Метод непрерывного усреднения в задачах динамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Усреднение в системах с быстрыми и медленными переменными

1.2 Вложение отображения в поток.

1.3 Задачи, связанные с расщеплением сепаратрис.

2 Метод непрерывного усреднения

2.1 Метод непрерывного усреднения в автономном случае

2.2 Метод непрерывного усреднения в неавтономном случае

2.3 Выбор оператора £

3 Мажоранты

4 Задача о вложении отображения в поток

4.1 Постановка задачи и результат.

4.2 Формализация задачи.

4.3 Обратимый случай.

4.4 Применение метода непрерывного усреднения.

4.5 Сведение к симплектическому случаю.

4.6 Замечание о требовании С2 -гладкости векторного поля

4.7 Доказательство основной теоремы в симплектическом случае

5 Быстро-медленные системы

5.1 Происхождение задачи.

5.2 Постановка задачи

5.3 Основной результат.

5.4 Применение метода непрерывного усреднения.

5.5 Доказательство замечания о сохранении симплектической структуры.

5.6 Усредняющие уравнения.

5.7 Мажорантный коммутатор.

5.8 Основная лемма.

5.9 Доказательство основной леммы

5.10 Доказательство теоремы 5.1. Оценка для ии,

5.11 Доказательство теоремы 5.2. Оценки для и.

5.12 Свойства функций ф, фг.

5.13 Оценки для сумм, возникающих при доказательстве леммы 5.

Целью данной работы является описание метода, позволяющего получать результаты в ряде задач теории возмущений в рамках классической механики и теории динамических систем. Этот метод, названный методом непрерывного усреднения, является развитием метода усреднения Нейштадта [7], основанного на проведении большого количества последовательных замен переменных, каждая из которых "улучшает" исходную систему дифференциальных уравнений.

Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений: = Г(г).

Пусть система преобразуется с помощью следующей замены переменных: г г(г, А), где Д - некоторый неотрицательный параметр.

Метод непрерывного усреднения предлагает строить эту замену как сдвиг вдоль решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений: /(£,*), 0 < <5 < Д.

Отличительной чертой метода является то, что векторное поле / предлагается выбирать как результат действия некоторого линейного оператора на исходное векторное поле ^Р: = №

Этим метод отличается, в частности, от метода Ли и его гамиль-тонового варианта - метода Депри-Хори, в которых векторное поле / строится в виде ряда по малому параметру, присутствующему в системе.

Благодаря своей естественности, кроме получения принципиальных результатов, во многих задачах метод позволяет получать более тонкие оценки по сравнению с традиционным подходом.

Метод был разработан Трещевым Д.В. и впервые применен в работах [41], [42] при решении задачи приводимости для линейной системы с квазипериодическими коэффициентами. В дальнейшем метод был успешно применен для решения ряда задач динамики, две из которых рассматриваются в данной работе.

1. Afanasiev V.V., Chernikov A.A., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. The Width of the Stochastic Web and Particle Diffusion Along the Web, Physics Letters A, 1990, 144(4,5), 229-236.

2. Bambusi D. Nekhoroshev theorem for small amplitude solutions in NLS equations. Math.Z. В печати.

3. Conley С.С., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conjecture by V.I.Arnold. Invent. Math., 1983, 73, 33-49.

4. Delshams A., Gelfreich V., Jorba A., Seara T. Exponentially small splitting of séparatrices under fast quasi-periodic forcing. Comm.Math.Phys., 189, 1997, 35-71

5. Delshams A., Gutiérres D. Splitting potential and Poincaré-Melnikov theory for whiskered tori in Hamiltonian systems. Preprint, 1998, http://www-mal.upc.es

6. Delshams A., Seara T.M. Asymptotic Expressions for the Splitting of Séparatrices of the Rapidly Forced Pendulum. Comm.Math.Phys., 1QQ9 1 ЯПJ. Vf ^ J- V/ ^ A w •

7. Douady R. Une démonstration directe de l'écvivalence des théorèmes de tores invariants pour difféomorphismes et champs de vecteures. C.R. Acad Sci. Paris Ser.I Math., 1982, 295(2), 201-204.

8. Douady R. Applications du théoreme des tores invariantes, Thesis. Université Paris VII, 1982.

9. Eliasson L.H. Perturbations of stable invariant tori for Hamiltonian systems, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 15 (1988), 115-147.

10. Filonenko N.N., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic fields irregularities. Nuclear Fusion, 1967, 7, 253266.

11. Fontich E. Exponentiall small upper bounds for the splitting of séparatrices for high frequency periodic perturbations. Nonlinear Anal., 1993, 20(6), 733-744.

12. Fontich E. Rapidly forced planar vector fields and splitting of séparatrices. J. Differential Eq., 1995, 119(2), 310-335.

13. Galavotti G. Twistless KAM tori, quasi-flat homoclinic intersections, and other cancellations in the perturbation series of certain completely integrable systems; a review. Reviews in Mathematical Physics, 6, 1994, 343-411.

14. Gelfreich V.G. Séparatrices Splitting for the rapidly forced pendulum. In: Seminar on dynamical systems (St.Petersburg, 1991). Basel: Birkháuser, 1994, 47-67 (Progr.Nonlinear Differential Equations Appl., 12).

15. Holmes P., Marsden J., Scheurle J. Exponentially small splittings of séparatrices with applications to KAM theory and degenerate bifurcations. Contemp.Math., 1988, 81, 213-244.

16. Kuksin S.B. On the inclusion of an almost integrable analytic symplec-tomorphism into a Hamiltonian flow. Russian J. Math. Phys., 1993, 1(2), 191-207.

17. Lochak P., Neishtadt A.I. Estimates of stability time for nearly ite-grable systems with a quasiconvex Hamiltonian, Chaos, 1992, 2(4), 495-499.

18. Moser J. The analytical invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point. Comm. Pure Appl. Math., 1956, 9(4), 673692.

19. Poincaré H. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Vol. 1,2,3. Paris: Gauthier-Villars, 1892-1899.

20. Pôschel J. On elliptic lower dimensional tori in hamiltonian systems, Math. Z. 202(1989), 559-608.

21. Pronin A., Treschev D. On the inclusion of analytic maps into analytic flows. Регулярная и хаотическая динамика, 1997, 2(2), 14-24.

22. Pronin A., Treschev D. Continuous averaging in multi-frequency slow-fast systems. Регулярная и хаотическая динамика, 2000, 5(2), 157169.

23. Pronin A., Treschev D. Averaging in multi-frequency slow-fast systems. Proceedings of the International Conference on Differential Equations. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2000, Vol. 2, 955-961.

24. Ramis J.P., Schafke R. Gevrey separation of fast and slow variables. Nonlinearity, 9, 1996, 353-384.

25. Sauzin D. Caractère Gevrey des solutions formelles dun problème de moyennisation. С.R.Acad.Sci.Paris, 315, Serie I, 1992, 991-995.

26. Sauzin D. A new method for measuring the splitting of invariant manifolds, 1999, Notes scinetifiques et techniques du Bureau des Longitudes.

27. Simo C. Averaging under fast quasi-periodic forcing in Hamiltonian mechanics: Intergrability and chaotic behavior. J.Seimenis ed., NATO Adv. Sci. Inst. Ser. В Phys. 331, Plenum Press, New York 1994, 13-34.

28. Treschev D.V. An estimate of irremovable nonconstant terms in the reducibility problem. In: Dynamical systems in classical mechanics. Providence, RI: Amer.Math.Soc., 1995, 91-128. (Amer.Math.Soc.Transl.Ser.2, 168)

29. Treschev D.V. On the reducibility of the one-dimensional Scrôdin-ger equation with quasi-periodic potential. In: Dynamical systems in classical mechanics. Providence, RI: Amer.Math.Soc., 1995, 129-140. (Amer.Math. Soc.Transi. Ser.2, 168)

30. Treschev D.V. An averaging method for Hamiltonian systems, exponentially close to intergrable ones. Chaos, 6(1), 1996, 6-14.

31. Treschev D.V. Separatrix splitting for a pendulum with rapidly oscillating suspension point. Russian J. of Math. Phys., 1997, 5(1), 63-98.

32. Zaslavsky G.M. Stochastic Webs and Their Applications, Chaos, 1991, 1, 1-12.