Математические вопросы расчета нелинейных волновых процессов и численное исследование газоразрядных явлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГб од

. I ОПТ №3

Ордена Ленина ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М. В. Келдиза Российской Академия Наук

На правах рукописи Безменов Игорь Витальевич

УДК 517.949.8-533.9

"МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 11 ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗОРАЗРЯДНЫХ ЯВЛЕНИЙ"

01.01.03 - математическая фхзягл

Автореферат диссертации на ссгсхаше ученой степени

дсхтора физико-математических наук

Москва 1993 г.

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Официальные оппоненты-, доктор физико-математических наук профессор А. В. Бобылев

доктор физико-математических наук профессор И. А. Коссый

доктор физико-математических наук профессор Г. С.Росляков

Ведущая организация - Московский инженерно-физический

институт

Завшта диссертации состоится "_"_1993 г.

в _час. на заседании Специализированного Совета Д 002.40.03

при ИШ им. М. В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Конф. зал.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИПМ им. М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан С^Ъу-^ум 1993 г.

Ученый секретарь

ипециализированного Совета кандидат

физико-математических наук М.П. Галанин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Все возрастающий интерес, проявляемый в настоящее время к нелинейным задачам математической физики, объясняется их чрезвычайными разнообразием, содержательностью, широтой и глубиной проникновения в практику. Особенно это относится к тем задачам, постановки которых приводят к нелинейным дифференциальным уравнениями в частных производных.

Сказанное в полной мере относится к задачам из области физики газового разряда и к тем матетематическим вопросам, которые возникает при их решении. Именно таким задачам и посвящена диссертационная работа, что определяет актуальность рассматриваемых в ней проблем.

Последние 10-15 лет ознаменовались появлением целого ряда новых экспериментальных данных в области физики газового разряда. К ним в первую очередь следует отнести явление подпорогового пробоя слабоионизованного газа. явление надкритического превышения концентрации электронов в неоднородных плазменных образованиях разряда и явление аномально быстрого нагрева неравновесного газа в волновом разряде. Так как существующие аналитические методы не могут в достаточной мере объяснить весь комплекс этих и других существенно нелинейных эффектов, происходящих в низкотемпературной плазме, то численное исследование самосогласованных задач физики газового разряда представляет собой весьма актуальную задачу.

Она в свою очередь приводит к проблемам расчета таких нелинейных волновых процессов, как распространение в сильно неравновесном газе ударных волн и взаимодействие с плазмой газового разряда электромагнитных волн от внешних источников. Эти проблемы, объединенные в данной работе общей целью исследования газоразрядных явлений, являются фундаментальными. Каждая из них определяет целую область исследований. В диссертационной работе указанные нелинейные волновые процессы исследуются теоретически. Изучаются свойства решений нелинейных гиперболических уравнений и их дискретных аналогов, а также решений нелинейных задач для уравнения типа Гельмгольца, описывающего взаимодействие внешнего излучения с диссипативной средой.

Цель работы:

1. Теоретическое изучение свойств математических моделей, описывающих распространение разрывных решений квазилинейных гиперболических уравнений I теоремы существования, единственности и сходимости разностных решений при I ■* со при фиксированных параметрах дискретизации Л и т;.

2. Конструирование граничных условий, обладающих свойством прозрачности, для уравнения типа Гельмгольца, обоснование корректности получающейся внутренней задачи (теоремы существования и единственности классического решения), изучение свойств ее решения.

3. Разработка эффективного метода численного решения внутренней задачи для уравнения типа Гельмгольца с искусственными граничными условиями.

4. Разработка метода численного расчета самосогласованных задач физики газового разряда с учетом кинетических, электродинамических и газодинамических эффектов.

5. Численное исследование решений нестационарных самосогласованных задач взаимодействия СВЧ излучения со слабоионизо-ванным молекулярным газом (азотом) как в одномерном, так и в двумерном случаях.

Методы исследования. При теоретическом исследовании глобальных свойств конечно-разностных решений для квазилинейного уравнения, а также при доказательстве теорем существования решений нелинейных уравнений использовались общие методы теории функций, некоторые топологические методы нелинейного анализа. При доказательстве корректности новой постановки внутренней задачи для уравнения типа Гельмгольца с нелинейными граничными условиями использовались аппарат теории интегральных уравнений и методы функционального анализа. При численном исследовании газоразрядных явлений использовался метод конечных разностей.

Новизна работы. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. Впервые доказаны: 1) теорема сходимости в -сильной—норме—разностных—распределении И^и^ при п * со (изначальное распределение, п- номер шага по I) к предельному профилю \>х типа "бегущей волны" для класса нелинейных монотонных конечно-разностных операторов II, аппроксимирующих квазилинейное уравнение гиперболического типа; 2) теоремы, даювде оценки

скорости сходимости итераций к ьу при п + в; 3) теорема существования предельного профиля типа "бегущей волны" для класса нелинейных ТТО-операторов I, обладающих свойством не увеличивать полную вариацию сеточных распределений. Для немонотонных операторов впервые построены примеры неединственности решений типа "бегущей волны", удовлетворяющих энтропийным условиям Лакса и Олейиик. Для решения многомерных задач волновой динамики в ограниченной области с искусственной границей сформулирован новый подход, основанный на вариационном принципе. Доказана корректность новой постановки задачи для уравнения типа Гельмгольца с нелинейными граничными условиями Стеоремы существования и единственности), исследованы свойства ее решения, предложен новый эффективный алгоритм отыскания ее численного решения. В рамках кинетической схемы, учитывающей метастабильные электронно-возбужденные состояния молекул азота Мг(А5Е^) и И2Са' , впервые численно решена самосогласованная задача о взаимодействии СВЧ-излучения с плотной Оо, 1-1 тн.) азотной плазмой в двумерном нестационарном случае, в которой учитываются кинетические, газодинамические и электродинамические эффекты; впервые расчетным путем получено подтверждение ряда известных экспериментальных данных; получены некоторые важнейшие характеристики газоразрядной плазмы, которые нельзя извлечь из эксперимента.

Достоверность результатов. Результаты теоретической части работы сформулированы в виде полностью доказанных утверждений Слемм, теорем и следствий). Доказательства некоторых из них опущены лишь в тех случаях, когда утверждение непосредственно вытекает из полученных ранее результатов, либо когда доказательство аналогично одному из уже изложенных доказательств, отличаясь от него несущественными деталями.

Достоверность результатов расчетной 4 части работы подтверждает проведенное тестирование, а также количественное и качественное совпадение полученных результатов с известными данными экспериментов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ИПМ им. М. В. Келдыша РАН С руководители: д. ф. -м. н. А. В. За-

бродин; д.ф.-м. н. М.В.Масленников, д.ф.-м.н. К.В.Брушлинский) в 1991-1993 гг., на семинаре МИАН им. В. А. Стеклова РАН (руководитель: академик В.С.Владимиров) в 1993 г., на семинаре ИВМ РАН С руководитель: академик Н.С. Бахвалов) в 1993 г., на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы математической физики и вычислительной математики", посвященной 75-летию академика А.Н.Тихонова Сг. Москва, 1982 г.), на 1-й Междунар. конфер. по Промышленной и прикладной математике С г. Париж, 1987г.), на 3-м Всесоюзном совещании "Физика ударных волн" Сг. Владивосток, 1989 г.), на 2-м Японо-Советском симпозиуме по численным методам в аэродинамике С г.Цукуба, 1990 г.), на 14-й международной конференции по численному моделированию плазмы ССША, г. Аннаполис, 1991 г.), на международной школе-семинаре Сг. Минск, 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ (см. список в конце автореферата)

Обьем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, и заключения. Главы разбиты на разделы А и Б и имеют свою нумерацию параграфов. Глава I содержит 6 дополнений, в которых приведены доказательства отдельных утверждений. Работа изложена на 329 стр. машинописного текста, включая 43 стр. рисунков. Список литературы содержит 172 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обзор результатов предшествующих работ, формулируется цель исследования. Кратко излагаются основные результаты, полученные в диссертации.

В Главе I для квазилинейного уравнения

с начальными данными

(1.6) и( 2,0) = U°(Z),

где и = u(z,t) - искомая функция, г € К, t £ о, рассматриваются

два класса консервативных конечно-разностных схем вида

С2.а) и™ - С1гЛх= «£ - *-\tnM/2- f».u¿ s 5 .....

(2.6) fnx+1/2= ¡iul„t+l.....uj+r).

записанных на плавающей сетке Сх е 0?). Это класс монотонных схем (рассматриваемый в разделе А Главы I) и класс TVD-схем, обладающих свойством нэ увеличивать полную вариацию сеточных функций (раздел Б). Здесь = и(хН,пт), т и h - шаги по £ и 2, параметр * = т/h считается фиксированным, г и / -неотрицательные целые числа, подчиненные г + I > о, функции / и р принадлежат классу С1 и удовлетворяют следующему условию согласованности, обеспечивающему аппроксимацию уравнения (1) схемой (2) по крайней мере с 1-м порядком:

(3) /Си.....и) = *>Си).

Рассматриваются вопросы существования и единственности (с точностью до сдвига по х) разностного решения типа бегущей волны, профиль которого не зависит от £ и имеет заданные значения на ±со, а также вопрос о сходимости к нему разностных распределений. Построены примеры существования немонотонных решений и примеры неединственности разностных решений.

Раздел I.A (S5 1-6) посвящен монотонным схемам.

В § 1 дается

ОПРЕДЕЛЕНА 1. Схема С2) называется монотонной, если функция FC•,■■•,•) монотонно возрастает по каждому из аргументов.

Для функции vx, описывающей профиль типа бегущей волны с заданными предельными значениями на -ю и «о, равными и_ и и+, формулируется нелинейная задача

(4. а) (4.6)

vx-6 = rcv¿.....W,

и-оо = V = V

где 6- удовлетворяет соотношению

- рСгО

С 5)

6 = *•

Считается, что и_ > и., функция О удовлетворяет энтропийным условиям Лакса'

С 6)

ОлеЯник С7.а)

[2]

В >

рСи) -

и - и^

и 6 Си+,и_).

а также неравенствам

- рСи )

С7.6) 0 <

(рСи) -

а . « > «_. О > ц . ; и < а+.

где 0 = С«>Си+3-рСи_))/Си+-

Для получения решения задачи С4) рассматривается итерационный процесс

С 8)

^ =

и ) ' Х+Г '

получающийся из С2) в результате перехода в систему координат, связанную с перемещающимся вдоль оси х профилем; здесь задана и имеет пределы v^IB = Щ.

Ставятся два следующих вопроса, имеющих фундаментальное значение в теории и практике расчета разрывных решений гиперболических уравнений:

1. Существует ли решение их задачи С4)?

2. Если их существует, то будут ли сходиться итерации С8)

к в некоторой заранее выбранной норме и каким условиям должна при этом удовлетворять начальная функция, чтобы сходимость имела место?

Эти вопросы впервые были сформулированы Лаксом'31 для предложенной им схемы первого порядка. Русанов^ показал, что для сходимости процесса С8) необходимо, чтобы начальная функция удовлетворяла некоторому специальному условию (см. ниже}. Дженнингсом^для случая монотонных схем и г=1 доказано

существование монотонной функции, удовлетворяющей (4).

Вводится в рассмотрение множество Xg, на котором ищется решение С 4) и исследуется сходимость процесса (8): Х6 = ij/фjl^д, . если <5 = p/q -рациональное, и = R, если <5 -иррациональное. Таким образом, если задана на Х^, то все определенные в (8), будут также заданы на Х6.

Встречающееся ниже понятие непрерывности ь>х на относится только к случаю, когда Х^- К.

Для распределения ъ>х, заданного на и произвольного ( е определяются две нормы:

со

Цш|| =7 lu.j-l, = sup Jwg

jt* J< *

В 5 2 согласно1^ вводится специальная функция a^CÇ). имееющая период 1 Ca^CÇ+i) = a^CÇ)) и связанная с дискретным распределением

со

С9) = й-k- I ÛJ44W; Дх4 w = wx+i'wx'

]=-оо

Доказывается следующая

Лемма 2.1. Пусть существует решение V^ задача (4) и - начальная функция итерационного процесса 18).

Предположим, что a^CÇ) и a QCÇ) суяествуая и (x^CÇ) непрерывна не

Пусть далее для всех II Z О выполнены неравенства

1*5-"-I 5 FTPT : С10) К

2 1ГГ7 •

с некоторой функцией Л^, не зависящей от П и имеющей пределы h+a= О. Тогда из сходимости u!J % V^ в t j при a СО вытекает тождество

СШ a nCÇ) = const, с е X*.

v

Согласно этой лемме для сходимости итерационного процесса

C8) к предельной функции (в предположении, что она существует) вовсе не достаточно оказывается потребовать быстрого стремления их и+ при х -» ico. Необходимо также выполнение для vx условия СИ). Оно замечательно тем, что ему нет аналогов в случае дифференциальных уравнений.

В 5 3 вводится оператор F по формуле:

СТГи)х = ГС их,ш.....ux+r^)

и определяется класс KCi>+,b_) функций, определенных на и изменяющихся в пределах от до Ь_, где u+, ц_< Ь_.

Установлен ряд свойств оператора I. Одно из них Слеша 3.1): ux i ь>х => (Bií)x > (Iw)x непосредственно вытекает из монотонности Г. Еще два Слеша 3.2 и следствие 3.3) состоят в выполнении неравенств

ЦТГи - ¥шЦ < Ни - ш||

||1и - ¥иЦ < ||и - uil . *г

Введены некоторые вспомогательные функции, сформулировано и доказано несколько лемм, используемых в дальнейшем.

В I 4 формулируется одна из центральных теорем раздела I.A - теорема 4.2 о локализации скачка в разностном решении, согласно которой профиль разностного решения при расчете разрыва не размазывается на бесконечный интервал.

Теорема 4.2. Пусть (»СО удовлетворяет (6), (7) и выполнены неравенства

С12)

dFla_¿.....ap/da.j > о; Ь+< af< b_, -l < j < r.

и

Предположим, что начальная функция К(Ь+,Ь_У

|и° - и_| 5 ёу. - и+| < где - строго возрастающая

и уВываюяая функции такие, что при любом { € С-оо, со) существуют ? _ «

интегралы J сИх, И f бх. Тогда для некоторой функции Лх> -00 £

имеюцеО пределы Ь+Ц)= О и не зависящей! от П и начального распределения V?, выполняются неравенства

u

о

у | u - vn | < h-, x < 0, fi-м X+J

00

У I - vn | < h-, x > o.

J

Ее полное доказательство изложено в §§ 4,5. Заметим, что свойством локализации скачка обладает лишь нелинейные конечно-разностные операторы. Линейные схемы независимо от порядка аппроксимации размазывают скачок на бесконечный интервал.

В S 5 сформулированы и доказаны три другие теоремы, занимающие центральное место в разделе I.A. Это теорема 5.1 о сжимаемости оператора ТГ, теорема 5.2 (существования) и теорема 5.3 (сходимости). При этом начальная функция может быть не монотонной и даже иметь значения вне отрезка [и+,и_].

Творена 5.1. Пусть р( •) удовлетворяет 16), 17); для некоторого у' > О

(13) dFCa^.....ap/dcLj > у' > о; Ь< af b_, -t < j < г.

Предположим далее, что начальные распределения U°, U° € КСЬ, ,Ö_)

0 О Л л + —

имеют предельные значения и^ = = , удовлетворяют тождеству

(14) а „(() = а ¿р. ( €

и V

и неравенствам:

max(|a°-u_|.|u°-u_|) < g~,

max(|u°-K+|f|u°-K+|) < g*.

где функции g~, g*, подчинены требованиям теоремы 4. 2. Тогда

|| ип~ VR Ц О, при п ■» (О.

Теорема 5.2. Пусть О удовлетворяет 16), 17. а), выполнены неравенства 113). Тогда для любого значения

CU+,U_) существует единственная непрерывная на функция

V^, удовлетворяемая (41 и лринимаоцая в точке О заданное

значение VQ. Функция v^ экспоненциально стремится к и+ при

X —» ico, монотонно убывает по х и непрерывно зависит при каждом

X от v_. о

Теорема 5,3» Пусть имеют место неравенства (61, 17), начальная функция процесса (8) 6 /ССЬ+,Ь_), удовлетворяет

тождеству СИ) v неравенствам

CIS) К- U.I < и+| <

где функции g^, g* подчинены требованиям теоремы 4. 2. Тогда

последовательность сходится при П -» 00 в t j к предельной

Функции Vx -решению уравнения (4) - такой, что U+a=u+ и

«„се) 2 а0, С е

Единственность решения vx задачи С4) вытекает из леммы 5.2. Заметим, что теорема 5.2 впервые была доказана Дженнингсом1 sj с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке. Что касается теоремы 5.3, то аналогичные утверждения были сформулированы в и в '. Однако в утверждениях этих теорем отсутствовало необходимое для сходимости условие СИ). Ошибки, имеющиеся в их доказательствах выявляются с помощью соответствующего контрпримера, построенного в конце 5 5.

В §6 получены два результата С теоремы 6.1, 6.2), дающие оценки скорости сходимости разностных распределений И'Ч»0 при г; •» оо к предельному решению v. Первый результат

Теорема 6.1. Пусть выполнены условия теоремы 5. 3 с функциями g~ = = К-е~@Х-, К, /3 > 0. Тогда Зля некоторых

А > О и О > О справедлива оценка

щ/4й < /Ma-or-||u°-v|! . г j {,

вытекает из леммы 5.1 и теоремы 5.2.

Второй результат получен для класса монотонных трехточечных схем с г = t = 1 и дает экспоненциальная по а оценку скорости сходимости итераций С8) к решению задачи С 4).

В 55 7-9 раздела Б Главы I изучаются TVD-оператори. В 5 7 дается определение TVD-cxeu.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Схема (2) не увеличивает

полную вариации или является TVD-схемой'(total variation decreasing), если для любой сеточной функции ограниченной вариации выполняется

1V(lLu) s Wu).

где

со

ТУСи) |Д . ,и|; д jti = •

. j--QO i*2 J*2

Известно1, что любая монотонная схема не увеличивает полную вариацию сеточной функции и, таким образом, является Т\Т)-схемой. Обратное не верно. Порядок аппроксимации нелинейных монотонных схем, достигаемый на гладких решениях, не может быть выше первого. Доказательство аналогичного утверждения для линейных схем с постоянными коэффициентами получено Годуновым1®' В то же время существуют ГЛЬсхемы второго порядка аппроксимации.

Сформулирован основной результат раздела II.Б - теорема 7.1 существования решения задачи С4) для класса ТТО-схем.

Теорема 7.1. ПустЬ определенная в 121 схем является ТУО -схемой, /С •,...,•) Липаиц-непрерывна, р выпучив (<р">0), 6=р/<$ рациональное. Тогда для любого действительного а сулествует решение задача СО тное, что

1. о^Ср за, С б Zs.

2.

Х+1/2 - х е

3. V^ зкспонениигльно стремится к Ц+ при х •* ±оа.

..В 5 8 для N > о и Ь б Сu+Iu_) рассматривается граничная задача

а) их = ТГ^; о < х i М, С16) б) их = Ь, х < о, в) их = и+, х > N.

для оператора Vx= Х.-¥,+С1-Х) -Ид, где и I, - монотонный и TVD операторы, X. - параметр, о < X < 1. Сформулирована и доказана теорема 8.1 существования решения задачи С163.

Теорема 8.1. Пусть выполнены условия теорема 7.1. и

ТГ} -TVD оператор, соответствующий TVD схеме 12). Тогда Зля любых

натурального N, Ь 6 (U., U ) и О й \ < 1 задача (16) имеет

(Ю • * "

решение U-^ х( Ь) , удовлетворяющее

(Ю

< ~г < * 5 «■

причем выполняются неравенства

(Ю у

Ux Х(Ь) - и+ < СЬ - и+) о < х < N,

гЭе р^ = р^(Ь), О < р^ < 1.

В п. 8.2 вводятся векторные поля в

Пусть их~ произвольное распределение с условиями (16.б,в). При фиксированных N и Ь е (u+,u_) его можно рассматривать как вектор и в IR^ с компонентами (u1/£j,u2/(j,.. Тогда оператор

¥ вида

Ttix = FQux-k«5.....

с непрерывной функцией Г осуществляет непрерывное отображение

. Л

Доказательство теоремы 8.1 основано на рассмотрении векторных полей в ¡¡№, порождаемых операторами ТГ^, и применении известной топологической теоремы^91 о существовании особой точки векторного поля С решения уравнения Фи = о) в ограниченной

области О с fff в случае, если его вращение на границе О этой области отлично от нуля.

В § 9 приводится заключительная часть доказательства теоремы 7.1. Оно основано на установлении асимптотических свойств решений задачи (16) при N со и Ь ■* и_. Доказывается существование решения и^ х уравнения v^ х= TT^v^ х с пределами v±<a~ ^алее показано,' что при XR ■+ 1 (мкО совокупность распределений'х>п?} принадлежит компактному в i} множеству,

что дает возможность перейти к сходящейся подпоследовательности и доказать существование решения vx уравнения их=

В § 10 для немонотонных схем построены примеры немонотонных решений уравнения (4), не имеющих аналогов в случае

дифференциальных уравнений. Кроме того, построены примеры неединственности конечно-разностных решений. Последние примеры замечательны тем, что они удовлетворяют энтропийным условиям Лакса (6) и Олейник (7. а), которые в случае дифференциальных уравнений обеспечивают единственность решения.

В конце Главы I имеется 6 Дополнений, в которых приводятся доказательства некоторых утверждений, встречающихся в изложении.

В Главе II изучается новая постановка внутренней задачи для уравнения типа Гельмгольца с условиями прозрачности вариационного типа на искусственной границе. .

Заметим, что задача взаимодействия электромагнитного излучения с низкотемпературной плазмой, возникающая при исследовании газоразрядных явлений, представляет собой одну из общего класса задач математической физики, при численном решении которой необходимо осуществлять перенос условий излучения из бесконечности на искусственную границу расчетной области.

В Главе II рассмотрены вопросы корректности (существования и единственности классического решения) новой постановки задачи (раздел II.А), и вопросы ее численной реализации (раздел II.Б).

Рассматривается следующая задача.

Пусть в 0?", п>2, задано распределение воли У0(х,О, созданных удаленными источниками. Функция х,I) считается известной и удовлетворяет волновому уравнению

(17) Ч°и = сгДУ°. х е 0Л

где I - время, с - скорость распространения волны, Д - оператор Лапласа, и имеет вид: \/°(х,1) =и°(х)-е1и£, где и°(х), удовлетворяет уравнению Гельмгольца

(18) Ди° + = о; х е О!?1, к = ы/с.

Пусть в К" имеется ограниченная область в, среда в которой обладает диссипативными свойствами, В предположении, что установившееся в■процессе взаимодействия V0 с в распределение волн имеет вид иСх.О = и(х)-е1ы', для пространственной части и(х) этого распределение получаем задачу

(19. а)

Ди + к2(х) -и = о, х е К",

С19.б) Иш § + ¿к« ) = о.

г -» со т

Здесь функция к'Сх) считается известной, к2 б СЧ^З, причем к2(х) = к2 при х ё в, а при х е в: 1т<к2(х)) < о Сусловие поглощения); и = и - и0 - пространственная часть волны рассеяния; г - радиальная координата. Условие излучения Зоммерфельда (19.6) требует, чтобы волны рассеяния уходили на со.

Задача С19) поставлена в бесконечной области. Для отыскания фрагмента ее решения внутри заданной ограниченной области П с искусственной границей 2 в- разделе II. А главы II приводится новая математическая постановка, основанная на вариационном принципе. Смысл ее заключается в замене условия излучения С19. б) условием отыскания минимума специальным образом построенного функционала

В § 1 конструируется функционал рассматриваемый на

функциях й(х) = иСх)-и°(х), (где и(х)~ решение уравнения С19.а) при х е Й,) величина которого с точностью до независящей от й(х) мультипликативной константы представляет собой некоторое приближение к полной энергии волн рассеяния, отраженных от искусственной границы 2 вовнутрь П. Формулируется вариационная задача.

Введем вспомогательные координаты (б,?)), связанные с поверхностью 2, следующим образом. Пусть б = С5Г... ,5п_р - координаты точек на поверхности 3 в некоторой введенной на ней координатной системе. Для произвольной точки М на 2 обозначим внутреннюю нормаль в ней к 2 и направим ось Мт) с началом в точке М вдоль Координату п произвольной точки на Мт) определим как расстояние от нее до М, взятое с соответствующим знаком.

Для некоторого ^ > 0 определим на Щ точку N. имеющую координату 7) = I. При движении точки М по 3 точка N опишет некоторую поверхность 2}, параллельную 2. Обозначим П? область, лежащую внутри П и ограниченную поверхностью 2Г Будем считать выполненными следующие предположения:

111. Поверхность 2 достаточно гладкая.

П2. Для любых двух, различных точек М1 и М2 € 3 отрезки и МгЫ2, построенные описанным выше способом, не имеют общих точек.

ПЗ. в с П,.

С учетом этих предположений любая точка х из слоя й \ Пг

взаимно-однозначно определяется координатами (s,T)).

Пусть о < с Í í, 3^ -{(s,r)\ s € 3, п - о - поверхность, параллельная В. Обозначим dS¡. элемент поверхности ^ в точке Cs,(). Выразим его через dS - элемент поверхности 2:

dSj. = crCs ,(D-dS,

где в силу П1 и П2 функция crís.C) достаточно гладкая и

ais,О > о, s е 3, С € [о,/].

Функционал З3 записывается виде:

00

C20.a) J3tu;n = J £ qm-|Vs) l2 dS-

3 m=0

где

* i

С20. 6) amcs) = ¿-J uCs.Tj) or2Cs,r)) -e2*^'1 dr,,

1 0

(20. в) qQ =í, qm = m, при m > o.

Здесь yi - действительная функция. обладающая свойствами:

1. vC?) е С2ССо. 13 J; 2. ptJsio) = уи>СП = о, j = о. i; 3. у"> о.

? e С o,i); 4. Для любого действительного ц модули коэффициентов i

ст+у= i" 5 (^t _ -со < »a < со, монотонно возрастают

о

при ni -ц и монотонно убывают при .ti > -ц.

Задача для области П с искусственной границей 3 в вариационной постановке формулируется следующим образом.

Ищется Функция ILÍXl, принадлежащая классу U {введенному в 5 3 Главы 11 >, удовлетворяющая уравнению

С21. а) Au + íczCx) -и = 0, х е П,

и минимиоируюяая функционал JJ^tи-1)°;Л;

С 21. б) Jgtu-v0;*! —► min.

у

где U°(x) - заданное распределение, удовлетворяющее 118).

Заметим, что задача (21) нелинейная из-за нелинейного условия (21.6)

5 2 посвящен 'изучению вопросов существования и единственности классического решения задачи (19), сформулированной для всего пространства.

Обозначим

а(х) = < - /зсх) = Im<k2Cx3>

к2 ' к2 и будек считать вьшолненньши предположения: П4. /3(х) Z О, х € G (среда в G имеет поглощающие свойства), П5. а(х), /3(х) € C'dR?1) и supp a £ supp (3 £ S.

Справедлива

Теорема 2» 2. Пусть выполнены П4, П5. Классическое решение задачи (19) существует и единственно.

При доказательстве используется аппарат теории интегральных уравнений.

В § 3 вводятся функциональные классы U0 и U.

U0- множество решений уравнения (19. а), принадлежащих классу С2(Й). Например, и н 0 е И0, т.е. UQ * 0.

U- множество обобщенных решений и уравнения (19.а) класса С(й), для которых выполняются следующие условия: 1. Sglu-u0; Л существует для всех u е II; 2. Для каждого и е U существует последовательность функций ull"e U0, k = 1,2,..., такая, что Js[um-v°;n -» k оо.

Показано, что при выполнении условий П4, П5 любое обобщенное решение уравнения (19. а) класса ¡i s ССШ принадлежит также клгссу и е Сг(П) и, следовательно, и удовлетворяет (19.а) в классическом смысле. Таким образом, множество II содержит классические решения уравнения (19. а).

В леммах 3.1, 3.2 устанавливаются следующие свойства

1. Для неотрицательных удовлетворяющих Х1+Хг=г:

< X^gtS] + Хг53[и]. (выпуклость)

2. |83[иЗ - 3stu]| < -(Ц1и1 + JJgtS])"2.

Обозначим

UL. = 171/ * U 6 U 3

Справедлива

Теорема 3.1. Пусть выполнены 111-115. Существует члассическое решение Ы вариационной задачи (21), единственное о классе П.

Доказательство этой теоремы проводится методами функционального анализа с применением теории интегральных уравнений со слабым полярным ядром и существенно опирается на две следующие леммы.

Деина 3.4. Пусть выполнены П1-П5; и, V S 11(, 2 = U-V0, V = V-V ; пусть a^lS), t^iS),- коэффициенты разложения функций ü1/2-y-U, ff1/Z-yii при фиксированном s 6 % , в ряды Фурье (20.6) по Т) на отрезках 7) 6 lO,t] . Справедливы неравенства:

-1

I I

3 m=-m со

/ 1 vlV^-V^I^^W-

3 т=0

где

Д1 = - пц,, Д2 = - т^.

П е м м а 3.5. В условиях леммы 3.4 для любого 6, подчиненного О S б S 4/5, справедливо неравенство

max. |u(x)-v(x) | < AUö.t) СД,+Д )1/г, ХбОд 2

где постоянная AqjCÖ.i) зависит только от 2, <5 и t, но не зависит от данных функции и и I).

В § 4 доказана теорема о равномерной сходимости решений внутренних задач С 213 с искусственными границами к решению задачи С19) при неограниченном увеличении размеров области ft в том случае, когда Q есть шар UR радиуса R с центром в начале координат; граница 3 при этом есть сфера SB того же радиуса. Основной результат § 4

Теорема 4.1. Пусть Ц - решение заЭачи (19), WR-решение вариационной задачи (21) в таре U радиуса R; пусть v -

положительное число, меньшее 1. Справедлива оценка

max IuCxJ-wXxJI < -£№;Р, х б U

у в

где «Я?,*; —► О яри -ч в и i/R —» о. выводится из леммы 3.5 и следующего утверждения

Лемма 4.1. Пусть U - решение задачи (19), Пусть R и I неограниченно возрастают, причем {/R —► 0. Тогда величина [2,-Л —» О.

В разделе II.Б главы II рассматриваются вопросы численной реализации сформулированной в II. А вариационной задачи (¿1) в двумерной геометрии.

В § 5 для получения численного решения внутренней задачи с искусственной границей сформулирована нестационарная задача..

Для отыскания численного решения задачи С 4) используется идея метода установления1101, согласно которой решение задачи С21) получается как предел, при £ -» со решения следующей нестационарной задачи

С22. а) Ли + ic2Cx) -и = idu/di, i3--t. х е П, t > о,

С 22. б) 3g[K-u0;/] —» min.

Здесь и считается ухе функцией как х, так и t: и = u(x,t), иСх.о) = ы°Сх), ы°Сх) - начальное распределение.

В § 6 предложена устойчивая неявная схема и итерационная процедура, позволяющая осуществить переход "на следующий слой путем последовательного решения серии одномерных задач в х- и ^-направлениях, аналогичная методу переменных направлений'. Граничные условия при этом становятся локальными.

Разработанный метод может быть использован также и для численного решения нелинейных задач (22), т.е. в случае к2 = к2Сх,и). Именно эта ситуация имеет место в случае взаимодействия электромагнитного излучения с сильно неравновесной низкотемпературной плазмой газового разряда.

В § 7 для отыскания решений одномерных задач с учетом

вариационных граничных условий выведены новые формулы алгоритма прогонки, использующие процедуру БПФ. Алгоритм хорошо приспособлен для распараллеливания.

В $ 8 в качестве теста рассмотривается задача о дифракции плоской электромагнитной волны, падающей на бесконечный круглый цилиндрический провод радиуса, ось которого перпендикулярна координатной плоскости Оху. Считается, что плоская волна распространяется вдоль оси у, начало О системы координат Оху совмещено с центром провода, вектор напряженности электрического поля в падающей волне направлен параллельно оси провода.

Аналитическое решение этой задачи изображено на рис.1. На рис. 2 приведено распределение модуля амплитуды электромагнитной волны, полученной в результате численного решения этой задачи.

В Главе III диссертационной работы численно исследуются газоразрядные явления, возникающие при взаимодействии СВЧ излучения с низкотемпературной сильно неравновесной плазмой.

В §5 1-4 раздела А Главы III рассматривается осесиммет-ричная задача взаимодействия сверхзвукового потока газа с локализованной в пространстве областью газового разряда. В качестве газа рассматривается молекулярный азот, который в зоне разряда представляет собой многокомпонентную смесь с протекающими в ней неравновесными физико-химическими процессами. Молекулы азота моделируются ангармоническими осцилляторами, распределение по колебательным уровням которых определяется квазиравновесной функцией. Исследуется один из основных механизмов трансформации энергии электромагнитного поля в нагрев газа через возбуждение электронами колебательных уровней молекул с последующей V-T релаксацией. Наличие газоразрядной области оказывает существенное влияние на поток, вызывая значительные перепады плотности и давления в направлении, перпендикулярном потоку. В результате совместного решения системы уравнений газовой динамика и неравновесной кинетики получено распределение газодинамических величин и концетраций различных компонент как в самой зоне разряда, так и на некотором расстоянии от нее вниз по потоку. '

В разделе III.Б. в рамках кинетической схемы • свободно локализованного разряда в плотном Ср ~ о,i-i am*.) молекулярном азоте, учитывающей роль электронно-возбужденных'

частиц в развитии ионизационных явлений и нагреве газа, исследуются нестационарные режимы генерации и поддержания неравновесных волновых СВЧ разрядов в молекулярном азоте. При этом рассматриваются два варианта взаимодействия электромагнитных волн с плазмой. В первом случае горение разряда обусловлено взаимодействием плазмы с плоской волной С или с двумя плоскими волнами, распространяющимися навстречу друг другу). Во втором случае - взаимодействием плазмы с электромагнитным полем в области пересечения двух пучков когерентных СВЧ-волн ССВЧ-пучки формируются одинаковыми цилиндрическими антеннами с совмещенными фокусами).

В ! 5 приводятся уравнение, граничные условия и начальное распределение для амплитуды напряженности электрического поля, а также соотношения, которые характеризуют степень рассеяния и поглощения падающего электромагнитного излучения.

Далее (§ 6) рассматривается чисто электродинамический аспект взаимодействия СВЧ-волн с сильно неизотермической азотной плазмой при условии, что основным источником электронов в разряде является ионизация молекул электронным ударом, потери электронов определяют реакции их рекомбинации с ионами, а молекулы газа не возбуждены и не нагреты. В рамках самосогласованной модели численно найдены распределения амплитуды напряженности электрического поля и концентрации электронов в зоне разряда. Получены другие характеристики взаимодействия (напр., динамика коэффициента поглощения электромагнитного поля плазмой).

В § 7 описывается кинетическая схема свободно локализованного разряда в плотном молекулярном азоте и исследуются процессы формирования пространственно-временных структур волнового разряда при самосогласованном рассмотрении кинетических и электродинамических процессов. Анализ результатов расчета в случае взаимодействия плоских волн с плазменным слоем показывает, что разряд распространяется навстречу потоку электромагнитного излучения со сверхзвуковой скоростьв. На фронте волны ионизации формируются мелкомасштабные неоднородности (плазмоиды) с характерным масштабом Х/4, что подтверждается экспериментом'. Этот процесс сопровождается возникновением мелкомасштабных нитевидных структур. Отмечается рост максимума

концентрации электронов- до значения 1.7 1075 см~э, при этом критическая концентрация превышается в 15 раз. Типичная картина распределения амплитуды электрического поля и концентрации электронов в области пересечения двух пучков СВЧ волн представлена на рис. 3, 4 соответственно.

В 5 8 приведена система уравнений для параметров неравновесного СВЧ разряда с учетом кинетических, электродинамических и газодинамических эффектов. Изучена эволюция плазмы в поле двух пучков, скрещенных СВЧ волн. Получены пространственные распределения параметров неравновесной плазмы. В заключение приведены результаты расчетов взаимодействия СВЧ разряда, поддерживаемого полем пересекающихся пучков СВЧ-волн со сверхзвуковым СМ =10) потоком газа в двумерном нестационарном случае.

На рис. 5 представлены полученные в результате расчетов изолинии электронной концентрации в разряде, поддерживаемом двумя пересекающимися пучками СВЧ волн. На рис. 6 представлена фотография СВЧ разряда, полученная экспериментально'141 в условиях, аналогичным тем, которые принимались в расчетах.

5 9 посвящен изложению общего метода решения полной системы уравнений, описывающей эволюцию СВЧ разряда. В основе метода лежит идея расщепления системы уравнений по физическим процессам, часто применяющаяся в настоящее время при расчете гложных физических задач. Произведена адаптация системы уравнений многокомпонентной газодинамики для использования ГТО-схемы.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты работы, являющиеся новыми и полученные лично автором.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Разработан подход, основанный на методе введения вспомогательных функций, к исследованию асимптотики (при I ■* со) решения конечноразностного уравнения, являющегося дискретным аналогом одномерного квазилинейного уравнения.

2. Для монотонных нелинейных конечно-разностных операторов доказана теорема сходимости к предельному профилю разностного решения в рамках итерационного процесса, соответствующего расчету движущегося разрыва по разностной схеме (при этом начальная функция процесса может быть немонотонной); получены оценки скорости сходимости разностных распределений к предельному решению в сильной норме.

3. Для нелинейных ТТО-операторов, обладающих свойством не увеличивать полную вариацию сеточных распределений, доказана теорема существования предельного профиля типа "бегущей волны"

4. Для немонотонных операторов построены примеры существования стационарных немонотонных решений типа "бегущей волны", не имеющих аналогов в случае дифференциальных уравнений. Построены примеры неединственности таких решений, удовлетворяющих энтропийным условиям Лакса и Олейник.

5. Для решения многомерных задач волновой динамики в ограниченной области с искусственной границей сформулирован новый подход, основанный на вариационном принципе.

6. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения сформулированной вариационной задачи для уравнения типа Гельыгольца; получены оценки близости решения вариационной задачи внутри рассматриваемой области к решению задачи, сформулированной для всего пространства с условиями Зоммерфельда на бесконечности.

7. Доказана теорема об асимптотической эквивалентности условий излучения Зоммерфельда и предложенных вариационных условий отбора решения.

8. В двумерной геометрии для прямоугольной области разработан метод численного решения предложенной вариационной задачи; выведены формулы нового варианта метода прогонки, использующие процедуру БПФ и позволяющие эффективно находить последовательные приближения.

9. В рамках кинетической модели, описывающей разрядные троцессы в азоте и дополненной процессами VT- релаксации в юдели ангармонических осцилляторов с кваэиравновесной функцией распределения, численно исследован основной механизм нагрева "аза в разряде: электромагнитная энергия —♦ энергия электронов -» колебательная энергия молекул —♦ поступательная энергия юлекул; проведено численное исследование взаимодействия газоразрядной области со сверхзвуковым потоком реагирующего газа i оценка влияния газоразрядной области на газодинамические 1араметры потока.

10. Разработан подход к решению самосогласованных задач физики газового разряда с учетом кинетических, газодинамических i электродинамических эффектов.

1Í. В рамках кинетической схемы 111■]2\ учитывающей (етастабильные электронно-возбужденные состояния молекул азота 12(А32^) и N2(a'7S¿), численно решена самосогласованная задача о >заимодействии СВЧ-излучения с плотней Оо, г-г атх.) азотной [лазмой в двумерном нестационарном случае; показано, что на )анней стадии развития разряда явление аномально быстрого !агрева газа объясняется тушением указанных метастабильных юстояний молекулами ЫСХ1^); получена динамика коэффициента юглощения электромагнитной энергии плазмой; показано, что 1аэряд довольно быстро переходит в сильно неоднородную фазу с |бразованием мелкомасштабных структур с обострениями в виде [итевидных образований; получено качественное и количественное овладение результатов расчета с известными результатами кспериментов.

Цитированная литература:

^ í3Lax Р. Hyperbolic svstems of conservation laws II. Communs Puré and Appl. Math. , 1957, vol.10, H, pp. 537-566.

^<£$)лейник 0. А. Единственность и устойчивость обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. УМН, 1959, /2(86), 165-170.

г *?!

1 Lax Р. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations arid their numerical computation. Communs Риге and Appl. Math., 1954, 7, Л, p. 159-193.

^Rusanov V. V. Non-Linear Analysis of the Shock Profile in Difference Schemes. Proc. Sec. Int. Conf. On Numer. Meth. in Fluid Dynamics. In "Lecture Notes in Physics" vol.8,

Springer Verlag С1970). p.270-278.

'51 Jennings G. Discrete Shocks. Coronuns Pure and Appl. Math., 1974, v. 27 , 25-37.

i6)Engguist B., Osher S. Math. Сотр., 1981, vol.36, Л 54. p. 321-351

Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. J. Co rap. Phys. , 1983, vol.49, /3, p. 357-393.

f ol

Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнения гидродинамики. Мат. сб. , т. 47(89), /3,

1959, 271-306.

Г э]

Красносельский М. А. , Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа» М., Наука", 1975.

[Самарский А.А. Теория разностных схем. М., "Наука", 1977. 656 с.

''^Жабицкий М. Г. , СилаковВ.П. Влияние ультрафиолетового излучения на динамику импульсного электрического разряда в молекулярном азоте высокого давления-'/ Физика плазмы. 1989. Г. 15. Вып. 10. С. 1238-1245.

Г i,J]

Силаков В.П. Влияние процессов ассоциативной ионизации электронно-возбужденных метастабилей на электрическую прочность слабоионизоваиного молекулярного азота высокого давления// Физика плазмы. 1988. Т. 14. Вып. 10. С. 1209-1213.

Г 13\

Батанов Г. М. , Грицинин С. И., Коссый И. А. , Магунов А. Н., Силаков В.П., Тарасова Н.И. СВЧ-разряд ывысокого давления// Тр. ФИАН СССР. 1985. Т. 160. с. 174-203.

Г jdI

Вихарев А. Л. , Гильденбург В. Б., Иванов O.A., Степанов А.Н. СВЧ-разряд в пересекающихся пучках электромагнитных волн.//Физика плазмы. 1984. Т. 10. Вып. 1. С.165-168.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Русанов В.В., Безменов И.В. О предельном профиле нелинейного разрыва в разностных схемах для одномерновр квазилинейного уравнения. Препринт ИПМ им. М. В. Келдьш Л 69, 1980, 31 с.

2. Русанов В.В., Безменов И.В. Асимптотика профиля дискретного разрыва при расчете ударной волны разностными схемами. ДАН СССР, т. §61. / 4, 1981, 817-820.

3. Безменов И. В. Образование предельного профиля дискретного разрыва при расчете ударной волны разностными схемами.

Препринт ДОМ им М. Р. Нелдшпа Л 60, 1981. ,.Ъ с.

4. Русален В Р , Безменов IIP Асимптотика редетм типа ударно!! волны для нгнечно-раэнсотного \-раьн>-нил Тоуды МИАИ им. О А Стек/iota, т 157, 1У81 , 173-1Я0.

5. Безменов И.В., Русанов В В. Асимптотика -рофилл дискретного разрыва при расчете ударной водны разностным;; схемами. В сб. "Актуальные проблемы математической фиопки и вычислительной математики". М., "Наука", 19S4, 22-29.

6. Бемменоь И. В. О существовании предельного профиля типа ударной волны для разностных схем второго порядка.

&АН СССР, т. 277. Л 1, 1984, 14-16.

7. Русанов Р.В., Пезменсв И.В. Существование предельного профиля типа ударней волны для TVD'-схем. Препринт ИПМ им.

И.В.Келдыша АН С&СР Л 177, 1986, 28 с.

8. Pusanov V.'/., Bezmenov I. V. Discontinuous Solutions of Hyperbolic Equations and Discrete Shock Vaues. In: Abstracts of the 1 International Conference on Industrial and Applied Mathematics. Pans, 1987, p. 151.

9. Безменов И.В., Кабалкин С. Л. Расчет взаимодействия газоразрядной плазмы со сверхзвуковым потоком газа. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР Л 10, 1990, 18 с.

10. Bezmenov I.V. , Rusanov V. V. Calculating the interaction of gas-discharged plasma uith supersonic gas flow. In Proceedings of The Second Japan-Soviet Union Joint Symposium on Computational fluid Dynamics (The University of Tsukuba. August £7-31, 1990). Vol. 2, 73-79.

11. Безменов И. В. . Русанов В. В., Силзков В. П. Роль электродинамических явлений в развитии неравновесного разряда, поддерживаемого СВЧ-волнами. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР J 127, 1S90, 17 с.

1И. Безменов И. В., Кабалкин С. Л. Нестационарный двумерный расчет воздействия локальной области энерговыделения на осесимметоичное тело в сверхзвуковом потоке. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР Л 123. 1&Э1, 21 с.

13. Безменов И. В., Русанов В В. , Снлаков В.П. Пространственно-временная структура нера'ковесного разряда, создаваемого полем двух пересекающихся пучков СВЧ-волн. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР Л 129/1991, 21 с.

14. Безменов И. В. , Русанов В. В. , Силаков В. П. Влияние кинетических процессов на динамику волнового разряда в азоте. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН Jf 30, 1992, 28 с.

15. Безменов И. В. Применение вариационного принципа при постановке граничных условий ь задачах волновой динамики.

I. Теоретический анализ. Препринт ИПМ им.М. В. Келдыша РАН Л 40, 1992, 32 с.

16. Безменов И. В. Применение вариационного принципа при постановке граничных условий в задачах волновой динамики.

II. Численная реализация. Препринт ИПМ им.М.В. Келдыша РАН

J 72, 1992, 28 с.

17. Bezmenov I. V., Silakov V.P. Kinetic and electrodynamic phenomena in noneQUilibrim vave discharge in nitrogen. International school seminar: Noneguilibrium processes in gases and low temperature plasma. Minsk, Belarus, August 30 - September 4, 1992. Minsk 1992, p.106-107.

18. Безменов И. В. , Силаков В. П. Численное моделирование СВЧ-разряда в азоте в пучках скрещенных электромагнитных волн. Химическая физика, т.12, I 5, 1993, 616-619.

19. Безменов И. В. Новый метод переноса условий излучения Зоммерфельда на искусственную границу области, основанный на вариационном принципе. Доклады РАН т.330 / 2, 1993, 137-139.

20. Безменов И. В., Силаков В.П. Газодинамика неравновесного разряда в азоте, создаваемого полем двух пересекающихся пучков СВЧ-волн. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН /30, 1993,

Р;-с. T.

численное feseh'.íe

Y, см.

ЗЛЕКТ^ОМЯГНИТНЯЯ В0/1НЙ Рис. 2.

зо

Y. см.

0.5

0.0

-У-А -3 -2 -10 12

ПУЧКИ свч-волн

14 -3

Рис. 3.

Y,

X» см.

Рис. 4.