Математическое моделирование течения вязкоупругой жидкости в канале вискозиметра с падающим грузом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

АМЕР МАХМУД АЛЬ-РВАШ

Математическое моделирование течения вязкоупругой жидкости в канале вискозиметра с падающим грузом

Специальности 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань -2006

Работа выполнена на кафедре «Теоретической механики и сопротивления материалов» Казанского государственного технологического университета.

Научный руководитель доктор технических наук, старший научный сотрудник Тазюков Фарук Хоснутдинович

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Кирпичников Александр Петрович

Доктор технических наук, профессор Гильфанов Камиль Хабибович

Ведущая организация

ОАО Волжский научно-исследовательский институт углеводородного сырья г. Казань

Защита состоится «28 »сентября 2006 года в_14_часов на заседании диссертационного совета К212.080.01 в Казанском государственном технологическом университете по адресу: 420015, г.Казань, ул. К.Маркса, 68 (зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ. Автореферат диссертации разослан "Об"' 0¥ 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Движение тела сферической или цилиндрической формы в неньютоновских жидкостях является одной из самых известных проблем гидродинамики. Первое аналитическое решение проблемы в случае обтекания сферы вязкой ньютоновской жидкостью, получено в работе Стокса. Дальнейшее развитие этой проблемы нашло отражение в работах Факсена, Ламба, Линдгрена и многих других исследователей. Несмотря на кажущуюся простоту, течение жидкости вблизи груза достаточно сложное. А именно, течение вблизи передней и задней кромки груза происходит в основном под действием нормальных напряжений, а течение в канале между грузом и стенкой контейнера происходит под действием значительных сдвиговых напряжений. Относительная важность вклада различных факторов, влияющих на скорость падения груза, зависит в первую очередь от реологических свойств исследуемой жидкости, веса груза и относительных размеров груза и контейнера. С развитием теоретической и прикладной реологии и в связи с потребностями практики возникла необходимость исследования движения тел в в неньютоновских упруговязких жидкостях. Благодаря работам Мак-кинли (McKinley), Хассагера (Hassager), Таннера (Tanner), Кроше (Crochet) и многих других, течение сферических и цилиндрических тел в ньютоновских и неньютоновских жидкостях в настоящий момент считается стандартной проблемой, предназначенной для тестирования применяемых исследователями реологических конститутивных соотношений и численных алгоритмов.

В конструкциях вискозиметров с падающим грузом часто используются грузы, отличающихся по форме от сферических и цилиндрических тел. Исследования обтекания таких грузов потоком неньютоновских жидкостей возможны только с помощью численных методов, дающих возможность подробно описывать особенности обтекания этих грузов и позволяющих правильно интерпретировать полученные экспериментальные результаты.

Таким образом, актуальность проблемы заключается, прежде, всего в необходимости ясного понимания и .правильной интерпретации эффектов, проявляющихся при движении грузов в среде, вязкоупругой жидкости в канале вискозиметра с падающим грузом. Кроме того, актуальность проблемы связано с тем, что движение: тел в жидкостях обладающих неньютоновскими реологическими

свойствами широко применяется для исследования процесса седиментации при производстве наполненных полимерных систем и также в необходимости тестирования реологических конститутивных соотношений и построенных численных алгоритмов на специальных, рекомендованных для данного круга проблем, тестовых задачах.

В соответствие с вышесказанным, а также в связи с уникальными особенностями проблемы, в которой присутствуют участки со сдвиговым и продольным течением, исследование течения грузов различной формы в различных жидкостях, является одной из наиболее важных и актуальных проблем в вискозиметрии и в ряде процессов химической технологии

Исследования носят межотраслевой характер и проведены в соответствии с Координационным планом РАН «Теоретические основы химической технологии» на 1986-2000 гг., этап на 2003 год «Исследование закономерностей формирования надмолекулярных структур».

Целью данного исследования является создание математической модели течения упруговязкой жидкости Олдройда (ОЫгоуй-В) и Фан-Тьен-Таннера (РТТ) в канале вискозиметра с падающим грузом.

Для достижения сформулированной цели были поставлены следующие задачи:

♦ детально исследовать особенности течения жидкости при обтекании цилиндра и груза, имеющего форму тела со скругленной передней стенкой. Дать контурные графики, характеризующие влияние степени ориентации макромолекул в процессе течения на сопротивление вблизи цилиндра и груза;

♦ исследовать влияние реологических свойств полимерной жидкости на величину коэффициента коррекции силы сопротивления в случае цилиндра и груза.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые получены новые данные о влиянии реологических свойств улруговязких жидкостей на распределение осевой скорости, на распределение напряжений и разности главных напряжений в области течения в окрестности груза. На основе метода конечных элементов, разработан атгоритм для численной реализации сформулированной задачи те-

чения вязкоупругой жидкости Олдройда, предсказывающей только релаксационные свойствами жидкости РТ'Г, предсказывающей аномалию вязкости и релаксационные свойства, для падающих грузов различной формы. Исследовано течение при обтекании бесконечного цилиндра и при обтекании груза с закругленной передней стенкой. Получены новые данные, характеризующие влияние реологических свойств жидкости на сопротивление при обтекании груза.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в том, что в результате численного моделирования получена картина обтекания груза неньютоновской жидкостью. Пока-„ зано, что реологические свойства исследуемых неньютоновских жидкостей существенным образом сказываются на величине силы сопротивления, следовательно, и на величине измеряемой вязкости. Данная ситуация приводит к необходимости совершенствования методики измерения вязкости неньютоновских жидкостей методом падающего груза. Результаты исследования нашли применение в ОАО Нижнекамскшина при исследованиях реологических характеристик жидких полимерных систем.

Автором впервые:

♦ построена математическая модель процесса обтекания груза неньютоновской жидкостью. При этом использованы реологические конститутивные соотношения Олдройда и РТТ, характеризующие разные типы упруговязких жидкостей. Проанализированы две формы груза и два различных случая поперечного обтекания цилиндра;

♦ на основании математического моделирования получены новые данные по влиянию неньютоновских свойств жидкости (упругость, аномалия вязкости и продольная вязкость) на распределение продольной скорости и напряжений в области обтекания груза;

♦ продемонстрировано наличие сдвоенного отрицательного следа при продольном обтекании груза, имеющего форму тела со скругленной передней стенкой; .

♦ получено значительное влияние реологических свойств .жидкости на перепад давления; ,;'. = Г. ' .

♦ показана зависимость силы сопротивления жидкости при обтекании груза от реологических свойств исследуемой жидкости.

Достоверность полученных результатов Достоверность полученных результатов основана на применении современных методов математического моделирования, базирующихся на общих законах сохранения, учитывающих особенности течения полимерных жидкостей.

Достоверность результатов работы подтверждается путем сравнения полученных теоретических результатов с экспериментальными и теоретическими данными других авторов.

На защиту выносятся результаты математического моделирования обтекания тел заданной формы вязкоупругой жидкостью подчиняющейся реологическим конститутивным соотношениям Олдройда и РТТ. При этом представлены следующие результаты.

1. Сформулирована математическая модель различных видов обтекания упруговязкой жидкостью тел заданной формы.

2. Приведены контурные графики, характеризующие влияние реологических свойств используемых реологических конститутивных соотношений на распределение давления, напряжений и продольной компоненты скорости вблизи обтекаемого тела.

3. Показано определяющее влияние эффекта аномалии вязкости неньютоновской жидкости на сопротивление обтекаемого тела.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах и отчетных конференциях КГТУ (КХТИ) 2001 -2006 годов, а также докладывались на межрегиональной научно-практической конференции «Инновационные процессы в области образования, науки и производства», Нижнекамск 2004, 18-ой международной конференции Математические методы в технике и технологиях 2005, межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства», Нижнекамск 2006.

Личный вклад автора в работу. Все основные результаты работы получены лично автором. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Публикации. По теме диссертации имеется 8 публикаций.

Объем работы. Содержание диссертации изложено на 122 страницах машинописного текста, содержит 2 . .табдицы, 32 рисунка. Список использованной литературы включает 118 наименований.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. > : • -КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В главе 1 приводится обзор литературы по теме диссертации, где отмечено следующее. Выбор конститутивного реологического соотношения является необходимой часть математического моделирования течений неньютоновских жидкостей. Приведено обсуждение различных подходов к построению конститутивных реологических соотношений. Приведен краткий анализ реологических конститутивных соотношений Олдройда и Фан-Тьен-Таннера. Главу завершает критический анализ работ, посвященные, изучению обтекания неньютоновскими жидкостями тел цилиндрической формы. При этом отмечается, что движение тел различной формы в жидкостях, обладающих неньютоновскими реологическими свойствами, широко применяется для исследования процессов седиментации, а также в вискозиметрии при измерениях вязкости различных жидкостей. Течение жидкости вблизи груза может быть условно разделено на несколько участков. Вблизи передней границы груза происходит растяжение-сжатие по двум направлениям, на боковых поверхностях между грузом и стенками контейнера наблюдается чистое сдвиговое течение цод действием касательных напряжений и в следе за грузом наблюдается осевое продольное течение под действием нормальных напряжений. Относительная важность каждого из перечисленных типов течений зависит от скорости падения груза,' реологических свойств жидкости и отношения радиуса груза к радиусу контейнера. Отсутствие геометрических сингулярностей, таких как острые углы, линии контакта, позволяет надеяться на возможность численного решения проблемы. Однако эти надежды не всегда исполняются вследствие сложности течения вблизи груза и развития значительных градиентов напряжений между падающим грузом и стенками контейнера.

В Главе 2 представлена математическая формулировка задачи поперечного обтекания вязкоупругой жидкостью цилиндра в плоском канале.

Основными уравнениями, описывающими установившееся течение, в отсутствие внешних сил являются уравнения сохранения импульса, сплошности и реологическое конститутивное соотношение. Схемы обтекания цилиндра приведены на рис.1. Уравнения движения в терминах экстра напряжений имеют вид

р (—+ = - УР + V ■ г > О)

■ . -о;. Зг

V -V = 0, (2)

где р — плотность жидкости, V - вектор скорости, Р - давление, г -девиатор напряжения.

Реологическое уравнение модели имеет вид ?" =?» ■ + г 2 >неньютоновская составляющая напряжения, определяемая из конститутивного соотношения

; ; Г, н-Я (^+/;(г1>Л)) + Л(Я)г1 = (4)

Ньютоновская составляющая общего напряжения хг определяется из соотношения

?2= 2Т/2 -15 , (5)

^' ■■ ' яр _ '

где ,. -с __ +у .ут - V у-г - г ■ (V?) " верхняя конвективная произ-5/

водная от тензора напряжения г,г/[ - вязкость полимерной составляющей жидкости; т]г - вязкость растворителя; л - время релаксации напряжений, тензор скоростей деформации.

Выбор параметров у;, /2 определяет вид конститутивного реологического соотношения. При /)=о и /2=0 получается контра-

вариантная модель упруговязкой жидкости Олдройда, а выбор функций /; , /2 в виде

4-г-О), <б)

определяет экспоненциальную модель упруговязкой жидкости РТТ. В уравнении (6) параметры ет и ^ являются материальными параметрами, определяющими поведение данной модели.

В результате приведения уравнений (4) -(5) к безразмерному виду можно получить числа Рейнольдса, Вайссенберга и коэффициент ретардации

.ри в—а*-. с?)

Ие =

г} Ь ' Г}у+Т)2

В начале главы приводится математическая постановка задачи обтекания цилиндра в плоском канале вязкоупругой жидкостью Олдройда и жидкостью РТТ. При этом рассмотрены два варианта течения. В первом варианте рассматривается обтекание цилиндра в канале, стенки которого имеют скорость и (рис. 1 а), а во втором исследуется пуазейлевское обтекание цилиндра в канале (рис. 1Ь). На рисунке 2Л и 2г обозначают высоту канала и диаметр цилиндра, а обозначают оси декартовой системы координат.

В)

схема(1а)

схема(1Ь)

Рис 1. Схемы расчетных областей при обтекании цилиндра

Аппроксимация уравнений (4)-(5) и вычисления проводились методом конечных элементов (МКЭ) второго порядка. Для расчетов строилась последовательность сгущающихся сеток 9-узловых четырехугольных элементов. Для расчета напряжения и давления использовались линейные четырехугольные элементы. Моделирование течения проводилось при следующих значениях параметров моделиРГГ: Яе = 0.01; р = 0.11; в = 0.3; £ = 1.0; = 0.01, 0.5, 1.0, 3.0 • Граничные условия

В центре расчетной области х = у = 0 расположен цилиндр, входная граница расположена на расстоянии от центра £,=15Л, а выходная на лг=зой • В силу этого, на входе задается полностью развитое течение полимерной жидкости.

Схема А

:и=1, V =0, 1

г = г = т = О.

* XX уу ху

Схема В: 5 (: «=1(4-у2), у=0,

(8)

На выходе ставятся условия Неймана, предполагая, что здесь также достигается установившееся течение : Схема А: £,:„=1, V =0, гхг = т}у = тху = 0, р = 0-

Схема Я: - р = 0. (9)

;..■:• !..■•■. дх дх дх дх

На твердых стенках канала ставятся условия прилипания жидкости.- ч:; ■."';■•

Схема А: 1; у = 0. Схема В: и= 0; V = 0.

На твердой поверхности обтекаемого груза для обеих схем течения ставятся условия прилипания;

В третьей главе приведены результаты моделирования. Здесь проанализирован один из наиболее интересных и малоисследованных явлений течений полимерных жидкостей в канале при обтекании цилиндра. Этим эффектом является образование так называемого «отрицательного следа», возникающего только при движении груза в упруговязкой жидкости. Суть эффекта отрицательного следа заключается в том, что наблюдается снижение осевой скорости до некоторой отрицательной величины с последующим ростом до нулевого значения. Результаты наших расчетов значений продольной составляющей скорости для использованных схем течения, приведены на рис.2. Как следует из рис.2а, для схемы течения с подвижными стенками (рис. 1а), наблюдается максимальное значение продольной компоненты скорости в" следе при }¥е = 0.5 и составляет (7 = 1.25, что означает 25% превышение скорости над значением скорости на оси канала. При дальнейшем увеличении времени ре-, лаксации наблюдается некоторое уменьшение пика скорости, но процесс замедления до скорости на оси канала происходит на большем расстоянии.

Аналогичное ситуация наблюдается и в поведении профиля продольной компоненты скорости в следе за цилиндром при обтекании потоком. Пуазейля. Из рис. 2Ь также видно,- что в случае близком к ньютоновскому поведению мри малых значениях времени релаксации (ууе = 0.01) ситуация аналогична для обеих схем течения.

Рис.2. Профили скорости в следе за цилиндром, для модели жидкости Фан-Тьен-Таннера при различных значениях числа }Уе-

В работе рассчитывается также разность главных напряжений сг, — о"2 =^N1 + 4г*, > где ЛГ! =тХ1 -Т)У- в соответствие с законом о

пропорциональности тензора напряжений тензору коэффициентов преломления, разность главных напряжений определяет оптическую неоднородность потока, что является следствием различной степени ориентации макромолекул полимерной жидкости. Образующиеся вблизи стенки надмолекулярные структуры способны привести к перераспределению потока вблизи падающего груза и тем самым изменить сопротивление груза.

Далее в этой главе рассмотрено течение упруговязкой жидкости РТТ в канале при обтекании тела с закругленной передней границей. Форма груза и распределение осевой скорости представлены на рис.3.

Данный случай представляет особый интерес при математическом моделировании течения в вискозиметре с падающим грузом. В случае обтекания закругленного тела за задней кромкой также возникает эффект превышения скорости жидкости над скоростью натекания жидкости, что характерно только для упруговязких жидкостей. Как следует из рис.3, с ростом }Уе наблюдается рост.скорости перед грузом и в его следе. При дальнейшем увеличении времени релаксации также наблюдается некоторое уменьшение, пика скорости, но процесс замедления до скорости на оси канала происходит на большем расстоянии. При этом, как показано на рис.3, превышение скорости в следе за грузом при значении числа

Вайссенберга, начиная с Же = 1.0 становится сдвоенным, то есть в следе за грузом образуются два пика.

а) \Уе=0.01

Ь) \Уе= 0.5

с) \Уе=1.0

Рис.3. Распределение продольной скорости течения жидкости в следе за цилиндром при Ке=0.01 и различных значениях числа 1Уе

Далее в главе приведены данные по распределению давления в жидкости в продольном направлении в осевом сечении у = 1.5. Показано (рис.4), что с ростом значения числа Вайссенберга перепад давления между входным и выходным сечениями канала уменына-, ется в несколько раз. Этот эффект является свидетельством того, что релаксационные эффекты, значительным образом уменьшают сопротивление груза в потоке упруговязкой жидкости.

а) обтекание цилиндра ь) обтекание груза

Рис.4. Распределение давления в продольном направлении при Ке=0.01 и различных значениях числа Ц^е

Суммарная сила сопротивления в проекции на продольную ось, учитывающая перепад давления и напряжения, определась по формуле

2к ди ди дv (] П^

К-Р+ 2ц21Г + ххх)со!в +(т12{^-+|-}+тД7)8т0]ЛйГ0-о ох дх ду '

Однако большинство исследователей вычисляют коэффициент коррекции Сл, определяемый по формуле

Сл=¥^/Г , г«е (11)

/ ' ¡,1окъ

В таблице приведены сравнительные расчетные данные зависимости коэффициента коррекции от величины числа Вайссен-берга, полученные для моделей жидкости Олдройда и РТТ для схем течения (1А) и (1В). В последней колонке приведены значения коэффициент коррекции Са при обтекании тела со скругленной передней границей жидкостью РТТ. Из таблицы следует, что для заданных геометрических соотношений, интегральное влияние неньютоновских свойств, приводит к уменьшению величины коэффициента коррекции. В результате расчетов коэффициента коррекции при обтекании груза и цилиндра установлено, что свойство аномалии вязкости играет ключевую роль в снижении сопротивле-

ния при обтекании груза, заданной формы и заданного соотношения между характерными размерами груза и контейнера.

Таблица. Зависимость СJ от значения числа

__а

С. ОЫгоуй-Е схема (1 А) сл РТТ схема (1 А) С, ОЫгоус!- В схема (1В) С, РТТ схема (1В) С\ РТТ а груз

0.0 102.12 102.76 132.36 132.36 304.2

0.5 89.46 79.25 126.41 120.96 269.4

1.0 81.96 70.45 124.12 118.96 224.3

3.0 66.45 110.78 201.7

Заключение и общие выводы

В результате проведенного математического моделирования обтекания неньютоновской упруговязкой жидкостью тел различной формы с учетом стесненных условий течения показано влияние стенок контейнера и влияние релаксационных свойств неньютоновской вязкоупругой жидкости на величину силы сопротивления. Показано, что сила сопротивления жидкости зависит от реологических свойств вязкоупругой жидкости. Причем, если жидкость обладает свойством аномалии вязкости, то эта зависимость становится более значительной.

При моделировании процесса обтекания груза установлено, что в следе, за падающим грузом, также образуется так называемый «отрицательный след». При этом имеет место два, близко расположенных, максимума осевой компоненты скорости.

Показано, что изменение давления в осевом направлении, расположенном между грузом и стенкой, в значительной мере зависит от характерного времени релаксации напряжений в жидкости. Перепад давления уменьшается с ростом значения числа Вайссенбер-га. Уменьшение перепада давления приводит, в конечном счете, к уменьшению сопротивления груза.

В результате проведенного моделирования получено распределение первой разности главных напряжений (<т, — <т2) в области

течения, характеризующей степень ориентации макромолекул полимерной жидкости.

Результаты исследований использованы на ОАО Нижнекамск-шина при определении реологических характеристик текучих полимерных систем.

Автор благодарит к.т.н доц. Снигерева Б.А. за методическую помощь и заведующего кафедрой Технологии конструкционных материалов Казанского государственного технологического университета д.т,н. проф. Гарифуллина Ф.А. за внимание к работе и ценные критические замечания.

Основное содержание диссертации изложено в работах

1. Тазюков Ф.Х., Гарифуллин Ф.А., Лутфуллина Г.Н., Амер Аль-Рваш, Кутузова М.А. Формирование надмолекулярных структур в процессе экструзии высоконаполненных полимерных систем. // Международная научно-техническая и методическая конференция, Современные проблемы технической химии. Казань, декабрь 2004г, с.770-774.

2. Ильясов P.C., Вахитов А.Ф., Тазюков Ф.Х., Амер Аль-Рваш, Кутузов А.Г., Лутфуллина Г.Н. Использование связи между напряжением и конформацией в технологических задачах. // Тепломассо-обменные процессы и аппараты химической технологии. Сб. науч. Трудов,- Казань, 2005, -С.52-66.

3. А. Аль-Рваш, М.А. Кутузова. Напряжения и конформации в технологических задачах //18-я международная конф. Математические методы в технике и технологиях, Казань, 2005, ММТТ-18, с.63-65.

4. Кутузова М.А., Кутузова Г.С., А. Аль-Рваш. Моделирование двойного лучепреломления при переработке полимерных распла-ВОВ.//18-Я международная конф. Математические методы в технике и технологиях, Казань, 2005, ММТТ-18, с.95-96.

5. Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х., Гарифулин Ф.А., Кутузова М.А., А. Аль-Рваш Численное моделирование обтекания цилиндра потоком упруговязкой жидкости Олдройда-Б. // Международная конференция по интенсификации нефтехимических процессов «Нефтехимия-2005», Нижнекамск, 2005. -С. 219-220.

6. А. Аль-Рваш, Гарифуллин Ф.А., Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х. Течение упруговязкой жидкости в вискозиметре с падающим грузом. 1. Математическая модель. // Материалы межвузовской на-

учно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства»,- г. Нижнекамск, 2006, -С. 35-36.

7. Кутузова М.А., А. Аль-Рваш, Т. Аль-Смади, Кутузова Г.С. Течение упруговязкой жидкости в вискозиметре с падающим грузом. 2.Результаты численного моделирования. // Материалы межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства»,- г. Нижнекамск, 2006, -С. 37-

8. Амер Аль-Рваш. Математическая модель вискозиметра с падающим грузом. //Материалы межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства»,- г. Нижнекамск, 2006, -С. 41-42.

39.

Соискатель

Амер Махмуд Аль-Рваш

Заказ 3\ 0

Тираж 80экз

Офсетная лаборатория КГТУ 420015, Казань, ул. К.Маркса, 68

ВВЕДЕНИЕ

1. ЛИТЕРАТУРЫЙ ОБЗОР

1.1. Ньютоновские и неньютоновские жидкости

1.1.1. Ньютоновские жидкости

1.1.2. Обобщенные ньютоновские жидкости

1.1.3. Неньютоновские жидкости

1.2. Материальные функции

1.2.1. Материальные функции в условиях чистого сдвигового течения

1.2.2. Материальные функции в условиях периодического сдвигового течения

1.2.3. Материальные функции в условиях продольного течения

1.3. Модели, основанные на механике сплошной среды

1.3.1. Линейные реологические конститутивные соотношения

1.3.2. Принцип материальной объективности

1.4. Модели, построенные в соответствие с принципом материальной объективности

1.4.1. Реологические конститутивные соотношения Максвелла

1.4.2. Реологическое конститутивное соотношение Олдройда-Б

1.4.3. Модель Джонсона-Сегельмана

1.4.4. Модель Фан-Тьен-Таннера

1.5. Обтекание тел цилиндрической формы потоком упруговязкой жидкости

1.6. Выводы

2. Математическая постановка задачи и описание метода решения

2.1. Введение

2.2. Постановка краевой задачи

2.2.1.Граничные условия

2.2.2. Метод решения

2.3. Описание метода численного решения задачи

2.4. Выводы

3. Результаты моделирования

3.1. Описание эффекта «отрицательного следа»

3.2. Результаты моделирования при обтекании цилиндра 79 3.2.1. Результаты моделирования, полученные для модели Фан-Тьен-Таннера

3.2.2. Результаты полученные для модели Олдройда-Б

3.2.3. Картины течения вблизи цилиндра

3.2.4. Вычисление силы сопротивления

3.3. Результаты моделирования обтекания груза вытянутой формы

3.4. Вычисление коррекции силы сопротивления при обтекании груза вытянутой формы

3.5. Выводы

Движение тела сферической или цилиндрической формы в неньютоновских жидкостях является одной из самых известных проблем гидродинамики. Первое аналитическое решение проблемы в случае обтекания сферы вязкой ньютоновской жидкостью, получено в работе Стокса. Дальнейшее развитие этой проблемы нашло отражение в работах Факсена, Дамба, Линдгрена и многих других исследователей. Несмотря на кажущуюся простоту, течение жидкости вблизи груза достаточно сложное. А именно, течение вблизи передней и задней кромки груза происходит в основном под действием нормальных напряжений, а течение в канале между грузом и стенкой контейнера происходит под действием значительных сдвиговых напряжений. Относительная важность вклада различных факторов, влияющих на скорость падения груза, зависит в первую очередь от реологических свойств исследуемой жидкости, веса груза и относительных размеров груза и контейнера. С развитием теоретической и прикладной реологии и в связи с потребностями практики возникла необходимость исследования движения тел в неньютоновских упруговязких жидкостях. Благодаря работам Маккинли, Хассагера, Таннера, Кроше и многих других, течение сферических и цилиндрических тел в ньютоновских и неньютоновских жидкостях в настоящий момент считается стандартной проблемой, предназначенной для тестирования применяемых исследователями реологических конститутивных соотношений и численных алгоритмов.

В настоящее время назрела необходимость исследования движения грузов, отличающихся по форме от сферических и цилиндрических тел, в реологически сложных жидкостях. Такие исследования возможны только с помощью численных методов, дающих возможность подробно описывать особенности обтекания грузов неньютоновскими жидкостями.

Таким* образом, актуальность проблемы заключается во-первых в назревшей необходимости ясного понимания и грамотного толкования эффектов, проявляющихся при движении грузов в среде вязкоупругой жидкости в канале вискозиметра с падающим грузом, во-вторых, в том, что движение тел в жидкостях обладающих неньютоновскими реологическими свойствами широко применяется для исследования процесса седиментации при производстве наполненных полимерных систем, а также в реологических исследованиях при измерениях вязкости жидкостей, в том числе растворов и расплавов полимеров и, в-третьих, в своевременности тестирования реологического конститутивного соотношения и построенного численного алгоритма на специальных, рекомендованных для данного круга проблем, тестовых задачах.

В соответствие с вышесказанным, а также в связи с уникальными особенностями проблемы, в которой присутствуют участки со сдвиговым и продольным течением, исследование течения грузов' различной« формы в различных жидкостях, является одной из наиболее важных и актуальных проблем в механике неньютоновских жидкостей.

Целью данного исследования является создание математической модели течения упруговязкой жидкости* в канале вискозиметра с падающим грузом.

Для достижения, сформулированной цели были поставлены следующие задачи:

Создать математическую модель течения упруговязкой жидкости Олдройд-Б и Фан-Тьен-Таннера в канале вискозиметра с падающим грузом; детально исследовать особенности течения жидкости при поперечном обтекании цилиндра и продольном обтекании груза, имеющего форму вытянутого тела со скругленной передней стенкой. Дать контурные, графики, характеризующие влияние степени ориентации макромолекул в процессе течения на вязкое трение вблизи цилиндра и груза; исследовать, влияние реологических свойств1 полимерной жидкости на величину коэффициента коррекции силы сопротивления в случае цилиндра и-груза; дать рекомендации по-применению^ вискозиметра с падающим грузом'для измерения-вязкости упруговязких жидкостей.

В соответствии, с поставленными ^задачами' работа включает в себя следующие разделы.

В главе Р приводится обзор'литературы, по теме диссертации, где отмечено следующее. Движение тел различной- формы в жидкостях, обладающих неньютоновскими, реологическими свойствами, широко применяется для исследования процессов седиментации, а также .в вискозиметрии при измерениях вязкости различных жидкостей. Течение жидкости вблизи груза может быть условно ^ разделено на несколько участков. Вблизи передней границы груза происходит растяжение-сжатие по двум направлениям, на боковых поверхностях между грузом и стенками контейнера наблюдается, чистое сдвиговое течение под действием касательных напряжений и в следе за- грузом, наблюдается- осевое продольное течение под действием нормальных напряжений. Относительная важность каждого - из перечисленных типов течений зависит от скорости1 падения груза, реологических свойств жидкости и отношения? радиуса груза к радиусу контейнера. Отсутствие геометрических сингулярностей, таких как острые углы, линии контакта, позволяет надеяться на возможность численного решения проблемы. Однако эти надежды не всегда исполняются* вследствие* сложности течения вблизи груза и возникновения значительных градиентов напряжений между падающим грузом и стенками контейнера. Приведено обсуждение различных подходов- к построению' конститутивных реологических соотношений. Дано построение конститутивного реологического соотношения- типа Максвелла на основе принципа материальной объективности. Приведен краткий анализ свойств реологических конститутивных соотношений Олдройда-Б и Фан-Тьен-Таннера. Главу завершает критический анализ работ, посвященных изучению обтекания неньютоновскими жидкостями тел цилиндрической формы.

В Главе 2 представлена математическая, формулировка задачи поперечного обтекания вязкоупругой жидкостью цилиндра в плоском канале. Приведена общая схема численного решения задачи методом конечных элементов.

В главе 3 приведены результаты моделирования. В этой главе проанализирован один из наиболее интересных и малоисследованных явлений течений полимерных жидкостей в канале при* обтекании цилиндра. Этим эффектом является образование так называемого «отрицательного следа», возникающего при движений груза только в упруговязкой жидкости. В результате расчетов коэффициента коррекции при обтекании груза и цилиндра установлено, что свойство аномалии вязкости играет ключевую роль в снижении сопротивления-при обтекании груза, заданной формы и заданного соотношения между характерными размерами груза и контейнера.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые получены новые данные о влиянии реологических свойств упруговязких жидкостей на распределение осевой скорости, на распределение напряжений и разности главных напряжений в области течения в окрестности груза. На основе метода конечных элементов, разработан алгоритм для численной реализации сформулированной задачи течения вязкоупругой жидкости Олдройд-Б, предсказывающей только релаксационные свойства, и жидкости Фан-Тьен-Таннера, предсказывающей аномалию вязкости и релаксационные свойства, для падающих грузов различной формы. Исследовано течение при обтекании бесконечного цилиндра и при обтекании груза вытянутой формы с закругленной передней стенкой. Получены новые данные, характеризующие влияние реологических свойств жидкости на сопротивление при обтекании груза.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в том, что в результате численного моделирования получена картина обтекания груза неньютоновской жидкостью. Показано, что реологические* свойства исследуемых неньютоновских жидкостей существенным образом сказывается на величине силы сопротивления, следовательно, и на величине измеряемой вязкости. Данная ситуация приводит к необходимости совершенствования методики измерения вязкости неньютоновских жидкостей методом падающего груза. Результаты исследования нашли применение в ОАО Нижнекамскнефтехим при исследованиях реологических характеристик жидких полимерных систем.

Автором впервые: построена математическая модель процесса обтекания груза неньютоновской жидкостью. При этом- использованы реологические конститутивные соотношения Олдройда-Б и Фан-Тъен-Таннера, характеризующие разные типы упруговязких жидкостей. Проанализированы две формы груза и два различных случая поперечного обтекания цилиндра; на основании математического моделирования получены новые данные по влиянию неньютоновских свойств жидкости (упругость, аномалия вязкости и продольная вязкость) на распределение осевой компоненты скорости и напряжений в области течения упруговязкой жидкости вблизи груза; продемонстрировано наличие сдвоенного отрицательного следа при продольном обтекании груза, имеющего форму тела со скругленной передней стенкой; получено значительное влияние реологических свойств жидкости на перепад давления; показана зависимость силы сопротивления- жидкости от реологических свойств исследуемой жидкости.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов основана на применении современных методов.математического моделирования, базирующихся на общих законах сохранения, учитывающих особенности течения полимерных жидкостей.

Достоверность результатов- работы подтверждается< путем сравнения полученных теоретических результатов с экспериментальными и теоретическими данными.других авторов:

На защиту выносятся1 результаты математического- моделирования обтекания тел заданной формы вязкоупругой жидкостью подчиняющейся реологическим« конститутивным соотношениям Олдройд-Б и Фан-Тьен-Таннера. При этом представлены следующие результаты.

Г. Сформулирована математическая модель различных видов обтекания упруговязкой-жидкостью тел заданной формы.

2. Приведены контурные графики, характеризующие влияние реологических свойств, используемых реологических« конститутивных соотношений на распределение давления, напряжений и продольной компоненты скорости вблизи обтекаемого тела.

3. Показано определяющее влияние эффекта аномалии вязкости неньютоновской-жидкости на сопротивление обтекаемого тела.

Апробация. Основные положения' диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах и отчетных конференциях КГТУ (КХТИ) 2001-2006 годов, а также докладывались на межрегиональной научно-практической конференции «Инновационные процессы в, области образования, науки и производства», Нижнекамск 2004, 18-ой международной конференции Математические методы в технике и технологиях 2005, межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства», Нижнекамск 2006.

По: теме диссертации- имеется 8 публикаций. Основное содержание диссертации изложено в работах:

11 Тазюков^ФЖ, ТарифуллишФ- А., Лутфуллина Г.Н., Амер Аль-Рваш, Кутузова? М:А. Формирование: надмолекулярных структур в процессе экструзии.! высоконаполненных полимерных систем. // Международная научно-техническая^и< методическая конференция; Современные:проблемы технической химии. Казань, декабрь 2004г, с.770-774.

2. Ильясов Р:С., Вахитов А.Ф:, Тазюков Ф:Х;, Амер}Аль-Рваш; Кутузов. А.Г., Лутфуллина. Г.Н. Использование связи: между напряжением^ и конформацией: в технологических задачах.: // Тепломассообменные процессы и аппараты химической, технологии:- Сб. науч. Трудов;- Казань, 2005,-С.52-66.

3. А. Аль-Рваш, М.А. Кутузова. Напряжения и конформации в технологических задачах //18-я международная« конф. Математические методы;в-технике и технологиях, Казань, 2005, ММТТ-18, с.63-65.

А. Кутузова MIA.,. Кутузова Г.О., А. Аль-Рваш. Моделирование двойного лучепреломления при переработке полихмерных расплавов://18-я международная конф; Математические методы в технике и технологиях, Казань, 2005, ММТТ-18, с.95-96.

5:. Снигерев Б:А., Тазюков; Ф:Х., Гарифулин- Ф.А., Кутузова М.А., А. Аль-Рваш Численное: моделирование- обтекания цилиндра потоком упруговязкой жидкости ©лдройда-Б: // Международная: конференция по интенсификации нефтехимических процессов; «Нефтехимия-2005», Нижнекамск, 2005. -С. 219-220.

6. А. Аль-Рваш, Гарифуллин Ф.А., Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х. Течение упруговязкой жидкости в; вискозиметре- с падающим грузом. 1. Математическая модель. // Материалы межвузовской научно-практической

10 • конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства»,- г. Нижнекамск, 2006, -С. 35-36.

7. Кутузова М.А., А. Аль-Рваш, Т. Аль-Смади, Кутузова Г.С. Течение упруговязкой жидкости в вискозиметре с падающим грузом. 2.Результаты численного моделирования. // Материалы межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства»,- г. Нижнекамск, 2006, -С. 37-39.

8. Амер Аль-Рваш. Математическая модель вискозиметра с падающим грузом. //Материалы межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования, науки и производства»,- г. Нижнекамск, 2006, -С. 41-42.

Работа выполнена в Казанском Государственном технологическом университете на кафедре «Теоретическая механика и сопротивление материалов».

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору каф. ТМиСМ, доктору технических наук Ф.Х. Тазюкову за терпение, внимание и участие в постановке задач и обсуждении результатов работы.

Автор благодарит также кафедру Технологии конструкционных материалов Казанского государственного технологического университета и ее заведующего д.т.н., проф. Гарифуллина Ф.А. за внимание к работе и ценные критические замечания.

Отдельно автор хотел бы поблагодарить к.т.н. доцента Снигерева Б.А. за неоценимую помощь в освоении метода конечных элементов и помощь в проведении вычислительных работ.

Автор также выражает благодарность всем своим соавторам. Только совместная работа в коллективе высококвалифицированных специалистов в области реологии помогли автору закончить начатый научный труд.

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Математическое моделирование течения жидкостей основано на использовании дифференциальных уравнений движения и конститутивного реологического соотношения. Уравнения движения выводятся из физических законов сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии и могут быть применены к любым материалам, находящимся в жидком или газообразном состоянии. Конститутивное реологическое соотношение определяет связь между напряжениями, возникающими в жидкости в результате течения и скоростью деформации и зависит от природы материала, обладающего текучестью. Совместное использование уравнений движения и конститутивных соотношений позволяет моделировать течения жидкостей различной природы.

В начале данной главы представлены некоторые популярные реологические конститутивные соотношения, использующиеся для описания зависимости между тензором напряжении и тензором скоростей деформаций. В конце главы приведен анализ работ, посвященных обтеканию цилиндрических и сферических тел потоком ньютоновских вязких и неньютоновских упруговязких жидкостей.

Результаты работы использовались для уточнения измерения вязкости нефтепродуктов в ОАО Татнефтепровод.

Заключение и общие выводы*

В настоящее время назрела необходимость исследования движения твердых частиц, отличающихся по форме от сферических и цилиндрических тел, в реологически сложных жидкостях, что связано с потребностями вискозиметрических измерений. Такие исследования возможны только с помощью численных методов, дающих возможность подробно описывать особенности обтекания грузов неньютоновскими жидкостями. Течение жидкости вблизи груза может быть условно разделено на несколько участков. Вблизи передней точки груза происходит растяжение-сжатие по двум направлениям, на боковых поверхностях между грузом и стенками контейнера наблюдается чистое сдвиговое течение под действием касательных напряжений и в следе за грузом наблюдается осевое продольное течение под действием нормальных напряжений. Относительная важность каждого из перечисленных типов течений зависит от скорости падения груза, реологических свойств жидкости и отношения радиуса груза к радиусу контейнера. Отсутствие геометрических сингулярностей, таких как острые углы, линии контакта, позволяет надеяться на отсутствие сложнейших проблем при проведении численного решения поставленной перед соискателем задачи. Однако эти надежды не всегда исполняются вследствие сложности течения вблизи груза и возникновения значительных градиентов напряжений между падающим грузом и стенками контейнера. Сюда можно также отнести известную проблему, связанную с ростом значения числа Вайссенбнрга. Это означает, что не любое реологическое конститутивное соотношение может быть использовано для моделирования течения упруговязкой жидкости при заданном значении числа Вайссенбнрга.

Обтекание вязкоупругих жидкостей в стесненных условиях при больших значениях числа Вайссенберга, принята мировой научной общественностью как научная проблема, еще не получившая к настоящему времени полного решения. В работе представлена задача обтекания грузов различной формы, где эта проблема проявляется достаточно ярко. Можно видеть, что при применении реологической модели Олдройда-Б, при значениях числа Вайссенберга \¥е > 1 решение получить не удалось, что связано с появлением значительных градиентов напряжений вблизи стенки контейнера или вблизи поверхности обтекаемого груза. Близкая ситуация получается и с моделью Фан-Тьен-Таннера только при несколько больших значениях числа Вайссенберга. Это связано с особенностями поведения реологических моделей в различных участках области течения вблизи обтекаемого -тела. Для преодоления ограничений по числу Вайссенберга приходится модернизировать численные алгоритмы или использовать другие реологические конститутивные соотношения.

Данная работа является решением существующей проблемы измерения вязкости неньютоновских жидкостей вискозиметрами с падающим грузом.

В результате проведенного математического моделирования обтекания неньютоновской упруговязкой жидкостью тел различной формы с учетом стесненных условий течения показано влияние стенок контейнера, влияние релаксационных свойств неньютоновской вязкоупругой жидкости и влияние аномалии вязкости на величину силы вязкого сопротивления. Показано, что сила сопротивления жидкости существенно зависит от реологических свойств вязкоупругой жидкости. Причем, если жидкость обладает свойством аномалии вязкости, то эта зависимость становится более значительной.

При моделировании процесса обтекания груза установлено, что в следе, за падающим грузом, образуется так называемый «отрицательный след». Эффект «отрицательного следа» при обтекании груза со скругленной передней границей имеет особенность, заключающуюся в том, что имеет место два, близко расположенных, максимума осевой компоненты скорости.

Показано, что продольное изменение давления в сечении, расположенном между грузом и стенкой, в значительной мере зависит от характерного времени релаксации напряжений в жидкости. Перепад давления уменьшается с ростом значения числа Вайссенберга. Уменьшение перепада давления приводит в конечном счете к уменьшению сопротивления груза.

В результате проведенного моделирования получено распределение первой разности главных напряжений (<т1 -<т2) в области течения, характеризующей степень ориентации макромолекул полимерной жидкости. Показано, что разность главных напряжений определяет оптическую неоднородность потока, что является следствием различной степени ориентации макромолекул полимерной жидкости. В свою очередь различная степень ориентации макромолекул в потоке существенным образом влияет на картину течения. А именно, вытягивание молекулярных цепочек и их частичная ориентация в области течения вблизи твердой стенки способны привести к образованию дальнего порядка в расположении макромолекул. Образующиеся за счет частичной ориентации участков' макромолекул квазисшивки переводят расплав в пристенном слое из вязкотекучего в высокоэластическое состояние. При этом образующиеся вблизи стенки надмолекулярные структуры способны перераспределять поток вязкоупругой жидкости вблизи падающего груза.

Полученные результаты численного моделирования обтекания тел различной формы согласуются с имеющимися экспериментальными данными и данными численных экспериментов других авторов.

Результаты проведенного теоретического исследования процесса движения груза в среде вязкоупругой жидкости являются теоретической основой для отработки техники измерения вязкости в вискозиметрах с падающим грузом.

1. Синайский Э.Г. Гидродинамика физико-химических процессов. -М.: Недра.- 1997, 340с.

2. Van den Brule, В. Н. A. A. and Gheissary, G., Effects of Fluid Elasticity on the Static and Dynamic Settling of a Spherical Particle, J. Non- Newt. Fluid Mech., 49 (1), (1993), 123- 132.

3. Walters, K. and Tanner, R. I., "The Motion of a Sphere Through an Elastic Liquid", Transport Processes in Bubbles, Drops and Particles^ R. P. Chhabra and D. De Kee (ed.), Hemisphere Publ. Corp., New York, 1992.

4. Warichet, V. and Legat, V., Adaptive High- Order Prediction of the Drag Correction Factor for the Upper- Convicted Maxwell Fluid, J. Non- Newt. Fluid Mech., 73, (1997), 95- 114.

5. Watanabe, K., Kui, H. and Motosu, I., Drag of a sphere in dilute polymer solutions in high Reynolds number range, Rheol. Acta, 37 (4), (1998), 328-335.

6. White, S. a. and Baird, D. G., The Importance of Extensional Flow Properties on Planar Entry Flow Patterns of Polymer Melts, J. Non- Newt. Fluid Mech., 20, (1986), 93- 101.

7. Yang, B. and Khomami, В., Simulations of sedimentation of a sphere in a viscoelastic fluid using molecular based constitutive models, J. Non- Newt. Fluid Mech., 82 (2-3), (1999), 429-452.

8. Yuran, F. and Crochet, M. J., High- Order Finite- Element Methods for Steady Viscoelastic Flows, J. Non- Newt. Fluid Mech., 57 (2-3), (1995), 283- 311.

9. Zheng, R. and Phan- Thien, N., A Boundary Element Simulation of the Unsteady Motion of a Sphere in a Cylindrical Tube containing a Viscoelastic Fluid, Rheol. Acta, 31, (1992), 323-332.

10. O.Zheng, R., Plan- Thien, N. and Tanner, R. I., The Flow Past a Sphere in a Cylindrical Tube: Effects of Inertia, Shear- thinning and Elasticity, Rheol. Acta. 30, (1991), 499-510.

11. Agarwal, U. S., Dutta, A. and Mashelkar, R. A., Migration of Macromolecules under Flow: The Physical Origin and Engineering Implications, Chem. Eng. Sei., 498 (11), (1994), 1693-1717.

12. Alves, M. A., Pinho, F. T. and Oliveira, P. J., the Flow of Viscoelastic Fluids past a Cylinder: Finite- Volume High-Resolution Methods, J. Non- Newt. Fluid Mech., 97 (2-3), (2001), 207- 232.

13. Ambeskar, V. D. and Mashelkar, R. A., On the role of stress- induced migration on time-dependent terminal velocities of falling spheres, Rheol, Acta, 29,(1990), 182- 191.

14. Arigo, M. T. and McKinley, G. H., The Effects of Viscoelasticity on the Transient Motion of a Sphere in a Shear- Thinning Fluid, J. Rheol., 41(1),(1997), 103-128.

15. Arigo, M. T. and McKinley, G. H., An experimental investigation of negative wakes behind spheres settling in a shear- thinning viscoelastic fluid, Rheol. Acta, 37 (4), (1998), 307- 327.

16. Arigo, M. T., Rajagopalan, D. R., Shapely, N. T. and McKinley, G. H., Sedimentation if a Sphere Through an Elastic Fluid: Part I Steady Motion, J. Non -Newt. Fluid Mech., 60, (1995), 225- 258.

17. Baaijens, F. P. T., Mixed Finite Element Methods for Viscoelastic Flow Analysis: A Review, J. Non- Newt. Fluid Mech., 79 (2-3), (1998), 361-385.

18. Baaijens, H. P. W., Peters, G. W. M., Baaijens, F. P. T. and Meijer, H. E. H.,Viscoelastic flow past a confined cylinder of a polyisbutylene solution, J. Rheol., 39(6), (1995), 1243- 1277.

19. Becker, L., McKinley, G. H., Rasmussen, H. K. and Hassager, O., The Unsteady Motion of a Sphere in a Viscoelastic Fluid, J. Rheol., 38(2), (1994), 377403.

20. Becker, L., McKinley, G. H., and Stone, H. A., Sedimentation of a Sphere Near a Plane Wall: Weak Non- Newtonian and Inertial Effects, J. Non-Newt. Fluid Mech., 63, (¿996), 201-233.

21. H-S. Dou, Phan-Thien Nhan, Negative wake in the uniform flow past a cylinder, Rheol. Acta, 2003, v. 42, p.383-409.

22. Jones. W.M., Price, A.H and Walters, K., The motion of a Sphere falling Under Gravity in a Constant-Viscosity Elastic Liquid, J. Non-New Fluid mech., 53,(1994), 175-196.

23. Joseph D.D, Fenga J. 1996. A note on the forces that moves the particles in a second-order fluid. J. Non-Newt Fluid Mech. 64, (2-3):299-302.

24. Joseph D.D., Liu Y.F., Polettto, M. and Fenga, J., Aggregation and Dispersion of Spheres Falling in Viscoelastics Liquids, J.Non-newt Fluid Mech., 54, (1994).45-86.

25. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М. «Мир»- 1978.- 311с.

26. King, M.J and Waters, N.D., The Unsteady Motion of a sphere in a Elastic-viscous Liquid, J phys.D: Appl, Phys., 5, (1972), 141-150.

27. Гарифуллин Ф.А. Механика неньютоновских жидкостей. Казань, «ФЭН»- 1998.-416с.

28. Lesie, F.M and Tanner, RI, The Slow flow of a Viscoelastic Liquid past a Sphere, Quart. J. Mech. Appl .Math., 14, (1961), 36-48:

29. Levine, A.J and Lubensky, T.C., Response function of a< sphere in a viscoelastic two -fluid meduim Phys.Rev.E. 6304 (4), (2001), 1510.

30. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физмат-гиз, 1959. - 700с.

31. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. М. Химия 1977, -440с.

32. Larson R.G. The Structure and Rheology of Complex Fluids, Oxford University Press, New York, 1999.

33. Liu, Y.J. and Joseph, D.D., Sedimentation of Particles in Polymer Solutions, J.Fluid Mech., 255. (1993).565-595.

34. Liu, Y.J., Nelson, J., Feng, J. and Joseph, D.D., Anomalous Rolling of Spheres Down an Inclined Plane, J. Non Newt. Fluid Mech., 50, (1993), 305-329; .

35. Lunsmann, W.J., Genieser, L., Brown, R.A. and Armstrong, R.C Finite Element Analysis of Steady Viscoelastic flow round a sphere: Calculations with Constant Viscosity Models, J. Non-Newt. Fluid Mech., 48(1993), 63-99.

36. Maalouf, A. and Sigli, D., Effects of Body Shape and Viscoelasticity on the Slow Flow around an Obstacle, Rheol.Acta, 23,(1984), 497-507.

37. Реологические свойства полимеров в текучем состоянии. Г.В.Виноградов, А.Я.Малкин, Ю.Г.Яновский, В.Ф.Шумский, Е.А.Дзюра.// Мех. полимеров.- 1969.- №1.- с. 164-181.

38. Ландау Д.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1944. - 624с.

39. Леонов А.И. Малкин А.Я. Об эффекте нормальных напряжений в установившихся одномерных течениях расплавов полимеров.// Изв. АН СССР. сер.: Мех. жидкости и газа.- 1968.- 1 3.- с. 184-189.

40. Чанг Дей Хан, Реология в процессах переработки полимеров, М.: Химия, 1979, 270 с.

41. McKinley, G.H., Armstong, R.C and Brown, R.A., The Wake Instability In a Viscoelastic Flow Past Confined Circular Cylinders, Phil, Tans. R.Soc.Lond. A, 344(1993), 265-304.

42. Mckinely, G.H., and Sridhar, Т., Filament Stretching Rheometry of Complex Liquids.Ann.Rev fluid, 34(2002), to appear.

43. Mei, R.W., Xiong J.and Transon Tray, R., Motion of a sphere oscillating at on the low Reynolds numbers in a viscoelastic-fluid-filled cylindrical tube, J.Non-newt.Fluid Mech.,66(2-3), (1996), 169-192.

44. Mena, В., Maneo,0. and Leal, L.G The influence of rheological Properties on the slow Flow Past Sheres, J.Non-newt.Fluid Mech., 26,(1987), 247275.

45. Missirlis, K.A Assikmacopoulos, D., Mitsoulis E and Chhabra R.P., Wall effects of Motion of Spheres, J. Non-newt. Fluid Mech., 26, (1987)247-275.

46. Mistsoulis E. Effect of Rheological properties on the drag coefficient for creeping motion around a sphere falling in a tighly-fitting tube, J.Non-Newt. Fluid Mech., 74(1-3), (1998), 263-283.

47. Mollinger, A.M., Corneissen E.C. and van den Brule, B.H.A.A., An unexpected Phenomenon Oberseved in Particles setttling: Oscillating Falling Spheres, J.Non-newtonian Fluid Mech.,86(3), (1999), 389-393.

48. Oh, J.H .and Lee's., A Rheological Study on the Viscoelastic Flow Past Spheres in a Cylinder, J.Mater.Process and Manufacturing Sei.,1,(1992), 3-15.

49. Папков С.П. Физико-химические основы переработки растворов полимеров.- М.:Химия, 1971, 364с.

50. Owens, Phillips T.N., Steady viscoelasctic flow past a spheres using spectral elements, Int. J. Numer. Methods Eng., 39(9), (1996), 1517-1534.

51. Oztekin, A., Alakus, В and McKinley Planar Stagnation Flow of a Highly Vscoelastic Fluid, J, Non-Newt. Fluid Mech., 72(1), (1997), 1-30.

52. Paddle, P.and McKinley .G.H., Digital Particles Imaging Velocimetric Fluids, A.I.Ch.E., 43(2), (1997), 289-302.

53. Patankar, N.A and Hu, H.H., Rheology of a Suspension of Particles in Viscoelastic Fluids, J. Non-Newt. Fluid Mech., 96(2-3), (2001), 427-443.

54. Peters, E., Huslen, M, A. and van den Brule, В., in stationary Eulerain viscoelasctic flow simulations using time separable Rivling-Sawyers constitutive equations, J. Non-Newt. Fluid Mech., 89(1-2), (2000), 209-228.

55. Pajagaplan, D, R, Arigo, m.t and McKinly, G.H, Sedimentation of a sphere Through an Elastic fluid: Part П Transient Motion, J. Non-Newt. Fluid Mech., 65, (1996), 17-46.

56. Rallison, J, M., Dissipative Stresses in Dilute Polymer Solutions, J. Non-Newt. Fluid Mech, 68. (1997), 61-83.

57. Rasmussen, H. and Shifang, H., Unsteady Motion of a Sphere in an Elastico-Viscous Fluid, Int.J.Engng Sei,31 (1),(1993),19-26.

58. Rasmussen, H, K., Time-dependent finite-element method for the simulation of three dimensional viscoelastic flows with integral models, J.Non-Newt. Fluid Mech., 84(2-3). (1999). 217-232.

59. Rasmussen, H.K. and Hassager, O., On the sedimentation velocity of spheres in'a polymeric liquid, Chem. Eng. Sci., 51(9),(1996), 1431-1440.

60. Renardy , M., Asymptotic Structure of the stress Field in Flow Past a Cylinder at light Wiesenberger Number, J. Non-Newt, Fluid Mech ., 90(1) ,(2000), 13-32.

61. Riddle M.J., Narvaez, C. and Bird, R.B., Interaction Between Tow Spheres Falling Along Their Line of Centers in a Viscoelascic Fluid, J. Non-Newt. Fluid Mech, 2, (1977), 23-35.

62. Rodrique, D, de Kee, D. and Chan Man Fong, C.F, The S low Motion of a Sphericle in a Carreau Fluid, Chem. Eng. Commun. 154, (1996), 203-215.

63. Ryskin, G, Calculation of the Effect of polymer Addictive in a Converging Flow. Fluid Mech, 178, (1987), 423-440.

64. Satrape, J.V. and Cochet, M., Numerical Simulation of the Motion of a Sphere in a Boger Fluid, J. Non-Newt. Fluid Mech, 55, (1994), 91-111.

65. Schaink, H.M, Slot, J.M, Jongschaap, RJ.J. and Mellema, J, The rheology of systems Containing rigid spheres suspended in both viscous and viscoelastic media, studied by Stokesian Dynamics simulations, J.Rheol, 44(3), (2000), 473-498.

66. Singh, P. and Joseph, D.D, Sedimentation of a sphere near a vertical wall in an Oldroyd-B fluid, J. Non-Newt. Fluid Mech, 94(2-3), (2000), 179-203.

67. Sizaire, R, Lielens, G, Jaumain, I, Keuning, R. and Legat, V, On the Hysteretic Behavior of Dilute Polymer Solution in Relaxation Following Extensional Flow, J. Non-Newt. Fluid Mech, 82(2-3), (1999), 233-254.

68. Solomon, M.J. and Müller, S.J:, The transient extensional behavior of polystyrene-based Boger fluids of varying solvent quality and molecular/weight, J: Rheol., 40(5), (1996), 837-856.

69. Tirtaatmadja, V., Uhlherr, P.H.T. and Sridhar, T., Creeping Motion'of Spheres in Fluid Ml, J. Non-Newt. Fluid Mech., 35, (1990), 327-337.

70. Chhabra, R.P., Tiu, G, and Uhlherr. A Study of Wall Effects on The Motion of a Sphere in Viscoelastic Fluids, Can .J. Chem. Eng;, 59, 771-775.

71. Chhabra , R.P, And Uhlherr , P.H.T., And Boger , D.V ., The Influence of Fluid Elasticity on Wall Effects for Creeping Sphere Motion in Cylindrical Tubes, Can .J. Chem. .Eng, 66, (1988), 154-157.

72. Chhabra, R.P., Uhlerr, P.H.T. And Boger , D.V., The Influence of Elasticity on The Drag coefficient For Creeping Flow Around a Sphere, J.Non -newt .Fluid: Mech ., 6 (1980),154-157.

73. Chilcott, M.D. And Rallison, J.M., Creeping Flow of Dilute Polymer Solutions Past Cylinders and Sphere, J.Non -newt. Fluid Mech., 57 (1), (1995), 381-432:

74. Degand , E. and Walters , K ., On The Motion Of a Sphere Falling Through an Elastic Liquid Contained in a tight fitting Cylindrical Container , J.Non-newt. FluidMech., 57 (1), (1995), 103-115.

75. Delvaux, V. And Crochet, M.J., Numerical Prediction of Anomalous Transport Properties in Viscoelastic Flow, J. Non -newt. Fluid Mech., 37, (1990), 297-315.

76. Doi, M., Introduction to Polymer physics, Clarendon, Oxford, 1997.

77. Doyle, P. and Shaqfeh, E.S.G., Dynamic simulation of freely -draining, flexible Bead-Rod chains: start up of extensional and shear flow, J.Non -newt .Fluid Mech., 76 (1-3), (1998), 79-110.

78. Doyle, P., Shaqfeh, E.S.G., McKinley G.H. And Spiegel berg, S.H., Relaxation of Dilute Polymer Solution Following Extensional Flow. J.Non -newt .Fluid Mech., 76(1-3), (1998), 79-110.

79. Fabris, D., Muller, S.J. and Liepmann, D., Wake Measurements for flow around a sphere in a viscoelastic fluid, Phys. Fluid, 11(12), (1999), 35993612.

80. Fan, Y.R., Tanner, R.I., and Phan-then, N., Galerkin/least square finite-element methods for steady viscoelastic flow, J.Non-newt. Fluid Mech., 84 (2-3), (1999), 233-256.

81. Feng, J., Huang, P.Y., and Joseph, D.D., Dynamic Simulation of sedimentation of solid particles in an oldroyd-B Fluid, J.Non-newt .fluid mech., 63 (1996), (1996), 63-88.

82. Feng, J. and Joseph, D.D., The motion of solid particles suspend in viscoelastic liquid under torsional shear, J. Fluid Mech., 324 (1996), 199-222.

83. Gervang, B., Davies, A.R. And Philips, T.N, on the simulation of viscoelastic flow past a sphere using spectral methods, J.Non-newt .Fluid Mech, 44(1992), 281-306.

84. Gheissary, G. and Van den Brule, B.H.A.A., Unexpected phenomena observed in particle settling in non-Newtonian Media, J-.Non-newt .fluid Mech., 67,(1996), 1-18.

85. Ghosh, I., McKinley, G.H., Brown, R.A. and' Armstrong, R.C., Deficiencies of FENE Dumbell Models in describing the rapid stretching of dilute polymer solution, J.Rheol. 45(3), (2001), 721-758.

86. Дж. Хаппель, Г. Бреннер. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. Мир, 1976, 630 с.

87. Harlen, O.G., High-Deborah-number flow of a dilute polymer solution past a sphere falling along the axis of a cylindrical tube, J.Non-newt. Fluid mech., 37, (1990), 157-173.

88. Harlen, O.G, The negative wake behind a sedimenting sphere, J .Non-newt. Fluid mech, (2001).in preparation.

89. Harlen, O.G., Rallison, J.M., and Szabo, P., A split lagrangian-eulerian method for simulating transient viscoelastic flows, J.Non newt .fluid mech., 60 (1) (1995), 81-104.

90. Hernandez , J.G. and de la torre, J;G., Simulation of polymers in dilute solution under elongational flow, J.Non-cryst. Solid, 235-237, (1998), 717-722.

91. Huang, P.Y. and Feng, J., Wall effects on the flow of viscoelastic fluid around a circular cylinder, J:Non newt. Fluid mech., 60, (1995), 179-198.

92. Huang, P.Y., Ни, H.H. and Joseph, D.D., Direct simulation of the sedimentation of elliptic particles in oldroyd-B fluids, J. fluid mech., 362, (1998), 297-325.

93. Ilic, V., Tullock, D., Phan-Tthien, N. and Graham, A.L., Translation and Rotation of spheres settling in square and circular conduits: Experiments and numerical predictions, Int, J; Multiphase flow, 18(2), (1992), 1061-1075. ■ • ■

94. Jayaraman A. and belmonte, A., Presentation at the Annual meeting of the society of Rheology, Hilton Head, Feb 2001.

95. Jin, H., Phan-Thien, N and Tanner, R.I., A finite element analysis of the flow past a sphere in a cylindrical Tube: PTT fluid model, comp mech., 8, (1991), 409-422.

96. Binous, H. and Philips, R.J ., The effect of sphere-wall interaction on particle motion in a viscoelastic suspension of FENE dumbbells , j.Non-newt .fluid mech ., 85 (1), (1999). 63-92.

97. Bird, R.B., Armstrong, R.C. and hassager, O., Dynamics of polymeric liquids. Volume 1: Fluid mechanics. Vol .1, 2nd edition, Wiley interscience, New York, 1987.

98. Bisgaard, C., Velocity fields around sphere and bubbles investigated by laser-Doppler anemometry, j .Non-newt .fluid mech., 12, (1983), 283- 302.

99. Bodart, C. and crochet, M.J., The time dependant flow of a viscoelastic fluid around a sphere, J.Non -newt. Fluid mech, (1994), 303- 329.

100. Boger. D .V, A Highly Elastic Constant -Viscosity Fluid, Non -newt, Fluid-mech, 3, (1977/78), 8-91.

101. Bot, E.T.G., Hulsen , M.A and van den brule , B.H.A.A., The motion of two sphere falling along their line of centers in a boger fluid , J.Non -newt .fluid mech ., 79, (1998) , 191-212.

102. Brandrup, H .and Immergut, E.H., Polymer handbook, wiley, New York, 1997.

103. Brown ,R.A., szady , M.J., Northey , P.J. and Armstrong , R.C., on the numerical stability of mixed finite elements methods of viscoelastic flow governed by differential constitutive equations , thoeret .comput . Fluid dynamic, 5, (1993), 77-106.

104. Бетчов P., Криминале В., Вопросы гидродинамической устойчивости.-М.: Мир,1971, 350с.

105. Bush, М.В., the stagnation flow behide a sphere, J.Non-newt. Fluid -mech, 49,(1993), 103-122.у ч

106. Bush , В.М , On the stagnation of flow behind a sphere in ashear -thinning viscoelastic liquid ,J.Non -newt .fluid mech , 55(1994), 229-247.

107. Ceylan, K, herdem, S. And Abbasov,T,A theoretical model for estimation of drag force in the flow of non Newtonian fluids around spherical solid particles , powder technology ,103 (3),(1999), 286- 291. tf

108. Chauviere, C. And Owens, R.G, How accurate is your solution? Error indicators for viscoelastic flow calculations, J.Non —newt. Fluid mech, 95 (2000), 1-33.

109. Chhabra, R.P, Bubbles drops and particles in Non-Newtonian fluids, CRC press, Boca Raton, 1993.

110. Полежаев В.И, Буне A.B, Верезуб Н.А и др. Математическое моделирование конвективного тепломассобмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука. 1987, 272с.

111. Снигерев Б. А, Тазюков Ф.Х. Численное моделирование ламинарных течений разбавленных растворов полимеров.// Тепломассобменные процессы и аппараты. КГТУ, 2005, С. 148-165.

112. Писанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988,412с.