Математическое обоснование некоторых численных схем в аэродинамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИЛ. М.В.ЛОШОССВА Факультет шчислцтегьнзй иатеиаткга а Енбгрнгтидн

Ьа правах рукописи

аошвский ш шзолаевич

Иатецатичзскоз обоснование некоторых чнслвнньгх схем а аэрсдингггкхга. Специальность: 01.01.07 - еычислительная катгахатока

Автореферат дкссэртвцка иа соискание ученой степени доктора фаз - катсягатычзскнх науа

Москва 1992

Работа выполнена в Военно-воздушной инженерной академии имени проф. К.Е.Чуковского.

Официальные оппоненты: доктор физнко - математических наук, профессор В.А.Кондратьев доктор технических наук, профессор М.И.Ништ доктор физихо - математических наук Е.Е.Тыртышннков

Ведущее предприятие: ТОС.ШиЦ ЦАТ*

Защита состоится

ср1993 г. в [О_часов

на заседании специализированного совета Д.053.05.37 при факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Адрес: П9Ш9, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус факультета ВМиК, ауд. 665.

Автореферат разослан ___________ 1993 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета МнИ км. Ы.В.Лоионэсова.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА

ГО с V I

ОЕДАЯ 1АРАКТ ¡¿ШСТИКА РАБОТУ

Актуальность работы. Б последние годы в аэродинамика большое значение приобрели теоретические метода определения аэродинамических характеристик летательного аппарата. На дозвуковых скоростях назболее эффективный является метод дзсгретзнх вихрей численного ранения задач аэродинамики, созданный С.М.Бэлоцер-коэскгм на основе эвристических соображений и численных расчетов на ЭВМ. Так как метод дискретных вихрей яшел гарокие применения при проведении расчетов, то на повестку дня встал вопрос о математическом обосновании этого метода. Отсутствие такого обоснования тормозило дальнейшее развитие, признание и внедрение этого метода.

Вняснилось, что ЫДВ является пряник методом механических квадратур, численного реиения сингулярных интегральных уравнений (СИУ), к который пригодятся соответствующие задачи в аэро и гидродинамике. Квадратурные формулы, используемые а МДВ являются квадратурный формулами, типа прямоугольников (для соответствующих сингулярных интегралов), которые не были изучены в математике. При составлении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для СИУ в этом методе не требуется задания априорной формы решения. Например, известно, что СИУ яа отрезке имеет несколько классов решений. ВДВ при составлении СЛАУ, выдаляших требуемый класс решений СИУ использует даскретннй аналог условия Чаплыгина-5увэвского. К той кромке криза, на шторой решение должно быть не ограничено, блияайшлка располагаются дасзфэтнпа вихри, а к той кромке 1фыла, на котороЗ решение должно быть ограничено, ближайшими располагаются расчетные точки.

Отметим, что при составлении СЛАУ используются только взаимное расположение множеств дискретных взхрей и расчетных точек, а об априорном аналитическом виде исксаого решений, т.е. о том, какие степенные особенности имеет это решение при подходе к границе области, речь не идет. Б этса н состоит отличие ЩЦЗ от других методов численного решения СИУ, встречаютхся в аэродинамике.

Важность развития вычислительных методов реиения СИУ давно ухе отмечалось академиком Н.И.Иусхел2тЕили, которая следушим образом высказался по поводу работы Лаврентьева, яшштаайся первой в этом направлении:"Дальнейшая разработка этого метода Ы.А.Лаврентьева и аналогичных методов приближенного решения сингулярных, интегральных уравнений является, как шо кается,

- г -

одной аз вахне'гшх очередных задач теории этих уравнений". Один из естественны*. методов численного решения СИУ состоит в их регуляризации е последушем численной решения подучензых интегральных уравнений ¿редгольма второго рода. Однако фактическая реализация татой процедуры представляется довольно громоздкой из-за сложности построения искомого регулярного уравнения. Поэтому в последнее время наибольшее распространение получили прямые методы численного решения СИУ, которые минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. Среди них можно отметить метод кэллокаций, при котором приближенное решение вщется в априорной форме с нсизЕестнша параметрами, определяемыми из условия удовлетворения уравнения в отдельных точках ,з гетод ^еханнческях квадратур, основании!: на интерполировании полиномами искомого решения к на использовании квадратурных формул зле СИ. Однако, интерполяционные полиномы суаесгвенво зависят от области интегрирования в уравнении, правой части, а также'с? класса искомого решения, что вызывает значительные трудности прк переходе к новому классу задач.

Лля численного решения задач обтекания несу^гх поверхностей идеально? несжимаемой гпдкостыз в аэродинамике, оольшое дриме-нение на^ел метод лгс^етннх вихре?.. Ь зтоы методе несуиая поверхность и след за нею моделируются дис!?етЕзаги вихрями, а условие нвпротеканая (сумае нормальных состагляшех скоростей от набегающего потокг и от вихревого слоя равна нулю) выполняется в специальным образом выбранных расчетных точках. С математической точки зрения метод дискретных вихре? является методом численного решения СИУ одномерных для плоских аэродинамических задач и двухмерных специального вида для пространственных задач с использованием для этих интегралов квадратурных формул типа прямоугольников. Математическое обоснование метода дискретных вихрей удалось дать Лифанову К.К. для многих стационарных задач аэродинамики, а для пространственных задач удалось исследовать только сходимость квадратурных формул.

Отбытым оставался вопрос сходимости приближенного решения к точному. Более того оказалось, что при рассмотрении задач обтекания замкнутых поверхностей (например, поверхности дирижабля) удобно пользоваться замкнутыми четырехугольными вихревыми рамками постоянной интенсивности, которые в плоских задачах соответствуют парам дискретных х :хре5. Поле скоростей от этих

вихревых образований эквивалентно лолв скоростей потенциала двойного слоя постоянной плотности, равной интенсивности рамки psc-прэдвленного по поверхности, ограниченной этой рамкой. Поэтому при таком моделировании задачи обтекания идеальной несжимаемой зшдкосты нэсуцей поверхности приходим к решению задачи Неймана для уравнения Лапласа, вне несущей поверхности, через потенциал двойного слоя, что приводит к сильно сингулярно«? интегральному уравнении относительно плотности потенциала. Метод дпскретзых замкнутых ппсрзЕЫх рамок в этом случае является методой численного решения этого сильно сингулярного уравнения. Для этого метода не была исследована даже сходимость квадратурных формул, а тем более вопросы сходимости численного ресения к точному. Кроне того возникла необходимость построения теории задачи Неймана с незамкнутыми поверхностями для уравнения Лапласа, а также исследовании сильно сингулярных уравнений, возЕЕкагзих при ресенгш задачи Квй^на через потенциал двойного сдоя.

Идеи метода дискретных вихрей сейчас Пбреносягся э электро-днкаци1чУ, в теорза упругости. Поэтому исследование выше галогенных задач представляет интерес и в даннкх областях,

Очень ватан и интересны дяя приложений нестационарные задачи аэродинамики, но математического обоснования МЩ ни для одной из задач этого класса ее было. При моделировании дискрстнкмя взхряш несуаей поверхности и следа за ним,различными вариантам априори не ясно (каждый раз)вьшолнение гипотезы Чаллыгива-Зуковс-кого на задней кремкэ. Ответ на этот вопрос крайне вааен для ВДВ. Например, гипотеза Чаплыгина-Жуковского была суаествевно исподь-зовзпз при расчете аэродинамических характеристик тел с углами в работах Ливанова И.К., Михайлова A.A., Белоперковсного C.ii.

Пель работы. Диссертация посвящена:

1. .'«'¿тематическому обосновании метода дискретных етхрей в пространственных стационарных задачах аэродинамики.

2. Построению теоретического метода исследования численных схем, возникавшие в МДВ при ресении сильно сингулярных уравнений.

3. Построению теории задачи Неймана с незамкнутыми поверхностями для уравнения Лапласа, решаемой через потенциал двойного слоя.

4. Построении прямого метода, аналогичного MEBf для численного решения уравнения типа Абеля.

5. Обоснованию МДВ в линейно нестационарной задаче для тонкого профиля.

Научная новизна заключается г следующем:

1. Построена теория задачи Нейиана с незамкнутыми поверхностями для уравнения Лапласа через потенциал двойного слоя.

2. Введено понятие обойденного оператора Гильберта, который является обобщением оператора Гильберта: встречагщегося в плоских задачах аэродинамика. Получены результаты для уравнений с обобаваньи оператором Гильберта, которые находят применение в теории управляемости.

3. Введено понятие обобщенного оператора Фурье, его символа. Исследованы одномерные и дЕ7хмерные задачи сужения дли обобщенного оператора зурье с символом специального вида. Эта результаты существенно используются для получения асиштотэтеских опенок дискретной функгз!! Гряка.

4. Лзпо кстеметпческое обоснование метода дзскретных вихрей в стационарно? задаче обтекания крыла конечного размаха.

5. Построен прямое метод, аналогичный ¡,£Б,ддя численного - рзЕснгя 'уравнений типа Абеля, доказана сходниость метода.

На основе результатов,полученных для данного метода, дано обоснование МЯБ в линейной нестационарное задаче для тонкого профиля (при дгигензга профиля как с постоянной скоростью, так и с переменно?..

Научная к практическая ценность работы.

Б диссертации предложен новый метод исследования численных схем типа 1423, основанный на понятии обобщенного оператора Фурье для дискретных структур. Е зток методе используются результаты теории паевых задач фуикпгй одпого н многих комплексных переменных. При построении приближений существенно используются ядра Никольского.

Дано гзатенатЕческэе обоснование метода дискретных вихрей в стационарной задаче обтекания крыла конечного размаха, а такхе в линейной нестационарной задаче для профиля. Эти результаты послужили теоретической основой системы расчетов аэродинамических характеристик щшльев и летательных аппаратов, широко внедренной в практику расчетов.

Предлогена новая численная схема типа МДБ резания уравнения типа Абеля.

Исследования условия Чаплыгина-Жуковского в линейной нестационарной задаче для профиля послуггли теоретической основой для построения чссленкых схем для гэсчетв аэродинамических характеристик тел с углаии.

Апробация работы. Основные положения к результаты докладыва-ись и обсуждались на:

- семинаре подразделения профессора В.Я.Арсенина института рикладной иатематики им.М.В.Кеддкга АН СССР ( Москва, ноябрь, 984 г. );

- Всесоюзном семинаре "Из аэродинамике неустановившихся движе-ий", под руководством профессора С.Ы.Белоцерковского Шосква, фили-s ЦАГИ, январь I9Ö4, февраль 19Ь6, март I9d7 г..февраль I9Ü9 г.);

- II, 12, 1У Всесоюзных симпозиумах "Метод дискретных особенность в математической физике" ( май 19Ь5 г., I9tf7 г., I9tf9 г., альков);

- Всесоюзном семинаре "Математически* вопросы аэродинамики еустановившихся движения", под руководством профессора Лиф ахова И. К.

Москва, ВВИА им.h.E.Жуковского, май ISo4 г., ноябрь I9bo г., евраль 19Ь6 г., ноябрь 1967 г., октябрь 19Ьа г., февраль 1990 г.);

- семинаре "Интегральные уравнения", под руководством профессоров а. Захарова К.В., Лифанова H.H. ЗЫК ЦПУ (Иосква, февраль I9ö6r., март 991г.);

- семинаре член-хорреспонлента АН СССР Бицздэе A.B. в математи-еском институте АН СССР им.В.А.Стеклова (Москва, апрель 198ег.);

- семинаре подразделения член-корреспондента Бахвалова Н.С. меха-ико-математического факультета ¡07 (апрель 1УШг.);

- семинаре подразделения профессора Морозова В.А. ВЦ НРУ (еатябрь 9Ь9г.);

- семинаре "Уравнения в частных производных", под руководством рофессоров Ковдратьева В.А. и Лавдиса Е.Ы. (мех-ыат МГУ, ах^зель 1990г.);

- семинаре подразделения профессора О.С.Рыжова ВЦ АН СССР (Ыосква, [арт 19о7г., апрель 1991г.);

- семинаре академика А.А.Самарского при кафедре "Вычислительны: [етоды" на факультете ВЫ и К МГУ.

Структура и ебъем работы.Диссертация состоит из введения, пяти >азделов, заключения, списка литераауры из 117 наименований. Объем ^ссертации до цитированной литературы 253 страницы машинописного •екста.

- ó -

СОдЕЭДККЕ PA5GTJ

fio введении списываются основные направления численного решения сингулярных интегральных уравнений. Отмечается большая практическая приложимость метода дискретных вихрей. Обосновывается актуальность, целесообразность практических исследований, направленных на обоснование и разработку метода дискретных вихрей.

Указаны результаты других авторов, связанные с результатами представленными в диссертации. ОаисЫЕается содержание работы.

Перейдем к изложению содержания диссертации по разделам.

Б первом разделе рассматривается задача Неймана с граничными условиями на конечной совокупности замкнуты/ и незамкнутых поверхностях для уравнения Лапласа. Проведено подробное исследование этой задачи, что является важным моментом для обоснования

мдв.

Е п.1.1 рассматривается следующая задача.

" Пусть имеются замкнутые поверхности ,..., SK и незамкнутые ,.... класса . Поверхности являются границей области 3.\ , а поверхности лежат на границе областей j . Причем 2° -<р, Sl^fl ~<р др2 j, jfj , 1фоы того Щ =Ф VL,j . Области } ^ - односвязны.

Рассмотрим гармонические функции

IIo / V 1 f MSSx¡» ,,0

гда Х(X,, ,хRj,lijtyм; «f^ - угол мезду вектором х-^ и нормалью tl^ к поверхности S;!.?;.] в точке у ; - плотность потенциала двойного слоя р =0,

Рассмотрим краевую задачу

au i „

5п Is^í.U), Р=о , ¡.»I.-..K., р = г, i=i....n.

Решение Lilx) задачи (2) будем искать в виде потенциала двойного слоя

Формально используя граничное условие задачи (2), получим относительно неизвестных функций ^¿Ч^) систему уравнений

i

^ЕтН^ТТ^Ц-«« i»

I m - i, £ «1.

Рассмотрим Соболевские пространства функций t),(A),

шределенннх на j}* и пространства Щ^р функций i)j (ju) , шределенннх на . Обозначим через прямую сушу всех

[ространств WjCs8^) и W^CS'j) > а через прямую сумму

[ространств WHS") z • 2

Пусть nk)=fneU)} \ ^=0. i=I.....К , m=I I =1,2,..

h , где

пГ^йМсО'Й,.

[усть V некоторое открытое достаточно иалое мнсаество по-¡ерхноста S к . Тогда «окно взять декартову систему коорди-:ат Хо0 Y0 такую, что плоскость X, 0Уо не была ортого-альной ни какой касательной плоскости, проведенной к в очках JU 6 У . Такую систему координат будем называть норыадь-ой.

Оказывается существуют тате функции бесконечно диффервнпи-уеше финитные функции Jf и (fJ , SUPPJCSJ" , SUpp^CS* , UPPifCSUpp^ , что в любой нормальной системе координат со spa-op 4Т1СУт>) представай в виде ,

»<пМ-чШ J^^-C^DdsrJt«.?«, W

м L Slippy A A Q

деТ^СИ)- оператор, отобрааапшй в Lf(U)

есконечно дифференцируемая характеристика сингулярного интег-

эла.

Из представления (4) и при помощи разбиения егишшн добывается следующий факт, оператор П(.т>) ограничен из UjO) в

Jj(l)) приО<г<\

Используя этот факт, представление (4), доказывается резудь-

ат.

Teopeua I. Оператор П(т)) является нетеровш из (J? (л))

о<г<1.

Далее исследуется скачок потенциала двойного слоя для £(^2 • Введен функции аналогично тоиу, как это делается в эории потенциала ene « , *

uílí.xW^to-ÍÍWlTjijHi!,

где < поверхности S^* образованы точками, лежащими

на нормалях к S^ , проходящих через точки X£S' , эти точ ки, обозначаемые х1 , находится на расстоянии d от X . Оказывается имеет место следующий факт. Если \>': ix)£Wl(sM

\ J? . I • | • fc * I»

vjtx)e w2CSi) . . то при б-*-о

ворые .

Используя последний результат в формулы Грина, получ» результат.

Теорема 2. Оператор ПО) фредголъыов (индекс равен нули) из ^¿(л)) в иг W ПРИ 0<Ъ<1 , причем, размерность ядра в коядра равна числу замкнутых поверхностей. Условие разрешимости системы (3) имеет вид

J^l^-O, ¿-U.-K-

Далее рассматривается задача Неймана All «О

(5)

Р = о, L=t,... К; М, i «4,-.. ч,

где {< 7<гЧ

Обозначим через St 1= (. U U S*) .

Функцию UCx)€W2(,2) будем назаЬать обобщенным решением задачи (5) если существует последовательность Ц„ (.х) е (fi) , обладающая свойствами:

1. UplpO-'-UCx) в , ЦЦх) являются решениями (5).

2. UntX) - дважды дифференцируемые в SL .

4. Равномерно по ft выполняются стенки

,Ю<С- Юв; <с-

Под решением внешней задачи Неймава будем понимать сужение решения UCx) задачи (5) на множество \ [(.U 2*v) U }

Нормаль к поверхностям $,• выбрана так, что она являета

I » I

внешней к телам S; , границе которые принадлежит $ ^ . указан следуюоий факт.

Теореид 3. Обобщенное реиенне внесшей задачи Нейиана (5) существует в единственно.

Рассмотрена внешняя задача Неймана для эллиптического уравнения с переменными коэффициентам

i ГИ!^'*8*.

0с"Со< рсэ0<с,, р(эс)ес'(.2), I^U)€CC2). 0<С.<*1*)<С| a'Jys'j, ffei^st).

Под обобщенным решением задачи (б) будем понимать фувюшю , обладающую свойствами:

I. функция 112(эс) удовлетворяет внтегральвому тоядеству у U€ U^-S?)

(называется имеет место следугоий факт.

Теорема .4. Обобщенное решение задача (в) суаествует а данственно.

Б п.1.2 рассмотрены и изучены аналогичные вопросы, кзк в i п.1.1, для плоского случая с некоторыми измененняшг.

Отметим одно из них. Естественно $* a S¿ в плоском лучаэ это кривые. Палее рассматривается пространство функций

, элементы, которого имеют квад-ат нормы, определяемы! соотношением р (о) >/ 0)

Р Ull1 t pttíu'jdac.

Возьмем p(oO = 1 ytrr*ClXl, где )зс| есть расстояние т точки XCfcj »до .какой-либо фиксированной точкяТчЬределе-ие обобаенного решения задача (5) Uli)6lJ?f4>í¿sOB плоском

лучае дается полностью аналогично определении обобщенного рвения в пространственном случав.

Оказывается имеет место слегающий факт.

Обобщенное решение U(.lKtÍ2pw внешней задачи Неймана (5) уществует и единственно.

I

4 rT ^ eos In .

В п.1.3 исследуется обобаенный оператор Гальберта В аэродинамике задача обтекания телесного профиля q гладким контуром сводится к сингулярному интегральному уравнению, харав-теристичесхое уравнение которого имеет вид

2 gts>dj «№0, if. е (о, 21)

В работе Лифааова обоснован метод дискретных вихрей для уравнений подобного типа. Оператор с адром Гильберта представим

ЕШДв г". 1.-J , VJ d Л? ws-llT» 4J

J. V 9 W d!f ie 5-S-3W>di>

La [0,2s] , eCQ,2i).

Отсюда, естественно рассмотреть следующее обобщение оператор! Гильберта.

— f TL

К n

Будем предполагать, что все > 0 . ^я - различны и монотонно возрастают.

Оказывается нисзг иссто слздущзе факты. Теорема 5. Еслл V KVn , то для любого Т >

уравневие

—=—jieö»-««-

при условии J^Cs^d^-O • [0,2зг] имеет общее решение

вида • а а

л

Множество L» является зашзутой линейной оболочкой функ-

«■¿{е*^*}» ЦГолХ

Теорема 6. Если \nefi"40 ^"й/ , то уравнение (8) при 7= Еыеет решение вида (9) при услошях теоремы 5, причем ядро обобщенного оператора Гильберта одномерно.

Теорема 7. Если lim 0»*i то уравнение (8) при

выполнении предыдущий условий имеет решение VT> 0.

Далее в п.1.3 исследэван случай tun . Все эти

результаты находят применение в теории управления.

В разделе 2 исследуется следующая круг вспросов. Во многих численных схемах встречаются штригш теплипевского типа, например

азностпые схемы, метод дискретных вихрей. В этих задачах левые эсти уравнений вычисляются также как коэффициенты Фурье произ-едения двух данных функций или как коэффициенты лорановского азлохенся произведения дгух функций. Одна из этих функций полостью определяется численной схемой того уравнения, которое еиается, а коэффициенты Фурье другой функции являются неизвест-*ии величинами, которые находятся в процессе решения. Поэтому, стественно попытаться поступить в дискретном случае также как злают в непрерывнее случае и ввести аналоги операторов Фурье.

Обобщенный оператором Фурье называется оператор определенный

э формуле < ,г , (Ю)

< ГГ -1<А*,*-*ь*)

яс»,.^..........%)е '

це функция называется символом обобяеЕНого опера-

зра Фурье (005) к1£ 2 - множество целых чисел. Обобщенным опе-1тором Фурье с переменный символом называется оператор, опре-злекяый по формуле 00

дудеы предполагать, что символ оператора, определяемого »отношением (10), является периодической функцией ЛСу)£Ьсв[о,2г] ЙО?) ~ краткое обозначение функша Я(.9|,....Уп) и е§ РВД Фурье содится к А С?) по норке Ь«, . функция И.^,... .

1?1. Далее в разделе 2 исследуются задачи сужения для ООФ, ?лучены асипптотические оценки коэффициентов Фурье для задачи гхения, а таете для дискретной функции Гарина.

Перейдем к более подробному изложению результатов раздела 2.

Б п.2.1 даются определения обобщенного оператора Фурье, вводятся примеры. Одним из таких примеров является следующий.

Разобьем числовую ось с шагом Ь , без ограничения общ-1сти будем считать, что одна из точек разбиения совпадает с налом отсчета оси. Точки разбиения , ( 2 -мно-1Ство целых чисел). Возьмем 0<о1<1 и выберем другую сис-му точек } • гле ^ . Сеточная нкпия и определена в узлах сетка ^ , и С*,,)"^ . Оператор тода дис1фетных ЕихреЙ задается соотнопениен

„ . ч ^ V"

Ми) =А = А- "сПТ^Г

{»-оо Хь ОС ч

Предполагаем, что значения 11; сеточной функции И , таковы,

о ик [0,21], ?>|.

-Г2 —i- р'"* Пусть Р(.У) ° . тогда значения сеточ-

ной функшш JU(,u> находятся из соотношения

1 г" I

1к=2зГ[в fl^)xltf)e а», где В"» Пр. oi-i

(случай £ аэродинамике) имеем ЛС¥)-сЗГе 2

Отсюда следует, что оператор МДБ представим в виде 005. Далее в п.2.1 исследуются задачи сужения. Рассмотрим некоторое множество £ индексов К(К,,...£„) , оператором сужения pfi обобщенного оператора на множество £ называется оператор вида гх гг /

\ г Г •*••*.), .

pfilri-tärFj," Jo ПС*,.— !f.)xtft,.-.!?.) e dy.-.J

где K€E.

Задачей сужения ддя 001> Нзс) называется следующая задача: задана некоторая сеточная функция • ® точкахЛ!^...^

KU,,... ,VCB)£ £ ; требуется найти сеточную функцию Ц , заданную на том же множестве узлов, для которой выполняется

Г PAU)=f

-V, ч Л K?,g 02)

где Zfc U*. е

Если £ *{, К 1 К^О^ то такую задачу бадем называть

задачей сужения на L.^ , если £={K:K€Z , К-50 } , то такую задачу будем называть задачей сужения на L_ .

Пусть символ OOS , гельдеровскай функция на кон

туре L > имепзего уравнение |2|=| , не обращается

в ноль на контуре L ; индекс функции ftLy) ЭС=0 • Тогда функция AW) факторизуется, т.е. представляется в виде JlJif

Функции > можно рассматривать как функшш комплек

ной переменной Т= С""*Функцию будем в дальне

тем по прежнему обозначать Elf) или • Функции fl+ljf)H fl_ly

гельдеровские, А +С2) , =|^пт(.2) ; функ-

ция АД?) аналитическая*при |?|<) , функция Й_С?) ~ аналитическая при |2|>1

Оказывается справедлив следующий факт. Еслн-^у) гельдеровская функция, то при сделанных выше предположениях на символ P(j$) ,решение задачи ХСу) сужения (12 на существует и единственно в классе гельдеровских функ-

ций act.vf).

Функция Х(.т) ,Т€1 задается явно в виде формулы

^ АДХ)12 А.СтГ 2Хс А.СС,)Т,-Г ]

Рассмотрим задачу сужения 005 с символом Л . причем

к, »0} . • Эту задачу сужения также будем называть задачей сужения на С + .

Пусть символ АН,Л2) является гельдаровской функцией, не эбрадающейся в ноль на остове 1. = 1, х12 , где I, задается сравнением | Е, | =1 , а 1г - уравнением | Ц | = I ; г, и 12 комплексные переменные. Частичные индексы функции рав-

зы нулю. Тогда символ Л (ft.fi) факгоризуется, т.е. представляет-гя. в виде (этот результат подучен в работах Катачева Б.А.)

:де фунлши Л""1' • А* . ГЧ^.у,), ГЧу,,£)яв-

1яются краевыми значениями на остове соответственно функции Нт~12ь22), (^^аналитических в областях

, где и 1)2 определяются неравенствами-:оответственно I ?!! ^ 1 н | И2 | < 1 , а 1>| I И"2 - неравен-зтеами | | > I и 1121 > 1 При выполнении условий

АтЧ2„<>Ов1,

тредставление (13) единственно.

Б п.2.1 доказан следующий факт.

Теорема 8. Если - гельдеровская функция, то при

сделанных выше предположениях на символ ЯС^.Уг) , решение

задачи сужения (12) на 1»т существует и единственно в классе гельдеровских функций I .

Функция х(Т,'Т,)Д1Д1£1> задается явно в виде формулы

т < V КТ|Д:) . * г 1

Г^ГСТ,.!,) [2 й'Чц7;)Я"(Т,Т,) 7и[ Я'ХШГЬЪУ ЦТ,)] £алее в п.2.1 получены оценки коэффициентов Фурье сомножителей факторизации символа А^,."?-) специального вида.

Рассмотрим семейство символов АД^.^^Ни) » 0 У, . , удовлетворяющих условиям: ^ «.»^Ма^^Яп^.^^С^^.Сг >0, 15. Л >0^ 2-] Г«1 П'ЛУ.^МЪ * И" ЯпС8.^о|<С0

Оказывается, что для коэффициентов Фурье „ и функции = С^Р^Л)- "'•) й-^ь^Я""^^:

19

» I. >

I | , I

»'А

С17)

Б п.2.1 получены оценки коэффициентов Фурье решения задачи сужения на Ь + с символом йСй.У*) удоЕдетворяпщш условиям (15), с правой частью вида е^м* •**«»«) . При исследовании существенно использовалась форыула (14). В п.2.1 был получен тагае ряд других оценок, полезных для дальнейшего.

В п.2.2 исследуются конечные задачи сужения. На основании этих исследований получены асимптотические оценки дискретных функций Грява.

Под конечной задаче! сужения понимается задача сужения обобщенного оператора Фурье (12) с конечный шозеством £ .

Конечная задача сужения эквивалентна урашению

где _ . Ц

Т) * = гтгг е

С другой стороны конечная задача сужения мэает быть представлена

в виде

\ (.¿,г«>ег

Бели существует такая сеточная функция { (ф т, ¿, к) , что будет выполняться

^__I (. I .Ю е £ „ т „ ^

то функцию ¿^называют дзыфетной функцией Зорина задачи (

В случае задачи сужения (18) величины ЭС^ и являют

ся коэффициентами Фурье функций Х^,^) и С 1.4,$>) : | (¿.кт)'

= 1 И -р , т-О, . где -

коэффициенты Фурье символа АСл},^) •

Если для символа обобщенного оператора Фурье вы-

полняется условие А С?),1»*) »0 , то для нахождения дискретной функции Грина нужнд уметь решать задачу сужения (18) с правой частью р) = е4*""1'4 иькг)€б. На самом деде достаточно исследовать задачу сужения шла (18) с естественно

множество сужения 8 включает точку ( К( =0; К^ =0).

При исследовании конечной задачи сужения (18) удобнее рассмотреть эквивалентную ей задачу

-п -п

где С^ьЧг) является частичной суммой ряда Фурье символа А

1,1 , ч ^

£ е

где р>0 целое число подобрано так, что задачи (18) и (20) равносильны; К = тах (.т,,л,> , Г, = мах «п • , т,-тах {-т }

П = мах Ст^.Пг), п, = та* {]} ; щ, * мох {-]'}

Рассмотрим семейство символов -{^чси семейство множеств сужения для которых выполняются" условия: п

о<в,*-£-*в2, ио^-^б,, 1*0

Пусть функции

являются решением задачи сужения

¡1 ¡1 ^ Тогда имеет место утверждение.

Теорема 9. Если •(^м, ^,&)_} удовлетворяют равномерно по К условиям (15), то решение задачи (22 ) ХщД !?(,!?*) представимо в виде

причем выполяяются^оценки V Е >О

I 1 < Д-^Уг | ^ ^

У£,еи.1г'-г<"1*' * С № I РЛ" I < С I аТр I

7« п«•" - коэффициенты Фурье функций

с«р Г «Р » " «р

Ри^.у,), ЯмСМ) Оценки (23) применимы для исследования сходимости приближенного решения интегрального уравнения к точному как в случае области интегрирования, с гладкой границей, так и в случае прямо-

где

угольной.области.

Б ц.2.2 получены также результаты по асимптотическим оценкам дисгретвой функции 1$ина для прямоугольных множеств сужения

с применением оценок п.2.1. Ь этом случае удается улучшать опенки (23). Это связано с факторизацией символов и

возможностью применения результатов по задачам сужения на

При получении результатов сулестванно использовались ядра Никольского для построения приближений дискретно? фувиши Грина.

Е п.3.1 исследуется сходимость приближенного решения уравнения Прандтля к точному решению этого уравнения для гладких и прямоугольных областей. Это исследование проводится по следующему плану:

1. Изучаются квадратурные формулы типа ЩЗВ;

2. Исследуются свойства символа соответствующего обобщенного оператора ¿урье.

3. .Доказываются теоремы о сходимости приближенного решения к точному.

В п.3.2 изучаются аналогичные вопросы для уравнения Цультхопфа

В п.3.3 исследуотся сходимость приближенного решения к точному на концах отрезка (плоский случай).

Перейдем к более подробному изложению результатов третьего раздела.

¿ля нахождения характеристик безотрывного обтекания тел вихревой слой на теле удобно моделировать замкнутыми четырехугольными вихревыми рамками, интенсивность этих вихревых «образований равна плотности потенциала, двойного слоя, распределенного на теле, который дает тот же потенциал, что и возмущенное течение. Таким образом, приходим к задаче нахождения потенциала вне тела по его нормальной производной, на поверхности тела через плотность потенциала двойного слоя. В пергой главе построена теория задачи Неймана и соответствующих интегральных уравнений потенциала двойного сдоя для областей с гладкой границей.

При безотрывной обтекании крыла конечного размаха возникает интегральное уравнение Прандтля

йхан-П*.. г.).

где 1 ^„(.10^0)6^ ; интеграл в (24) понимается

по Адамару.

Б п.3.1 исследованы квадратурные формулы. Пусть точки Х^-Ц , Хс образуют разбиение оси X , точки , ?от =

>0 образуют разбиение оси QZ . Обозначим через Jbj множество прямоугольников Г)^ с вершинами е точках Jt/l*,. .2.) полностью Еошедиих в . Тогла приближенное решение уравнения (24) будем искать из СЛАУ

"ц Ci.i. 2«)// я | tx Zoe)

. П,„ £ Mb-Введем обозначения

2от) = n^tHküUa;>2oJ II [Cr., -х)гЧ^!-2)1],<1 AUcj^Ze.) - J J

Оказывается справедливо следующее утверждение.

Пусть область с бесконечно дифференцируемой границей Г тогда если Q(i,Z)=Vj>U,z) , <j'r(.a,H> . ^Cx.FJeHU)

d >/ y . p(.x,z) гсть расстояние от точки яо Г >

то имеет место оценка ^,/г

| flUoj,Zom) "^CXoj.ZeJl«-^— '

где 5jm = fCXoj, г .О С >0. Г

флее в п.3.1 исследован символ обобщенного оператора Фурье фунетия

00 I 1 ^ fi I

в _Cp-?)U-T-) Cp'y)U-t)

""TFHvHT tp'T>U-i)

Оказывается,'что для функций ЯКрявляющихся частичными суммами ряда Фурье функции Д (причем выполняются условия (21)) выполняются условия (15) с к(.п) - п. В п.3.1 доказан следующий результат.

Теорема 10. Пусть область с бесконечно дифференцируемой границей. Тогда если бесконечно дифференцируема, то между

решением системы (25) и решением (Х(.х,г) уравнение (24) выполняется неравенство * v

V£, 0<£<"^ . Для всех точек M(.XoLj£ot) , находящихся на расстоянии 5 от границы ^ , d - произвольно.

- 1В -

Далее в е.3.1 исследована аналогичная задача в случае -прямоугольник. Получены опенки величины = | Щ -

- для всех точек МХо;> . Отсюда была

доказана равномерная сходимость приближенного решения к точному в любой замкнутой области С ^ , не содержащей углов .

Доказана интегральная сходимость приближенного решения к "точному.

В п.3.2 исследуется численный метод типа МДЬ для уравнения Мультхопфа (бесциркуляционное обтекание)

Г{ГСх,2)йг-о угесо,&).

..'о

Ьудем предполагать, что выполняются "условия, функция Кх^г.ЛбС00, = .у1*>г)ес'

, =( . Интеграл е первом из соотношений (27) понимается по Адаыару.

Система линейных алгебраических уравнений для нахождения приближенного решения имеет вид

^ 1-1,2 ... п-< , т -1,2,... К

| Г ги,л)"0 , к-и.....N.

Системы точек {хс ,Ха }, образуют соответственно Езновическое разбиение от^ззков [ о,£ 3 , [о,£] с шагом # , т.е. Хь = И», =и/-£), г* 2С„ ) Величины о!(л в системе (28) имеют вид _

¿и,^«")' ' ' ' -—---¡-г-——

Б п.3.2 исследованы свойства символа обобщенного оператора Фурье, соответствушего задаче (18). Получены асимптотические оценки дискретной функции Грина.

Оказывается имеет место следуюяий факт.

Теорема II. Пусть функция ^(д"01г0) удовлетворяет требованиям, сформулированным для уравнения (27). Тогда между решением системы (28) и решением Г(х,з> уравнения ^27) выполняется неравенство

о <£,< , для всех точек ЛКХ^,?*) , координата которых удовлетворяют неравенствам

б<хк<1-5\ 3<гк<6-6. <5>о.

В п.3.3 доказана равномерная сходимость приближенного резания сингулярного уравнения на отрезке к точному решении на ко псах отрезка интегрирования, в которых решение образается в ноль. Эта результаты являются усилиениеы результатов Лифанова И.К. Эти факты иллюстрируют Еозкояностп метода дискретных вихрей.

Раздел четвертые посвягэн построению и исследованию прямого численного метода приближенного решения уравнения Абеля, аналогичного цль.

Изучение этих вопросов имеет важное значение для обоснования ЩЗэ в нестационарных задачах аэродинамики, в которых появляется уравнение типа Абеля. Численным методам уравнения типа Абаля пос-вяпено много работ,но метода аналогичного указанному не было. Оципеи более подробно результаты полученные в разделе 4.

Б п.4.1 получена асшштотика бесконечных систем специального типа я

г , ч

п«о...,

где -неизвестные, 0 , 0 < < {

ч __!_ (.зо)

- Ск+< - 9)*

Доказан слздуюсзй факт. Для решения {X*«} системы (29) ишодеявтся опенки I. При 0

<___* , ч_Р(<1 , 0<в<1 00

V =

2. При 4 = 4- „

и < , 1-^гг С32)

3. При у < с( < I -

» * . (33)

где |0и)|<С . Г1х) - гамма функстя.

Оценки (31>-(33) сузественно используются для доказательства сходимости построенного численного метода.

В п.4.1 получены таете асиштотичесгае оценки для некоторых других последовательностей •

Далее е п.4.2 строится прямой численный метод для приближенного решения уравнения

' Wl Л vw KU.T) dv = f(t). o<d.<i. (3«

u-t)"

i

J„ V»

t Будем располагать, что K(.t>t)-0 и функция K(t,T)eHjj , KtU,T)€Hji по обеим переменным , Еа ,

. Решение уравнения (34) будем

искать е классе функции уц) , имеющих еид у(д) » , где

44t) - гельдероЕская функция. *

Разобьем отрезок [о,TJ равномерно с шагом & . Приближенное решение уравнения (34) будем находить из системы

¿0 * V,Ц.М*]

К-0И.2.... 1 С35)

o<e<i.

Имеет место следуший факт.

Теорема 12. Если для функций K(.t,I) и

fU) выполняются вышеуказанные условия, то при £(.о)яО решение системы (35) сходится к точному решению уравнения (34) при b—*Q , причем выполняется оценка для некоторого 0 <(5<1 ,

для любого CU^Ofcle Со.тЗ-

Если же . то при тех же самых условиях на Klt,T)B

•ft't) доказана оценка для некоторого О < ¿i ^

Б п.4.3 строится численный метод решения уравнения

* J>T)VTTku-T>dT4U), т

где функция KCt)€C1[o,T] , fCtK С2[о,т] . Решение if(i) уравнения (38) ищется в классе функций y(-fc) .имеших вид *f(ki) = M/U)/VT'> где ^tt) - гельдеровская функция.

Для уравнения (38) строится численный метод аналогичный (35). Получены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному аналогичные оценкам (36) и (37).

Ь разделе 5 рассматривается линейная нестационарная задача для тонкого профиля. Основное внимание уделено исследованию сходимости метода дискретных вихрей, при этом существенно используются результаты раздела 4.

Б п.5.1 рассмотрена следующая задача. Пусть на тонкий просаль, расположенный на отрезке [.""1,13 оси ОХ набегает такой нестационарный поток под калым углем о( , что с задней кромки этого профиля (точке X = I) сходит пелена свободных вихрей, движущихся с некоторой средней скоростью по оси ОХ в положительном направлении. Для того, чтобы находить те иди иные аэродинамические характеристики профиля, надо найти интенсивность суммарного вихревого слоя на нем в точке X в момент t и интенсивность (5 ("О свободного вихревого слоя, сходящего в поток в момент .

Для нахождения фунгоий <5(1:) в работах Седова 1.И.

получена ел едущая система уравнений

гг>уи лих г* ,

где При этом сред-

няя скорость набегающего потока для простоты полагается равноЗ единице.

Так как рассматривается безотрывная задача, то решение систем (39) будем искать в классе функции имеющих вид: УСУ,*) -> где у*(х,4)- гельдеровежая функция по

переменный хД на множестве [-1,1 ] х [£, Г ] , , Т>0 »

6Ш- **. <5"С«) - гельдеровская функция. тГГ

Численное решение системы (39) строим следующим образом. Разобьем множество [о, «) оси о^ на равные участки точкиыи КА^ . К = I» 2, .... На каядса отрезке [(¿-Г) ^ ] возьмем по точке = О £ 6 «I-

Квазиприближенное решение функции )(Ч.Х»1к) будем искать в виде (определение приближенного решения дано нижа)

где , I -»1 ... п ~ коР™ многочлена Якобй Р„ (х) степени П , соответствующего фунгаши . Через ^„(х, О и

(5 СО обозначим функции, принимающие на множествах] (к-0 д*, К д * ] постоянные значения равные, соответственно I <£д*Цк)

Кв<,2,... .а числа ¥„(.3^,**) я <5дДМ находятся из следую- ' шей СЛАУ.

è V-tac^Uû^Îl^Ux^i-O J =H.....ri. K-1.-..P, „ii'-i)

ь - < J* P, 1 и)яд

y . p" являющей3корнями многочлен! Якоба Приближенным решением систеш (39) будем называть систему функции UA< lx,o At0tî}. где LtC^t)--/-^ «fAtcx,l>, = % О и !fAt(X,0 принимает постоянные значения на прямоугольниках] lU-Одг,

Ь п.5.1 доказана опенка при следующих предаоложениях: Если ^tCx0,t)GC[o,T],-{^(Xc.OeHjt-l.i] равномерно по i , то XM^btiti) решения системы°(41) й резения â{i) системы (39)

выполняется опенка при ■--, . ,. < Щ и достаточно малом . n nLût) _

Г ! iAtu, ) ■'à Ct J| L< с f-i^r^ ^ VIT] -

При гышеуказанных предположениях на функцию fi%,,i) доказано утверждение. (

Теорема 13. Если г^д-уЧг , то для любого â>Q существует такое число b >0 , что для всех A t <■ h и всех с5 <--tfc<T полияется опенка _

Iл*м-иъ.Ц<тг£

Ь п.5.2 строится численны!! метод для линейной нестационарной задачи движения профиля с переменной скоростью.

При условии U i±)>/PJ>0 . U(t)£C [о,Т] подучены результаты аналогичныз (42) и (43).

Ь п.5.3 исследуется выполнение условия Чаплыгина-Жуковского для тонкого профиля, движущегося с переменной скоростью. Для решения этого вопроса была изучена связь между решениями системы сингулярных интегральных уравнений Седова и Бирнбаума. В п.5.3 было доказано выполнение условий

Um ^^

х—i

=0 , «5J

где - интенсивность присоединенного слоя на профиле.

Результаты этого параграфа имеют заашое прикладное значение. 5 работах БелоперкоЕского С.И., Ливанова И.К., .'.¿хайлоЕа А. А. условие (44) и (45) были положены в основу численного метода расчета аэродинамических характеристик тел с углами.

ОСНОК£»2 РЕЗУЛЬТАТА РАБОТЫ

1. Рассмотрена задача Неймана с граничными условиями на конечной совокупности бесконечно гладких замкнутых и незамкнутых поверхностей для уравнения Лапласа. Решение кается е виде потенциала двойного слоя. Относительно плотности потенциала двойного слоя получено сильно сингулярное уравнение через интегралы по Адамару, которое затем представляется в еидв лсевдодифференциальвого уравнения. ^называется нетерсвссть получившегося оператора в соболевских пространствах и вычисляется индекс оператора. Доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения соответствующей задачи Неймана.

2. Вводится понятие обобщенного оператора Гильберта. Этот оператор является обобщением оператора Гильберта, встречающегося с ряде плоских задач аэродинамики. Понятие обобщенного оператора Гильберта находит применением в теореме управления. Исследуется ряд задач с обобщенным оператором Гильберта. Выяснена структура решений уравнений.

3. Введено понятие обобщенного оператвра £урье, его символа, пррЕедены примеры. Исследуются олзомерные и двухмерные задачи сужения для обобщенного оператора Фурье с символом специального вида. Получены асимптотические оценки дискретной функции Грина.

4. Исследуются квадратурные формулы для интеграла'по Адамару (шератор Драядтля) с гладкой областью интегрирование.

5. Рассмотрен дискретный оператор Праедтля к соответствусзий обобщенный оператор Оурье в двухмерном случае. ПроЕедепо подробное исследование символа соответствующего обобщенного оператора ¿урье.

6. Доказана сходимость приближенного решения уравнения Прандтля (несущая поверхность представляет собой часть плоскости) к точному решению. Доказательство основано на результатах исследования пунктов 3, 4, 5. Аналогичные результаты педучены для уравнения Мультхопфа часто встречающегося в аэродпкамике.

Получены результаты по равномерной сходимости ЬЦЬ для сингулярного интегрального уравнения в случае, когда областью интегрирования является отрезок.

7. Построен прямой метод,аналогичный КДБ, для численного метода уравнения типа Абеля, доказана сходимость этого'метода.

Б основе математического обоснования этого метода лежит асимптотика решений бесконечных СЛАУ специального вида. Дано обоснование ВДВ в линейной нестационарной задаче для тонкого профиля (при движении профиля: как с постоянной скоростью, так и с переменной).

8. Доказано выполнение гипотезы Чаллыгкна-£уковского не задней кромке в двух случаях:

а) при моделировании профиля суммарными вихрями (уравнение СвДО£<з)«

б) при моделировании профдля присоединенным и свободным вихревыми слоями.

В диссертации предложен новый метод доследования численных схем типа МДБ, для сильно сингулярных интегральных сравнений, основанный на теории обобщенных оператсрсг йгрье.

Основные положения дгесертации опубликованы ь работах:

1. ПОЛТАЬСК^'. Л.К. О финитной управляемости бесконечных систем маятников. Д¿К СССР, т.245 £ 6, 1975. стр.1318-1319.

2. П0ЛТАБСй& Л.а. Приближенный метод решения интегральных уравнений типа свертки. Научно-методические ы.^териалы по численные методам. Б51А км.Н.Е.£уковского, 1985, стр.43-47.

3. ПОЛТАВСКИ?. Л.Н. Об одном частном способе приближенного решения уравнения Абеля. Научно-методические материалы по численным методам. ЬЬКА им.Н.Е.Жуковского, 1385г., стр.48-52.

4. П0ЛТАБСКЙ1 Л.Н., РЗ^Ш Е.Б. Приближенное решение одномерных с сильной особенностью и деухмерных уравнений типа Абеля. Научно-методические материалы по численным методам. ЕЖА им.Н.З.^ч ковского, 1985г. стр.53-60.

5. ЛОЕГАВСгКЙ Л.Н., РОЛЕ Е.Б. Приближенное решение уравнений типа Абеля. Бсесовзый симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической фнзика. Тезисы докладов, 1985г.

6. ЖАНОВ К.К., ПОШБСККЙ Л.К. Линейная нестационарная задача для профиля и уравнение Абеля. Сборник. Вопросы кибернетики £ 124, 1986г., с.24-46.

7. ПОЛТАВСКАЯ Л.Н., К условию Часлыгина-ЗуксЕского в линейной нестационарной задаче для профиля. Труды ЕЕИА. им.Н.Е.Еуковс-

зго, вкп.1313, IS86r., с.415-423.

8. nOJITAbCIw. Л.Н. Асимптотика реп:ени£ бесконечных систем остального вида 2 уравнение Абеля, leer .Харьковского унпверси-эта 298. .'«'¡гте-иатика, кеханкка. 1937г., стр.73-63.

9. Д:л«Н0Е '/.К., ПСйТАЬСКЙ Л.Н. Обобщенны? огератор Ггль-зртг. II Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особенностей f здэчах математической физики и его роль г развитии численного ?ссперимента на ЗВ"."Тезисы «складов. Харьков, 1Э37г.

10. П0ЛТАВСКЙ1 Л.Н., РСЗ'Н Е.В. Метод те еле ян ого ресения зтегрального уравнения для интенсивности свободного вихревого тоя при движении профиля с переменной скоростью. С ВсесэюзыС лшозиум "Метод дискретных особенности? в задачах математической ззикп и его роль в развитии численного эксперимента на ЭВМ. Те-:сы докладов, Харьков, 1567г.

11. JEîAHGE И.К., ПССТАБСХ!?. Л.:-:. Обобзеннвй оператор Гильбер-з. Лиффоренпиальные уравнения. 1589г. 2, т.25, с.300-306.

12. ПОЛТАВСКИЙ Л.К. О сходимости метода дискретных вихрей стационарных задачах аэродинамики. ПАН СССР т.ЗСЭ, К 4, 1289г., .808-811.

13. ПОЛТАВСКИ?» Л.К. Интегральные уравнения безотрывного об-экания и методы их численного решения. Г/ Всесоюзный симпозиум .'.етод дискретных особенностей в задачах математической физики, ззисы докла~ов. ч.П. Харьков, 1939г.

14. nO.ôTAbCKi'iî: Л.Н., РСЛ'Н Е.Б. Теория и расчеты в линейной зстапионарной задаче для тонкого про'иля. 17 Всесоюзный симпо-:ум "Метод дгекретннх особенностей ç задачах математической филеи . Тезисы докладов. ч.П., Харьков, 15£5г.

15. ПОЛТАЬСКчГ, Л.Н, 0 неустаковивсихся движениях тонкого кры-а. Численные в интегральных уравнениях и математическое :'делгрование. '£!'. BHLi им.И.¿.Чуковского, 1589г. с.3-6.

IS. ПОЛТАЮС! Л.Н. Интегральные угавнег-гя безотрывного об-зканпя тел и гето." гх "-:-.:слан;;чг:> "¿сленные методы в

ятегральных уравнениях и математическое моделирование. HВБИА г.Н.Е.чуковского, 199Сг., стр.9-16.

17. Ju&jihû& àl.K., ШлТАБСКИЙ л.г.. Обобщенные операторы Фурье их применение к обоснованию некоторых численных методоь в аэро-инамике. Математический сборник Jfo, 1992, с. 79-114.