Математическое моделирование релаксационных эффектов при фильтрации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БАЛАЯН Надежда Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ

01.02.05. - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

пМ1 ^

КАЗАНЬ - 1994

Диссертация выполнена в отделе механики пористых сред Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г.Чеботарева . при Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина.

Научные руководители:. доктор физико-математических наук

доцент А.В.Костерин,

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник П.П.Осипов.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук

профессор В. Ф. Шарафутдинов,

кандидат физико-математических наук доцент А.С.ПЬсуро

Ведущая организация: Институт механики и машиностроения

КНЦ РАН

Защита диссертации состоится "1$" 1994г.

в 14 час.зо мин. в ауд.физ.2 на заседанийспециализированного совета Д 053.29.01 по защите«диссертаций на .соискание ученой степени доктора физико-математических наук по, механике при Казанском государственном университете -имени В.И.Ульянова-Ленина С420008, г.Казань, ул.Ленина, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в .научной библиотеке университета.

Автореферат разослан " ¿иг 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физ.-мат.наук А.И.Голованов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Практическая проблема добычи трудноизвлекаемых запасов нефти, а также тенденции развития самой подземной гидромеханики, вызывают потребность в существенном расширении наших знаний о физике и механике нефтяного пласта. Это влечет за собой и расширение спектра традиционных математических моделей массопереноса в пористой среде. Один из путей здесь - учет релаксационных явлений при фильтрации, которые могут бьпъ обусловлены влиянием надмолекулярных структур в поровом пространстве на фильтрационное сопротивление, локальными перетоками, дефэрмацияш пласта и горных пород и другими причинами. Математические вопросы линейной релаксационной фильтрации разработаны всесторонне и достаточно полно. Представляет интерес построение и исследование нелинейных моделей релаксационной фильтрации.

Цель работы - математическое моделирование нелинейных релаксационных эффектов, связанных с тиксотропными структурами, локальными перетоками и деформациями; исследование основных качественных свойств этих моделей.

Научная новизна. В диссертации дана классификация линейных релаксационных моделей двухфазной фильтрации, предложены и исследованы две модели фильтрации тиксотропной жидкости, определена форма перетока для модели фильтрации жидкости в упругодеформируемой трешдновато-пористой среде.

Научная и практическая ценность. Классификация релаксационных моделей двухфазной фильтрации может способствовать выбору модели с необходимыми свойствами. Новые модели фильтрации в деформируемом пласте с развитой вертикальной трещиноватостью могут быть использованы при идентификации свойств трещиноватых коллекторов. Результаты по моделированию тиксотропной жидкости жгут найти применение как в подземной гидромеханике, так и в химической технологии при изучении' фильтрационных течений коллоидных систем и полимеров.

Апробация работы. Основные результата докладывались на и

- з -

Минском международном форуме по тепломассообмену (Минск- 1992) [6], на VII Всесоюзном семинаре -"Численные методы решения задач фильтрации - многофазной несжимаемой жидкости" (Новосибирск^ 1986) [1), на и Республиканской научно-технической конференции "Механика и машиностроение", (Брежнев-1987) [2], на итоговых научных конференциях Казанского университета (с 1986 по 19эзгг), на семинарах отдела пористых сред и лаборатории подземной гидромеханики.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех'глав , заключения и списка литературы. Работа содержит 97.стр., список литературы - 90 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

. Во введении обоснована' актуальность темы, дан обзор литературы-по теме диссертации и . краткое описание работы, формулируются основные положения, которые выносятся на защиту.

Развитие релаксационной теории фильтрации дано в работах ИМ. Аметова, Г.И.Баренблатта, В. М.Ентова, А.X. Мирзаджанзаде, Ю. М.Молоковича, В. Н. Николаевского, П.П. Осипова,

Т. К. Шарафутдинова, Е.Б^гапгав, м.в1оъ и др.

При этом достаточно полно и всесторонне исследованы математические вопросы линейной теории. Нелинейные эффекты, связанные с тиксотропными структурами, локальными перетоками и деформациями в пористых средах, оставались, практически, не исследованными.

В первой главе рассматривается релаксационная модель двухфазной фильтрации общего вида, когда эффективная

насыщенность б, соответствующая наблюдаемой подвижности фаз, выражается через реальную насыщенность я интегралом наследственности

<2 ' '• d®

s = Ф( О ) s + |. — (t') s ( t-t' )'. dt', (1)

dt

W 'i

Для выявления характерных свойств модели исследовано распространение малых возмущений насыщенности.э'=8-з"-С"пприх в дальнейшем опускаем) на фоне плоскопараллельного штока с постоянной суммарной скорость» V. Принимаются следующие начальные и граничные условия для возмущений:

s ( х, t ) = О , tso , х < х < .00

— О - .

s(xQ , t ) = f< t ) , t >0

(2)

Решена линеаризованная задача и показано, что распределение насыщенности при t -> +о определяется выражением

s(x,t) ~ f(0) exp (- L_,(0) (x - xQ)) (3)

A -. i A A

-где t,( t ) является оригиналом l (a) = cqct ф (at, индекс означает изображение функции по . Лапласу, L ( t ) . - масштаб ЗОНЫ существенного ВЛИЯНИЯ ВОЗМущеНИЙ, CQ= VВ/щ, B=dF/ds(s), jF ( s ) - функция Баклея - Леверетта.

Скорость с - распространения скачка насыщенности, его структура и коэффициент затухания а даются выражениями:

* . с = С Ф(0) = 1гш а I (а) = аь/сП(0> о

а-»®

{й] з(х,С"1(х-хо)) = ехр (- а(х-х )И(0) (4)'

d 1п Ф"(о)

а = - С ---

d а

Комплексный коэффициент продуктивности имеет вид _П =-кр (а)/ь (сО, к - проницаемость среды, <рС б) - подвижность смеси.

- Формулы (3),(4) позволяют естественным образом провести классификацию моделей релаксационной двухфазной фильтрации.

Таблица i.Классификация релаксационных моделей двухфазной фильтрации.

L(0)=0

с=0

Тип 1.

Среда не

проводит возмущений

0<С«х>

Тип 2.

1 ) а=0 2)0ía<®

.i) а =.<ь

С=С0

Тип 3

0<L(0 )<Ф

С=со

Тш 4.

s s=s ' 0

0 L„

l (0 ) =®

С =оо

Тип 5.

е- I

S=S¿

Таблица 1 позволяет сразу исключить из рассмотрения модели,не имеющие физического смысла (тип.1), или не пригодные для описания полного переходного процесса (тип.4,5), которые можно использовать только в качестве промежуточной асимптотики. Модели типов 2,з, пригодные для изучения полного переходного процесса фильтрации, имеют специфические червд. Определяя из эксперимента П(0), l(о) и с, можно установить конкретный тип релаксационной модели и , в частности,4 установить класс ядер, допускающих рассогласование начальных и граничных условий.

Так для типа 2. l(0) = о, о<с«», допускается рассогласование граничных условий с начальными. Скорость' распространения фронта вытеснения конечна, поэтому в зависимости от значения коэффициента затухания имеют место три случая:

а) Равновесная фильтрация, а = о, скачок насыщенности сохраняется, скорость его распространения совпадает со скоростью для классических моделей. Млеем случай поршневого вытеснения по схеме Баклея - Леверетга.

В силу теорем Таубера - l(co) = <в, l(0) = о, П(<») = о, 1(0) = со, т.е. l ( t ) растет от нуля до бесконечности, 'ассогласование граничных условий с начальными допустимо. (оэффициент продуктивности уменьшается от » до о.

б) о < а < со - l(о) =о - рассогласование граничных условий : начальными допустимо, скорость распространения скачка исыщенности отличается от классического случая только лножителем. Коэффициент затухания, вычисленный по формуле С4), юказывает, что при выполнении естественных ограничений, зотмущения затухают. Скачок насыщенности изменяется согласно закону С 3}.

Комплексный коэффициент продуктивности и радиус существенного влияния возмущений в силу теорем Таубера равны l(co)=co, L(о)=о, П(со) =0, П(0)=<» - что аналогачно классическому случаю.

• Модель вполне пригодна для изучения релаксационных переходных процессов.

в) а = а>, L(о) = о, - рассогласование граничных условий с начальными допустимо. Скорость распространения возмущений гакая же, как в предыдущей модели - при тех жр ограничениях возмущения затухают мгновенно.

Следует отметить, что для моделей этого типа уравнение для определения поля насыщенности становится гиперболическим, поэтому решения имеют волновой характер. Изменения коэффициента продуктивности аналогично предыдущим моделям.

Тип з. L(о) = о, с = со - для моделей этого Tima рассогласование граничных условий с начальными также допустимо. Скорость распространения фронта возмущений бесконечна, но возмущения приходят в бесконечность бесконечно малыми.

Тип 4. о < L ( о ) < со, С = со - модели этого типа не допускают рассогласования граничных условий с начальными - в начальный момент времени "хлопком" устанавливается вполне определенное распределение насыщенности. Скорость распространения фронта насыщенности бесконечна. Такие модели не пригодны для изучения полного переходного процесса, но могут быть использованы при не слишком резких изменениях

насыщенности, например, в качестве промежуточной асимптотики. Пример такой модели предложен Баренблаттом Г.И.

Для этой модели возмущения затухают экспоненциально. Коэффициент продуктивности уменьшается от конечной величины до нуля.

Во второй главе рассматриваются два подхода к описании фильтрации жидкости, обладающей , внутренней структурой, (тиксотропной жидкости).

В п. 2. 1. предложена и исследована простейшая феноменологическая модель фильтрации тиксотропной жидкости, когда вязкость жидкости, а следовательно и коэффициент фильтрации, зависит от внутреннего параметра харак-

теризующего состояние надмолекулярной структуры жидкости в поровом пространстве. Под ? можно понимать, например, концентрацию дефектов С разрушенных связей ) такой структуры. В зависимости от этого состояния меняется проводимость среды к (?) так, что закон фильтраций определяется соотношением

v = -к(?)7р (5)

Для выявления качественных свойств модели, не. зависящих от конкретного физического смысла параметра 5, рассмотрены "быстрые" процессы структурной релаксации, протекающие на фоне заданного в крупномасштабном приближении течения. В этом случае, для малых отклонений от равновесного состояния по аналогии с химической кинетикой принимается

Зш? 5 - €„

61

(6)

где х - время релаксации. В изотропном случае ?0=50(я)> тг=|урI.

Для отклонений параметров от фоновых значений получена линейная система соотношений, описывающих взаимодействие возмущений с фоном: кинетическое уравнение для закон

фильтрации для sv и уравнение неразрывности упругого ' режима для бр.

ГЬсле исключения б? и стандартных преобразований получен релаксационный закон распространения возмущений в виде, не зависящем от конкретного физического смысла параметра £

, a s -» f a ■> l dK

1 + HIT—|5V = - К(п) 1 + к— V5P--' — (V6P-VP)VP (7)

I atJ atJ " d)t

Функция к(я) определяется из стандартного эксперимента в стационарных условиях.

В п.2. 2. рассмотрены два примера эволюции возмущений на фоне плоско-параллельного течения с постоянной скоростью.

1°.Плоско-параллельные возмущения.

Ось х направлена по течению. Возмущения исходят от галереи, в силу (7) возмущения описываются известным релаксационным законом фильтрации с двумя временами релаксации.

Вообще говоря, взаимодействие возмущений с фоном носит анизотропный характер. Для иллюстрации этого факта рассмотрено взаимодействие плоско-параллельного потока с возмущениями давления от пассивной скважины (радиальный источник).

2°. Возмущения от источника с дебитом q(t).

Подстановка (7) в уравнение неразрывности упругого режима фильтрации дает следующее уравнение для бр в изображениях (символ б в дальнейшем опускаем).

эгр* э2р*

spp* = х (s) —- + r(s) —- , (8)

йх"* Э у

] + х s

Где X (s) = К --- , У (s ) = К; к К - const.

1 1+т s 1

1

Заменой переменных х = х//х(s), у = у//у(s), оно приводится к уравнению Гельмгольца.

Исчезающее на бесконечности решение задачи получено в

виде

1

p(r,t) = - — 2iti

J

, /X(s)Y(s)

с - i oo

2 —2 —2 где т —x +у

q(s) ds

К (kr) exp(ts) — (9'1

о s

При включении скважины с дебитом qit) = qQ rj(t> на малых временах (t«ri), имеем

и 1

р(г„,1) - —0 е1 |- | (10)

4яК

где г0=Ах2+уг)/к . Это означает, что линии равных возмущенш давления - подобные эллипсы.

В п. 2. з. построена математическая модель фильтрации тиксотропной жидкости с переменным спектром релаксации, основанная на теории Леонова-Виноградова. В этой" теории вязкоупругие свойства жидкости моделируются набором из N параллельно соединенных максвелловских элементов. Предполагается, что если накопленная свободная энергия е элемента достигает критического значения е",то происходит усечение спектра, элемент замораживается или разрушается .

В силу структуры максвелловского элемента критерием усечения спектра может служить достижение максимально возможного "удлинения пружинки" |Г)1 = п0:

I

I Г -(1-1'1 /Зр„

I

о

(и)

где а - время релаксации, V - скорость фильтрации.

В работе предполагается, что восстановление структуры происходит диффузионным путем, медленно по сравнению с разрушением, поэтому восстановление структуры для сравнительно малых времен не учитывается. •

Для выявления качественных свойств рассмотрена простейшая модель, соответствующая схеме Олдройда - параллельному соединению одного максвелловского и одного вязкого элементов. При этом до разрушения структуры фильтрация описывается известным законом с двумя временами релаксации, а после разрушения С в схеме остается лишь вязкий элемент ) - законом Дарси. Соответствующие этим двум состояниям зоны течения разделены подвижной границей, на которой выполняется критерий разрушения структуры, а также условия непрерывности скорости и давления.

Модель проиллюстрирована на задаче о включении галереи с постоянным заданным дебитом:V(о,I) = V . До включения галереи

- ю -

давление в пласте постоянно:р(х,t) = pq, tso. Далее некоторое время течение происходит по релаксационному закону. В момент, когда на галерее выполняется условие разрушения структуры, от нее отрывается фронт разрушения. При заданном rjQ время отрыва t"определяется из (11)

t* = -«plníl--— }. (12)

Vcíp J

Зона разрушения структуры возникает лишь при условии п0/(vc«p) < i. Для скорости двигения фронта разрушения получено соотношение, удобное для построения численного

алгоритма.

л /Зр - V(t,s(t))

s(t) = -——------—- exp (t /а ) (13)

3v p

Jexp(t'/9р) ^ dt'|x=s(t)

"О Л.

На достаточно малых временах (t"« a ) можно пользоваться асимптотическим подходом. При этом до момента возникновения фронта разрушения с учетом уравнения неразрывности упругого режима для давления получается одномерная задача теплопроводности. Ее решение определено стандартными методами и использовано в качестве начального условия для численного алгоритма в задаче с подвижной границей.

Сам алгоритм строится в п. 2. 5 на временах, достаточно малых по сравнению с временем релаксации. Для решения используется метод "выпрямления фонтов", который приводит область течения к постоянным границам. Однако при этом оператор в уравнении становится недивергентным, и для построения расчетной схемы используется вариационно-разностный метод.

В результате расчетов по ятой схеме методом прогонки получены графики изменения давления на галерее и перемещения фронта разрушения Срис. О, а также распределение давления по пласту (рис. 2D.

Для давления на галерее характерно немонотонное изменение во времени. Этот эффект связан с разрушением структуры £изменением релаксационного спектра} жидкости, приводящим к

- и -

уменьшению ¿фильтрационного сопротивления пористой среды в окрестности галереи. Понижение давления на галерее связано с проникновением возмущений от границы в пласт, а его повышение - с формированием пограничной зоны разрушения структуры, которое происходит при I; > г". Расчеты показывают С рис. 1(3}, что такая зона в рамках принятой модели формируется очень быстро, ее граница вСО быстро достигает почти стабилизированного положения.

На рис.2 представлены результаты расчетов поля давления в системе координат, где фронт разрушения неподвижен. При г^г" из-за разрыва коэффициента фильтрации Связкости) на фронте разрушения появляется угловая точка на графиках давления. В связи с быстрой стабилизацией фронта разрушения Срис. 1б), координаты хС , точки излома для различных моментов времени близки друг к другу. Такое поведение отвечает принятой упрощенной модели. В случае более общей модели с N максвелловскими элементами на кривой распределения давления появится » угловых точек.

Содержание третьей главы тесно связано с проблемами, возникающими при изучении фильтрации однородной жидкости в карбонатных коллекторах, где, как правило, система пор сильно неоднородна, пронизана системой трещин, " по которым преимущественно происходит фильтрация жидкости. При этом изменение давления в жидкости приводит к изменению напряженно-деформированного состояния пласта и существенно влияет на раскрытие, а тем самым, и на проницаемость трещин.

Для выявления структуры реологических соотношений трещиновато - пористой среды в п. з. 1-з с учетом основных соотношений термодинамики , проводеггся пространственное осреднение энергии деформации твердой фазы.

Рассмотрен элементарный объем уо трещиновато-пористой среды, заполненный однородной жидкостью, достаточно большой для того, чтобы осредненные характеристики его можно было перенести на среду в целом, и достаточно малый по сравнению со всем объемом среды, чтобы можно было считать законным предельный переход .

Принимается, что массовые силы отсутствуют, поверхностное натяжение на границе между жидкой' и твердой фазами при деформировании меняется не существенно, давление в жидкости р1 постоянно С 1=1 для трещин, 1=2 для блоков).

Модуль сдвига твердой фазы много больше модуля сдвига жидкости, поэтому роль жидкости в реологии,скелета сводится к обжатию зерен.

В ра?«ках указанных предположений получено соотношение

1 • V V э

- а + Ф ) = - Р -с + (р - Р > -ол + — (а и ) (14)

у .<= с 2 у 2 1 у Эх

О О 0 1

где о - ас + р р - свободная энергия, Ф - диссипативная функция, точка сверху означает материальную производную.

Далее предполагается, что главные оси тензоров напряжения и макродеформаций совпадают, и пласт чисто.упругий (Фо = о). При этом С14) принимает вид

1 • р р ,

- Г =(1-ш ) (1-П1 )-=-^+(Р -р )(-п +(1-и )«)+ст е (15) с 1 2 211 1 оса

Уо р

с

Откуда следуют реологические соотношения для насыщенной трещиновато-пористой среды:

эг ак р

_£ = р -р ---= (1-в )(1-п )—

о 12 _ 1 2 „

Зш Эр р

1 с с

(16)

ар

— = (1-й,)(Р -Р,) + о

а% 121

а

Они учитывают, что энергетический вклад за счёт изменения плоггности скелета происходит благодаря обжатию зерен давлением жидкости в блоках, и отражают также взаимосвязь трещинной пористости и общих деформаций среды. Вид функции гс определяется в каждом конкретном случае из физических соображенМ с учетом конкретных данных. Приведен пример, когда Рс является квадратичной функцией своих аргументов.

В результате деформаций трещиновато-пористая среда становится анизотропной не только по реологии твердой фазы, но и

по фильтрационным свойствам: проницаемость системы трещин зависит от деформации среды.

Принимается,что главные оси тензоров проницаемости и деформаций совпадают, а зависимость к. ^ (Е^) для малых деформаций считается линейной, потоком в блоках пренебрегается. Тогда закон фильтрации в главных осях имеет вид

К ЭР1

V? ----, К =К (ш )+А % , А =А.. (17)

11 ц а I .0 1 и } -Ч л

В п.3. з. выписана общая сводка уравнений фильтрации в деформируемой трещиновато-пористой среде, включающая известное уравнение баланса массы жидкости, условие совместного деформирования для несжимаемых фаз, уравнение квазиравновесия, а также закон фильтрации и уравнения состояния (1 б), (17).

В п. з.4 - 3.5 исследуется модель фильтрации с типовым блоком для трещиновато-пористого пласта с развитой вертикальной трещиноватостью.

Такой .пласт обладает существенной анизотропией свойств: его жесткость в • вертикальном направлении определяется материалом блоков, а в горизонтальном она пренебрежимо мала до тех пор, пока не сомкнутся трещины. Это означает, что при анализе деформаций такой пласт допускает моделирование множеством изолированных блоков, разделенных трещинами по всей мощности пласта. Раскрытие трещин определяется поперечными деформациями блоков.

Далее основное внимание уделялось анализу перетоков из блоков в трещины. Для простоты принималась гипотеза о постоянстве .горного давления. В общем случае величину перетока можно представить в виде суммы трех слагаемых.

4 = ч1(к1.*к2) + <12(Р1,Р2) + чз(8Ь (18)

Первое из них связано только с геометрической

микроструктурой гидравлических сопротивлений и определяется решением задачи о фильтрации несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде. Второе определяется сжимаемостями жидкости Э1 и зерен блоков р . Соответствующий

ереток q2 компенсирует разность изменений объемов жидкой и вердой фаз, вызванных вариацией порового давления при иксированных эффективных напряжениях. Третье слагаемое бусловлено изменением объема пор в блоках за счет деформаций ри постоянных плотностях фаз ( отжим ).

Оценки для типичных параметров карбонатных коллекторов оказывают, что переток жидкости из блоков в трещины роисходит, в основном,за счет отжима

Показано^" что на единицу объема среды в целом имеем

qз = -(15/(11 (19)

де а - среднеобъемная деформация блока.

Для оценки решена внутренняя задача о фильтрационной

онсолидации типового блока в . виде бесконечной пластины,

олЩиной 21. На основе полученного решения определена функция

еретока и исследовано ее асимптотическое поведение при

Ъльших и малых временах.

При этом пористая среда блока считается однородной ,

ильтрация - линейной, жидкость и зерна скелета

есжимаемыми, давление в трещинах р - заданным, а давление в

локах р - искомым.

2 г

а границе блока с трещиной Р2(ь,г) = Р1(1), оМьд) = о. з теории консолидации следует уравнение для определения бъемной деформации 5 в блоке

эа

-- х Ад = 0 (20)

аг

К К Х+2ц

2 2 О

где х = — (\ + 2^1 ) - для несжимаемых зерен, х = — -

в общем случае, х, цо - параметры Ламэ для блока, 5й=сопв1, реальных условиях ^ = о-о.2.

Начальное и граничные условия для з имеют вид

3(х,0) = 9 , -ь а х £ ь,

0 (21)

— Гв^Р (О - 2и 7(1)1

2и V 1 " )

---|£„Р,и) - 2^7(1) | е 6(11

Х+2/1

о

де - поперечная деформация пласта.

о.оо

3

с

0.50

кр/(УсУкт?р)

0.60

0.40

0.20

1.00 0.00

0.50

1.0С

Рис. 1а. Движение фронта разрушения и изменение давления на скважине. 1-7=0.7, к=4.1. 2-7=0.9, /с=4.1. 3-7=0.7, «=5.5.

кр/(УсУ^5р)

4

5 \

\1 6 \Д

0.00 0.60 1.00 1.60 2.00 .. . 2.50

Рис.2. Изменения давления в области 7=0.7, «=4.1.,1—7 по времени с шагом т

С 'помощью гипотезы о постоянстве горного давления установлено, что удовлетворяет интегральному уравнению

Зольтерра второго рода. >

-уСЛ) = Р(0

К(-С,т)>(т)<1г, (33)

где кш - известная функция; р(о - линейно выражается через р^о.

Решение задачи (31)—(33) получено с помснцл преобразования Лапласа. Показано, что на больших временах гт>\,г!х С для достаточно медленных процессов) функция перетока определяется выражением: q( г ) = ( (1+к)) ( 1-2у) / ( 1-у)е ор^эо, а для быстрых процессов (и< ь2/х), (0)/Г. Рассмотрен такие

случай периодического изменения р (ъ). Установлено, что на больших частотах амплитуда перетока .растет пропорционально

/ох /ь и наблюдается сдвиг фаз на угол я/4. На малых частотах амплитуда пропорциональна частоте, сдвиг фаз равен я/2.

Анализ перетоков позволяет для достаточно медленных процессов записать автономное уравнение для давления в трещинах

( (1-2у) -,3'Р г

Г)(Р -Р„) --- (1-8^(1+«')) — =а1уК?3(Р, )7Р 1(22)

1 " РГРА (1-й)Е " I 0 1 М.

где р"- давление смыкания трещин, Р°- исходное пластовое

давление, г(Р1)= я°(р -р*)/(р°-р*)-17(р1-р">'.

Оно моделирует фильтрацию однородной жидкости в трещиновато-пористом пласте до тех пер, пока проницаемость трещин существенно больше проницаемости блоке®.

Основные результата.

1.Для интегральной модели релаксационной двухфазной фильтрации проведено исследование качественных свойств поведения возмущений насыщенности на фоне постоянного потока и на его основе дана классификация моделей этого типа.

2.Предложены две модели фильтрации тиксотропной жидкости. Их свойства проиллюстрированы на конкретных примерах. Построен эффективный численный алгоритм решения нелинейной задачи о

пуске галереи с постоянным дебитом для релаксационной ф«црл рации с подвижной границей Спеременным спектром релаксации).

з.Предложена согласованная с термодинамикой модел фильтрации в трещиновато-пористой среде, находящейся напряженно-деформированном состоянии. Проведено асимптс тическое исследование функции прретока. Для этого решен внутренняя задача о фильтрационной консолидации в типово блоке-пластине , ограниченной двумя параллельными плоскостями

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Балаян Н. М. , Осипов П. П. К вопросу о релаксационно фильтрации двухфазной жидкости. // Тр. семинара "Численны методы решения задач фильтрации многофазной жидкости" Новосибирск, 1986,С.28-33.

2. Балаян Н. М. , Осипов П. П. Модель, неравновесно] двухфазной фильтрации в трещиновато-пористой среде. // Тезиа докл. п Республиканской научн.-техн. конф. "Механика машиностроения", Брежнев, 1987, с. 1.

3. Балаян Н. М. , Костерин А. В. , Осипов П. П. О фильтрацш тиксотропной жидкости. // В сб. "Исследования по подземно! гидромеханике", Казань, Изд.КГУ, 1989, с.19-23.

4. Балаян Н. М. , Костерин A.B. О фильтрационно! консолидации трещиновато-пористых сред. // В сб. "Численные методы решения задач фильтрации и оптимизации нефтедобычи", Казань, КФГИ КФАН СОСР, 1990, с. ' 17-25.

5. Балаян Н. М. , Костерин А. В. Разностный метод расчета фильтрации тиксотропной жидкости с переменным спектров релаксации. // "Исследования по подземной гидромеханике, Казань, йэд. КГУ, 1991, с.ъ-12.

6.Балаян Н. М. , Костерин А.В. Математическое моделирование фильтрации тиксотропной жидкости.//Труды п минского международного форума по тепломассообмену (18-22 мая 199 2г),

т. 4,с. 190-194.

7. Осипов П. П., Балаян Н. М. Классификация линейных релаксационных моделей двухфазной фильтрации. // ИФЖ, т. 53,

n2, 1987, с.253-258.