcher C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics, vols. 1, 2 (Springer, Berlin, 1988).

93. Gheorghitza St. I. The marginal stability in porous inhomogeneous media

94. Pros. Camb. Phil. Soc. 1961. 57. P. 871-877.

95. Gill A.E. A proof, that convection in porous vertical slab is stable // J. Fluid Mech. 1969. V.35. №3. P.545-547.

96. Gottlieb D., S. A. Orszag, Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications, NSF-CBMS Monograph no. 26 (Soc. Ind. Appl. Math., Philadelphia, 1977).

97. Haim H. Bau and Torrance K.E. Transient and steady behavior of an open, symmetrically heated free convection loop// Int. J. Heat Mass Transfer. 1981.V.24. № 4. P. 597-609.

98. IIopfE. A mathematical example displaying features of turbulence// Comm. Pure and Appl. Math. 1948. V. 1. P. 303-322.

99. Horton C.W. and Rogers F.T.Jr. Convection currents in a porous medium// J.Appl. Phys. 1945. 16. P. 367-370.

100. Joseph D. D. Stability of Fluid Motions: I, II, Springer Tracts in Natural Philosophy, vols. 27, 28 (Springer, Berlin, 1976) (Русский- перевод: Д.Джозеф, Устойчивость движений жидкости (Мир, М., 1981), 638 е.).

101. Katto Y., Masuoka Т. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium // Int. J. Heat Mass Transfer. 1967. 10. P. 297-309

102. Koschmieder E. L. Stability of supercritical Benard convection and Taylor vortex flow, Adv. Chem. Phys. 32, 109-133 (1975).

103. Koschmieder E. L. Benard Cells and Taylor Vortices, Cambridge Monographs on Mechanics and Mathematics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993).

104. Koschmieder E. L. Benard convection, Adv. Chem. Phys. 26, 177-212 (1974).

105. Lapwood E.R. Convection of a fluid in a porous medium// Proc. Camb. Phil. Soc. 1948. 44. P. 508-521.

106. Lord Rayleigh, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, Phil. Mag., ser. 6, 32 (192), 529546 (1916).

107. Mamou M., Vasseur P. Thermosolutal bifurcation phenomena in porous enclosures subject to vertical temperature and concentration gradients// J. Fluid Mech. 1999. Y.395. P. 61-87.

108. Mamou M., Vasseur P., Hasnaoui M. On numerical stability analysis of double diffusive convection in confined enclosures// J. Fluid Mech. 2001. V. 433. P.209 -250.

109. Mertol A., Greif R. A Review of Natural Circulation Loops in Natural Convection: Fundamentals and Applications / Rds. S. Kakac, W. Aung, R. Viskanta//Hemisphere. Washington. D.C., 1985.

110. Morrison H.L. Preliminary, measurements relative to the onset of thermal convection currents., in unconsolidated saunds// J*. Appl. Phys. 1947. 18. P. 849-850.

111. Morrison H.L., Rogers F.T. Jr., Horton C.W. Convection currents in porousmedia. II. Observations conditions at the onset of convection // J. Appl. Phys. 1949. P. 1027-1029.

112. Morrison H.L., Rogers F.T Jr. Significance of flow patterns for initial convection in porous media// J. Appl. Phys. 1952. 23. P. 1058-1059.

113. Newell C. The dynamics and analysis of patterns, In Complex, Systems, ed. D. Stein, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, vol. VII (Addison-Wesley, 1989), pp. 107-173.

114. Newell A. C. The dynamics of patterns: A survey, In Propagation in Systems Far from Equilibrium, eds. J. E. Wesfreid, H. R. Brand, P. Manneville, G.Albinet, N. Boccara, Springer Series in Synergetics, vol: 41 (Springer, Berlin, 1988), pp. 122-155.

115. Newell A. G., T. Passot, J. Lega, Order parameter equations for patterns, Ann. Rev. Fluid Mech. 25, 399-453 (1993).

116. Nield D. A., M. Junqueira S.L. and Lage J. L. Forced convection a fluid -saturated porous medium channel with isothermal or isoflux boundaries// J.Fluid Mech. 1996. V. 322. P. 201-214.

117. Nield D.A. Onset of Thermohaline Convection a Porous Medium// Water

118. Recourses Res. 1968. V.4. P. 533-560.

119. Normand C., Y. Pomeau, Convective instability: A physicist's approach, Rev. Mod. Phys. 49 (3), 581-624 (1977).

120. Patil P. R. Soret Driven Instability of a Reacting Fluid in a Porous Medium // Israel journal of Technology. 1981. V. 19: P. 193-196.

121. Pellew A., R. V. Southwell, On maintained convective motion in a fluid heated from below, Proc. Roy. Soc. A176 (966), 312-343 (1940).

122. Rees D.A.S. The stability of Prandtl-Darcy convection in a vertical porous layer// Int. J. Heat. Mass. Transfer. 1988. V31. №7. P. 1529-1534.

123. Rogers F.T.Jr. Convection currents in porous media. V. Variational form of the theory// J. Appl. Phys. 1953. 24. P.877-880.

124. Rogers F.T.Jr., Morrison H.L. Convection currents in porous media. III. Extended theory of the critical gradient// J. Appl. Phys. 1950. 21. P. 1170-1180.

125. Rogers,F.T. Jr., Schilberg L.E., Morrison H.L. Convection currents in porous media. IV. Remarks on the theory// J. Appl. Phys. 1951. 22. P. 1476-1479.

126. Sezai I., Mohamad A. A. Three-dimensional double-diffusive convection in aporous cubic enclosure due to opposing gradients of temperature and concentration //J. Fluid Mech. 1999. V. 400. P.333-353

127. Taslim M.E., Narusawa U. Binary fluid convection double-diffusive convection in porous medium// Trans. ASME. J. Heat and Mass Trans. 1986. V. 108. №1. P. 221-224.

128. Trubitsyn V. P., Nikolaichik V.V., Jacoby W.R. A stady of hydrothermal convection in saturated porous media// Tectonophys. 1993. V. 217. P. 73-89.