Численное исследование естественной конвекции с учетом теплового излучения границ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Русакова Ольга Леонидовна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ С УЧЁТОМ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ГРАНИЦ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель профессор, доктор физико-математических наук

¡ус. .-2 .с^с. Тарунин Е.Л.

ПЕРМЬ — 1999

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА

1.1. Постановка задачи....................................................................

1.2. Дискретная реализация граничных условий, учитывающих тепловое излучение..................................................................

1.3. Вычисление направляющих косинусов..................................

1.4. Оптимизация Томовской процедуры для вычисления вихря скорости на жёсткой стенке....................................................

1.5. Оптимизация процедуры Полежаева-Грязнова для вычисления вихря скорости на жёсткой границе.»© -помощью пара болических сплайнов.......................... л.. а .*.....................

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

ГРАНИЦ НА ЕСТЕСТВЕННУЮ КОНВЕКЦИЮ В ЗАМКНУТОЙ

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Влияние теплового излучения границ области на естественную конвекцию при подогреве снизу...................................58

2.2. Бифуркационные режимы свободной конвекции при

наличии теплового излучения и наклона полости...........................69

2.3. Влияние теплового излучения границ области на естественную конвекцию при подогреве сбоку.............................................81

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ СО

СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕРМОКАПИЛЛЯРНУЮ

КОНВЕКЦИЮ

3.1. Исследование течения в каверне с жёсткими изотермическими

.23

.26 .30

„35 ...50

границами..........................................................................................86

3.2. Исследование нарушения симметричности течения.......................108

3.3. Исследование течения в каверне при наличие перепада температур между боковыми стенками........................................114

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................................120

ЛИТЕРАТУРА................................................................................................122

ПРИЛОЖЕНИЕ..............................................................................................132

ВВЕДЕНИЕ

1. В настоящее время численное моделирование стало одним из основных инструментов исследования сложных научно-технических задач наряду с модельными и натурными экспериментальными исследованиями. Развитие методов вычислительной математики в совокупности с появлением мощных ЭВМ привело к качественно новому методу исследования научно-технических задач, для которых существуют математические модели. Использование вычислительного эксперимента позволило существенно расширить исследования в таких областях современной науки как гидродинамика и теплообмен.

Особенностью задач тепло- и массообмена являются существенное различие и сложность математического описания так называемых "элементарных" процессов теплопереноса, к которым относятся теплопроводность, конвекция и излучение. Каждый из этих процессов определяется системами дифференциальных уравнений в частных производных или ин-тегро-дифференциальных уравнений. Эти процессы имеют пространственно-временной характер, включают эффекты, связанные с наличием малых параметров и нелинейности. В реальных условиях упомянутые элементарные процессы часто протекают в совокупности, причём практические задачи отличаются разнообразием геометрии, граничных условий и широким диапазоном определяющих параметров. В силу этого проведение аналитических исследований методами классической математики возможно для сравнительно небольшого класса задач. Проведение вычислительных экспериментов позволяет из многих параметров, характеризующих задачу, выбрать наиболее важные и на основе этого разработать более простые математические модели, допускающие их теоретический анализ. Разумное использование вычислительного эксперимента, теоретического анализа и фи-

зического эксперимента позволило существенно продвинуть исследования в такой сложной области как теоретическая гидродинамика. Подробное изложение методов гидродинамики, вычислительной гидродинамики и теплообмена и соответствующий обзор литературы приведены в [1 -18].

Для исследования конвективного теплообмена часто используется система уравнений в приближении Обербека - Буссинеска [19]. В безразмерном виде эти уравнения содержат два параметра — числа Грасгофа (в) и Прандтля (Рг). Во многих ситуациях определяющим параметром служит их произведение — число Рэлея (Да = вхРг).

Решение уравнений конвекции существенным образом зависит от условий подогрева. При специальных условиях подогрева жидкость может находиться в состоянии механического равновесия, т.е. оставаться неподвижной. Равновесие возможно в том случае, когда температура оказывается линейной функцией вертикальной координаты. Анализ устойчивости показывает, что при нагреве сверху равновесие однородной жидкости всегда устойчиво, а при подогреве снизу — устойчиво лишь при достаточно малых значениях числа Рэлея [8]. В большинстве ситуаций условия равновесия не выполняются и при сколь угодно малых значениях числа Рэлея развивается конвекция.

Начало изучению устойчивости равновесия при подогреве снизу положено экспериментами Бенара [20,21] и теоретической работой Рэлея [22]. Позднее многие исследователи только обобщали задачу Рэлея о плоском горизонтальном слое. Начало систематическому экспериментальному изучению конвективной устойчивости в полостях и каналах разной формы положено работами Г.А. Остроумова [23 - 25]. Подробное изложение современного состояния проблемы конвективной устойчивости равновесия имеется в работах [8,28].

В случае замкнутых полостей линейная теория даёт спектр чисел Рэлея Rai [8,26,27], при превышении которых возникают условия для нарастания соответствующих критических возмущений. Наибольший интерес представляет наименьшее критическое число Рэлея Rai, при превышений которого развивается надкритическое конвективное течение конечной амплитуды.

Эволюция конечных возмущений и структура надкритического режима конвекции не могут быть определены на основе линейной теории, так как для этого необходимо решить систему нелинейных уравнений. Исследование нелинейных надкритических режимов осуществляется на основе двух подходов — аналитического и численного.

Аналитический подход обычно использует метод малого параметра. Применимость этого метода ограничена областью малой надкритичности. В работе [30] с помощью этого метода показано, что в случае замкнутой области при отсутствии осложняющих факторов в критической точке Rai от равновесия ответвляются два стационарных решения. Вблизи критической точки они по форме близки к первому критическому движению. Амплитуда этих движений увеличивается с ростом числа Рэлея по корневому закону ~ д/Ra - Ra7 [30, 31]. Такая зависимость для амплитуды

движения соответствует "мягкому" характеру конвективной неустойчивости равновесия.

Наибольшее число работ аналитического направления посвящено изучению конечно-амплитудной конвекции в горизонтальном слое. Подробные обзоры результатов исследований содержатся в [8,32]. В работах этого направления изучаются не только стационарные движения конечной амплитуды, но и их устойчивость.

Большое количество работ, посвящено численному исследованию задач нелинейной теории конвективной устойчивости. Рассмотрим кратко их обзор.

В работах Дюрфорфа [33] и Фромма [34] метод сеток применён для решения нелинейных уравнений плоского конвективного движения в подогреваемом снизу слое жидкости. В [33] расчёт проведён только для одного числа Рэлея. В [35] найдены числа Нуссельта для пяти значений числа Рэлея, критическое число Рэлея не определялось.

Подробно исследованы надкритические режимы конвекции в замкнутой полости в работе Гершуни Г.З., Жуховиццкого Е.М. и Тарунина Е.Л. [35]. Численное исследование [35] показало, что в критической точке Rai от равновесия ответвляются два стационарных движения. Эти движения отличаются лишь направлением циркуляции. Интегральные характеристики этих движений совпадают, что обусловлено симметрией области относительно вертикали. В случае асимметричной полости ситуация меняется. В работе Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М. и Шварцблата Д.Л. [36] приведены расчёты, выполненные для асимметричной полости треугольного сечения. В этом случае движения, ответвляющиеся от равновесия, существенно отличаются друг от друга по форме и по характеристикам.

В численном эксперименте, описанном в работе [35], авторам удалось получить движение, возникающее и во второй критической точке. Использование искусственного приёма стабилизации этого движения, позволило Тарунину Е.Л. [37] изучить его в широком интервале чисел Рэлея. Было показано, что вблизи Ra2 для амплитуды двухвихревого течения также справедлив корневой закон. Впервые было показано, что зависимость амплитуды течения, рождающегося в Rai, не претерпевает изломов вблизи Ra2 вопреки ожиданиям [38].

В [35] удалось получить основное стационарное течение, возникающее в области параметров от Rai, до Ra„ « 13 • Raj .При Ra > Ra, переходный

процесс приводил к режиму регулярных колебаний. Позднее колебания при подогреве снизу в горизонтальном цилиндре круглого сечения подробно исследовал Чернатынский В.И. [39]. Им было обнаружено понижение критического числа Рэлея Ra,,, и начало колебаний при увеличении числа

Прандгля от 1 до 5. В бесконечном горизонтальном слое жидкости анализ Буссэ [40] также обнаруживает неустойчивость конвективных валов при надкритичности большей 13,2. В лабораторных экспериментах надкритические движения колебательного типа были обнаружены, например, в работах [41 - 43]. Качественное объяснение механизма колебаний получено на различных динамических моделях, таких как модель конвективной петли [44], использующая приближение гидравлического подхода, и модель, в которой учитывается небольшое число взаимодействующих мод [45 - 48].

Во многих работах надкритические течения изучались численно при различных осложняющих факторах. Рассматривались, например, случаи неоднородной вязкости [49], внутренних источников тепла [50 - 52], неньютоновских сред [53,54], модуляции параметров [55 - 58], пористой среды [59 - 61], наличия магнитного поля [62], просачивания [63] и другие.

Существование критического числа Рэлея при подогреве снизу предполагает соблюдение условий конвективного равновесия. В лабораторных экспериментах такие условия, как правило, нарушены. Поэтому возникает необходимость исследования влияния различного рода нарушений равновесия на режим конвекции вблизи критического числа Рэлея. Слабые нарушения равновесия обычно приводят к снятию вырождений в критической точке и дают интересные примеры для теории бифуркаций [64 - 66]. Начало исследований влияния нарушений условий конвективного равновесия в

замкнутых объёмах положено работой Шлиомиса М.И. и Чернатынского В.И. [67]. В ней методом малого параметра и методом сеток изучен случай малого наклона полости, подогреваемой снизу. Малый наклон приводит к ситуации слабого подогрева сбоку и увеличению амплитуды течения вблизи Rai с таким же направлением вращения. Течение с обратным направлением вращения имело меньшую амплитуду, выход на эту "неблагоприятную" ветвь происходил при специальных условиях (жёсткая неустойчивость).

Влияние слабого наклона позднее рассматривалось в работах [54, 60, 69 - 71]. В лабораторных опытах Зимина В.Д. и Кетова А.И. с воздухом [70] "неправильные" устойчивые движения наблюдались при отклонениях кубической полости от вертикали до 4°. Перестройка трёхмерной структуры течения в канале квадратного сечения наблюдалась в численных экспериментах Озоре, Ямамото и Черчилля [71], переход к двумерной структуре течения обнаружен при угле 3,2° (Рг=10, Ra=4000).

В работе Тарунина Е.Л. [68] изучено влияние гидродинамического возмущения (медленное движение одной из границ полости квадратного сечения). В работе показано, что характер ветвления при малой скорости движения границы хорошо описывается кубическим уравнением; найдены аналитические зависимости параметров ветвления от числа Рейнольдса. Несмотря на некоторые отличия, оказалось, что эффекты, наблюдаемые в [68], качественно похожи на ситуацию слабого наклона полости [69]. Это обстоятельство объясняется близостью структуры "возмущений" к структуре первого критического движения.

Проявление нарушений условий равновесия в двухслойных системах несмешивающихся жидкостей изучено экспериментально [72] и численно [73]. В этом случае при достижении критического числа Рэлея для одного

слоя во втором (более устойчивом) слое индуцируется медленное течение, вызванное взаимодействием слоев. При этом возникновение конвекции во втором слое напоминает ситуацию, изученную в [68].

Во всех перечисленных выше работах рассматривалось нарушение условий равновесия, создающее течение, подобное структуре первого критического движения. Ситуация существенно меняется, когда нарушение равновесия вызывает течение, соответствующее более высокой критической моде. В работе Тарунина E.JI. [74] использовалось распределение температуры, создающее слабое двухвихревое течение. В области Rai наблюдался переход к основному (одновихревому) течению; переход происходил жёстко и сопровождался гистерезисом. Выясненный в [74] характер ветвления объяснил перестройку течения, которую наблюдал в численных экспериментах Симуни Л.М. [75].

Аналитическое рассмотрение конечно-амплитудных движений при наличии температурной зависимости вязкости [76] побудило изучить конвекцию в замкнутой полости квадратного сечения при наличии зависимости вязкости от температуры. В [49] показано, что неоднородность вязкости приводит к понижению устойчивости. Как и в случае однородной вязкости, ветви одновихревых течений равноправны, и подкритических движений нет. Во второй критической точке имеет место иная ситуация: два двухвих-ревых движения с восходящим и нисходящим потоками в центре области неравноправны. Это приводит к появлению жёсткого возбуждения. Глубина подкритической области сравнительно невелика, но важный фактор существования подкритических движений фиксируется в численном эксперименте достаточно чётко.

Подкритические области были обнаружены и в численных экспериментах с внутренним тепловыделением [50,51]. Из результатов работ [49 -51] следует, что в случае неоднородности вязкости или внутренних ис-

точников тепла для реализации жёсткого возбуждения и подкритических движений требуется неравноправность ветвей, возникающих в критической точке. Существование подкритических движений может быть вызвано и тепловым взаимодействием на боковых границах полости [77]. В указанной работе решения построены методом разложений для конечного слоя со свободными горизонтальными границами и твёрдыми боковыми. Показано, что амплитуда течения описывается кубическими уравнениями.

Впервые конвективная устойчивость равновесия проводящей среды в магнитном поле была исследована Томпсоном [78] и Чандрасекаром [79, 80]. Позднее в работах Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М., Шлиомиса М.И. и других [81 - 85] была построена общая теория спектров возмущений и решены конкретные задачи. Линейная теория предсказывает повышение устойчивости и появление при определённых условиях неустойчивости колебательного типа. Исследования линейной теории в области монотонной неустойчивости подтверждены экспериментами Накагавы [86].

Рассмотренные выше режимы конвекции возникают в результате неустойчивости стационарного равновесия. Метод сеток позволяет исследовать и нелинейные режимы, приходящие на смену нестационарному равновесному состоянию. В работах Бурдэ Г.И. [55 - 58] рассматривались два вида периодических изменений параметров равновесия — модуляция силы тяжести и периодическое изменение температуры горизонтальных границ. Наиболее сложными задачами с нестационарными условиями равновесия являются задачи с апериодическим изменением параметров, определяющих решение задачи. Примером такой ситуации может служить задача о "включении" [87]. Эта задача в [87] решалась для прямоугольной области с различным отношением длины к высоте. Температура нижней границы возрастала со временем по линейному закону, температура верхней границы была постоянной. Было обнаружено "взрывное" возникновение конвек-

ции. Время развития конвекции и её форма существенно зависят от вида начального возмущения. Возникающие в области неустойчивости режимы течения до этой работы не исследовались. Определения границ устойчивости методами линейной теории для этой задачи затруднительно.

В качестве одной из причин, влияющих на нарушение равновесия, можно рассматрива�