Математическое моделирование МГД течений плазмы с особенностями магнитного поля

Жуков, Владимир Петрович

Математическое моделирование МГД течений плазмы с особенностями магнитного поля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Жуков, Владимир Петрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Математическое моделирование МГД течений плазмы с особенностями магнитного поля»

Автореферат диссертации на тему "Математическое моделирование МГД течений плазмы с особенностями магнитного поля"

на правах рукописи

Жуков Владимир Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД ТЕЧЕНИЙ ПЛАЗМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск)

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ д.ф.-м.н. Булгакова Надежда Михайловна (ИТФ СО РАН) д.ф.-м.н. Бурдаков Александр Владимирович (ИЯФ СО РАН) д.ф.-м.н. Семенов Владимир Николаевич (ИБРАЭ РАН)

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (г. Москва)

Защита диссертации состоится «15» марта 2006 г. в 930 часов на заседании диссертационного совета Д 003.053.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Институте теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН по адресу. 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института теплофизики имени С. С. Кутателадзе СО РАН

Автореферат разослан « » 9 е «-^Р-*- 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Процессы в магнито-плазменных конфигурациях, содержащих особенности магнитного поля (т.е. точки, линии или поверхности, где это поле обращается в ноль) имеют очень широкое распространение и играют чрезвычайно важную роль в лабораторной и космической плазме. Согласно современным представлениям солнечные вспышки, нагрев солнечной короны, суббури в магнитосфере Земли во многом обусловлены именно этими процессами. С ними связаны релаксационные колебания в токамаках. Транспортные барьеры в токамаках также возникают в окрестности нейтральных поверхностей. Как показано в настоящей диссертации, наличие нейтральных (резонансных) поверхностей в конфигурации токама-ка играет определяющую роль при проникновении магнитного поля эргодического дивертора в плазму. Процессы пересоединения в системах с обращенным магнитным полем и последующего сжатия образовавшейся в результате этого пересоединения замкнутой магни-топлазменной конфигурации используются для формирования так называемых компактных торов - одного из альтернативных направлений УТС.

Процессы пересоединения в относительно холодной плазме, которая описывается уравнениями одножидкостной магнитной гидродинамики (МГД), изучаются уже на протяжении 40 лет и исследованы достаточно хорошо. Тем не менее, и в этом случае практика ставит новые задачи. Некоторые из этих задач рассмотрены в настоящей диссертации.

В термоядерной плазме и плазме солнечной короны существенную роль играют эффекты, которые описываются двухжидкостной магнитной гидродинамикой и кардинально изменяют картину пересоединения по сравнению со случаем одножидкостной гидродинамики. Несмотря на то, что последнее десятилетие эти вопросы изучаются очень интенсивно, влияние этих эффектов на процессы пересоединения исследованы относительно слабо. Строго говоря, не существует даже отчетливого качественного объяснения многих явлений. В настоящей диссертации этим вопросам уделено значительное внимание.

Ввиду большой сложности уравнений, описывающих поведение плазмы, наличия многих эффектов и пространственно-временных

масштабов изучение задач физики плазмы в более или менее реальной постановке немыслимо без численного анализа. Кроме того современный эксперимент в физике плазмы требует больших материальных затрат, что также приводит к необходимости создания численных моделей. В настоящей диссертации значительное внимание уделено разработке эффективных численных методов решения уравнений магнитной гидродинамики. С их помощью исследованы актуальные проблемы динамики плазмы, возникающие при описании течений плазмы при наличии особенностей магнитного поля и при интерпретации экспериментальных и наблюдательных данных. Целью работы является исследование течений плазмы в конфигурациях магнитного поля, содержащих особенности в виде нулевых линий или поверхностей, создание иерархии физико-математических моделей исследуемых процессов применительно к проблемам динамики плазмы в установках УТС и к космической плазме.

К задачам, рассмотренным в настоящей диссертации, относятся следующие: распространение возмущений магнитного поля различного типа в окрестности Х-точки, некоторые вопросы динамики компактных торов, неустойчивость слияния магнитных ячеек, развитие тиринг неустойчивости, динамика проникновения возмущения магнитного поля в плазму при наличии нейтральной поверхности. Последние две задачи имеют непосредственное отношение к пилообразным колебаниям в токамаке и работе эргодического дивертора в токамака соответственно. При этом возникает необходимость в существенном уточнении широко используемых редуцированных МГД моделей плазмы, что также было проведено в настоящей диссертации.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследовано распространение магнитозвукового возмущения в окрестности Х-точки. Показано, что ограниченность пространственного размера плазмы может являться причиной взрывного разрушения токового слоя наблюдаемого в экспериментах на установке "Токовый слой".

2. Найдено стационарное решение, описывающее распространение альвеновского возмущения и суперпозиции альвеновского и магнитозвукового возмущений в окрестности Х-точки. Изучено влияние эффекта Холла, однородного фонового магнитного поля и дру-

гих факторов на распространение альвеновского и магнитозвукового возмущения в окрестности Х-точки.

3. Изучены вопросы формирования и продольного сжатия компактного тора. Получены соотношения типа адиабаты Гюгонио для волны продольного сжатия компактного тора.

4. Изучена неустойчивость слияния магнитных ячеек в модели электронной магнитной гидродинамике. Показано, что длительность нелинейной стадии спонтанного пересоединения в электронной магнитной гидродинамике остается конечным при стремлении к нулю сопротивления плазмы и электронной вязкости. Это время определяется типичной токовой скоростью электронов исходной магнитной конфигурации.

5. Изучены особенности развития тиринг неустойчивости в цилиндрической (винтовой) геометрии в нередуцированных одножид-костной МГД и двухжидкостной МГД моделях плазмы. Исследовано влияние эффекта Холла, электронной вязкости, градиентов электронного давления в обобщенном законе Ома, начального распределения давления и продольной теплопроводности на эту неустойчивость.

6. Показано, что на нелинейной стадии пересоединения в двухжидкостной МГД модели эффект Холла становится определяющим и приводит, в зависимости от распределения начального давления, к аномально быстрому либо аномально медленному (с точки зрения одножидкостной МГД) пересоединению. Показано, что электронная вязкость также может приводить к существенному ускорению процесса пересоединения. Эти эффекты позволяют лучше понять явления быстрого и неполного пересоединения при развитии тиринг неустойчивости в токамаках и короткую длительность солнечных вспышек.

7. Изучен механизм проникновения бегущей волны возмущения магнитного поля эргодического дивертора в плазму. Показано, что проникновение стоячей и бегущих волн в плазму может носить абсолютно разный характер даже при малой амплитуде волны. Показано, что условие малости амплитуды волны по сравнению с исходным магнитным полем является недостаточным условием для применимости линейного приближения в случае бегущей волны. Получены редуцированные одножидкостные МГД уравнения, которые могут

быть использованы для моделирования эргодического дивертора для токамака. Эти уравнения учитывают медленные магнитозвуковые возмущения, тороидальную скорость и особенности тороидальной геометрии.

8. Создан комплекс программ для расчета двумерных МГД течений плазмы. В частности разработана программа для решения двумерных двухжидкостных МГД уравнений в цилиндрической геометрии, в которой успешно и чрезвычайно простым способом преодолены проблемы получения решения в окрестности центра координат. Практическая значимость работы состоит в решении задач, имеющих важное значение для исследования процессов происходящих в лабораторной и космической плазме. Например, дано объяснение взрывного разрушения токового слоя наблюдаемого в экспериментах на установке "Токовый слой". Практически во всех токамаках наблюдаются пилообразные колебания, которые играют отрицательную роль с точки зрения удержания плазмы. Природа этих колебаний непосредственно связана с процессами пересоединения. В случае ловушек типа "компактный тор", перезамыкание магнитных силовых линий играет положительную роль, позволяя создать замкнутую конфигурацию и эффективно нагреть плазму. Непосредственный практический интерес представляет и моделирование эргодического дивертора. Разработанные в диссертации численные методы решения МГД уравнений и редуцированная МГД модель, в которой учтены медленные магнитного звука могут найти применения при решении различных проблем физики плазмы.

Достоверность полученных результатов подтверждается тестированием программ используемых для решения поставленных задач, контролем точности получаемых решений, использованием нескольких способов решения, а также сопоставлением полученных результатов с результатами работ других авторов, аналитическими оценками и имеющимися экспериментальными данными. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-ой Международной конференции по открытым магнитным ловушкам (Новосибирск, 2004), Международном рабочем совещании по стохастичности в пристеночной термоядерной плазме (SEP, Juelich, Германия, 2003), 12 и 14 Симпозиумах по физике плазмы и радиационным технологиям (Lunteren, Голландия, 1999 и 2001),

Международной конференции по вычислительным технологиям памяти Н Н Яненко (Новосибирск, 2001), Европейской конференции по УТС и физике плазмы (Будапешт, Венгрия, 2000), Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и инженерии ECCOMAS-2000 (Barcelona, Испания, 2000), Международной конференции по математическим моделям и численным методам механики сплошных сред (Новосибирск, 1996), Международной конференции по мелкомасштабным структурам и 3-D магнитогидроди-намической турбулентности (Nice, Франция, 1995), 6-ой Европейской конференции по плазме УТС (Utrecht, Голландия, 1995), Международной конференции по наукам о плазме (ICOPS-95, Madison, США, 1993), Всесоюзных конференциях по физике плазмы и УТС (Звенигород, 1984, 1985, 1987, 1990, 1992), Всесоюзной школе по динамике вязкой жидкости (Новосибирск, 1985).

Результаты диссертации докладывались также на семинарах в ИВТ СО РАН, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, ИТПМ СО РАН, ИЯФ СО РАН, FOM-Института физики плазмы (Niuewegein, Голландия), Института физики плазмы (Juelich, Германия), Института физики плазмы (Milano, Италия), Бохумского университета (Германия), Пи-занского университета (Италия), Манчестерского технического университета (Великобритания).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 38 печатных работ.

Личный вклад автора. Вклад диссертанта в результаты исследований представленных в диссертации и опубликованных в работах [ 1-38] является определяющим. Участие других соавторов работ [138] состоит в совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов Все расчёты проведены по программам, созданным автором данной диссертации. Часть расчётов, представленных во второй главе, проведены аспиранткой Т.В. Лисейкиной, а в шестой главе к.т.н. И.В. Шваб с использованием программ, разработанных автором данной диссертации и под его научным руководством. Структура и объем диссертации. Структурно работа состоит из введения, шести глав и списка цитируемой литературы из 251 наименований. Объем диссертации составляет 331 страницу, включая 53 рисунка.

Содержание диссертации

Во Введении обсуждается актуальность рассматриваемой в диссертации тематики, цель работы, дается краткое содержание глав диссертации, обосновывается достоверность и новизна полученных результатов.

В первой главе дано описание магнитогидродинамических моделей, с помощью которых изучаются процессы, протекающие в плазме; рассматривается, какое место эти модели занимают среди других математических моделей описывающих плазму; дано описание иерархии МГД моделей; рассматривается класс задач изучаемых в диссертации; изложены принципы и дано краткое описание алгоритмов используемых для численного решения этих задач.

Наиболее детальное математическое описание плазмы достигается в кинетической модели, использующей уравнение для функции распределения ионов и электронов и уравнения Максвела для самосогласованного электромагнитного поля. Однако это описание является весьма сложным, как для аналитических, так и для численного исследования. Ео многих задачах достаточно использовать МГД модели, в которых плазма рассматривается как смесь электронного и ионного газов взаимодействующих через электромагнитное поле. В §1.1 диссертации приводятся уравнения используемые для кинетического и гидродинамического описания плазмы в общем случае и обсуждаются вопрос о применимости гидродинамических моделей.

В рамках МГД моделей, используемых для описания явлений в полностью ионизованной плазме, существует некоторая иерархия (§ 1.2). Наиболее общей является модель двухжидкостной магнитной гидродинамики. Для рассматриваемых в настоящей диссертации медленных (по сравнению с плазменными частотами) процессов с большим запасом выполняется условие квазинейтральности плазмы. Более простые МГД модели используемые в диссертации строятся на основе двухжидкостной МГД модели в которой предполагается наличие квазинейтральности. При построении этих моделей используется два параметра: отношение массы электрона тпе к массе иона mt и отношения ионного дисперсионного размера S, = cjuipi к характерному масштабу задачи. Здесь ирг - ионная плазменная частота. Поскольку масса электрона те намного меньше массы иона, то исходную МГД модель можно упростить, полагая тпе — 0. Дальнейшее упро-

щсние состоит в предположении, что характерный масштаб задачи намного превышает ионный дисперсионный размер 6„ что приводит к обычной модели одножидкостной магнитной гидродинамики. В обратном предельном случае, когда характерный масштаб задачи намного меньше получается модель электронной магнитной гидродинамики. В этой модели ионы образуют неподвижный фон, а электроны опис ываются гидродинамически. В модели электронной магнитной гидродинамики масса электрона может как учитываться, так и не учитываться.

Упрощение двухжидкостных МГД и одножидкостных МГД уравнений может идти и по пути так называемого предела большого тороидального поля (редуцированная магнитная гидродинамика, РМ-ГД), который аналогичен пределу несжимаемой жидкости в обычной гидродинамике (§ 1.3).

Для полноты картины в § 1.4 диссертации кратко описаны часто используемые в динамике плазмы гибридные модели, в которых электроны описываются гидродинамически, а ионы кинетически.

В § 1.5 диссертации рассматривается класс течений изучаемых в диссертации. Конфигурации с особенностями магнитного поля и связанные с ними процессы пересоединения широко распространены в космической и лабораторной плазме. Они играют большую роль в физике плазмы солнечной атмосферы, магнитосферах Земли и планет, в динамике плазмы токамаков и компактных торов. Существует широкий класс течений в которых магнитное поле В само по себе не равно нулю, но математическое описание этих течений и их физические свойства близки к случаю В = 0. Примером может служить течения возникающее при развитии тиринг моды в токамаках. Наиболее интересен случай, когда особенность В = 0 разделяет области в которых магнитное поле направлено в разные стороны. В этом случае магнитное поле легко меняет свою топологию (процессы пересоединения), что приводит к появлению силы ускоряющей плазму вдоль магнитного поля до альвеновских скоростей. Появляются также большие электрические поля и токи, происходит интенсивный нагрев плазмы, выброс быстрых частиц. Это в свою очередь ведет к вспышке излучения в широком спектральном диапазоне. Источник энергии всех этих явлений сосредоточен в антипараллельном магнитном поле. Очевидно, что в окрестности особенностей магнитного

ноля скорость распространения некоторых типов возмущений уменьшается в практически интересных задачах до нуля. Даже малые на большом расстоянии от особенности возмущения магнитного поля при приближении к ней становятся существенно нелинейными, что приводит к кумулятивным эффектам в окрестности областей В = 0.

Большая часть задач изучаемых в диссертации решена методами численного моделирования. Аналитические методы исследования использованы в меньшей мере. Обращение к численным методам вполне понятно в связи с большой сложностью возникающих задач. В работе используются конечно-разностные схемы, основные требования к которым, связанные с характером решаемых задач, изложены в § 1.6.

Во второй главе рассматривается двумерное {д/дг = 0) течение в окрестности нулевой линии магнитного поля (Х-точки), возникающее под действием магнитозвуковой и/или альвеновской волн, приходящих от удаленного источника. Эти волны моделируются граничными условиями, в которых задается соответствующее возмущение магнитного поля и которые позволяют плазме протекать через границы расчетной области.

Математическая постановка задачи приведена в § 2.1. Для описания динамики плазмы используются уравнения двухжидкостной магнитной гидродинамики. Предполагается, что давление ионной компоненты мало. Из диссипативных эффектов учитываются сопротивление 7], вязкость ионной компоненты V и теплопроводность плазмы. Начальные условия соответствуют стационарному решению этих уравнений в котором давление и плотность плазмы, а также г - компонента магнитного поля Нг полагаются постоянными, а скорость плазмы - равной нулю. Полоидальное магнитное поле в исходной конфигурации является гиперболическим Нх = у, Ну = х (X-точка). Электрический ток в такой конфигурации равен нулю. Расчетная область представляла собой квадрат — 1 < ж < 1, — I < у < 1 (используются безразмерные переменные). Альвеновс^ая волна моделируется заданием на границе у = ±1 возмущения г - компоненты магнитного поля вида Н2(х,у = ±1) = ±Н\ • лпп(£/£в, 1). Здесь Нг -амплитуда, а („ - время нарастания возмущения. Магнитозвуковая волна моделируется заданием на границе возмущения полоидально-

го магнитного ноля Н = (НХ,НУ), которое соответствует сходящейся линейной цилиндрической волне.

В § 2.2 рассматривается пространственная симметрия поставленной задачи, которая позволяет решать задачу в 1/2 или 1/4 расчетной области и, таким образом, сократить объем вычислений.

В § 2.3 исследуется влияние фонового тороидального магнитного поля, величины начального давления плазмы, а также проводимости, вязкости и теплопроводности плазмы на плазменную конфигурацию с токовым слоем, возникающую при распространении маг-нитозвуковой волны в одножидкостной МГД модели. Показано, что распределение плотности тороидального тока, полоидальной скорости и суммы давлений плазмы и тороидального магнитного поля определяются в основном амплитудой волны и проводимостью плазмы и слабо зависят от других параметров задачи. В то время, как распределение плотности и давления плазмы существенно зависят от величины фонового тороидального поля и теплопроводности. В § 2.4 исследуется влияние эффекта Холла на процесс распространения магнитозвуковой волны. Показано, что эффект Холла приводит к возникновению дисперсионной структуры.

В § 2.5 изучается распространение магнитозвуковой волны в пространственно ограниченой плазме в приближении одножидкостной магнитной гидродинамики. Показано, что ограниченность пространственного размера плазмы может быть причиной внезапного разрушения токового слоя сформировавшегося под действием этой волны. Процесс разрушения сопровождается волной расширения токового слоя распространяющейся с альвеновской скоростью от границ к центру расчетной области (рис. 1). Полученные результаты позволяют объяснить взрывное разрушение токового слоя, наблюдаемого на установке "Токовый слой"(ИОФ РАН).

В § 2.6 исследуется распространение альвеновской волны в идеально проводящей плазме в приближении одножидкостной гидродинамики. Показано, что в случае идеально проводящей плазмы возникают слои как полоидального, так и тороидального тока. Плотность тока в этих слоях за конечное время стремится к бесконечности, а ширина слоя - к нулю, т.е. слои являются сингулярными.

В § 2.7 изучается распространение альвеновской волны в плазме конечной проводимости при наличии динамической вязкости. Ре-

зультаты расчетов показывают, что при неравных нулю коэффициентах динамической вязкости v и магнитной вязкости т) эволюция течения имеет три последовательных этапа. I) От границ у = ±1 (используются безразмерные единицы) расчетной области, на которых задается возмущение тороидального магнитного поля Hz, к нулевой линии (центру координат) вдоль исходного полоидального магнитного поля Н распространяется волна возмущения поля Hz альвенов-ского типа. На расстояниях от центра координат при которых напряженность исходного поля сравнивается с напряженностью Hz в волне, течение становится существенно нелинейным. Под действием магнитного давления НЦ2 плазма сгребается к оси X, деформируя полоидальное магнитное поле. В результате на месте нулевой линии возникает вытянутый вдоль оси X слой г - компоненты тока jz. Появляется также слой полоидального тока j = (—дНг/ду, дНг/дх) (рис. 2). На первом этапе течение аналогично течению в случае идеальной плазмы. II) Упомянутые выше токовые слои не являются стационарными. Вследствие омического нагрева давление плазмы в слое возрастает и возникает волна большого газокинетического давления распространяющая вдоль магнитного поля от токового слоя к границам х = ±1. Распространению этой волны к границам у = ±1 препятствует наличие при > |ж| поля Hz. В итоге на временах порядка десятка альвеновских времен устанавливается конфигурация в которой сумма давлений плазмы и тороидального магнитного поля р + Hz /2 «const. Заметим, что длительность этапов I) и II) слабо зависит от коэффициентов переноса и составляет 10-20 альвеновских времен. III) Этот этап характеризуется тем, что при t —» оо приблизительное равенство р + /2 «const выполняется с возрастающей точностью. Так как избыточное давление поля Hz компенсируется теперь не деформацией полоидального поля, а газокинетическим давлением, то распределение полоидального магнитного поля стремится к своему начальному распределению. Соответственно ток jz, как и полоидальная скорость плазмы, стремится к нулю. Распределение Hz (рис. 3) и тороидальной скорости при t -» оо на стационарной фазе этой существенно нелинейной задачи совпадают с их распределением в линейном случае. При этом плотность полоидального тока |j| ~ Hx/{r]v)xlA.

В § 2.8 исследуется распространение альвеновской волны в плаз-

ме конечной проводимости при отсутствии динамической вязкости. В этом случае картина течения аналогична рассмотренному вьппе случаю, но при £ —> ос ширина слоя полоидального тока стремится к нулю, а плотность тока к бесконечности. Локально токовый слой в этом случае представляет собой тангенциальный разрыв, ширина которого в одномерном случае при конечной проводимости плазмы должна увеличиваться. Результат настоящих исследований говорит о том, что эволюция тангенциального разрыва существенно зависит от глобальных свойств магнитной конфигурации. В частности, в рассматриваемой задаче толщина этого разрыва может уменьшаться до нуля при конечной проводимости, но нулевой вязкости плазмы.

В § 2.9 изучено распространении суперпозиции магнитозвуко-вой и альвеновской волн в окрестности нулевой линии магнитного поля. Показано, что свойства возникающих при этом тороидальных токовых слоев определяются в основном магнитозвуковой волной, а полоидальных - альвеновской.

В § 2.10 исследуется влияния эффекта Холла на распространение альвеновской волны вблизи Х-точки. Показано, что эффект Холла приводит к сносу силовых линий магнитного поля потоком электронов и появлению ассиметрии в распределении электрического тока.

В целом результаты численного моделирования приведенные в Главе 2 показали, что сепаратрисы магнитного поля являются тоководами: токовые слои формируются вблизи сепаратрис в случае широкого круга возмущений.

В § 2.11 Подробно описаны конечно-разностные алгоритмы, которые использовались при получении представленных выше результатов.

В третье главе проведено исследование динамики компактного тора, который являются альтернативой классических систем удержания плазмы. Характерным для компактного тора является то, что его магнитное поле разделяется сепаратрисой на две области -замкнутое и разомкнутое, выходящее за пределы вакуумной камеры. Такая конфигурация может быть создана в цилиндрической камере путем последовательного вмораживания в плазму антипараллельных магнитных полей и последующего их перезамыкания на концах

камеры.

В диссертации приведены математическая постановка задачи (§ 3.1) и результаты численного моделирования процесса формирования компактного тора (§ 3.2) и его продольного сжатия (§ 3.3) на основе аксиально-симметричной одножидкостной МГД модели в которой учитывались проводимость, вязкость и теплопроводность плазмы.

Продольное сжатие компактного тора сопровождается распространением волны характерного поперечного расширения (рис. 4), свойства которой изучены аналитически в § 3.4. Получена связь между скоростью волны, параметрами плазмы и магнитного поля в расширенной части волны и параметрами первоначальной конфигурации, т.е. получены соотношения типа соотношений Гюгонио. В случае, когда магнитное поле в самой плазме отсутствует, эту связь можно получить в виде равенств. В произвольном случае для скорости волны и усредненных по сечению характеристик плазмы можно получить математически строгие оценки сверху и снизу. Причем, в интересной с точки зрения эксперимента области параметров, разность между верхней и нижней границами оценок оказывается небольшой.

Полученные аналитически и численно результаты говорят о том, что при продольном сжатии компактного тора, которое происходит с альвеновской скоростью, происходит сильный нагрев плазмы. При этом по отношению к плотности плазмы волна продольного сжатия может быть как волной сжатия, так и волной разрежения.

В § 3.5 получена связь между параметрами равновесной конфигурации, возникающей после продольного сжатия и релаксации компактного тора, и параметрами компактного тора в момент его формирования, т.е. в момент времени предшествующий продольному сжатию.

В § 3.6 приведены конечно-разностные схемы использованные для численного решения задач динамики компактного тора.

В четвертой главе изучена неустойчивость слияния магнитных ячеек. При этом использовалась модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГД) позволяющая изучить многие закономерности процесса пересоединения, связанные с вмороженностью плазмы

в её электронную компоненту. Рассматривалась двумерная (d/dz = 0) задача.

В § 4.1 приведена математическая постановка задачи. В безразмерном виде уравнения ЭМГД имеют вид

ЭА/dt + {Я2, А) = цАА - i/A2A

dHz/dt + {А, А А} = т)АНх - veA2Hz

Здесь А - z-компонента вектор-потенциала, Hz - z-компонента магнитного поля, r¡ и ve - безразмерные сопротивление и электронная вязкость плазмы, {f,g} = - - скобка Пуассона. Начальные условия А = sin х sin у, Hz = Но sin х sin у соответствовали равновесию, которое нарушалось малым возмущением. Расчетная область имела квадратную форму 0 < х < 2wN, 0 < у < 2nN, где N - целое число. Использовались периодические граничные условия.

В § 4.2 приводятся результаты численного решения поставленной задачи в случае расчетной области малого, совпадающего с пространственным периодом исходной конфигурации размера (N = 1), а в § 4.3 большего размера (N > 1). Показано, что в случае большого размера расчетной области имеет место каскад процессов слияния. В результате каждого процесса размер новых ячеек увеличивается в \/2 раз (рис. 5).

Результаты расчетов показали, что в отличие от одножидкостной МГД модели, в которой распределение плотности тока в области пересоединения имеет форму слоя, в модели ЭМГД это распределение имеет форму пика (рис. 6).

В § 4.4 и § 4.5 приведена аналитическая модель процесса слияния магнитных ячеек, позволяющая объяснить многие особенности полученного численно решения и вычислить соотношение между магнитными энергиями содержащимися в полоидальном и тороидальном поле в конфигурации появляющейся в результате слияния.

В § 4.6 приведены основные физические результаты, полученные в Главе 4. Наиболее важным является следующий. При стремящихся к нулю коэффициентах диссипации (электронной вязкости и сопротивлении плазмы) время нелинейной стадии пересоединения (слияния) является конечным. В одножидкостной МГД модели в аналогичном пределе время пересоединения стремится к бесконечности. По порядку величины это время равно и;"1/2/^. Здесь шсг = с Но / (т , с) - ионная циклотронная частота, 6г - ионный дисперсионный размер, I - характерный размер ячейки. Выражение для времени пересоединения можно переписать в виде 1/ьс, где ьс = сгот/(4жеп) ~ с.И/ (4ne.nl) - характерная токовая скорость электронов в исходной магнитной конфигурации с характерной напряженностью магнитного поля Н (е и п - заряд и плотность электронов). Эта формула говорит о том, что скорость пересоединения в ЭМГД совпадает с характерной токовой скоростью электронов в начальной магнитной конфигурации.

Результаты расчетов также показали, что при отсутствии электронной вязкости и малом, но не нулевом сопротивлении плазмы решение задачи становится сингулярным. Это связано с тем, что в уравнениях электронной магнитной гидродинамики отношение нелинейных членов к диссипативным членам, содержащим проводимость плазмы, (число Рейнольдса) не зависит от масштаба течения.

Для получения описанных выше результатов использовалась неявная конечно-разностная схема первого порядка по времени и второго порядка по пространственным переменным, для реализации которой использовался итерационный процесс (§ 4.7).

В пятой главе исследуется задача о развитии тиринг неустойчивости в двумерной цилиндрической (винтовой) геометрии в двух-жидкостной двухтемпературной МГД модели в которой учтены проводимость, электронная и ионная вязкости, продольная и поперечная (как электронная, так и ионная) теплопроводности плазмы. Изучено влияние на развитие этой неустойчивости эффекта Холла, наличия неравных друг другу электронной и ионной температур, электронной вязкости, теплопроводности, начального распределения давления и плотности плазмы. Математическая постановка задачи дана в § 5.1. Результаты расчетов представлены в § 5.2.

В § 5.2.1 поставленная задача исследуется в пределе одножид-костной МГД, но с учетом электронной вязкости. Показано, что длительность нелинейной стадии развития тиринг неустойчивости при большой проводимости плазмы приблизительно пропорциональна г/"1^4, где ие - коэффициент электронной вязкости. Зависимость от других параметров задачи мала.

В § 5.2.2 исследуется развитие тиринг неустойчивости в случае двухжидкостной магнитной гидродинамики при постоянном начальном давления. Показано, что в этом случае учет эффекта Холла приводит к тому, что при стремящихся к нулю коэффициентах электронной вязкости и сопротивлении плазмы время нелинейной стадии пересоединения является конечным, а не стремится к бесконечности, как в одножидкостной МГД.

Если начальное давление плазмы в центре выше, чем на периферии, то эффект Холла может, наоборот, существенно замедлить процесс пересоединения по сравнению со случаем одножидкостной МГД. Этот случай изучен в § 5.2.3 при постоянной начальной плотности плазмы и в § 5.2.4 в случае, когда начальная плотность плазмы в центре выше, чем на периферии.

В § 5.2.5 приведены значения безразмерных параметров соответствующие типичным параметрам токамаков. Анализ результатов § § 5.2.1-5.2.5 проведенный в § 5.2.6 говорит о том, что электронная вязкость может быть причиной быстрого пересоединения уже в рамках одножидкостной МГД. При этом время пересоединения оказывается даже намного меньше, чем наблюдается в эксперименте. В двухжидкостной МГД эффект Холла может как существенно ускорять нелинейную стадию пересоединения по сравнению с одножидкостной МГД, так и замедлять ее (в случае непостоянного начального давления плазмы). В последнем случае продолжительность нелинейной стадии тирипг неустойчивости зависит от конкретного начального распределения давления и плотности, а также от величины коэффициентов теплопроводности.

В § 5.3 рассматривается релаксация плазменной конфигурации к новому аксиально симметричному состоянию после завершения процесса пересоединения. Показано, что наличие эффекта Холла приводит к возникновению конфигурации в котором плазма испытывает дифференциальное вращение. Другой результат полученный в

этом параграфе состоит в том, что модель редуцированной (несжимаемой) магнитной гидродинамики, которая хорошо описывает стадию развития тиринг неустойчивости в одножидкостной МГД, далеко не всегда правильно описывает стадию релаксации. Этот вопрос подробно обсуждается в следующей главе диссертации.

В § 5.4 описана конечно-разностная схема, которая использовалась для решения задачи о тиринг неустойчивости. Трудности создания этой схемы связаны прежде всего с проблемой получения гладкого решения в центре цилиндрической системы координат, который с математической (но не с физической) точки зрения является выделенным. Решение проблемы центра координат является сложной задачей и для уравнений Навье-Стокса. В нашем случае она усугублена сжимаемостью плазмы, наличием магнитного поля и эффектами двухжидкостностной МГД. При построении схемы проблема центра координат была преодолена простым и эффективным методом. Основная идея метода состоит в следующем. Как правило, обсуждаемые трудности связывают с проблемой устойчивости конечно-разностных схем в окрестности центра координат. Однако эти трудности связаны также с ухудшающимися при приближении к центру аппроксимационными свойствами схем. При построении предлагаемой в настоящей работе схемы вопросу аппроксимации было уделено большое внимание. Особенно полезным оказался переход к декартовым компонентам скоростей.

В шестой главе рассматривается задача о проникновении бегущего возмущения в плазму при наличии резонансной поверхности. Интерес к этой задаче связан с разработкой динамического эргодиче-ского дивертора (БЕБ) для токамака ТЕХТ011-94 и других подобных устройств. Эргодический дивертор представляет собой систему катушек переменного тока для создания возмущений магнитного поля, разрушающих магнитные поверхности вблизи резонансной поверхности <¡>=3. Распределение тока С, £) в катушках можно приближенно описать как ]с « /(<р) соз(ттир — п(У До + — гс). Здесь (р - полоидальный угол, С - тороидальная координата, До -большой радиус токамака, гс - радиус расположения катушек, тп 12 н п 1 - номера основных полоидальных и тороидальных гармоник, и - частота тока катушках. Функция / определяется конструк-

цией БЕБ. Она примерно равна 1 на внутренней поверхности тора и близка к 0 на внешней. Возникает вопрос о возможности проникновения этого возмущения в высоко проводящую плазму.

Магнитное поле, создаваемое дивертором представляет собой бегущую волну. В линейном приближении картины проникновения бегущей и стоячей волн не имеют принципиальных различий. Решение задачи о стоячей волне может быть представлена в виде полусуммы двух бегущих в противоположных направлениях волн. Однако, при наличии резонансной поверхности, в случае бегущей волны нелинейные эффекты начинают существенно проявляться уже при амплитуде возмущения, много меньшей величины исходного магнитного поля, когда стоячая волна еще может быть описана в линейном приближении. Показано, что картины проникновения стоячей и бегущих волн имеют принципиальные различия. При этом в случае бегущей волны определяющую роль в проникновении возмущения вглубь плазмы играет ускорение плазмы как целого. Подчеркнем, что эргодического дивертор для токамака ТЕХТОГ1-94 оперирует в диапазоне параметров, соответствующему нелинейному случаю.

В § 6.1 рассматривается плоская двумерная д/дг = 0 задача о проникновении возмущения магнитного поля заданного на границе в плазму при наличии резонансной поверхности. Для описания течения используются как редуцированные, так и нередуцированные уравнения одножидкостной магнитной гидродинамики. В § 6.1.1 показано в каком приближении процессы происходящие в пристеночной плазме токамака могут быть описаны в приближении плоской геометрии. В § 6.1.2 дана математическая постановка задачи. Коротко приведем постановку задачи в случае редуцированной (несжимаемой) МГД. В безразмерных переменных уравнения для скорости V и магнитного потока ф (магнитное поле {Нх, Ну) = (дф/ду, —дгр/дх)) имеют вид

дф/дЬ + V ■ Чф = т)(Аф - 1) дх/дЬ + V • Уу = 1/ДV - АфУф - Ур У у = 0

Здесь г] и V - коэффициенты магнитной и динамической вязкости. Начальные условия соответствуют равновесию неподвижной

(у = 0) плазмы в магнитном поле с нейтральной поверхностью при х = 0 (■ф = х2/2). Решение ищется в области 0<ж<1,0<у<г/о-Полагается периодичность по у с периодом уо и симметрия относительно оси а: = 0. На границе х — 1 задается магнитный поток соответствующий бегущей ф(х = 1) = 1/2 — фр( 1 — е~1/1° ) соз(27г(у — Ур1)/уо), либо стоячей ф(х = 1) = 1/2 — г/>р(1 — сов(ш^) волне.

Здесь г!>р - амплитуда волны, ¿о - время включения возмущения, ьр -фазовая скорость бегущей волны, из - частота стоячей волны.

Далее приведены результаты численного решения поставленной задачи. В § 6.1.3 и § 6.1.4 показано, что в случае стоячей волны на больших временах установливается периодическое течение в котором максимум плотности тока достигается на некотором расстоянии от резонансной поверхности. Положение максимума тока соответствует альвеновскому резонансу. В §§ 6.1.5-6.1.8 рассматривается проникновение бегущей волны, которое имеет различный характер в зависимости от того меньше фазовая скорость волны альвеновской скорости или больше. В первом случае на резонансной поверхности образуется токовый слой, в котором происходит ускорение плазмы. Ускорение плазмы вне слоя происходит в основном благодаря действию сил вязкости и требует значительно большого времени. На этом этапе величина возмущения магнитного поля в плазме мала. Токовый слой начинает разрушаться, а магнитное поле начинает проникать в плазму тогда, когда большая часть плазмы ускоряется до фазовой скорости. В результате устанавливается конфигурация, в которой плазма движется с фазовой скоростью, а распределение магнитного поля в плазме совпадает со своим вакуумным распределением.

В случае фазовой скорости большей альвеновской, наличие бегущей волны приводит к образованию скин-слоя на границе плазмы, где происходит ускорение плазмы. После того, как разность между фазовой скоростью и скоростью плазмы становится порядка альвеновской скорости, дальнейшее развитие процесса полностью повторяет процесс проникновения бегущей волны в случае доальвенов-ской фазовой скорости. При определенных условиях (например, при большой амплитуде возмущения) в случае сверхальвеновско фазовой скорости возможно развитие мелкомасштабной неустойчивости(§§ 6.1.7, 6.1.8).

Результаты приведенные в предыдущих параграфах получены в приближении редуцированной (несжимаемой) МГД. В § 6.1.9 изучается влияние сжимаемости плазмы. Показано, что это влияние несущественно.

В § 6.1.10 показано, что проникновение бегущей волны может описано в линейном приближении и имеет необходимое соответствие со стоячей волной только в случае очень малых амплитуд волны. При этих амплитудах стоячая волна хорошо описывается в линейном приближение.

Далее в § 6.1 обсуждается соответствие между параметрами DED TEXTOR и безразмерными параметрами, используемыми в работе (§ 6.1.11). В § 6.1.13 приведена конечно-разностная схема использовавшаяся для решения поставленной задачи. Особенностью этой задачи является то, что в данной задаче при построении схемы удобнее использовать переменные скорость-давления, а не переменные функция тока-вихрь.

В § 6.2 исследуется задача о проникновении бегущего возмущения в плазму на основе редуцированных МГД уравнений в цилиндрической геометрии в двумерном случае. В этой задаче граничные условия на магнитное поле учитывали тот факт, что катушки с током, создающим возмущение магнитного поля, расположены вне плазмы в вакууме. Математическое описание системы токов, создаваемой этими катушками и граничное условие на магнитное поле, соответствующее им приведены в § 6.2.1 и § 6.2.7. Математическая постановка задачи дана в § 6.2.2. В используемой модели учтены проводимость и вязкость плазмы, а также эффекты перезарядки и магнитной накачки. Последние моделировались введением дополнительной силы трения в уравнения для скорости.

В § 6.2.1 приведены результаты моделирования. Они показали, что процесс проникновения аналогичен этому процессу в плоской геометрии. Параметры реальных токамаков соответствуют случаю доальвеновской фазовой скорости возмущения. Результаты расчетов показали, что в установившейся конфигурации плазма между резонансной поверхностью и стенкой токамака вращается с фазовой скоростью, а ядро плазмы, благодаря эффектам перезарядки и магнитной накачки, остается неподвижным. При этом распределение возмущения магнитного поля в плазме практически совпадает с

распределением поля в вакууме.

Двумерная модель позволяет описать влияние полоидального ускорения плазмы на процесс проникновения возмущения поля катушек в плазму. Для оценки влияния реальной трехмерной геометрии катушек в случае DED TEXTOR на полоидальное (но не тороидальное ) ускорение плазмы и проникновение возмущения магнитного поля в плазму использовалась возмущение представляющее собой суперпозицию волн бегущих с разными фазовыми скоростями. Результаты расчетов показали, что в этом случае устанавливается периодическое во времени решение, в котором распределение возмущения магнитного поля в плазме далеко от своего вакуумного распределения.

Исследование процесса проникновения поля бегущего возмущения в плазму в двумерной постановке более точно соответствует геометрии токамака CSTN-IV. Поэтому в § 6.2.5 приведены результаты расчетов в случае параметров, соответствующих этой установке.

В § 6.2.8 приведена конечно-разностная схема, используемая для решения поставленных задач. В этой схеме использовались переменные скорость-давление. Используемые алгоритмы имели второй порядок аппроксимации по пространственным переменным и первый -по времени- Расчеты показали достаточно высокую эффективность созданных конечно-разностные схем.

Реальная геометрия DED TEXTOR является трехмерной. Решение МГД уравнений в трехмерном случае требует большого объема вычислений. Параметры эргодического дивертора формально позволяют применить более простые редуцированные МГД (РМГД) модели. Однако, особенности устройства дивертора таковы, что классические уравнения РМГД не в состоянии адекватно описать его работу в соответствующей реальности трехмерной геометрии. В частности, возникает принципиальная необходимость учета отсутствующей в РМГД тороидальной скорости. Отвлекаясь от задачи об эргодиче-ском диверторе заметим, что применимость РМГД ограничена также в силу ряда других причин. Например, в РМГД, наряду с быстрыми магнитозвуковыми возмущениями, отброшены и медленные маг-нитозвуковые возмущения. К недостаткам классических вариантов РМГД относятся также трудности, возникающие при попытке учесть тороидальную геометрию, несовпадение классов стационарных ре-

шений одножидкостных МГД и РМГД уравнений и т.п.. Поэтому в §6.3 диссертации проведено сравнение имеющихся РМГД моделей и предложена модифицированная модель РМГД, свободная от недостатков классических РМГД моделей, которая может быть использована для решения задачи об эргодическом диверторе в трехмерном случае.

Основные результаты

1. Представлена иерархия МГД моделей, используемых для описания процессов пересоединения в плазме и показано их место среди других моделей. Созданы численные модели различного уровня сложности описывающие процессы пересоединения.

2. На основе математического моделирования проведено исследование распространения возмущений различного типа в окрестности Х-точки магнитного поля. Показано, что

- магнитозвуковое возмущение в модели одножидкостной МГД приводит к образованию конфигурации с токовым слоем с 4 отростками. Свойства этой конфигурации определяются, в основном, проводимостью плазмы и амплитудой возмущения и слабо зависят от других параметров задачи;

- ограниченность пространственного размера плазмы может являться причиной взрывного разрушения токового слоя на установке "Токовый слой";

- при распространении альвеновского возмущения возникает существенно нелинейное течение плазмы, приводящее к установлению конфигурации, в которой распределение тороидального поля соответствует его распределению в линейном приближении. При этом плотность электрического тока оказывается пропорциональной амплитуде возмущения и величине {щ)*1^, где и - вязкость, а г) -магнитная вязкость плазмы;

- в случае равной нулю вязкости плазмы при Ь оо возникает конфигурация, в которой тороидальное поле и давление плазмы терпят разрыв на сепаратрисной поверхности. При бесконечной проводимости плазмы течение оказывается сингулярным;

- при распространении комбинированного возмущения магнитного поля структура установившегося полоидального магнитного по-

ля определяется в основном магнитозвуковой компонентой возмущения, а тороидального - альвеновской;

- при любом типе возмущения магнитного поля электрический ток генерируемый этим возмущением течет вдоль сепаратрисных поверхностей.

3. Численное моделирование продольного сжатия компактного тора показало, что этот процесс сопровождается формированием волны поперечного расширения.

Найдены аналитические соотношения между параметрами н(^возмущенной плазмы и плазмы в расширенной части компактного тора. Показано, что волна поперечного расширения может быть как волной разрежения, так и волной сжатия.

4. Исследована неустойчивость слияния магнитных островов в приближении электронной магнитной гидродинамике (ЭМГД). Создана полуэмпирическая модель позволяющая объяснить многие особенности процесса слияния ячеек в ЭМГД. Показано, что

- развитие неустойчивости сопровождается каскадом процессов слияния ближайших ячеек. В каждом из этих процессов масштаб возникающих структур увеличивается в у/2 раз;

- в отличие от одножидкостной МГД модели, в которой распределение плотности тока в области пересоединения имеет форму слоя, в модели ЭМГД это распределение имеет форму пика;

- в модели ЭМГД решение задачи о пересоединении при небольшом сопротивлении плазмы сингулярно. Для преодоления сингулярности необходимо учитывать электронную вязкость;

- в отличие от одножидкостной МГД модели, в которой при стремящихся к нулю сопротивлении и электронной вязкости длительность нелинейного этапа пересоединения стремится к бесконечности, в ЭМГД модели длительность нелинейного этапа пересоединения конечна. При этом скорость пересоединения имеет порядок токовой скорости электронов в начальной конфигурации.

5. Решена задача о развитии тиринг неустойчивости в приближении двухжидкостной МГД. Показано, что

- электронная вязкость может быть причиной быстрого пересоединения уже в рамках одножидкостной МГД.

- в двухжидкостной МГД в случае постоянных начальных плотности и давления эффект Холла существенно ускоряет пересоеди-

нение на нелинейной стадии по сравнению с одножидкостной МГД. При этом время пересоединения не зависит от величины сопротив-1 ления и электронной вязкости.

- при наличии градиентов начальных плотности и давления учет эффекта Холла может существенно замедлять нелинейную стадию пересоединения по сравнению с одножидкостной МГД. В этом случае продолжительность нелинейной стадии зависит от конкретного начального распределения давления и плотности, а также от вели-

( чины теплопроводности. При этом процесс пересоединения может

носить немонотонный характер и сопровождаться генерацией новых островов и появлением нескольких локальных максимумов плотно-¿ сти тока.

6. Исследован процесс проникновения бегущей волны в плазму при наличии нейтральной поверхности.

Показано, что процесс проникновения бегущей волны определяется не альвеновским, как это имеет место в линейном случае, а тиринг резонансом. Большую роль в этом процессе играет ускорение плазмы как целого. Переход от линейного к нелинейному случаю происходит при очень малых амплитудах волны. При таких амплитудах случай стоячей волны хорошо описывается линейным приближением.

Численное исследование задачи о проникновении поля бегущей волны в двумерном случае в цилиндрической геометрии при параметрах соответствующих параметрам эргодического дивертора то-Ь камака TEXTOR (DED) показало, что

- в случае двумерного возмущения имеет место полное проникновение поля DED в плазму. При этом плазма на периферии вращается в азимутальном направлении с фазовой скоростью волны, а ядро плазмы, в результате действия эффектов перезарядки и магнитной накачки, неподвижно;

для изучения которого необходимо использовать трехмерные модели. Для этой цели предложена трехмерная редуцированная МГД модель, учитывающая медленные магнитозвуковые возмущения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Буланов C.B., Дудникова Г.И., Жуков В.П. и др. Токовые слои в окрестности критических точек магнитного поля//Труды ИОФАН. 1996. Т. 51. В. 2. С. 101-123.

2. Буланов C.B., Дудникова Г.И., Жуков В.П. и др. Численное моделирование токового слоя в окрестности нулевой линии магнитного поля//Краткие сообщения по физике. 1994. N 5-6. С. 28-33.

3. Буланов C.B., Дудникова Г.И., Жуков В.П. и др. Пересоединение магнитных силовых линий в окрестности критических точек// Физика плазмы. 1996. Т. 22. N 10. С. 867-895.

4. Жуков В.П. О продольной волне в конфигурации с нейтральным слоем. Препринт/ИТПМ СО РАН. N 9-87. Новосибирск. 1987.

5. Дудникова Г.И., Жуков В.П., Карабаев О.И. Двумерная численная модель взаимодействия компактных торов//Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск. 1985. С. 139-144.

6. Жуков В.П. Слияние магнитных ячеек в модели электронной магнитной гидродинамики//Физика плазмы. 2002. Т. 28. N 5. С. 451-461.

7. Жуков В.П. Редуцированные МГД-уравнения с учетом медленного магнитного звука//Физика плазмы. 2001. т. 27. N 7. С. 630-636.

8. Жуков В.П. Схема с итерациями для решения двумерных МГД-уравнений с учетом эффекта Холла//ЖВММФ. 1997. Т.37. N 3. С.348-354.

9. Жуков В.П., Фукс Г. Влияние эффекта Холла на процесс пересоединения в винтовой геометрии //Физика плазмы. 1998. Т. 24. N 11. С. 996-1002.

10. Дудникова Г.И., Жуков В.П., Фукс Г. Поведение плотности и полного давления в процессе вынужденного и спонтанного пересоединения// ПМТФ. 1999. Т. 40. N 4. С. 11-15.

11. Дудникова Г.И., Жуков В.П. Формирование токового слоя под действием альвеновского импульса в идеально проводящей плазме// Вычислительные технологии. Новосибирск. 1995. Т.4. N 11. С.108-118.

12. Жуков В.П., de Blank H.J., Шваб И.В. Проникновение бегущей волны в плазму при наличии резонансной поверхности// Вычислительные технологии. 2003. Т.З N 5. С. 40-57.

13. Zhukov V.P., de Blank Н. J., Kobayashi M., Schwab I.V. The comparison of the penetration process of running and standing waves into a plasma with resonance surface// Phys. Plasmas. 2004. V. 11. N 4. P. 1459-1468.

14. Zhukov V.P., Finken K.H. The interaction of the DED magnetic field with a tokamak plasma//Nucl. Fusion. 2004. V. 44. N 6. P. S44-S54.

15. Zhukov V.P., Bulanov S.V., Inovenkov I.N., DudnikovaG.I., Pichusch-kin V.V. Current Sheets near Separatrix Surfaces of the Magnetic Field// Physical Lett. A. 1995. V. 203. P. 219-223.

16. Zhukov V.P., Bulanov S.V., InovenkovI.N., Dudnikova G.I., Pichusch-kin V.V. Current Sheets near Magnetic Separatrix Surfaces//Small Scale Structures in 3-D Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics Turbulence. Proc., Nice, France, 1995. Abstracts. - Springer.-Berlin.-1995

17. Zhukov V.P., Bulanov S.V., InovenkovI.N., Dudnikova G.I., Pichusch-kin V.V. Current Sheets near Magnetic Separatrix Surfaces//Small Scale Structures in 3-D Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics Turbulence. Proc., Nice, France, 1995. Lectures Notes in Phys.- Springer.-Berlin.-1995. P. 325-330.

18. Zhukov V.P., Bulanov S.V., InovenkovI.N., Dudnikova G.I., Pichusch-kin V.V., Farina D., Pegoraro F., Nocera L., Naumova N.M. Dynamics of the Plasmas and Charged Particles near Separatrix Surfaces of the Magnetic Field// The 6-t,h European Conference on Theory of Fusion Plasmas, October 1995, Utrecht, Holland.

19. Zhukov V.P., Dudnikova G.I., Lisceikina T.V. Hall Effect in Plasma Flow near X-point// ICOPS'95, Abstracts of 1995 IEEE International Conference on Plasma Science, the University of Wisconsin, Madison, USA, 1995, P. 276.

20. Жуков В.П., Дудникова Г.И., Лисейкина Т.В. Влияние эффекта Холла на структуру МГД течений плазмы//Межд. конференция Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Новосибирск, 27 мая - 2 июня 1996.

21. Жуков В.П., Дудникова Г.И., Лисейкина Т.В. Численное моделирование внезапного изменения топологии магнитного поля / / Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. N 6. С. 31-35.

22. Жуков В.П., Fuchs G. Влияние эффекта Холла на сжимаемость плазмы в сильном тороидальном магнитном поле//ПМТФ. 1998. Т. 39. N 2. С. 3-9.

23. Жуков В.П., Fuchs G. О приближении несжимаемости в магнитной гидродинамике//МЖГ. 1999. N 1. С. 145-149.

24. Zhukov V.P., Dudnikova G.I. Propagation of the Alfvenic impulse in X-point vicinity//Abstract Book European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS-2000 11-14 Sept. 2000 Barcelona, Spain.

25. Жуков В.П. Дудникова Г.И. Образование токового слоя при прохождении альвеновской волны в окрестности Х-точки// Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 4. С. 188-192.

26. Жуков В.П. Явная конечно-разностная схема для МГД-уравнений с учетом эффекта Холла//ЖВММФ. 1994. Т. 34. N 8-9. С. 1330-1335

27. Жуков В.П. О продольном сжатии компактного тора//Физика плазмы. 1995. Т. 21. N 1. С. 31-35.

28. Жуков В.П. Динамика цилиндрического нейтрального слоя// Вычислительные технологии. 1994. Т. 3. N 9. С. 31-40.

29. Жуков В.П., Дудникова Г.И. Влияние вязкости на токовые слои возникающие при распространении альвеновского импульса в гиперболическом магнитном поле//ПМТФ. 1999. Т. 40. N 6. С. 11-16.

30. Жуков В.П., Дудникова Г.И. О токовых слоях возникающих под действием альвеновского и магнитозвукового импульса в окрестности нулевой линии магнитного поля//Физика плазмы. 2001. Т. 27. N 11. С. 1009-1018.

31. Zhukov V.P., de Blank H.J., Rem J. The role of current layers in magnetic field stochastization//European Physical Society, Abstracts of Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Budapest, Hungary, 12-16 June 2000.

32. Zhukov V.P., de Blank H.J., Rem J., Schep T.J., Valori G. Numerical studies in nonlinear magnetic reconnection// 12-th symposium on Plasma Physics and Radiation technology, Lunteren, 1999.

33. Zhukov V.P., de Blank H.J. Break-up of the tokamak magnetic field structure by means of rotating external perturbations//14-th symposium on Plasma Physics and Radiation technology, Lunteren, 14-15 Feb., 2001. Abstracts. P. 38

34. Zhukov V.P., de Blank H.J., Schwab I.V. Penetration of a rotating

magnetic field perturbation into plasma with resonance surface // 1-st International Workshop on Stochasticity in Fusion Edge Plasmas (SEP), 6-8 Oct., 2003. Abstracts. P. 17.

35. DudnikoVa G.I, Zhukov V.P., Frank A.G. The numerical simulation of the current sheet formation and disruption in 'Current Sheet' device// 5-th International Conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement, Novosibirsk, Russia, 5-9 July, 2004. Abstracts. P.84.

36. Жуков В.П. Конечно-разностная схема для решения двухжид-костных МГД уравнений в цилиндрической системе координат // ЖВММФ. 2005. Т. 45. N 1. С. 156-169.

37 . Жуков В.П., Дудникова Г.И., Франк А.Г. Численное моделирование формирования и эволюции токового слоя в ограниченной плазме//Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. N 3. С. 39-49. 38. Жуков В.П. Моделирование тиринг неустойчивости в нередуцированной двухжидкостной магнитной гидродинамике//Физика плазмы. 2005. Т. 31. N 8. С. 721-732.

t = l■Ota *=12.0гв

Рис. 1. Процесс разрушения токового слоя в случае ограниченного пространственного размера плазмы. Распределение плотности тока в различные моменты времени. Более светлые области соответствуют большей плотности тока, - альвеновское время.

Рис. 2. Типичное распределение плотности тороидального тока и поле плотности полоидального тока j в случае альвеновской волны на этапе I развития течения. 1/4 расчетной области.

Рис. 3. Типичное распределение тороидального магнитного поля Н7 и плотности тороидального тока j в случае

альвеновской волны при Г—<1/4 расчетной области.

0 1.5 3.0 г 4.5

Рис. 4. Продольное сжатие компактного тора. Картина силовых линий магнитного поля. Единица длины соответствует радиусу камеры.

1 I,

Рис. 5. Неустойчивость слияния. Картина изолиний вектор-потенциала А соответствующая различным фазам процесса. N=4.

РОСндцИонАЛь

библиотек )

) «

Рис. 6. Неустойчивость слияния. Типичное распределение плотности г-компоненты электрического тока (ДА). N=2.

Отпечатано в ЗАО РИЦ «Прайс-курьер». Адрес: г. Новосибирск, пр. ак. Лаврентьева, 6, офис 118, т. (383) 330-7202. Подписано в печать 09.11.2005 г. Формат 60x84 1/16. Объем 2 п.л.. Тираж 110 экз, заказ № 759.

»--4 94

н»

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Жуков, Владимир Петрович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Гидродинамические модели плазмы и методы их численной реализации.

§1.1 Кинетическое и гидродинамическое описание плазмы.

§1.2 Иерархия магнитогидродинамических моделей плазмы.

§1.3 Редуцированные МГД модели.

§1.4 Гибридные модели.

§1.5 Класс рассматриваемых задач. Процессы пересоединения.

§1.6 Методы численного решения МГД уравнений.

Глава 2. Распространение возмущений в окрестности нулевой линии магнитного поля.

§2.1 Математическая постановка задачи.

§2.2 Пространственная симметрия задачи.

§2.3 Распространение магнитозвукового импульса в одножидкостной МГД.

§2.4 Влияние эффекта Холла на распространение магнитозвукового импульса.

§2.5 Распространение магнитозвукового возмущения в случае пространственно ограниченной плазмы. Взрывное разрушение токового слоя.

§2.6 Распространение альвеновского возмущения в идеально проводящей плазме (77 = 0).

§2.7 Распространение альвеновского возмущения в плазме конечной проводимости при наличии динамической вязкости

§2.8 Распространение альвеновского возмущения в плазме конечной проводимости при отсутствии динамической вязкости

П ф 0, у = 0).

§2.9 Распространение комбинированного альвеновского и магнитозвукового возмущения.

§2.10 Влияние эффекта Холла на распространение альвеновского импульса.

§2.11 Конечно-разностные схемы для расчета течений в окрестности

Х-точке.

Иллюстрации к Главе 2.

Глава 3. Динамика компактных торов.

§3.1 Математическая постановка задачи.

§3.2 Формирование компактного тора.

§3.3 Продольное сжатие компактного тора.

§3.4 Структура волны продольного сжатия КТ.

§3.5 Установившаяся конфигурация КТ.

§3.6 Конечно-разностные алгоритмы.

Иллюстрации к Главе 3.

Глава 4. Слияние магнитных ячеек в электронной магнитной гидродинамике.

§4.1 Математическая постановка задачи.

§4.2 Случай расчетной области малого размера.

§4.3 Случай большой расчетной области.

§4.4 Модель малого числа гармоник.

§4.5 Перераспределение энергии в результате слияния магнитных ячеек.

§4.6 Основные физические результаты исследования неустойчивости слияния магнитных ячеек.

§4.7 Конечно-разностная схема.

Иллюстрации к Главе 4.

Глава 5. Исследование тиринг неустойчивости в модели нередуцированной магнитной гидродинамики.

§5.1 Математическая постановка задачи.

§5.1.1 Вид различных дифференциальных операторов при наличии винтовой симметрии.

§5.2 Результаты расчетов.

§5.2.1 Предел одножидкостной МГД (а = 0).

§5.2.2 Двухжидкостная МГД. T(t = 0) =const, p(t = 0) = 1.

§5.2.3 Двухжидкостная МГД. T{t = 0) ^const, p(t = 0) = 1.

§5.2.4 Двухжидкостная МГД. T(t = 0) =^const, p(t = 0) =^const.

§5.2.5 О значении безразмерных параметров.

Введение диссертация по механике, на тему "Математическое моделирование МГД течений плазмы с особенностями магнитного поля"

Плазма, представляющая собой газообразную смесь положительных, отрицательных и нейтральных частиц, является наиболее широко распространенным в природе состоянием вещества. Примером могут служить астрофизические объекты: звездное и межзвездное вещество, магнитосферы планет. Вещество находится в плазменном состоянии также в многочисленных технических устройствах, молнии и т.д. Интенсивное изучение горячей плазмы началось в пятидесятые годы в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза (УТС), поскольку для осуществления реакции синтеза необходимо нагреть вещество до "звездных "температур, что приводит к превращению газа в плазму. В настоящей диссертации будут рассматриваться процессы характерные для полностью ионизированной (не содержащей нейтральных частиц) горячей плазмы имеющей место в экспериментах по УТС и в космических объектах (солнечная корона, магнитосфера планет и т.п.).

Динамика плазмы имеет особенности, отличающие ее от гидро- и газодинамики нейтральных сред. Во-первых, плазма погружена в магнитное поле, составляя с ней единую магнитоплазменную конфигурацию. Во-вторых, плазменным процессам присуща чрезвычайная сложность и многообразие, хотя законы, управляющие поведением плазмы очень просты: частицы движутся под действием силы Лоренца, оставаясь, как правило, в рамках нерелятивисткого неквантового описания. Это связано с тем, что в плазме существуют многочисленные виды колебаний и неустойчивостей, имеющих широчайший спектр пространственно-временных масштабов, и взаимодействующих друг с другом и частицами, что приводит к изменению макроскопического состояния магнитоплаз-менной конфигурации [1-8].

Экспериментальные и наблюдательные данные, а также результаты теоретических исследований говорят о том, что области, в которых магнитное поле в плазме равно нулю, являются особыми. Как правило, эти области представляют собой нулевые (нейтральные) точки, линии, поверхности. В окрестности особенностей магнитного поля создается возможность для быстрого высвобождения магнитной энергии, что приводит к внезапному ускорению и нагреву плазмы, появлению сильных электрических полей, излучению и т.д. При этом может происходить кардинальное изменение топологии магнитного поля или, как говорят, пересоединение силовых линий магнитного поля.

Настоящая диссертация посвящена изучению магнитогидродинамиче-ских течений происходящих в конфигурациях содержащих особенности магнитного поля.

Актуальность темы обусловлена широким распространением и важностью течений в конфигурациях содержащих особенности магнитного поля. Согласно современным представлениям солнечные вспышки, нагрев солнечной короны, суббури в магнитосфере Земли во многом обусловлены именно этими процессами. С перезамыканием связаны релаксационные колебания в токамаках. Транспортные барьеры в токамаках также возникают в окрестности нейтральных поверхностей. Как показано в настоящей диссертации, наличие нейтральных (резонансных) поверхностей в конфигурации токамака играет определяющую роль при проникновении магнитного поля эргодического дивертора в плазму. Процессы пересоединения в системах с обращенным магнитным полем и последующего сжатия образовавшейся в результате этого пересоединения замкнутой магнитоплазменной конфигурации используются для формирования так называемых компактных торов - одного из альтернативных направлений УТС.

Процессы пересоединения в относительно холодной плазме, которая описывается уравнениями одножидкостной магнитной гидродинамики, изучаются уже на протяжении 40 лет и исследованы достаточно хорошо. Тем не менее, и в этом случае практика ставит новые задачи. Некоторые из этих задач рассмотрены в настоящей диссертации.

В горячей плазме современных установок по УТС и плазме солнечной короны существенную роль играют эффекты, которые описываются двухжидкостной магнитной гидродинамикой и кардинально изменяют картину пересоединения по сравнению со случаем одножидкостной гидродинамики. Несмотря на то, что последнее десятилетие эти вопросы изучаются очень интенсивно, влияние этих эффектов на процессы пересоединения исследованы относительно слабо. Строго говоря, не существует даже отчетливого качественного объяснения многих явлений. В настоящей диссертации этим вопросам уделено значительное внимание.

Ввиду большой сложности уравнений, описывающих поведение плазмы, наличия многих эффектов и пространственно-временных масштабов изучение задач физики плазмы в более или менее реальной постановке немыслимо без численного анализа. Кроме того, современный эксперимент в физике плазмы требует больших материальных затрат, что также приводит к необходимости создания численных моделей. В настоящей диссертации значительное внимание уделено созданию численных методов решения (конечно-разностных схем) уравнений магнитной гидродинамики. С их помощью исследованы актуальные проблемы динамики плазмы, возникающие при описании течений плазмы при наличии особенностей магнитного ноля и при интерпретации экспериментальных и наблюдательных данных.

Цель работы состоит в изучении магнитогидродинамических (МГД) течений в окрестности особенностей магнитного поля на примере конкретных задач, представляющих научно-практический интерес. Для решения этих задач возникает необходимость создания эффективных численных методов, что также является целью настоящей работы.

К задачам, рассмотренным в настоящей диссертации, относятся следующие: распространение возмущений магнитного поля различного типа в окрестности Х-точки, некоторые вопросы динамики компактных торов, неустойчивость слияния в электронной магнитной гидродинамике, развитие тиринг неустойчивости, динамика проникновения возмущения магнитного поля в плазму при наличии нейтральной поверхности. Последние две задачи имеют непосредственное отношение к пилообразным колебаниям в токамаке и работе эргодического дивертора в токамака соответственно. При этом возникает необходимость в существенном улучшении широко используемых редуцированных МГД моделей плазмы, что также было проведено в настоящей диссертации.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации без ссылок на чужие работы, являются новыми и состоят в следующем:

4. Изучена неустойчивость слияния магнитных ячеек в модели электронной магнитной гидродинамике. Показано, что длительность нелинейной стадии спонтанного пересоединения в электронной магнитной гидродинамике остается конечным при стремлении к нулю сопротивления плазмы и электронной вязкости. Это время, определяется типичной токовой скоростью электронов исходной магнитной конфигурации.

5. Изучены особенности развития тиринг неустойчивости в цилиндрической (винтовой) геометрии в нередуцированных одножидкостной МГД и двухжидкостной МГД моделях плазмы. Изучено влияние эффекта Холла, электронной вязкости, градиентов электронного давления в обобщенном законе Ома, начального распределения давления и продольной теплопроводности на эту неустойчивость.

6. Показано, что на нелинейной стадии пересоединения в двухжидкостной МГД модели эффект Холла становится определяющим и приводит, в зависимости от распределения начального давления, к аномально быстрому либо аномально медленному (с точки зрения одножидкостной МГД) пересоединению. Показано, что электронная вязкость также может приводить к существенному ускорению процесса пересоединения. Эти эффекты позволяют лучше понять явления быстрого и неполного пересоединения при развитии тиринг неустойчивости в токамаках и малое время солнечных вспышек.

7. Изучен механизм проникновения бегущей волны возмущения магнитного поля эргодического дивертора в плазму. Показано, что проникновение стоячей и бегущих волн в плазму может носить абсолютно разный характер даже при малой' амплитуде волны. Показано, что условие малости амплитуды волны по сравнению с исходным магнитным полем является недостаточным условием для применимости линейного приближения в случае бегущей волны. Получены редуцированные одножид-костные МГД уравнения, которые могут быть использованы для моделирования эргодического дивертора. Эти уравнения учитывают медленные магнитозвуковые возмущения, тороидальную скорость и особенности тороидальной геометрии.

Практическая значимость работы состоит в решении задач, имеющих. важное значение для исследования процессов, происходящих в лабораторной и космической плазме. Например, дано объяснение взрывного разрушения токового слоя наблюдаемого в экспериментах на установке "Токовый слой". Одним из факторов препятствующих созданию термоядерного реактора на основе токамака является присутствующие во всех установках этого типа пилообразные колебания и неустойчивости срыва. Природа этих явлений непосредственно связана с процессами пересоединения. В случае ловушек типа "компактный тор", перезамыкание магнитных силовых линий играет положительную роль, позволяя создать замкнутую конфигурацию и эффективно нагреть плазму. Непосредственный практический интерес представляет и моделирование эргодического дивертора. Разработанные в диссертации численные методы решения МГД уравнений и редуцированная МГД модель, в которой учтены медленные магнитного звука могут найти применения при решении различных проблем физики плазмы.

Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитированной литературы из 251 наименований. Объем диссертации составляет 331 страницу, включая 53 рисунка на 59 листах.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

2. На основе математического моделирования проведено исследование распространения возмущений различного типа в окрестностй Х-точки магнитного поля. Показано, что

- при распространении альвеновского возмущения возникает существенно нелинейное течение плазмы, приводящее к установлению конфигурации, в которой распределение тороидального поля соответствует его распределению в линейном приближении. При этом плотность электрического тока оказывается пропорциональной амплитуде возмущения, и величине где v - вязкость, a rj - магнитная вязкость плазмы;

- в случае равной нулю вязкости плазмы при t —¥ оо возникает конфигурация, в которой тороидальное поле и давление плазмы терпят разрыв на сепаратрисной поверхности. При бесконечной проводимости плазмы течение оказывается сингулярным;

- при распространении комбинированного возмущения магнитного поля структура установившегося полоидального магнитного поля определяется в основном магнитозвуковой компонентой возмущения, а тороидального - альвеновской;

Найдены аналитические соотношения между параметрами невозмущенной плазмы и плазмы в расширенной части компактного тора. Показано, что волна поперечного расширения может быть как волной разрежения, так и волной сжатия.

5. Решена задача о развитии тиринг неустойчивости в приближении двухжидкостной МГД. Показано, что

- электронная вязкость может быть причиной быстрого пересоединения уже в рамках одножидкостной МГД.

- в двухжидкостной МГД в случае постоянных начальных плотности и давления эффект Холла существенно ускоряет пересоединение на нелинейной стадии по сравнению с одножидкостной МГД. При этом время пересоединения не зависит от величины сопротивления и электронной вязкости.

- при наличии градиентов начальных плотности и давления учет-эффекта Холла может существенно замедлять нелинейную стадию пересоединения по сравнению с одножидкостной МГД. В этом случае продолжительность нелинейной стадии зависит от конкретного начального распределения давления и плотности, а также от величины теплопроводности. При этом процесс пересоединения может носить немонотонный характер и сопровождаться генерацией новых островов и появлением нескольких локальных максимумов плотности тока.

Создана конечно-разностная схема для решения задачи о тиринг неустойчивости, в которой успешно преодолены трудности, связанные с получением решения в центре цилиндрической системы координат. б. Исследован процесс проникновения бегущей волны в плазму при наличии нейтральной поверхности.

- Показано, что процесс проникновения бегущей волны определяется не альвеновским, как это имеет место в линейном случае, а тиринг резонансом. Большую роль в этом процессе играет ускорение плазмы как целого. Переход от линейного к нелинейному случаю происходит при очень малых амплитудах волны. При таких амплитудах случай стоячей волны хорошо описывается линейным приближением.

Численное исследование задачи о проникновении поля бегущей волны в двумерном случае в цилиндрической геометрии при параметрах, соответствующих параметрам эргодического дивертора токамака TEXTOR (DED) показало, что

- в трехмерном случае азимутальное вращение плазмы не может обеспечить хорошее проникновение поля DED в плазму. В этом случае существенную роль играет тороидальное ускорение плазмы, для изучения которого необходимо использовать трехмерные модели. Для этой цели предложена трехмерная редуцированная МГД модель, учитывающая медленные магнитозвуковые возмущения.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Жуков, Владимир Петрович, Новосибирск

1. Арцимович Л.А. , Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.:. Атом-издат, 1979.

2. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976 .

3. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1964. Вып. 4. С. 2080.

4. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.

5. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука, 1982.

6. Березин Ю.А., Дудникова Г.И. Численные модели плазмы и процессы пересоединения. М.: Наука, 1985.

7. Березин Ю.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977.

8. Березин Ю.А., Федорук М.П. Моделирование нестационарных плазменных процессов. Новосибирск: Наука, 1993.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

10. Boris J.P. Relativistic plasma simulation optimization of a hybrid code coordinates. Proceedings 4th International Conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Washington, 20-24 September 1970, P.3-17.

11. Брушлинский К.В., Заборов A.M., Сыроватский С.И. Численный анализ токового слоя в окрестности нулевой линии магнитного поля//Физ. плазмы. 1980. Т. 6. Вып. 2. С. 297-310.

12. Нейтральные токовые слои в плазме (Труды ФИАН СССР, т.74). М.: Наука, 1974.

13. Вспышечные процессы в плазме (Труды ФИАН СССР, т.ИО). М.: Наука, 1979.

14. Имшеник B.C., Сыроватский С.И. Двумерные течения идеального проводящего газа в окрестности нулевой линии магнитного поля// ЖЭТФ 1967. Т. 52. Вып. 4. С. 992-1002.

15. Сыроватский С.И. Ключевые вопросы теории вспышек//Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1979. Т. 43. С. 695-707.

16. Сыроватский С.И. О возникновении токовых слоев в плазме с вмороженным сильным магнитным полем//ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 1727-1741.

17. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плаз-мы.М.: Атомиздат, 1963. Вып. 1. С. 183-272.

18. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

19. Трубников Б.А. Столкновение частиц в полностью ионизованной плазме// Вопросы теории плазмы.М.: Атомиздат, 1963. Вып.1. С. 98-182.

20. Вшивков В.А., Краева М.А., Малышкин В.Э. Параллельная реализация метода частиц. Программирование. 1997. N 2. С. 39-51.

21. Vshivkov V.A., Kraeva М.А., Malyshkin V.E. Parallel Implementation of the Particle-in-Cell Method. Programming and Computer Software. 1997. V. 23. N 2. P. 87-97.

22. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1963. Вып. 1. С. 183-272.

23. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

24. Bohm D. The characteristic of Electrical Discharges in Magnetic Fields, ed by A.Guthrie andR.K. Wakerling. N.Y., 1949

25. Davidson R.C., Krall N.A. Anomalous transport in high-temperature plasmas with applications to solenoidal fusion systems//Nucl. Fusion. 1977. V. 17. N 6. P. 1313-1372.

26. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Нелинейная теория плазмы// Вопросы теории плазмы М., Атомиздат, 1973. Вып. 7. С. 3-145.

27. Liewer Р.С., Krall N.A. Anomalous penetration of a magnetic pulse into a plasma//Phys. Rev. Lett. 1973. V.30. N 25. P. 1242-1245.

28. Bychenkov V.Yu.,Silin V.P., Uryupin S.A. Ion-acoustic turbulence and anomalous transport//Phys.Rep. 1988. V. 164. N 3. P. 121-215.

29. Веденов А.А. Введение в теорию слаботурбулентной плазмы //Вопросы теории плазмы М., Атомиздат, 1963. Вып. 3. С.203-244.

30. Kuvshinov B.N. Magnetohydrodynamic model for plasma instabilities in the ion-kinetic regime// Plasma Phys. Control. Fusion. 1994. V. 36. P. 867877.

31. Porcelli F., Borgogno D., Califani F., Grasso D., Ottaviani M., Pegoraro F. Recent advances in collisionless magnetic reconnection//Plasma Phys. Control. Fusion 2002. V.44. B389-B405.

32. Yin L., Winske D., Gary S.P., Birn J. Hybrid and Hall-magnetohydro-dynamics simulations of collisionless reconection: Effect of ion pressure tensor and particle Hall magnetohydrodynamics// Physics of Plasmas. 2002. V.9. N 6. P. 2575-2584.

33. Кингсеп Ф.С., Чукбар К.В., Яньков В.В. Электронная магнитная гид-родинамика//Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1987. Вып. 16. С. 209-250.

34. Qingquan YU A new theoretical model for fast sawtooth collapse//Nucl. Fusion. 1995. V.35. N 8. P. 1012-1014.

35. Lazzaro E., Ferrero M., Gianoli L., Valdettaro L. Four-field description of fast reconnection of m=l, n=l modes//Physica Scripta. 2000. V. 61. P. 624-627.

36. Biskamp D., Drake J.F. Dynamics of the sawtooth collapse in tokamak plasmas//Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. N 7. P. 971-974.

37. Aydemir A.Y. Nonlinear studies of m=l mode in high-temperature plasmas // Phys. Fluids B. 1992. V.4. N 11. P. 3469-3472.

38. Hazeltine R.D., Kotschenreuter M., Morrison P.J. A four-field model for tokamak plasma dynamics// Phys. Fluids. 1985. V.28. N 8. P. 2466-2477.

39. Hazeltine R.D., Hsu C.T., Morrison P.J. Hamiltonian four-field model for nonlinear tokamak dynamics//Phys. Fluids. 1987. V.30. P. 3204-3211.

40. Xiagoang Wang, Bhattacharjee A. Nonlinear dynamics of the m=l instability and fast sawtooth collapse in high-temperature plasmas//Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. N 11. P. 1627-1630.

41. Drake J.F., Kleva R.G., Mandt M.E. Structure of thin current sheet: implication for magnetic reconnection// Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. N 9. P. 1251-1254.

42. Zakharov L., Rogers B. Two-fluid magnetohydrodynamics description of the internal kink mode in tokamaks//Phys. Fluids В. V. 4. N 10. P. 32853301.

43. Aydemir A.Y. Linear studies of m-1 mode in high-temperature plasmas with a four-field model//Phys. Fluids B. 1991. V.3. N 11. P. 3025-3032.

44. Ottaviani M., Porcelli F. Nonlinear collisionless magnetic reconnection// Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. N 23. P. 3802-3805:

45. Xiagoang Wang, Bhattacharjee A. Nonlinear dynamics of the m=l kink-tearing instability in modified magnetohydrodynamic model//Phys. Plasmas. 1995. V. 2. N 1. P. 171-181.

46. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Нелинейные винтовые возмущения плазмы в токамаке//ЖЭТФ. 1973. Т.65. Вып. 2. С. 575-589.

47. Drake J.F., Kleva R.G., Waelbroeck F.L. Fast reconnection in high temperature plasmas// Phys. Plasmas. 1995. V. 2. N 1. P. 23-34.

48. Kuvshinov B.N., Mikhailovskii A.V. MHD model including small-scale perturbations in a plasmas with temperature variations// Plasma Physics Reports. 1996. V. 22. N 6. P. 529-534.

49. Bergmans J., Kuvshinov B.N., Lakhin V.P., Schep T.J., Westerhof E. Current-vortex filaments in magnetized plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. 1999. V. 41. P. A709-A717.

50. Sagdeev R.Z. The 1976 Oppenheimer lectures: critical problems in plasma astrophysics.I. Turbulence and nonlinear waves//Riviews of modern Physics. 1979. V.51. N 1. P. 1-9.

51. Hewett D.W., Nielson C.W. A multidimensional quasineutral plasma simulation model // J. Сотр. Phys. 1978. V.29. N 2. P. 219-236.

52. Harned D.S. Quasineutral hybrid simulation of macroscopic plasma phenomena // J. Comput. Phys. 1982. V.47, N.3, P.452-462.

53. Chodura R.A. A hybrid fluid-particle model of ion heating in high-Mach-number shock waves // Nucl. Fus. 1975. V.15. N 1. P. 55-63.

54. Березин Ю.А, Вшивков В.А. Ударные волны произвольной амплитуды в разреженной плазме с магнитным полем // Физика плазмы. 1977. Т. 3. Вып. 2. С. 365-370.

55. Буланов С.В., Ольшанецкий М.А. О кумулятивных течениях плазмы, вблизи нулевых точек магнитного поля//Физика плазмы. 1985. Т. 11. С. 727-738.

56. Буланов С.В., Ольшанецкий М.А. О магнитном коллапсе в плазме. Препринт ИТЭФ. Москва. 1982.

57. Каплан С.А., Пикельнер С.Б., Цытович В.Н. Физика плазмы солнечной атмосферы. М., Наука. 1977. 58. Каплан С.А., Цытович В.Н. Плазменная астрофизика. М.: Наука, 1972.

58. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир. 1985.

59. Feldman U. The plasma properties of the solar upper atmosphere determined from high resolution observations and nature of the physical processes sustaining it.//Phys.Plasmas. 1994. V.l. N 5. P. 1390-1402.

60. Davidson R.C., Gladd N.T. Anomalous transport properties associated with th lower-hybrid-drift instability//Phys. Fluids. 1975. V. 18. P. 1327

61. Данжи Дж. Космическая электродинамика. М.: Атомиздат. 1961.,

62. Сыроватский С.И. Токовые слои и вспышки в космической и лабораторной плазме//Вестн. АН СССР. 1977. N 10. С. 33-44.

63. Svestka Z. Solar Flares. Dordrecht: Riedel. 1976.

64. Kadomtsev B.B. Tokamak plasma a complex physical system L., 1992.

65. Кадомцев Б.Б. Перезамыкание магнитных силовых линий//УФН. 1987. Т. 151. С. 3-29.

66. Dadgey J.W. Interplanetary magnetic field in the auroral zones// Phys. Rev. Let. 1961. V. 6. N 1. P. 47-48.

67. Физика магнитосферы/ Под ред. Д. Вильямса, Дж. Мида. М. Мир. 1972.

68. D.Biskamp Magnetic reconnection//Physics Reports. 1994. V.237. N 4. P. 179-247.

69. Biskamp D., Welter H. Dynamics of decaying 2-D magnetohydrodynamic turbulence// Phys.Fluids B. 1989. V.l. P. 1964-1979.

70. Politano H., Pouquot A., Sulem P.L. Inertia ranges and resistive instabilities in 2-D MHD turbulence//Phys.Fluids B. 1989. V. 1. P. 2330-2339.

71. Gekelman W., Stenzel R., Wild M. Magnetic field line reconnection experiments//Physica Sripta. 1982. 12/2. P. 277-287.

72. Магнитное пересоединение в двумерных и трехмерных конфигурациях // Труды ИОФАН. Т. 51. М.: Наука, 1996.

73. Богданов С.Ю., Марков B.C., Франк А.Г. Изменение топологии магнитного поля в процессе взрывного разрушения токового слоя//Письма в ЖЭТФ. 1982. т. 35. С. 232-235.

74. Франк А.Г. Формирование, эволюция и взрывное разрушение токовых слоев в плазме//Вопросы физики плазмы и плазменной электроники (Труды ФИАН СССР, т. 160). М.: Наука, 1985. С. 93-121.

75. Frank A.G., Kyrie N.P., Markov V.S., et al. Superthermals plasma fluxes during explosive disruption of a current sheet//Proc. ICPIG-17. Budapest, 1985. V. 1. P. 102-104.

76. Bogdanov S.Yu., Dreiden G.V., Frank A.G., et al. Plasma dynamic inside the current sheet//Physica Scripta. 1984. V. 30. P. 282-283.

77. Кирий Н.П., Марков B.C., Франк А.Г. Вспышка излучения многозарядных ионов в токовом слое//Письма в ЖЭТФ. 1988. т. 48. С. 419-421.

78. Бейгман И.Л., Гавриленко Н.П., Кирий Н.П., Франк А.Г. Исследование изменения температуры электронов в токовом слое//Журн. прикл. спектроскопии. 1991. Т. 54. С. 1021-1024.

79. Франк А.Г., Батанов Г.М. С.И. Сыроватский и развитие экспериментальных исследований по токовым слоям//Космическая физика и физика плазмы (Труды Физического института им. П.Н. Лебедева. Т.227) М.: 2000. С. 88-116.

80. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Геометрия магнитного поля//Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1963. Вып. 2. С. 3-91.

81. Морозов А.И. О галатеях плазменных ловушках с омываемыми плазмой проводниками//Физика плазмы. 1992. Т. 18. В. 3. С. 305-316.

82. Морозов А.И., Франк А.Г. Тороидальная мультипольная ловушка-галатея с азимутальным током//Физика плазмы. 1994. Т. 20. В. 11. С. 982-989.

83. Богданов С.Ю., Марков B.C., Морозов А.И., Франк А.Г. Плазменная конфигурация "галатея-пояс". Первые результаты экспериментальных исследований//Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21. В. 24. С. 5-9.

84. Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С. Численное моделирование прямых винтовых шнуров с проводниками, погружненными в плазму//Физика плазмы. 1994. Т. 20. В. 3. С. 284-292.

85. Брушлинский К.В., Горшени К.П., Морозов А.И. Численное моделирование начальной стадии формирования плазменной конфигурации "Пояс"//Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21. В. 22. С. 67-70.

86. Дудникова Г.И., Морозов А.И., Федорук М.П. Формирование плазменных конфигураций галатей типа "Пояс"//Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. В. 21. С. 45-51.

87. Дудникова Г.И., Морозов А.И., Федорук М.П. Численное моделирование прямых плазменных конфигураций галатей типа "Пояс"//Физика плазмы. 1997. Т. 23. В. 5. С. 387-396.

88. Белимов А.В., Дудникова Г.И., Федорук М.П., Шурина Э.П. Моделирование плазменных конфигураций галатей типа "Пояс"//ПМТФ. 1999. Т. 40. N 4. С.3-10.

89. Морозов А.И., Мурзина М.В. Простейшие равновесные конфигурации галатей типа "Пояс"//Физика плазмы. 1996. Т. 22. N 6. С. 551-563.

90. Sweet Р.А. The production of high energy particles in solar flares// Nuovo Cimento Suppl., 1958. V.7. Ser. X. P. 188-196.

91. Parker E.N. The solar flare phenomenon and the theory of reconnectionand annihilation of magnetic fields// Astrophys. J. Suppl. 1963. Ser. 8. P. 177-211.

92. Petschek H.E. Magnetic field annihilation// AAS/NASA Symp. On the Physics of Solar Flares, ed. by W.N. Hess (NASA, Washington, DS). 1964. P. 425-437.

93. Сыроватский С.И. Динамическая диссипация магнитного поля и ускорение частиц//Астрон. журн. 1966. Т. 43. С. 340-355.

94. Syrovatskii S.I. Pinch sheets and reconnection in astrophysics//Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1981. V. 19. P. 163-229.

95. Исиченко М.Б., Чукбар К.В. Ударная волна разрежения в системе с обращенным магнитным полем//Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39: В. 5. С. 191-192.

96. Jones O.S., Shumlak U., Eberhard D.S. An implicit scheme for nonideal magnetohydrodynamics//J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P.231-242.

97. Грязин Ю.А., Федорук М.П. Использование TVD схем для моделирования МГД течений//Математические модели и методы их исследования. Международная конференция 25-30 августа 1997. Тезисы докладов. С. 73-74.

98. Germaschewski К., Grauer R. Longitudional and transversal structure functions in 2-dimensional electron magnetohydrodynamic flows//Physics of plasmas. 1999, V. 6. N 10. P. 3788-3793.

99. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука. 1982.

100. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир. 1987.

101. Вычислительные методы в физике плазмы. Под ред. Б.Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир. 1974.

102. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы Новосибирск. Наука. 1980.

103. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир. 1975.

104. Das A. Nonlinear aspects of two-dimensional electron magnetohydro-dynamics//Plasma Physics and Controlled Fusion. 1999. V.41. pp. A531-538.

105. Marliani C., Strauss H.R. Reconnection of coalescing magnetic islands //Physics of Plasmas. 1998. V. 6. N2. pp.495-502

106. Круглякова JI.В., Неледова А.В., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор)// Математическое моделирование. 1998. Т.10. С. 93-116.

107. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск Наука. 1979.

108. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы "Частицы в ячейках". Новосиб. Ун-т. Новосибирск. 1996.

109. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике. Новосиб. Ун-т. Новосибирск. 1994.

110. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики. Новосибирск. Наука. 1967.

111. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир. 1972.

112. ИЗ. Самарский А.А. Теория разностных схем М.: Наука. 1983.

113. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980.

114. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.Введение в теорию. М.: Наука. 1973.

115. Вычислительные методы в физике плазмы. Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир. 1980.

116. Березин Ю.А., Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Об одной неявной схеме для расчета движений вязкого теплопроводного газа.// Числ. методы механики сплош. среды. 1972, Т. 3, N 4, С. 3-18.

117. Березин Ю.А., Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Расчеты газодинамического обтекания тел.// Числ. методы механики сплош. среды. 1973, Т. 4, N 4, С. 15-29.

118. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Анализ численных моделей процессов пересоединения//Числ. методы механики сплош. среды. 1983. Т. 14. N 3. с. 33-41.

119. Bergmans J., Kuvshinov B.N., Vosbeek P.W.C., Schep T.J. Dynamics of vortex patches in a magnetized plasama//14 Symposium plasmafysica and stralingstechnologiee. 14 and 15 Feb. 2001. Lunteren. Netherlands. Abstracts.

120. Сыроватский С.И. Особые линии-магнитного поля в плазме и пересоединение в пинчевых слоях//Изв. АН СССР, Сер. Физ. 1977. Т. 41. С. 1782-1789.

121. Zwingmann W., Schindler К. On sheared magnetic field structures containing neutral points// Solar Physics. 1985. V. 99. P. 133-143.

122. Vekstein G., Priest E.R., Amari T. Formation of current sheets in force-free magnetic fields// Astron. Astrophys. 1991. V. 243. P. 492-500.

123. Vekstein G. The theory of magnetic coronal heating// Astron. Astrophys. 1987. V. 182. P. 324-328.

124. Vekstein G., Priest E.R. Magnetohydrodynamic equilibria and cusp formation at the X-type neutral line by footpoint shearing// The Astrophysical Journal. 1992. V. 384. P. 333-340.

125. Hassam A.B., Lambert R.P. Sheart Alfvenic disturbances in the vicinity of magnetic null X-point// Plasma preprint UMIPR 94-011, Department of Physics and Institute for Plasma Research University of Maryland. July. 1995.

126. Буланов С.В., Бутов И.Я., Гваладзе Ю.С. и др. Пинчевые разряды в плазме вблизи сепаратрисных поверхностей магнитного поля// Физика плазмы. 1986. Т. 12. В. 3. С. 309-327.

127. Буланов С.В., Дудникова Г.И., Жуков В.П. и др. Токовые слои в окрестности критических точек магнитного поля//Труды ИОФАН. 1996. Т. 51. В. 2. С. 101-123.

128. Буланов С.В., Дудникова Г.И., Жуков В.П. и др. Численное моделирование токового слоя в окрестности нулевой линии магнитного по-ля//Краткие сообщения по физике. 1994. N 5-6. С. 28-33.

129. Буланов С.В., Дудникова Г.И., Жуков В.П. и др. Пересоединение магнитных силовых линий в окрестности критических точек/./ Физика плазмы. 1996. Т. 22. N 10. С. 867-895.

130. Брушлинский К.В., Заборов A.M., Сыроватский С.И. Численное моделирование двумерного течения плазмы в окрестности нулевой линии магнитного поля//Препринт ИПМ АН СССР, N 61, Москва, 1977. Т. 6. Вып. 2. С. 297-310. .

131. Stevenson J.С. Numerical studies of magnetic field annihilation// J. Plasma Phys. 1972. V.7. part 2. P. 293-311.

132. Valori G., de Blank H.J., Rem J., Schep T.J., Joint Varenn-Lausanne Workshop Theory of Fusion Plasmas 31 Aug. 4 Sep., 1998.

133. Valori G. Fluid and kinetic aspects of collisionless magnetic reconnectio. FOM Institute voor Plasmafysica Rijnhuizen. Nieuwegein, Netherlands, Print Partners Ipskamp, Enschede, 2001.

134. Буланов С.В., Франк А.Г. Об экспериментальных исследованиях магнитного пересоединения в трехмерных магнитных конфигурациях.

135. Препринт N 107 Института общей физики АН СССР. М., 1990.

136. Северный А.Б. Появление вспышек в нейтральных точках магнитного поля Солнца и пинч-эффект//Изв.Крым, астрофиз. обе. 1958. Т. 20. С. 22.

137. Кадомцев Б.Б. О неустойчивости срыва в токамаках //Физика плазмы. 1975. Т. 1. В. 5. С. 710-715.

138. Богданов С.Ю., Кирий Н.П., Франк А.Г. Эволюция двумерных токовых слоев в линейных и нелинейных режимах//Магнитное пересоединение в двумерных и трехмерных конфигурациях М.: Наука. Физматлит, 1996. (Тр. ИОФАН; т. 51). С. 5-76.

139. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Динамика Альфвеновских возмущений в неоднородной плазме. Барнаул: Издательство Алтайского гос. университета. 1999.

140. Кадомцев Б.Б., Муховатов B.C., Шафранов В.Д. Магнитное удержание плазмы//Физика плазмы. 1983. Т. 9. N 1. С. 5-11.

141. Головин И.Н. Советско-американский семинар по компактным то-рам//Атомная энергия. 1983. Т. 5. Вып. 2. С. 127-130.

142. Еськов А.Г., Коршунов В.К. и др. Некоторые результаты развития программы "компактный тор"// М.: Препринт ИАЭ 3826/7. 1983.

143. Armstrong W.T., Linford R.K. et al. Field-reversed experiments (FRX) on compact torus//Phys. Fluids. 1981. V. 24. N 11. P. 2068-2089.

144. Steinhauer L.C. Plasma heating in field-reversed theta-pinches//Phys. Fluids. 1982. V. 26. N 1. P. 254-263.

145. Proceeding of the 5-th symposium on the physics and technology of compact torus//Eds. Hoffman A.L., Milroy R.D. Wash: MSNW. 1983.

146. Куртмуллаев P.X., Малютин А.И., Семенов B.H. Компактный тор // Итоги науки и техники. 1985. Т. 7. С. 80-135.

147. Tuszevski М. Field-reversed configuration //Nucl. Fusion. 1988. V. 28. N 11. P. 2033-2092.

148. Kanki Т., Suzuki Y., Okada S., Goto S Numerical simulation on a field-reversed configuration plasma// Physics of Plasmas. 1999. V. 6. N 12. P.4672-4678.

149. Дудникова Г.И., Куртмулаев Р.Х., Малютин А.И., Семенов В.Н. Влияние вязкости на релаксацию компактного тора//Физика плазмы. 1989. Т. 15. В. 8. С. 987-991.

150. Жуков В.П. О продольной волне в конфигурации с нейтральным слоем. Препринт ИТПМ СО РАН. N 9-87. Новосибирск. 1987.

151. Milroy R.D., Brackbill J.U. Numerical stadies of a field-reversed theta-pinch plasma//Phys. Fluids. 1982. V. 25. N 5. P. 775-783.

152. Семенов B.H., Беликов В.В. Об оценке внутреннего магнитного потока в компактном торе//Физика плазмы. 1988. Т. 2. С. 241-245.

153. Соколов Е.П. Определение экстремальных значений характеристик вытянутых компактных тороидов//Физика плазмы. 1986. Т. 12. С. 14391443.

154. Семенов В.Н., Соснин Н.В. Расчет характеристик равновесного состояния компактного плазменного тороида//Физика плазмы. 1981. Т. 7. С. 333-339.

155. Конкашбаев И.К., Скворцов Ю.В., Улинич Ф.Р. Длинная антипробочная ловушка//Итоги науки и техники. Сер. Физика плазмы/Под ред. Шафранова В.Д. Т. 9. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 7. С. 55.

156. Pietzuk Z.A. Numerical simulation of field-reversed pinches//J. Appl. Phys. 1981. V. 52. N 1. P. 183-197.

157. Дудникова Г.И., Жуков В.П., Карабаев О.И. Двумерная численная модель взаимодействия компактных торов//Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск. 1985. С. 139-144.

158. Березин Ю.А., Дудникова Г.И. Численные модели компактных то-ров//ЧМСС. 1984. Т. 15. N 2.

159. Дудникова Г.И. Динамика взаимодействия несимметричных компактных торов//Новости термоядерных исследований. 1989. N 3(49).

160. Бурцев В.А., Божокин С.В., Дудникова Г.И. и др. Квазистационарная термоядерная система на основе обращенной магнитной конфигурации с использованием D-He-топлива//Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 1989. В. 1.

161. Бурцев В.А. Пульсирующий компактный тор//Доклады 3-ей Всесоюзной конф. по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Ленинград, 20-22 июня 1984 г.) М,: ЦНИИатоминформ." 1984. Т. 1. С. 45-52.

162. Dudnikova G.I. Relaxation of compact torus to the equilibrium underinfluence of plasma viscosity// 16 European Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics. Venice. 1989.

163. Дудникова Г.И., Семенов B.H. Численное моделирование динамики формирования замкнутых конфигураций магнитного поля в плазме/ /Моделирование в механике. 1992. Т. 6(23) N 4.

164. Soltwisch Н. Current density measurements in tokamak device//Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1992. V. 34. N 12. P. 1669-1698.

165. Гордеев А.В. О нелинейной тиринг моде//Физика плазмы. 1975. Т. 1. С. 259-267.

166. Гордеев А.В. Электронная неустойчивость плазменной конфигурации с расщепленными магнитными поверхностями//Физика плазмы. 1977. Т. 3. С. 556-561.

167. Гордеев А.В. О переходе к электронной тиринг моде//Физика плазмы. 1977. Т. 3. С. 1159-1161.

168. Басова С.В., Варенцова С.А., Гордеев А.В. и др. Инерционная электронная неустойчивость токовой плазмы низкой плотности//Физика плазмы. 1991. Т. 17. С. 615-622.

169. Gordeev A.V. Stability of a plasma contained a strong non-uniform magnetic field// Nuclear Fusion. 1970. V. 10. P. 319-324.

170. Gordeev A.V., Kingsep A.S., Rudakov A.V. Electron magnetohydro-dynamics // Physics Reports. 1994. V. 243. N 5. P. 215-315.

171. Дудникова Г.И., Ефимова И.В. Численная модель пересоединения магнитных силовых линий в цилиндрической геометрии//Числ. методы механики сплошных сред. 1982. V. 13. N 2. С. 55-63.

172. Мартюшов Ю.С., Семенов В.Н. Об эволюции нейтрального токового слоя в компактном торе//Ин-т атомной энергии. Москва. 1987. Препринт N 4503.6.

173. Soltwisch Н., Stodiek W., Maniskamp J., Schluter J. Current density profiles in the TEXTOR tokamak//Plasma Phys. and Controlled Nuclear Fusion Research, Pro. Int. Conf., V. 6, Kyoto 1986, P. 263-273.

174. Ковеня B.M., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск, Наука, 1981.

175. Ковеня В.М. Методы вычислений. Новосибирск, 1995.

176. Mandt М.Е., Denton R.E., Drake J.F. Transition to whistler mediated magnetic reconnection//Geophys. Research Letters. 1994 V.21. N 1. P.73-76.

177. Жуков В.П. Слияние магнитных ячеек в модели электронной магнитной гидродинамики//Физ. плазмы. 2002. Т. 28. N 5. С. 451-461.

178. Biskamp D. Nonlinear theory of the m=l mode in hot tokamak plasmas // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. N 23. P. 1522-1525.

179. Жуков В.П. Редуцированные МГД-уравнения с учетом медленного магнитного звука//Физ. плазмы. 2001. т. 27. N 7. С. 630-636.

180. Пастухов В.П. Адиабатическое разделение движений и редуцированные уравнения в магнитной гидродинамике// Физ. плазмы. 2000. Т. 26. N 6. С. 566-576.

181. Пастухов В.П. Редуцированная магнитная гидродинамика тороидальной плазмы с течениями//Письма в ЖЭТФ. Т. 67. В. 11. С. 892-897.

182. Zuoyang Chang, Callen J.D. Unified fluid/kinetic description of plasma microinstabilities. Part II: Applications//Phys. Fluids B. 1992. V. 4. N 5. P. 1182-1192.

183. Жуков В.П. Схема с итерациями для решения двумерных МГД-уравнений с учетом эффекта Холла//ЖВММФ. 1997. Т.37. N 3. С.348-354.

184. Fukagata К., Kasagi Highly N. Energy-Conservation Finite Difference Method in Cylindrical Coordninate System//J. of Сотр. Phys. 2002. V. 181. P. 478-498.

185. Charlton L.A., Holmes J.A., Lynch V.E., Carreras B.A. Compressible Linear and nonlinear Resistive MHD Calculations in Toroidal Geometry // J. of Сотр. Phys. 1990. V. 86. P. 270-293.

186. Lerbinger R., Lucian J.F. A New Semi-implicit method for MHD Computations//:. of Сотр. Phys. 1991. V. 97. P. 444-459.

187. Жуков В.П., Фукс Г. Влияние эффекта Холла на процесс пересоединения в винтовой геометрии //Физ. плазмы. 1998. Т. 24. N 11. С. 996-1002.

188. Mohseni К., Colonius Т. Numerical Treatment of Polar Coordinate singularities //J. of Comput. Physics. 2000. V. 157. P. 787-795.

189. Yabe T. Universal Numerical scheme for solid, liquid, gas and plasmas // Contrib. Plasma Phys. 2000. V. 40. N 3-4. P. 203-213.

190. Finken K.H., Wolf G.H. Background motivation, concept and scientific aims for building a dynamic ergodic divertor//Fusion Eng. Des. 1997. V. 37. P. 337-340.

191. Fitzpatrick R. Bifurcated states of a rotating tokamak plasma in the presence of a static error-field//Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 3325-3341.

192. Abdullaev S.S., Finken K.H., Kaleck A., Spatschek K.H. Twist mapping for the dynamics of magnetic field lines in a tokamak ergodic divertor//Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 196-210.

193. Abdullaev S.S., Finken K.H., Spatschek K.H. Asymptotic and mapping methods in study of ergodic divertor magnetic field in a toroidal system//Phys. Plasmas. 1999. V. 6. P. 153-174.

194. Abdullaev S.S. A new integration method of Hamiltonian systems by symplectic maps//J. Phys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. P. 2745-2766.

195. Abdullaev S.S. The Hamilton-Jacobi method and Hamiltonian maps// J. Phys. A: Math. Gen. 2002. V. 35^ P. 2811-2832.

196. Abdullaev S.S., Spatschek K.H. Rescaling invariance and anomalous transport in a stochastic layer// Phys. Rev. E. 1999. V. 60. R6287-R6290.

197. Abdullaev S.S. Structure of motion near saddle points and chaotic transport in Hamiltonian systems//Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 3508-3528.

198. Abdullaev S.S., Eich Th., Finken K.H. Fractal structure of the magnetic field in the laminar zone of the Dynamic Ergodic Divertor of the Torus Experiment for Technology-Oriented Research (TEXTOR-94)//Phys. Plasmas 2001. V. 8. P. 2739-2749.

199. Kobayashi M., Sewell G., Finken K.H., Eich Th., Reiser D., Abdullaev S.S.//Modeling analysis of the transport properties in TEXTOR-DED laminar zone with a finite element code//Contrib. Plasma Physics. 2002. V. 42. P. 163-168.

200. Kaleck A., Hassler M., Evans T. Ergodization of the magnetic field at the plasma edge by the dynamic ergodic divertor of TEXTOR-94// Fusion Engineering and Design. 1997. V. 37. P.353-378.

201. M.Z. Tokar M.Z. Modeling of the plasma impurity behavior in a tokamak with a stochastic layer//Fusion Engineering and Design. 1997. V.37. P. 417426.

202. Tokar M.Z. On transport, in particular of impurities, in a stochastic magnetic field// Phys. Plasmas. 1999. V. 6 P. 2808-2815.

203. Finken K.H. Perturbation Field Penetration into the TEXTOR tokamak and the Resulting Torque//Nucl. Fusion. 1999. V. 39. P. 707-723.

204. Finken K.H., Abdullaev S.S., Eich Т., Faulconer D.W., Kobayashi M., Koch R., Mank G., Rogister A. Plasma rotation induced by the Dynamic Ergodic Divertor//Nucl. Fusion. 2001. V. 41. P. 503-511.

205. Jensen Т.Н. Model for plasma response for a finite relative velocitybetween plasma and a rotating magnetic perturbation// Fusion Engineering and Design. 1997. V. 37. P. 437-441.

206. Faulconer D.W., Koch R. Penetration of the rotating magnetic field into the plasma//Fusion Engineering and Design. 1997. V. 37. P. 399-409.

207. Kobayashi M., Kojima H., Zhai K., Takamura S. Frequency dependence of tokamak plasma response to the externally applied rotating helical field // Phys. Plasmas. 2000. V. 7. P. 3288-3300.

208. Kobayashi M., Tuda Т., Tashiro K., Kojima H., Zhai K., Takamura S.//Nucl. Fusion. 2000. V. 40. P. 181-193.

209. Rem J., Schep T.J. Nonlinear dynamics in forced reconnection//Plasma Phys. Controll. Fusion. 1998. V. 40. P. 139-145.

210. Дудникова Г.И., Жуков В.П., Фукс Г. Поведение плотности и полного давления в процессе вынужденного и спонтанного пересоединения// ПМТФ. 1999. Т. 40. N 4. С. 11-15.

211. Finken К.Н., Abdullaev S.S., Kaleck A., Wolf G.H. Operating space of the dynamic ergodic divertor for TEXTOR-94//Nucl. Fusion. 1999. V. 39. P. 637-662.

212. Finken K.H. Studies on a Helical Near Field Divertor// Nucl. Fusion. 1997. V. 37. P. 583-593.

213. Hassam А.В., Kulsrud R.M.Time evolution of mass flows in a collisional tokamak//Phys. Fluids. 1978. V. 21. P. 2271-2279.

214. Elfimov A.G., Petrzilka V., Tataronis J.A., Radial plasma transport and toroidal current driven by nonresonant ponderomotive forces//Phys. Plasmas. 1994. V.l. N 9. P. 2882-2889.

215. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Численная модель приэлектрод-ной неустойчивости в каналах плазменных ускорителей//Физ. Плазмы. 1995. Т. 21. N 9. С. 784-790.

216. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Эффект Холла в МГД-модели течения плазмы в каналах//Механика жидкости и газа. 1995. N 5. С. 56-65.

217. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчет двумерных течений плазмы в каналах//Вопросы теории плазмы. Под. ред. М.А. Леонтовича. М. Атомиздат. 1974. Т. 8. С. 88-163.

218. Strauss H.R. Dynamics of high (3 tokamaks //Phys. Fluids 1977. V.20. N 8. P. 1354-1360.

219. Strauss H.R. Finite-aspect-ratio MHD equations for tokamaks// Nucl. Fusion 1983. V.23. P. 649-655.

220. Soltwisch H., Koslowski H.R. Sawtooth modulation of the poloidal field in TEXTOR under ohmic heating conditions//Plasma Phys. Control. Fusion. 1995. V. 37. P. 667-678.

221. Дудникова Г.И., Жуков В.П. Формирование токового слоя под действием альвеновского импульса в идеально проводящей плазме// Вычислительные технологии. Новосибирск. 1995. Т.4. N 11. С.108-118.

222. Жуков В.П., de Blank H.J., Шваб И.В. Проникновение бегущей волны в плазму при наличии резонансной поверхности// Вычислительные технологии. 2003. Т.З. N 5. С. 40-57.

223. Zhukov V.P., de Blank H.J., Kobayashi M., Schwab I.V. The comparison of the penetration process of running and standing waves into a plasma with resonance surface// Phys. Plasmas. 2004. V. 11. N 4. P. 1459-1468.

224. Zhukov V.P., Finken K.H. The interaction of the DED magnetic field with a tokamak plasma//Nucl. Fusion. 2004. V. 44. N 6. P. S44-S54.

225. Жуков В.П., Дудникова Г.И., Франк А.Г. Численное моделирование формирования и эволюции токового слоя в ограниченной плазме//Вычислительные Технологии. 2004. Т. 9. N 3. С. 39-49.

226. Zhukov V.P., Bulanov S.V., Inovenkov I.N., Dudnikova G.I., Pichuschkin V.V. Current Sheets near Separatrix Surfaces of the Magnetic Field//Physical Lett. A. 1995. V. 203. P. 219-223.

227. Zhukov V.P., Bulanov S.V., Inovenkov I.N., Dudnikova G.I., Pichuschkin V.V., Farina D., Pegoraro F., Nocera L., Naumova N.M. Dynamics of the

228. Plasmas and Charged Particles near Separatrix Surfaces of the Magnetic Field// The 6-th European Conference on Theory of Fusion Plasmas, October 1995, Utrecht, Holland.

229. Zhukov V.P., Dudnikova G.I., Lisceikina T.V. Hall Effect in Plasma Flow near X-point// ICOPS'95, Abstracts of 1995 IEEE International Conference on Plasma Science, the University of Wisconsin, Madison, USA, 1995, P. 276.

230. Жуков В.П., Дудникова Г.И., Лисейкина Т.В. Влияние эффекта Холла на структуру МГД течений плазмы//Межд. конференция Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Новосибирск, 27 мая 2 июня 1996.

231. Жуков В.П., Дудникова Г.И., Лисейкина Т.В. Численное моделирование внезапного изменения топологии магнитного поля // Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. N 6. С. 31-35.

232. Жуков В.П., Fuchs G. Влияние эффекта Холла па сжимаемость плазмы в сильном тороидальном магнитном поле//ПМТФ. 1998. Т. 39. N 2. С. 3-9.

233. Жуков В.П., Fuchs G. О приближении несжимаемости в магнитной гидродинамике//МЖГ. 1999. N 1. С. 145-149.

234. Zhukov V.P., Dudnikova G.I. Propagation of the Alfvenic impulse in X-point vicinity//Abstract Book European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS-2000 11-14 Sept. 2000 Barcelona, Spain.

235. Жуков В.П. Дудникова Г.И. Образование токового слоя при прохождении альвеновской волны в окрестности Х-точки// Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 4. С. 188-192.

236. Жуков В.П. Явная конечно-разностная схема для МГД-уравнений с учетом эффекта Холла//ЖВММФ. 1994. Т. 34. N 8-9. С. 1330-1335

237. Жуков В.П. О продольном сжатии компактного тора//Физика Плазмы. 1995. Т. 21. N 1. С. 31-35.

238. Жуков В.П. Динамика цилиндрического нейтрального слоя// Вычислительные технологии. 1994. Т. 3. N 9. С. 31-40.

239. Жуков В.П., Дудникова Г.И. Влияние вязкости на токовые слои возникающие при распространении альвеновского импульса в гиперболическом магнитном поле//ПМТФ. 1999. Т. 40. N 6. С. 11-16.

240. Жуков В.П., Дудникова Г.И. О токовых слоях возникающих под действием альвеновского и магнитозвукового импульса в окрестностинулевой линии магнитного поля//Физика плазмы. 2001. Т. 27. N 11. С. 1009-1018.

241. Zhukov V.P., de Blank H.J., Rem J. The role of current layers in magnetic field stochastization//European Physical Society, Abstracts of Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Budapest, Hungary, 12-16 June 2000.

242. Zhukov V.P., de Blank H.J., Rem J., Schep T.J., Valori G. Numerical studies in nonlinear magnetic reconnection// 12-th symposium on Plasma Physics and Radiation technology, Lunteren, 1999.

243. Zhukov V.P., de Blank H.J. Break-up of the tokamak magnetic field structure by means of rotating external perturbations//14-th symposium on Plasma Physics and Radiation technology, Lunteren, 14-15 Feb., 2001. Abstracts. P. 38

244. Zhukov V.P., de Blank H.J., Schwab I.V. Penetration of a rotating magnetic field perturbation into plasma with resonance surface // 1-st International Workshop on Stochasticity in Fusion Edge Plasmas (SEP), 6-8 Oct., 2003. Abstracts. P. 17.

245. Жуков В.П. Конечно-разностная схема для решения двухжидкост-ных МГД уравнений в цилиндрической системе координат // ЖВММФ. 2005. Т. 45. N 1. С. 156-169.

246. Жуков В.П. Моделирование тиринг неустойчивости в нередуцированной двухжидкостной магнитной гидродинамике//Физика плазмы. 2005. Т.31 . N 8. С. 43Z.