Некоторые линейные стационарные граничные задачи гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с микроструктурой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ-БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД

' ' на правах рукописи

УДК 537.2:532.516

даМЙАК МУРАД ФАДЛ АЛЛА-

НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНШ СТАЦИОНАРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ НЕСШАЕМОЙ ЗЩКОСТИ С МИКРОСТРУКТУРОЙ

А в т ореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физик®-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения и 01.02;05-механика жидкости,газа и плазмы

Научный руководитель -доктор физико-математических наук профессор ШТЬШЕНКО М.Д.

- Минск, 1994 г.-

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и робототехники Белорусского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор технических наук

академик АНБ ШАШКОВ А.Г. доктор физика-математичеокюс наук профессор АБРАШШ В.й. Ведущая организация - Львозский гоуниверситет

Защита состоится апреля 19% года в 10 часов на заседании Специализированного совета К 05®.03.01 в Белорусском государственном университете по адресу : 220080 г.Минск проспект Ф.Скорины,8 Бёлгосуниверситет гл.корпуо,ауд.206

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан " * марта 1994 года

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических

наук доцент ^ K0P3BK В.И.

э -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Классическая гидромеханика занимается изучением движения жидких вязких сред б предположении, что возникающие в них напряжения описываются симметричным теяоором напряжений. Это предположение имеет определенные пределы достоверности,и потому стремление к их уточнению и объяснению порожденных им парадоксов обусловило появление асимметричной гидромеханики. Постоянно растущий интерес к асимметрической гидромеханике вызывается также и проблемами практического использования термодинамически устойчивых состояний вещества, промежуточных между твердокристаллическим и изотропножидким, которые иногда именуют« 1 оя жидкокристаллическими,мезофазными,анизотропными,парактистал-лическими.Вещество, находящееся в мезофазном состоянии, называг-етоя жидким кристаллом. С точки зрения механики сплошной среды жидкие кристаллы относятся к микрополярным средам, в которых каждая элементарная частица имеет шесть степеней свободы- три линейные и три вращательные; существенной их особенностью является наличие- силовых и вращательных /моментных/ взаимодействий элементарных частиц. Поэтому напряженное состояние таких сред описывается несимметричным тензором силовых напряжений и тензором моментных напряжений.Для обычной среды моментные напряжения отсутствуй ют, а тензор силовых напряжений симметричен.

Асимметричная механика сплошной среды берет свой старт с работ братьев Е.и Ф.Коссера /1905-1909 гг./, оставшихся незамеченными в асимметрической гидромеханике, и,в частности, в теории жидкокристаллического состояния вещества, начало которой восходит к 1925 г.-времени появления работ С.В.Озевна.В этой и последующих работах, других авторов обсуждались методы описания жидкокристаллического состояния вещества, техника введения ориентаци-онных полей, учет различных физических эффектов й т.д.Термин "асимметрическая гидромеханика" был введен,по видимо><у впервые, Э.Л.Аэро,А.Н.Булыгиным и Е.В.Кувшинским в статье под. одноименным назанием в 1964 г./ПММ,т.29,с.297-308/, в которой авторы, обобщая итоги теоретических, и экспериментальных исследований, построили стройную феноменологическую теорию жидких вязких сред с несимметрическим тензором напряжений- ввели понятия тензоров

скоростей деформации,микрокручения и микроизгиба, напряжений и поверхностных моментов, из термодинамических соображений вывели реологические законы сзязи между ними, на основе общих законов ИСС построили уравнения движения в компонентах линейной и угловой охсростел, сформулировали для них граничные условия и исследовали структуру общего решения этих уравнений. Сложность граничных задач асимметрической гидромеханики объясняется количеством разрешающих уравнений -их семь относительно семи неизвестных в случае несжимаемой жидкости-и типичной для гидродинамики нелинейностью этих уравнений.Поэтому большинство известных задач этой теории -репено приближенно, с привлечением различных упрощающих гипотез. Подробный анализ состояния асимметрической гидромеханики можно почерпнуть из широко известных обзоров Э.Л.Аэро и А.Н.Булыгина "Гидромеханика жидких кристаллов" /Итоги науки и техники. т.7'Тидромеханика" М.:ВИНИТИ,1973/ и Дк.Эрикеена"Исследования по механике сплошных сред"/Механика. Новое в зарубежной науке,М.:Мир.1977/

Из сказанного вытекает актуальная необходимость разработки методов решения, граничных задач асимметрической гидромеханики на основе разрешающих систем уравнений относительно компонентов линейной и угловой скоростей.

Целью настоящей работыявлшется разработка метода интегральных представлений линейных стационарных задач асимметрической гидромеханики и и-.сследование единственности их решения.

Основные новые научные результаты.полученные в диссертации и выносимые на её защиту, заключаются в следующем

-впервые построены фундаментальные матрицы решений линейных стационарных систем уравнений Навье-Стокса и их аналога в асимметрической./микрополярной/ гидромеханике вязкой несжимаемой жидкости и установлена их структура и свойства;

- впервые выведены первая и вторая формулы Грина для линейной стационарной системы уравнений асимметрической гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости и с их помощью исследована

единственность решения основных граничных задал для этой системы;

- впервые получено интегральное представление полей линей-

ной и угловой скоростей и давления в микрополяркой вязкой жидкой несжимаемой ореде и а их помощью сделаны выводы о единственности определения давления на основании решения соответствующей системы дифференциальных; уравнений.

Достоверность основных научных результатов и выводов диссертации обеспечена использованием методов и рассуждений совре*. менной теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, непосредственной проверкой удовлетворения столбцов фундаментальной матрицы исходной системе дифференциальных уравнений, совпадением окончательных формул и утверждений с известными классическими результатами и выводами в частных случаях. При использовании известных методов современной математики всюду в диссертации сделаны необходимые ссылки на первоисточники.

Теоретическая значимость и практическая ценность. Диссерта ция имеет характер теоретического исследования линейных стационарных задач гидромеханики вязких несжимаемых микрополярных жидких сред.Полученные в ней научные результаты могут быть использованы доя дальнейшего развития этой теории, а также для численно-аналитического решения конкретных практически важных задач с помощью метода граничных интегральных уравнений.

Публикации. Основные результаты- диссертации Отражены в нижеприведенном описке 5; публикаций.

•Апробации . По материалам диссертации были сделаны доклады на У1 республиканской конференции математиков Беларусии /г.Гродно,1992 г./,на международной 'конференции "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике" /г.Минск,1993 г./,на международной конференции"Келинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики/Вторые Боголюбовские чтения/" /г.Киев,1993 г./.

• Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.Материал диссертации изложен -на 109 страницах машинописного текста. Список использованной литературы включаег 70 наименований,из которых 54 на русском языке, 1§ -на иностранных языках

- б -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ -

В введении дается обоснование темы выполненного в диссертации исследования, сформулированы цель работы и новые научные результаты, впервые полученные автором и выносимые на защиту, а также кратко изложено содержание работы по главам.

В первой главе диссертации, следуя классической работе Э.Л. Аэро,А.Н.Булыгина и Е.В.ЭДвшинского /ГШ,1964 г.т.29/кратко излагаются феноменологические основы асимметрической гидромеханики. Все рассуждения этой главы ограничиваются рамками механики сплошных сред и не касаются молекулярной природы микрополярных жидкостей и вопросов практического обоснования физико-механических параметров микрополярной среды. Другими словами, постулируется существование таких постоянных >.,/-' # У » 11 , 'V » 6 > что вяэкоупругие свойства жидкости описываются следующими реологическими законами :

% = - /ч,- * к ^ г щ -*)(1)

Лг 2% &к, -г ^ + £ <¿Л^

где обобщенные скорости деформаций и связаны с по-

лем линейных Ч/ и угловых скоростей <2 следующим образом :

, ^уЯ' ' ^ (Л

Внося (1)-{1\ в уравнения равновесия

которые в микрополярной теории представляют математическую запись теорем об изменении количества движения и момента количества движения, придем к следующей системе: дифференциальных уравнений для \г и :

—г"

С// ... 2) г К ¡я _ длас!Р ■= £

К этим уравнениям присоединим условие несжимаемости ореды:

(А)

Система(з)-СА) является основной в настоящей работе. Её особенностью является то, что старшие производные искомых величин Т/ , .£2 и Р имеют разный порядок ►Это, однако, не нарушает эллиптичности системы (з)-(К-) , поскольку характеристический определитель равен:

М/Цк) = е*(0+ч+ *)*[> Г«)] у - V* <

Завершают первую главу формулировки основных граничных задач для системы(з)-(А) для областей о неп-роницаемой границей.

Вторая глава посвящена построении фундаментальных матриц решений для системы (3)-(А) и её частного- случая -системы уравнений Н&вье-Стокса, которая имеет вид

/I ьъ - угм:1р - £

Методом Леви -Купрадзе в этой главе построена фундаментальная матрица системы , которая имеет следующий вид:

где

, 17)

Вое элементы этой матрицы, кроме /"'(х) ; ранее были выведены

Одквистом, а затем о привлечением современных методов О.А.Лад дыженской.Член^Ос)^-/'^^ «где £(а:) есть дельта-функция Дирака, был впервые- найден в настоящей работе.

Затем этот' ке прием использовак во второй главе для построения фундаментальной матрицы решений системы р)-(А) ;она имеет следующий вид:

где

'<» ЛГ/'ЦКЛ Г * Г 1 -Ц/'Ь/* г и

В конце второй главы устанавливаются необходимые для последующего изложения свойства этой матрицы.В частности, доказывается, что она является решением такого матричного уравнения:

где М^) есть матричная запись правой части системыСд|-(А) , £ -единичная матрица размера 7x7, <£(х) -функция Дирака.

Третья глава диссертации посвящена граничным задачам для системы (з)-(М . Здесь выводятся первая и вторая формулы Грина для системы Сз)-0) .которую сначала переписываем в более симметричной форме с помощью таких параметров:

j •■< , l,t-T. , * ~Ч «-Г

Обозначая через V(x) столбец из компонентов векторов is(x) » . и ^(г) .запишем эту оистему в таком матричном виде:

//(X) VN - (ii)

где

о о О

/ 17 ° "^З 0 -4-А

с? о (Л*) -а-лаг. го, о

с? —i^V ¿DC^z

y-i'ib. ¿-О, о ^Мда^мч^

\ О О о о"

Тогда первая формула Грина примет следующий вид:

ijiw^v+mwjJx^fii -<- ^/'/j ^ •

где

V) iTcLr tT^lhz^J^ X -fcl^- г

3 з

ft

-t

4 i [Л1!» -^^Ф^л^- -1Л

f f-i РЛ- v*рл ^f

ZZ [VЯ-- r^^-1Цч-\4-fü

i)

+ г . t

—>■ (-¡-7)

/'м = 2, ^ ^ С М ^ а1 + СМ 'V Я)

Здесь область 5) может быть как конечной, так и бесконечной; в последнем случае от подынтегральных функций в объёмном интеграле требуется регулярность на бесконечности.

Если Т/ , ¿2. , р есть решение системы (ъ)-(и ) .ю формула (15) упрощается очевидным образом.

Для системы (2)-(К) естественными являются задачи с граничными условиями одного из следующих типов: I тип:

гг(-х)1 ОМ] = ЬМ (1$)

П тип:

-л* Я]1

С-1 Ч

■ ЪчМс ! = ¿(-х), „71

Возможны также граничные , в которых комбинируются условия этих двух типов или же они задаются на различных участках границы.

Формула Грина (4 5) позволяет исследовать эти граничные задачи на единственность.Здесь доказывается, например, что внутренняя задача с первым типом граничных условий и все внешние задачи допускают не более одного решения /регулярного на бесконечности в случае внешних задач/как при определении линейной и угловвй скоростей, гак и давления.Любые два решения внутренней задачи со вторым типом граничных условий могут отличаться на выражения такого вида при нахождении скоростей :

*а. ^"х , , ¿Г- сог)й ,ь. {ас)

Несмотря на это, давление Р('х) даже при втором типе граничных условий определяется единственным образом и для внутренних задач.

Из третьего уравнения системы (э)-^) немедленна вытекает такое необходимое условие разрешимости внутренней задачи с первым типом граничных условий или же с любой его комбинацией:

Это же условие фиксирует выбор векторов а и Ь в формуле (АО .

Следует отметить, что доказательство единственности определения давления в гидродинамических задачах представляет нетривиальную проблему, поскольку в граничных условиях оно фигурирует только при задании силовых поверхностных напряжений. Поэтому в диссертации пришлось привлечь интегральное представление искомых величин, которое было получено на основе второй формулы Грина для системы (з)-СЬ-) .

Обычными рассуждениями в этой главе получена вторая формула Грина для системы(^-(А) в таком виде:

В силу отмеченного выше свойства фундаментальной матрицы решений 77/формула (1С) / из£аг)-(г.з) немедленно вытекает- такое интегральное представление гладких реиений системы (12)

(Л1)

гд<

£

где о

3 л

Из формулы О вытекают* интегральные представления компонентов линейной и угловой скороотей и давления,которые содержат как частный случай известные выражения для скорости и давления, полученные Одквистом для обычных вязких жидкостей« В качестве примера приведем выражение для давления в микрополярной жидкой вязкой несжимаемой среде:

Как слезет из этой формулы, давление в микрополярной жидкости зависит столько от граничных значений = 'У^ ^¿р^А К ? и и не зависит' от- моментных напряжений ** на .9 . Микроструктура жидкости проявляется при. этом тем, что поворот гриницы приводит к изменении давления внутри объёма.Эти факты можно объяснить, исходя из уравнений равновесия микрополярной среды в напряжениях-моментах п. реологического уравнения состояния.

Формула (.3^) позволяет выписать стандартным способом граничные интегральные уравнения основных краевых задач для уравнений (а1)-(М и затем решать их численно-аналитическим методом по стандартным программам- на ЭВМ.

В заключение перечислим основные новые научные результаты, полученные в диссертации и выносимые на её защиту.Ими являются :

-фундаментальная матрица решений линейной стационарной системы уравнений Наэье-Стокса и исследование её структуры. Установление присутствия в её соотала наряду с известными сингулярными решениями Одквиста в качестве существенного элемента дельта-функции Дирака и вывод с её п-омощью интегрального представления давления в вязкой несжимаемой жидкости;

-установление эллиптичности обобщенной системы уравнений Навье-Стокса, описывающей линейные стационарные'движения вязких несжимаемых жидких сред-с микроструктурой, и построение для неё фундаментальной матрицы решений. Исследование структуры этой матрицы, её свойств и установление овязи с известными сингулярными решениями, механики сплошной среды /Одквиста для классической вязкой несжимаемой жидкости и В.Нбвацкого для моментной теории упругости/;

-вывод первой формулы Грина для обобщенной системы уравнений Навье-Стокоа в линейном стационарном случае и исследование с её помощью единственности решения основных граничных задач для этой системы. Установление их единственности з бесконечных областях при любых формах задания граничных условий, обеспечивающих возможность применения первой формулы Грина, а также для ограниченных областей при задании на их границе полностью или частично компонентов линейной и угловой скоростей. Исследование структуры решения однородных задач при заданных на границе силовых и.моментных напряжений;

-вывод второй формулы Грина для обобщенной системы уравнений Навье-Стокса в линейном стационарном случае и с его по-мойью- интегрального, представления гладких решений этой системы в ограниченных областях ;

~ и -

-доказательство единственности определения давления в вязкой несжимаемой жидкой среде с микроструктурой или же без неё, основанное на использовании интегрального, представления гладких решений обобщенных систем Навье-Стокса и первой формулы Грина.

Эти результаты диссертации йашли своё отражение в таких публикациях автора :

1.Мартыненко М.Д.,Димиан Мурад Фадл Алла.Фундаментальные матрицы решений линейной стационарной системы уравнений Навье-Стокса // Конференция математиков Беларуси.Тезисы докладов,ч.Э.Гродно: ГрГУ,1992.-е.113

2. Димиан Мурад..Линейные граничные задачи для обобщенной оиотемы Навье-Стокса// Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и матемагическо/1 физики.-Киев,:Наукова Думка,1993.-о.101-102

3. Мартыкпнко М.Д.,Димиан Мурад.Сингулярные решения стаг-ционарной линеаризированной задачи Навье-Стокса для микрополярных вязких жидких сред //Инженерно-физический журнал,1994.-№3

Мартыненко М.Д.Димиан Мурад.Пространственные линеаризированные стационарные задачи для микрополярных вязких жидких оред //Инженерно-физический журнал, 1994.-№4

5; Мартыненко М.Д. Димиан Мурад.Гидродинамические потенциалы для микрополярной задачи Навье-Стокса//Инкенерна-физиче--окий журнал /в печати/

Подписано к печати п ¿7 "иих/мгих. 199;, г.Формат бОхВП/16, Объем I п.л.-Тираж 100 экз.Заявка № 226. .Бесплатно. Отпечатано на ротапринте БГУ: Минск,ул.Бобруйская,7.