Метод дискретных вихрей в задачах отрывного обтекания поверхностей изменяемой формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛЯСКИН Антон Сергеевич

МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ИЗМЕНЯЕМОЙ ФОРМЫ

Специальность: 01.02.05 - механика жидкости газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

%

Самара 2004

2005-4 12563

/¿"3 9вЗ

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева»

Научный руководитель:

кандидат технических наук, профессор В. Г. Шахов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры аэродинамики Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е.Жуковского Ганиев Фангали Исламгалиевич

кандидат технических наук, доцент, начальник учебной части военной кафедры Самарского государственного аэрокосмического университета Никитин Александр Николаевич

Ведущая организация:

Институт механики Московского государственного университета

Защита состоится 5 ноября 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01 Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королева по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королева.

Автореферат разослан «,22»

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Шахов В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Отрывное обтекание несущих поверхностей, даже в случае постоянства их формы, является очень сложным явлением В случае же изменения формы поверхности картина ее обтекания существенно усложняется Необходимость исследования таких явлений обусповлена наличием ряда практических приложений.

Первое связано с рассмотрением задач аэродинамики гибкого машущего крыла. Такого рода задачи стали актуальными в связи с созданием малоразмерных беспилотных летательных аппаратов. Как показали различные исследования, для повышения эффективности подобных аппаратов целесообразно использовать гибкие машущие крылья, создающие одновременно подъемную силу и тягу. При этом для летательного аппарата с размерами, соответствующими размерам микро-БПЛА, наиболее выгодным является режим работы машущего крыла с отрывом потока с передней кромки, т к взаимодействие вихревого следа с крылом позволяет получить значительный выигрыш в подъемной силе и тяге.

Второе приложение связано с идей создания «аэроупругого адаптивного крыла», у которого отсутствуют традиционные органы управления и механизации, а создание необходимых управляющих моментов обеспечивается изменением формы крыла. При использовании такого крыла на маневренных летательных аппаратах возможны случаи, когда в силу ряда причин будет реализовываться его отрывное обтекание.

Третье приложение связано с задачами аэроупругости крыльев малой жес1 кости. Если в первых двух случаях изменение формы крыла происходит по заранее известному закону, то в данном случае необходимо решать сопряженную задачу аэродинамики и упругости При этом точность и достоверность получаемых результатов напрямую зависит от используемой аэродинамической модели крыла.

Анализ влияния изменения формы несущей поверхнос1и на ее распределенные и интегральные характеристики чисто экспериментальным путем весьма сложен, а подчас и невозможен Получить аналитические решения уравнений аэродинамики для произвольной формы несущей поверхности и произвольного закона ее изменения тоже не представляется возможным. В связи с этим большую роль играют различные численные методы. Однако при рассмотрении задач обтекания несущих поверхностей изменяемой формы применение наиболее распространенных на сегодняшний день методов, основанных на решении дифференциальных уравнений движения жидкости путем дискретизации на пространственной сетке (так называемых «сеточных» или эйлеровых методов), осложняется необходимостью перестройки расчетной сетки, что представляет собой отдельную серьезную задачу. В связи с этим акт\ально развитие так называемых «бессеточных» или лагранжевых методов, основанных на методе граничных элементов. Наиболее известными из них являются разновидности метода дискретных вихрей (МДВ) Вопросам модификации метода дискретных вихрей для решения задач обтекания деформируемых нес\щих поверхностей и посвящена настоящая диссертация

Целью работы является развитие метода дискретных вихрей для использования в задачах трехмерного нестационарного отрывного обтекания тонких несущих поверхностей, движущихся и деформирующихся по произвольному закону, а также реализация модифицированного метода в виде ал-тритмов и вычислительной программы тестирование составленной программы и исследование с ее помощью аэродинамических характеристик волнообразно машущего крыла.

Методы исследования. Для чиспенного решения нестационарных задач отрывного обтекания деформируемых поверхностей используется модифицированный метод дискретных вихрей с применением замкнутой четырехугольной рамки в качестве основного вихревого элемента. Научная новизна работы заключается в следующем

• в модификации метода дискретных вихрей для решения задач нестационарного отрывного обтекания несущих поверхностей при произвольных деформациях;

• подтверждении важности влияния отрывных эффектов на аэродинамические характеристики машущего крыла, а также правомерности использования предложенного подхода с постоянным сходом вихревой пелены с передней кромки крыла, данные результаты были получены в ходе тестирования вычислительной программы и сравнения расчетных данных с экспериментами для параллельно машущего крыла;

• результатх исследования аэродинамических характеристик волнообразно машущего крыла: проведено сравнение трех различных способов движения волнообразно машущего крыла, из которых выбран оптимальный. для лого способа получены аэродинамические характеристики в широком диапазоне углов атаки, исследовано влияние длины волны на тяговые характеристики крыла.

Практическая ценность. Предлагаемая в диссертации модификация метода дискретных вихрей может быть использована при расчете аэродинамических характеристик нетрадиционных устройств для создания подъемной силы и тяги машущих крыльев микро-БПЛА ипи аэроупругих адаптивных крыльев перспективных маневренных летательных аппаратов Кроме того, данный метод может бьпь использован при решении традиционных задач нестационарной аэроупругости крыльев малой лчсстлостм.

Результаты исследований аэродинамических характеристики волнообразно машущего крыла могут быгь использованы при разработке микро-БПЛА.

Достоверность и обоснованность результатов обусловлена строгой математической постановкой рассматриваемых задач и используемых методов Математическое моделирование исследуемых физических процессов проведено в рамках известных теорий и моделей механики жидкости Достоверность численных результатов опредепяегся проведенными исследованиями по методике расчетов и сравнением с экспериментами и результатами расчетов других авторов

Публикации и апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 2-ой Всероссийской конференции «Самолетостроение России. Проблемы и перспективы», (Самара -2000 г.), на XII Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигацией летательных аппаратов (Самара 2002 г), на 2-ой международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» (Жуковский - 2002 г), на семинаре по аэродинамике академика Г Г Черного (Москва - 2002 I ), на семинаре кафедры аэрогидродинамики СГАУ (Самара - 2002 г ). на XIII Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигацией летательных аппаратов (Самара - 2003 г), на семинаре "Аэродинамика современных и перспективных летательных аппаратов" при кафедре аэродинамики ВВИА им Жуковского (Москва - 2004 г) 4-ой международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория - 2004 г) По теме диссертационной работы имеется 10 публикаций

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 165 страниц состоит из введения, пяти 1 лав, заключения, списка литературы и приложения с актами о внедрении результатов работы, основная часть содержи! ¡04 ара-ницы текста, 46 рисунков. 4 таблицы, 198 наименований источников литературы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы. излагается краткое содержание диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту

В первой главе диссертации приводится обзор современного соыояния различных методов исследования отрывного обтекания деформируемых поверхностей В разделе 1.1 описываются резулыаты экспериментов по исследованию нестационарного отрывного обтекания несущих поверхностей При этом в рамках настоящей работы рассматриваются только эксперименты с крыльями умеренной стреловидноси. гак как отрыв потока на передних кромках треуюльных крыльев имеет в большинстве случаев стационарную природу Показывается, что на сегошяшний день отрывное обтекание непот-

вижиы ч к^ыльсь. а 1и\1 'уюлОГО УДЛИЬСЬЛЯ, При обтСКапмн |\С-

торых существенную роль играют пространственные эффекты и {учено весь ма подробно Для неплоских крыльев имеется гораздо меньше экспериментальных резулыаюв

Обтекание потвижных несущих поверхностей, как отрывное, ¡ак и безотрывное, экспериментально иссле ювалось достаточно широко Однако при этом рассматривались в основном только простые движения подавляющее большинство работ посвящено колебаниям по тангажу. Кроме того во многих работах рассматривалось лишь плоское обтекание Экспериментальные исследования трехмерного обтекания подвижных несущих поверхностей немногочисленны и связны с изучением аэродинамики полета насекомых и птиц описанным в работах Вейс-Фо >1 жнгтона и Н В Кокшайскою и не-

традиционных движителей и устройств создания подъемной силы типа «машущее крыло», проводившегося Э. П. Гребешовым и О. А. Сагояном, Д. Н. Гореловым, В. Н. Глушко, В. П. Каяном и Л. Ф. Козловым.

Отрывное обтекание несущих поверхностей с существенным изменением формы вплоть до настоящего времени экспериментально почти не исследовалось

В разделе 1.2 рассматриваются различные теоретические методы решения нестационарных задач аэродинамики деформируемых поверхностей - как аналитические, так и численные. Аналитические методы, краткий обзор которых дан в подразделе 1.2.1. в основном разрабатывались на основе метода Теодорсена. Первые результаты для деформирующегося крыла малого удлинения (круглого крыла) были получены Кочиным Н.Е. Оригинальный аналитический метод оценки характеристик параллельно машущего крыла был предложен Голубевым В.В.

В подразделе 1.2.2 прослеживается постепенное расширение класса решаемых численными методами задач - от двумерного безотрывного обтекания до трехмерного отрывного обтекания. Проводится сравнение двух основных классов методов численного решения дифференциальных уравнений механики жидкости и газа - «сеточных» (эйлеровых) и «бессеточных» (лагран-жевых). Описываются сравнительные достоинства и недостатки этих математических методов в контексте их приложения к решению задач отрывного обтекания деформируемых поверхностей. Показывается, что для таких задач более предпочтительно использование «бессеточных» (лагранжевых) методов. Особое внимание уделяется вихревым методам, подробный обзор которых дан в работе Сарпкайя' в том числе методу дискретных вихрей, современное развитие которого связано с именами С. М. Белоцерковского, М. И. Ништа, И. К. Лифанова, В. А. Апаринова, Ф. И. Ганиева, А. И. Желанникова и др. Прослеживается развитие этого метода и расширение круга решаемых с его помощью задач.

В разделе 1.3 формулируются цели и задачи исследования:

• разработка алгоритма формирования вихревой схемы несущей поверхности произвольной изменяемой формы при отрывном обтекании;

• разработка алгоритма определения нормалей к несущей поверхности произвольной формы, не использующего никаких дополнительных предположений о характере и величине деформаций;

разработка алгоритмов, обеспечивающих устойчивость вихревой пелены в процессе ее взаимодействия с несущей поверхностью изменяемой формы;

• реализация модифицированного варианта МДВ с учетом данных изменений и дополнений в виде расчетной программы, проведение исследований по методике расчета, тестирования и верификации:

• численное исследование обтекания несущих поверхностей, изменяющих свою форму по заданным законам.

Во второй главе обобщаются основные положения метода дискретных вихрей, приводимые в различных работах. В разделе 2.1 дается математическая формулировка нелинейной нестационарной задачи отрывного обтекания

бесконечно тонкой деформируемой поверхности невязкой несжимаемой средой в рамках метода дискретных вихрей

Для рассматриваемого случая несжимаемой жидкости выполняется уравнение Лапласа

У2Ф = 0.

Искомый потенциал является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям. Для задачи внешнего обтекания деформируемой поверхности с с ортом внешней нормали к поверхности п безграничной жидкостью, поток которой однороден на бесконечности и имеет скорость Ут граничными условиями будут

а) условие непротекания поверхности

5Ф

Уп = £га<1п Ф =-= 0 на поверхности а,

дп

б) условие затухания возмущений на бесконечности.

При указанных граничных условиях уравнение Лапласа имеет единственное решение. Для его отыскания используется стандартная процедура метода дискретных вихрей, заключающаяся в замене воздействия обтекаемого тела на поток воздействием системы дискретных вихревых особенностей.

Для вихревых особенностей должны выполняться кинематические условия, заключающиеся в том, что свободные поверхности тангенциального разрыва скорости (вихревые пелены) движутся с местной скоростью жидкости. Это условие является прямым следствием требования отсутствия перепада давлений на свободных вихревых поверхностях.

В разделе 2.2 приводятся соотношения для определения скоростей и потенциалов, индуцированных вихревыми особенностями, применяемых в задачах нестационарного обтекания - вихревым отрезком и вихревой рамкой Описываются различные подходы к введению «ядра вихря» для устранения сингулярности индуцированной скорости и предлагается модифицированная формула для «экспоненциального ядра» (см. рис. 1):

1 - «пустое» ядро,

2 - «твердое» ядро,

3 - экспоненциальное ядро,

4 - модифицированное экспоненциальное ядро

Рис I - Зависимость индуцированной скорости ог расстояния до вихревого отрезка при использовании различных функций ядра (гп, = 0,1)

В разделе 2.3 описывается определение аэродинамической нагрузки на деформируемую поверхность с помощью интеграла Коши-Лагранжа, записываемого в виде

дГп

=с;,_-с;„ = 2

дх

Р ~~ Р> и2

где с - ——- - коэффициент давления, л = о — - скоростной напор на

Я, т 2

бесконечном удалении от поверхности, - безразмерная интенсивность

присоединенного вихревого слоя, ^оо - предельное значение безразмерной относительной скорости движения жидкости в рассматриваемой точке поверхности. Г0 - безразмерная циркуляция вихревой рамки, охватывающей

рассматриваемую точку, г - безразмерное время, индексы «->-» и «-» обозначают, соответственно, верхнюю и нижнюю стороны поверхности

В третьей главе излагается построение расчетной схемы метода дискретных вихрей с учетом модификаций, необходимых для учета деформаций поверхности и постоянного схода вихревой пелены с передней кромки. В разделе 3.1 рассматривается вихревая схема обтекаемой поверхности, строящаяся на основе четырехугольных вихревых рамок. При этом предлагается для рассматриваемого класса задач отказаться от требования выполнения условия Чаплыгина-Жуковского на кромках поверхности, с которых сходит вихревая пелена. Тогда на кромках поверхности размещаются не контрольные точки, как при традиционном подходе, а вихри. Кроме того, предлагается контрольные точки для неплоских несущих поверхностей размещать не на плоских площадках, ограниченных вихревыми рамками, а непосредственно на поверхности. Это позволяет существенно повысить точность локальной аппроксимации поверхности, описываемой в следующем разделе

В разделе 3.2 рассматриваются способы построения нормалей к деформируемой поверхности и определения скоростей деформации по заданному закон> изменения формы Форма поверхности определяется положением контрольных точек и узлов вихревой сетки (вершин вихревых рамок). Построение нирмалей в контрольных Iочках основано на локальной аппроксимации поверхности в окрестности рассматриваемой контрольной точки Для этого предлагается аппроксимация первого порядка, при которой ненормированный вектор нормали ^ в контрольной точке С/ определяется как

где векторы V,, у:, у3, у4 соединяют рассматриваемую контрольную точку С/ с соседними узлами вихревой сетки - \У/, \У/И, индексы V ир

определяют положение точек на поверхности (см рис 2)

В разделе 3.3 задача определения неизвестных интенсивностей вихревых рамок сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений Для решения этой системы используется меюд Гаусса в поиском ведущего элемента в столбце, т к в общем случае матрица системы может иметь нулевую главную диагональ.

В разделе 3.4 описываются алгоритмы, обеспечивающие корректное взаимодействие свободной вихревой пелены с движущейся и деформирующейся несущей поверхностью - алгоритм коррекции положения узла свободной вихревой пелены, проходящего через несущую поверхность, и алгоритм увлечения узлов свободной вихревой пелены движущейся несущей поверхностью

В разделе 3.5 рассматривается вычисление аэродинамической нагрузки с помощью интеграла Коши-Лагранжа на основе известных интенсивностей вихревых систем и индуцированных ими скоростей Интеграл Коши-Лагранжа при этом предлагается записывать для контрольных точек на поверхности, так как в них относительные скорое I и жидкости определяются с наибольшей точностью, а кроме того заведомо направлены по касательной к поверхности.

В разделе 3.5 описывается составленная с использованием объектно-ориентированного полхопа вычислительная программа реализующая метод дискретных вихрей со всеми предлагаемыми модификациями, приводится блок-схема и внешний вид интерфейса программы

В главе 4 приводятся результаты исследований по методике расчета и тестовых расчетов.

В разделе 4.1 обосновывается использование метода Эйлера для интегрирования уравнений движения точек свободной вихревой пелены (подраздел 4.1.1). а также предлагаемый подход к учету вихревых рамок, пересекающихся с несущей поверхностью (подраздел 4.1.2)

В разделе 4.2 приводятся результаты различных тестовых расчетов неподвижного плоского квадратного крыла (подраздел 4.2.1).

неподвижного полуцилиндрического крыла (подраздел 4.2.2); плоского крыла малого удлинения, совершающего колебания по тангажу (подраздел 4.2.3);

профилированного крыла большого удлинения, совершающего совместные колебания поперек потока и по тангажу (подраздел 4.2.4). Для последнего случая проводится подробное сравнение результатов расчета с экспериментами Э. П. Гребешова и О. А Сагояна для различных параметров колебаний. Колебания поперек потока происходят по закону у = acoS(i)t,

где а - амплитуда колебаний, со - циклическая частота колебаний, совместно с колебаниями по тангажу по закону

(3, =p0+pcos(cof + 5),

где р, - мгновенное значение угла тангажа, ¡30 - среднее шачение угла тангажа, р> - амплитуда угловых колебаний, 5 - разность фаз между поступательными и угловыми колебаниями.

Сравнение проводится по двум интегральным характеристикам - коэффициенту тяги и коэффициенту мощности, определяемым по формулам

* -Z&1. *

' V2 N~ V1 р —S р-— Sao) 2 2

/

где ^х | -_^Х dt * средняя за период колебаний сила сопротивле-

То

амплитудное значение скорости движе-

I /

колебания крыла поперек потока. isNn)= __ {д/ Boo sin (о )t + dt ' сРеДияя

ния/тяги крыла. V = уС/2 +(ао)2 -

ния крыла. U - скорость продольного перемещения крыла, {A'} = {.'VJ + {iVp} -суммарная мощность, затрачиваемая на колебания,

ту |__L Jy sin (útdt ' сРедняя 33 пеРи0Д мощность, затрачиваемая на

Т о

эыла поперек потока.

С " i f у

о

за период мощность, затрачиваемая на колебания крыла по тангажу

Относительная скорость (поступь) колеблющегося крыла определяется по формуле

U

К = -р

С/СО

Демонстрируется увеличение расхождения между экспериментальными и расчетными данными с возрастанием частоты колебаний (уменьшением поступи), наблюдаемое при расчете в предположении о безотрывном обтекании Для расчета в предположении об отрывном обтекании показывается хо-

рошее совпадение расчетных и экспериментальных интегральных характеристик (см. пример на рис 3 и 4)

По итогам главы делается вывод, что составленная расчетная программа позволяет адекватно предсказывать аэродинамические характеристики отрывного обтекания крыльев, как неподвижных, так и движущихся по достаточно сложному закону. В связи с этим можно ожидать получения корректных результатов и при расчете отрывного обтекания деформирующихся крыльев.

В шаве 5 приводятся результаты расчетов отрывного обтекания волнообразно машущего крыла, предложенного в работе Зайцева А А и Тюрева В.В , изменяющего свою форму по закону

* = *0, У = Ч sinф , Z = 70 COS ф , ф = р (^ ) sin (+ сох)

где функция в зависимости от способа движения имеет вид:

1) (3 = л/12, р - п (1/6 +/12), 3) р = п (1/6 - х0 /12 - хЦ\ 2),

хо, zo - координаты точек крыла в недеформированном состоянии, к - волновое число, W - безразмерная циклическая частота, т - безразмерное время

В разделе 5.1 сравнивается тяговая эффективность трех способа движения при нулевом угле атаки, СО = ТС (соогве!Ствует длине волны в 4 хорды и скорости движения волны в 2 раза больше скорости набегающего потока) Сравнение проводится по среднему за период коэффициенту тяги и отношению среднего за период коэффициента гяги к амплитуде коэффициента подъемной силы Показывается, что при третьем способе, который в работе Зайцева А.Л и Тюрева В.В указан как обладающий наиболее высоким КПД тяги, волнообразно машущее крыло вообще не создает тяги (см таблицу 1) Наиболее эффективным оказывается второй способ, что также не совпадает с выводами указанной работы Данное противоречие объясняется тем, что ис-полыованный в работе Зайцева А А и Тюрева В В вихревой метод не позволял учитывать интенсивное сворачивание вихревой пелены, а кроме того при его применении предполагался сход вихревой пелены только с задней кромки КрЫЛа Д"Я ВОЛНООбраЗНО мтщеш лрыла дсГлй. ^чиДЯидаЯ С иОкОВОЙ ирОМки вихревая пелена уже вносит существенный вклад в общую вихревую систему крыла А как показано в следующем разделе, сходящая с передней кромки вихревая пелена сворачивается в продольный вихрь, направленный вдоль размаха крыла Разряжение, создаваемое этим вихрем, вносит существенный вклад в создание силы тяги.

Хотя, как видно из таблицы 1, второй способ движения обеспечивает как более высокие значения коэффициента тяги, так и лучшую эффективность, для него характерны большие деформации крыла, что затрудняет его реализацию на практике Поэтому для дальнейшего исследования выбирается первый способ движения, как более простой для практической реализации

- Эксперимент ■ МДВ о МДВ БО

- Эксперимент ш МДВ о МДВ БО

Рис. 3 - Экспериментальные и расчетные зависимости коэффициента тяги и мощности от поступи для случая р0 = 0°, Р = 3,1°

0.30 0 25 0 20 0)5 0.10 0.05 0.00

30 25 20 1.5 1.0 0.5 0.0

0.5 1.0 13

-Эксперимент ■ МДВ о МБВ БО

/.р

0.5 1.0 1.5

- Эксперимент я МДВ о МДВ БО

'-Р

Рис 4 - Экспериментальные и расчетные зависимости коэффициента тяги и мощности от поступи для случая р0 = 3,7°, Р = 3,7°

Таблица 1 - Средние за период значения коэффициента тяги {С7} и

параметра тяговой эффективности |С; 1/тахС^ волнообразно машущего

крыла при нулевом угле атаки Способ движения " "" |С/} {С,}/тахСЛ'~

Первый __ _ _ _ _ 0,32 ______ _ ~ 0,18

Второй Третий

1,65 0,00

0,44 0.00

В разделе 5.2 исследуются аэродинамические характеристики волнообразно машущего крыла при первом способе движения в диапазоне углов атаки от 0 до 18°, по усредненным за период значениям аэродинамических коэффициентов строится поляра (рис. 5), приводятся зависимости от безразмерного времени коэффициентов аэродинамических сил для различных углов атаки (рис. 6), картины вихревых систем (рис. 7 и 8).

В разделе 5.3 изучается влияние длины волны на тяговые характеристики волнообразно машущего крыла Показывается, что уменьшение длины увеличивает тяговую эффективность крыла Уменьшение длины волны до двух хорд позволяв получить практически такую же тяговую эффективность,

что и при втором способе движения без существенного усложнения реализации и увеличения деформаций крыла. Дальнейшее уменьшение длины волны до одной хорды позволяет увеличить тяговую эффективность вдвое, однако затрудняет практическую реализацию предлагаемого способа движения. Значения коэффициента тяги и параметра тяговой эффективности приведены в таблице 2.

{СЫт

'-0,4 -0.2 0,0 0.2 (Сха)

Рис. 5 - Поляра волнообразно машущего крыла при первом способе движения

Таблица 2 - Коэффициент тяги и параметр тяговой эффективности

_для различной длины волны при первом способе движения, а = 0°

Безразмерная _ {С, }/тахС

длина волны, X

_4____

2 " " 1

1,18

0,18

2,68

0,30 ^,67

■.и

I \

■А /, 1лУ;

а) б)

Рис. 6 - Зависимости от безразмерного времени а) коэффициента подъемной силы, б) коэффициента сопротивления при первом способе движения для а = 0° (прерывистые линии) и 10° (сплошные линии)

Рис 7 - Вихревые структуры волнообразно машущего крыла при первом способе движения, а - 0°. т ~ 3

Рис 8 - Вихревые структуры волнообразно машущего крыла при первом способе движения, а = 10°. т = 3

В заключении форму шруются основные результаты работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Модифицирован метод дискретных вихрей для решения задач отрывного обтекания поверхностей изменяемой формы, а именно:

а) предложна новая функция ядра для устранения сингулярности скорости, индуцируемой вихревым отрезком, позволяющая избежать разлета вихрей при интенсивном сворачивании вихревой пелены,

б) расчет осуществляется в предположении о постоянном сходе вихревой пелены со всех кромок крыла, без введения каких-либо глобальных или локальных критериев отрыва на передней кромке;

в) на кромках, с которых сходит вихревая пелена, при построении вихревой схемы размещаются вихри, а не контрольные точки; при этом показано. что в случае малых амплитуд и скоростей деформации основное следствие условия Чаплыгина-Жуковского - непрерывность кривизны при переходе от присоединенной к свободной вихревой пелене выполняется автоматически, а в случае больших амплитуд и скоростей деформации нарушается, что подтверждается многочисленными экспериментальными данными,

г) используется локальная аппроксимация поверхности в окрестности контрольной точки, обеспечивающая, при условии расположения контрольных точек непосредственно на поверхности, более высокую точность определения направления нормалей чем предлагавшиеся ранее аппроксимации второго порядка:

д) предложены алгоритмы, обеспечивающие выполнение условия «непротыкания» в трехмерном случае а следовательно - корректное взаимодействие свободной вихревой пелены с движущейся и деформирующейся несущей поверхностью

2. Создана расчетная программа, реализующая модифицированный метод дискретных вихрей Проведены исследования по методике расчета и тестирование программы путем сравнения с результатами экспериментов и расчетов других авторов

3. В ходе тестирования численно исследовано обтекание параллельно машущего крыла при различных параметрах движения и показано хорошее совпадение расчетных интегральных характеристик - коэффициента тяги и МОЩНОСТИ — С экспериментальными

4. Осуществлено численное моделирование обтекания волнообразно машущего крыла Рассмотрены три законы движения, из которых один выбран как наиболее оптимальный с точки зрения тяговой эффективности и простоты практической реализации Для выбранного закона получены аэродинамические характеристики волнообразно машущего крыла в диапазоне углов атаки от 0 до 18° и исследовано влияние длины вотны на тяговую эффективность Показано, что уменьшение длины волны с четырех хорд до одной хорты позвопяет существенно повысить тяговую эффективность волнообразно машущею крыла

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Ляскин А. С Метод дискретных вихрей в нелинейных задачах нестационарного обтекания деформируемых поверхностей. / Сборник трудов студенческого научного общества факультета летательных аппаратов, вып. 2. Самара СГАУ, 1999.-С 9-12.

2. Ляскин А. С. Метод дискретных вихрей в задаче нестационарного обтекания цилиндрической оболочки на больших углах агаки. / Сборник трудов студенческого научного общества факультета летательных аппаратов, вып 3. Самара: СГАУ, 2000. - С 16-19

3 Ляскин А. С., Шахов В Г Метод расчета аэродинамических характеристик деформируемого крыла. Известия вузов, сер Авиационная техника. 2000, №4 -С. 15-18

4 Клементьев В. А., Ляскин А С. Экспериментальное и численное исследование аэродинамики полуцилиндрических крыльев / Тезисы докладов 2-ой Всероссийской конференции «Самолетостроение России' Проблемы и перспективы», Самара, 2000. - С. 76-77.

5 Ляскин А. С. Метод дискретных вихрей в !адача\ аэродинамики деформируемых поверхности. / Сборник трудов студентов и аспирантов факультета летательных аппаратов, вып 4. Самара СГАУ, 2001./С. 7-10

6 Ляскин А С Колебания по тангажу плоской пластины единичного удлинения Труды Всероссийского научно-технического семинара но управлению движением и навигацией летательных аппаратов, 2002, Самара СГАУ. - С. 299-304.

/ Ляскин А С Применение метода дискретных вихрей к расчету аэродинамических характеристик крыла малого удлинения, совершающего колебания по тангажу. / Груды 2-ой международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» Жуковский: ЦАГИ, 2002. - С. 127128.

8. Ляскин А. С. Метод дискретных вихрей в задачах отрывного обтекания несущих поверхностей. / Сборник трудов студентов и аспирантов факультета летательных аппаратов, вып 5 Самара. СГАУ, 2002 с. 61 65.

9 Ляскин А. С., Хуан Сяопен. Использование метода дискретных вихрей для расчета аэродинамических ларамериыик крыла при больших дозвуковых скоростях. / Труды Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигацией летательных аппаратов Самара, 2003. - С. 264-267. ,

10 Ляскин А. С. Метод дискретных вихрей в задачах отрывного обтекания поверхностей изменяемой формы / Материалы 1-ой Международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики». Евпатория, 2004 -С 81-82.

I I

s

1

I

!

1

Í

I

Í !

I

I

Í

!

I

I

E

f

1 4,

( I

I

t I

I !

PI 8 4 10

РНБ Русский фонд

2005-4 12563

Введение

Глава 1. Обзор современного состояния методов исследования отрывного обтекания несущих поверхностей

1.1 Экспериментальные исследования

1.2 Теоретические исследования

1.2.1 Аналитические методы

1.2.2 Численные методы

1.3 Цели и задачи исследования

Глава 2. Метод дискретных вихрей

2.1 Формулировка задачи отрывного обтекания поверхностей изменяемой формы в рамках метода дискретных вихрей

2.2 Основные вихревые системы

2.2.1 Вихревой отрезок

2.2.2 Вихревая рамка

2.3 Определение аэродинамических нагрузок. Интеграл Коши-Лагранжа

Глава 3. Расчетная схема метода дискретных вихрей и вычислительная программа для исследования отрывного обтекания поверхностей изменяемой формы

3.1 Вихревая система поверхности

3.2 Учет деформаций поверхности

3.3 Расчет интенсивностей вихревых структур

3.4 Вспомогательные алгоритмы

3.5 Расчет аэродинамических нагрузок, сил и моментов

3.6 Описание вычислительной программы

Глава 4. Результаты исследований по методике расчета и тестовых расчетов

4.1 Исследования по методике расчетов

4.1.1 К выбору метода интегрирования уравнений движения точек вихревой пелены

4.1.2 Учет вихревых рамок носовой пелены, пересекающихся с несущей поверхностью

4.2 Тестовые расчеты

4.2.1 Неподвижное крыло

4.2.1.1 Плоское крыло малого удлинения

4.2.1.2 Полуцилиндрическое крыло

4.2.2 Подвижное крыло

4.2.2.1 Крыло малого удлинения, совершающее колебания по тангажу

4.2.2.2 Крыло большого удлинения, совершающее совместные колебания поперек потока и по тангажу (параллельно машущее крыло):

Глава 5. Исследование аэродинамических характеристик волнообразно машущего крыла

5.1 Сравнение трех способов движения волнообразно машущего крыла

5.2 Интегральные характеристики волнообразно машущего крыла при первом способе движения

5.3 Влияние длины волны на тяговые характеристики волнообразно машущего крыла

Отрывное обтекание несущих поверхностей, даже в случае постоянства их формы, является очень сложным явлением. Под отрывным в данной работе подразумевается обтекание с отрывом потока на всей или на части передней кромки поверхности. Подобного рода течения иногда называют «срывными», а в англоязычной литературе для таких явлений наряду с более общим термином "separation" используется термин "stall". При этом в работе рассматриваются только поверхности с прямой передней кромкой нулевой или умеренной стреловидности (не более 45°), возникновение отрыва на которой приводит к сильной нестационарности течения, связанной со сходом вихрей. Отрыв потока на передних кромках треугольных крыльев, имеющий в большинстве случаев стационарную природу, здесь не рассматривается.

В случае изменения формы поверхности картина ее обтекания существенно усложняется. В работе рассматриваются такие изменения формы, при которых деформации поверхности и скорости деформации нельзя считать малыми. Соответственно, подразумевается невозможность применения методов, основанных на разложении в ряд по малому параметру.

Исследование отрывного обтекания поверхностей изменяемой формы имеет несколько практических приложений. Первое связано с рассмотрением задач аэродинамики гибкого машущего крыла. Такого рода задачи стали актуальными в связи с созданием малоразмерных беспилотных летательных аппаратов (микро-БПЛА) [72], в иностранной литературе называемых Micro Unmanned Aerial Vehicles (MUAV или IJ.UAV). Это аппараты с размахом крыла не более 15 см и скоростью полета порядка 30 км/ч. Как показали исследования [192], для повышения эффективности подобных аппаратов целесообразно отойти от традиционных способов создания тяги и подъемной силы (с помощью винта и неподвижного крыла) и использовать гибкие машущие крылья, создающие одновременно подъемную силу и тягу.

Экспериментальные и численные исследования полета аэробио-нтов (летающих птиц, животных и насекомых) [94], [189], [164], [141] показали, что для летательного аппарата с размерами, соответствующими размерам микро-БПЛА, наиболее выгодным является режим работы машущего крыла с отрывом потока с передней кромки. Взаимодействие вихревого следа с крылом позволяет получить значительный выигрыш в подъемной силе и тяге. Однако экспериментальное исследование подобного рода процессов затруднено. Тем не менее, в последнее время появились работы, например [151], посвященных экспериментальному исследованию обтекания несущих поверхностей изменяемой формы. Однако все исследования подобного рода ограничиваются рассмотрением достаточно простых форм деформаций и, как правило, плоских течений. Обтекание же машущего крыла микро-БПЛА носит существенно трехмерный характер из-за малого удлинения.

Второе приложение связано с идей создания «аэроупругого адаптивного крыла» [127], т.е. крыла, у которого отсутствуют традиционные органы управления и механизации, а создание необходимых управляющих моментов обеспечивается изменением формы крыла. При использовании такого крыла на маневренных летательных аппаратах возможны случаи, когда в силу больших амплитуд или скоростей изменения формы, или иных причин, будет реализовываться отрывное обтекание.

Третье приложение связано с задачами аэроупругости крыльев малой жесткости. Если в первых двух случаях изменение формы крыла происходит по заранее известному закону, то в данном случае необходимо решать сопряженную задачу аэродинамики и упругости. Вопросам решения подобных задач посвящены работы [23], [44], [45].

Анализ влияния изменения формы несущей поверхности на ее распределенные и интегральные характеристики чисто экспериментальным путем слишком громоздок, а подчас и невозможен. Получить аналитические решения уравнений аэродинамики для произвольной формы несущей поверхности и произвольного закона ее изменения тоже не представляется возможным. В связи с этим большую роль играют различные численные методы. Особенно широкое распространение они получили в последнее время в связи с резким увеличением вычислительных возможностей ЭВМ.

На сегодняшний день в механике жидкости и газа существует большое количество математических методов, начиная от простейших разновидностей метода особенностей и кончая методами, основанными на решении полных уравнений Навье-Стокса. Однако при рассмотрении неустойчивых нестационарных отрывных течений применение многих из этих методов численного моделирования затруднено. Кроме того, при рассмотрении задач обтекания деформируемых несущих поверхностей применение наиболее распространенных на сегодняшний день методов, основанных на решении дифференциальных уравнений движения жидкости (уравнений Эйлера или Навье-Стокса) путем дискретизации на пространственной сетке (так называемых «сеточных» или эйлеровых методов), осложняется необходимостью перестройки расчетной сетки, что представляет собой отдельную серьезную задачу. В связи с этим актуально развитие так называемых «бессеточных» или лагранжевых методов. Эти методы вытекают из метода граничных элементов и требуют построения расчетной сетки с размерностью на единицу меньшей, чем размерность задачи.

Наиболее распространенной в прикладной аэродинамике разновидностью таких методов являются вихревые методы, т.е. методы, основанные на замене несущей поверхности и следа за ней некоторым распределением завихренности. В случае дискретного распределения завихренности получаем широко известный метод дискретных вихрей (МДВ). Вопросам адаптации метода дискретных вихрей к задачам обтекания поверхностей изменяемой формы и посвящена настоящая работа.

Целью работы является развитие метода дискретных вихрей для решения задач трехмерного нестационарного отрывного обтекания тонких несущих поверхностей, изменяющих свою форму по заданному закону, с целью предсказания их интегральных аэродинамических характеристик, распределения аэродинамической нагрузки и структуры аэродинамического следа за ними.

В первой главе диссертации дан обзор истории развития и современного состояния методов исследования аэродинамики деформируемых несущих поверхностей - экспериментальных и теоретических.

Во второй главе диссертации приводятся основные положения метода дискретных вихрей и соотношения, используемые при построении расчетной схемы.

В третьей главе диссертации описывается расчетная схема модифицированного метода дискретных вихрей, вспомогательные алгоритмы, схемы определения нормалей к несущей поверхности произвольной формы и расчета аэродинамических нагрузок. Так же приводится описание вычислительной программы, реализующей данную расчетную схему.

В четвертой главе приводятся результаты исследований по методике расчетов и тестовых расчетов отрывного обтекания различных подвижных и деформируемых несущих поверхностей и их сравнение с экспериментальными данными. При этом рассматриваются такие режимы, при которых происходит периодическое изменение характера обтекания передней кромки.

В пятой главе приведены результаты вычислительных экспериментов по исследованию аэродинамики волнообразно машущего крыла.

На защиту выносятся следующие положения, составляющие научную новизну работы:

- модификация метода дискретных вихрей для расчета отрывного обтекания несущих поверхностей изменяемой формы при произвольных законах движения и деформации;

- расчетная программа, реализующая модифицированный метод дискретных вихрей;

- результаты вычислительных экспериментов по исследованию аэродинамики машущего крыла на режимах работы, соответствующих отрывному обтеканию.

Практическая значимость работы заключается в том, что использование предложенной в диссертации модификации метода дискретных вихрей позволяет расширить диапазон задач, решаемых этим методом. Модифицированный метод позволит решать задачи аэроупругости, возникающие при проектирование микро-БПЛА с нетрадиционными способами создания подъемной силы и тяги (с движителями и несущими элементами типа «машущее крыло»), более точно, по сравнению с базовым вариантом метода, рассчитывать аэродинамические нагрузки на обтекаемые поверхности изменяемой формы, особенно в случае больших деформаций, когда характер обтекания передней кромки в течение рабочего цикла изменяется с безотрывного на отрывной и обратно.

Результаты исследований аэродинамики периодически деформируемых несущих поверхностей (машущих крыльев) могут быть использованы для выбора оптимальных законов и параметров деформаций.

Основные результаты работы докладывались на 2-ой Всероссийской конференции «Самолетостроение России: Проблемы и перспективы», (Самара - 2000 г.), на XII Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигацией летательных аппаратов (Самара - 2002 г.), на 2-ой международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» (Жуковский - 2002 г.), на семинаре по аэродинамике академика Г. Г. Черного (Москва - 2002 г.), на семинаре кафедры аэрогидродинамики СГАУ (Самара - 2002 г.), на XIII Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигацией летательных аппаратов (Самара - 2003 г.), на семинаре "Аэродинамика современных и перспективных летательных аппаратов" при кафедре аэродинамики ВВИА им. Жуковского (Москва - 2004 г.). По теме диссертационной работы имеется 9 публикаций.

Заключение

Модернизирован метод дискретных вихрей для расчета отрывного обтекания несущей поверхностей изменяемой формы. Данный метод позволяет при меньших затратах вычислительных ресурсов по сравнению с другими широко применяемыми численными методами аэродинамики, например по сравнению с методом контрольных объемов, определять распределенные и суммарные аэродинамические характеристики несущих поверхностей изменяемой формы с достаточно высокой точностью.

Нелинейный нестационарный подход и предположение об отрывном характере обтекания позволяет получить более достоверные результаты по сравнению с квазилинейными и квазистационарными вариантами метода дискретных вихрей, а также с безотрывной постановкой. Предложен новый подход к построению вихревой схемы несущей поверхности - с постоянным сходом вихревой пелены со всех кромок крыла, в том числе и с передней. Данный подход позволяет моделировать как эффекты, связанные со срывом потока с передней кромки, так и связанные с «вязким» отрывом с поверхности крыла.

Для реализации модифицированного метода предложены новые вспомогательные алгоритмы - определения нормалей к деформированной несущей поверхности и проверки пересечения свободной вихревой пелены с несущей поверхностью.

Создана вычислительная программа для аэродинамического расчета отрывного обтекания несущих поверхностей при произвольных законах движения и деформации. Проведено тестирование и верификация математической модели, численного метода и программного обеспечения. На основании сравнения результатов тестовых расчетов для параллельно машущего крыла с экспериментом показано, что предложенный подход с постоянным сходом вихревой пелены с передней кромки крыла позволяет получить адекватные аэродинамические характеристики в широком диапазоне частот колебаний.

Впервые рассчитаны интегральные и распределенные аэродинамические характеристики волнообразно машущего крыла в предположении об отрывном характере обтекания. Рассмотрены три способа движения, предложенные в работе [76]. Показано, что сделанные в этой работе выводы о наибольшей эффективности третьего способа неверны, что очевидно связано с недостатками численного метода, использовавшегося в работе [76]. Из трех способов движения волнообразно машущего крыла был детально рассмотрен первый, как наиболее простой для практической реализации. Для него построена поляра, а также исследовано влияние длины волны на тяговые характеристики. Показано, что уменьшение длины волны до одной хорды крыла ведет к существенному увеличению тяговых характеристик волнообразно машущего крыла при первом способе движения.

Составленная вычислительная программа может быть использована для расчета аэродинамических характеристик различного рода машущих и колеблющихся крыльев, которые являются перспективными устройствами создания подъемной силы и тяги для микро-БПЛА.

1. Алгазин В. А. Расчет нелинейных аэродинамических характеристик крыла конечного размаха. Журнал прикладной механики и технической физики, 1980, №4, с. 97-106.

2. Алгазин В. А., Горелов Д. Н. О произвольном движении крыла конечного размаха в несжимаемой жидкости. Известия Сиб. Отд. АН СССР, серия технических наук, 1974, №3, вып. 1, с. 90-98.

3. Андронов П. Р. Вихревые взаимодействия неограниченных потоков и струй со сплошными и проницаемыми телами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., Институт механики МГУ, 2002.

4. Апаринов В. А. Расчет нелинейных аэродинамических характеристик крыла сложной формы в плане с учетом носовой вихревой пелены. Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1977, №2, с. 107-111.

5. Апаринов В. А., Белоцерковский С. М., Лифанов И. К., Михайлов А. А. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик тел при отрывном обтекании. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1988, т. 28, №10, с. 1558-1566.

6. Апаринов В. А., Делеган В. М. Нелинейная математическая модель процесса неустановившегося движения на закритических режимах самолета и его вихревого следа. Техника воздушного флота, 1986, №6, с. 8-15.

7. Апаринов В. А., Дворак А. В. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками. Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, вып. 1313 «Применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов», 1983, с. 424-432.

8. Апаринов В. А., Жучков И. А., Ништ М. И. Расчет аэродинамических характеристик дельтапланов. / Исследование по аэродинамике, аэроупругости и динамике полета дельтапланов и парашютов-крыльев. Сборник ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1985, с. 86123.

9. Апаринов В. А., Локтев Б. Е., Ништ М. И. Нелинейные аэродинамические модели. Вопросы кибернетики, вып. 124, «Численный эксперимент в прикладной аэрогидродинамике». Изд. АН СССР, 1986, с. 47-70.

10. Аубакиров Т. О., Белоцерковский С. М., Желанников А. И., Ништ М. И. Нелинейная теория крыла и ее приложения. Алматы: Гылым, 1997, 448 с.

11. Ахмедов Т. X. Упрощенная физическая модель быстромашущего движителя. Полет, 2002, №3, стр. 58-60.

12. Баранов Н. А., Белоцерковский А. С., Каневский М. И., Турчак Л. И. Численные методы динамики летательного аппарата в условиях аэродинамической интерференции. М.: Наука, 201, 207 с.

13. Белоглазов В. П., Лифанов И. К., Сетуха А. В. О сглаживании поля скоростей в задаче об отрывном обтекании тел. Труды VII международного симпозиума «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики», 1997, Феодосия, с. 16-19.

14. Белоцерковский С. М. Метод численного решения пространственной задачи диффузии вихрей. Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, вып. 1313 «Применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов», 1983, с. 40-54.

15. Белоцерковский С. М. Некоторые вопросы развития и задачи системных компьютерных технологий в авиации. Известия РАН, Механика жидкости и газа, 2000, №6, с. 142-150.

16. Белоцерковский С. М. Основные идеи методов дискретных вихрей и дискретных особенностей. Вопросы киберенетики, вып. 124, «Численный эксперимент в прикладной аэрогидродинамике». Изд. АН СССР, 1986, с. 3-23.

17. Белоцерковский С. М. Расчет обтекания крыльев произвольной формы в плане в широком диапазоне углов атаки. Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1968, №4, с. 32-44.

18. Белоцерковский С. М. Труды Н. Е. Кочина и некоторые современные проблемы аэродинамики и гидродинамики. / Н. Е. Кочин и развитие механики. -М.: Наука, 1984, с. 115-130.

19. Белоцерковский С. М., Вольмир А. С., Ништ М. И., Пономарев А. Т. Некоторые задачи аэроупругости при отрывном обтекании. Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1975, №5, с. 150-157.

20. Белоцерковский С. М., Гиневский А. С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физматлит, 1995,368 с.

21. Белоцерковский С. М., Гуляев В. В., Ништ М. И. К изучению полета насекомых и птиц. Доклады АН СССР, 1974, т. 219, №3, с. 567-570.

22. Белоцерковский С. М., Коржнев В. Н., Шипилов С. Д, Метод расчета отрывного обтекания крыльев дозвуковым потоком газа. Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1984, №4, с. 141-147.

23. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985, 256 с.

24. Белоцерковский С. М., Локтев Б. Е., Ништ М. И. Исследование на ЭВМ аэродинамических и аэроупругих характеристик винтов вертолетов. М.: Машиностроение, 1992, 224 с.

25. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Исследование особенностей обтекания пластинки при больших углах атаки. Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1973, №5, с. 110-116.

26. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978, 352 с.

27. Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Пономарев А. Т., Рысьев О. В. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987, 240 с.

28. Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Соколова О. Н. Расчет срывного обтекания тонкого крыла конечного размаха. Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1975, №5, с. 107-112.

29. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука, 1971, 768 с.

30. Белоцерковский С. М., Халенков М. А., Швилкин В. А. Анализ достоверности численного определения аэродинамических нагрузок методом дискретных вихрей. Техника воздушного флота, 1997, №1, с. 9-18.

31. Беляев Н. М., Делямуре В. П. Метод аэродинамического расчета крыла произвольной формы. Математические методы механики жидкости и газа. Днепропетровск, ДГУ, 1982, с. 12-23.

32. Бетяев С. К. Эволюция вихревых пелен. Динамика сплошной среды со свободными поверхностями. Межвузовский сборник. Чебоксары, 1980, с. 27-38.

33. Братанов, Эцер. Анализ пространственного неустановившегося вязкого течения около колеблющихся крыльев. Ракетная техника и космонавтика, 1974, т. 12, №11, с. 153-162.

34. Бэсс Р. JL, Джонсон Дж. Э., Анрух Дж. Ф. Влияние характера течения в пограничном слое на подъемную силу колеблющейся несущей поверхности. Аэрокосмическая техника, 1983, т. 1, №3, с. 46-53.

35. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 758 с.

36. Валуйский А. М., Граськин С. С., Подобедов В. А. Исследование методом дискретных вихрей стационарного обтекания пространственных несущих систем при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях потока. Известия вузов: Авиационная техника, 1990, №4, с. 48-50.

37. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002, 840 с.

38. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976, 416 с.

39. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979, 320 с.

40. Воробьев Н. Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке. Новосиб.: Наука (СО), 1985, 239 с.

41. Ганиев Ф. И., Нгуен Дык Кыонг. Расчет индуктивного сопротивления крыла с произвольной деформацией. Ученые записки ЦАГИ, 1989, т. 20, №3, с. 20-29.

42. Глушко В. Н., Каян В. П., Козлов JI. Ф. Гидродинамические характеристики прямоугольного колеблющегося крыла. Бионика, 1984, вып. 18, с. 40-44.

43. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом. Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III, №3, с. 1-11.

44. Голубев В. В. Труды по аэродинамике. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теоретич. лит-ры, 1957, 979 с.

45. Горелов Д. Н. К выбору контрольных точек в методе дискретных вихрей. ЖПМиТФ, 1990, №1, с. 167-170.

46. Горелов Д. Н. К выбору оптимального закона колебаний крыла, выполняющего роль движителя. Известия СО АН СССР, Технические науки, 1980, №3, с. 12-17.

47. Горелов Д. Н. Машущий полет при высокочастотных колебаниях. Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1984, №2, с. 154-158.

48. Горелов Д. Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2000, 214 стр.

49. Горелов Д. Н. Экспериментальное исследование тяги машущего крыла. Бионика, 1980, №14, с. 42-45.

50. Горелов Д. Н., Куляев Р. Л. Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью. Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1971, №6, с. 38-48.

51. Городинский В. Я., Соколова О. Н. Некоторые результаты расчетов обтекания прямоугольных крыльев по нелинейной теории, Аэродинамика неустановившихся движений, Труды ЦАГИ, вып. 1561, 1974, с. 23-29.

52. Граськин С. С. Математическое моделирование отрывного обтекания тонких несущих поверхностей сжимаемым потоком газа. Известия вузов, Авиационная техника, 1991, №2, с. 31-36.

53. Гребешов Э. П., Сагоян О. А. Гидродинамические характеристики колеблющегося крыла, выполняющего функции несущего элемента и движителя. Труды ЦАГИ, выпуск 1725,1976, с. 3-30.

54. Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А. Численные методы «частицы-в-ячейках». Новосибирск: Наука (СО), 2000,184 с.

55. Грунтфест P.A., Дерезина П. П. Колебание ласты произвольной формы в плане в потоке жидкости. Бионика, 1984, вып. 18, с. 45-52.

56. Гурьянов И. А., Котовский В. Н., Ништ М. И. Математическое моделирование нестационарного обтекания вязким потоком телесного крыла конечного размаха. Ученые записки ЦАГИ, 1991, т. XXII, №3, с. 35-42.

57. Джоджодихардджо, Уинднолл. Численный метод решения нелинейных задач о неустановившемся обтекании несущих тел потенциальным потоком. Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, №Ю, с. 219-229.

58. Джонсон Ф. Т., Тиноко Э. Н., Лю П., Эптон М. А. Трехмерное обтекание крыльев с отрывом потока от передней кромки. Ракетная техника и космонавтика, 1980, №5, с. 23-39.

59. Довгий С. А. Исследование вихревых течений за колеблющимися крыльями. КИИГА. Деп. в ВИНИТИ 25.06.84, №4320-84 Деп. 8 стр.

60. Довгий С. А. Численный расчет гидродинамических характеристик колеблющегося крыла конечного размаха. Математические методы механики жидкости и газа, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с. 156-159.

61. Довгий С. О., Буланчук О. М., Буланчук Г. Г. Коливання крила скшченного розмаху. Вюник Харювського нацюнального ушверситету, сер. «Математичне моделювания. 1нформацшш технологи. Автоматизоваш системи управлшня», №590, 2003, с. 102107.

62. Довгий С. А., Каян В. П. К методике определения тяги, создаваемой колеблющимся крылом. Бионика, 1981, вып. 5, с. 55-59.

63. Дорохин Н. Н. Измерение подъемной силы и момента колеблющейся модели крыла. Труды ЦАГИ, 1954 г., 23 стр.

64. Дынникова Г. Я. Моделирование свободного сдвигового течения методом непрерывного вихревого слоя. Известия РАН, Механика жидкости и газа, 1999, №1, с. 42-50.

65. Ермоленко С. Д., Рогозин Ю. А., Сергеев В. И., Чернов JI. Г. Моделирование летательного аппарата тонкой плоской поверхностью, имеющей форму его проекции в плане. Ученые записки ЦАГИ, 1979, том X, №2, с. 92-97.

66. Желанников А., Морошкин Д., Чирков Г. Микросамолет в кармане. Вестник воздушного флота, №6, 2001, с. 58-60

67. Жук А. Н., Колинько К. А., Миатов О. Д., Храбров А. Н. Экспериментальные исследования нестационарных аэродинамических характеристик изолированных крыльев в условиях срыва потока. Препринт ЦАГИ, 1997, №86, 56 с.

68. Жук А. Н., Столяров Г. И. Аэродинамические характеристики прямоугольного крыла малого удлинения при дозвуковом нестационарном обтекании. Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, №2, с. 17-23.

69. Зайцев А. А. Несущая поверхность при больших деформациях. В сб. Аэромеханика и газовая динамика, М.:Наука, 1976, с. 42-56.

70. Зайцев А. А., Тюрев В. В. Расчет обтекания несущей поверхности при больших деформациях. Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1980, №4, с. 72-79.

71. Захаренков М. Н., Никулин М. А., Швец А. И. Аэродинамика машущего полета насекомых. Известия АН СССР, МЖГ, 1984, №6, с. 121-126.

72. Зубков О. А. Расчет аэродинамических характеристик антисимметричных крыльев. Труды XIX чтений К. Э. Циолковского, секция «Авиация и воздухоплавание», 1984, с. 20-24.

73. Исогаи. Теория несущей поверхности для колеблющегося Т-образного хвостового оперения. Ракетная техника и космонавтика, 1974, т. 12, №1, с. 33-45.

74. Кадлек Р. А., Дэвис С. С. Визуализация квазипериодических потоков. Ракетная техника и космонавтика, 1979, т. 17, №11, с. 16-22.

75. Караск А. А., Ништ М. И. Вихревые структуры тонких крыльев при отрывном обтекании. Доклады АН СССР, 1979, том 246, №6, с. 13171326.

76. Караск А. А., Ништ М. И., Скакалин В. М. Особенности отрывного обтекания тонких крыльев положительной и отрицательной стреловидности. Труды XVII чтений К. Э. Циолковского, секция «Авиация и воздухоплавание», 1982, с. 6-11.

77. Ковалев Е. Д., Удовенко В. А. Аэродинамический расчет легкого летательного аппарата на основе численного моделирования. Авиация общего назначения, 2000, №2, с. 22-26.

78. Колесников Г. А. Скорости, индуцируемые нестационарным вихревым слоем, Аэродинамика неустановившихся движений, Труды ЦАГИ, вып. 1561, 1974, с. 40-62.

79. Коренная Л. И. Метод расчета волнового движителя. Бионика, 1981, вып. 5, с. 59-63.

80. Корнев Н. В. Численный метод вихревых элементов и его приложения в гидродинамике корабля. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Санкт

81. Петербургский Государственный морской технический университет, 1998.

82. Коротков О. Ю., Шумский Г. М. Расчет отрывного обтекания тонкого профиля при поступательных колебаниях. Известия вузов, «Авиационная техника», 1988, №4, с. 92-94.

83. Коротков О. Ю., Шумский Г. М. Об эффекте синхронизации при колебаниях профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости на больших углах атаки. Численные методы механики сплошной среды, 1986, т. 17, №6, с. 70-73.

84. Котовский В. Н. Математическое моделирование отрывного обтекания тел. Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, вып. 1315 «Математическое моделирование авиационных комплексов», 1989, с. 8-31.

85. Кочин Н. Е. Собрание сочинений, M.-JL: Изд. АН СССР, т. 2, 1949, 387 с.

86. Кудрявцев Г. С. Расчет аэродинамических характеристик изогнутых крыльев. Межвузовский сборник Ленинградского института авиационного приборостроения, 1984, №173 (Специальные вопросы аэрогазодинамики летательных аппаратов), с. 34-40.

87. Кыонг Н. Д. Особенности нелинейной модели обтекания деформированного крыла для расчета его индуктивного сопротивления. Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, вып. 1315 «Математическое моделирование авиационных комплексов», 1989, с. 69-91.

88. Лайтхил Дж. Аэродинамические аспекты полета животных. Серия Механика, вып. 23, Биогидродинамика плавания и полета. М.: Мир, 1980, с. 9-78.

89. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. М.: «Издательство БИНОМ», 1997, 304 с.

90. Лифанов И. К. О вычислении скоростей в методе дискретных вихрей. Доклады АН СССР, 1990, т. 313, №6, с. 1399-1402.

91. Ляскин А. С., Шахов В. Г. Метод расчета аэродинамических характеристик деформируемого крыла. Известия вузов: Авиационная техника, №4,2002, с. 15-17.

92. Маккроски. Поле невязкого течения для профиля при неустановившемся движении. Ракетная техника и космонавтика, 1973, т. 11, №8, с. 93-102.

93. Мельникова О. Ф., Филатов Г. А. Приближенный метод расчета полукольцевых крыльев. Некоторые вопросы прикладной аэродинамики, Киев, 1982, с. 37-41.

94. Некрасов А. И. Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР, т. 1, 1961, 444 е., т. 2, 1962, 707 с.

95. Никулин М. А. Двумерная аэродинамическая схема машущего полета. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. МГУ, 1984, 132 с.

96. Ништ М. И. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в аэрогидродинамике на основе метода дискретных вихрей. Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, вып. 1315 «Математическое моделирование авиационных комплексов», 1989, с. 3-7.

97. Островой В. А. Метод дискретных вихрей в задачах отрывного обтекания ортогональных роторов ветросиловых установок. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. СГАУ, 2003, 177 с.

98. Петров А. С. Расчет отрывного обтекания эллиптических цилиндров, Труды ЦАГИ, вып. 1930, 1978, с. 3-12.

99. Петров А. С. Метод расчета нестационарного отрывного обтекания плоских тел потоком вязкой несжимаемой жидкости, Труды ЦАГИ, вып. 1930, 1978, с. 13-38.

100. Петров А. С. К обоснованию схемы расчета отрывного обтекания плоских тел, Труды ЦАГИ, вып. 1930, 1978, с. 39-45.

101. Петров Е. Г., Табачников В. Г. Экспериментальное исследование аэродинамических характеристик прямоугольных пластин различного удлинения в широком диапазоне углов атаки, Труды ЦАГИ, выпуск 1621, 1974, с. 102-109.

102. Полонский Я. Е. Вихревые дорожки и их приложения в теории машущего крыла. Диссертация ВВА КА им. Жуковского, 1948.

103. Пятецкий В. Е., Хатунцев В. Н., Сизов И. И. Особенность определения коэффициента полезного действия модели движителя гидробионта типа колеблющееся крыло. Бионика, 1984, вып. 18, с. 8791.

104. Савченко Ю. Н. Некоторые особенности гидродинамики движителя типа «машущее крыло». Бионика, 1971, вып. 5, с. 11-19.

105. Сарпкайя. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988). Современное машиностроение, серия А, 1989, т. 10, с. 1-60.

106. Сатьянарайяна Б., Дэвис С. Экспериментальные исследования условий на задней кромке в нестационарных течениях, Ракетная техника и космонавтика, 1978, т. 16, №2, с. 40-46.

107. Сэффмэн Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000, 375 с.

108. Табачников В. Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки, Труды ЦАГИ, выпуск 1621, 1974, с. 79-93.

109. Федяевский К. К., Блюмина JI. X. Гидродинамика отрывного обтекания тел. М.: Машиностроение, 1977, 120 с.

110. Филатов Г. А. Экспериментальные исследования аэродинамики полукольцевых крыльев. Прикладная аэродинамика, Киев, 1979, с. 18-23.

111. Хатунцев В. Н. К вопросу о работе движителя типа машущее крыло на режимах с большой относительной поступью. Бионика, 1984, вып. 18, с. 57-62.

112. Хемш М., Нилсен Дж. Аэродинамика ракет, кн. 1 Введение в аэродинамику ракет. М.: Мир, 1989,426 стр.

113. Хэм. Аэродинамическая нагрузка на профиль в двумерном потоке при динамическом срыве. Ракетная техника и космонавтика, 1968, №10, с. 127-135.

114. Шагидуллин Р. Р. Численный метод дискретных вихрей. Казань, КГУ, 1986, 108 с.

115. Шмагунов О. А. Метод дискретных вихрей: проблема учета вязкости. Труды XXXIII Молодежной школы-конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения», с. 1 -4.

116. Шумский Г. М. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик колеблющейся пластинки под большими углами атаки. Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, №5, с. 86-93.

117. Эдварде Дж. В., Эшли X., Брейкуэлл Дж. В. Расчет нестационарных аэродинамических нагрузок произвольно движущегося крыла. Ракетная техника и космонавтика, 1979, т. 17, №4, с. 53-65.

118. Aeroelastic leveraging and control through adaptive structures. AFRL-SR-BL-TR- 01-0056, 2001, 140 p.

119. Anderson J. M. Vorticity control for efficient propulsion. Ph.D. Dissertation, Applied Ocean Science and Engineering, Massachusetts Inst, of Technology, 1996, 193 p.

120. Anderson J. ML, Streitlien K., Barret D. S., Triantafyllou M. S. Oscillating foils of high propulsive efficiency. Journal of fluid mechanics, vol. 360, 1998, pp. 41-72.

121. Archer R. D., Sapuppo J., Betteridge D. S. Propulsion characteristics of flapping wings. Aeronautical Journal, 1979, No. 9, pp. 355-371.

122. Bhagwat M. J., Leishman J. G. Transient rotor inflow using a time-accurate free-vortex wake model. AIAA Papers, CP 2001-0993, pp. 1-14.

123. Birch J. M., Dickinson M. H. Spanwise flow and the attachment of the leading-edge vortex on insect wings. Nature, 2001, vol. 412, pp. 729-733.

124. Broeren A. P., Bragg M. B. Spanwise variation in the unsteady stalling flowfields of two-dimensional airfoil models. AIAA Journal, vol. 39, No. 9, 2001, pp. 1641-1651.

125. Brown R. E. Rotor wake modeling for flight dynamic simulation of helicopters. AIAA Journal, 2000, vol. 38, No. 1, pp. 57-63.

126. Brown С. E., Michael W. H. Effect of leading-edge separation on the lift of a delta wing. Journal of Aeronautical Sciences, 1954, No. 10, pp. 690-694.

127. Chopra M. G. Hydromechanics of lunate-tail swimming propulsion. Journal of Fluid Mechanics, 1974, v. 64, part 2, pp. 375-391.

128. Chorin A. J. A numerical method for solving incompressible viscous problems. Journal of Computational Physics, 1967, v. 2, pp. 12-26.

129. Cottet G.-H., Koumoutsakos P. Vortex Methods: Theory and Applications. Cambridge University Press, 1999, p. 367.

130. Dengler M. A. Development of charts for downwash coefficients of oscillating wings of finite span and arbitrary planform. Journal of Aeronautical Sciences, 1954, vol. 21, No. 12, pp. 809-824.

131. Dickinson M. H., Götz K. G. Unsteady aerodynamic performance of mode wings at low Reynolds numbers. Journal of Experimental Biology, v. 174, 1993, pp. 45-64.

132. Dickinson M. H., Lehmann F.-O., Sane S. P. Wing rotation and the aerodynamic basis of insect flight. Science, June 1999, vol. 284, pp. 19541960.

133. El-Ramly Z., Rainbird W. J. Flow survey of the vortex wake behind wings. Journal of aircraft, 1977, v. 14, No. 11, pp. 1102-1108.

134. Ellington C. P. The novel aerodynamics of insect flight: Application to micro-air vehicles. Journal of Experimental Biology, v. 202, 1999, pp. 3439-3448.

135. Fejtek I., Nehera J. Experimental study of flapping wing lift and propulsion. Aeronautical Journal, 1980, No. 1, pp. 28-33.

136. Fleeter Sanford. Trailing edge conditions for unsteady flows at high reduced frequency. AIAA Journal, 1980, vol. 18, №5, pp. 497-503.

137. Freymuth P. Three-dimensional vortex systems of finite wings. Journal of aircraft, 1988, vol. 25, No. 10, pp. 972-973.

138. Garrick I. E. Propulsion of a flapping and oscillating airfoil. NACA TR-467, 1936, pp. 419-427.

139. Grzçdzinski J. Aerodynamic interference in a system of two harmonically oscillating airfoils in an incompressible flow. Archives of Mechanics, 1974, v. 26, No. 3, pp. 383-389.

140. Hackett J. E., Evans P. F. Numerical studies of three-dimensional breakdown in trailing vortex wakes. Journal of aircraft, 1977, v. 14, No. 11, pp. 1093-1101.

141. Hatakeyama M., Watanabe M., Suzuki T. Object-oriented fluid flow simulation system. Computers & Fluids, 1998, vol. 27, Nos. 5-6, pp. 581597.

142. Ho S., Nassef H., Pornsin-Sirirak N., Yu-Chong Tai, Chih-Ming Ho. Flight dynamics of small vehicles. Proceedings of ICAS2002 Congress, 2002, pp. 551.1-551.10.

143. Isogai K., Shinmoto Y., Watanabe Y. Effects of dynamic stall on propulsive efficiency and thrust of flapping airfoil. AIAA Journal, vol. 37, no. 10,1999, pp. 1145-1151.

144. Jones K. D., Castro B. M., Mahmoud O., Platzer M. F. A numerical and experimental investigation of flapping-wing propulsion in ground effect. AIAA Paper, 2002-0866, 2002, p. 14.

145. Jones K. D., Platzer M. F. A fast method for prediction of dynamic stall onset on turbomachinery blades. ASME Paper, 97-GT-101 (Proceedings of 97' ASME/IGTI Turbo Expo), p. 8.

146. Katz J., Wheis D. Hydrodynamic propulsion by large amplitude oscillation of an airfoil with chordwise flexibility, Journal of Fluid Mechanics, 1978, vol. 88, part 3, pp. 485-497.

147. Kiya M., Arie M. Discrete-vortex simulation of unsteady separated flow behind a nearly normal plate. Bulletin of JSME, 1980, vol. 23, No. 183, pp. 1451-1458.

148. Konstadinopoulos P., Mook D. T., Nayfeh A. H. A numerical method for general unsteady aerodynamics, AIAA Paper 81-1877, pp. 1-31.

149. Kornev N., Leder A., Mazaev K. Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field. Schiffauforschung 40 (2001) 1, pp. 47-55.

150. Lamar J. E. Recent studies of subsonic vortex lift including parameters affecting stable leading-edge vortex flow. Journal of Aircraft, 1977, v. 14, No. 12, pp. 1205-1211.

151. Lamar J. E. The use and characteristics of vortical flows near a generating aerodynamic surface: A perspective. Progress in Aerospace Science, 1998, vol. 34, pp. 167-217.

152. Leroy A., Buron F., Devinant P. Unsteady aerodynamic model for thin wings with evolutive vortex sheets. RTO-MP-069(SYA), pp. SYA-10-1-SYA-10-12.

153. Levinski O. Review of vortex methods for simulation of vortex breakdown. Defence Science and Technology Organisation, Australia, 2001, TR-1211, pp. 1-22.

154. Lighthill M. J. On the Weis-Fogh mechanism of loft generation. Journal of fluid mechanics, vol. 60, part 1, 1973, pp. 1-17.

155. Liu H., Ellington C. P., Kawachi K., Van Den Berg C., Willmott A. P. A computational fluid dynamic study of hawkmoth hovering. Journal of Experimental Biology, 1998, v. 201, pp.461-477.

156. Mabey D. G., Welsh B. L., Pyne C. R. A summary of measurements of steady and oscillatory pressures on a rectangular wing. Aeronautical Journal, 1988, No. l,pp. 10-28.

157. Mao Sun, Jian Tang. Unsteady aerodynamic force generation by a model fruit fly wing in flapping motion. Journal of Experimental Biology, v. 205, 2002, pp. 55-70.

158. Meakin R. L. On the Spatial and Temporal Accuracy of Overset Grid Methods for Moving Body Problems, 1994, AIAA-94-1925, pp. 844-857.

159. Neef M. F., Hummel D. Euler solutions for a finite-span flapping wing. Conference on fixed, flapping and rotary wing vehicles at very low Reynolds numbers, University of Notre Dame, Indiana, USA, June 2000, pp. 1-25.

160. Nolan D. S. The stabilizing effects of axial stretching on turbulent vortex dynamics, Physics of Fluids, 2001, vol. 13, No. 6, pp. 1724-1738.

161. Nowakowskii A., Rokicki J., Styczek A. The pressure problem in the stochastic vortex blob method. ESAIM: Proceedings, vol. 1, 1996, pp. 125-134.

162. Pappas C. E., Kunen A. E. An Investigation of the Aerodynamics of Sharp Leading-Edge Swept Wings at Low Speeds. Journal of Aeronautical Sciences, 1954, v. 21, No. 10, pp. 649-658.

163. Pornsin-Sirirak T. N., Tai Y. C., Ho C. M. Microbat: A palm-sized electrically powered ornithopter. Notes on seminar, NASA, 2000, 13 p.

164. Pornsin-Sirirak T. N., Tai Y. C., Ho C. M. Unsteady-state aerodynamic performance of MEMS wings. International Symposium on Smart Structure and Microsystems 2000 (IS3M 2000), Hong-Kong, 2000, 7 p.

165. Ramamurti R., Sandberg W. C. Computational study of 3-D flapping foil flows. AIAA Papers, 2001, No. 0605, p. 10.

166. Riziotis V. A., Voutsinas S. G., Zervos A. Investigation of the yaw induced stall and its impact to the design of wind turbines. Report of the JOU2-CT93-0345 CEU project, 1996, National Technical University of Athens, p. 12.

167. Sane S. P., Dickinson M. H. The aerodynamic effects of wing rotation and a revised quasi-steady model of flapping flight. Journal of Experimental Biology, v. 205, 2002, pp. 1087-1096.

168. Sane S. P., Dickinson M. H. The control of flight force by a flapping wing: Lift and drag production. Journal of Experimental Biology, v. 204, 2001, pp. 2607-2626.

169. Schreck S., Robinson M., Hand M., Simms D. HAWT dynamic stall response asymmetries under yawed flow conditions. AIAA Paper 20000040, pp. 1-16.

170. Steger J. L., Benek J. A. On the Use of Composite Grid Schemes in Computational Aerodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Nos. 1-3, vols. 301-320, 1987, pp. 301-320.

171. Takeda K., Tutty O. R., Fitt A. D. A comparison of four viscous models for the discrete vortex method. AIAA Paper 97-1977, 1997, 11 p.

172. Teng N. H. The development of a computer code for the numerical solution of unsteady, inviscid and incompressible flow over an airfoil. Master's Thesis, Naval Postgraduate School, Monterey, 1972.

173. Theodorsen T. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter. NACA report 496, 1934, pp. 413-433.

174. Theodorsen T., Garrick I. E. Mechanism of flutter. A theoretical and experimental investigation of the flutter problem. NACA report 685, 1936, pp. 101-146.

175. Timman R., Van de Vooren A. I., Greidanus J. H. Aerodynamic coefficients of an oscillating airfoil in two-dimensional subsonic flow. Journal of Aeronautical Sciences, 1954, v. 21, No. 7, pp. 499-500.

176. Tuncer I. H., Platzer M. F. Thrust generation due to airfoil flapping. AIAA Journal, 1996, vol. 34, No. 2, pp. 324-331.

177. Tuncer I. H., Platzer M. F. Computational study of flapping airfoil aerodynamics. Journal of Aircraft, 2000, vol. 35, No. 4, pp. 554-560.

178. Usherwood J. R., Ellington C. P. The aerodynamics of revolving wings. I. Model hawkmoth wings. Journal of Experimental Biology, v. 205, 2002, pp. 1547-1564.

179. Van Den Berg C., Ellington C. P. The three-dimensional leading-edge vortex of a 'hovering' model hawkmoth. Philosophical Transactions of Royal Society of London, ser. B, 1997, vol. 352, pp. 329-340.

180. Van Den Berg C., Ellington C. P. The vortex wake of a "hovering' model hawkmoth. Philosophical Transactions of Royal Society of London, ser. B, 1997, vol. 352, pp. 317-328.

181. Voutsinas S. G., Riziotis V. A. Vortex particle modelling of stall on rotors. Application to wind turbines. AGARD-CP-552, p. 17.

182. Warszak M. R., Jenkins L. N., Ifju P. Stability and control properties of an aeroelastic fixed wing micro aerial vehicle. AIAA Paper 2001-4005, 2001, p. 11.

183. Wei Shyy, Berg M., Ljungqvist D. Flapping and flexible wings for biological and micro air vehicles. Progress in aerospace science, 1999, vol. 35, pp. 455-505.

184. Weis-Fogh T. Biology and physics of locust flight. Part II. Flight performance of the desert locust (Schistocerca gregaria). Philos. Trans. Roy. Soc., ser. B, 1956, vol. 239, No. 667, pp. 459-510.

185. Weis-Fogh T. Quick estimates of flight fitness in hovering animals, including novel mechanisms for lift production. Journal of Experimental Biology, 1973, vol. 59, pp. 169-230.

186. Weis-Fogh T., Jensen M. Biology and physics of locust flight. Part I. Basic principles of insect flight. A critical review. Philos. Trans. Roy. Soc., ser. B, 1956, vol. 239, No. 667, pp. 415-458.

187. Weis-Fogh T., Jensen M. Biology and physics of locust flight. Part III. The aerodynamics of locust flight. Philos. Trans. Roy. Soc., ser. B, 1956, vol. 239, No. 667, pp. 511-552.

188. Willmott A. P., Ellington C. P., Thomas A. L. R. Flow visualization and unsteady aerodynamics in the flight of the hawkmoth, Manduca sexta. Philosophical Transactions of Royal Society of London, ser. B, 1997, vol. 352, pp. 303-316.

189. Wu T. Y. Hydromechanics of swimming propulsion. Part 1. Swimming of a two-dimensional flexible plate at variable forward speeds in aninviscid fluid. Journal of fluid mechanics, 1971, vol. 46, part 2, pp. 337355.