Метод Остроградского и обратные задачи механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА В ФОНДЕ ЛАГРЖХА-ОСТРОГРДЦСКОРО. НАХОЖДЕНИЕ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДС-КОГО.

§ I. Основы метода Остроградского.

§ 2. Об условиях представимости уравнений движения в форме Лагранжа-Остроградского.

§ 3. Метод вспомогательных переменных

§ 4. О нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона - Остроградского.

§ 5. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах в механике Остроградского

§ 6. Примеры.

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ЗАДАННЫМ

СВОЙСТВАМ ДВИЖЕНИЯ.

§ 7. Постановка задачи.

§ 8. Построение канонических уравнений Гамильтона

Остроградского по заданным свойствам движения.

§ 9. Построение канонических уравнений Гамильтона по заданным свойствам движения

§ 10. Частный случай задания свойств движения.

§ II. Примеры.

ГЛАВА III. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В ФОРМЕ ЭйЛЕРА-ОСТРОГРАДСКОГО.

§ 12. Об условиях существования функционала,условия стационарности которого совпадают с заданной системой интегро-дифференциальных уравнений с частными производными

§ 13. Построение плотностей функции Лагранжа для уравнений типа С.Л. Соболева

§ 14. Метод интегрирующих множителей

§ 15. Метод вспомогательных переменных в случае нормальных систем дифференциальных уравнений в частных производных

§ 16. Применение аналога теоремы Г'амильтона-Якоби-Остроградского для решения задачи о движении мембраны с закрепленным краем в сопротивляющейся среде.

Исследование многочисленных систем различной природы приводит к дифференциальным уравнениям высшего порядка (обыкновенным и с частными производными), интегро-дифференциальным уравнениям с частными производными и другим видам уравнений.Постановки задач для таких систем часто не вписываются в рамки классических задач механики.

С другой стороны, в аналитической механике разработаны эффективные методы решения динамических задач. Распространение этих методов на системы,движения которых описываются указанными выше видами уравнений, является актуальной задачей.

В аналитической механике в основном изучались лишь системы, уравнения движения которых являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Если эти уравнения есть уравнения экстремалей некоторого функционала,называемого действием по Гамильтону,то они могут быть представлены в канонической форме.Согласно методу Гамильтона-Якоби задача интегрирования канонических уравнений сводится к задаче нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.

Однако еще М.В. Остроградский в работе [40] заложил основы механики с высшими производными. В этой работе рассмотрено действие, в котором подынтегральная функция зависит от неза -висимой переменной, произвольного числа неизвестных функций и их производных высшего порядка. Применяя вариационный принцип ,были получены дифференциальные уравнения движения высшего порядка. Введением обобщенных импульсов и обобщенного гамильтониана, зависящего от высших производных, полученные уравнения движения были представлены в обобщенной канонической форме.При этом была установлена связь между задачей инте -грирования полученных канонических уравнений и нахождением полного интеграла некоторого уравнения в частных производных. Это и составляет сущность метода Остроградского.

В современной литературе механику, в которой рассматривается функция Лагранжа,зависящая от высших производных,часто называют механикой Остроградского.

Дальнейшее развитие механики с высшими производными получено в работах [б8,70,71,73,76,77,79-81,83] и др.

Д.Андерсон в работе [б8] рассмотрел вопрос эквивалентности лагранжианов с высшими производными.

В работах М.Борниса[70, 71^ предполагается,что функция Лагранжа может зависеть от многих независимых переменных и производных высшего порядка по каждой из них от неизвестных функций. В результате были получены уравнения и тензор плотности энергии - импульса с высшими производными в теории поля.

Г. Коньола, Л. Ванзо, С. Зербини [73] , С. Хейз [74] , С.Рьян[81] и Х.Тессер[83] изучали вопросы квантования в механике Остроградского.

Е.Кернер [76] и Ф.Кеннеди [77] применили дифференциальные уравнения высшего порядка для описания взаимодействия двух точечных зарядов.

В работе Ф. Рью [79] дифференциальные уравнения высшего порядка использовались для описания движения спиновых частиц.

В работе М. Родригеса и П. Родригеса [80] рассмотрены обобщенные канонические уравнения,введены скобки Пуассона и доказана их инвариантность относительно канонических преобразований .

Дальнейшему анализу и развитию механики Остроградского посвящена диссертационная работа ГЛ. Редченко ^45] . В ней рассмотрены вопросы интегральных инвариантов и теории канонических преобразований, законы сохранения,изучалась групповая структура уравнений с высшими производными.

Отметим,что к механике Остроградского относят дифференциальные уравнения с высшими производными,которые встречаются при описании объектов различной природы. Например, уравнение Дирака для точечного электрона [бб] и уравнение четвертого порядка, к которому приводится задача о балке,лежащей на упругом основании [ЗО ] .

Несмотря на большое число работ по механике Остроградского, некоторые вопросы не получили достаточного развития.Это, в частности,относится к обратной задаче о представлении уравнений движения высшего порядка в форме Лагранжа-Остроградского. Решение указанной задачи позволяет расширить область применения метода Остроградского.

В работе [б7] М.С.Яров-Яровой нашел для нестационарной механической системы общий вид уравнения Гамильтона-Якоби,полный интеграл которого определяется методом разделения переменных. Естественной задачей является распространение метода разделения переменных на нахождение полного интеграла соответствующего уравнения в механике Остроградского.

Наряду с решением прямых задач в механике ставились и решались обратные задачи. Такой, например, является задача Ньютона об определении силы, под действием которой планеты движутся в соответствии с законами Кеплера; задача Суслова [ 59] об отыскании силовой функции,определяющей силы, под действием которых возможно движение голономной механической системы с заданными интегралами.

Дальнейшему развитию и решению обратных задач динамики посвящены работы A.C. Галиуллина [п-13] и его учеников,которым, в частности, принадлежат работы ¡37,38j . Причем для решения обратных задач динамики здесь исходной является задача о построении дифференциальных уравнений по заданным интегралам этих уравнений, решению которой посвящена статья Н.П.Еру-гина [22] .

В связи с указанным классом задач представляет интерес применить метод Остроградского для решения обратных задач механики .

Для современного этапа развития аналитической механики характерно углубление ее связей с другими науками. Так,одним из возможных подходов при построении моделей и разработке способов решения задач о движении распределенных систем является распространение на такие системы методов аналитической механики. Решению ряда задач этого направления посвящены работы В. Во-льтерра,М. Фреше, Л.И.Седова, В.В. Румянцева, H.A. Кильчевско-го, К.А. Лурье, Г.Голдстейна и других авторов.

Распространение метода Остроградского на решение задач о движении распределенных систем представляется важной задачей. На этом пути прежде всего возникает задача об описании движения распределенных систем с помощью некоторого функционала.

В механике сплошной среды известны два подхода к тако -му описанию. Первый подход разработан Л.И. Седовым [52] . Здесь сформулировано вариационное уравнение для механики сплошной среды,которое позволяет на основании некоторых предположений получать уравнения,граничные и другие условия,конкре -тизирующие отдельные модели.

Второй подход состоит в построении функционала,условия стационарности которого приводят к заданным уравнениям дви -жения.Указэнная задача эквивалентна построению плотности функции Лагранжа,используя которую заданные уравнения с частными производными можно представить в форме уравнений Эйлера-Оетро-градского. Этот вопрос изучался в работах И.М.Рапопорта [43] , Е. Тонти [84] , В.Л. Бердичевского [4,б] , В.И.Заплатного [25] и для частных случаев в работах других авторов.

Отметим,что исследования,проведенные в указанных рабо -тах,не являются исчерпывающими.Так,не получила развития обратная задача о представлении дифференциальных уравнений с частными производными высшего порядка в форме Эйлера-Остроградского в случае невыполнения условий существования плотности функции Лагранжа.Кроме того,в литературе не исследован вопрос о восстановлении соответствующего функционала по заданной системе ин-тегро-дифференциальных уравнений с частными производными.К такому типу уравнений приводит,например, задача о колебаниях струны в случае линейной эредитарности [эб] .

Решение этих вопросов позволяет распространить метод Остроградского на решение задач о движении распределенных систем, а также применить приближенные и численные методы исследова -ния.

В данной диссертации ставится цель в определенной мере решить вышеприведенные проблемы.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию ме -тода Остроградского,применению этого метода для решения об -ратных задач механики и его распространению на решение задач о движении распределенных систем.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав,заключения и списка литературы из 86 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации и выводы.

1. На основе метода Остроградского решена задача о построении канонических уравнений по заданным свойствам движения.

2. Получены условия,при выполнении которых существует функционал,условия стационарности которого совпадают с заданной системой интегро-дифференциальных уравнений с частными производными.Дан общий аналитический способ построения такого функционала по заданным уравнениям движения.

Найденные условия можно рассматривать как распространение на случай интегро-дифференциальных уравнений с частными производными условий существования кинетического потенциала,полученных Гельмгольцем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

3. Установлена методика построения функции Лагранжа по заданной системе обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка и плотности функции Лагранжа по заданной системе уравнений с частными производными высшего порядка в случае невыполнения условий типа Гельмгольца.

4. В механике Остроградского установлена достаточно общая структура гамильтониана,при которой уравнение Гамильтона-Остроградского допускает полный интеграл с разделенными переменными.

5. Теоретические результаты диссертационной работы проиллюстрированы на примере построения плотностей функции Лагранжа для уравнений четвертого порядка типа С.Л.Соболева,на примере решения задачи о движении прямоугольной мембраны с закрепленным краем в соцротивля-ющейся среде на основе аналога теоремы Г'амильтона-Якоби-Остроградского и др.

1. Аппель П. Теоретическая механика. - М.: Физматгиз , 1.60. - т.I, 515 е.; т.2, 487 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Айзерман М.А. Классическая механика.- М.: Наука,1980.- 368 с.

4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 447 с.

5. Бердичевский В.Л. Вариационное уравнение в механике сплошных сред. Проблемы механики твердого деформи -рованного тела ( к 60-летию акад. В.В. Новожилова).-Л.: Судостроение, 1970, с.55-66 .

6. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нели -нейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956.- 344 с.

7. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с бесконечным числом степеней свободы.- Изд-во МГУ, 1982 . 121 с.

8. Вариационные принципы механики,сборник статей под ред. Полака Л.С. М.: Физматгиз, 1959. - 932 с.

9. Владимиров B.C. О некоторых вариационных методах приближенного решения уравнения переноса.-Вычислительная математика , 1961 , № 7, с. 95-114

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука,1967. 436 с.

11. Галиуллин A.C.,Мухаметзянов И.А.,Мухарлямов Р.Г., Фура-сов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

12. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. -М.:Наука, 1981. 144 с.

13. Галиуллин A.C. Построение уравнений движения. Дифференциальные уравнения, 1977,т.13, № 2, с. 195 - 236.

14. Галиуллин И.А. Построение канонических уравнений движе -ния механических систем. -Дифференциальные уравнения,1978, т.14, № 4, с. 594 600.

15. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. -М.: Наука, 1966. 300 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.:Наука, 1966. 576 с.

17. Гельмгольц Г. 0 физическом значении принципа наименьшего действия. В сб.:Вариационные принципы механики.-М.: Физматгиз, 1959, с. 430 - 459.

18. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. - 408 с.

19. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.; Л.; Гостехиздат, 1934 г.,359 с.

20. Демин В.Г. Об одном частном случае интегрируемости уравнения Гамильтона Якоби. - Вестник. Мое. ун- та,сер. физ.,астрон., i960, № I, с 80 - 82.

21. Дубровин В.А.,Новиков С.П., Фоменко А.Г. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. - 760 с.

22. Еругин H.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. Прикладная математика и механика, 1952., т.16, вып. 6,с. 659 - 670.

23. Заплатный В.И. Экстремальные свойства движения некоторых механических систем с конечным числом степеней свободы и континуальных систем. Дис.канд.физ.-мат. наук. - Киев, 1980.

24. Имшенецкий В.Г. Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядков. М.: Изд-во Моск.матем.об-ва,1916.- 412 с.

25. Ишлинекий А.Ю. Задачи механики в свете решений ХХУ1 съезда Коммунистической партии Советского Союза. -Прикладная математика и механика, 1982 ,т.46,№ 12, с. 188 203.

26. Картан А. Интегральные инварианты. M. ;Л. :Гостех-издат, 1940. - 216 с.

27. Кильчевский H.A.,Кильчинекая Г.А., Ткаченко Н.Е. Аналитическая механика континуальных систем. -Киев.: Наукова думка, 1979 188 с.

28. Крылов А.Н. 0 расчете балок, лежащих на упругом основании . Собр.трудов.-М.; Л.: Изд-во АН СССР,1937,,т.5, с. 227 362.

29. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. - 830 с.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, Т.2.-М.:Физ-матгиз, 1962. 422 с.

31. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.:Мир, 1965. - 408 с.

32. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.:Физматгиз , 1961. - 824 с.

33. Лурье К.А. 0 методе Гамильтона Якоби в вариационных задачах с частными производными. - Прикладная математика и механика, 1963,т.27 ,вып. 2, с 255 -264 .

34. Масленникова В.Н. Решение в явном виде задачи Коши для одной системы уравнений с частными производными. Известия АН СССР, сер.матем.,1958 ,,т.22,с.135-160.

35. Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы движения. Дифференциальные уравнения,1967„,т. 3,№ 2,с. 180-193.

36. Мухаметзянов И.А. Построение уравнений программных движений. Автоматика и телемеханика, 1972 , № 12, с. 16 - 23, № 13, с. 5 - 13.

37. Новоселов B.C. Сведение задачи неголономной механики к условной задаче механики голономных систем.- Ученые записки Ленинградского университета, 1957 ,217, вып. 31, стр. 28 49.

38. Остроградский М.В. Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметрической задаче.-Полн. собр.соч. Киев: Изд-во АН УССР,1961 ,т.2, с.139-233.

39. Парс.Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука,1971.- 635 с.

40. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. - 332 с.

41. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления. Известия физико-математического об-ва при Казанском ун-те, 1938,,т.10,сер. 3, с. 93-135; т.II, сер. 3, с. 47-69.

42. Рашевский Р.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.- М.: Наука, 1967. 664 с.

43. Редченко Г.А. Теоретико-групповой анализ уравнений механики Остроградского. Дис. канд. физ.-мат.наук.- Киев, 1982 . 142 с.

44. Румянцев В.В. О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред. Прикладная математика и механика, 1973,, т.37, вып. 6, с. 963-973.

45. Савчин В.М. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Остроградского методом разделения переменных.-Буко -пись деп. в ВИНИТИ 14 октября 1983 г.,№ 5664-83 Деп.- 9 с.

46. Савчин В.М. О представлении систем с распределенными параметрами в лагранжевой форме.- ру-копись деп. в ВИНИТИ 25 июня 1984 г., № 4304-84 Деп.- 17 с.

47. Савчин В.М. О цредставлении уравнений движения в форме Лагранжа Остроградского. - рукопись деп. в ВИНИТИ 13 января 1984 г.,№ 326-84 Деп.- 6 с.

48. Савчин В.М. Построение канонических уравнений Гамильтона Остроградского по заданным свойствам движения.- В кн.¡Материалы 6-ой конференции молодых ученых

49. Университета дружбы народов»Москва, 17-21 марта,1983. Мат.,физ.,химия,М.,1984. 4.1, 249 е.- рукопись деп. ВИНИТИ 5 марта 1984 г.,№ 1316 -84 Деп.- с.142-149.

50. Седов Л.И. Математические методы построения новыхмоделей сплошных сред. Успехи математических наук, 1965, т.20, вып.5, с. 121 - 130.

51. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука,1976.-т. I, 536 е.; т.2, 576 с.

52. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики. Известия АН СССР ,сер.математ.,1954,,т.18,с. 3 -50 .

53. Соколов А.А.,Тернов И.М. Релятивистский электрон.-М.: Наука, 1983. 304 с.

54. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц.-Киев: Наукова думка, 1972.- 175 с.

55. Стеклов В.А. Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений . М.; Л.:ГИЗ,1927.-419 с.

56. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: Физматгиз, 1953.- 468 с.

57. Суслов Г.К. О силовой функции,допускающей данные частные интегралы. Киев, 1890. - 114 с.

58. Суслов Г.К. Теоретическая механика.-М.; Л.:Гостехиздат, 1946. 655 с

59. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней,пластин и обо -лочек. М.: Наука, 1971. - 808 с.

60. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

61. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. - 500 с.

62. Чертков Р.И. Метод Якоби в динамике твердого тела. -Л.: Судпромгиз, 1960. 320 с.

63. Шульгин М.Ф. Приведение системы дифференциальных уравнений к форме Лагранжа. Докл. АН СССР, 1950,т. 75,3, с. 349 351.

64. Якоби К.Г. Лекции по динамике . М.; Л.; ОНТИ, 1936. -271 с.

65. Qwul cU , -IQoíT , гго€. ,

66. T-3. Co^uoC^ ^ . ^ Uay ; <1. -CL %obL1. Ou.-Caí-cubcou. . ^çj^uÂeoJz ^cLfza-L^cUjxuj báM^a£ Тисоъо tC^Jcko ^ A9P3 bit AGp. 5-33-53^. ^ 'biaÂh. ^P^uyj.}гх>£. ^ô p. 4STS* 1. ЛШ , «Bd.yo s. Ш9- А^и.

67. QdzCow. CLÍ - ,2^-Ьалл^ Си е-4.

68. Hcák^kyj. } 4962- ,/У1Л , р.o-j^ С<¿OM¿(uaJL ¿uro СЛаал^е Сц d45. tov^^JÄL LUkt. dxJL oMjjjLlUJuivxJLl^1. A%o , ад. , S. . 'hvllm.^,9a

69. UDi £ Ob , NI , p. ЗЛА-ЛЦ-г.1. So. \| XjoéjùjzuV)lYL. С . CLwcL £ (P.&.^-tW

70. SBeu^&oj^exobi Cu. ~^e.\AUia.íi^jícL d-taMidoJi "Ъ^^еАси^сл.-'CLv^j&l. Фк^., Wo , xyot^S, IVS. Ç, p.81. "ßl^CLU. C. l^ÜW^-böUwJX-k. Q^VMAÄl^'Hb -fo^Lglu^C.-^ "K.^h. of Jlii.O'urbCe.aiL166 p.4912. 43 5 p.T-96-^99.

71. Jovctî. ^алх^ока.^. of Цок&ад^1. OLcaá. fRocj. ík^.1. F.

72. O-W* , tj0UUL-tW ^S-iUaji , - 130 p.eAcui-íc-UsL Kjߣ ecu о de££a- e^dc-U- . ¿R. deX b&nau.,-> p. Ь Ai.