Динамика ориентированных жидкостей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНЫ ОРИЕНТАЦИИ В НЕМАТИЧЕСКИХ

ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ

1.1. Вариационное уравнение динамики нематических жидких кристаллов. Одномерный случай . .■•и.

1.2. Групповая классификация одномерных уравнений ориентации

1.3. Полная и частичная интегрируемость уравнений ориентации.

I.4.,Условия на разрывах ориентации. Автомодельная задача о распространении волны переориентации

1,5. Затухание волны переориентации. Влияние на характеристики среды.5"

ГЛАВА П. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ОРИЕНТИРОВАННОЙ ЖВДКОСТИ.GZ

2.1. Сферические колебания пузырька в нематике . 62/

2.2. Движение малого тела в плоском поле ориентации нематика

2.3. Задача о взаимодействии двух сфер.

2.4. Оценки энергии неплоского поля ориентации неыатика .<toi

Данная диссертация посвящена динамическим задачам механики ориентированных жидкостей, связанных с распространением одномерных нелинейных волн и движением твердых тел и пузырьков в таких средах. Физическими примерами ориентируемых жидкостей служат широко используемые в технике и медицине жидкие кристаллы, суспензии и коллоидные растворы с анизотропными по форме частицами, растворы полимеров и другие. I. Вопросы теоретического и экспериментального исследования ориентированных жидкостей .как сплошных сред с внутренними степенями свободы векторной природы отражены в ряде монографий и обзоров [ , £ 14 , 17 , ЛЯ J } 38, 44 • Первой здесь следует считать работу Коссера [44 1 » К0Т0Рые ввели для описания анизотропии частицы сплошной среды ориентированный триэдр. Позже эта идея нашла применение в механике деформируемого твердого тела, в частности, в теории дислокации [ 5"3 •

В связи с открытием нематических жидких кристаллов получил развитие более простой вариант теории,связанный с введением одного вектора. Здесь следует назвать работы Франка [523$ 0зеена[б?>3 , Эриксена [39 , 50 , Лесли

5"83« Основные описываемые явления: анизотропия вязкости несущей несжимаемой жидкости, инерция, упругость и релаксация векторного поля ориентации. Длина вектора ориентации частицы сплошной среды может служить мерой упорядочивания микроскопической ориентации и, в частности, вдали от состояний среды, отвечающих фазовым переходам, например, в изотропную жидкость, считается равной единице. Краевые условия обычно сводятся к заданшо вектора ориентации на ориентирующих стенках сосуда.'

К хорошо исследованным разделам физики и механики нематических жидкостей можно отнести следующие. Статика жидких кристаллов, классификация особенностей поля ориентации -диклинаций. Влияние электрического и магнитного полей на эффекты ориентации. Диэлектрические свойства и проводимость. Устойчивость равновесия во внешних полях. Оптические свойства. Термодинамические свойства жидких кристаллов с учетом фазовых переходов. Волны малой амплитуды, их распространения, дисперсия скорости звука и затухание. Стационарные течения ориентированных жидкостей в трубах и каналах при наличии внешнего электромагнитного поля, их устойчивость и переход к турбулентности.

Специально здесь следует отметить работы, связанные с механическими эффектами. Линейные задачи и связанная с ними теория звука развиты в работах {[.4. ? ^ j ^ > . Задачам равновесия поля ориентации в разных аспектах посвящены многие исследования. Равновесие в электромагнитных полях и связанный с ним эффект Фредерикоа рассмотрены в \A5~ ; зд, ; GO ] . Дефекты в нематике теоретически исследованы в j , 64- , Gb~\ . Влияние граничных условий на конфигурацию нематика освещено в работах 6&J* Динамические задачи о взаимодействии течения и упругих деформаций поля ориентации в основном связаны со стационарным рассмотрением [d. , Я, , * 41, 4 а ,4^64] . Вопросы об устойчивости ламинарных стационарных течений и переходе в турбу-летный режим рассмотрены в [а^ — 2/31 . Равновесный переход нематика в изотропную фазу изучен в работах [лS3,54, 5},

-52. В данной работе исследуются вопросы о распространении одномерных нелинейных волн, в частности, разрывов ориентации, и в идеальной постановке движения твердых тел и пузырьков.

Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав и заключения.

В первой главе в основном рассматриваются одномерные волны ориентации в нематических жидких кристаллах.

В первом параграфе на основе вариационного уравнения Л.И.Седова сформулирована полная термодинамическая модель ориентированной нематической среды, представляющая собой несжимаемую вязкую теплопроводную жидкость с наличием дополнительных определяющих параметров, связанных с единичным вектором ориентации и его первым производным. Вектор ориентации входит в модель в четной степени. Наряду с известными уравнениями и соотношениями вариационное уравнение позволяет вывести новые краевые условия, в частности, условия на разрывах вектора ориентации и на свободных поверхностях, которые используются в дальнейшем.

Здесь также введены уравнения одномерного движения. В этом случае среда движется как твердое тело, и уравнения для ориентации отделяются в сопутствующей системе отсчета от остальных уравнений. При этом коэффициенты X 7 К^.; К5 , связанные со свойствами инерции (д) , упругости ( Kt) и релаксации ( , считаются постоянными, не зависящими от температуры. Уравнение движения служит для определения давления, уравнение энергии - температуры.

Во втором параграфе дана полная групповая классификация одномерных уравнений ориентации. На основании известных алгоритмов отыскания групп симметрии дифференциальных уравнений выведена и решена система уравнений в частных производных, определяющая операторы бесконечно-малых преобразований. В зависимости от специализации пяти параметров I Kv , получены 17 типов различных групп симметрии, содержащих в ряде случаев произвольные функции.

В третьем параграфе рассматриваются специальные случаи, когда система двух уравнений ориентации может быть полностью или частично проинтегрирована. Здесь имеются следующие возможности. Оба уравнения сводятся к обыкновенным и легко интегрируются. Одно уравнений - обыкновенное интегрируемое, второе - в частных производных. Уравнения сводятся заменой переменных к линейным. Благодаря наличию симметрии при

- Kjl - К5 ("одноконстантное" приближение) и pt=o можно указать два первых интеграла, содержащих произвольные функции, и свести систему к одному уравнению типа Sin, Gordon. » которое допускает солитонные решения Физически специализация параметров означает ту или иную степень приближения при постановке различных задач, например, возможность пренебречь инерцией ориентации, релаксацией или некоторыми упругими постоянными.

В этом параграфе также рассмотрено инвариантно-групповое решение общей системы уравнений, отвечающих нелинейной бегущей волне. Результаты §§ 1.2, 1.3 представлены в работе t>l] •

В четвертом параграфе с помощью вариационного уравнения выведены условия на разрывах вектора ориентации или его первых производных. Здесь изучаются следующие классы функций: вектор ориентации непрерывен, частично непрерывен или разрывен. Интегральные соотношения, связанные с сохранением полного импульса и энергии среды, дают формулы для скачков давления и внутренней тепловой энергии. В предположении, что последняя растет с ростом энтропии, отсюда при адиабатическом процессе получено ограничение на скорость распространения разрыва.

В качестве примера рассмотрена автомодельная задача о скачке переориентации при отсутствии релаксации. Найдено кусочно-постоянное решение, согласно которому скачок распространяется с максимально возможной скоростью звука. Исследована единственность полученного решения при достаточно малой величине скачка. Из энергетических соображений как правило отбора решений используется максимальность интеграла действия.

В пятом параграфе исследовано влияние затухания волны переориентации на давление и температуру среды. В предположении I-C^K^K^K,, распространение плоско-поляризованной волны описывается линейными уравнениями теплопроводности, для температуры - с источником, связанным с релаксацией ориентации. Существенный рост температуры и падение давления вблизи начального скачка переориентации показывают, что такие скачки, связанные, например, с действием переориентирующих стенок, могут приводить к фазовым или структурным превращениям.

Во второй главе рассматриваются задачи, связанные с движением твердых тел и пузырьков в нематических жидкостях. В первом параграфе решена сферически-симметричная задача о радиальных колебаниях газового пузырька. В результате решения внешней задачи о движении жидкости и учета необходимых краевых условий, в частности, связанных с радиальной ориентацией директора на поверхности пузырька, выведено уравнение движения его границы. По сравнению с известным уравнением Релея здесь существенный вклад дают анизотропная вязкость и упругость поля ориентации. Последнее обстоятельство аналогично действию внутреннего давления препятствует в данном случае сжатию пузырька. Физически говоря, среда стремится избегать образования сферической особенности поля ориентации. Поведение радиуса пузырька подробно исследовано для идеального нематика.

Во втором параграфе рассматривается задача о движении тел в идеальной ориентированной жидкости при отсутствии инерции ориентации. Показано, что в этом случае как и в идеальной изотропной несжимаемой жидкости, остается справедливым закон сохранения завихренности. В частности течение жидкости можно считать потенциальным. Выведен интеграл Коши--Лагранжа. После решения вспомогательной краевой задачи о распределении вектора ориентации может быть сформирован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, в котором варьированию подлежат только обобщенные координаты формы тела.

Эффективное решение указанной задачи возможно в частном случае, который реализуется при подходящих краевых и начальных условиях, когда поле ориентации остается параллельным некоторой плоскости. В этом случае поле ориентации описывается решением линейной задачи Дирихле. Развита теория присоединенной ориентации, аналогичная теории присоединенных масс. В основном приближении выведен лагранжиан движения твердого тела, малого по сравнению с характерным масштабом внешнего потока. Рассмотрен пример сферы с постоянным на ней полем ориентации. Наличие ориентации среды приводит к ее угловым колебаниям относительно внешнего поля.

В третьем параграфе исследована задача о взаимодействии двух сфер с плоским полем ориентации. В связи с известными гидродинамическими решениями этой задачи обсуждаются следующие случаи: движение сферы вдоль и перпендикулярно линии центров, движение сфер, малых по сравнению с расстояниями между ними. В частности подробно рассматривается задача о вертикальном падении сферы под действием силы тяжести на плоскости. Показано, что на достаточно больших расстояниях от плоскости упругая сила сопротивления превышает гидродинамическую силу отталкивания, а эффект частоты колебаний сферы возрастает при приближении к плоскости. Качественное исследование показывает, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости. Оседание частицы возможно только при учете релаксации ориентации к ориентации плоскости.

В четвертом параграфе рассматривается нелинейная задача о движении тел при неплоском поле ориентации. Даны двусторонние оценки упругой энергии ориентации среды с помощью решения вспомогательных линейных задач Дирихле. В качестве примера рассмотрена задача о движении сферического газового пузырька с собственной сферической ориентацией во внешней покоящейся жидкости с однородным полем ориентации. Вычислена оценка безразмерной постоянной, связанной с энергией ориентации, вида 8,3 ^ * ^ , что представляется практически удовлетворительным.

В отличии от задачи с внешним сферическим распределением ориентации в данном случае линии тока поля директора стремятся выпрямиться, сжимая пузырек и способствуют его охлопыванию аналогично силе поверхностного натяжения.

Основные результаты второй главы представлены в работе

В заключении перечислены основные результаты работы, которые выносятся на защиту.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным ру' ководителям - акад. Л.И.Седову и доц. А.Н.Голубятникову -за постоянное внимание и поддержку в работе.

-109-ЗАКШОЧЕНИЕ

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту,

В рамках модели Эриксена-Лесли для ориентированных не-матических жидкостей решены следующие задачи.

Дана полная групповая классификация уравнений распространения одномерных волн ориентации, связанная со специализацией коэффициентов этих уравнений. Исследована полная и частичная интегрируемость уравнений ориентации, что связано с описанием распространения нелинейных волн, в частности со-литонов. Выведены условия на разрывах и решена автомодельная задача о волне переориентации. Изучен процесс ее затухания, Показано, что диссипация энергии, связанная с релаксацией вектора ориентации, дает существенный рост температуры и падение давления в состоянии, близком к скачку переориентации, что может приводить к фазовым или структурным превращениям.

Выведен вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, для движения тел в потенциальном потоке идеальной ориентированной жидкости, на основании которого развита теория присоединенной ориентации. Для плоского поля ориентации получены уравнения движения малого твердого тела в неоднородном потоке и уравнения движения двух сфер. Решена задача о падении сферы на плоскость. Показано, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости.

Решены задачи о движении о колебаниях сферического газового пузырька во внешних однородном и сферическом полях ориентации.

1. Аэро ЭД. Теория деформирования моментных сред и ее приложения к жидким кристаллам, Автореф. дис. на соиск. учен, степени д-ра мат.-физ.' наук (01.02.04) - Л. 1982, 32 с.

2. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Гидромеханика жидких кристаллов. Итоги науки и техники. Серия Гидромеханика. М. 1973,т.7, с.106-213.

3. Аэро ЭД. , Булыгин А.Н. Линейная механика жидкокристаллических сред. Физ.твер.тела, 197I, т.15, № 6, с.1701--1704.

4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983, 448 с.

5. Бердичевский В.Л., Седов Л.И. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокации. Связь с теорией пластичности. Прикл. матем. и мех., 1967, т.31, № 6, с.981-1000.

6. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. Изд.4. М.: Наука, 1981, 512 с.

7. Воинов В.В., Воинов О.В., Петров А.Г. Гидродинамическое взаимодействие тел и их движения в неоднородных потоках. Прикл, матем. и мех., 1973, т.37, № 4, с.680-689.

8. Воинов О.В. О движении двух сфер в идеальной жидкости. Прикл. матем. и мех., 1969, т.33, № 4, с.659-667.

9. Воинов О.В., Петров А.Г. Движение пузырька в жидкости. Итоги науки и техники. Серия Механика жидкости и газа. М. 1976, т.10, с.86-149.

10. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: АН СССР, 1948, 727 с.

11. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979, 760 с.

12. Де Жё В. Физические свойства жидко-кристаллических веществ. М.: Мир, 1982, 152 с.

13. Де Жен. Физика жидких кристаллов. М.: Мир. 1977, 400 с.

14. Захаров В.Е. и др. Теория солитоков. Метод обратной задачи рассеяния. М.: Наука, 1980, 319 с.

15. Захаров В.Е., Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Полное описание решений " Sia 6ordotx « уравнения. ДАН СССР, 1974, т.219, № 6, с.1334-1337.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Изд. 3. М.: Наука, 1965, 703 с.

17. Капустин А.П. Экспериментальные исследования жидких кристаллов. М.: Наука, 1978, 368 с.

18. Костюков А.А. Взаимодействие тел, движущихся в жидкости. Л.: "Судостроение", 1972. 311 с.

19. Ле Тхе Хунг. Инвариантно-групповые свойства и интегрируемость одномерных уравнений нематических жидких кристаллов. Вестник МГУ. Серия мат. и мех., 1985.

20. Ле Тхе Хунг. О движении тел в ориентированной жидкости. Депонирована в ВИНИТИ. 1984.

21. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов. Прикл.матем. и мех.,-1121963, т.27, № 3, 0.393-417.

22. Нётер Э. Инвариантные вариационные задачи. В сб. "Вариационные принципы механики". М.: Физматизд, 1959, с.611--630.

23. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с.

24. Петров А.Г. Принцип Гамильтона и некоторые задачи динамики идеальной жидкости. Прикл. матем. и мех^, 1983,т.47, № I, с.48-55.

25. Пикин G.A. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1981, 336 с.

26. П илипенко В.Н. Влияние добавок на пристенные турбулентные течения. Итоги науки и техники. Серия механика жидкости и газа. М.: 1980, т.15, с.

27. Пилипенко В.Н., Калиниченко Н.М., Лемак А.С. Устойчивость течения суспензии волокон в зазоре между коаксиальными цилиндрами, ДАН СССР, 1981, т.259, № 3, с.554--558.

28. Рождественский Б.А., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Изд. 2. М.: Наука, 1978, 687 с.

29. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физмат изд., 1962, 284 с.

30. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. Успехи матем. наук., 1965, т.20,5, с.121-180.

31. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Изд.9. М.: Наука, 1981, 248 с.-11334. Седов JI.И. Механика сплошной среды. Изд. 4. М.: Наука, 1984, т.1, 2.

32. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. Прикл. матем. и мех., 1968, т.32, № 5, с.771--785.

33. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983, 320 с.

34. Фел Л.К. Казлаускас П.А.В. К эффекту Фредерикса в нема-тически жидком кристалле. Кристаллография, 1983, т.28, № 5, с.987-991.

35. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы. М.: Мир, 1980, 344 с.

36. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977, 247 с.

37. Якимов Ю.А. К постановке задачи о движении малоготела в возмущенном потоке. Мех. жид. и газа, 1983, № 5, . с.25-30.

38. Aitab R.T. PoiseiU-Me f-bw of CM^siaXs of Жя viewiaiic. . Агс^ь .

39. P^a/koa. HecL. cwtd hwai. ? N.3 f ж.цо

40. Aifcvb F.T . , Leslie F. M. Cevceite ;

41. Л- н^тдДес Mc\ui<\ cn^sbxU . Gla.ar;t . I. Meek . o*4 Afp4 . . , W , * « , K/.1 ,43. ^ocWd F. , ae

42. On -ХЦщЛ cabals . 44 Gwsew* E. , F. TWonie de cevps

43. Gcvue P.K. +W 4 nz^icc -Ь^c>wj«iaJU w -Лл Т*™®- "^J^icc JfreU ■f\idL . fUiion-. M ecJk. амА A not. } -mo , V.H , V.i , -?• Ht •

44. Oe Gevvwe^ P.e. «-«fev «ffwte1. Wi. V. I W Я-1-4- .53. млoJJU,\, TW^ь\лаю Ла^уш. окмЛ S^oJric

45. Mx^cvfoes Xtc|4i,cf . . UA,f. -10b IIS ♦

46. Hicks W. M. Oa vu^ticH^ ^o ^Ovew iM . p-M. . Тгоид.9.1. V. W , f- 45-5-- 492, •

47. Jcu^vwoa^ G . G^u/i^cUcujew Веллес^ил1.i^icj, 7 -1905Г.

48. Си.т^к ^ SЧ^илл^^^еvaciv-te A-ko-d. \xftss.

49. Wiew, . ,>!9±i , V. no ; f. Ato .

50. Ko&i/vxxfov S. OIA ct c^waoteric^ic sf iso^tcrjic ^osz iiovt , ^д^ . . Ол/ий Uc^tucf . ^y^ ^ N/.l ; >p. W- 144. 58 Le^-o F.M. Sowi£ con^'^uivve /На-ид?-Jfo^ li^d сд^^л . . Arcbs. ^cdiovt , MJLCL.

51. Mal^cusovu B. , V- , ft^tpp^ IX. utiuak vu>«/ia.*ic Csoi^u'c1. V.31 ) f- H3 845" .

52. T. I^to *o С ко. ; FuAuAaAa. A .omJ ai^cbWj effectс сал,^ ^ r^y. 5"0 V.l , P*'1 > f' ' 6903 '

53. NaW) F.^.V- SuujuAw, Mnes омЛ swjmAW, С Ft.) , , V. 33 , f. -logg.iogy.62.

54. M.7. , ft «ил** A.S. iWu, —*

55. ЛСлД^саХ Лсец^л'й! UUjdalq,

56. Oswu GbAA^jd^e^u^ der TTWvte

57. JW omIsoF-^Sfc^-teiov . Avfav.

58. МоД .; сцЛпюгл . ; • , ; У. 45Л ^ к 9 ,^ •

59. Tsevuj, H-C.j ^-fvev D.L.j Fv^lo^soi^ 6.Л.

60. Woe co^ixvuAA^ ^АлоПл^ -to OA^vwcotic c^s^als .1. PS®.