Метод дельта - образных функций в пространственных задачах гидромеханики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

и О í s"t ,

Сапст-Штерйургсаий государсметшЯ унжорситат

На npaiîx рукоггаси

ТЩ ОЛЕГ ШГОРЫСИЧ »

L-ЗТОД ДЕЯЬТЛ - ОЗРАЗИНХ ШЩЙ S ПР0ОТЙ1СТЕЗШ£ ЗДДЬЧАХ nWO'SC'SilSÎ

'(Шетиаятоеть Ol.02.CS - кохмтка sewkoctsj, геза и пяткям)

диссартацта ::г, сопвкшжз упаксП мепыш доктора ф5.т.£я0-!*гязи'1т1гевспк неуз

Солкт-Потербург 1992

Of 7 í.

Работа выполнена в Брянском технологическом институте

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ШПОНЕКТЫ:

Доктор физико-математических наук, профессор Алеиков Ю.З. Доктор физико-математических наук,профессор Григорян С.С. Доктор физико-математических наук, профессор Селезов И.Т.

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН.

Защита состоится "Ш" /Ц часов на засе-

дании специализированного Совета Д 063.57.34 по присуждению ученой степени доктора.физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.дом 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени ">.М. Горького Санкт-Петербургского университета.

Ученый секретарь специализированного Сонета, профессор

С.А.Зепвда

А

- 3 -

ОЩАЯ ХАРШЕРЛСТШСА РАБОТЫ . ктуальносгъ ?энк. В настощзз ~.рсия лпчя» для

потоков цдеальной несааказиоЗ 5«дкос?» удается построить аналитическое решение с помощь® универсального приема -метода теория фузтциЯ комплексного перэмешэго. К иросуралстЕ«!-шл! течениям этот метод неприменим и поогоцу для ниоздеикп потенциала обтекания приходится привлекать рталкчнкя чнеленш»» ютоды. Использование олсэтрошю-вши&пгтэльшяс ►гапни позволяв? доволыю бизгро реализовать зти методы, однако скогптте^ытл информация даотся в шщо таблиц одсел шш графиков, что ко еффеп-тнгности значительно уступает аналитический формула». Чяедочяи/э п еясшриыенталышэ подходи часто нз позволяет? вдаглсть кячес?--особенности задачи*, но всегда имеэт границу г.рш&-

шчтости и иахоЕффохтпглм при обобщении пзгэс-.ашх результатов.

В работе строится пркблитокно-аналитическоз регзкна ряда задач о безвяхрезом ебтекшгди пространстЕошшх тел идеальной несан-иогмоЯ яидкостьэ. <Ш;огиэ задали ставятся, поводимо- /, вп^.вта (кс!гр!шлеш:оо ?оло с круговш соченной» сгивкцэкипе год о со *зо-бодной границей а т.п.), другпа ретп.кись или чаеяэнно ачн для е»,\-пь узкого класса тол (например, эллипсоидов при попереч^он обтекании тол сращения я т.п.). В дашюй работа ограндаошш на поверхность накладнвгиэтеп очень слабее, что пезяодяз? говорить о решешш обгцой задачи обтекания данного нласса тал.

РасснотрешмД в первой главе мэтод -образных функций кого? быть применен к другим вагг'.лм п'др^^ханмхи и даяз к другая лкнейша дк(|г$еренцнальны< слеу^'с^ом ( а но только к оператору Лапласа ). Здесь цугно ».меть интегральное представление рэЕекия я знать соответствуй адто функцио Грина.

Ц о л ь работы - построение _ общего метода для прибли-гошо-аналитическоп репения пространственных задач гидромеханики (связанных с калой вариацией обтекаемой поверхности) .применение итого иетода и наиболее интересны! с точки зрения теории и практики схемк обтекания и обобщение на этой основе известных разрозненных результатов.

Ыатоды исследования. В работе использовался комплексный теоретический подход, объединивший в единои методе понятия функционального анализа (нормировка пространства,

сходимость приближенных методов), теории функций (§> - ,и сообразные функции), теории уравнений математической физики (интегральное представление решения, функции Грина, линейные операторы, краевые задачи), интегральных уравнений Фредгольиа и т.п.

Численные расчеты для сопоставления с известными решеник-I.!' проводились на ЭШ.

Научная новизна. Предложен метод ( метод - образных функций ) для решения широкого класса пространственных течений идеальной несжимаемой жидкости. Сформированы условия применимости этого метода (условия близкой области). Получены явные выражения потенциала течения для простейших задач гидромеханики (продольное обтекание сплоченного тела,продольное и поперечное обтекания тонкого тела вращения и обтекание тела, близкого к заданному), найдены точные выражения для фуакции тока при обтекании конусов. Получено уравнение свободной поверхности, заданной распределением скоростей при продольном отсекании тола вращения, построена полуэмпирическая теории напитации для реальных осесимметричных каверн,которая позволяет аналитически подсчитать их геометрические ха-ршстерист. :к и коэффициент Сх. о случай конического и эллиптического насадков. Расчеты по этой теории справедливы для чисел кавитации 0,05 < <Ь < 0,20 при любых углах полураствора конуса или отнсаэнкя опей эллипсоида и удовлетворительно согласуются с гавестдьш опсперикентальнуми данными. 4

. Кпервыэ поставлены и релены эгдачи об сЗтэкании искрисдэн-ного тала с почти круговым сечением произвольным безвихревым потеком и об обтекании сплющенного толь со свободной гранкцой, которая задается распраДесениеы потенциала..Продложон мотод нопрерызно-расгфеделеннас дисков для продольного обтокания тола врсцония.

Практическая ценность .На основа данной тоории в рашах хоздоговорной работы совместно с Институтом Гидромеханики АН УССР в 1980-1381 г.проводились гидроыехоли-часкио расчеты на ОШ, связанные с продольным обтеканием удли-ног'ых эллипсоидов с насадком. Варьировались длины насадков, радиусы сопряжения насадка с эллипсоидом и радиусы насадка в критической точке. Расчеты выявили зпмотиое влияние радикса

сопряжения на распределение касательных скоростей на поверхности эллипсоида.

Апробация работ вг„ С1 результатами работы автор выступал на секции гвдреюкгавгаи на Всесоюзном конгрессе механиков (Москва, 1968 р.). на Вее^овзном симпозиуме по кавитации (Одесса, 1975), Крылов главе чтениях (Ленинград, 1971,1973), симпозиума " Гидромеханика болвшзе скоростей (Чебоксары, 1980).

Кроив того, результаты работы неоднократно докладывались в Ленинградском Университете (кафедра ?ид^хмьзроыехани.ки), Московском Университете А&аягииу^ хсхешки)'* Икскстуте Гидромеханики СО АН СССР (Академг^кууш >, йаганеяо» ушисрситетэ (Институт механики).

П у б л и п э ц а к. Ео результаяш* ра<Гата опубликова!!о 16 печатных работ.

Объев работа. Диссертация! состоит из введения, восьми глзз я нротккх выводов. Содержат 23 ржгунт и список, литературы кэ 35 натаЕНСЕаииЯ.

Испояьзованкз катода нешсрывЕо-распрвдолеинык особенностей в пространстве?}?.1!« задачах гидромеханика сводится к решения интегральных уратазшЯ Фредгшыйа 1-га ро^а сшзсительпо .неизвестной плапюстя распределения!. Е общей Риде эти уравнения не ре-еезтся, а чдалешые метод л ил оч«нь елейны. В данной

работе рассиа^риагзтсл случйк образного ядра, когда приближенное решений записывается очень просто. Однако теория -образных функций в настоящее время развита очень слабо, поскольку для них отсутствует четкая процедура сопоставления. В литературе даются отдельные примеры образных'функций, иногда приводятся их графики, однако невозможность оценки соответствующих операторов эеэко зптрудняет их практическое использование.

гжв& I. теория б- оЕРлгынз ®нщиа

Под б- образно?, функцией тическая функция, такая-что

понимается аиали-

Простейшие проотранотвенныэ течения.

СХЗтекание тела, йлиэ-хого к заданному.

<

Продольное обтеканио ошакевного тола,

Продольное в поперечно а обтекания тонкого тела вращения.

Обтекание искривленного тела о почто кгу-говыы сечештом.

Обтеканко тола врацония о заданным распределением скоростей нь чссти поверхности.

Кавитационное обтекан.ю тала вращения.

Обтекашз сшэп;зн::аго тела с заданный значением потенциала на части поверхности.

Метод непрерывно-распределенных дисков.

Схема рассматриваемых задач

- 8 -

Подход к функции как к предельной/ переходу оставляет в тени ее аналитические свойства и ставит в центре внимания величину £ и степень отклонения функции "Ь; £) ' $ -функции. В данной работе общие свойства ф- образных функций изучаптся на модели эталонной функции, которая имеет простейшее аналитическое выражение

Здесь величина £0 называется о>-размегром и служит мерой отклонения от функции.

С поыоцьв понятия "эталонная функция" удается доказать ряд результатов:

1. Если функция £ ) 8>- образна, то функч ция __

О е) - (х • ^ е) (1.1)

также является образной. Это выражение позволяет восстанавливать функцию по её производной не обращаясь к процз-дурэ интегрирования.

2. Пусть имеется некоторая функция £ у .Поло- г (и) = <я ы V

Для того, чтобы функция кхгЭР. £) была

образной

необходимо потребовать, чтобы

г (и-о

йЪ

(дифференциальный признак <3>- образности).

3. Интеграл от произведения двух эталонных функций является снова отрлонноД функцией •

4.Опираясь на ото соотношение удается построить процедуру усиления (Э- образности: функция у

-2 9 -

1ксот с)- разкер £ порядка £ , т.е.гораздо изньше отдччаетсл ■ «То» - функции, чей исходная функция Ю .

Для'оценки интегралов, содержащих о>- образный члрл вводится специальная метрика. Она опирается на операцио осреднения

Здесь и(Щ есть абсолютно интегрируемая на /~0,1 ] функция, а Л 1'лхоэ ¡голоштельное число. г 7

Для многих функций Ц Щ операция / / Vу мало отличается от тождественного преобразования. Однако дл^ быстроколеблющейся функции вида

МЫ получки ТI — О.

Взодеи норчУ^вида .

ЦчЦ^прос/Т^]/

Видно, что здесь выполняется условие .однородности и правило треугольника, а нулазич элементом является Знстрокол'эблшаясч функция (1.2).- О гидромеханика таяиэ функции язлеттсл физически лгхвшо! и в предложенной иотршее игноркрувтек. Подобии

¡¡Т- &// ^-1Г{Е)тТго

Тогда могло дс::мать, что

и, следовательно, при достаточно малом £ , оператор

яэляется оператором сяатия.

Пусть ииэетсл линейное интегральное уравнение Фредгольна с сообразным ядро» ./

гдс_/\_ — /. Тогда это уравнение молет резаться методом ксследова-тельнш: приближений = О} у

- 10 -

Разница ыежду приближениями удовлетворяет неравенству

Результаты теории легко переносятся на двумерный случай, когда параметры "X и "¿г являются двумерньми векторами. Здесь в качестве малой области интегрирования А следует брать малую площадку. Построенная теория О - образных функций опирается на параметр £ , который избавляет нас от учета качественного разнообразия функций и сводит анализ к сравнению некоторых чисел ( & - размеров, величин7Г(£.) и т.п.). Рассмотренные далее задачи выступают как гидромеханические иллюстрации общей теорш и сводятся к уравнениям с ¿7- образными ядрами, где малый параметр £ возникает за счет близости поверхностей. Различные геометрические и гидромеханические характеристики задач увязываются этим единым параметром, что позволяет иметь обоснованную и строгую теорию обтекания.

ГЛАМ МЕТОД б - ОЕРАЗШХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТЕЙШИХ ' ЗАДАЧАХ ГВДРОМЕХАНИКН

Используем результаты предыдущей с л-вьг в трехмерных оадачах математический физики.

Пусть дана задача Неймана для внешности поверхности

Для определения искомой фикции н используем штгегралькое п, составление с едром ^(функцией Грщш внешней оадлч.ч НсЛнана)

Знание функции I ptBia

(N HJ

позволяет решить поставленную задачу. К сожалению, в настоящее ьрзир. т^эх^рноя функция Грина для задачи Неймана известна ливь для полупространства,внек-ности иара и внутренности двух паянного угла, что сухпот возможности метода. Однако н оти случаи иогут быть кепользопени для решения нокоторых пространственных задач гидромеханики.

Поверхность £50, для которой известна функция Грина внешней задачи Неймана, назовем канонической . На этой но-верхней Ъ&0(Н0,М)/дП0 =

Omoí-им на внешней нормали в точке A/t> поверхности ~>t)

- II -

ыалый отрезок + [M0j — IМ0 M j . Совокупность концов отих отрезков образует некоторую поверхность <S( , котируя будем называть близко Я.

Будам считать» что функция U) в местных координа-

тах удовлетворяет условиям (хлиркой облас-

* и: Г

1. Функция j[OC. У ) аналогична;

2. Справедливы условия тонкости

Отсюда вытекает, что условно £ —О геометрически означает процесс совмещения поверхностей и <SÔ и, в частности, Ъ /дП, -—Ъ/'дПо

(где По и П1 нормали к поверхностны с$0 и j п точках HQ и Hf ), f

Поскольку функция Грша Q0 (Nj И)непрерывна вблизи поверхности , то

зд G0 (m,j м) §(н0) и)

т.о. нереальная производная функции G0 на блкзкоЗ козерг-чес-ти д- образна. Отсюда следует, что в интегральном урагло- .

gc?o

- образно и t.-3j можем решат*, sr-o методом последовагзлйння приближений (считая, что А,/ - О) ,

-f+lK-HkhAds}*"

Опираясь на это соотновениэ выведем общую структурно ферулу для решения задач обтекания.

Пусть безвихревой поток идеальной' несжимаемой жидкости обтекает тело f0 с канонической поверхностью . Потенциал этого потока обозначим через ^ (A/J. >

Найдем потенциал 'fi (N) потока, обтекающего тело 7^ с близкой поверлностью и тлеющего условия на оо одинаковые с

Будем искать потенциал т^ (/у) 3 БИДе

4} M =WN)+.¡k(H)-6MM)JS

- 12 -где функция Л (МI неизвестна.

Условие обтекания поверхности ^ приводит к интегральноку уравнению

которое с помощью формул (2.1) и (2.2) дозволяет записеть явное выражение для потенциала обтекания пространственного тела, близкого к заданному

Видно, что функция Грина Ь~0 (Л/^Муиграет роль потенциала гидромеханической особенности, т.е. класс особенностей существенно расширяется.

1. Возьмем в качестве поверхности^ плоскость О .Здесь /ч А _А__

ь° ~ 2тг \/(х-$)7+(у-ч)2+гг

а в качеств: близкой поверхности' будет выступать поворхноегь сплоенного гела. Потенциал продольного об-.-екания сплющенного и..у,/рзлегвенноио тела с поверхности) —У/у и I запишется о виде , // , , ы -¿С/

У= хч-

I ^ ~г 27Г

Косвенной проверкой .... ______ ______________

потока, когда ^ - ( кыт зависимости от ), а область

интегрирования вырождаемся в беокоизчну» полосу шириной I, расположенную вдоль оси Ч от-содо со . в отои случао мы получа потенциал продольного оо'токания плоского симметричного профиля с поверхностью ¿г =

Эту формулу можно трактовать как действительную чьегь кзпаст-ного преобразования почти полуплоскостиДда^ГН^>0 в полуплоскость 7/7)^+ Щ>0 в теории функции комплексного переменного.

2.Будем считать, что каноническая поэгрхность выродилась в отрезок 2 . Тогда функция Грина вырохдаотс». в потенциал источник«.

'I -1

* * Ч*" V^1«Ч V • н« | , , ^ ^ - ^^^ «4 &

Ьг'

ой агой формулы являете« случай плоского

ЧУГ ¡/сГ-п/

- 13 -

а близяея поверхность О = может трактоваться гак поверхность тонкого тела вращения. Мы получг.еи продольное обтекание тонкого тела и выражение для потенциала известно и условиях метода непрерывно-распределенных источников. Формула получается Солее удобной в условиях метода диполей. Подход к продольному сбтеяакип тола вращения как частнсьу случаю общего метода позволяет дать более полнуп картину течения (например,поведение л критических точках, точках разрыва Й.1 или Е ' и т.п.).

Вне окрестности критических точек потенциал продольного обтекания тонкого тела вращения длгага I с поверхностью Р = записывается з лхще ( в первом приблизгенач ) '

Точность зтой формулы резко укэньсэется, вблизи скачка Й (?/ . Поэтому езедензе гидромехеничгской задачи к дифферент цкглыгацу уравнения (капримБр, кахозденкз формы ? ^рны) требуем соблюдения непрерывности на только 2 (?) , но и

.Для

отого необходим четвертый пордцок дифференциального уравнения.

Во втором гряблизегагл шаткость дшодей Суде? равна не / ' » ® '/ 2/> ) и [г-Н

Опираясь на явное екрззеюм для «огс.щказа/рассматривается влияние на хаса?елмог» скорос-х ¿.-качка "..срой производной уравнения поверхности

=. ^^-уо) -Я^-о)

Показывается, что в точка разрыва возникает резкое изменение давления ^ г

котороз ыояет быть "ущсственпк?! при больших скоростях. Здесь Оу{ ...плотность шздкости.

3. Рассматривается поперечное обтекание тонкого тела вращения. Показывается, что уравнение Кармана для плотности поперечных диполей имеет образное ядро, что позволяет записать приближенное решение, Без учета влияния концевых точек О и 1 потенциал поперечного обтекания тонкого тела вращения с иоверх-нозтью р — К равномерным потоком, направленным вдоль оси

запишется в виде ( при = I )

Упоп^Х-Ь + фЪ?

г

С учетом влияния концевых точек

Щ?)

т:

/п

е-г__

<2— -. №

т,= ъе,

/77,=

7+4*29 + 1)

Ьсли пренебречь малыми высокого пошшка, то

"Ч> - ГГ 4- У? -Л Щ. тцопер ~*г -х'+иг

Выражение спр—а представляет собой тишский потенциал басцирку-лярного о^гокшия цилиндра радиуса {¿(з) .3 плоскости

течение зависит только от радиуса к(-?:! и не зависит от остальной поверхности (принцип плоских секс лй).

Полученные выше формулы могут содержать время {' «т.е.могут решать нестационарные задачи (например, пульсирующий потог: .деформируемая поверхность и т.п.).

1 11« фиг Л показано влилниэ шломл (наруваиив непрерывности /2 Ш на точность решения, т.е. на функцию му из уравнения

Вблизи излома (который не догусквется условиями бли8)/ой области ) точность нарушается.

-¿>11 г. I

m 0.08 0,06 о,он 0,01

~Cr

.6-

_0.

<ï _ f 7-3

я

ô ~6

¿».2 OH ■ 0$ 1 2

ftir.2, Бозггуцонпая ксестельная скорость па псзерхгссти эя~.

лгмсехяа грз^егия при продслькоы сбтзкгшы. --"очное ревс-

няа, о с о предяагебкал теория.

ГЛАГЛ и. ОБТЕКАШ ТОНКОГО ИСКРИВЛЕННОГО УЕЛА с почти КРУГСШМ СЕЧЕШ21

Зедгг-га о ¡roco*j сбтекгшш топкого ососпкмзтричногэ тела рав-искзрпм потокоа обобщается здесь иа случай обтекания искривленного прогзранствешюго тэла с почти г^у^овы:-! ев^ошеч произвольна ( m обгзсто-ыго равномсри»*-.. ; певоэ ¡сданным потокси.

И о :t р п в л о м к и ¿4 телом г>*т:1 кругового сеченал будоы назкаать пространственное тзл^, у которого поперечное сс:з1з:о, порпендэткул.трпсо г.гкотсрой яишв! (осп), почта круговое се-

_»оя!М с радиусом Я(С) (где длина искривленной оси, отсчиты-

от кгноторой точки). Потенциал невозцузденного потока обозначим через j0(N) . Терши "почти круговое сечение" означает, что:

а. Контур сечения, перпендикулярного оси, представляет собой некоторый овал относительно точки 0 и в локальной систеиэ декартовых координат U О? этот овал отсекает на оспхОы и Og-отрезки, разные ¡Z(d) , .

б. Если радиус кривизны искривленной оси равен Q^P

прн & этот овал должен переходить в окрушгобть ра-

диуса k(cj .

Введем локальную систему координат ( , ^ , ? ) с центром в

с

_ 16 -

переменной точке А/ на оси 6 . Ось "X. направим вдаль касательной Т к искривленной оси,, ось Ц пусть лежит в плоскости, образованной векторами'? и V Сплобкость набегания ), & ось ¿f перпендикулярна плоскости набегания.

Пересечение положительной полуоси с поверхностью тела определит боковую точку , а пересечение отрицательной полуоси W с поверхности определит встречную точку i?2 < Совокупности этих точек образуют на поверхности тела боковую и встречную линии.

Потенциал обтекания искривленного тела будеы искать в виде .

где %(Ау есть потенциал невозцущенного потока, плотности распределения и JÜ неизвестны и подлежат определению, М произвольная точка искривленной оси, ^Рцсг и У^опеьпотенциалы источника и поперечного диполя .•

10 _ _ у? _ Э_ 1

тЧст ~ jNMt , Тпоикр ~ щ ¡NHL

Общее пк.'этенив для искомого потенциала i-f> удовлетворяет уравнение Лапласа, условию на бесконечности и нам остается выполнить лиш граничные условия на поверхности тола. Поскольку в нашем распоряжении есть только две игранные функции от одного аргумента Аи jl, то потребуем, чтобы условие обтекания выполнялось вдоль встречной и боковой линий

~ л _ /О

_ 7>п, с) ~и

Показывается, что ядра соответствующих интегральных ураннз-

кий с)- образны, что позволяет испольгоза-л • теорию гхавы I.

В первом приближении потенциал сбтекония искривленного пространственного тела потоком записывается в в идо

Ч = % (щ ~эъ) Щ

В этой формуле считается, что

Ш ы/Л** __ '

Щ + \тх /УТн'2'

в работа показывается, что полученная формула преврацается найденные ранее выражения для потенциалов продольного и попа-ачиого обтеканий обычного тела вращения, если рассмотренная десь общая задача сводится к этим случаям.

Из формулы для потенциала искривленного тела следует, что гол о( меяду скоростью набег^щего потока и касательной к кск-изланкой оси определяет тип особенности, используе?*зй при пост-оснии потенциала. Бели (например, искривленная

сь лежит в одной плоскости и поток, набегает по нормали к этой лоскостм ), го потенциал строится только с помо;;ьо поперечных иполей. Примерен этого случая является поперечное обтекание сескииетричного тела (метод Кармана). Если Ы -О .то потения-л строится с покоцьо источников, интеграл от которых с по1я^ьо нтегркрования по частям ысае? быть сведен к интегралу от про-ольных диполей. Кинематически зтот случай означает, что нскрив-енная ось совпадает с линией тока невозцучс1..1эго потока, налра-ор, продольное обтекание тонкого осесиыметричного теда ).

1*ДАйА 1У. ТиЧНОЕ РЬ^ШИЙ ЗАДАЧИ О ПРОДОлЬШЫ ОБТслАНИИ КОНУСА

В работе выволится выражение для функции тока при продольной бтокании конуса. Знание отоЯ функции позволяет качественно рьс-кстреть различныэ варианты обцзй формулы и дать наглядное пред,-тавлониэ о кортннс течения.

Если искать вырояен'/е для функция тока в вздв

Ч^ = р • -^(ы)} и =г (4.1)

о шано показать, что 1-П] )

досьХГп,Месть производная функцая Лааоедра порядка/^.

Пря продольной обтехлник конуса с утлом полурастасра Ы вг-;йчкна. Щ определяется из условия {- (Ъ^сУ) — О.

Показывается, что "чзлкчныа значениям /77 отзечист кзвестмич (ункции тока

АЛ = 3 О1) 0'5~<-"Ка.чие «ануса

> 1 . J Ы - 63-'

2 - 18 -07=2 обтекание вертикальной стенки

171=1 ^ У = равномерный поток »

/77=-/, ■ -, источник

ЩзоизЕодная диполя

Существенно, что значениям /71-0' 1 соорветствует"присоединенная функция Лежандра , .. ■ *•-.■

Для потока, набегающего на внутренность' конуса выйодигся пр::б-, . хнжаниал форц/ла

т =217-,5°/о(0 - 0,5"'.

Например, при СХ^-бЗ0 относительная погрешность составляем 1,6$. В работе показывается, что обобщение.формулы (4.1)

V = f/P

ножет удовлетворять днадеренциальноцу уравнения ( для функции то-^только при I, т.е. выражение (4.1) не может быть обобщено.

ГЛАВА У. ПРОДОЛЬНОЕ 0БТЕШ51Е ОСЕСЖЫЕГРИЧЮГО ТЕМ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Дусгь продольный безвихревых поток идеальной несжимаемой гид-кости, имеющей на бесконечности скорость \оо а I, обтекает тонкое тело вразцеккя, часть ь^верхности которого заранее неизвестна, а вместо этого вдесь задается касательная скорость (свободная граница потока) (фиг.З). Задача сводится к нахоаденга потенциала течения и формы свободной границы.

- 19 -

Будем считать, что для всей обтекаемой поверхности О граведяивы условия /, а\

-л ¿г* л

(ось участкам (-1-6,-1) и ( 1,1 +0) соответствует твердая (йнкца с .уравнениями поверх!, . юеатвль-

ш скорость на неизвестном участке повэрхностя, задан-

ие функция.

Неизвестное уравнение свободной поверхности пря £ £ (-1,1) )означсо1 через Т (?/и будем считать, что (%)•

[я корректности и упрочения внхладоя п дадьнвйяем считается, ю обтекаемая область удовлетворяет условиям тонкого тела (гла-I П ) и

' I) в точках + I функция (?) фО

2) функция нзпрерывна всюду, кроме точзк

3) функции . Ц- (¿) п^л^штся чвтнша,

. ТГ 0<

Услозкв свободной граница позволяет подуст, сс-

юо уравнение для функции р =

Л = <<( (ут /й-г1' -1)¿г

С поыоцьа доеольио громоздкое преобразований основной опера-¡р Т[р] (5.1) копет быть приблкгенио заманен динейтш опера-

ТЩ -- ч й Уг Л гУг -РЦ

тиоо

- 20 -

Уравнение (5.2) допусаает интегрирование при ^ £(-1.0)

г? г

Эта формула дает приблякенное значение для функции с ¿2/- \/р Полученное приближенное решение (5.3) уточняемся с помощью матода последовательных приближений Ньютона-Канторовича для рз-шнея иелюеШшх функциональные уравнений

Р^ = Рп-[гШГгЫ]

где ро есть решение уравнения Г~О , т.е. функция (5.3) Г1 есть производная Фржпе оператора Г ^Г[ъгчъ обратная операция для оператора Г1 .

После проведения необходимых выкладок можно получить соот-

„ (г 7

нееендз

[ьютона-Канторовича выполняются:,

Ч

Условия сходимости метода Ньо если параметры задачи удовлетворяет удаэаннш вызз трем требо-'. водилы и

ГЛАЗА У1. 0СВСШ£ЯРШШ£ ЮШЬРШ Б ВДМЬШЙ ЩОШ'

С помощью общей теории главы У здесь рассматриваются закоио-»¡зрности кавитационного обтекания осесимметричшк тел. Полагая

^ « I + 0,5'0 ( где <¿1 есть число кавитации) «окно с поиощыо форцулы (5.3) получить выражения для р(2) - £ . Однако

при этом получается н-з аналитические формулы, а таблицы чисел, поскольку здесь необходима помощь ЗШ. Мы рассиотр!Ш упрощенную форгзулы для параметров казерны.

При значениях ~£ , удаленных от точек схода (входа) струи ? а в + I получается приближенное вирахенле для формы свободной гра-

т.е. каверна вблизи сгредкны ведет сеОя вытянутый зллипсоцд вращения. Будем строить форму осескииетркчной каверны при следующих допущениях:

1} рассматривается течение по схема РябуЕИНсг:ого, т.с.имеется сюогегрия относительно плоскости 2 ~0

2) свободная гралкпа предстазхяс? собой дугу оллилса

3) отношение радиуса насадка к радиусу каверны допускает структурное представление

гЩ(б-а)

где параметры А и У зависят от плавностя нлн резкости отрыве потека н от угла отрыва.

' С учэгом уравнения (&.1) ^ »■оняогездучЕть (при 2=о)

6 = А2- Сп ^ '

Решая это уравнение относительно }\ мы ка!&еа

)\ш 1,50-б0'90; 0,05^4<0,18 1Ь физических сообразен:«!} ясно, что чем иэнъое Д (отнссэ-тэ осей эллипсоида (6.1)}, те>1 1»ньзб> чкело каватацкк ¿> ,т.в. с\ ЬМ А > 0 • Условие ($6/с1 Д =0 ♦ позволяет найта предельное число кавитации

=0.2

ПрзЕы^гнпе этого числа приводит к соотноганга С*о/с* л < О^то фкзкчоски нзреально. Тш::ш образен, устойчивая кеверна суггчс^*-суэ? п продолах О < О, 2.

При обгонит конуса 1случйП резкого огрета сотом) а-юпа шсспгртгангалыпа данных Р.Кнзппа пээва?.гзт нгдхеать сло^тдтэ для параметров А и "У в форцуло (6.2)

Отсюда легко получается с л еду» .це а гыражишз ддя фории кдгерни ~С (■£) » ой глобальных характеристик ■

в -Iя

ъ л

I-

А = 1,58 -6

1

^ ~ ор\ ■ о ' /^/рты

где

Дал каверны аа сферой ( случай плавного отрыва потока ) мокко записать следуюцие соотношения

о. А

В работе аналитически выводится коэффициент С^ за конусом

Сг = схо + §-6

Эти соотнесения удовлетворительно совпадают л эксперименталь™ ныш! данными.

Для того, чтобы вывести коэффициент С^за эллипсоидом вра-гдения с отношением осей В используются два допущения:

1. Угол отрыва потока а точке "¿-вне зависит от отношения осей е • а зависит только от числа кавитации (Ь ,

2, Распределение касательных скоростей на эллипсоиде при навигационном обтекании отличается от бескавитациоиного обтекания лихь множителем, который линейно зависит о? £ .

Первое допущение опирается на выражение для угла отрыва О^оТр для сферы / / о ,

-ЬиЫогг =4*35°-0,4.6

второе допущение использует точное значение потенциала продольного обтекания эллипсоида вращения для нахождения скорости при кавитанионном обтекании.

Коэффициент при кавитационном обтекании эллипсоида (отнесенный к среднем/ сечению эллипсоида) олзеделяется по форцуле

гдо

есть потока, а

£.= * + Уи-е*/г'2(е)

Ъо

Г f00 ofu_

L° ~ е Jo ТёЩТйи^

ЪМ

Начисление этого интеграла дает

(1 -ег)Уг

. "1

Ото слокноо точ?!оа выражение дтя кояот бить ашлтчо приближенным /-~Гыг

ъМ.Х2^

I 1,82 +0,6¥'e е > а "

При числе кавитацк 1<Ь~0 кооффкциент С^. эллипсоида вразеиия будет равен — ^

Чсо ~ ' ( * ~ ГГГР/

где для сокращения письма положено

¿С -/V- J-J- (Ъ-н.**!7

( 6 + 3EV(3f-2)

t - i -г у' f~t 2 t

Напр 104ер, для диска Ct[ooJ~ О8 ■*■ О • с}сры

Сх(1) ^0,28

Если рассмотреть коэффициенты Схс и ^хо ' эДесь 101 будет иметь — . .

Схо (1) = 0,28 Слв(4) -..0,41

Сую (0,5) - OJ3 Coco(0,5) - О, ЬО

схо (о^ь)-0,013 • (о,ъу = 0,40

Coco (0,20) ^0,030 С*.* (0,20)= 0,4)

Таким образов прослеживается любопытная закономерность*,почти постоянство коэффициента Сад, отнесенного к сечению, в-точхе отрыва.

3 настоящее время для определения параметров каверны приходится в основной пользоваться экспериментальными или чиоленны-ыш данными. Практически бтсутствуют надежный форцулы, которые позволяют найти, например, параметры каверны за конусом при произвольном угле подураствора или за сферой при числах кавитации ,

0,05* ¿<0,20

Такая же ситуация имеет место при обтеканци .сферы или эллипсоида. Ниже приводятся графики, которые показывают соответствие

метр каверны за сферой (о о цуса от угла полураствора,(о О

К.Боеннен) чЛД.сгштеЙн)

ГЛАсА УЛ. {¡РОДи^ЬяО^, ОЬТьгАШа, СЛДицгппОГи ТЕЛА СО сл/ь-^пч.,: ГРАгУ^^'

Ьдное вьраженле для потенциала продольного обтекания сплю-

- 25 -

¿иного пространственного тела, полученное а главе И, позволяет ассмотреть случай, когда форма части поверхности неизвестна,а кесто йтого здесь задается потенциал течения (свободная гра-ица потока). Поставленная таким образом задача аналогична за-ачэ об обФекании тела вращения с заданным распределением ско-эстей кг части поверхности, рассмотренной в глазе У. Как и в зескшотричжж случае, тахое течение обобщает случай кавитаци-4кого обтекания сплющенного пространственного тела. Поток здесь питается безвихревым, жидкость вдеалыгаЛ к несжювеиоЯ. Для эостоты будем рассматривать случай острых кромок.

Пусть вся обтекаемая поверхность ? ч) . (где У/

9 5л имеет кусочков задание. ^

функция ( X | у ) задана (твердая граница), а ( ^ ) >известна я определяется исходя из задания здесь потенциал те-жия где (-ХМ)^ а £ - Цх^)

Требуется найти потенциал течения во всем попке и уравне-18 свободной поверхности £ - Ч) •

Б терминах математической физики Требуется реаитъ задачу >ймана для внешности сплющенного тела при условии, что часть 1Вврхности неизвестна, а вместо этого здесь задается условно [рмхле.

Задача решается в предположении, что границы областей 20 я 5 (контуры ¿.я гладкие, а поверхностьр {X , и ) удсмет-£яет условиям сплющенного тела (глава П). Иэвсстнш потенциал Р считается аналнтйчнш в области 5 в __

141*1 <е

евозмущенный поток имеет потенциал ОС. ). ^ Основное уравнение для неизвестной фунгсж» ^ ( X , Ч ) ю*>-

есь у — у-("X' и • ьела пренебречь нелинейностью ядра, то о соотношение вы^схдчртся в интегральнее угавнени»; »рчдгольм« го рода относительно ¿унхции ( 1' ,1/ }.

Чтобы наЯтк ггги5лкх»н'!ое гггение основного угчвчякия, пг«,х~ «агается, что паз.тгкения

выполняется с больной степенью точности. Заменим Неизвестную, функцию -j ("X , Ч ) в ядре некоторым осреднению« значением j . Основное уравнение заменится дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка

+ - И-О

где для сокращения письма обозначено (i ~0j -iXJ

ä r . Опираясь на приближенное решение, мохно построить метод последовательных приближений для решения основного уравнения (7.1). С »той иелью аапкнем его в виде

, т [furffj+rffj

где оператор / /ту есть главная часть основного оператора

f ] , а ^ есть оператор-довесок, выбравший в себя всю сложность оператора Т

дарованный метод последовательных приближений Ньютона-Канторо-

= /„ -гшгт .

В данном случае производная Фреше оператора Г~ имеет вид

где через Ц ("ХгД, обозначено приращение функции -// У и ) У • Тогда обратная операция ,

* Л» "{гШ-фт]

есть реаекие относительно П^ уравнения

Таким образом, мгтод последовательных приближений можзт быть «аписам в виде

- 27 -

В качестве начального приближения можно взять реяение уравнения [-К 7.= 0 , т.е._найденное раньше приближенное решение.

Так как О -+0при I , то мы должны отбросить ре-

шение однородного уравнения и искать только частное решение.

Предположение, что обтекаемая поверхность £ — ^7-2* Ч) р удовлетворяет условиям тонкого тела, означает, чта^а контуре (линии соприкосновения твердой границы ^ и сво£оной границу ) функции р-, и Гр до.'змы быть непрерыв!Ш. Отсюда вытекает ; что должны выполняться равенства

где У есть нормаль к контуру С . Эти соотношения должны быть выполнены за счет параметров задач* и поэтому являются условиями разрешимости поставленной задачи. Таким образом, для сучест-вования решения необходимо наложить ограничения на два функциональных параметра задачи (свободные параметры).

ГЛАВА УШ. ЫЕГОД НЫШ^ШШ-РАСПРВДьКгШЫХ ДййШ Использованный в главе П метод непрерывно-распределенных

позволяет найти потенциал продольного обтекания тонкого тела вращения с поверхностью р =

По аналогии с этой форцулой предлагается 1«гтод непрерызно-

распределенньвс дисков

' '4

= %

Т—УТ- *

А =

Здесь ^Диск есть потенциал обтекания диска, а неизвестной Функцией является Л( I ^ ). Для во определения необходимо »использоваться условием оотехания поверхности О -

лГ , . 0 • , ) .. .

О

Ъ Г*!** ^

- 28 -

фунхшш 'Э дхск /Ър пропорциональна производной от £) -образной функция и с помбцьв формулы (1.1) на главы I мы иовви написать ^

вЫ

Первое приближение по методу непрерывно-распределенных дисков значительно точнее, чей первое приближение подотоду диполей.

ОСШЙШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ,ШНОСИШЕ НА ЗАЩИТУ г -

1. Теория ё - образных функций » резение интегральных уравнений с § - обраакшш ядоама.

2. Простейяие вадачи пространственной гедромеданикн ( обге-шии тела, близкого к заданному» продольное."обтекание соиэцзн-ного тела, продольное м поперечное обтекание тонкого тела вра-члшю, применение теории в нестационарных задачах ).

3. Обтекание искривленного тела с почти круговом сечаняеы произвольным безвихревым потоком.

4. Точное рекеиие задачи об обтекании бесконечных кснусог.

5. Продольное обтекание тонкого осесимметркчного тел» с еаданюш распределением скоростей на част поверхности.

6. лавитацконное обтекание тел вращения.

7. Обтекание сплющенного тела с веданный распределением потенциала на части поверхности.

В. Метод непрерывно-распределенных дисков.

СПИСОК ОПУБШОМНШХ . г£0Т ПО ТЕИ£ ДИСС£РГАЩИ

1. Тайц О.Г. Движение тонкого осесккиегричного тела в несхм-ыаемоЯ ямдкости под углом атаки. - Зестн.ЛУ ,1965, 9 13,с.128-135.

2. Тайц О.Г. Обтекание осасимметричного тела с заданным распределением скоростей на части поверхности. - дурн.прихл.дох. и техн.фаз. 1968, » I, с.00-35.

2. Тайц О.Г. Сбтеканне тонкого тела вращения со свободной граница. -¿зв.Ап СССР.¡¿ехал.жидк. и газа,1969, I, с.