Металлическая проводимость в сильном магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

На правах рукописи

МУРЗИН Сергей Станиславович Р Г 5 ОЛ

- з май ш

МЕТАЛЛИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ I В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Специальность 01.04.07 - физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Черноголовка 2000

Работа выполнена в Институте физики твердого тела РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Иорданский С. В., доктор физико-математических наук, профессор Гольцман Г. Н., доктор физико-математических наук Пудалов В. М.

Ведущая организация: РНЦ Курчатовский институт

Защита состоится " " _ 2000 года в /¿? часов

на заседании специализированного совета Д.003.12.01 при Институте физики твердого тела РАН по адресу: 142432 Московская область, п. Черноголовка, ИФТТ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики твердого тела

РАН.

Автореферат разослан " 3 " 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук Зверев В.Н.

г + } В 3 6$, 3^3

Общая характеристика работы.

Актуальность темы диссертации. Изучение электронного транспорта в системах с металлической проводимостью в сильных магнитных полях ведется уже много десятилетий. Первые теории проводимости в квантующем магнитном поле были созданы в тридцатые годы в работах [1, 2]. В пятидесятых годах было дано квантомеханическое обоснование результатов этих работ и получены конкретные выражения для проводимости при различных механизмах рассеяния [3, 4, 5]. Согласно этим результатам характер проводимости в квантовом пределе (КП) по магнитному полю, когда заполнена лишь нижняя подзона Ландау с одной ориентацией спина, не отличается принципиально от случая классически сильных магнитных полей (шст 1, где о»с - циклотронная частота, г - время релаксации электронов). Отличие состоит лишь в том, что плотность состояний и микроскопические характеристики актов рассеяния зависят от магнитного поля. Долгое время эти результаты были общепринятыми и вошли в ряд обзоров и книг [6, 7, 8, 9, 10]. Однако появление новых физических представлений о локализационных эффектах, об электрон-электронном взаимодействии, обнаружение квантового эффекта Холла в двумерных системах поставили под вопрос старые результаты, считавшиеся классическими.

Целью работ являлось изучение электронного транспорта в классически сильном магнитном поле и в квантовом пределе по магнитному полю в трехмерных системах и в пленках с трехмерным спектром.

Научная новизна диссертационной работы обеспечивается следующими оригинальными результатами.

1. Впервые указано на то, что в сильном магнитном поле В нель-

зя считать все акты рассеяния электронов независимыми. С учетом корреляций актов рассеяния получено выражение, связывающее поперечную проводимость охх с продольной сгг2, для случая рассеяния на заряженных примесях

где /?х - неизвестный численный коэффициент, ур - плотность состояний на уровне Ферми, ко ~ диэлектрическая постоянная кристаллической решетки, N - концентрация примесей, гв - дебаевский радиус экранирования.

2. Показано, что в квантовом пределе по магнитному полю электромагнитные флуктуации подавляют квазиодномерные локализационные эффекты. Найдена температура

выше которой '«окализационные эффекты полностью подавлены и продольная приводимость описывается формулой Друде. Здесь Ер - энергия Фепли, Еь - боровская энергия, т0 - время пробега электрона вдоль магнитного поля до рассеяния назад.

3. Проведены измерения продольного рг2, поперечного рхх и хол-ловского рху сопротивления образцов п-1пЭЬ и п-1пАз с концентрацией электронов п = 1,1 — 5,0 х 1016 см-3 в квантовом пределе по магнитному полю в диапазоне температур Т — 1, 5 — 15 К. Обнаружен рост ргг при понижении температуры, что подтверждает теоретические предсказания о влиянии квазиодномерных локализационных эффектов на проводимость. Проверено соотношение (1) в зависимости от температуры, магнитного поля и для пЛпБЬ в зависимости от концентрации

(1)

/

электронов п. Из экспериментальных данных найден численный коэффициент Р\ ss 2.

. 4. Указано на то, что интерференционные диффузионные эффекты в электрон-электронном взаимодействии должны существенно влиять на электронный транспорт в квантовом пределе. Поставлен вопрос -является электронная система в квантовом пределе металлом или хол-ловским проводником (ахх, аХ№ azz 0, аху —> const при Т 0).

5. Проведены измерения pZ2, рхх и рху образцов n-InSb и n-InAs в квантовом пределе при температурах ниже 1 К, подтверждающие влияние электрон-электронного взаимодействия на электронный транспорт. Продольное сопротивление возрастает при понижении температуры, поперечное убывает, а холловское сопротивление практически не зависит от температуры. Логарифмические температурные зависимости диагональных компонент тензора сопротивления дают основания предполагать, что в квантовом пределе трехмерная металлическая система является холловским проводником.

6. Выведено выражение для поперечной проводимости <ухх полупроводников в ультраквантовом пределе в случае больцмановской статистики носителей тока. Поперечное сопротивление (рхх — ахх/аху) в этом случае равно

е5/4дгЗ/4В

РХХ = Р2 9/8 п/«-о/«' (3)

где - неизвестный численный коэффициент.

7. Проведены систематические измерения поперечного сопротивления семи образцов n-InSb с п = 5 х 1012 — 1,2 х 1016 см-3 в условиях больцмановской статистики электронов {Т — 20 — 80 К). Зависимости от магнитного поля, температуры и концентрации электронов хорошо

описываются выражением (3). Из экспериментальных данных найден численный коэффициент Дг « 0,3.

8. Проведены систематические измерения продольного сопротивления тринадцати образцов п-ЫБЬ с п = 8,6 х 1012 — 1 х 1015 см-3 в условиях больцмановской статистики электронов. Результаты не согласуются с существующей теорией. Предложено качественное объяснение экспериментальных результатов.

9. Обнаружен квантовый эффект Холла в пленках с трёхмерным электронным спектром (эпитаксиальные пленки сильно легированного п-СаАв толщиной (1 = 500 — 1400 А большей длины свободного пробега электронов I = 200 — 300 А). При Т=4.2 К электронная система исследованных образцов имеет такой же спектр, как и массивные монокристаллы (нет размерного квантования). Результаты изучения температурных зависимостей поперечной проводимости Схх свидетельствуют в пользу того, что квантовый эффект Холла обусловлен уменьшением Охх при понижении температуры за счет электрон-электронного взаимодействия. При достаточно низких температурах на уровне Ферми появляется мягкая кулоновская щель. Обращение диссипативной проводимости Схх в ноль должно привести к квантованию холловской проводимости

10. Впервые экспериментально обнаружен предсказанный Альтшу-лером и Ароновым [11] рост в магнитном поле квантовых поправок к проводимости трехмерной системы (ЕН, легированный теллуром), обу-

' словленных электрон-электронным взаимодействием.

11. Впервые проведена экспериментальная проверка теории квантовых поправок к проводимости пленок (сильно легированный п-ваАз) в классически сильных магнитных полях. Холловская проводимость

практически не зависит от температуры Т до тех пор, пока поперечная проводимость (?1Х достаточно велика по сравнению с е2//г. Разность проводимостей Схх при двух температурах 4.2 и 0.35 К лишь слабо зависит от магнитного поля В в широком диапазоне магнитных полей, в то время как Схх меняются сильно. Результаты объясняются квантовыми поправками к проводимости за счет электрон-электронного взаимодействия в диффузионном канале.

12. Экспериментально изучено поперечное сопротивление В.хх пластин висмута, в которых почти весь пропускаемый электрический ток концентрируется у поверхности. Обнаружены резкая зависимость маг-нитосопротивления от угла наклона магнитного поля к плоскости пластины, уменьшение магнитосопротивления в параллельном поверхности магнитном поле при понижении температуры и немонотонная зависимость магнитосопротивления от температуры в наклонном магнитном поле. Феноменологически решена задача о сопротивлении пластины полуметалла в наклонном по отношению к плоскости пластины магнитном поле с учетом влияния поверхности. В сильных магнитных полях результаты эксперимента хорошо согласуются с теорией и позволяют определить вероятности междолинного рассеяния носителей тока на поверхности и других характеристик образцов.

13. Экспериментально исследованы квантовые осцилляции производной <Штх/и пластин висмута с затвором при различных значениях напряжения и между пластиной и затвором. Обнаружено, что при разных и осцилляции имеют различные периоды, один из которых совпадает с периодом осцилляций Шубникова-де Гааза электронов в объеме, а второй на 2.8% меньше. Эти периоды не зависят от и. Изменение и приводит лишь к тому, что осцилляции одного периода исчезают, а

вместо них появляются осцилляции другого периода. Наличие осцилля-ций с меньшим периодом можно объяснить наличием собственной, несвязанной с изгибом зон затворным напряжением потенциальной ямы, вблизи поверхности. Наличие такой потенциальной ямы, обусловлено тем, что на поверхности пластины электронные и дырочные волновые функции равны нулю.

Перечисленные результаты выносятся на защиту.

Научная ценность диссертационной работы состоит в существенном продвижении в понимании электронного транспорта в системах с металлической проводимостью в сильном магнитном поле.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 24-ом (Тбилиси, 1986), 26-ом (Донецк, 1990) и 31-ом (Москва, 1998) Всесоюзных совещаниях по физике низких температур; Всесоюзной школе по физике поверхности (Ташкент, 1983 г.); 12-ой Всесоюзной конференции по физике полупроводников (Киев, 1990 г.); 20-ой (Солоники, 1990),.23-ей (Берлин, 1996), 24-ой (Иерусалим 1998), Международных конференциях по физике полупроводников, 19-ой Международной конференции по физике низких температур (Брайтон, 1990), а также на ряде других конференций.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения, списка цитированной литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, включая 6 таблиц и 61 рисунок.

Краткое содержание работы

Введение

Даны общая характеристика диссертационной работы и краткий обзор проблем, исследованных в ней. Объяснено, почему квазиодномерные эффекты влияют на электронный транспорт.

Квазиодномерность движения электрона заключается в том, что смещение электрона поперек магнитного поля г± за время пробега вдоль магнитного поля то меньше магнитной длины 1в = Ьс/еВ и радиуса экранирования гд

г±<1в < г0. (4)

Если гх < Го, то нельзя считать, что все акты рассеяния электронов независимы, как обычно принято. В этом случае рассеяние поперек магнитного поля можно рассматривать как дрейф в скрещенных полях: электрическом поле примеси и внешнем магнитном поле. Электрон, рассеявшись на какой-либо примеси, много раз возвращается в поле этой примеси в процессе своего хаотического квазиодномерного движения вдоль магнитного поля (см. рис.1) прежде, чем сместиться поперек магнитного поля на расстояние порядка гд. При этом в поле рассматриваемой примеси электрон каждый раз смещается (дрейфует) примерно в одном и том же направлении 1 (см.рис.1) на одно и то же расстояние аСгд, и поэтому нельзя считать, что смещения электрона во всех актах рассеяния независимы. Пусть за время тд, в течение которого электрон смещается поперек магнитного поля на расстояние

'Впервые учет возвратов был сделан в работе [13] при вычислении поперечной проводимости неоднородных сред.

порядка го, он взаимодействует с Р примесями по М раз с каждой. В этом случае для вычисления Охх смещения под действием одной примеси следует сложить линейно и лишь затем просуммировать квадраты суммарных смещений под действием различных случайно расположенных примесей

ихх ~ 2 ~ 2ТИМ , (5)

в то время как в случае независимых актов рассеяния коэффициент диффузии был бы в М раз меньше

2 т0 2 тл ^ >

Поперечное движение электрона на масштабах, меньших радиуса экранирования го, имеет недиффузионный характер и лишь на масштабах, больших го, становится диффузионным. Шаг такой диффузии - гд.

Если г± меньше магнитной длины 1в - характерного размера волновой функции электрона поперек магнитного поля, то ситуация оказывается близкой к одномерной, в которой, как известно [14, 15], все электроны локализованы в результате интерференционных эффектов. Поэтому продольная проводимость в КП оказывается гораздо меньше друдевской [16]). В первом приближении, пренебрегая зависимостью потенциала от поперечных координат х и у, можно считать электрон локализованным и рассматривать, что происходит с этим локализованным состоянием с течением времени (см. Гл.З). Под действием поперечных составляющих неоднородного электрического поля примесей оно начнет дрейфовать поперек магнитного поля (см. рис.2). Кроме того, время его жизни на дрейфовой траектории будет, по- видимому, конечным. Хотя квазиодномерные (С^-Ш) локализационные эффекты

Рис. 1: а. Движение электрона в поле примесей (вертикальные линии). Примеси схематично изображены эллипсами. Короткие стрелки указывают направления дрейфа. Магнитная длина и смещение электрона за время пролета поля примеси малы по сравнению с радиусом экранирования, б. Движение квазилокализованного электрона (затемненные области) в поле примесей (эллипсы). Некоторое время электрон дрейфует поперек магнитного поля, затем перескакивает на другую дрейфовую траекторию.

не приводят к полному подавлению проводимости вдоль магнитного поля, они существенно уменьшают ее.

Помимо обсуждаемых выше одноэлектронных эффектов, на электронный спектр и транспорт в КП существенное влияние оказывает электрон-электронное взаимодействие. Согласно теории для электронного газа на положительном однородном фоне в КП взаимодействие может привести к образованию волн зарядовой плотности, вигнеров-ского кристалла или других коррелированных состояний [17]. Такие

эффекты, возможно, имеют место в полуметаллах [18]. В диссертации этот круг вопросов не рассматривается. В легированных полупроводниках концентрация заряженных примесей N всегда больше или равна концентрации электронов п. Поскольку примеси распределены случайным образом, вряд ли можно ожидать, что электроны образуют какое-либо регулярное состояние в неупорядоченном потенциале примесей. Но и в этой неупорядоченной системе электрон-электронное взаимодействие оказывает существенное влияние на плотность состояний и проводимость из-за возрастания с ростом магнитного поля относительной величины квантовых поправок [11,12]). Первое экспериментальное подтверждение этого теоретического предсказания получено в диссертационной работе (Гл.8.1). В квантовом пределе квантовые поправки за счет электрон-электронного взаимодействия могут стать порядка единицы. Это означает, что электрон-электронное взаимодействие может сильно влиять на свойства неупорядоченной электронной системы в КП и, возможно, координально меняет ее свойства.

Глава 1. Фермиевский электронный газ в квантовом пределе по магнитному полю

Проанализировано поведение различных характеристик фермиевского (вырожденного) электронного газа в сильно легированных полупроводниках. Приведены выражения для времен релаксации с учетом экранировки, рассчитанной в приближении случайных фаз. Проанализирована применимость борновского приближения. В некомпенсированных полупроводниках с металлической проводимостью борновское приближение справедливо до тех пор, пока магнитное поле В много меньше

поля перехода металл-диэлектрик Вм1■ Обсуждается область существования квантового предела в полупроводниках. Построены расчетные зависимости полей перехода в квантовый предел Вес^ь и Вм1 от концентрации электронов п для некомпенсированного п-1пЭЬ и проведено сравнение с экспериментальными данными.

При приближении к переходу металл-диэлектрик длина пробега 1о и длина волны электрона А^ оказываются порядка аь - радиуса локализации электрона вдоль магнитного поля на изолированной примеси, а радиус экранирования порядка магнитной длины 1В - радиуса локализации поперек поля.

Глава 2. Поперечная проводимость с учетом корреляций актов рассеяния

Как уже отмечалось выше, в КП нельзя считать все акты рассеяния независимыми, и движение электрона поперек магнитного поля следует считать диффузионным лишь на масштабах больших гд. Коэффициент диффузии в этом случае можно записать в виде £)и ~ Гд/тр, и задача сводится к нахождению времени смещения электрона поперек магнитного поля тд на расстояние порядка то- Для того, чтобы оценить т0, найдем смещение электрона в зависимости от времени для ДХ(^ меньших гд. Время тд найдем из уравнения ДХ(тд) и гд.

Чтобы найти ДХ(£), воспользуемся тем, что вероятность обнаружить электрон повторно в поле рассматриваемой примеси через время 4 равна

где Бгг - коэффициент диффузии вдоль магнитного поля. Рассмотрим

сначала область классического экранирования (кргц 1), считая, что Ер Щ. Так как Го 1в, задачу можно рассматривать в дрейфовом приближении. Средняя скорость поперечного дрейфа за время t под действием электрического поля £d ~ е/ког\> только одной примеси равна

Vi~^WD = «говшуг (8)

Соответствующее смещение равно Sxi(t) Vdt. Число примесей, с которыми электрон взаимодействует за время t,

P(t) ~ Nrl^Dj. (9)

В силу случайного расположения примесей квадрат полного смещения электрона равен

A^(f)2 ~ Sx^Pit) ~ (jLyND:wtw (10)

Приравнивая правую часть выражения (10) к r2D, находим время

(11)

и коэффициент диффузии

/ \4/3

Поперечная проводимость вырожденного электронного газа описывается выражением (1). Используя выражения для холловской проводимости аху = пес/В ахх , для плотности состояний в КП и радиуса экранирования, поперечное сопротивление (рхх = axx/aly) можно записать в виде

- A mew'*BW 1/3 44/3^13/3пИз&гщ^9" UJ ' ( }

12

Глава 3. Квазиодномерные локализационные эффекты

Влияние локализационных эффектов на продольную проводимость azz впервые рассмотрено Абрикосовым и Рыжкиным [16] на основе скей-линговой гипотезы. Для случая рассеяния на ионизированных примесях при г^1 <С kz lßl они получили

~ ozzfi{kFlB)2\n{l/kFlB) ос ß-6lnß, (14)

где azz¡о = пе2то/т, кр - волновое число электрона вдоль магнитного поля.

Другой подход к задаче состоит в том, чтобы рассматривать движение квазилокализованного электрона. Как уже отмечалось во введении, пренебрегая изменением примесного потенциала на масштабах ~ Iß можно считать, что электрон локализован. Радиус локализации вдоль магнитного поля равен Alo [15] и поперек поля - 1в■ Учет поперечной компоненты электрического поля примесей приводит к дрейфу электрона (см. рис.2). Можно ожидать, что электрон делокализуется, когда сместится поперек магнитного поля настолько, что изменятся условия локализации. При этом электрон смещается вдоль магнитного поля на расстояние порядка Iо и коэффициент продольной диффузии равен

(15)

Tdl

где T,¡i ~ время делокализации. Полученный таким образом результат совпадает с точностью до логарифмического множителя с результатом работы [16]

Изложенный в Гл.2 вывод выражений для поперечной проводимос-

ти (1) и поперечного сопротивления (13) остается справедливым и при наличии квазиодномерных локализационных эффектов. Локализаци-онные эффекты влияют только на вероятность обнаружить электрон в поле примеси, что учитывается через коэффициент диффузии

Подавление локализационных эффектов неупругими процессами должно приводить к росту продольной проводимости агг при повышении температуры и согласно выражению (1) к уменьшению поперечной проводимости (тхх. В рамках старых теорий температурная зависимость проводимости обусловлена электрон-фононным рассеянием, которое приводит к противоположным результатам.

Глава 4. Электрон-электронное взаимодействие

Электрон-электронное взаимодействие может влиять на проводимость несколькими способами. Во-первых, при Т > Н/то оно ослабляет С^-Ш локализационные эффекты, приводя к росту продольной проводимости при повышении температуры. За время то переменное электромагнитное флуктуационное поле изменяет случайным образом фазу электрона на величину порядка единицы при температуре Т^ (см. выражение (2)). Это означает, что выше этой температуры электроны делокали-зованы и продольная проводимость аг2 описывается формулой Друде. При этом по-прежнему справедливо соотношение (1) между поперечной и продольной проводимостью. Основной вклад в сбой фазы вносят флуктуации с [и> — урКг) ~ 1/то, т.е. взаимодействие электрона с близкими по скоростям другими электронами.

Во-вторых, при низких температурах Т < Н/т возникают квантовые поправки к одночастичной плотности состояний (ОЧПС) ивр вблизи

уровня Ферми и к диагональным компонентам тензора проводимости <тц [11, 12]). В трехмерном случае относительные величины поправок к 04 ПС на уровне Ферми ^'ик ац равны

VF

uF(DxxDyyD ZZ

Л - константа взаимодействия порядка единицы. В нулевом магнитном поле величина этих поправок мала ~ (h/Ерт)2. В классически сильном поле они возрастают в (шст)2 раз в результате уменьшения коэффициента диффузии поперек магнитного поля и становятся порядка

6сгц (ЬшЛ2

(17)

в то время как 6аху = 0.

Формальная подстановка значений величин, входящих в выражение (16), для квантового предела в случае рассеяния на точечных дефектах (Q-1D локализационные эффекты мало существенны в этом случае) приводит к 5<тц/<тц ~ — 1. Следовательно, взаимодействие становится сильным эффектом, и выражение (16), полученное на основе теории возмущений, неприменимо. В случае рассеяния на ионизированных примесях можно попробовать оценить 5ац/сгц , используя выражение (16), взяв в качестве г время тр, за которое электрон смещается поперек магнитного поля на расстояние rD и движение электрона приобретает характер трехмерной диффузии, используя соотношение Dxx ~ t2d/td и выражения (12), (14). Для случая классического экранирования (kf-rj) 1) получим

6tтц 1

ос

В4/3. (18)

он (кРго)Ф в области квантового экранирования отношение 6<тц/ац ~ —1.

Обсудим теперь, как в рамках современных представлений могла бы вести себя проводимость при низких температурах Т < ft/тд в результате электрон-электронного взаимодействия. В области классического экранирования квантовые поправки к проводимости малы и, так как диффузия электрона имеет трехмерный характер для t > гд, пропорциональны у/Т, как в нулевом или классически сильном магнитном поле. В области квантового экранирования имеются две возможности.

1. Проводимость, хотя и существенно меняется при понижении температуры, остается металлической при Т = 0 с ахх, ахх, azz, аху ф 0.

2. При Т = 0 вблизи уровня Ферми ОЧПС vsp мала и электронные состояния локализованы, в то время как ниже уровня Ферми остаются делокализованные состояния. В этом случае при Т 0

cruu, azz 0, аху -» const, (19)

Рхт, руу -»■ о, р22 -»■ сю, рху -> const'1, (20)

Будем называть такое состояние холловский проводник. Возможность такого поведения тензоров проводимости и сопротивления обсуждалась также Гальпериным (Halperin [22]) для относительно чистой системы в случае возникновения запинингованных волн спиновой плотности.

При Т < h/то электрон-электронное взаимодействие должно приводить к уменьшению ахх и azz при понижении температуры, в то время как при более высоких температурах ахх зависит от температуры противоположным образом.

Глава 5. Проводимость больцмановского (невырожденного) электронного газа при Т <С 1гшс.

Рассмотрены экранировка, рассеяние и область существования больцмановского газа в КП. Найдены условия, при которых в компенсированных полупроводниках квазиодномерные локализационные эффекты могут влиять на проводимость. Приведены выражения для продольной проводимости с учетом реальной экранировки в КП.

Характер поперечной проводимости ахх больцмановского электронного газа в полупроводниках принципиально отличен от характера поперечной проводимости фермиевского газа. При усреднении по энергии

(21)

с коэффициентом диффузии (12)

БХХ{Е) ос £>гг(ЯГ1/3 (22)

интеграл (21) расходится при Е 0. Можно попытаться оценить проводимость ахх, обрезав интегрирование при энергии равной средней амплитуде примесного потенциала

ит ~ ~ (23)

где 11о = е2Лг2/з/«оп1^3- Однако такой способ действий приводит к неверному результату по крайней мере в случае, когда длина волны Хц электрона с энергией 1/т много меньше радиуса экранирования гд. Это условие выполняется при температурах

где ио - плазменная частота Еь - воровская энергия в нулевом магнитном поле.

Оказывается, что основной вклад в проводимость в этом случае вносят электроны с малыми энергиями

где Ес - порог подвижности, зависящий от температуры. Их движению вдоль магнитного поля препятствуют непроницаемые горбы примесного потенциала, но они способны обходить эти горбы за счет дрейфа поперек магнитного поля. Хотя число таких электронов мало, они гораздо подвижнее поперек поля, чем электроны с большей энергией, так как, будучи зажатыми между двумя горбами примесного потенциала, они дрейфуют примерно в одном направлении до тех пор, пока не сместятся на расстояние порядка гд. Коэффициент диффузии таких электронов

Здесь Уг) ~ сит/еВ - скорость дрейфа электронов. Направление дрейфа электрона с энергией £7 > и?, свободно движущегося вдоль магнитного поля, часто меняется случайным образом. Поэтому он смещается поперек магнитного поля на расстояние порядка гр за гораздо большее время, чем электрон с энергией < ит.

Для того, чтобы оценить вклад низкоэнергетических электронов в проводимость, подставим в выражение (21) Е ~ 1/т, коэффициент диффузии (26) и интегрирование заменим умножением на 11т. Тогда найдем поперечную проводимость

ЕС<Е< ит,

(25)

сит

(26)

ГоУО ~ —

С/о\9/8 е13/4сп5/8./У3/4 •

Т) ~ кГвТЭ/« '

и, учитывая, что ахх аху = пес/В, для поперечного сопротивления получаем выражение (3).

Глава 6. Проводимость п-ГпБЬ и п-1пАз в квантовом пределе. Эксперимент

Для экспериментального изучения транспорта в КП в наибольшей степени подходят монокристаллы узкозонных полупроводников 1пЭЬ и 1пАэ п-типа, имеющие простой изотропный спектр, низкую критическую концентрацию пс, при которой происходит переход металл-диэлектрик в нулевом магнитном поле и хорошее качество. В них достигается наибольшее отношение полей Вм1 и Ве<зь для случая фер-миевской статистики и наибольшее отношение Ншс/Т для случая больц-мановской статистики.

Образцы длиной около 1 см и поперечными размерами 1-2 мм с ножками для потенциальных контактов вырезались электроискровым станком, а затем обрабатывались травителем СР-4А. Концентрация электронов п определялась из константы Холла. Концентрация ионизованных примесей N в слабо легированных образцах находилась из результатов измерения сопротивления в нулевом магнитном поле по формуле Брукса- Херринга. В сильно легированных образцах п-ГпЭЬ с п > 1016 см-3 N « п, так как остаточная концентрация акцепторов ~ 1014 см"3.

Фермиевский газ

Существенный интервал металлической проводимости сильно легированных некомпенсированных (и тем более компенсированных) полу-

проводников в КП возможен только при концентрации электронов п, на несколько порядков большей, чем пс. Но даже в этом случае не удается достичь большой разницы между полем Beql и полем Bmi и того, чтобы неравенства (4), определяющие квазиодномерность движения электрона, были сильными. Поэтому обсуждавшиеся выше квазиодномерные эффекты не очень велики, но тем не менее, они проявляются достаточно отчетливо.

Несмотря на то, что теория, как без учета Q-1D локализационных эффектов (Argyres, Adams [3]), так и с их учетом (Косарев и др.[19]), предсказывает сначала рост pzz в области классического экранирования, затем падение в области квантового экранирования и затем снова рост при приближении к переходу металл-диэлектрик, никто не наблюдал падающего участка. Наблюдается лишь небольшое уменьшение и затем рост производной dlnpzz/dlnB. Отсутствие падающего участка, по-видимому, связано с тем, что поле Bqs близко к полю Bmi, и поэтому условие квантового экранирования кргв <§С 1 не реализуется.

Соотношение (13) хорошо выполняется в зависимости от магнитного поля и концентрации электронов при Т « 1.5 К, при которой локализационные эффекты уже насыщаются, а электрон-электронное взаимодействие еще несущественно (см. ниже). Для проверки этого были совместно построены зависимости рхх и СnBs^pl{3m(B)/m от магнитного поля для набора образцов некомпенсированного InSb с различными концентрациями электронов в диапазоне 1 — 5х1016см"3 Множитель m(B)/m учитывает зависимость эффективной массы электронов от магнитного поля. Коэффициенты С„ выбирались так, чтобы добиться наилучшего совмещения пар кривых, относящихся к одному образцу. Зависимость Сп от п хорошо согласуется с теоретически

предсказанной С„ ос п~7/3. Извлеченный из экспериментальных данных численный коэффициент в выражении (13) равен ¡3\ = 2.1. Величина сопротивления рхх оказывается в 2-3 раза больше, чем предсказывает теория Адамса и Холстейна [4]. Это соответствует тому, что корреляции актов рассеяния приводят к увеличению коэффициента диффузии поперек магнитного поля а значит, и сопротивления рхх и ахх/&ху с* Ал- Аппроксимация экспериментальных данных степенной зависимостью рхх ос Вр дает р = 3.6, в то время как начальный участок кривой, вычисленной по формулам Адамса и Холстейна, аппроксимируется зависимостью рхх ос В3 .

Изучение температурных зависимостей различных компонент тензора сопротивления и проводимости 1пБЬ и 1пАв в квантовом пределе в широком диапазоне температур от 0.05 до 15 К показали, что диагональные компоненты довольно сильно зависят от температуры, в то время как холловская проводимость изменяется с температурой очень слабо. Эти температурные зависимости нельзя объяснить в рамках теории Адамса и Холстейна [4].

Продольное сопротивление р22 уменьшается при повышении температуры во всем диапазоне температур и магнитных полей. Уменьшение продольного сопротивления ргг при повышении температуры можно объяснить подавлением С^-Ш локализационных эффектов, причем частота электрон-фононного рассеяния недостаточно велика, чтобы играть какую-либо роль. Согласно экспериментальным данным время неупругого рассеяния при Т « 10 К должно быть всего лишь в несколько раз меньше, чем упругое время то ~ Ю-12 — Ю-13 с, в то время как время электрон-фононного рассеяния при Т = 10 К порядка Ю-9 - Ю-10 с. По-видимому, уменьшение р22 обусловлено подавлением

(З-Ш локализационных эффектов в результате сбоя фазы электронов электромагнитными флуктуациями.

Поперечные проводимость ахх и сопротивление рхх « (тхх/&1у немонотонно зависят от температуры в КП. При понижении температуры ахх сначала возрастает, причем имеются интервалы магнитных полей и температур, где выполняется соотношение (1). Извлеченный из температурных зависимостей проводимости 1пЭЬ коэффициент Д яз 2 в выражениях (1) и (13), близок к величине /?х = 2,1, полученной из полевых зависимостей. В области низких температур меньших 1 К поперечная проводимость, также как и продольная, убывает по закону близкому к логарифмическому.

Тот факт, что при низких температурах диагональные компоненты тензора проводимости убывает при понижении температуры, а хол-ловская проводимость не меняется, и то, что это убывание усиливается с ростом магнитного поля в области классического экранирования, согласуется с предположением о том, что при низких температурах температурная зависимость проводимости определяется электрон-электронным взаимодействием. При приближении к полю перехода металл-диэлектрик Вм1 отношение рхх(1К)/р1г(0.08 К) падает и становится меньше 1. Однако в рамки теории квантовых поправок не укладывается то, что температурные зависимости логарифмические, а не А + Ву/Т, и то, что убывает при понижении температуры быстрее, чем рхх.

Больцмановский газ

Приведены результаты систематического изучения продольной и поперечной проводимости большого числа образцов пЛпЭЬ с концентрациями электронов п от 5 х 1012 до 1,2 х 1016 см-3. Температурные зависимости продольного сопротивления ргх качественно похожи на на температурные зависимости сопротивления без поля ро■ Ниже 50 К оно определяется рассеянием на заряженных примесях и возрастает при понижении температуры. Выше 60 К доминирует рассеяние на фононах и сопротивление ро возрастает при повышении температуры.

Поведение продольного сопротивления больцмановского электронного газа в образце 1пБЬ с концентрацией электронов п = 1015 см-3 достаточно хорошо согласуется с теоретическими представлениями. С ростом поля при переходе в УКП оно падает за счет подавления малоуглового рассеяния и затем лишь слабо зависит от магнитного поля. Падение должно усиливаться с уменьшением концентрации электронов п в результате возрастания радиуса экранирования. В действительности, оно уменьшается и при достаточно малых п магнитосопротивление становится положительным. При концентрациях около 1013 см-3 расхождение эксперимента и теории достигает 30 раз в поле В = 11 Т. Такая разница не может быть объяснена (З-Ш локализационными эффектами, описанными выше.

Поведение продольного сопротивления можно качественно объяснить, предположив, что существенное влияние на нее оказывают флуктуации примесного потенциала с амплитудами большими средних 11т (Ит < Т). Они встречаются редко, но тем не менее, в силу квазиодномерности движения (медленного поперечного смещения) даже

электрон с энергией Т < Е < {¡1 может оказаться на некоторое время запертым между двумя такими флуктуациями. Это должно привести к уменьшению продольной проводимости и росту сопротивления. При уменьшении концентрации электронов растет радиус экранирования и средняя амплитуда флуктуационного потенциала. Соответственно уменьшается расстояние между запирающими флуктуациями и их размер. Это приводит к увеличению расхождения результатов теории [3] и экспериментальных данных.

Поперечное сопротивление больцмановского газа в 1пБЬ в широком диапазоне концентраций электронов хорошо описывается выражением (3). Зависимости рхх от магнитного поля близки к линейным, причем, чем меньше Т/Ншс, тем лучше линейность. Температурные зависимости рхх близки к Т-9/8 в диапазоне температур 20-80 К. При фиксированных температуре и поле, рхх/Иг^ ос п-11/8, как следует из выражения (3). Найденный из эксперимента численный коэффициент в выражении (3) равен = 0.3.

Глава Т. Квантовый эффект Холла в пленках с трехмерным электронным спектром

Как, известно, целочисленный квантовый эффект Холла (ЦКЭХ) в двумерных системах (2Б) обусловлен дискретностью электронного спектра в магнитном поле. Нами обнаружен ЦКЭХ в пленках с трёхмерным спектром (эпитаксиальные пленки сильно легированного п-СаАэ толщиной й = 500 — 1400 А большей длины свободного пробега электронов I = 200 — 300 А). Без учета квантовых диффузионных эффектов в электрон-электронном взаимодействии электронная система исследо-

ванных образцов имеет такой же спектр как и массивные монокристаллы (нет размерного квантования). Однако при низких температурах корреляционные длины Ь^ — (Оггтч>)11'2 и Ьт = (ОггН/квТ)112 становятся больше толщины пленки и система становится двумерной по отношению к квантовым диффузионным эффектам.

Используемые образцы были изготовлены методом молекулярно-лу-чевой эпитаксии. На подложку из СаАэ (100) последовательно наращивались слой нелегированного СаАэ (0.6 ¡яп), периодическая структура 20 х СаАз/А1Аз (монослои 10/5) или 30 х СаАв/А^Са^Аз (10/10 нм), слой нелегированного СаАв (0,5-1 /хт), слой сильно легированного кремнием СаАэ (с£ = 500 — 1400 А) с различными концентрациями доноров (81) (1,1,5, 3 х1017 см-3) и защитное покрытие из нелегированного СаАв (0.1-1 /хт) . Кусочки, выращенных методом молекулярно-лучевой эпитаксии шайб, протравливались на глубину 1,5 мкм так, чтобы остались прикрытые фоторезистом образцы шириной 0,2 мм и длиной 3 мм с ножками для контактов. Объемная плотность электронов тг в слое сильно легированного п-СаАв определялась по периоду осцилляций Шубникова-де Гааза. Подвижности электронов ц, найденные из сопротивления В.хх в нулевом магнитном поле и холловского сопротивления Яху в линейной области слабых магнитных полей при Т = 4.2 К, близки к подвижностям массивных-монокристаллических образцов с сопоставимыми концентрациями электронов. Средние толщины <1ех слоев, найденные делением концентрации электронов М, на единицу площади пленки, определенной из холловских измерений, на объемную концентрацию п близки к номинальным толщинам

Измерения выполнены на семи образцах с различными объемными концентрациями электронов тг = 0,8 — 2,5 х 1017 см-3, подвижностями

электронов при Т = 4,2 К /х = 1000 — 2600 см2/Вс и толщинами <1 = 500 — 1400 Л. На рис.2 и 3 приведены зависимости холловских сопротивлений Л1у и проводимостей Сху = ЯХу/(Я1у+Я.1х), и поперечных сопротивлений Яхх (на квадрат) и проводимостей Охх = 11хх/(112ху + В?хх) для образца толщиной (1 = 1000Л с концентрацией п — 1,8 х 1017 см-3 и подвижностью электронов д — 2400 см2/Вс при разных температурах в перпендикулярном и наклонном по отношению к плоскости образца магнитном поле.

Рис. 2: Зависимость Ахх от магнитного поля образца №4 при Т = 4,2 К и 0,08 К при различных углах наклона поля. Кривые для Г = 4,2 К сдвинуты вверх на ОД.

ДЛхх = ЯххЫ - Яхх(60°).

При температуре Т — 4.2 К поперечное сопротивление пленок Яхх подобно поперечному сопротивлению массивных монокристаллов (см. рис.2: с ростом поля сначала наблюдаются осцилляции Шубникова-де Гааза и затем сильный рост сопротивления в квантовом пределе с одной заполненной подзоной Ландау. При наклоне магнитного поля со-

«5

ГЦ

0)

1< х

О

>> х

О

1;—1-■-1-1---- т--• - т •

............Т = 4,2 К

- 0,08

с

ху

/ о \

< . *

10 15 В, Тл

20

Рис. 3: Зависимости холловской вху и поперечной (?1Х (на квадрат) проводимости пленки п-СаАэ №4 от магнитного поля при различных температурах.

противление практически не меняется, что является подтверждением трехмерности спектра электронов.

Ниже 1 К в квантовом пределе появляются ступени в холловском сопротивлении КХу вблизи квантовых значений /г/ге2 (для разных образцов г = 2,4,6,8) и минимумы в ЯХх и в проводимости Охх = КХХ/{Я1Х+ Я2у) (см. рис. 3), в то время как с осцилляциями Шубникова-де Гааза ничего не происходит. При повороте магнитного поля плато Я.ху и минимумы Нхх одновременно сильно подавляются.

Холловская проводимость С?гу практически не зависит от температуры в области магнитных полей меньших Вядь- В больших полях при низких температурах на зависимостях Охх от В возникают минимумы, а на зависимостях йщ от В ступени. Во всех случаях, когда максимальное значение Сху при.Т = 4, 2 К существенно больше ге2//г,

минимумы Си и \<Юху/йВ\ возникают в тех местах, где Сху(В) при Т = 4,2 К принимает квантовые значения ie2|h■ (см. рис.3).

В двумерных системах минимумы проводимости возникают при целочисленных значениях фактора заполнения = Л^/г/еВ, соответствующих числу заполненных уровней Ландау. Для наших образцов VI отличается от г. Это отличие тем больше, чем больше отношение Схх/С?^. Величина г///г - 1 ос (Схх/Сху)2.

На рис.4 приведены зависимости Схх^п и £?1х,тах от нормированной температуры Т/То Для различных плато (г = 2, 4, или 6) исследованных образцов (кроме №5, чтобы избежать переполнения графика экспериментальными точками). Для минимума г = 2 образца №4 взято То = 1 К. Для других температурных зависимостей Схх<т{П(Т) величины То были выбраны так, чтобы уложить их на единую кривую. В большом диапазоне Т/То температурные зависимости проводимости (Зи,тт ~ логарифмические и описываются выражением

Выше 1 К, температурные зависимости отклоняются от логарифмических и становятся слабыми вблизи Т = 4 К. Величины То зависят от проводимости (3Х1)о при температуре 4.2 К, при которой интерференционные эффекты, по-видимому, незначительны. Значения То хорошо описываются выражением

Коэффициент при логарифмическом члене в уравнении (28) несколько больше, чем максимально допустимое значение 1/п в теории квантовых поправок [3]. Только проводимость наиболее толстого образца

(28)

Т0 = 117ехр(-ЗС?11,о/1/е2) [К] .

(29)

2,5

1,5

«

О

Я 1,0

0,0

0,01 0,1

1

10

т/т.

о

Рис. 4: Зависимости проводимостей С111тга и Схх<тах в минимумах и в максимумах от нормированной температуры Т/Го • Сплошная и штриховая прямые соответствуют зависимостям бц^п = е2//г[1.32 + 1.13/7Г 1п(Т/Т0)] и С11|ГПШ = е2//г[1.39+1/7г 1п (Т/Го)], соответственно. Числа в первой колонке - номера образцов, во второй - квантовые номера минимумов г, в третьей - номера максимумов.

№1 в минимумах (?Х1,тгп, которая меняется слабо (5%), лучше описывается выражением подобным выражению (28), с коэффициентом при логарифме 1/-7Г (см. !рис.4). Исследование проводимости образцов №2 и 4 в магнитных полйх меньших 8 Т, где (3ХХ1о > 4е2//г, хорошо описываются теорией квантовых поправок.

На образцах из шайбы № 7 ЦКЭХ становится хорошо выраженным и температурная зависимость Яхх ниже 0,5 К близка к

с Тг = 11,9 К.

Экспериментальные данные нельзя объяснить как результат умень-

Дхх = 5й/е2 ехр[-(Тх/Т)112}

(30)

шения плотности состояний между уровнями размерного квантования. Для возникновения уровней размерного квантования электрон должен свободно двигаться от одного края пленки до другого. В нашем случае длина свободного пробега в нулевом магнитном поле (200-300 А) в несколько раз меньше, чем толщина пленки. В квантовом пределе ¿о еще меньше. Из-за примесного потенциала уширение уровней размерного квантования больше, чем расстояние между уровнями размерного квантования. Для чистой пленки с толщиной (1 = 1000 А и Ыц = 1.3 х 1012 см-2, как в образце №4, три уровня размерного квантования (каждый из них с двумя ориентациями спина) было бы заполнено в поле 11.7 Т (в минимуме Схх). Разница между вторым и третьим уровнями (З2 - 22)(пН/с1)2/2тп равна 33 К. Уширение уровней Г > Н/т и 90 К. Вычисленный электронный спектр трансформируется в трехмерный уже при Г ~ 30 К. Выводы, следующие из вычислений подтверждаются тем, что в квантовом пределе Ихх и Я1г/ практически монотонны вплоть до температуры 1 К, в то время как все характерные энергии (кроме спинового расщепления) больше 30 К. Поведение ЦКЭХ в наклонном поле тоже свидетельствует в пользу того, что система не двумерная.

Предположение о том, что ЦКЭХ может наблюдаться и в системах с непрерывным спектром было высказано Хмельницким в 1983 г. на основе одноэлектронного рассмотрения [23]. Согласно такому рассмотрению, в пленке с высокотемпературными компонентами тензора проводимости в магнитном поле , (Зхх.о е2//г проводимость Схх должна уменьшаться при понижении температуры в результате интерференционных эффектов. В начале это уменьшение описывается квантовыми поправками второго порядка (поправки первого порядки подав-

лены магнитным полем). Когда С„ становится порядка 1, начинает проявляться квантование Сху. Однако, если Схх е2//г, то квантовые поправки, обусловленные электрон-электронным взаимодействием (первого порядка) гораздо больше одноэлектронных поправок (второго порядка). Поэтому электрон-электронное взаимодействие является главным фактором, определяющим уменьшение и одновременно плотности состояний на уровне Ферми при понижении температуры. Когда Схх достигает значения е2/Д, становятся существенны и лока-лизационные эффекты. В результате, при низких температурах электроны вблизи уровня Ферми оказываются локализованы и возникает кулоновская щель вблизи уровня Ферми. Диссипативная проводимость стремится к нулю при уменьшении температуры. В этом случае хол-ловская проводимость должна квантоваться согласно калибровочным соображениям Лафлина [20], которые справедливы и для трехмерных систем со щелью в спектре [21].

Экспоненциальное поведение сопротивления Нхх образцов №7 с р близким к 1/2 (см. выражение (30)) тоже свидетельствует в пользу того, что при понижении температуры возникает кулоновская щель, привязанная к уровню Ферми и двигающаяся вместе с ним при изме-. нении магнитного поля. Без щели следовало бы ожидать р близкое к 1/3.

Быстрое подавление ЦКЭХ тоже объясняется в рамках наших представлений. Величина квантовых поправок пропорциональна вероятности Р{{) повторно найти два диффундирующих электрона на расстоянии друг от друга порядка радиуса экранирования. В анизотропном про-

воднике

Ослабление диффузионных интерференционных явлений обусловлено ростом Суу при наклоне поля в результате подмешивания продольной проводимости:

Глава 8. Квантовые поправки к проводимости в классически сильном магнитном поле

Впервые экспериментально обнаружен предсказанный Альтшулером и Ароновым [11] рост в магнитном поле квантовых поправок к проводимости трехмерной системы (ЕЙ, легированный теллуром), обусловленных электрон-электронным взаимодействием. Зависимость 5агг(Т)/агг от температуры, магнитного поля и времени упругой релаксации электронов согласуются с выводами теории.

Экспериментально изучена проводимость пленок сильно легированного п-СаАв в зависимости от магнитного поля и температуры в сильных магнитных полях вплоть до квантового предела (Ншс = Ер). Хол-ловская проводимость (71у практически не зависит от температуры Т до тех пор, пока поперечная проводимость достаточно велика по сравнению с е2/Ь. В сильных полях, когда Схх становится сравнимо с е2//г, СХу начинает зависеть от Т. Разность проводимостей (71Х при двух температурах 4.2 и 0.35 К лишь слабо зависит от магнитного поля Н в широком диапазоне магнитных полей, в то время как Охх сильно меняются. Результаты объясняются квантовыми поправ-

ауу(а) — °ууЮ сое2 <* + о-22(0°) вт2 а.

(32)

нами к проводимости за счет электрон-электронного взаимодействия в диффузионном канале.

Глава 9. Влияние поверхности на проводимость

Экспериментально изучено поперечное сопротивление пластин висмута, в которых почти весь пропускаемый постоянный электрический ток концентрируется у поверхности (статический скин-эффект). Обнаружены резкая зависимость магнитосопротивления от угла наклона магнитного поля к плоскости пластины, уменьшение магнитосопротивления в параллельном поверхности магнитном поле при понижении температуры и немонотонная зависимость магнитосопротивления от температуры в наклонном магнитном поле. Феноменологически ре-.шена задача о сопротивлении пластины полуметалла в наклонном по отношению к плоскости пластины магнитном поле с учетом влияния поверхности. В сильных магнитных полях результаты эксперимента хорошо согласуются с теорией и позволяют определить ряд характеристик образцов. Однако в более слабых полях имеются значительные качественные расхождения между теорией и экспериментом.

Экспериментально исследованы квантовые осцилляции производной йКхх/и монокристаллических пластин висмута с затвором при различных напряжениях и между пластиной и затвором. Обнаружено, что при разных и осцилляции имеют различные периоды, один из которых совпадает с периодом осцилляций Шубникова-де Гааза электронов в объеме, а второй на 2.8% меньше. Эти периоды не зависят от и. Изменение и приводит лишь к тому, что осцилляции одного периода исчезают, а вместо них появляются осцилляции другого периода. На-

личие осцилляций с меньшим периодом можно объяснить наличием собственной, несвязанной с изгибом зон затворным напряжением потенциальной ямы вблизи поверхности. Наличие такой потенциальной ямы, обусловлено тем, что на поверхности пластины электронные волновые функции равны нулю.

Заключение

В диссертационной работе достигнут значительный прогресс в понимании электронного транспорта в металлических системах в сильном магнитном поле. Однако многие из рассмотренных проблем не решены до конца.

Хотя при рассмотрении влияния квазиодномерных локализационных эффектов на проводимость различные теоретические подходы приводят к одинаковым результатам с точностью до логарифмических множителей и численных коэффициентов, ни одно из решений не является строгим. Экспериментальные результаты.лишь подтверждают сам факт влияния этих эффектов и более менее согласующийся с теоретическими предсказаниями масштаб эффекта.

Выражение для1 поперечной проводимости (1), учитывающее многократность взаимодействия электрона с примесями, представляется правильным. Оно согласуется с экспериментальными данными. Однако стоит отметить, что из-за небольшой разницы полей Вм1 и Вес)ь интервалы магнитных полей и температур, в которых выполняется соотношение (1) небольшие.

Что касается влияния на проводимость электрон-электронного взаимодействия, то подтвердились предположения о том, что диагональные

компоненты тензора проводимости ахх и azz значительно уменьшаются при понижении температуры, а холловская проводимость аху не меняется. Неожиданным оказалось, что температурные зависимости сгхх и azz близки к логарифмическим, а не к зависимостям типа А + Dy/T, несмотря на трехмерный характер диффузии электронов, причем azz меняется с температурой быстрее, чем ахх. Эти факты требуют объяснения. Возможно, логарифмическое поведение температурных зависимостей проводимости обусловлено тем, что в квантовом пределе остается только четыре независимых степени свободы в фазовом пространстве (у, z, ку = —хоЩ, kz в калибровке Ландау) вместо шести

(я-! У, zi кх, ку, кг).

Наиболее интересный и до конца нерешенный вопрос - является электронная система в квантовом пределе металлом или холловским проводником (рхх, руу —¥ 0, pzz —> оо, рху —const при Т —> 0). Такое состояние в какой-то мере аналогично состоянию квантового эффекта Холла в двумерных системах, но без квантования рху и аху. В пользу холловского проводника свидетельствует логарифмический характер температурных зависимостей рхх и pzz, так как — lg Т —> оо при Т 0. К сожалению, не удается реализовать условия квантового экранирования, в которых продольное сопротивление pzz убывало бы с ростом магнитного поля. Именно в этом случае можно надеяться на то, что температурные зависимости диагональных компонент тензора сопротивления сильнее логарифмических.

Экспериментальные результаты дают основания считать, что квантование холловской проводимости пленок n-GaAs является следствием возникновения мягкой кулоновской щели вблизи уровня Ферми и обращения. диагональных компонент тензора проводимости в ноль при

Т = 0. Предложенное объяснение хорошо вписывается в рамки современных представлений о роли электрон-электронного взаимодействия и о квантовом эффекте Холла. Экспериментальных фактов противоречащих этим представлениям нет, но некоторые из них не объяснены, так как теория отсутствует.

Список статей,

в которых были опубликованы основные результаты диссертационной работы.

1. Мурзин С. С.

О проводимости в магнитном поле металлов и полупроводников с дефектами с дальнодействующим и короткодействующим потенциалом

Письма в ЖЭТФ 39, 567 (1984)

2. Мурзин С. С.

Электрон-электронное взаимодействие в сильном магнитном поле в висмуте, легированном теллуром Письма в ЖЭТФ 42, 137 (1985)

3. Мурзин С. С.

Переход металл-холловский диэлектрик? Письма в ЖЭТФ 44, 45 (1986)

4. Мурзин С. С.

Влияние эффектов локализации и корреляций в рассеянии на проводимость в ультраквантовом пределе Письма в ЖЭТФ 45, 228 (1986)

5. Егоров Ф. А., Мурзин С. С.

Температурные зависимости проводимости n-InSb и n-InAs в ультраквантовом пределе ЖЭТФ 94, 315 (1988)

6. Мурзин С. С., Головко Н. И.

Поперечная проводимость полупроводников в ультраквантовом магнитном поле в случае больцмановской статистики Письма в ЖЭТФ 54, 166 (1991)

7. Мурзин С. С.

Подавление локализации электромагнитными флуктуациями в квазиодномерных системах Письма в ЖЭТФ 55, 665 (1992)

8. Murzin S. S., Jansen A. G. М.

The question of a Hall-insulator state in the resistivity of a bulk semiconductor

in very high magnetic fields

J. Phys.: Condens. Matter 4, 2201 (1992).

9. Мурзин С. С., Попов П. В.

Продольная рроводимость больцмановского электронного газа в п-InSb в квантовом пределе по магнитному полю Письма в ЖЭТФ 58, 280 (1993)

10. Мурзин С. С.

Квантовые поправки к проводимости пленок n-GaAs в сильном магнитном поле

Письма в ЖЭТФ 67, 201 (1998)

11. Murzin S. S., Jansen A. G. М., and v. d. Linden P. Quantization of the Hall Conductance in a three-dimensional layer

Phys. Rev. Lett. 80, 2681 (1998)

12. Murzin S. S., Claus I. and Jansen A. G. M.

Quantized Hall effect in disordered GaAs layers with 3D spectrum in

tilted magnetic fields

Письма в ЖЭТФ 68, 305 (1998)

13. Murzin S. S., Claus I., Jansen A. G. M. et al

Quantum Hall effect induced by electron-electron interaction in disordered GaAs layers with a three-dimensional spectrum Phys. Rev. B59, 7330 (1999).

14. Мурзин С. С.,

О влиянии поверхности на поперечное магнитосопротивление висмута

ЖЭТФ 82, 515 (1982).

15. Мурзин С. С., Долгополов В. Т.

Квантовые осцилляции проводимости вблизи поверхности висмута Письма в ЖЭТФ 37, 584 (1983).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Titeica S., Ann. d Phys. 28, 128 (1935).

[2] Давыдов Б. И., Померанчук И. Я., ЖЭТФ 9, 1924 (1939).

[3] Argyres P. N., Adams Е. N., Phys. Rev. 104, 900 (1956).

[4] Adams E. N., Holstein T. D., Phys. Chem. Solid 10, 254 (1959) (Перевод в сб. "Вопросы квантовой теории необратимых процессов", М: Иностр. лит., 1961, с.255).

[5] Kubo R., Hasegawa Н., Hashitdume N., J. Phys. Soc. Japan 14, 56 (1959) (Перевод в сб. "Вопросы квантовой теории необратимых процессов", М: Иностр. лит., 1961, с.89)

[6] Гантмахер В. Ф., Левинсон И. Б., "Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках", М: Наука, 1984.

[7] Аскеров Б. М., "Электронныеявления переноса в полупроводниках", М: Наука, 1985.

[8] Kubo R., Miyake S. J., Hashitdume N., "Solid State Physics" 17, edited by F. Seitz, D. Turnbull, Accdemic Press, New York and London, 1965, p.269.

[9] Roth L. M., Agryes P. N., "Semiconductors and semimetals" 1,, edited by R. K. Willardson and A. C. Beer, New York: Accdemic, 1966.

[10] Hajdu J., Landwehr G., "Topics in Applied Physics" 57, edited by F. Herlach, Springer-Verlag, 1985, p. 17.

[11] Альтшулер Б. Л., Аронов А. Г., ЖЭТФ 77, 968 (1979).

[12] В. L. Al'tshuler and A. G. Aronov, "Electron-electron interaction in disordered systems", edited by A. L. Efros and M. Pollak, North-Holland, Amsterdam, 1985.

[13] Дрейзин Ю. А., Дыхне A. ML, ЖЭТФ 63, 242 (1972).

[14] Mott N. F., Twose W. D., Adv. Phys. 27, 405 (1979).

[15] Березинский В. Л., ЖЭТФ 65, 1251 (1973).

[16] Абрикосов А. А., Рыжкин И. А., ФТТ 19, 59 (1978); Abrikosov А. A., Ryzhkin I. A., Adv. Phys. 27, 405 (1979).

[17] MacDonald A. H.,,Brynt G. W., Phys. Rev. Lett. 58, 515 (1987)

[18] Miura N., Shimamoto Y., Nojiri H., Proc. of 23rd Int. Conf. on Phys. of Semicond., Berlin, 1996, p.177.

[19] Косарев В. В., Редько Н. А., Белицкий В. И., ЖЭТФ 100, 492 (1991).

[20] Laughlin R. В., Phys. Rev. В 23, 5632 (1981).

[21] Н. Aoki Н. and Т. Ando Т., Phys. Rev. Lett. 57, 3093 (1986).

[22] Halperin В. I., Japan. J. Appl. Phys. Suppl. 26- 3 26, 1913 (1987); "Condensed Matter Theories" edited by Vashista P. et al, New York: Plenum, 1987.

[23] Хмельницкий Д. E., Письма в ЖЭТФ 38, 454, (1983).

Введение

1 Фермиевский электронный газ в квантовом пределе

1.1 Экранировка.

1.2 Рассеяние.

1.3 Область существования квантового предела и поведение характерных длин

2 Поперечная проводимость с учетом корреляций актов рассеяния

3 Квазиодномерные локализационные эффекты

3.1 Продольная проводимость

3.2 Влияние электрон-фононного рассеяния

3.3 Поперечная проводимость

4 Электрон-электронное взаимодействие

4.1 Подавление квазиодномерных локализационных эффектов электромагнитными флуктуациями.

4.2 - Влияние на прыжки?

4.3 Квантовые диффузионные эффекты.

5 Проводимость больцмановского (невырожденного) электронного газа при Т

5.1 Экранировка, рассеяние и область существования больцма-новского газа.

5.2 Локализационные эффекты.

5.3 Продольная проводимость

5.4 Поперечная проводимость

6 Проводимость п-1п8Ь и пЛпАэ в квантовом пределе. Эксперимент

6.1 Образцы.

6.2 Фермиевский газ.

6.3 Больцмановский газ.

6.3.1 Продольное сопротивление.

6.3.2 Поперечное сопротивление.

7 Квантовый эффект Холла в пленках с трехмерным электронным спектром

7.1 Образцы.

7.2 Экспериментальные результаты.

7.3 КЭХ в наклонном магнитном поле.

7.4 Температурные зависимости проводимости Охх в минимумах и в максимумах.

7.5 Обсуждение.

8 Квантовые поправки к проводимости в классически сильном магнитном поле

8.1 Квантовые поправки к проводимости ЗБ монокристаллов висмута, легированного теллуром.

8.2 Квантовые поправки к проводимости пленок п-СаАэ.

9 Влияние поверхности на проводимость

9.1 Статический скин-эффект в висмуте в наклонном магнитном поле.

9.1.1 Теория

9.1.2 Образцы и методика

9.1.3 Экспериментальные результаты.

9.1.4 Обсуждение.

9.2 Квантовые осцилляции проводимости вблизи поверхности висмута

9.2.1 Метод измерений и образцы.

9.2.2 Экспериментальные результаты.

9.2.3 Обсуждение.

Электронный транспорт в квантовом пределе по магнитному полю

Изучение электронного транспорта в квантующем магнитном поле началось с обнаружения осцилляций Шубникова-де Гааза в 1930 году [1]. Вскоре появились первые теории (Titeica [2], Давыдов и Померанчук [3]). В пятидесятых годах было дано квантомеханическое обоснование результатов работ [2, 3] и получены конкретные выражения для проводимости при различных механизмах рассеяния (Argyres, Adams [4]; Adams, Holstein [5]; Kubo и др. [6], Argyres, Roth [7]). Согласно результатам [2, 3, 4, 5, б, 7] характер проводимости в квантовом пределе (КП) по магнитному полю, когда заполнена лишь нижняя подзона Ландау с одной ориентацией спина, не отличается принципиально от случая классически сильных магнитных полей (шст 1, где и>с - циклотронная частота, т - транспортное время релаксации). Проводимость вдоль магнитного поля azz описывается формулой Друде: пе2т0 zz, о = -, (1) m где п - концентрация электронов, tq - время пробега электрона до рассеяния назад и га - эффективная масса. Поперечная проводимость

Ухх = vfz2Dxx (2) пропорциональна плотности состояний ь>р на уровне Ферми и коэффициенту диффузии Dxx поперек магнитного поля, который выражается через характеристики микроскопических актов рассеяния [8]

В XX —

Здесь суммирование производится по столкновениям, испытываемым электроном в течение большого времени 5t, а Да^ - изменение среднего значения ж-координаты электрона при г-ом столкновении. Выражение (3) получено в предположении, что все акты рассеяния независимы, т.е. при каждом столкновении электрон смещается поперек магнитного поля случайным образом, независимо от предыдущих столкновений. Отличие квантового предела от случая классически сильных магнитных полей состоит лишь в том, что в КП плотность состояний на уровне Ферми и времена рассеяния зависят от магнитного поля.

Долгое время эти результаты были общепринятыми и вошли в ряд обзоров и книг [9, 10, 11, 12, 13]. Однако оказалось, что выражения (1) и (3) принципиально неприменимы в КП для наиболее важного с экспериментальной точки зрения случая рассеяния на ионизованных примесях. Это связано с квазиодномерным характером движения электронов, т.е. с тем, что смещение электрона поперек магнитного поля г± за время то меньше магнитной длины 1в = л/Кс/еВ и радиуса экранирования гд

Если г± < гп, то нельзя считать, что все акты рассеяния электронов независимы, и поэтому выражение (3) для Бхх неприменимо (Мурзин[14, 15], Поляков[16]). В этом случае рассеяние поперек магнитного поля можно рассматривать как дрейф в скрещенных полях: электрическом поле примеси и внешнем магнитном поле (КиЬо и др.[6]). Электрон, рассеявшись на какой-либо примеси, много раз возвращается в поле этой примеси в процессе своего хаотического квазиодномерного движения вдоль магнитного поля г± <1в < ги

4) см. рис.1) прежде, чем сместиться поперек магнитного поля на расстояние порядка г в При этом в поле рассматриваемой примеси электрон каждый раз смещается (дрейфует) примерно в одном и том же направлении 2 (см. рис.1) на одно и то же расстояние о < гд, и поэтому нельзя считать, что смещения электрона во всех актах рассеяния независимы. Пусть за время гд, в течение которого электрон смещается поперек магнитного поля на расстояние порядка г в, он взаимодействует с Р примесями по М раз с каждой. В этом случае для вычисления Ихх смещения под действием одной примеси следует сложить линейно и лишь затем просуммировать квадраты суммарных смещений под действием различных, случайно расположенных примесей, п Е.С.К^А*,,,)2 о»

Ас* «---~ —РМ , (5

2 тв 2 го ' . в то время как, согласно соотношению (3), коэффициент диффузии был бы в М раз меньше л» « и рРМ. (6)

2 то 2то

Поперечное движение электрона на масштабах, меньших радиуса экранирования т\р, имеет недиффузионный характер и лишь на масштабах, больших тв, становится диффузионным. Шаг такой диффузии - гв- Вычисление поперечной проводимости в этом случае приведено в Главе 2.

Если гменьше магнитной длины 1в - характерного размера волновой функции электрона поперек магнитного поля, то ситуация оказывается близкой к одномерной, в которой, как известно (Мои, Т-июве [19]; Березин-ский [20]), все электроны локализованы в результате интерференционных эффектов. Поэтому продольная проводимость в КП оказывается гораздо

ХВ случае одномерной диффузии число возвратов растет со временем пропорционально в то время, в трехмерном случае

2Впервые учет возврат однородных сред [17, 18]. как в трехмерном случае вероятность возврата мала.

2Впервые учет возвратов сделан Дрейзеным и Дыхне при рассмотрении поперечной проводимости нес с с electron ь В impurity V

Рис. 1: Движение электрона (вертикальные линии) в поле примесей. Примеси схематично изображены эллипсами. Короткие стрелки указывают направления дрейфа. Магнитная длина и смещение электрона за время пролета поля примеси малы по сравнению с радиусом экранирования. меньше друдевской (Абрикосов, Рыжкин [21]; Мурзин [15]; Поляков [22]; Косарев и др. [23], Мешков [24]). Пренебрегая зависимостью потенциала от поперечных координат х и у, можно считать электрон локализованным и рассматривать, что происходит с этим локализованным состоянием с течением времени (Мурзин [15]) (см. Гл.З). Под действием поперечных составляющих неоднородного электрического поля примесей оно начнет дрейфовать поперек магнитного поля (см. рис.2). Кроме того, время его жизни на дрейфовой траектории будет, по-видимому, конечным. Хотя квазиодномерные (С^-Ш) локализационные эффекты не приводят к полному подавлению проводимости вдоль магнитного поля, они существенно уменьшают ее.

Помимо обсуждаемых выше одноэлектронных эффектов, на электронный спектр и транспорт в КП существенное влияние оказывает электрон-электронное взаимодействие. Согласно теории для электронного газа на положительном однородном фоне в КП взаимодействие может привести к образованию волн зарядовой плотности, вигнеровского кристалла или других коррелированных состояний (МасБопаЫ, ВгупА [25] и ссылки в этой работе). Такие эффекты, возможно, имеют место в полуметаллах [26]. В диссертации этот круг вопросов не рассматривается. В легированных полупроводниках концентрация заряженных примесей N всегда больше или равна концентрации электронов п. Поскольку примеси распределены случайным образом, вряд ли можно ожидать, что электроны образуют какое-либо регулярное состояние в неупорядоченном потенциале примесей. Но г и в этой неупорядоченной системе электрон-электронное взаимодействие оказывает существенное влияние на плотность состояний и проводимость из-за возрастания с ростом магнитного поля относительной величины квантовых поправок (Альтшулер, Аронов [27, 28]). Первое экспериментальное подтверждение этого теоретического предсказания было получено в работе автора [29] (Гл.8.1). В квантовом пределе квантовые поравки за счет

Рис. 2: Движение квазилокализованного электрона (затемненные области) в поле примесей (эллипсы). Некоторое время электрон дрейфует поперек магнитного поля, затем перескакивает на другую дрейфовую траекторию. электрон-электронного взаимодействия могут стать порядка единицы. Это означает, что электрон-электронное взаимодействие может сильно влиять на свойства неупорядоченной электронной системы в КП и, возможно, ко-ординально меняет ее свойства (Мурзин [30] ; Murzin, Jansen[31]) (Глава 4).

В диссертационной работе пересмотрены также результаты для поперечной проводимости в ультраквнтовом пределе (Т <С hcoc) для случая рассеяния на заряженных примесей и больцмановской статистики электронов (Гл.5). Оказывается, что основной вкад в поперечную проводимость вносит малая группа электронов с энергиями Е <Т [37] (Гл.5.4).

Первые измерения магнитосопротивления в квантовом пределе для случая фермиевской статистики были выполнены несколько десятилетий назад. Наблюдавшиеся зависимости поперечного (Beckmann и др. [32]; Амир-ханов, Баширов [33]) сопротивления от магнитного поля оказались близки к предсказанным Адамсом и Холстейном [5]: рхх ос Вр с р « 3. рхх слабо зависит от температуры в диапазоне гелиевых температур (1,5-4,2 К). Поэтому сложилось впечатление, что проблема транспорта в КП в основном решена. Появление новых теоретических работ стимулировало более детальное экспериментальное изучение проводимости в КП, результаты которого [30, 31, 34, 35] приведены в Гл.6.1. Они в значительной степени подтверждают развитые теоретические представления, хотя остаются не решенными ряд важных вопросов.

Результаты детального экспериментального изучения сопротивления п-InSb в случае рассеяния на заряженных примесях и больцмановской статистики электронов [36, 37] (Гл.6.2) не описываются старыми теориями. Экспериментальные результаты для поперечного сопротивления хорошо согласуются с полученным теоретическим выражением [37] (Гл.5.4). Поведение продольной проводимости можно качественно объяснить, предположив, что существенное влияние на нее оказывают флуктуации примесного потенциала с амплитудами С/£, большими средних 11т (С^г < Т). Они встречаются редко, но тем не менее, в силу квазиодномерности движения (медленного поперечного смещения) даже электрон с энергией Т < Е < может оказаться на некоторое время запертым между двумя такими флук-туациями. Это должно привести к уменьшению продольной проводимости.

Квантовый эффект Холла в пленках с трехмерным электронным спектром

Еще более неожиданными оказались свойства пленок толщиной <1 большей длины пробега электрона вдоль магнитного поля до рассеяния назад /о • В них обнаружен целочисленный квантовый эффект Холла (ЦКЭХ) [43, 44, 45] (Гл.7). Для возникновения ЦКЭХ в двумерных системах дис-сипативные компоненты тензора проводимости должны быть малы, в то время как под уровнем Ферми имеются делокализованные состояния [38]. При одночастичном рассмотрении квантование в магнитном поле приводит к структуре уровней Ландау с локализованными состояниями в щели между уровнями и в результате этого к целочисленному ЦКЭХ. Щель в плотности состояний может быть вызвана электрон-электронным взаимодействием, приводящем к дробному ЦКЭХ [38]. ЦКЭХ наблюдается также в сильно анизотропных системах таких как сверхрешетки [39] или органические металлы [40, 41, 42], которые имеют квазидвумерный характер проводимости вследствие слабой связи между 2Б проводящими слоями. В этих случаях тоже имеется щели в плотности состояний в сильном магнитном поле и холловская проводимость квантуется = 2гДГе2//1 (здесь N - число 2Б слоев, г - целое число). В сверхрешетках щель возникает, когда Ншс становится больше, чем интеграл перекрытия между слоями В органических металлах в результате электрон-электронного взаимодействия возникают волны спиновой плотности, а значит и щель в электронном спектре.

Нами обнаружен ЦКЭХ в неупорядоченных пленках (сильно легированный п-СаАв) с толщиной (500-1400 А) большей длины свободного пробега электрона (200-300 А) [43, 44, 45]. Без учета диффузионных интерференционных эффектов электронная система в исследованных пленках п-СаАэ имеет трехмерный спектр, такой же как и спектр массивных образцов (размерное квантование отсутствует). Однако, при низких температурах корреляционные длины Ьф = (Д^т^)1/2 и Ьт = {рхгК1Т)112 становятся больше толщины пленки и система становится двумерной по отношению к квантовым диффузионным эффектам.

Экспериментальные результаты свидетельствуют в пользу того, что электрон-электронное взаимодействие приводит к уменьшению плотности состояний вблизи уровня Ферми. Это приводит к локализации электронов вблизи уровня Ферми и подавлению диссипативной проводимости бгхх. Так как под уровнем Ферми остаются делокализованные электроны, то холлов-ская проводимость отлична от нуля и согласно калибровочным соображениям Лафлина [46], которые справедливы и для трехмерных систем со щелью в спектре [47], должна квантоваться.

Квантовые поправки к проводимости в случае классически сильных магнитных полей

Утверждения о том, что электрон-электронное взаимодействие играет существенное влияния на транспортные свойства как массивных образцов, так и пленок опираются на теорию квантовых поправок для случая классически сильных магнитных полей [27, 28]. В диссертационной работе впервые экспериментально обнаружен предсказанный теоретически рост относительной величины квантовых поправок к проводимости в ЗБ системе (висмут, легированный теллуром) [29] (Глава 8.1) и исследованы квантовые поправки к проводимости пленок (п-ваЛв), помещенных в классически сильное магнитное поле [48] (Глава 8.2).

Влияние поверхности на проводимость полуметаллов

В диссертационной работе исследовано также влияние поверхности на проводимость полуметаллов в сильном магнитном поле (Глава 9).

Изучен статический скин-эффект в пластинах висмута, в которых почти весь пропускаемый через них ток концентрируется у поверхности. Экспериментально изучено магнитосопротивление этих пластин. Феноменологически решена задача о сопротивлении пластины полуметалла в наклонном магнитном поле. На основе этого решения из экспериментальных данных определены вероятности междолинных переходов носителей тока на поверхности и отношения времен междолинной и внутридолинной релаксации в объеме [49] (Гл.9.1).

Измерена производная монокристаллических пластин висмута с затвором (Яхх - поперечное сопротивление) при различных напряжениях и между пластиной и затвором. Обнаружено, что при разных и наблюдаются осцилляции (Шхх/и с двумя различными периодами, один из которых совпадает с периодом осцилляций Шубникова-де Гааза электронов в объеме, а второй на 2.8% меньше. Эти периоды не зависят от и. Изменение и приводит лишь к тому, что осцилляции одного периода исчезают, а вместо них появляются осцилляции другого периода. Появление осцилляций с меньшим периодом можно объяснить наличием собственной, несвязанной с изгибом зон затворным напряжением потенциальной ямы вблизи поверхности. Такая потенциальная яма может возникнуть за счет того, что на поверхности пластины электронные волновые функции равны нулю [50] (Гл.9.2).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 24-ом (Тбилиси, 1986), 26-ом (Донецк, 1990) и 31-ом (Москва, 1998) Всесоюзных совещаниях по физике низких температур; Всесоюзной школе по физике поверхности (Ташкент, 1983 г.); 12-ой Всесоюзной конференции по физике полупроводников (Киев, 1990 г.); 20-ой (Солоники, 1990), 23-ей (Берлин, 1996), 24-ой (Иерусалим 1998) Международных конференциях по физике полупроводников, 19-ой Международной конференции по физике низких температур (Брайтон, 1990), а также на ряде других конференций.

Выводы, следующие из вычислений подтверждаются тем, что в квантовом пределе Яхх и Яху практически монотонны вплоть до температуры 1 К, в то время как все характерные энергии (кроме спинового расщепления) больше 30 К, а /г/то > 90 К. Поведение ЦКЭХ в наклонном поле тоже свидетельствует в пользу того, что система не двумерная.

Предположение о том, что ЦКЭХ может наблюдаться и в системах с непрерывным спектром было высказано Хмельницким в 1983 г. на основе одноэлектронного рассмотрения [73]. Согласно такому рассмотрению,

Е, К

Рис. 7.20: Зависимость плотности состояний N¡/(1 от энергии Е при различных уширени-ях уровней Г для пленок толщиной (1 = 1000 А. Положение уровня Ферми соответствует = 1.3х 1012 см-2. Пунктирные кривые построены для толстых пленок = 10000 А. При дальнейшем увеличении й они не меняются, т. е. это чисто трехмерные спектры. Вертикальные пунктирные линии указывают положения уровня Ферми, короткие вертикальные линии на среднем рисунке - положения неуширенных уровней энергии. в пленке с высокотемпературными компонентами тензора проводимости в магнитном поле Схх$ , Охх,о ^ е2/Ь проводимость Схх должна уменьшаться при понижении температуры (см. рис.7.21) в результате интерференционных эффектов. Вначале это уменьшение описывается квантовыми поправками второго порядка (поправки первого порядка подавлены магнитным полем). Когда Охх становится порядка е2//г, начинает проявляться квантование СХу. Однако, если Охх е2/к , то квантовые поправки, обусловленные электрон-электронным взаимодействием (первого порядка) гораздо больше одноэлектронных поправок (второго порядка) (см. Гл.8.2). Поэтому электрон-электронное взаимодействие является главным фактором, определяющим уменьшение Охх и одновременно плотности состояний на уровне Ферми при понижение температуры. Когда Схх достигает значения е2//г становятся существенны и локализационные эффекты. В результате при низких температурах электроны вблизи уровня Ферми оказываются локализованы и возникает кулоновская щель вблизи уровня Ферми. Дисси-пативная проводимость стремится к нулю при уменьшении температуры. В этом случае холловская проводимость должна квантоваться, согласно калибровочным соображениям Лафлина [46], которые справедливы и для трехмерных систем со щелью в спектре [47].

Если справедлива диаграмма, приведенная на рис.7.21, то в случае СхУго когда СХуА — М3ес/В, у/ должно быть равно г. Это согласуется с экспериментальными результатами (см. рис.7.13). Выражение (7.1), полученное из экспериментальных данных на рис.7.13, приводит к следующей связи между Схх$ и 1 + 0,75 (^У. (7.6) я^ху, 0 Х^ху, О/

Экспоненциальное поведение сопротивления Лхх образца № 7 с р близким к 1/2 и малым Т\ = 11,9 К (см. выражение (7.4)) тоже свидетельствует в к о х 1 О

О 1 в ху л1-и

5 6 пользу того, что при понижении температуры возникает кулоновская щель, привязанная к уровню Ферми и двигающаяся вместе с ним при изменении магнитного поля. Без щели следовало бы ожидать р близкое к 1/3 [55]. В случае узкой щели подвижности, непривязанной к уровню Ферми, плато должно быть узким, так как энергия Ферми Ер меняется более, чем в два раза при изменении магнитного поля от 6 до 11 Тл.

Быстрое подавление ЦКЭХ тоже объясняется в рамках наших представлений. Величина квантовых поправок пропорциональна вероятности P(t) повторно найти два диффундирующих электрона на расстоянии друг от друга порядка радиуса экранирования. В анизотропном проводнике d {DxxDyy) t

Ослабление диффузионных интерференционных явлений обусловлено увеличением Gyy. Для трехмерного случая угловая зависимость проводимости <7уу имеет вид ауу{а) = Vyyi®0) cos2 а + sin2 а. (7.8)

Проводимость ахх не меняется при наклоне поля: сгхх(а) = ахх(0°). сгуу(а) — Gyy(a)/d больше, чем ауу(0°), потому что azz(0°) > &уу(0°). Величина продольной проводимости при Т = 4, 2 К в поле 12 Т, взятая из измерений [72] на монокристаллическом образце n-GaAs с практически такой же концентрацией и подвижностью электронов, как и в изучаемой пленке равна <?zz(0°) ~ 55 Ом-1 см-1, тогда как <7ХЖ(0°) = (Туу(0°) = 9 Ом"1 см-1. р® ~ ? а/2, к (С**СууГ1/2. (7.7)

Квантовые поправки к проводимости в классически сильном магнитном поле

8.1 Квантовые поправки к проводимости ЗО монокристаллов висмута, легированного теллуром

В неупорядоченных металлических системах в случае, когда Т «С Н/т <С Ер, интерференция взаимодействия между электронами проводимости и их упругим рассеянием на примесях или дефектах кристаллической решетки приводит к своеобразной температурной зависимости термодинамических и кинетических величин [27, 28]. В частности, для диагональных компонент тензора проводимости ац(Т) в трехмерном случае прендсказано выражение (4.15). Зависимость проводимости от температуры вида бат ос л/Т наблюдалась в нулевом магнитном поле в ряде работ [75, 76, 77, 78, 79, 80, 81]. Как уже отмечалось в Гл.4 включение классически сильного магнитно-гополя (шст 1), согласно теории должно сильно увеличить 6<тц/сгц за счет уменьшения коэффициентов диффузии поперек поля. В работе [81] с целью обнаружения роста 6сгц(Т)/ац в магнитном поле проведены измерения на сильно деформированном висмуте. Оказалось, что в деформированном висмуте 6а ос у/Т, но 8сгц(Т)/<тц уменьшается при включении магнитного поля, а не возрастает.

В настоящей работе впервые экспериментально обнаружено возрастание 6сгц(Т)/оц в сильном магнитном поле. С этой целью выполнены измерения температурных зависимостей продольного сопротивления висмута, легированного теллуром.

В отсутствие магнитного поля величина дсгц(Т)/сгц тем больше, чем меньше время релаксации т. В сильном магнитном поле, наоборот, 5сгц(Т)/сгц тем больше, чем больше г (до тех пор, пока Т < Н/т). Поэтому висмут был легирован теллуром настолько, чтобы при гелиевых температурах неравенство Т < Н/т выполнялось, но не было слишком сильным. Так как теллур является донором для висмута, то легирование привело к увеличению концентрация электронов и полному заполнению дырочной зоны. В результате остались свободные носители одного знака - электроны. Основные измерения выполнены на трех монокристаллических образцах 1, 2 и 3 в виде палочек длиной ~ 1 см и площадью сечения ~ Ю-2 см2. Образец 3 кроме теллура легирован еще и оловом. Это позволило уменьшить г в 10 раз, не сильно увеличив концентрацию электронов, так как олово, в отличие от теллура является акцептором для висмута. Параметры образцов: концентрация электронов п, определенная из измерений константы Холла, удельное сопротивление роо при В = 0, Т = 4,2 К, время т и углы между осьюоб-разца 0 и кристаллографическими осями С2 и С3 указаны в таблице 8.1. Измерения выполнены по четырехточечной мостовой схеме на переменном токе I частотой 19 Гц и амплитудой 140 мА. Образцы находились в жидком гелии.

На рис.8.1 представлены экспериментальные зависимости продольного сопротивления ргг от величины магнитного поля. Оказалось, что в исследуемых образцах довольно велика амплитуда осцилляции Шубникова-де

Заключение

Подитожим основные результаты диссертационной работы:

1. Впервые указано на то, что в сильном магнитном поле В нельзя считать все акты рассеяния электронов независимыми. С учетом корреляций актов рассеяния получено выражение, связывающее поперечную проводимость <тхх с продольной агг для случая рассеяние на заряженных примесях (2.7).

2. Показано, что в квантовом пределе по магнитному полю электромагнитные флуктуации подавляют квазиодномерные локализационные эффекты. Найдена температура Т^ выше которой локализационные эффекты полностью подавлены и продольная проводимость описывается формулой Друде.

3. Проведены измерения продольного р2г, поперечного рхх и холловского рху сопротивления образцов пЛпЭЬ и пЛпАб с концентрацией электронов п= 1,1-5,0 х 1016 см-3 в квантовом пределе по магнитному полю в диапазоне температур Т = 1,5 — 15 К. Обнаружен рост при понижении температуры, что подтверждает теоретические предсказания о влиянии квазиодномерных локализационных эффектов на проводимость. Проверено соотношение (2.7) в зависимости от температуры, магнитного поля и для п-1п8Ь в зависимости от концентрации электронов п. Из экспериментальных данных найден численный коэффициент (3\ рз 2.

4. Указано на то, что интерференционные диффузионные эффекты в электрон-электронном взаимодействии должны существенно влиять на электронный транспорт в квантовом пределе. Поставлен вопрос - является электронная система в квантовом пределе металлом или холловским проводником (сгхх, сг^у, ozz —> 0, <тху —> const при Т —> 0).

5. Проведены измерения pzz, рхх и рху образцов n-InSb и n-InAs в квантовом пределе при температурах ниже 1 К, подтверждающие влияние электрон-электронного взаимодействия на электронный транспорт. Продольное сопротивление возрастает при понижении температуры, поперечное убывает, а холловское сопротивление практически не зависит от температуры. Логарифмические температурные зависимости диагональных компонент тензора сопротивления дают основания предполагать, что в квантовом пределе трехмерная металлическая система является холловским проводником.

6. Выведено выражение для поперечной проводимости <тхх полупроводников в ультраквантовом пределе в случае больцмановской статистики носителей тока (5.24).

7. Проведены систематические измерения поперечного сопротивления семи образцов n-InSb с п = 5 х 1012 — 1, 2 х 1016 см-3 в условиях больцмановской статистики электронов (Т = 20 — 80 К). Зависимости от магнитного поля, температуры и концентрации электронов хорошо описываются выражением (5.28). Из экспериментальных данных найден численный коэффициент fy ~ 0,3 в выражении (5.24).

8. Проведены систематические измерения продольного сопротивления тринадцати образцов n-InSb с п = 8, б х 1012 — 1 х 1015 см-3 в условиях больцмановской статистики электрнов. Результаты не согласуются с существующей теорией. Предложено объяснение экспериментальных результатов.

9. Обнаружен квантовый эффект Холла в пленках с трёхмерным спектром (эпитаксиальные пленки сильно легированного п-СаАэ толщиной <1 = 500 — 1400 А большей длиной свободного пробега электронов I = 200 — 300 А). .При Т=4,2 К электронная система исследованных образцов имеет такой же спектр, как и массивные монокристаллы (нет размерного квантования). Результаты изучения температурных зависимостей поперечной проводимости Схх свидетельствуют в пользу того, что квантовый эффект Холла обусловлен уменьшением Охх при понижении температуры за счет электрон-электронного взаимодействия. При достаточно низких температурах на уровне Ферми появляется мягкая кулоновская щель. Обращение диссипативной проводимости Схх в ноль должно привести к квантованию холловской проводимости йху.

10. Впервые экспериментально обнаружен предсказанный Альтшулером и Ароновым [27] рост в магнитном поле квантовых поправок к проводимости трехмерной системы (В1, легированный теллуром), обусловленных электрон-электронным взаимодействием.

11. Впервые проведена экспериментальная проверка теории квантовых поправок к проводимости пленок (сильно легированный п-СаАэ) в классически сильных магнитных полях. Холловская проводимость Сху практически не зависит от температуры Т до тех пор, пока поперечная проводимость Схх достаточно велика по сравнению с е2/Н. Разность проводимостей Схх при двух температурах 4,2 и 0,35 К лишь слабо зависит от магнитного поля В в широком диапазоне магнитных полей, в то время как Охх сильно меняются. Результаты объясняются квантовыми поправками к проводимости за счет электрон-электронного взаимодействия в диффузионном канале.

12. Экспериментально изучено поперечное сопротивление пластин висмута, в которых почти весь пропускаемый электрический ток концентрируется у поверхности. Обнаружены резкая зависимость магнитосопротивления от угла наклона магнитного поля к плоскости пластины, уменьшение магнитосопротивления в параллельном поверхности магнитном поле , при понижении температуры и немонотонная зависимость магнитосопротивления от температуры в наклонном магнитном поле. Феноменологически решена задача о сопротивлении пластины полуметалла в наклонном по отношению к плоскости пластины магнитном поле с учетом влияния поверхности. В сильных магнитных полях результаты эксперимента хорошо согласуются с теорией и позволяют определить вероятности междолинного рассеяния носителей тока на поверхности и другие характеристики образцов.

13. Экспериментально исследованы квантовые осцилляции производной (Шхх/и пластин висмута с затвором при различных значениях напряжения и между пластиной и затвором. Обнаружено, что при разных и осцилляции имеют различные периоды, один из которых совпадает с периодом осцил-ляций Шубникова-де Гааза электронов в объеме, а второй на 2.8% меньше. Эти периоды не зависят от и. Изменение и приводит лишь к тому, что осцилляции одного периода исчезают, а вместо них появляются осцилляции другого периода. Наличие осцилляций с меньшим периодом можно объяснить наличием собственной, несвязанной с изгибом зон затворным напряжением потенциальной ямы, вблизи поверхности. Наличие такой потенциальной ямы, обусловлено тем, что на поверхности пластины электронные и дырочные волновые функции равны нулю.

Некоторые из рассмотренных вопросов не решены до конца: Хотя при рассмотрении влияния квазиодномерных локализационных эффектов на проводимость различные теоретические подходы приводят к одинаковым результатам с точностью до логарифмических множителей и численных коэффициентов, ни одно из решений не является строгим. Экспериментальные результаты лишь подтверждают сам факт влияния этих эффектов и более менее согласующийся с теоретическими предсказаниями масштаб эффекта.

Выражение для поперечной проводимости (2.7), учитывающее многократность взаимодействия электрона с примесями, представляется правильным в области классического экранирования. В области квантового экранирования поправки к правой части этого выражению невелики ~ 1 /1пр(г£)/1в)- Выражение (2.7) согласуется с экспериментальными данными. Однако стоит отметить, что из-за небольшой разницы полей Bmi и Beql интервалы магнитных полей и температур, в которых выполняется соотношение (2.7), небольшие.

Что касается влияния на проводимость электрон-электронного взаимодействия, то подтвердились предположения о том, что диагональные компоненты тензора проводимости ахх и azz значительно уменьшаются при понижении температуры, а холловская проводимость аху не меняется. Неожиданным оказалось, что температурные зависимости охх и uzz близки к логарифмическим, а не к зависимостям типа А + Dy/T, несмотря на трехмерный характер диффузии электронов, причем ozz меняется с температурой быстрее, чем ахх. Эти факты требуют объяснения. Возможно, логарифмическое поведение температурных зависимостей проводимости обусловлено тем, что в квантовом пределе остается только четыре независимых степени свободы в фазовом пространстве (у, z, ку = —x^/l2, kz в калибровке Ландау) вместо шести (х, у, z, кх, ку, kz).

Наиболее интересный и до конца нерешенный вопрос - является электронная система в квантовом пределе металлом или холловским проводником (рхх, руу —У 0, pzz —У оо, рху —у const при Т —> 0). Такое состояние в какой-то мере аналогично состоянию квантового эффекта Холла в двумерных системах, но без квантования рху и аху. В пользу холловского проводника свидетельствует логарифмический характер температурных зависимостей рхх и pzz, так как — IgT —> оо при Т —у 0. К сожалению, не удается реализовать условия квантового экранирования, в которых продольное сопротивление pzz убывало бы с ростом магнитного поля. Именно в этом случае можно надеяться на то, что температурные зависимости диагональных компонент тензора сопротивления сильнее логарифмических.

Экспериментальные результаты дают основания считать, что квантование холловской проводимости пленок n-GaAs является следствием возникновения мягкой кулоновской щели вблизи уровня Ферми и обращения диагональных компонент тензора проводимости в ноль при Т — 0. Предложенное объяснение хорошо вписывается в рамки современных представлений о роли электрон-электронного взаимодействия и о квантовом эффекте Холла. Экспериментальных фактов противоречащих этим представлениям нет, но некоторые из них не объяснены, так как теория отсутствует.

Суммируя изложенное выше, можно сказать, что за при выполнении диссертационной работы достигнут заметный прогресс в понимании электронного транспорта в сильном магнитном поле в трехмерных массивных образцах и пленках с металлической проводимостью, но проблема не решена окончательно.

Автор выражает глубокую благодарность своим соавторам А. Г. М. Ян-сону (А. G. М. Jansen), Ф. А. Егорову и Н. И. Головко; В. Ф. Гантмахеру и Д. В. Шовкуну за постоянное внимание к работе, полезные обсуждения и советы; В. Т. Долгополову за полезные обсуждения.

Список статей, в которых были опубликованы основные результаты диссертационной работы.

1. Мурзин С. С.

О проводимости в магнитном поле металлов и полупроводников с дефектами с дальнодействующим и короткодействующим потенциалом

Письма в ЖЭТФ 39, 567 (1984).

2. Мурзин С. С.

Электрон-электронное взаимодействие в сильном магнитном поле в висмуте, легированном теллуром

Письма в ЖЭТФ 42, 137 (1985).

3. Мурзин С. С.

Переход металл-холловский диэлектрик?

Письма в ЖЭТФ 44, 45 (1986).

4. Мурзин С. С.

Влияние эффектов локализации и корреляций в рассеянии на проводимость в ультраквантовом пределе

Письма в ЖЭТФ 45, 228 (1986).

5. Егоров Ф. А., Мурзин С. С.

Температурные зависимости проводимости пЛпБЬ и пЛпАв в ультраквантовом пределе

ЖЭТФ 94, 315 (1988).

6. Мурзин С. С., Головко Н. И.

Поперечная проводимость полупроводников в ультраквантовом магнитном поле в случае больцмановской статистики

Письма в ЖЭТФ 54, 166 (1991).

7. Мурзин С. С.

Подавление локализации электромагнитными флуктуациями в квазиодномерных системах

Письма в ЖЭТФ 55, 665 (1992).

8. Murzin S. S., Jansen A. G. М.

The question of a Hall-insulator state in the resistivity of a bulk semiconductor in very high magnetic fields

J. Phys.: Condens. Matter 4, 2201 (1992).

9. Мурзин С. С., Попов П. В.

Продольная проводимость больцмановского электронного газа в n-InSb в квантовом пределе по магнитному полю.

Письма в ЖЭТФ 58, 280 (1993)

10. Мурзин С. С.

Квантовые поправки к проводимости пленок n-GaAs в сильном магнитном поле

Письма в ЖЭТФ 67, 201 (1998).

11. Murzin S. S., Jansen A. G. М., and v. d. Linden P.

Quantization of the Hall Conductance in a three-dimensional layer

Phys. Rev. Lett. 80, 2681 (1998).

12. Murzin S. S., Claus I. and Jansen A. G. M.

Quantized Hall effect in disordered GaAs layers with 3D spectrum in tilted magnetic fields

Письма в ЖЭТФ 68, 305 (1998).

13. Murzin S. S., Claus I., Jansen A. G. M. et al

Quantum Hall effect induced by electron-electron interaction in disordered GaAs layers with a three-dimensional spectrum

Phys. Rev. B59, 7330 (1999).

14. Мурзин С. С.,

О влиянии поверхности на поперечное магнитосопротивление висмута

ЖЭТФ 82, 515 (1982).

15. Мурзин С. С., Долгополов В. Т.

Квантовые осцилляции проводимости вблизи поверхности висмута Письма в ЖЭТФ 37, 584 (1983).

1. Shubnikov L. de Haas W. J., Leiden Commun. 207a ,c, d; 210a (1930).

2. Titeica S., Ann. d Phys. 28, 128 (1935).

3. Давыдов Б. И., Померанчук И. Я., ЖЭТФ 9, 1924 (1939).

4. Argyres P. N., Adams Е. N., Phys. Rev. 104, 900 (1956).

5. Adams Е. N., Holstein T. D., Phys. Chem. Solid 10, 254 (1959) (Перевод в сб. "Вопросы квантовой теории необратимых процессов", М: Иностр. лит., 1961, с.255).

6. Kubo R., Hasegawa H., Hashitdume N., J. Phys. Soc. Japan 14, 56 (1959) (Перевод в сб. "Вопросы квантовой теории необратимых процессов", М: Иностр. лит., 1961, с.89)

7. Agryes P. N., Roth L. M., Phys. Chem. Solid 12, 89 (1959).

8. Лифшиц Е. M., Питаевский Л. П., "Физическая кинетика", М: Наука, 1979.

9. Гантмахер В. Ф., Левинсон И. Б., "Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках", М: Наука, 1984.

10. Аскеров Б. М., "Электронные явления переноса в полупроводниках", М: Наука, 1985.

11. Kubo R-, Miyake S. J., Hashitdume N., "Solid State Physics" 17, edited by F. Seitz, D. Turnbull, Accdemic Press, New York and London, 1965, p.269.

12. Roth L. M., Agryes P. N., "Semiconductors and semimetals" 1,, edited by R. K. Willardson and A. C. Beer, New York: Accdemic, 1966.

13. Hajdu J., Landwehr G., "Topics in Applied Physics" 57, edited by F. Herlach, Springer-Verlag, 1985, p. 17.

14. Мурзин С. С., Письма в ЖЭТФ 39, 567 (1984).

15. Мурзин С. С., Письма в ЖЭТФ 45, 228 (1986).

16. Поляков Д. Г., ЖЭТФ 90, 546 (1986).

17. Дрейзин Ю. А., Дыхне А. М., ЖЭТФ 63, 242 (1972).

18. Dreizin Yu. A., Dykhne А. М., Sixth European conf. on controlled fusion and plasma phys. 1 (Moscow, 1973) c.147

19. Mott N. F., Twose W. D., Adv. Phys. 27, 405 (1979).

20. Березинский В. Л., ЖЭТФ 65, 1251 (1973).

21. Абрикосов А. А., Рыжкин И. А., ФТТ 19, 59 (1978); Abrikosov А. А., Ryzhkin I. A., Adv. Phys. 27, 405 (1979).

22. Polyakov D. G., Proc. of 20th Int. Conf. on Phys. of Semicond., Greece, 1990, p.2321

23. Косарев В. В., Редько Н. А., Белицкий В. И., ЖЭТФ 100, 492 (1991).

24. Мешков С. В., частное сообщение.

25. MacDonald А. Н., Brynt G. W., Phys. Rev. Lett. 58, 515 (1987)

26. Miura N., Shimamoto Y., Nojiri H., Proc. of 23rd Int. Conf. on Phys. of Semicond., Berlin, 1996, p. 177

27. Альтшулер Б. Л., Аронов А. Г., ЖЭТФ 77, 968 (1979).

28. В. L. Al'tshuler and A. G. Aronov, "Electron-electron interaction in disordered systems", edited by A. L. Efros and M. Pollak, North-Holland, Amsterdam, 1985

29. Мурзин С. С., Письма в ЖЭТФ 42, 137 (1985).

30. Мурзин С. С., Письма в ЖЭТФ 44, 45 (1986).

31. Murzin S. S., Jansen A. G. М., J. Phys.: Condens. Matter 4, 2201 (1992).

32. Beckmann О., Hanamura E., Neuringer L. J., Phys. Rev. Lett. 18, 773 (1967).

33. Амирханов X. И., Баширов Р. И., ФТП 1, 667 (1967).

34. Егоров Ф. А., Мурзин С. С., ЖЭТФ 94, 315 (1988).

35. Murzin S. S., Jansen A. G. М., Haanappel Е. G., направлено в Phys. Rev. В.

36. Мурзин С. С., Попов П. В., Письма в ЖЭТФ 58, 280 (1993).

37. Мурзин С. С., Головко Н. И., Письма в ЖЭТФ 54, 166 (1991).38. "Квантовый эффект Холла, под ред. R. Е. Prange и S. М. Girven, 1990

38. Störmer Н. L., Eisenstein J. Р., Gossard А. С., W. Wiegmann, and Baldwin K., Phys. Rev. Lett. 56, 85, (1986).

39. Cooper J. R. et al., Phys. Rev. Lett. 63, 1984, (1989).

40. Hannahs S. T. et al., Phys. Rev. Lett. 63, 1988, (1989).

41. Balicas L. et al, Phys. Rev. Lett. 75, 2000, (1995).

42. Murzin S. S., Jansen A. G. M., and v. d. Linden P., Phys. Rev. Lett. 80, 2681 (1998).

43. Murzin S. S., Claus I., and Jansen A. G. M., Письма в ЖЭТФ 68 305 (1998).

44. Murzin S. S., Claus I., Jansen A. G. M. et al, Phys. Rev. 59, 7330 (1999).

45. Laughlin R. В., Phys. Rev. В 23, 5632 (1981).

46. H. Aoki H. and T. Ando Т., Phys. Rev. Lett. 57, 3093 (1986).

47. Мурзин С. С., Письма в ЖЭТФ 67, 201 (1998).

48. Мурзин С. С., ЖЭТФ 82, 515 (1982).

49. Мурзин С. С., Долгополов В. Т., Письма в ЖЭТФ, 37 584 (1983).

50. Horing N. J., Ann. Phys. 54, 405 (1969).

51. Шкловский Б. И., Эфрос А. Л., ЖЭТФ 64, 2222 (1973).

52. Paulus U., Hajdu J., Solid State Commun. 20, 687 (1976).

53. Мотт H., Дэвис Э., "Электронные процессы в некристаллических веществах", М: Мир, 1982.

54. Шкловский Б. И., Эфрос A. JL, "Электронные свойства легированных полупроводников", М: Наука, 1979.

55. Yafet Y., Keyes R. W. and Adams E. N., Phys. Chem. Solid 1, 137 (1956).

56. Поляков Д. Г., ЖЭТФ 83, 546 (1982).

57. Горьков Л. П., Дорохов О. Н., Пригара Ф. В., ЖЭТФ 85, 582 (1983).

58. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика (М: Наука, 1974).

59. Гоголин А. А., Мельников В. И., Рашба Э. И., ЖЭТФ 69, 328 (1975).

60. Мурзин С. С., Письма ЖЭТФ 55, 665 (1992).

61. Altshuler В. L., Aronov A.G., Khmel'nitskii D. Е., Sol. St. Commun., 39, 619 (1981); J. Phys. С 15, 7367 (1982).

62. Бурин А. Л., Максимов Л. А., ЖЭТФ 95, 1345 (1989).64. "Электродинамика плазмы", под ред. Ахиезера А. И., М.: Наука, 1974.

63. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С., Рухадзе. "Основы электродинамики плазмы", М.: Высшая школа, 1978.

64. Halperin В. I., Japan. J. Appl. Phys. Suppl. 26-3 26, 1913 (1987); Condensed Matter Theories Ed. P Vashista et al, New York: Plenum, 1987.

65. Fortini A., Phys. Stat. Sol. (b) 125 259 (1984).

66. Коган Ш. M., Шадрин В. Д., Шульман А. Я., ЖЭТФ 68, 1377 (1975).

67. Lax В. и др., Phys. Rev. 122, 31 (1961).

68. Aronzon В. A., Chumakov N. К., Physica В 194-196, 1165 (1994)

69. Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г., "Физика полупроводников", М.: Наука, 1990.

70. Амирханов X. И., Баширов П. И., Моллаев А. Ю., ФТП 4, 1884 (1970).

71. Хмельницкий Д. Е., Письма в ЖЭТФ 38, 454, (1983).

72. Huckestein В., Rev. Mod. Phys. 67, 357 (1995).

73. Rosenbaum Т. F. et al, Phys. Rev. Lett. 46, 568 (1981).

74. Werner Т. R. et al, Phys. Rev. В 26, 2224 (1982).

75. Long A. P., Peper M. J., J. Phys. С 17, 3391 (1984).

76. Thomas G. A. et al, Phys. Rev. В 26, 2113 (1982).

77. Rosenbaum T. F. et al, Phys. Rev. В 27, 7509 (1983).

78. Chui T. et al, Phys. Rev. В 23, 6172 (1981).

79. Броневой И.Л. ЖЭТФ, 79 1936 (1980).

80. Броневой И.Л. ЖЭТФ, 83, 338 (1982).

81. Lee P. A., Ramakrishnan Т. V., Rev. Mod. Phys. 57, 287 (1985).

82. Houghton A., Senna J. R. and Ying S. C., Phys. Rev. В 25, 2196 (1982).

83. Houghton A., Senna J. R. and Ying S. C. , Phys. Rev. В 25, 6468 (1982).

84. Girvin S. M., Johnson M. and Lee P. A., Phys. Rev. В 26 , 1651 (1982).

85. Altshuler B. L., Aronov A. G. and Lee P. A., Phys. Rev. Lett. 44, 1288 (1980).

86. Финкелыитейн A. M., ЖЭТФ 84, 168 (1983).

87. Paallanen M. A., Tsui D. C. and Gossard A. C., Phys. Rev. В 25, 5566 (1982).

88. Maan J. C., Tnglert Th., Uihlein Ch., Kunzel H., A. Ficher and Ploog K., Solid State Comm. 47, 383 (1995).

89. Bodo Huckestein, Rev. Mod. Phys. 67, 357 (1995).

90. Азбель M. Я., ЖЭТФ 44, 983 (1963).

91. Азбель M. Я., Песчанский В. Г., ЖЭТФ 49, 572 (1965).

92. Песчанский В. Г., Азбель М. Я., ЖЭТФ 55 1980, (1968).

93. Копелиович А. И., ЖЭТФ 78 987, (1980).

94. Hattori Т., J. Phys. Soc. Japan 23 19 (1967).

95. Бабкин Г. И., Кравченко В. Я. ЖЭТФ 60, 695 (1971).

96. Богод Ю. А., Еременко В. В., Чубова Л. К. ЖЭТФ 56, 32 (1969).

97. Богод Ю. А., Красовицкий Вит. Б., "Физ. конденс. сост.", вып. 30. Харьков, 1974, с. И.

98. Рашба Э. И., Грибников 3. С., Кравченко В. Я. УФН 119, 13, (1976).

99. Lopez A. A., Phys. Rev. 175, 823 (1968).

100. Collan Н. К., Krusins М., Pickett G. R., Phys. Rev. В 1 2888, (1970).

101. Man Mohan Krishna, Strivastava B. N., Sol. St. Comm. 12, 433 (1973).

102. Константинов 0. О., Шик А. Я., ЖЭТФ 58, 1662 (1970).

103. Lang N. D. and Kohn W., Phys. Rev. В 1, 4555 (1970).

104. Недорезов С. С., ЖЭТФ 57, 907 (1969).