Математические модели в механике деформируемых сверхпроводников тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Лобанов, Евгений Владимирович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
'.ЮС^'ССК; ~ ГО';:.'Л,'.ГС !Т;ЕН;
••-М. •■Р.' \'01><
а:;»::;?- к;',:'::.;а;;;ческ;:к
РГб ОА
- 5 Ш 1335
ЛОБАНОВ Евгений Владплирон!!« МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СВЕРХПР0В0ДНИК03
Специальность: ои02.04 - механика деформируемого твердого те::з
АВТОРЕФЕРАТ
д'лссептац-.;и ка соискание ученой степени докторз физико-математических нпук
Москва - 1995 г.
Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова и в Институте машиноведения им. А.А.Благонравова РАН.
Научные консультанты:
член-корреспондент РАН, профессор А.А.ИЛЬЮШИН
доктор физико-математических наук, профессор М.Р.КОРОТКИНА
Официальные оппоненты:
академик РАН, профессор Е.И.ШЕМЯКИН
член-корреспондент РАН, профессор -Н.Ф.МОРОЗОВ
доктор физико-математических наук, профессор А.А.КАЦНЕЛЬСОН
Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.
Защита состоится "2.3« ию^Л 1995 г. в час на заседании диссертационного совета Д 053.05.03 Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова по адресу: 119399. Москва, Воробьевы горы, МГУ\ механико-математический факультет, аудитория 16-ю.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.
Автореферат разослан " -^А-Я 1995 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,
профессор . ¡У С.В.Шешешш
ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТй-ГА РА'ПШ
Актуальность работы.- В последнее ь-^иг одшгл кс ^геткйж'л из-авлений исследований в области создак>:л нсвых материалов стали ерхлроводникп. В настоящее время предложено около двух да::ятков делсИ, объясняющих внеокотемпературнкй переход на квантсс.схоха-ческок уровне. Однако до сих пор эта модели успеха но ярштся!; прос о природе высокотемпературной сверхпроводимости остается ка открыта;. При этом центр тяшести исследований сместился в об-сть физико-химических экспериментов, накопления и оскысл<"г/г г;о -чаемых результатов. Вместе с тем очевидно, что для исаледомпля кроскопичсских характеристик высокотемпературным сверхпроводни-в необходимо использовать феноменологические модели сверхпрозо-мости, учитывающие эффекты связанности полей различной физичес-й природы. Создание на их основе композитных сверхпроводников с ранее заданными свойствами позволит решить целый комплекс проб-м - стабилизировать сверхпроводящее состояние относительно силь-х случайных возмущений, уменьшить мощность тепловыделения, подать термомагнитную неустойчивость, обеспечить необходимые проч-сть и пластичность. В этой .связи разработка математических мод*-й в механике деформируемых сверхпроводников является актуальней дачей.
Цель работы. Диссертация посвящена разработке математических делей сверхпроводящих тел и конструкций, а также исследованы оцессов и явлений, происходящих в деформируемых сверхпроводни-х, взаимодействующих с термомеханическими и электромагнитными лями.
Методы исследований. Построение системы динамических уравне-Я и краевых условий сверхпроводящих композитов проведено с помою вариационного принципа Л.И.Седова, ассоциированного о первым и орым началам! термодинамики. Замыкание системы уравнений осушес-лено с помощью соотноглений Онззгера мекду обобщенными термоди-мическими потоками и силами. Сведение трехмерных уравнений тео-и сверхпроводящих сплошных сред к двумерным уравнениям теорий нких сверхпроводящих конструкций выполнено на основе вариацион-го подхода с использованием разложений определяющих функций з епенные ряды по нормалям к срединным поверхностям. Оценки для нкций надежности распределенных сверхпроводящих систем получены тодами теории случайных функций, корреляционного анализа,, линей-й алгебры, дифференциальной геометрии и асимптотического интег-
рирозания. Прямая задача дифракции упругих волн на трещине реше аналитически с помощью техники парных интегральных уравнений. Р шение обратной задачи дифракции найдено численно. Проблема излуч ния олк от динамически развивающегося дефекта сведена к функци нальнсму уравнению Винера-Хопфа и решена методами контурного инт грироьаняя. Термодинамическая модель распространения повреждений деформируемом сверхпроводнике построена на оснозе континуально механизма зарождения и роста микроразрушений.
Научная новизна. Сформулированы и разработаны оснозные пол . кения нового научного направления - механики деформируемых свер проводников.
Построена замкнутая система динамических уравнений и краег условий макроскопически неоднородной анизотропной еверхпроводяа сплошной среды в лоренцево инвариантном и галилеево инварианта приближениях.
Определены изменения эффективных модулей, коэффициентов те пературного расширения, энтропии и теплоемкости при переходе сверхпроводящее состояние. Предложена система макроскопичес* экспериментов для определения феноменологических констант теор! Модификация' потенциала Гинзбурга-Ландау позволила описать наб; дающиеся в экспериментах на высокотемпературных еверхпроводнм уменьшение длины когерентности сверхпроводящих электронов и уве; чен.,е глубин проникновения электрического и магнитного статичеш полей.
Впервые построена двумерная модель многослойной сверхпрово; щей конструкции с пр0Б0дяа;ими и сверхпроводящими криврлинейш слоями. Учет изменения метрических свойств отсчетных поверхнос при переходе от слоя к слою позволяет применить предлагаемую I дель для расчета сверхлроводяндех многослойных массивных тел. ,,
Развита теория надежности распределенных физических сис применительно к оценке надежности деформируемых сверхпроводника поле случайных внешних сил. Получена формула для математичесю ожидания числа выбросов случайного скалярного однородного гаусс« ского поля, ширина спектра которого согласована с предположение! высокой надежности системы.
Обобщено понятие геометрического образа качества распредел1 ной физической системы в виде флуктуирующего гиперобъема со с. чайной поверхностью. Получены формулы для функции надежности рэ ределенной системы в случае произвольной области допустимых с тояний, ограниченной кусочно-гладкой криволинейной поаерхнсст
'Казано, что известные результаты теории выбросов случайных век->рных процессов и случайных скалярных полей являются частными ¡учаями предлагаемой теории. - - - -
Получены оцеь.си вероятности разрушения нелинейно упругой изо-юпной сверхпроводящей оболочки. Развит метод акустической дианетики сверхпроводящих конструкций с трещинами на основе решения »ямой и обратной задач дифракции. Дано решение задачи об излуче-[и упругих волн от динамически развивающегося дефекта примените->но к оценке ' уровня повревденности сверхпроводящих конструкций ¡тодами акустической эмиссии.
Построена термодинамическая модель распространения диффузных »Бреждений в деформируемых сверхпроводниках. Получено реаение ^линейного уравнения "диффузии" повреждений в виде плоской ста-гонарной волны разрушений. Показано, что скорость фронта волна треждений пропорциональна инвариантам тензора деформаций (напря-¡ний), коэффициенту "диффузии" и обратно пропорциональна силе »противления накоплению повреждений.
Достоверность основных положений и выводов диссертации подт-фждается сопоставлением с известными теоретически;,:и и зкспериме-гальными результатами.
Практическая ценность диссертации состоит в разработке мето-злогии исследования физико-механических свойств деформируемых зерхнроводников в перекрестных термомеханических и электромагнит-¿х полях: получении количественных оценок надежности сверхпрово-щих материалов и элементов конструкций; решении прикладных за-зч прочности и надежности повревдающихся сверхпроводников.
Полученные результаты в области надежности распределенных язических систем обладают достаточной универсальностью и могут Jть использованы для решения практических задач механики и меши-зстроения. За исследования в области надежности автору, в составе зорческого коллектива, в 1988 г. присуждена премия Ленинского змсомола в области науки и техники.
На защиту выносятся следующие результаты диссертации:
- построение системы динамических уравнений макроскопически эоднородной анизотропной сверхпроводящей сплошной среды в лорен-гво инвариантном и галилеево инвариантном приближениях;
- построение феноменологической модели сверхпроводимости, объя-даяцей наблюдающиеся в экспериментах на высокотемпературных свер-[фовэдннках уменьшение длины когерентности сверхпроводящих элект-знов и увеличите' глубин проникновения электрического и магнит-
-ч-
ного статических полей;
- построение двумерной модели многослойной сверхпроводящей ко струкции с проводящими и сверхпроводящими криволинейными слоями;
- развитие теории надежности распределенных физических сист применительно к оценке надежности деформируемых сверхпроводников поле случайных внешних сил;
- решение згдачи о прогнозировании надежности нелинейно упруг сверхпроводящей оболочки;
- разработка метода акустической диагностики сверхпроводяш конструкций с трещинами на основе решения прямой и обратной зад дифракции; •• .
- решение задачи об излучении упругих волн от динамически ра вивающегося дефекта применительно к оценке уровня поврежденное сверхпроводящих конструкций методами акустической эмиссии;
~ построение термодинамической модели распространения диффузн повреждений в деформируемых сверхпроводниках.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладав лись и обсуждались на: семинаре чл.-корр. РАН А.А.Ильюшина кафедр теории упругости МГУ (Москва, 1939-1991, 1995); семинаре, академи АН Белоруссии А.Г.[Дашкова лаборатории конденсированных сред ИТ БАН (Минск,1989); Всес. конф. по современным проблемам физики и приложениям (Москва, 1990); vii Всес. конф. по механике полимерн и композитных материалов (Рига, 1990); Всес. конф. по методам п тенциала и конечных элементов (Ленинград, 1990, 1994); Ломоносо ских" чтениях МГУ (Москва, 1990, 1991); семинаре проф. Р.В.Голь штейна ИПМ РАН (Москва, 1990, 1995); XV Конф. Института механи АН Украины (Киев, 1990); Мезд. конф. по компьютерным методам оце ки локализованных повреждений (Англия, Саутгемптон, 1990); Всес. конф. по воздействию электромагнитных полей на пластичное и прочность, материалов (Рига, 1990); семинаре чл.-корр. Р Н.А.Махутова отделения механики деформ. и разрушения ИМАШ Р (Москва, 1992-1994); IV Всес. конф. по механике неоднородн деформ. тел (Львов, 1991); VIII Межд. конф. по механике композит материалов (Рига, 1993); Мезд. конф. по воздействию ударных и и пульсных нагрузок на конструкции (Испания, Мадрид, 1994); Мек конф. по механике неклассич. материалов (Москва, 1994); семина чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка кафедры прикл. и вычисл. математи МАШ (Москва, 1994); семинаре чл.-корр. РАН Н.Ф.Морозова кафед теории упругости СПГУ (С.-Петербург, 1994, 1995); 326 Коллоквиу шюмесн по макроскопическим моделям разрушения (Польша, Кельц
94), семинаре акадежнса РАН Е.И.Шемякина кйф-гдрн колноьсЗ к
зовой динамики МГУ (Москва,..1995)_____ • - --------
" " Пубшсашта. Основные результата рабогк отрр '-v. ¡.;,и:;1кя-ях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из пгедисл^ьпл, енадцати глав, объединенных в четиро части, йаклгташк. л c:;;;eica тературц. Содержание работы изложено на 318 страниц- г •••итак ..с-го текста, включая £4 рисунка, 1 таблиц/ и описок летерзгур^ из 5 наименований.
ОСНОВНОЕ СЩШАИИй РАБОТЫ
В предисловии обсуждена актуальность диссертации, сформулиро-1ны цели работы, приведено краткое содержание диссертации.
в первой части диссертации, носящей вводный характер, и.:лох:а-[ основные свойства, модели и методы в механике сверхпроводящих ¡л и конструкций. Дан обзор работ по сверхпроводимости. Приведены шовные свойства сверхпроводящих материалов. Обсукдени фексмеио-¡гические и микроскопические модели сверхпроводимости. Излои^г; ?р«0дйк2шч&скяе основы построения моделей сверхпроводящих тел и мструкций. Особое внимание уделено проблемам прочносг»; и надек-юти деформируемых сверхпроводников.
Явление сверхпроводимости, представлявшее собой квавтовиЯ |)фект на макроскопическом уровне, наблюдается у многих мПтер;:.о;юь зи температурах ниже некоторой критической к состоит в исчезнз-энии электрического сопротивления постоянному току и ь вытплки-ании магнитного поля из объема проводника.
Впервые скачкообразное обращение а нуль электрического сопро-ивления проводника с током было обнаружено Х.Кемерлннг-Оннесо:.-. б 911 г. при исследовании электропроводности ртути, охляжденисП до омпературы жидкого гелия. В 1933 г. В. Мейсснер и Р. Оксенфельд ткрыли второе фундаментальное свойство сверхпроводников - сущест-ование у них идеального диамагнетизма. Стало ясно, что наряду о деальной проводимостью сверхпроводник является идеальны;.! дппм'.г--етиком; переход в сверхпроводящее состояние в магнитном поле «ая-о рассматривать как фазовый переход первого рода, а переход в тсутствие магнитного поля - как фазовый переход второго рода; что ля исследования сверхпроводящей фазы вещества мог:но использовать ппарат равновесной термодинамики, а уравнения электродинамики .олжнн быть дополнены уравнениями, описывающими идеальные электро-
проЕодность диамагнетизм.
Фундаментальный вклад в понимание основных свойств сверхш водящих материалов, в развитие феноменологических и микроскопич( ких моделей сверхпроводимости внесли выдающиеся физики А.А.Абрш сов, Дж.Бардин, Н.Н.Боголюбов. В.Л.Гинзбург, К.Гортер, Л.П.Го; ков, В.Д-юозефсон, X.Казимир, Л.Купер, Л.Д.Ландау, Г.Лондон, Ф.Л; дон, Е.Максвелл, А.Пиппард, К.Рейнольде, Г.Фрелих, Дк.Шриффер.
Однако, несмотря на значительные усилия, направленные на I нижние температуры перехода, за первые 75 лет из истории све; проводимости произошел сдвиг всего на 19°. В 1973 г. была зафикс рована самая высокая критическая температура Тс = 23,2 К в пле1 из сплава 1>Ъ3Се. В течение 13 лет эта температура оставалась ре; рдкой и большинство исследователей пришли к уверенности, что вс мощности продвинуться далеко вперед практически исчерпаны.
В 1986 г. положение коренным образом изменилось, благодг открытию швейцарских физиков Ж.Беднорца и К.Мюллера. Исследуя вс мощности получения сильных злектрон-фононных связей в медно-ки^ родных соединениях, сни синтезировали металло-керамический оке Ш^-^Ва^СиО^-у с температурой перехода Тс ~ 30-35 К. Проведя зас измерения магнитной восприимчивости и обнаружив эффект 'Мейссне{ Оксекфельда (60-70 % от идеального), они показали, что оба нес ходимых признака - нулевое сопротивление и диамагнетизм - дейст! тельно говорят о переходе керамики в сверхпроводящее состояние.
В 1988 г. Ж.Шенг, А.Германн и П.Грант представили результг измерений электрического сопротивления на образцах °2п+4* Оказалось, что при возрастании числа га критическая тс пература Тс(п) увеличивается в следующей последовательности: ГС! ~ 80 К, Тс(2) ~ 110 К, Гс(3) ~ 125 К, Гс(4) ~ 162 К. Если завис мость от п окажется линейной, то температура Тс ~ 300 К будет дс тигнута при п - ю. Вместе с тем, следует заметить, что опубли! ванные значения Гс > 125 К для таллиевых оксидов экcnepимeнтeJ ного подтверждения не нашли. Поэтому говорить о создании сверхщ водников с критическими температурами ~ зоо к пока преждевремеш
Первой моделью, феноменологически описавшей •термодинаш сверхпроводящего перехода, явилась двухжидкостная модель К.Гортс и X.Казимира (1934). В основу модели были положены три основ! предположения: вещество, обнаруживающее сверхпроводимость, облад ет конденсированным состоянием, полная энергия которого характе[ зуется параметром упорядочения; энтропия сверхпроводника опред ляе-тся неупорядоченным поведением неконденсированных частиц, свс
гва которых аналогична свойства« нормздышх частой; д чю~
ящей фазе "электронная глдкость" состой«, из .сверхпроволери>й и эрмальной компонент." При кулевой канРенсгц;».' яплге??:.
олноа, а все электроны уччетвут- в фз.оюфозанх/. сь^хчакучей иц-ости, занимающей .весь объем систем;-' и способной к ды^рккл кн.. елое. С увеличением температуры часть электронов "ксп^рпетс).'' из онденсата и образует нормальную компоненту "электронной згидкзе-и". При этом кормалькая и сверхтекуча;: компонента врогеи.ьгг дгдт доуга.
В ¡935 г. Ф.Лондон и Г.Лондон предложили первую феноменслоги-ескую теорию злектрочягнит'этх сесЗнь оьсрхг^ж^чн"^?. Р ен"е к урайибнхям «к.Мчксуеллз онг: взми уравнения электромагнит--ого поля в сверхпроводнике, из которых следовали его основные войства: отсутствие сопротивления постоянному току н абсолютной дамагнетизм.
Высиим достижением макроскопического подхода явилось со здание 1950 г. первой квантовой феноменологической теории Гинзбурга-Ландау, основанной на идеях теории фазовых переходов второго рода ! гипотезе о комплексности параметра сверхпроводящего упорядочи-мя.
Поскольку из термодшшшчеокого анализа следоы-ло, что л>„р-;проводящее состояние является более упорядоченным, чта нерглчл}.-юа, а переход из одного состояния ь другое в отсутствие кагчгли-г-"о поля есть фазовый переход второго рода, В.Л.Гинзбург и Л.Л.Л;/м-хау ввели в рассмотрение параметр порядна, отличней от нуля при Г-"с к равный нулю при т > г . С другой стороны, для учета кматовах 9ффектов сни предложили всестк ксмилексну» волновую функции сьирх-1роводящкх электронов фи), нормирсваннуп так, чтобы локальная шотность конденсированных электронов п3(х) определялась вкрп:ке-жем п (я) - |ф(х)12. Объединив эти две величины, В.Л.Гинзбург и 1.Д.Ландау стали рассматривать воянову» функции ф(х) в кэчесг&з 1ара.\'.етра порядка. -В отличие от феноменологической теории Лондо-:юв, они отказались также от абсолютной жесткости параметра упорядочения, приняв во внимание зависимость волновой функции от пространственных координат.
В однородном сверхпроводнике ь отсутствие магнитного п:ля объемная плотность свободной энергии может быть продставчена л виде /3(Г,ф) = /„(Т) + а(Г)|ф|2 + 1/2р(Щф|\ где - плотное: ь свободной энергии тела в нормальном состоянии, аир- феномэноло-гические коэффициенты разложения. Значение |ф|2, при котором сво-
бодяая энергия достигает минимума, определяется.решением уравнени df„/d|ф|г = о и равно 1Ф01г = - а/¡3. Поскольку параметр порядк i^l2 пЕ'И Т = ?с должен бить равен нулю, а при Г < Ус - отличен о нуля в первом приближении мокно считать, что а{Т) ~ (Г - Тс), {3(!Г) = const.
В случае, когда ф(ас) изменяется в пространстве, В.Л.Гинзбур и Л.Д.Ландау предложили включить в / дополнительное слагаемое зависящее от градиента волновой функции: (i/ara*) |-гьУф|2, где я* эффективная масса носителей сверхпроводящего тока. В магнитно поле с векторным потенциалом л(х) для сохранения градиентной ин вариантности это слагаемое должно быть переписано в форме (i/гт*)) xi-thub - (е*/с)лф|2, где е*= ье - эффективный заряд сверхпроводя щчх квазичастиц. Дополняя потенциал f8 слагаемым, учитывающим маг ш;ткую энергию внутри образца Вг/8%, выражение для свободной энер гки сверхпроводника, занимаюцех'о объем V, было представлено в виде
Fs= Fn+ |[а|ф|2+ - ~Аф\г+ ^<roiA>2]dy.
Минимизируя потенциал Fg по ф и а, были получены основные ура внения теории Гинзбурга-Ландау
^-»w + ^ а>2ф + оф + §ф1ф|2 + = о,
j„ = - ^£(ф*Уф - ф9ф*) - ~ |ф|2д> ° т* т*с
Многочисленные применения теории Гинзбурга-Ландау к изучени: свойств сверхпроводящих материалов дали возможность получить отве ты на целый ряд вопросов. Наиболее важными из них явились: опреде лекие энергии границы раздела между нормальной и сверхпроводяще1. фазами: создание А.А.Абрикосовым в 1957 г. теории сверхпроводнико; второго рода; разработка Б.Джозефсоном в 1962 г. феноменологачес кой теории слабой (туннельной) сверхпроводимости; попытки создани нестационарной теории Гинзбурга-Лэндау; нелокальные обобщения тео рии.
Естественным, если не единственным, методом построения фено мекологических моделей сверхпроводящих тел и конструкций являете, применение вариационных принципов. Среди вариационных принципов широко используемых в настоящее время для построения уравнени: движения континуальных и дискретных систем наибольшее распростра
неьиэ получил, принпип • стяюточорпогс в Гг;".:ш>тон5-
Острогргдокого. Однако для лгссила'ч.'&кнх систем, спст^:/ с кгголо-номнийи овяоягда и при кэпотенциальных ькешних нагруэччх этот пЬ::н-иип не справедлив. Чтоб« обойти эти трудности, Л.И.Седов в <964 году предложил вариационный принцип, обобщающий принцип стационарного действия на необратимые процессы и кзличяг ягкснс--ру.!гачки:: сил. В основу этого пряицкпя было пояачеяэ сбобаонаое урдокскиз зринципз ззрту&лькнх работ, тесно связанное с уравнениями первого л второго начал термодинамики:
С1 Н + ож = о.
Здесь I - действие, определяемое для любых возможных процессов, зля* - неголономнкй функционал, учитывающий необратимые процессы и «консервативные силы, б'.'/ - функционал, учитывающий энергообмен на границе среды, а также в начальный и конечный моменты временя.
Примеры использования обобщенного вариационного уравнения в >азличных задачах механики и электродинамики сплошных сред приведены в статьях и монографиях В.Л.Бордцчевскогс, А.К.Голубят никое.«, 5.А.Желнорсвича, М.Б.Лурье, Л.И.Седова, А.Г.Цнпкинз, Л.Т.Черного, и А. [¡¡тайна и других.
Технологии синтеза высокотемпературных саорхпроводязпх »¿рч-шк позволит создавать оксидные соединения с високаш критичес.-а: ■ •.и параметрами, но низкши значениями прочности а шшеткчг ос?;;, йойства таких материалов сильно зависят от процесса приготозло;,:';.' >бразцов, влияния окрухаааей среды, з такхе от воздействия твркэ-¡еханических, электромагнитных и радиационных полей. Ъ качзогве ¡римера в таблице 1 представлены результаты измерений предела про-
Твблица 1.
Спекание нз воздухе, 9ьО°0 Спекание в кислороде, 9бо°с
о* = 115 МПа, К1С=. 1,8 МПа-м1'2 о* = 160 МПа, Кю3 2,5 МПа-м1/2
откиг, боо°с Отжиг, 600°С
на воздухе в кислороде на воздухе | в кислороде
о* = юо МПа о, =59 МПа К10=1,5 МПа-м1/г о* - 147 ИПа о* = 127 ЬШа
ности прочности о^ и предела трещиностойкости К1С иттриевых кера-ик, значительно уступающих механическим характеристикам низкотем-
пературшх ниобиевых сверхпроводников. В этой связи решение проблемы прочности и надежности высокотемпературных сверхпрозодящи: конструкций приобретает особое значение, поскольку дорогостоящие ремонтные работы или длительные простои оборудования могут свест! на нет экономические выгоды, полученные от применения высокотем пературшх сверхпроводников.
Отличительной особенностью свсрхпроьодявдх композитов являет ся наличие взаимосвязи физических полей и их зависимости от пара метров микроструктуры материала. Необходимость прогнозировали свойств таких неоднородных соединений по известным свойствам ком покентоа, их объемному содержанию, форме, размерам и ориентации пространстве требует разработки вероятностных подходов к решени задач прочности и надежности. Поэтому для оценки надежности дефор кируемых сверхпроводников необходимо учитывать как случайных хара ктер внешних сил и воздействий, так и случайную природу физически и геометрических параметров конструкции.
Среди работ, посвященных исследованию влияния детерминирован ных и случайных термомеханических и электромагнитных полей на прс чностные свойства деформируемых тел и конструкций необходимо отме тить известные монографии С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина, И.И.Ворс вича, И.Бранкова, А.А.Ильюшина, В.З.Партона, Л.И.Седова, А.Д.Ковг ленгсо, В.Т.Койтера, М.Р.Короткикой, Б.А.Кудрявцева, А.И.Лурье Ж.Можена, В.Новацкого, В.В.Новожилова, Н.Петрова, Б.Е.Победрг В.В.Толмачева, Л.Т.Черного, Е.И.Шемякина, А.Эрингена.
Моделируя стохастически неоднородный сверхпроводник средо! физико-механические свойства которой являются случайными функция! координат и времени, анализ распределенной физической системы св! дится, таким образом, к решению многомерной стохастической краев! задачи. В общем случае решение стохастических краевых задач сопр жено со значительными математическими трудностями, обусловленные физической, геометрической и статистической нелинейностями.
Следующим шагом в решении проблемы надежности сверхпроводящ систем является оценка вероятности безотказной работы конструкц по известным статистическим характеристикам физических полей, на денным из решения стохастический краевой задачи. Фундаментальн вклад в развитие теории надежности деформируемых систем внес Ю.К.Беляев, В.В.Болотин, Б.В.Гнеденко, Д.Картрайт, Б.Р.Леви М.Лидбетгер, М.Лонге-Хиггинс, В.С.Пугачев, С.Райе и другие.
Постановка задачи теории надежности конечно-мерных сисч включает построение математических моделей нагрузок, воздейств!'
лтериалов к конструкций, а такке выбор пространства качества и бласти допустимых, состояний. Проблема• надежности распределение ■изических систем оказалась существенно более олэкнол задачей и до :едавнего времени практически не поддавалась решению. Трудности, |бусловленные оценкой вероятности выбросов случайных векторных и ензорных полей, удавалось преодолевать только путем ь^гдошм нор-ги вектора качества.
Необходимы:,! элементом в общей программе повышения надежности ¡верхлроводящих. конструкций является обеспечение высокой надекнос-■и сверхпроводников по отношению к внезапным отказам пгзртйпо; о :арактера - потере сверхпровсдягзЕ свойств, разрушению конструкции ! другим. Вместе с тем, подобные отказы составляют весьма неболь-¡ую часть от обиего числа отказов. Наиболее часто встречающиеся >тказы - это постепенные отказы, связанные с прекращением или гастичным нарушением нормальных условий эксплуатации. Важное место :реди постепенных отказов занимают отказы, связанные с накоплением ¡еобратимых повреждений механического и физико-химического проис-совдения.
Существенный вклад в развитие механики разрушения деформируемых твердых тел и конструкций внесли В.В.Болотин, Б.Броберг, Р.Б.Гольдштейн, Т.Екобори, А.А.Ильюшин, А.В.Кшлинсккй, Л.М.Кача-1ов, В.Д.Клкшников, Дк.Кнотт, Б.В.Костров, Г.Либовиц, Н.А.Махутов, Л.М.Морозов, Н.Ф.Морозов, Л.В.Никитин, В.В.Панасюк, Б.Е.Победря, О.Н.Работнов, Дк.Си, Л.И.Слепян, Л.Фройнд, Дж.Хатчинсон, Я.Хульт, З.И.Щемякин, С.А.Шестериков и другие.
Вторая часть работа объединяет четыре следующих главы диссертации и посвящена построению макроскопических моделей композитных сверхпроводников, взаимодействующих с термомзханичееккми и электромагнитным'! полями.
Во второй главе на основе вариационного подхода Л.И.Седова в лоренцево инвариантном приближении получена замкнутая система уравнений движения макроскопически анизотропной сверхпроводящей сплошной среды.
Рассмотрим сверхпроводящую сплошную среду, взаимодействукцую с термомеханическими и электромагнитными полями при отсутствии эффектов поляризации и намагничивания. В самом общем случае для такой среды при виртуальных движениях и процессах справедливо вариационное уравнение .
61 + б(7' + а» + ек = о, (1
которое сводится к локальным уравнениям баланса энергии и энтро пии, записанным в собственной системе координат. Здесь I- дейст вие, определенное для любых возмоиых процессов, 6(7'- скалярны: функционал, учитывающий неголономность системы и определяющий при ток энергии к системе, б№- скалярный функционал, описывающий допо лнительный приток энергии к системе за счет энергетических взаико действий на границе среды, ой - скалярный функционал, учитываыщи .связи, наложенные на определяющие параметры системы, и равный нул: для всех возможных процессов и движений.
В качестве определяющих параметров сверхпроводящей сшюшно. среды введем следующий набор функций: закон движения сплошной сре ды .г^Ц01), массовую плотность энтропии среды в(?а), 4-тензор дефо рмаций сплошной среды 4-потекциал электромагнитного пол
комплексные скалярные волновые функции фгС£а). Гречески индексы начала алфавита а, р, 7,... относятся к сопутствующей сис теме координат £а и пробегают ¡значения 0,1,2,3.
Выбор четырехмерной системы отсчета в едином пространстве времени вызван следующими соображениями. Уравнения движения спло иной среды инвариантны относительно преобразования Галилея, а ура внения электромагнитного поля - относительно преобразования Лорен ца. Согласовать две разные теории относительности можно двумя спо собами: упростить уравнения электромагнитного поля до галилеев инвариантного вида или релятивистски обобщить уравнения двикени сплошной среды. Для правильного учета сил взаимодействия электро магнитного поля со сверхпроводящей сплошной средой целесообразн принять второй путь с последующими упрощениями на нерелятивистски случай.
Представим действие I и функционалы 617', дК з виде
-г = б П-- - <2
v
СУ = - | [ (Тог] + На5т)а + ,у$ха + Ф5х)Т_1/2 - +
с V
(
(3
-П-
и V
Цесь и = и(гар, з, - массовая плотность
внутренней энергии сверхпроводящей сплошной среды, гаЛр-
- компоненты тензора напряженности электромагнитного поля в' сонут-зтвующей системе координат Сй; ¿(¿[у сРРггг-а + Рп ~ ':~СС"ЕЭЯ тлотность нормальных носителей заряда, - кскпоиокты об-ьемноЛ плотности нормальной составляющей электрического тока, р - соост-зенная плотность кассы покоя сплошной средн. 2) = + 1(2е/ьсЦ„
- ковариантнзя прсксводяся относктслыю координатного и калибровочного преобразовании, ь - постоянная Планка, 2е- элементарный за-эяд бозонных полей ф{(£а), с - скорость света в вакуума; комплексно-сопряженные величины отмечены звездочкой, эе - заданные нева-рьируемые функции лагранжевых координат ?а, А - мульткиндекс, ^Р и £ - контравариантние компоненты и определитель метрического тензора в сопутствующей системе координат, Т - абсолютная температура сплошной среды, 7 - определитель пространственного метрического тензора, т) и т)а- параметры производства и переноса энтропии, ха ~ параметр нормальной компоненты электрического тока, Са - компоненты 4-векторэ внешней массовой силы; ЯаД .Ф^.Ф^Ф , - компоненты обобщенных термодинамических сил, соответствующие необратимым процессам теплопроводности, электропроводности и релаксации волновых функций и заряда, ^ и ^ - множители Лагранжа, иа - 4-скорость точек сплошной среда относительно сопутствующей системы координат, X - параметр изменения заряда квазичастиц.
Введение параметра % объясняется следующими соображениями. В неравновесном состоянии между электронными возбуждениями и конденсатом куперовских пар имеется тесная связь. Переход нормальных квазичастиц из одного энергетического состояния в другое сопровождается изменением их заряда на величину изменения заряда сверхпроводящих квазичастиц. Именно поэтому для учета взаимодействия нормальной и сверхпроводящей подсистем введена локальная скорость изменения заряда нормальных и сверхпроводящих квазичастиц г, связанная с х соотношением г = сУа(х, л7"1/2) • При этом общий заряд нормальных и сверхпроводящих квазичастиц сохраняется.
Подставляя выражения (2)-(4) в уравнение (1). получим динамические уравнения для непрерывных процессов
ди '1 с дУ \ ди 1 ( ви -> '
^ = - «с-1 [ ^ + ^ «} ] , - Р^ = ха + К%иаЦ, (7)
- - ТиРуриа = на + Г = ЭУ/аэ, (8)
= рииаьР - 1р-^т<атЁ> + 1^<аз13> -2гдг-у5 7 о
- + *«2? ' = " ' (9>
■ = £ [- ^ + 1 ^¿ЙР), ф „ иаАа, (10)
та ви 2ер -с* ди ей , ч
(8)
Система уравнений (5) описывает динамику сверхпроводящих фаз конденсата куперовских пар в релятивистском приближении. Уравнения (б) определяют закон сохранения энергии и уравнение баланса импульса сверхпроводящей сплошной среды. Уравнения (7,1) и (8,2) представляют первую пару уравнений Максвелла для электромагнитного поля в сверхпроводящей среде и абсолютную температуру сплошной среды соответственно. Соотношения (7,2) и (8,1) после подстановки в уравнения- (19) определяют релятивистские законы электропроводности Ома и теплопроводности Фурье. Соотношения (9)-(11) определяют тензор энергии-импульса сверхпроводящей сплошной среды и электромагнитного поля тензор энергии-импульса флуктуаций зарядового поля тензор онергии-импульса Минковского скалярный потенциал электрического поля Ф и компоненты 4-вектора сверхпроводящего тока К уравнениям (5)-01) необходимо добавить уравнение баланса массы покоя сплошной среды Уа(срма) =■ о, а также вторую пару уравнений Максвелла е00^5^^ -- 0, которые удовлетворяются тождественно с помощью тензора напряженности электромагнитного поля ?ар = удлр - ур/1д.
Функционал ©Р7 находится из уравнения (2.1) при отличных от нуля вариациях определяющих параметров на границе области ЗУ
с17 = 1 | рт вха + (т11аи[рбт1а3 + 4хи[рйха1к1/2 +
Задавая его равенством СУ = 61УС, где
= I - Г [Го^а + * -
" дУ"
- р I ♦ ОМ - тг% ^ • <13)
получим альтернатиг.ике граг-жчныа условия.
(Гар _ {«Р^аг^ _ 0> (у _ Го)Приаи[%т]а]т",/2 = о, (14)
{1сф _ Я3)^^ = 0, (А, - А^пр и[ЬхаЬ~иг = о, (15)
+ = Щр, + =
в которых индексом нуль отмечены величины, известные на границе четырехмерной области, пр - нормаль к трехмерной гиперповерхности ЗУ, Г^ - феноменологические постоянные, которые могут принимать положительные и отрицательные значения в зависимости от того, способствует граница возникновению сверхпроводимости или нет.
Для замыкания системы уравнений относительно функций, определяющих необратимое поведение сверхпроводящей сплошной среды, найдем локальную скорость изменения энтропии и воспользуемся теорией Онзагера.
Заменим в вариационном уравнении (1) произвольную вариацию определяющих параметров иА на вариацию по собственному времени е°рА. совпадающую с точностью до знака с дифференциалом Ли тензорного поля по направлению векторного поля ид. Учитывая, что вариация 6С° произвольна внутри области V и обращается в нуль на границе области дУ, получим равенство б0)!" =0, из которого найдем
[ тр + н*? + + $ )Г/2 4 Р ЕК^- + = О. <17)
Заменяя в этом уравнении производные от т), тр, %, по собственному времени 1 чер'ез диссипативную функцию о, локальную скорость изменения заряда квазичастиц г, плотность внутреннего потока знт-
ропии за и плотность тока проводимости нормальных электронов получим
о = - Г'1Нава + ха^п) + рсиа £ <©Хф( + > о. (18)
Примем величины ~Т~1На, в качестве
обобщенных термодинамических, сил, а величины за,/^пу сиа£»аф{, сиа(Ваф{)* как сопряженные им термодинамические потоки. Тогда в соответствии с локальной формулировкой неравновесной термодинамики связь между потоками и силами можно принять в следующей упрощенной форме
/¡п) = - о<%в - Ар , да = - - ,
= - у{сиа(Сдф{) , Ф* = - ^си^Ь^)* . (19)
Здесь оа^ - тензор коэффициентов электропроводности в отсутствие температурных градиентов, - тензор коэффициентов теплопроводности в отсутствие электромагнитного поля, атензор коэффициентов, характеризующих термоэлектрические явления, да = Тза - четырехмерный вектор плотности потока тепла, VI - коэффициенты релаксации волновых функций к равновесному состоянию; функции Ха, На, Ф{, $* определяются уравнениями (5),(7),(в),(10). Для изотропных сред в соответствии с принципом Кюри могут взаимодействовать только процессы одинаковой тензорной размерности. Поэтому соотношения (19)" для таких сред являются определяющими.
При построении конкретной модели сверхпроводящей сплошной среды вместо массовой плотности внутренней энергии и целесообразно использовать массовую плотность свободной энергии Р = и ~ Тз, где плотность энтропии а = Г, ф£, ф*, 1>аФ1, £>*ф*, хА) яв-
ляется зависимой переменной. В соответствии с общей теорией фазовых переходов второго рода обобщим плотность свободной энергии следующим образом .
7 = *п<еар + Е С41<еар'Г),ф«'а + '/г^/бар.ГМф^8^!2 "
• - ^.(^¿Г^ф,)*^) * (0^)1. (20)
Здесь ?п(£ар ,Т) - массовая плотность свободной энергии сплошной среды в нормальном несверхпроводящем состоянии, тар| - компонента тензора обратных эффективных масс сверхпроводящих носителей заряда; А{, B^J, С^, ь2^^)-1 - коэффициенты разложения плот-
юсти свободной энергии в ряд по степеням |ф,|2. |£иФ,|й: потончали Ь^, (!','", учитывают контактное и обменное взаимодействие макроскопических* полей Ф)(С°'), нормированных услоз:'ем - + э—;- р°--- отссовяя" плотпссгь" СБер^шро£одяЕкх~11сс.хгелеп зар>.д'-! в 32ЕНСВеС!ЮЬ' состоянии.
подставляя выражение для плотности свободной энергии (?о) в ¡'равнения (3), г.слу: нестационарные релаксационные уравнения Гикзбур^а-Гакдоу
■■ "Л** = ; У р( ¿77 -I Ъп^е; ) *
- аре
* I + Г [ ^(^Щф/ - ] }%■ V)
/равнения для ф, получаются из (2.38) комплексным сопряжением. Феноменологические параметры А^. ВС^ определяются из физико-механических экспериментов на макрообразцах.
В третьей главе динамические уравнения, определяющие соотно-зения и краевые условия представлены в галилеево инвариантной фор-ае в собственной, эйлеровой и лагранжевой системах координат в проекциях на оси начального и а1стуального базисов. В частности, в актуальной лаграшкевой системе координат динамические уравнения имеют вид
IV1 - МЛГ^ = - с0[ - Е ] -
- + I [ Я'./^ЯФ/ - ]}ФС. (22)
/
р| = Р'Ч'а - V*0" ♦ + «3)
р{дФ/дХ + Ь^^Р-) = и рСр + р(рп + рд)Ьл +
+ С-^и.«* ♦ Jí2¡b)BC * V™ + ¿С,. (24)
Р^ = РоТЬ'' Р § + V" = Р Ж + = '
р0ь= = - т&р> ра = <27
= 0а&Вь - да = гР^Щ - Ха\т, (23
-»р? - Г б??1Ф/1г] - • <«
- ¥ Ч - ; I
( ' Ь=1
сг - г?йее i(»1 v* i та>с/фсф(). - (31)
i 4 с=1
С з д/дг + I (2е/ь)<р, = {(2е/ьс)4 .
Компоненты векторов В® и В0 записаны здесь в неинерциально; лагранкевой системе координат. Поэтому их можно рассматривать качестве компонент векторов напряженности электрического поля : индукции магнитного поля толь:-о в приближенном смысле при малы: скоростях движения сплошной среды. Другими словами, компонент; тензора напряженности электромагнитного поля могут быть интер претированы по отдельности, только езли используется инерциальна: система отсчета. Определитель 7 метрического тензора 7^ в актуа льн'-м лагранжезом базисе зависит от времени, поскольку триэдр ба зисных векторов э„ не только смещается и поворачивается как жесткое целое, но и деформируется. Поэтому в уравнении баланса импульса (24) появляется слагаемое, учитывающее скорость изменена базисных векторов э„, а в уравнения Максвелла (25) входит радика. -Ту. Через р0^ обозначен второй тензор напряжений Лиолы-Кирхгофа е^ - тензор конечных деформаций Грина, 7^ и 7^ пространственны! метрические тензоры в актуальном и начальном базисах.
В гетвертой главе построены определяющие соотношения для мак роскопически неоднородного анизотропного сверхпроводящего континуума. Кинетические уравнения и термомеханические уравнения состояния получены с помощью локальной формулировки неравновесно! термодинамики. Приведены обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау < учетом волновых и релаксационных эффектов для сверхпроводника < энергетической щелью в спектре электронных возбуждений. Построеш термомеханические определяющие соотношения, учитывающие влиянш сверхпроводимости. Определены изменения эффективных модулей, коэффициентов температурного расширения, энтропии и теплоемкости пр]
переходе в сверхпроводящее состояние. Предложена система макроскопических экспериментов для определения феноменологических констант теории. Показано, что учет взаимодействия и самовоздействия заря-7»mar 'полей~приБодит~к" уменьшению-длины- когерентности- сверхпрово-— --------------------
пягдих электронов и к увеличению глубин проникновения статического электрического и магнитного полей в сверхпроводник.
Латериальное уоавнение для плотности сверхпроводящего тока, полученное в предыдущих главах, может быть представлено в форме
•1»)- - - <wl> - ¿лС%
í J (32)
i» = 3¿s Ir-J Р ) ФЛ ------I г Ф«! •
¡.с г -г ^ ^ЗДн . 'J ' J
V J
Покажем, что тензор Л°° связан с глубиной проникновения статического магнитого поля в сверхпроводник Воспользуемся уравнением Максвелла
eCdVe = f C/(g) + /<1)3 ♦ ~ (34)
в котором пренебрежем током нормальных электронов Jfy и зависимостью -РгЯ0 от времени. Подставим (32) в уравнение (34) и подействуем на него оператором sr,-ocv°:
accevby s v ) .. у'Ч'чВ - ... e . ■). (3C.)
fí e а Ь í> u abe a
используя второе уравнение Максвелла va3a = о. представление Ва = - s^v'^0 и полагая, что функции равны равновесным значе-
ниям 1ф<0!2 з отсутствие магнитного поля, получим следующие уравнения
ybVb£a - л£ва =0. (36)
Рсиение этих уравнений для сверхпроводящего полупростракстра удовлетворяющее граничным условиям ва = В^ при = о и 5a - о при л, имеет вид
в°(ей) = фар<- eby<>. s (л£г1/2 > О.
Отсюда видно, что магнитное поле убывает вглубь сверхпровод-кика по экспоненциальному закону. Характерная длина на которой поле ослабляется в е раз, является глубиной проникновения статического магнитного поля. При выполнении условия tf^IФ/о'2 ,,2><
х(2та>){) 1 можно получить значения Л^ значительно превосходят* классические величины Гинзбурга-Ландау
что наблюдается в высокотемпературных сверхпроводниках.
Линеаризация уравнений (21) относительно равновесного состоя ния позволяет определить длину когерентности сверхпроводящих коси телей заряда С{= = где
Отсюда следует, что компоненты матрицы й^3 определяют по псрядк величины характерные масштабы, на которых изменяются волновые фун кции ф{(£й). При < ь^ИаМ*"1 мокно получить значени
длин когерентности намного меньше классических величин Гинзбурга Ландау С^ - Мгл^В^!2)-1'2. В металлооксидных СЕерхпроводящи керамиках величины С? обычно на два-три порядка меньше В целя избежания путаницы с лагранжевыми координатами 1а общеприняты обозначения для длин когерентности были заменены здесь на С^.
Глубина проникновения электрического поля в сверхпрозо.цник X определяется с помощью калибровочно инвариантных преобразовани волновых функь й и потенциалов электромагнитного поля. При это оказывается, что вблизи критической температуры величина може превзойти все характерные длины сверхпроводника > >> С1^.
Термомеханические уравнения состояния деформируемого сверх проводника были получены на основе потенциала Гельмгольца
Р - Р0 - а0(Т - Гс°) - у2св(2£1Г1<Г - Г^)2 + ' + 1/2СаЬ^<£аЬ - - ес°а - 2асй(Т - ?*,}] +
- I {[ ~ + - <&> + У»^ "чь " «&>* (=1
N
- ^>]|ф«!а + 1/2 Г [ + гв^се^ - 8°,) + гвут -№
2 лг
- т^) ]|ф{|2|ф/ + - }. (38)
Подставляя выражение (38) в формулы для напряжений и плотное
ги энтропии р0^ = ptdF/SSgj,)^ , s = -- (ЭР/а?)^. получим --------------^[е^ - ^ - а^Т - *
♦ £ 1ФСI ♦ - + },
3 = S0 + cs(7 - с^се^ - e^)acd -
~ ЕНЧ)2И+ <39)
l=i j~1 где = ]fbca и _ тенз0рЫ модулей упругости и
циекюь линейного теп.чогзого расширения среды в нормальном состояли; с£ - теплоемкость при постоянной деформации; выражение
Pcft-i определяет изменение модулей упругости .при Т <
компоненты тензоров Acf>, tffj пропорциональны изменению и искажению объёма среды при переходе в сверхпроводящее состояние.
Заметим, что переход в сверхпроводящее состояние деформированного сверхпроводника происходит при температуре Tci (е^):
= TCi - t^f <eG b - ^^'/^f Cd(S<ab - 4/*
* ^cd" - (4C)
Отсюда можно получить дополнительные связи фэнс.мзлслоппео-
кими константами
1."з (40) также следует, что сжатие сверхпроводника увеличивает тем-г.с^атуру сверхпроводящего перехода.
В пятой главе построена двумерная модель многослойного сверхпроводника с проводящими и сверхпроводящими криволинейными слоя-ки.
. исследования в области сверхпроводящих многослойных конструкций стимулируются в настоящее время двумя нерешенными задачами. Первая задача связана с поиском новых механизмов высокотемпературной сверхпроводимости, отличных от электрон-фононного взаимодействия. Одним из таких механизмов является спаривание электронов проводимости за счет обмена эксигонами. В сэндзичевых и многослойных структурах, составленных из чередующихся слоев сверхпроводника и диэлектрика, экситонный механизм может привести к возникновению сверхпроводимости с критическими температурами ~ 500 .с. К соасале-
шда, экспериментального подтверждения эта гипотеза пока не получи ла.
Вторая задача состоит в реализации идеи использования сверх проводящих конструкций „,ля получения сильных магнитных полей. Трудности практического применения обусловлены здесь тем, что в свер хпроводниках с высокими значениями критического тока возникав явление термомагнитной неустойчивости, сопровождающееся интенсив ным тепловыделением и разрушением сверхпроводимости.•Это, в сво очередь, может привести к высвобождению накопленной термомеханиче ской и электромагнитной энергии и разрушению сверхпроводящей сис теш. Предотвратить неустойчивость сверхпроводящего состояния п отношению к случайным тепловым и магнитным флуктуациям можно лиш с помощью композитных сверхпроводников. В таких конструкциях ДОС таточно тонкие сверхпроводящие волокна или слои заключаются в мат рицу из нормального металла с большими значениями тепло- и элект ропроводаости. При этом матрица, с одной стороны, шунтирует участ ки, на которых происходит переход в нормальное состояние, а I другой - способствует эффективному теплоотводу. Кроме того, компо зитные сверхпроводники позволяют обеспечить необходимые для практики прочность и пластичность.
Для получения уравнений теории многослойных сверхпроводники использован вариационный принцип Л.И.Седова в галилеево инвариантной форме. Функ ионал действия. . I и неголономный функционал 6¡7 представлялись в виде: вгл
i = i 1 г Ър/З^ = гi { йр < v? - Ва№ -
^оЬ V.) 0
Рп/Р/ + с~ХзАси + 1/2 -
(42)
(43)
Здесь I/ - массовая плотность лагранжиана, TJ - термодинамическая температура; <3^ - компоненты внешних массовых сил незяектромагкит-
А'
ай" =Е II ( ^ + "аМ + % + +
+ р^ - + р/Ф/Ф} + Ф^)
:ой природы; - компоненты вектора массовых сил электромагнитного происхождения, возникающиеЕследствие_изменения. импульса эле-:тр6магнитного поля; Су - компоненты вектора плотности импульса
лектрсмагнитного поля; !!,,,, л' ,, X, и Ф», - обобщенные .теомо-
щ си J и ^ '
янамические силы и потоки, соответствующие необратимым процессам
'еплопроводности, электропроводности и релаксации нормальной и верхпроводящей электронных подсистем; звездочкой отмечены компле-:сно-сопрлкенные величины; по повторяющимся ко- и кснтравариэнтным ндексаы подразумевается суммирование; остальные обозначения общеприняты.
Преобразуем вариационное уравнение к начальному лаграняевому йзи«у, разлогам виртуальные приращения определяющих параметров в мды по нормальной координате
м
Ср.} = ,&<у,,^,ет/у,ох^.,.Сф^,} = I г)
к=о •
; приравняем нулю коэффициенты при независимых вариациях. В резу-:ьтате получим динамические уравнения теории сверхпроводящих мно-■ослойных конструкций
- ♦ - р«, I
И я2,.а (1),
а и0>)
вг«-
1=0
о'
3.(1)
+ Ро; Е * <4>; ' о. (44)
г=о аг
- йг<к-1>У + = + Р3<к>,'>'
гоНА<^ + - - ?ро/^<к>/+
Ха<к>^ = " sa<k>J = Уа/Р<к>/ + с Ш Аа<ь>] •
Х3<К>./ = - = + с Ш
<к>• (4б
Л^/а Щ/2
^/2
2(Л+1)",(^/2)к+1. Л = 21 . = О . й = 21+1 г ^
-Щ/2
Щ/2
- г ^ - Гр .£5/ 1
I бф* -><&> 1 аф} Р0; вг «Ф}• ■|<й>"
Уравнения (44)-(47) являются инвариантными относительно преобразо вания координат на срединной поверхности слоя .
Вторая группа формул, следующая из вариационного уравнения определяет граничные условия на контуре многослойной конструкции а также начальные условия.
Используя далее уравнение баланса энтропии в интегрально форме, получим уравнение теплопроводности в виде
№ + ч - >
,00? [М)грьсаа д£аь<ш>/ _оп " ,
' I V Т асси—а?--( ф<1»г+я>Г"аГ~
1=о т=о
—--3 " (
Величина определяется здесь выражением
п^о
Для сверхпроводника, находящегося в нормальном состоянии, при отсутствии механических и электромагнитных полей в приближении - о уравнение (40) значительно упрощается и совпадает с известны:,; уравнением теплопроводности тонкостенных конструкций.
Отметим также, что учет изменения метрических свойств отсчет-ных поверхностей при переходе от слоя к слою позволяет Применить предлагаемую теорию для расчета сверхпроводящих многослойных массивных тел.
В третьей части диссертации развита теория надежности распределенных физических систем применительно к оценке надежности деформируемых сверхпроводников в поле случайных внешних сил.'
В шестой г^яаве получена формула для математического овддания числа максимумов случайного скалярного однородного гауессвского поля «(*), превышающих достаточно высокий уровень у* я единице объема области й с й":
п о*-и0
и
(о*-и0)£
гае " '
а=1
х [ 1 + оа~1) ] .
одесь 1>0 и ау2 - математическое ожидание и дисперсия случайного поля, Л, = (у* - Vo)zo~2 - достаточно большой положительный параметр, отвечающий требованию высокой надежности распределенной физической системы; = о^оу1 - эффективные волновые числа, связанные со спектральной плотностью 5у(Ю поли и(х); х = {.т1..г2.....
а/7'} - координатный вектор. Широкополосность случайного поля учитывается здесь через дисперсию ау2 и эффективные волновые числа йдд. В случае узкополосного гауссовского поля формул? (49) при п = 2 и и0 = о совпадает с известной формулой для построенной с
помощью несколько искусственного предположения о виде совместной
плотности вероятности рДи.О для узкополосчого поля и(х).
Седьмая глава посвящена оценке интенсивности выбросов случайного векторного поля из допустимой области в многомерном пространстве качества при произвольном спектре и типе распределения вероятностей компонент векторного поля = { и1 (х).
Ф(х) }. При этом предполагалось, что допустимая область достаточно хорошо аппроксимируется многомерным параллелепипедом 0'.
В восьмой главе в рамках теории редких выбросов случайных тензорных полей выведены формулы для функции надежности распределенной физической системы & случае произвольной области допустимых состояний, ограниченной кусочно-гладкой криволинейной поверхностью.
Рассмотрим распределенную физическую систему, качество которой описывается векторным полем у(х), заданным в области С п-мер-кого координатного пространства к'1 (рис.1). В качестве компонент
вектора V могут выступать скалярные Л(х), векторные Иа(х) и тензорные с псля различной физической природы : V = с!?.,.....з Пусть О, - многосвязная допусти-
мая область в и-мерном пространстве качества Vй, ограниченная кусочно-гладкой поверхностью Г* (рис.2). Предположим, что внутри области О» стохастически задана случайная область П, которая является геометрическим образом качества физической системы и представляет собой, вообще говоря, подвижное, случайным образом изменяющееся многообразие, размерность которого равна размерности проекции области С с /1Л на О с V"1. В пространстве область П может принимать вид случайной траектории у(.г1), случайной гиперповерхно-
ти и случайного гиперобъема ...¿г*1). -------Если случайный вектор v(x)e П*. то параметры системы удовле-________________
'вср.чют условиям надежности. Выход вектора v(x) за пределы области 2» или, другими слова:,ш, пересечение случайной областью П гщедель-ю'Л поверхности Г* (рис.г) будем называть выбросом случайного поля 7(х). Множеству точек G+ в объеме G координатного пространства г/1 (риси) соответствует множество точек flv над поверхностью Г'* в пространстве качества Vя (рис.2). Отображение множества G+ с G в множество П+ с Q осуществляется с помощью преобразования v = v(x); обратное преобразование в общем случае может не существовать. Математическое отятдоние числа выбросов поля ) за предельную поверхность Г*, отнесенных к единице огЧема области С, будем обозначать через 1^(1%, ;х).
Введем в пространстве качества 71" криволинейную систему координат ~ связанную с прямоугольной декартовой системой координат tr* = {и1, о2,..,и"1} взаимно однозначными, непрерывно дифференцируемыми соотношениями.^ = ifi(i^), = t^(tfi). Свяжем координатные линии ~ t i\i2.....) с предельной поверхностью Г*, а координату s ш будем отсчитывать по нормали к поверхности; греческие индексы начала алфавита а, р, т.. - отмечают объекты, инвариантные относительно преобразований поверхностных координат и пробегают значения 1, ?,..., и-i; греческие индексы второй половины алфавита ж, Л, р..... относятся к пространству качества Vя и принимают значения 1, 2. я.
В качестве примера рассмотрен случай однородного гауссовского случайного векторного поля с совместной плотнестю вероятности
- <a*)~mtn"f'0<n*2>/4 icfetW3)-,/2 -
X атр { - 1[ Bkl<,vk-<vk>)(vl-<vl>) + 2l£i-l(vn-<vn»vlL +
+ ^(¿W»^ + ^ + + ] }
ГГо повторяющимся ко- и контравариантным индексам здесь подразумевается суммирование в соответствии с принятым соглашением об индексации компонент тензорных полей буквами латинского и греческого алфавитов ; элементы матрицы [Л] выражаются через корреляционные функции полей t)ft(x),i^(x),ir^t)(x), [SI - матрица, обратная Ml.
В результате вычислений получена формула для интенсивности выбросов однородного случайного гауссовского векторно о по/н v(si
из произвольной области допустимых состояний £}*:
х[ 1 + ОСЦЛЯ.;1) ] . (50
Здесь &сю - Ота/<?и) - эффективные волновые числа случайного скаля? кого поля через о®, о^ обозначены дисперсии поля ш(х)
его производных ша(х) = дю/дзР':
= <лч£^(<|а>.о>С^ <<са>,0).
= (51
математическое ожидание случайного поля ш(х) вычисляется по форму ле <н» = ш(<уй>)[1 + 0(\+а)]; С^(<£а>,о) - элементы матрицы нап равляющих косинусов единичной нормали 1; поверхности Г* б точке £а= = <£а> = £а(<1'гг>)[1 + я+ и X* - достаточно большие поло-
жительные параметры.
Заметим, что из условия касания гиперповерхности Г и предельной гиперповерхности Г* можно оредалить наиболее вероятные значения функций = А&О) в момент выброса векторного поля v{x) и; области допустимых состояний П*. Примечательным в формуле (50) является также ".о, что в ней используются только элементы корреля-
£>7 ь* 7 Ъ1 Ъ* 7
ционных подматриц Лк = <ьг~ v<■> и А^ = Информации" о дру-
гих подматрицах, формирующих матрицу [/1] не требуется. Не приходится таете вообще вычислять элементы обратной матрицы [В].
Полученные формулы обобщают известные соотношения для интенсивности выбросов случайных однородных скалярных полей и стационарных векторных процессов.
В четвертой части диссертации решены прикладные задачи теории надежности сверхпроводящих систрм. Основной акцент, при этом, сделан на механической стороне проблемы, рассматривая термомеханические и электромагнитные поля в качестве внешних воздействий.
Девятая глава посвящена применению теории надежности распределенных систем для прогнозирования вероятности разрушения нелинейно упругой изотропной сверхпроводящей оболочки в поле случайных внешних сил. Уравнения состояния оболочки построены в предположении, что потенциал свободной энергии зависит только от двух первых инвариантов тензора деформаций. Оценено влияние сверхпроводимости
на термомеханические характеристики оболочки. Определены изменения касательных модулей, коэффициента температурного расширения,-энт------
ропии и теплоемкости при переходе оболочки в сверхпроводящее состояние. Построены линеаризованные уравнения нелинейно упругого деформирования сверхпроводящих оболочек при пространственно-временных случайных воздействиях. Дана оценка для функции надежности в зависимости от меры области, занятой оболочкой, и назначенного росурем.
В десятой главе развит метод акустической диагностики сверхпроводящих конструкций с трещинами на основе решения прямой и обратной «адйч дифракции волн Лэмба. Схема метода состоит в сле-ду^цем. Вначале, используя аналитический подход, решается прямая задача дифракции упругих волн на трещине. Затем выбираются информативные параметры эхо-сигнала, разрабатываются алгоритмы и с помощью компьютера строятся номограммы, характеризующие связь между параметрами эхо-сигнала и параметрами трещины. Имея такие зависимости для конкретной конструкции, достаточно измерить в эксперименте отраженный сигнал, получить из него соответствующие значения информативных параметров и затем, с помощью построенных номограмм, оценить неизвестные характеристики трещины.
Одиннадцатая глава посвящена решению задачи об излучении упругих волн от динамически развивающегося дефекта -ркксиительно к оценке уровня поврежденнооти сверхпроис,. ¡»негру/кий методами акустической эмиссии.
В двенадцатой главе предлагается термодинамическая модель распространени« диффузных повре.здений в деформируемых твердых телах с целью развития теории надежности повреждающихся сверхпроводников, взаимодействующих с термомеханическими, электромагнитными и радиационными полями. Построение замкнутой системы динамических уравнений проведено с помощью вариационного принципа Л.И.Седова. Общая система уравнений включает уравнение сохранения энергии, уравнение баланса импульса, уравнение "диффузии" необратимых повреждений, а также определяющие уравнения термомеханики диффузных микроразрушений. Для замыкания системы уравнений использованы соотношения Онзагера между обобщенными термодинамическими силами и потоками.
Для определения термодинамического состояния бездефектного сверхпроводника с помощью массовой плотности внутренней энергии (/ необходимо задать семь скалярных определяющих параметров ; шесть компонент тензора деформаций еаЬ(£с,£) и массовую плотность энтро-
пии з(£а,П. В повреждающемся сверхпроводнике параметров е^, г недостаточно. Для описания необратимого разрушения сверхпроводник? необходимо, чтобы плотность внутренней энергии и зависела также от меры повреждений Другими словами, скалярный параметр (.
должен отражать изменение физико-механических свойств материал? тела вследствие необратимых процессов зарокдэния и роста микропов-рекдениЯ. Таким образом, плотность внутренней энергии деформируемого сверхпроводника в поврежденном состоянии должна быть представлена в виде 1} - и(а^.з,^,Градиентный член учитывео здесь пространственную неоднородное*ь поля повреждений; латинские индексы первой половины алфавита а, Ь, с, ... относятся к лагран-кевой системе координат и принимают значения 1, 2, з.
Построение модели диффузного разрушения композитного сверхпроводника проведем на основе вариационного уравнения
С1 + Ой" + ОйГ = о . (52!
Представим действие I и функционал С1У в виде
I = Дхр^еск =
"о
«1
8Г =
Д { I - СГ(еай,а,ц,Уа^)}р^с23?сг?. (53. || { чуат) + набт)а)5_1/2 + србха + мец уЦа3^, (54)
где £ - массовая плотность лагранжиана, va - компоненты векторг скорости точек тела, ёд^С?0.*) - определитель метрического тензора, Г - термодинамическая температура, С2а - компоненты вектор; внешних объемных сил, V - область, связанная с материальными частицами позреждэющегося твердого тела, На(1ьЛ) и М(£а,;И- обобщенные термодинамические силы, соответствующие необратимым процессад теплопроводности и микроразрушения.
Подставим (53), (54) б вариационное уравнение (52) и вычислю лагранжеву вариацию действия I. Приравнивая нулю коэффициенты пр! независимых вариациях опрё^ляющих параметров, получим систем; динамических уравнений термомеханики диффузного разрушения
т = о^р ® Яа = УаТ. (56)
оз_ «е(1Ь а- а
Уравнения (55,1) являются уравнениями баланса импульса. Уравнение (55.2) управляет процессами накопления повреждений в 'напряженном теле. Система уравнений (56) - определяющие уравнения тер-мог,'.еханики повреждающегося тела: первое уравнение определяет абсолютную температуру, второе - тензор напряжений ТГиолы-Кирхгофа, третье уравнение связано с уоавнением теплопроводности Фурье.
Заменим в (52) произвольную лагранжеву вариацию й на вариацию 3° = (3/51)0т. где Ст - произвольная постоянная. Тогда из уравнения (52) ьхето получить уравнение баланса энтропии в локальной форме
+ Уз® = а , а = - Г2д\,Т - > о . . (57)
дt а 'а
в котором диссипативная функция а(£°,Г) определяет величину необратимого роста энтропии за счет процессов теплопроводности и разрушения.
При наличии связей между термодинамическими силами чаТ, М и потоками да, в^yдt величину а в соответствии с теорией Онзагеря можно рассматривать как квадратичную форму относительно термодинамических потоков или сил. Тогда в соответствии с локальной формулировкой неравнсзесной термодинамики представим связь между термодинамическими потоками и силами в следую»? упрошенной форме
да = - лЯ°УьТ , М = - ГдуУдг . (58)
Феноменологические коэффициенты и Г являются, вообще говоря, нелинейными тензорными функциями от определяющих параметров и их производных. При этом А.0® представляет собой тензор коэффициентов теплопроводности в неповрежденном твердом теле, а уравнение (08.1 1 определяет закон теплопроводности Фурье. Параметр Г назовем коэффициентом сопротивления накоплению повреждений; он имеет размерность объемной плотности действия [Дж-с/м3]. Обобщенная термодинамическая сила М равна работе, которую необходимо затратить на продвижение фронта иикрорэзрушений в деформируемом твердом теле. Соотношения (58) замыкают общую систему уравнений термодинамики микроразрушениЯ относительно девяти неизвестных величин аа,уа,р,я,ц.
Для построения уравнения диффузии микроразрушений предположим. что коэффициент сопротивления накоплению повреждений Г ь формуле (58,2) является нелинейной функцией мэры повр кдекий: Г --
Г0(1 - Сц*). где Г0> Си I - феноменологические константы. При С > о, I > о параметр Г(р.) учитывает влияние плотности накопленных микроразрущений на скорость повреждения оставшихся структурных элементов тела. Подставляя плотность свободной энергии 2',
ц, УдЦ)« обобщенную термодинамическую силу сопротивления повреждениям М я - гац/а£ в уравнение (55.2), получим нелинейное параболическое уравнение распространения микроразрушений в деформируемом твердом теле
Г0(1 - Ф1)^ = ¿(еай,Г)(/! • Щхтп + Уа(£р\ц). (59)
Если тензор "диффузии" ¿Я6 = о, то уравнение (59) описывает накопление повреждений равномерно в объеме тела. При дополнительном условии В - о имеем автомодельный процесс накопления повреждений с учетом перераспределения деформаций в неповрежеднных структурных элементах. Если, кроме того, и С = о, то получаем модель, в которой деформации в структурных элементах но зависят от уровня накопленных повреждений. Дополнительное предположение т = о приводит к линейному правилу суммирования повреждений.
Покажем, что уравнение (59) имеет решение в виде стационарной уединенной волны типа кинка. Пусть параметры Же^.Г), В, с, = д¿^ и Г0 являются константами материала. Тогда стационарное решение уравнения (55) с граничными условиями ц= р.» при ? - - с» и ц = о при £ — + оо~ будем искать в виде плоской волны р. (С, О = ц(£-УЬ) в цОг), где V - скорость распространения фронта повреждений. Подставляя ц(х) в (59). получим обыкновенное дифференциальное уравнение, решение, которого имеет вид плоской стационарной волны
= ц*{ 1 + [ ОММ71 - 1 ]<*ф[ - »чу* " П) ] гт-«х»
с параметрами I = ш-1 = п > о и
У0 = - (ОТГ1/2 < О, V = (Л/Г0)(В/Ю1/2 > о, N - (п+1 )В - АС > 0.
Поскольку V< о, то это решение удовлетворяет поставленным граничным условиям при % - ± « . Волна повреждений движется в положительном направлениии оси, сменяя состояние среды ц = о на состояние ц = (рис.з). Распространение уединенной волны обеспе-чизается динамическим равнозесием между нелинейным процессом накопления повреждений и "диффузией" повреждений в деформированном теле. Б каждой точке объема среды запасена свободная энергия и набегающая волна повреждений служит сигналом к ее высвобождению. При
этом величина высвободившейся энергии в точности равна энергии, необходимой для поддержания движения волны.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
Основным результатом диссертации является разработка фундаментальных положений нового научного направления в механике деформируемого твердого тела - механики деформируемых сверхпроводников.
Наиболее заетые результаты диссертации, заключаются в следующем:
1. Построена замкнутая система динамических уравнений и краевых условий макроскопически неоднородной анизотропной сверхпроводящей сплошной среды в лоренцево инвариант! да к галилеево инвариантном приближениях.
2. Определены изменения эффективных модулей, коэффициентов температурного расширения, энтропии и теплоемкости при переходе сверхпроводника в сверхпроводящее состояние. Предложена система макроскопических экспериментов для определения феноменологических констант.
3. Предложен феноменологический подход к описанию наблюдающегося в экспериментах на высокотемпературных сверхпроводниках уменьшения длины когерентности сверхпроводящих электронов и увеличения глубин проникновения электрического и магнитного статических полей.
4. Построена двумерная модель многослойной сверхпроводящей конструкции с проводящими и сверхпроводящими криволинейными слоями. Учет изменения метрических свойств отсчетных поверхностей при переходе от слоя к слою позволяет применить предлагаемую модель для расчета сверхпроводящих многослойных массивнах тел.
5. Развита теория надежности распределенных физических сис-
тем. Введен новый геометрический образ качества распределенной системы в виде флуктуирующего гиперобъема со случайной поверхностью. Получены формулы для функции надежности распределенной системы в случае произвольно;: области допустимых состояний, ограниченной кусочно-гладкой криволинейной поверхностью.
6. Решена задача о прогнозировании вероятности разрушения нелинейно упругой изотропной сверхпроводящей оболочки. Развит метод акустической диагностики сверхпроводящих конструкций с трещин или на основе решения прямой и обратной задач дифракции. Дано решение задачи об излучении упругих волн от динамически развивающегося дефекта.
7. Построена термодинамическая модель распространения диффузных повреждений в деформируемых сверхпроводниках. Показано, что скорость фронта волны повреждений пропорциональна инвариантам тензора деформаций (напряжений), коэффициенту "диффузии" и обратно пропорциональна силе сопротивления накоплению повреждений.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Лобанов Е.В. Построение релятивистской модели сверхпроводящей сплошной среды с помощью вариационного принципа // Докл. АН БССР, 1991. Т.35. N 3. С.235-238.
2. Лобанов К.В. Теория связанных полей в высокотемпературных сверхпроводника:.''/ Процессы и структуры в открытых системах. М.: Изд-во Ин-та физ.-тех. проблем РАН, 1992. С.87-100.
3. Лобанов Е.В. К теории надежности упругопластических сверхпроводящих оболочек//Изв. РАН, Механика тверд, тела, 1992. ы 4. С. 135-150.
4. Лобанов Е.В. Определяющие соотношения термомеханики и электродинамики высокотемпературных сверхпроводников // Информационная технология и численные методы анализа распределенных систем. М.: Изд-во Ин-та физ.-тех. проблем РАН, 1992. С.75-87.
5. Лобанов Е.В. Уравнения теории связанных полей в высокотемпературных сверхпроводниках/ Упругость и неупругость. Ч.и. Под ред. М.Р.Короткиной и И.В.Кеппена. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. С. 5-22.
6. Лобанов Е.В. К теории надежности распределенных физических систем//Проблемы машиностроения и надежности машин, 1993. к г.
с.53-6с.
7. Лобанов Е.В. Теория надежности сверхпроводящих тонкостенных конструкций/ Упругость и неуг.ругость. Ч.и. Под ред. М.Р.Коро-
тхкной и И.В.Кеппеча. И.:..Изд-во.Мсск. ун-та. 1993- С.55-66.
е. Лобанов Е.З. Прогнозирование надежности ^эаспределегошх си- —-------------------
стем в случае многомерного пространства качества // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1993- N 4. С.51-63.
9. Лобанов Е.В. Неустановившееся распространение дисковой трещины в трансверсально изотропной среде//Прикл. матем. и механика, ¡9УЗ- Вып. 5. С. 346-851 .
Ю. Лобанов Е.В. Термодинамика диффузных повреждений в твердых, толах// Прикл. матем. и механика, 1993. Вып.6. С.79-90.
и. Лобанов З.В. О волнах гювре&доний в твердых телах // Вестник Моск. ун-та. Сер.1, Матем. и мех., 1994. Ч 4. С.67-70.
12. Лобанов Е.В. Теория надежно- ти распределенных систем//Изв. РАН, Механика тверд, тела, 1995. к i. С.128-140.
13. Лобанов Е.В. Феноменологическая теория деформирования композитов, обладающих высокотемпературной сверхпроводимостью// Тезисы докл. VII Всес. конф. по механике полимерн. и композита, материалов. Рига: Зинатне, 1990. С. 101-102.
14. Лобанов Е.В. Об устойчивости сверхпроводящего состояния керамики при воздействии силовых, температурных и электромагнитных полей// Тезисы докл. II Всес. конф. по воздействии элеи.ромагн. полей на пластичность и прочность материалов (Рига, 1990). 4.1. Николаев: Изд-во ККИ, 1990. С.вг-вз.
15. Лобанов Е.В. К теории дефзрмировяыя мечал."у-оксидных керамик, обладающих высокотемпературной сйор&иринодим'лть» // Тезисы ажладов XV Научн. конф. iín-та механики АН Украины. Киев: Изд-во МЕХ АН УССР, '990. С.26.
16. Лобанов Е.В. Основные уравнения механики неоднородных сверг' проводящих сред// Тезисы докл. Ill Всес. конф. по механике неоднородных деформ. тел. 4.1. Львов: Изд-во АН УССР, 1991. 0.192.
17. Лобанов Е.В. К теории надежности сверхпроводящих керамических оболочек// Вестник Моск. ун-та. Сер.1, Метем, и мех., vj9i • л 3. С.101.
18. Лобанов Е.В. Феноменологическая теория деформирования композитов, обладающих высокотемпературной сверхпроводимостью// Вестник Моск. ун-та. Сери, Матем. и мех., 1991. N 5. С.93.
19- Лобанов Е.В. К статистической теории прочности свер/гроьи-дящих оболочек// Вестник Моск. ун-та. Сер.1, Матем. и мех., 19V. N 2. С.104.
20. Lobanov E.V., Korotkina fJ.R. Deteotícn and assencment oí огао!ш in superconducting ota'amio plates// Proo. Int. Coni. on lo-
oalized damage oomputer aided assessment and control. Southampton: Comp. Meeh. Publ., 1990. V.2. P.207-221.
21. Lobanov E.V. On the theory of reliability oí distributee physical Byetemc // Ab.^tr. of 8th Int. Conf. of composite materials. Riga: Zlnatne Publ., 1993. P.56.
22. Lobanov E.V. Damage propagation in solids// Abstr. oí 113 Int. Conf. on etruoturo under shook and impact. Madrid: Comp. Me-ohan. Publ., 1994. P.34.
23. lobanov E.T. On the damage waves in solids// Abstr. oí The EUROMECH 326 Colloquium. Kieloe: KIj Publ., 1994. P.16.
24. Lobanov E.V. On the damage waves in solids// Archives oí Machanios (Arohiwum líeohaniki Stoeowanej), 1995. N 6.
