Метод подвижного корепера в геометрии дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико - математический ^"""^тет

4852917

УДК 514.763.1

МОРОЗОВ ОЛЕГ ИГОРЕВИЧ

МЕТОД ПОДВИЖНОГО КОРЕПЕРА В ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

МОСКВА - 2011

4852917

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного технического университета гражданской авиации

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Сергеев Игорь Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Красильщик Иосиф Семенович

доктор физико-математических наук, профессор Аксенов Александр Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Кушнер Алексей Гурьевич

Ведущая организация: Национальный исследовательский

ядерный университет „МИФИ"

Защита состоится 30 сентября 2011 г. в 16 часов 40 минут на заседашш диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор 1 Сорокин В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения являются эффективным средством описания и изучения разнообразных процессов в физике, технике, химии, биологин и экономике, а также важнейшей областью исследования, приводящей к развитию большинства отраслей математики. Функциональный анализ, линейная алгебра, численный анализ и многие разделы геометрии обязаны своим возникновением потребностям совершенствования теории дифференциальных уравнений. В частности, теория непрерывных групп, объединившая методы алгебры, анализа и геометрии и ставшая одним из краеугольных камней современной математики, была создана Софусом Ли для унификации методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как обобщение теории Абеля - Галуа решения алгебраических уравнений. Непрерывные группы, названные Пуанкаре группами Ли, оказали глубокое влияние на многие области математики и физики, такие как теория гравитации, гидродинамика, квантовая механика, теория управления и другие.

Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных уравнений является конструкция группы симметрии. В настоящее время имеется большое количество книг1-2'3'4'5'6, детально описывающих этот подход. В рамках классической теории Ли группа симметрии дифференциальных уравнений состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых переменных, которые переводят совокупность решений этого уравнения в себя. Это условие дает сложные нелинейные уравнения для функций, задающих указанные преобразования (определяющие уравнения или уравнения Ли). Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что в случае непрерывных групп преобразований эти нелинейные уравнения можно заменить на более простые условия, перейдя от преобразований, близких к тождественному, к порождающим их векторным полям (инфи-нитезимальным генераторам), то есть, на современном языке, перейдя от группы Ли к ее алгебре Ли. Коэффициенты инфинитезимальных генераторов удовлетворяют переопределенной системе линейных уравнений в частных производных (инфинитезимальные определяющие уравнения). Анализ этой системы и ее интегрирование позволяет в большинстве случаев найти инфинитезимальные генераторы группы симмстрий явно, хотя, например, в случае одного обыкновенного уравнения первого порядка задача явного вы-

'Lie S. Gesammelte Abhandlungen. DU. 1-6, Leipzig-, Teubner, 1919-1927

2Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978

3Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983

"■Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986

Олвер П.Дж. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989

6Симметрии и законы сохранения уравпений математической физики / Под ред. A.M. Виноградова и И.С. Красильщика, М.: Факториал, 1997

числения инфинитезимальных генераторов равносильна задаче нахождения его общего решения, что не всегда возможно 7.

Знание группы симметрии дифференциального уравнения позволяет явно находить решения этого уравнения, инвариантные относительно различных подгрупп этой группы, а также строить новые решения из уже известных. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений знание однопа-раметрической группы симметрии позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Как показал Ли, этот подход позволяет унифицировать различные частные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнений в частных производных функции, задающие решения, инвариантные относительно подгрупп группы симметрии, удовлетворяют редуцированным уравнениям, содержащим, как правило, меньшее число переменных, что упрощает задачу их анализа и решения.

Многие модели математической физики описываются дифференциальными уравнениями, содержащими числовые параметры или произвольные функции, присутствие которых либо отражает неполноту информации о модели, либо вызвано требованием расширить область ее применения. Поэтому возникает задача классификации таких совокупностей дифференциальных уравнений и выбора уравнений с наиболее богатой математической структурой, например, таких уравнений, для которых можно построить большое количество точных решений. Методы теории групп Ли оказываются действенными в решении таких задач. К этому кругу вопросов примыкает проблема эквивалентности дифференциальных уравнений — задача нахождения необходимых и достаточных условий, при которых два данных дифференциальных уравнения связаны некоторой заменой переменных. Изоморфизм групп симметрий дает необходимое условие эквивалентности, в то время как достаточное условие формулируется в терминах дифференциальных инвариантов — функций от переменнных уравнения и их производных, не меняющихся при преобразованиях, входящих в группу симметрий. Инфинитези-мальный метод С. Ли позволяет находить дифференциальные инварианты групп симметрий, если явно известны ее инфинитезимальные генераторы. Для этого требуется проинтегрировать еще одну переопределенную систему уравнений в частных производных2'6,8. Зачастую эта система оказывается весьма сложной, что вызывает значительные трудности в применении ин-финитезималыюго подхода к нахождению дифференциальных инвариантов и решению проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений.

За последние сорок лет важные обобщения методов классической теории Ли групп симметрий дифференциальных уравнений были разработаны

7Ritt J.P. Intégration in Finite Terms. Liouviile's Theory of Elementary Methods. N.Y.: Columbia Univcrsity Press, 1948

801ver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995

в связи с развитием метода обратной задачи рассеяния9,10 и связанных с ним концепций высших симметрии11-12 и высших законов сохранения. Последовательная геометрическая формулировка метода обратной задачи рассеяния, а также связанных с ней представлений нулевой кривизны, структур продолжений Уолквиста-Эстабрука, преобразований Бэклунда, операторов рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, основана на концепции дифференциального накрытия бесконечного продолжения дифференциального уравнения13'14. Существование дифференциального накрытия для данного дифференциального уравнения позволяет применять разнообразные методы для его исследования и получать значительную информацию о его решениях зло, 15,16,17,18,19 Поэтому проблема нахождения накрытия для данного дифференциального уравнения является весьма важной. В случае уравнений с двумя независимыми переменными имеется хорошо разработанный подход к этой проблеме, предложенный Уолквистом и Эстабруком20 и развитый в работах 21,13,14.22,23,24,25 для уравне1ШЙ с тремя

и более независимыми переменными проблема нахождения условий суще-

9Biicklund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications. Lect. Notes Math., 515 / Miura R.M., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1976

'"Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980

"Виноградов A.M. Теория высших инфинитезимальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными // ДАН СССР, 1979, Т. 248, № 2, С. 274-278

12Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws ¡i Acta Appl. Math., 1984, Vol 2 No 1 P 21-78 ' '

"Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings // Acta Annl Math., 1984, Vol. 2, P. 79-86

"Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations // Acta Appl. Math., 1989, Vol. 15, P. 161-209

15Geometrical Approaches to Differential Equations. Lect. Notes Math., 810. / Martini R., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1980

"Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. M.: Мир, 1985

17Додц Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. M ■ Мир, 1988

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения М • Наука, 1991

"Konopelchenko B.C. Introduction to Multidimensional Integrable Equations. The Inverse Spectral Transform in 2+1 Dimensions. N.Y.: Plenum Press, 1992

20Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations //' J Math Phys, 1975, Vol. 16, P. 1-7

21Estabrook F.B.: Moving frames and prolongation algebras // J. Math. Phys., 1982, Vol. 23, P. 2071-2076

22Hoenselaers C. More Prolongation Structures // Prog. Theor. Phys., 1986, Vol. 75, P. 1014-1029

23Sakovich S.Yu. On zero-curvature representations of evolution equations // J. Phys. A Math Gen 1995 Vol. 28, P. 2861-2869

"Marvan M. A direct procedure to compute zero-curvature representations. The case sl2 // Proc. Int. Conf. on Secondary Calculus and Cohomological Physics, Moscow, Russia, August 24-31, 1997

25Igonin S. Coverings and the fundamental group for partial differential equations // J. Geom Phys 2006 Vol. 56, P. 939-998

r\c fyj no on 9(1 01 OO OO О I

ствования накрытий является гораздо более сложной^0'"' .......

Как показано в работе35; для большинства таких уравнений накрытия являются бесконечномерными. Поэтому проблема существования накрытия для дифференциального уравнения оказывается тесно связанной с бесконечномерными группами Ли (или псевдогруппами Ли).

Основы теории бесконечных непрерывных групп преобразований были созданы Ли (статьи в Bd. 5, S. 314-360, Bd. 6, S. 300-364 Собрания сочинений1). Дальнейшее развитие теория псевдогрупп Ли получила в работах Э. Картана36. В отличие от инфинитезимального метода Ли, подход Картана к теории псевдогрупп Ли не использует инфинитезимальные генераторы и основан на описании преобразований из псевдогруппы Ли в терминах инвариантных дифференциальных 1-форм. называемых формами Маурера-Картапа этой псевдогруппы. Для любой псевдогруппы Ли ее формы Маурсра-Картана могут быть найдены с помощью операций линейной алгебры и дифференцирования и без использования интегрирования, что делает подход Картана особенно удобным для применения в компьютерных системах аналитических вычислений, таких как maple, reduce, MATHEMATICA и т.д. Выражения внешних дифференциалов форм Маурера-Картана в терминах самих этих форм дают структурные уравнения псевдогруппы Ли. Эти уравнения содержат полную информацию о псевдогруппе, в частности, их коэффициенты дают базисные дифференциальные инварианты псевдогруппы. Знание форм Маурера-Картана и дифференциальных инвариантов для псевдогруппы симметрии дифференциальных уравнений позволяет решать проблемы эквивалентности и классификации, а также явно находить отображения между эквивалентными уравнениями.

В то время как методу Ли посвящена обширная литература, нам известно

26Кузьмина Г.М. О геометрии системы двух дифференциальных уравнений в частных производных /,/ Ученые записки МГПИ, 1965, № 243, С. 99 - 108

27Кузьмина Г.М. О возможности сведения системы двух уравнений с частными производными первого порядка к одному уравнению второго порядка // Ученые записки МГПИ, 1967, № 271, С. 67 - 76

28Morris Н.С. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions // J. Math. Phys., 1976, Vol. 17, P. 1870-1872

29Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions: a general class of equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1979, Vol. 12, P. 261-267

30Tondo G.S. The eigenvalue problem for the three-wave resonant interaction in (2 I 1) dimensions via the prolongation structure // Lett. Nuovo Cimento, 1985, Vol. 44, P. 297-302

3lNucci M.C. Pscudopotcntials for nonlinear evolution equations in 2+1 orders // Int. J. Non-Lin. Mech., 1988, Vol. 23, P. 361-367

32Harrison B.K. On methods of finding Biicklund transformations in systems with more than two independent variables // J. Nonlinear Math. Phys., 1995, Vol. 2, P. 201-215

33Harrison B.K. Matrix methods of searching for Lax pairs and a paper by Estévez // Proc. lust. Math. NAS Ukraine, 2000, Vol. 30, Part 1, P. 17-24

34Palese M. Bàcklund loop algebras for compact and non-compact non-linear spin models in (2+1) dimensions // Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 144, No 1, P. 1014-1021

35Marvan M. On zero-curvature representations of partial differential equations // Proc. Conf. on Dilf. Geom. and Its Appl., Opava (Czech Republic), 1992, P. 103-122

36Cartan É. Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953

сравнительно небольшое количество публикаций, в которых метод Картана применяется к снмметриям дифференциальных уравнений.

В работах37,38'39 метод Картана был использован для нахождения симметрии и решения проблем эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений. A.M. Васильев40 и К.П. Суровихин41'42'43 нашли формы Маурера-Картана и структурные уравнения групп симметрии стационарных уравнений двумерной газодинамики и нестационарных уравнений одномерной газодинамики. Статьи Гарднера, Камрана. Шэдвика и Те44'45'46'47 посвящены использованию метода Картана для нахождения симметрии квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

В работах Г.М. Кузьминой 26 27 метод Картана был применен к проблеме нахождения накрытий для уравнений с тремя независимыми переменными.

В работах P.JI. Брайнта. Ф.А. Гриффитса и Л. Сю48'49 был предложен основанный на методе Картана подход к изучению законов сохранения гиперболических и параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Этот подход был обобщен Дж. Н. Клелланд50 на случай параболических уравнений второго порядка с тремя независимыми

37Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for y" = F{x,y,y') and the Painlevé transcendents // J. Diff. Geom., 1985, Vol. 22, P. 139 - 150

38Hsu L., Kamran N. Classification of sccond-ordcr ordinary differential equations admitting Lie groups of fiber-preserving symmetries // Proc. London Math. Soc., 1989, Vol. 58, P. 387 - 416

33Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008. Abel Symposia 5. Berlin: Sprin^er-Verlag, 2009. P. 21 - 48

40Васильеп A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Матем сборник, 1996, Т. 70 (112), С. 457 - 480

"'Суровихии К.П. Внешние формы Картана и отыскание осповпой группы, допускаемой дашгой системой уравнений // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1965, № 6, С. 70-81

42Суровихин К.П. О групповой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа // ДАН СССР, 1966, Т. 171, № 1, С. 55 - 58

"Суровихин К.П. Структурные уравнения при наличии интранзитивпой группы в случае общих одномерных течений газа // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1967, № 1, С. 56 - 64

""Gardner R.B., Kamran N. Characteristics and the geometry of hyperbolic equations in the plane // J Diff. Eq., 1993, Vol. 104, P. 60-116

43Gardner R.B., Kamran N. Normal forms and focal systems for determined systems of two first-order partial

differantial equations in the plane // Indiana Math. J.. 1995, Vol. 44, P. 1127-1161

46Kamran N., Shadwick W.F. Équivalence locale des équations aux dérivées partielles quasi lineares du

deuxième ordre et pseudo-groupes infinis // Comptes Rendus Acad. Se. (Paris), Série I, 1986, Vol 303 P 555-558

The D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2008, Vol. 4, Paper 058

48Bryant R.L., Griffiths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. I // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 1, No 1, P. 21-112

""Bryant R.L.. Griffiths Ph.A. Characteristic cohomology of differential systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Math. J., 1995, Vol. 78, P. 531-676

50Clelland J.N. Geometry of conservation laws for a class of parabolic partial differential equations I // Selecta Mathcmatica, New Series, 1997. Vol. 3. P. 1-77

переменными и К. Фолтинеком51 на случай эволюционных уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными.

Как показано в статьях52153, метод Картана является удобным инструментом для изучения интегрируемости по Дарбу гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Работы54'55 посвящены разработке метода для нахождения структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений из их ин-финитезимальных определяющих уравнений. Этот метод применим только в случае транзитивных псевдогрупп и не позволяет находить явно их формы Маурера-Картана.

Новый метод изучения псевдогрупп Ли был предложен в работах П. Ол-вера, Ю. Похъянпелто и их сотрудников56'57,58'59'60. Он позволяет находить структурные уравнения и формы Маурера-Картана непосредственно из ин-финитсзимальных определяющих уравнений псевдогрупп симметрии, в том числе и в интранзитивном случае. При этом метод дает бесконечные наборы форм Маурера-Картана и бесконечные системы структурных уравнсЕШй, так что необходимо совершить дополнительные действия для выделения их конечных подсистем, необходимых для эффективной работы с изучаемыми псевдогруппами.

В работе П. Олвера и М. Фелса61 был развит намеченный Э. Карта-ном подход к нахождению форм Маурера-Картана псевдогрупп симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений, названный методом подвижного корепера (the moving coframe method).

slFoltinek К. Third-order scalar evolution equations with conservation laws // Selecta Math., New Ser., 2002, Vol. 8, P. 201-235

52Anderson I.M.. Juris M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math., 1997, Vol. 89, P. 351-375

53Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Intcgrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: SpringerVerlag, 2009. P. 21 - 48

54Lisle I.G., Reid G.J., Boulton A. Algorithmic determination of structure of infinite Lie pseudogroups of symmetries of PDEs // Procecdinds of ISSAC'95 New York: ACM Press, 1995

55Lisle I.G., Reid G.J. Geometry and structure of Lie pseudogroups from infinitesimal defining equations // Journal of Symbolic Computation, 1998, Vol. 26, P. 355-379

5601ver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan forms and the structure of Lie pseudo-groups // Selecta Math., 2005, Vol. 11, P. 99^126

"Olver P.J., Pohjanpelto J. Moving frames for Lie pseudo-groups // Canadian J. Math., 2008, Vol. 60, P. 1336-1386

58Chch J., Olvcr P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan equations for Lie symmetry pseudo-groups of differential equations // J. Math. Phys., 2005, Vol. 46, Paper 023504

59Cheh J., Olver P. J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations /'/' Foundations of Computational Mathematics, 2008, Vol. 8, P. 501-532

60Valiquette F. Structure equations of Lie pseudo-groups // Journal of Lie theory, 2008, Vol. 18, No 4, P. 869-895

61Fels M., Olver P.J.: Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta. Appl. Math., 1998, Vol. 51, P. 161-213

Отметим также работы62'63'64*65'66, в которых с помощью метода Картана изучались преобразования Бэклунда для уравнений с двумя независимыми переменными.

Цель работы. Основными целями изложенных в диссертации исследований являются:

• разработка эффективной и универсальной техники применения метода эквивалентнтости Картана к нахождению инвариантных форм и структурных уравнений псевдогрупп симметрии дифференциальных уравнений в частных производных;

• решение с помощью этого подхода ряда проблем эквивалентности для дифференциальных уравнений (проблема Лапласа для линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, линеари-зуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро-Хан-тера-Сакстона, проблема эквивалентности для уравнений Христнано-вича-Рыжова);

• разработка процедуры применения метода Картана и структурной теории псевдогрупп Ли к задаче нахождения накрытий дифференциальных уравнений с тремя независимыми переменными;

• нахождение с помощью этой процедуры новых накрытий дифференциальных уравнений и соответствующих им преобразований Беклунда.

Методы исследования. Методологической основой изложенных в диссертации исследований являются теория псевдогрупп Ли и теория накрытий дифференциальных уравнений. Наряду с классическим методом Э. Картана в диссертации применяются метод подвижного корепера, который обобщен в главах 4 и 5 на случай уравнений в частных производных, а также метод контактных интегрируемых расширений, который обобщен в параграфе 7.2 на случай дифференциальных уравнений с бесконечномерными накрытиями.

623вягин М.Ю. Преобразования Бэклунда уравнений Монжа-Аынера. Дисс.... к.ф.-м.н., Москва МГУ 1985

63Ферапонтов Е.А. Преобразования Бэклунда квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при двух независимых переменных. Дисс. ... к.ф.-м.н., Москва МГУ, 1987

64Clelland J.N. Homogeneous Bäcklund transformations of hyperbolic Mongo-Amptre systems // Asian J Math., 2002, Vol. 6 , P. 433 - 480

65Clelland J.N., Ivey T.A. Parametric Bäcklund transformations I: phenomenology /'/ lïans. Amer. Math Soc. 2005, Vol. 357, P. 1061 - 1093

66Clelland J.N., Ivey T.A. Bäcklund transformations and Darboux integrability for nonlinear wave equations /,/ Asian J. Math., 2009, Vol. 13, P. 15 - 64

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные из них следующие:

• С помощью метода подвижного корепера получено полное решение проблемы Ли-Лиувилля-Тресса нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно псевдогруппы точечных преобразований.

• Метод подвижного корепера распространен на случай дифференциальных уравнений в частных производных, разработана универсальная и эффективная процедура применения метода эквивалентности Э. Картана для нахождения инвариантных форм псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений с частными производными.

• Эта процедура применена к решению ряда задач эквивалентности дифференциальных уравнений, в том числе

- получено полное решение проблемы Лапласа для классов линейных гиперболических и параболических уравнений с двумя независимыми переменными;

- на основе решения проблемы Лапласа установлена линеаризуе-мость и интегрируемость в квадратурах обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона, в частности, установлена контактная эквивалентность обобщенного уравнения Хантера-Сакстона и уравнения Эйлера-Пуассона, с помощью найденного контактного преобразования получена явная формула, задающая общее решение обобщенного уравнения Хантера-Сакстона;

- установлена контактная эквивалентность уравнений Христиано-вича-Рыжова (уравнения коротких волн) с исключительными значениями параметра уравнению Хохлова-Заболотской, для неисключительных значений параметра установлена эквивалентность уравнений Христиановича-Рыжова этому же уравнению с нулевым значением параметра.

• Предложен метод нахождения накрытий дифференциальных уравнений, основанный на структурной теории псевдогрупп Ли (метод контактных интегрируемых расширений). С его помощью найдены интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской (пкЖР), интерполяционного уравнения Дунайского, обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима (гсШут) и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

Это позволило воспроизвести в рамках единого подхода известные накрытия этих уравнений, а также найти их новые накрытия и преобразования Бэклунда.

• Показана принципиальная возможность установления с помощью метода контактных интегрируемых расширений существования накрытий с неустранимым (спектральным) параметром. Построено накрытие одного уравнения из семейства гсЮут с неустранимым параметром.

• С помощью известных ранее и новых накрытий найдены классы точных многозначных решений уравнения Хохлова-Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развитые в ней методы приложимы к широкому классу дифференциальных уравнений. Результаты могут быть использованы в геометрии дифференциальных уравнений и физических приложениях (физике жидких кристаллов, теории относительности и гидродинамике).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях:

• Пятая международная конференция „Симметрия в нелинейной математической физике", институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, Украина, 23-29 июня 2003 г.

• Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г. Петровскому, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, 16-22 мая 2004 г.

• Шестая международная конференция „Симметрия в нелинейной ма-тематичекой физике", институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, Украина, 20-26 июня 2005 г.

• Международная конференция „Геометрия в Одессе - 2006", ОНАПТ, Одесса, Украина, 22-27 мая 2006 г.

• Международная научно-техническая конференция,, Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества",

МГТУ ГА, Москва, 18-19 мая 2007 г.

• Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г. Петровскому, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, 21-26 мая 2007 г.

• Международная конференция „Симметрия и теория возмущений-2007", университет Саленто, Отранто, Италия. 2-9 июня 2007 г.

• „Конференция по группам Ли в Твенте - 2007", университет Твенте, Энсхеде, Нидерланды, 12-14 декабря 2007 г.

• Международная конференция „Интегрируемые системы и смежные вопросы", институт математики Академии наук Тайваня (Academia Sínica), Тайбей, Тайвань, 15-16 марта 2009 г.

• Восьмая международная конференция „Симметрия в нелинейной ма-тематичекой физике", институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, Украина, 21-27 июня 2009 г.

• Международная конференция „Геометрия дифференциальных уравнений и интегрируемость", институт математики Силезского университета, Градец-над-Моравичи, Чехия, 11-15 октября 2010 г.

Кроме того, автор выступал с докладами на следующих семинарах:

• научный семинар по геометрии дифференциальных уравнений под рук. проф. И.С. Красильщика, Независимый Московский университет, 2004, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.

• научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под рук. проф. В.М. Миллионщикова, проф. В.А. Кондратьева и проф. Н.Х. Розова, 2005, 2010 гг.

• научный семинар „Ортоподобные системы" под рук. проф. Т. П. Лукашенко, доц. Т.В. Родионова и доц. В.Р. Галатенко, кафедра математического анализа механико-математического факультета МГУ, сентябрь 2009 г.

• семинар факультета математики Национального университета обороны Тайваня, г. Тао-Юань, Тайвань, март 2009 г.

• семинар факультета математики Национального центрального университета Тайваня, г. Джонг-Ли, Тайвань, март 2009 г.

• семинар факультета прикладной математики Национального университета Цяо-Тунг, г. Синь-Чжу, Тайвань, март 2009 г.

• научный семинар „Проблемы современной математики" под рук. проф. H.A. Кудряшова, Национальный исследовательский ядерный университет „МИФИ", февраль 2010 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работе (из них 15 — в изданиях, рекомендованных ВАК). Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на двадцать четыре параграфа, заключения и списка литературы, включающего 207 наименований. В работе имеется G поясняющих иллюстраций. Общий объем диссертации — 286 страниц.

Работа выполнена при поддержке научно-исследовательского гранта МГТУ ГА 501_06 (2006 г.), российско-тайваньского гранта 95WFE0300007 (грант РФФИ 06-01-89507-ННС) и совместного гранта 09-01-92438-КЭ_а РФФИ и Consortium E.I.N.S.T.E.IN (Италия).

Основное содержание работы

Во введении дан исторический обзор известных результатов по теме диссертационной работы и сформулированы ее главные результаты.

В главе 1 вводятся основные понятия и обозначения, а также приводится обзор основных результатов геометрической теории дифференциальных уравнений, метода Картана и теории псевдогрупп Ли. Центральной частью главы является параграф 1.5, в котором дается краткое описание метода эквивалентности Картана. В известной нам литературе отсутствует полное изложение обоснования этого метода в том случае, если структурная группа проблемы эквивалентности зависит от точки основного многообразия. При этом в задачах, решаемых в главе 7, нам приходится сталкиваться именно с таким случаем. Поэтому для обоснования возможности использовать метод Картана в этой ситуации мы доказываем теорему о существовании послойного группового действия структурной группы на существенные коэффициенты кручения структурных уравнений проблемы эквивалентности (теорема 1.17). Кроме того, в примере 1.6 мы доказываем существование послойного группового действия структурных групп на коэффициенты переопределенной проблемы эквивалентности. Это необходимо для обоснования подхода к нахождению симметрий вложенных подмногообразий с помощью метода Картана (пример 1.11).

В главе 2 мы применяем метод Картана для решения классической проблемы Ли - Лиувилля - Тресса нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности двух обыкновенных уравнений второго порядка

ихх = F(x,u.ux) (1)

относительно псевдогруппы точечных преобразований

х = ср(х,и), й = 1р(х,и). . (2)

Насколько нам известно, в существующих публикациях отсутствует полное решение этой задачи, хотя многие частные случаи разобраны со всеми подробностями 37>38,67,68,69 q ПОМОщЬЮ метода Картана мы получаем полное решение задачи Ли - Лиувилля - Тресса, сформулированное в теореме 2.1. В классе уравнений (1) выделены 17 подклассов, инвариантных относительно действия псевдогруппы (2). Из них 6 подклассов относятся к случаю, когда для уравнения (1) выполнено условие FUxUxUzUi ф 0, оставшиеся 9 подклассов относятся к случаю FUrUrUxUl = 0. Каждое уравнение (1) приводимо с помощью преобразований (2) к уравнению, принадлежащему одному из этих подклассов. Как установили Ли (статья в Bd 5, S. 362 - 427 Собрания сочинений1) и Р. Лиувилль70, один из этих подклассов содержит все уравнения (1), линеаризуемые преобразованиями (2), причем все такие уравнения приводимы к виду ихх = 0. Еще для трех инвариантных подклассов найдены нормальные формы ихх = и4, ихх = гГ3 и ихх = и2. Для остальных 13 подклассов найдены базисы дифференциальных инвариантов и операторы инвариантных дифференцирований, в терминах которых определены классифицирующие многообразия этих подклассов. Локальная конгруэнтность классифицирующих многообразий является необходимым и достаточным условием эквивалентности двух уравнений из одного и того же инвариантного подкласса.

Непосредственное перенесение метода Картана на случай уравнений в частных производных приводит к быстрому росту объема вычислений с ростом количества независимых переменных, что делает невозможным его применение с использованием современных компьютерных систем аналитических вычислений уже в случае трех независимых переменных. В главе 3 мы анализируем различные встречающиеся в литературе подходы, направленные на преодоление этих трудностей. В результате сравнений метода46-51, основанного на использовании априорно известных геометрических свойств изучаемого уравнения, метода 54,55, основанного на использовании разложения инфинитезимальных генераторов транзитивных псевдогрупп Ли в ряды Тейлора и метода56~60, использующего инвариантизованные определяющие

67Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of the Painlevé equations // J. Diff. Eq., 1999, Vol. 157, P. 452 - 485

68Kruglikov B. Point classification of second order ODEs: TVesse classification revisited and beyound // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 199 - 221

69Yumaguzhin V.A. Differential invariants of second order ODEs, I // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, P. 283 - 313

T0Liouville R. Sur les invariants de certaines équations différentielles et sur leurs applications. /'/' J. de l'Écolc Polytechnique, 1889, Vol. 59, P. 7 - 76

уравнения для форм Маурера-Картана, мы делаем вывод об их неуниверсальности — неприложимостн к тем или иным классам уравнений. По нашему мнению, единственным универсальным подходом является метод подвижного корепера, намеченный Э. Картаном в §13 статьи на стр. 719-856 в Собрании сочинений36 и развитый в работе П. Олвера и М. Фелса61 для случая обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для его применения к дифференциальным уравнениям в частных производных требуется найти формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогрупп точечных и контактных преобразований на расслоениях джетов. Этому посвящена глава 4. В параграфе 4.1 мы рассматриваем псевдогруппу точечных преобразований на многообразии 71(Е",Кт) джетов первого порядка локальных сечений расслоения Е" х ->• К", соответствующего случаю п независимых и т зависимых переменных. Мы находим формы Маурера-Картана этой псевдогруппы, имеющие вид

9а =а%{<1и3 -и?<1x1),

Н * = с}3в8 + Ь)с1х11

гДе £ е {1,. -., ш}, г, ] € {1,..., п}, аеС(а^) ф О, ф 0, В* = &) и

9=9% а также доказываем инволютивность их структурных уравнений

йЮа = А в^ + н' А е?, = ф! л зк + т; л е7,

= ф* А 0/ - Ф,* А 0£ + ф93 А в" + 5' А 65В параграфе 4.2 для псевдогруппы контактных преобразований на многообразии 72(М",К) джетов второго порядка локальных сечений расслоения К" х К К", соответствующего случаю п независимых и одной зависимой переменной мы находим формы Маурера-Картана

©о = а (¿и — щ <1хг), =д> 0О + аВ^к,

= с' 00 + /'* ©А: + Ь'к ¿Хк,

©у = ву ©о + Шу + гт Ек +а В\ ¿ики

где а, ф 0. det(6}) ф 0, Ъ\ Вк — /'•' % = я>1, = = ^ =

и также доказываем инволютивность их структурных уравнений

Й0О = Ф° А 0О + 5' А

dQi = ф? л е0 + ф{ л е., + л еу,

<е< = л - л ек + ф" л ©о + ф<к л еь

<юу = ф* лек} + ф-л eki - ф§ лву + Т°. л е0 + т*. л +н* л eijk.

В главе 5 мы излагаем технику применения метода подвижного коре-пера к псевдогруппам точечных и контактных симметрий дифференциальных уравнений в частных производных. Мы приводим подробные примеры вычисления форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий системы уравнений, описывающих одномерную динамику полит-ропного газа в лагранжевых переменных, и уравнения Лиувилля

Щх = е". (3)

В главе 6 мы применяем метод подвижного корепера к решению проблем эквивалентности для различных дифференциальных уравнений.

В параграфе 6.1 мы решаем проблему эквивалентности для класса ли-иейных гиперболических уравнений

utx = T{t, x)ut + X(t,x)ux + U (t, х) и (4)

относительно действия псевдогруппы контактных преобразований на расслоении джетов второго порядка (теорема 6.1). Мы выделяем в этом классе 6 инвариантных подклассов и доказываем, что каждое уравнение (4) приводится к уравнению, принадлежащему одному из этих подклассов. Первый подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду utx = 0 — этот результат доказывается в § 9 монографии2 с помощью инфинитезимального метода. Второй подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду

utx = —tut — \хих — Xtxu или к уравнению Эйлера-Пуассона

2 2Л 4А - .

Ut*= Jit + x)щ + WTx)Ux ~ WTW2 u' {)

A = const, ц = const, А ф 0, /i ф 0. Для остальных четырех инвариантных подклассов мы находим базисы дифференциальных инвариантов и операторов инвариантных дифференцирований. Тем самым мы получаем полное решение проблемы Лапласа71,72 для класса уравнений (4).

71Ibragimov N.H. Laplace type Invariants for parabolic equations // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 28, P. 125 -133

72Ибрагимов H.X. Иивариапты гиперболических уравпепий: решепие проблемы Лапласа // Прикл. мат. техн. физ., 2004, Т. 45, № 2, С. 11-21

В параграфе 6.2 мы решаем проблему эквивалентности для класса линейных параболических уравнений

ихх = T(t, х) ut + X(t, х) их + U(t, х) и, (6)

относительно псевдогруппы контактных преобразований (теорема 6.2). В классе уравнений (6) выделяется 5 инвариантных подклассов и доказывается, что каждое уравнение (6) приводимо к уравнению, принадлежащему одному из этих подклассов. Первый подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду ихх = щ — этот результат был доказан в работе73 с помощью инфинитезимального метода. Второй подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду

Щ ■

3 Ns х2

N = const, N ф 0.

Для остальных трех инвариантных подклассов мы находим базисы дифференциальных инвариантов и операторов инвариантных дифференцирований. Тем самым мы получаем полное решение проблемы Лапласа для класса уравнений (6).

В параграфе 6.3 мы рассматриваем класс обобщенных уравнений Кало-джеро-Хантера-Сакстона74,75,76

Щх = {и + F(ux)) ихх + G{их). (7)

при G'"(ux) ф 2 (при G"'(ux) = 2 это уравнение может быть приведено к уравнению в частных производных первого порядка). Мы находим формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы симметрии уравнения (7). Основываясь на результатах параграфа 6.1, мы доказываем в теореме 6.3, что каждое из уравнений (7) эквивалентно относительно псевдогруппы контактных преобразований некоторому линейному гиперболическому уравнению (4). При этом соответствующее линейное уравнение оказывается интегрируемым в квадратурах с помощью преобразования Лапласа, которое обсуждается в §9.3 монографии2. Отсюда следует интегрируемость в квадратурах уравнения (7) при G"'(ux) ф 2 и любой функции F(ux) (теорема 6.4). В наиболее важном частном случае уравнения (7) —

73Johnpillai I.K., Mahomed F.M. Singular invariant equation tor the (1+1) Fokker - Planck equation // .1. Phys. A Math. Gen., 2001, Vol. 34, P. 11033-11051

^Calogero F. A solvable nonlinear wave equation // Stud. Appl. Math., 1984, Vol. 70, P. 189-199

75Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces // Stud. Appl. Math., 1989, Vol. 81, P. 221-248

76Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng equations // J. Math. Phys., 2004, Vol. 45, P. 2646-2655

случае обобщенного уравнения Хантсра-Сакстона77'78 73'80-81

utx = uuxx + ки2х. (g)

соответствующее уравнение (4) оказывается уравнением Эйлера-Пуассона (5) с А = к и ц = 2 — к. Знание форм Маурера-Картана псевдогрупп симметрии уравнений (8) и (5) позволяет явно найти контактное преобразование

й = (t + x)~i (к (t + х) щ + (к - 1) и), t = K~lt,

х = -(t + x)^ (K(t+x)ux-u), (9)

u7 = К2 (t + x)~* (ut - ux), Ux = -(г-fa;)-1

между уравнением Эйлера-Пуассона и уравнением (8), записанным в координатах t, х, й (теорема 6.5). С помощью преобразования Лапласа нетрудно найти общее решение уравнения Эйлера-Пуассона. Это решение вместе с преобразованием (9) дает локальную формулу

й = K2S'(t)+K J R(x)(t + x)^dx, t = к~Ч,

x = -к (s(t)+ J R{x) (t + x)i dx

общего решения уравнения (8), в котором R и S — произвольные функции параметров х и £, таких что t + х ф 0.

В параграфе 6.4 рассматривается проблема эквивалентности для урав-

Hunter J.K., Saxton R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appl. Math., 1991, Vol. 51, P. 1498 - 1521

78Tod K.P. Einstein-Weil spaces and third order differential equations//J. Math Phys 2000 Vol 41 P 5572 - 5581

79Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2004, Vol. 50, Part 1, P. 110 - 117

80Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary wave solutions having compact support // Phys. Rev. E, 1996, Vol 53, P. 1900 - 1906

81 Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations // Proc. Inst Math NAS of Ukraine, 2002, Vol. 43, Part 1, P. 201 - 208

нений Христиановича-Рыжова82,83,84'

Uyy = ulx + (их + X) ихх + к их. (10)

Используя метод подвижного корепера, мы доказываем (теорема 6.6), что при к 6 {—2, —уравнение (10) эквивалентно относительно псевдогруппы контактных преобразований потенциальной форме уравнения Хохлова-За-болотской (уравнению Линя-Рейсснера-Цзяна)

Uyy=Utx + UxUxx, (11)

а при к $ {—2, —i} все уравнения (10) эквивалентны друг другу, в частности они эквивлентны уравнению (10) с к = 0. Соответствующие преобразования легко находятся при известных формах Маурера-Картана псевдогрупп симметрии уравнений (10) и (11). Они приведены в теореме 6.7.

Глава 7 посвящена изложению подхода к нахождению накрытий дифференциальных уравнений с помощью метода Картана.

В параграфе 7.1 приводятся примеры, показывающие, что формы Уол-квиста-Эстабрука, задающие известные накрытия над уравнением Лиувил-ля (3) и вторым небесным уравнением Плебанского87

2

1lxz — Щу "Ь иХх Uyy ^ху>

получаются из инвариантных линейных комбинаций форм Маурера-Картана псевдогрупп симметрий этих уравнений.

В параграфе 7.2 мы вводим определение контактного интегрируемого расширения структурных уравнений псевдогруппы симметрий.

Пусть 0 — псевдогруппа Ли на многообразии M и ы1. ..., шт — ее формы Маурера-Картана, удовлетворяющие структурным уравнениям

éJ = Aifj if' Л uß + B)k Lüj Л u/', (12)

где 7 6 {1,..., Г} для некоторого Г > 0. Коэффициенты А'у], B']k = — Blkj этих уравнений зависят от инвариантов UK, к S {1,.... Л}, Л > 0, имеющих

82Христнановнч С.А., Рыжов О.С. О нелинейном отражении слабых ударных волн // Прикл. ыат. техн. физ., 1958, Т. 58, » 5, С. 58S-595

s3Kucharczyk P. Group properties of the "short waves" equation // Bull. Acad. Pol. Sei. Ser. Sei. Technol. 1965, Vol. XIII, No 4, P. 469-475

84Хамитова P.C. Структура группы и базис законов сохранения // Теор. мат. физ., 1982, Т. 52, № 2, С. 244-251

s5Roy S., Roy Chowdhury A., De M. Loop algebra of Lie symmetries for a short-wave équation // International Journal of Theoretical Physics, 1988, Vol. 27, No 1, P. 47-55

86Xu Xiaoping. Stable range approach to short wave and Khokhlov-Zabolotskaya equations // Acta Appl. Math., 2009, Vol. 106, No 3, P. 433-454

87Plebañski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 2395 -2402

дифференциалы

<Шх=Схш>

с коэффициентами Сх, зависящими от и1,..., [/Л. Рассмотрим систему уравнений

йт" = й«рг1/ Лтг + Е?,тг Лт° + Р*тг Лтг0 + СЧГ:ТГ Ли3 + Н* тг^Ла/

с неизвестными 1-формами тч, <7 е {1,.... <5}, ??р, р € {1,..., Я}, и неизвестными функциями Vе, е € {1...., 5} для некоторых ф, Я, Б 6 N. Коэффициенты ..., К'д в уравнениях (14). (15) предполагаются зависящими от 17х и V1.

Система (14), (15) называется интегрируемым расширением системы (12), (13), если уравнения (14), (15), (12) и (13) в совокупности удовлетворяют условиям совместности и инволютивности.

В этом случае существуют совокупности 1-форм тч и функций Vе, удовлетворяющие уравнениям (14) и (15). При этом формы тя вместе с формами ш1 определяют некоторую псевдогруппу Ли действующую на многообразии М х М9.

Интегрируемое расширение называется тривиальным, если существует замена переменных па многообразии действия псевдогруппы ¡г), такая что в новых переменных коэффициенты 6'^, Цк и 3] равны нулю, а коэффициенты Очрг, Е^ и Щ не зависят от IIх. В противном случае интегрируемое расширение называется нетривиальным.

Пусть б" и ^ — совокупность форм Маурера-Картана псевдогруппы симметрии £1е(£) дифференциального уравнения £. причем ^ А ... А ф 0 на любом решении £, и в" — контактные формы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3: Нетривиальное интегрируемое расширение структурных уравнений псевдогруппы £1е(£) симметрий уравнения £, имеющее вид

АоД

с1Уе = З]и? + К\т*,

(14)

(15)

(¡и" = П» А шт + ? А П?,

(16)

д,г £ {1...., ЛГ}, N 1, мы назовем контактным интегрируемым расширением, если выполнены следующие условия:

(г) € (в", ш[)11п для некоторых дополнительных 1-форм ш-;

(и) О? $ (^[)11п для некоторых д и у,

(Ш) Щ £ (0/)цп для некоторых д и у,

(iv) Щ € (Of, и>г)ш.

(v) Коэффициенты в разложениях форм П' по формам {Of, lj¡} и форм Щ по формам {Of, ш[} зависят от инвариантов псевдогруппы £ie(£) и. возможно, от совокупности некоторых дополнительных функций W, р € {1,. ■ •, Л}, Л > 1. В последнем случае существуют функции Pl". Q¡¡, Щ" и S?, такие что

dW = P¡p0? + Q"w« + + S;^. (17)

При этом для уравнений (17) выполнено условие совместности

d(d.W) = 0 = d (Pi"+ Q^w« + Я»ш] + Spj . (18)

Это определение является обобщением определения интегрируемого расширения из § 6 работы 49. Необходимость введения определения 7.3 вызвано тем, что определение работы 49 применимо только в случае конечномерных накрытий, в то время как в случае трех и более независимых переменных накрытия являются, как правило, бесконечномерными 35.

В этом же параграфе мы приводим пример применения определения 7.3 — находим все контактные интегрируемые расширения с одним дополнительным инвариантом для структурных уравнений псевдогруппы симмет-рий уравнения Хохлова-Заболотской в потенциальной форме (11). В результате анализа мы получаем единственное интегрируемое расширение, соответствующее накрытию, в других обозначениях и другими методами полученному в работах27'88.

В параграфе 7.3 мы изучаем контактные интегрируемые расширения структурных уравнений псевдогруппы симметрии обобщенного модифицированного уравнения уравнения Хохлова-Заболотской89

иуу = Щх + (к + 1) и2х + иу) Uxx + ких иху. (19)

При к ф —1 мы находим одно контактное интегрируемое расширение, все инварианты которого совпадают с инвариантами уравнения (19). Ему соответствует накрытие, заданное системой

vt = Q (« + 1) "х - «у) (20)

Vy = -Uxvx.

88Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений // Функц. анализ и прил., 1988, Т. 22, № 3, С. 37-52

89Blaszak М. Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersianless systems // Phys. Lett. A, 2002, Vol. 297, P. 191-195

Анализ контактных интегрируемых расширений с одним дополнительным инвариантом дает следующие результаты: при к 0 {-3; -1} существует одно такое расширение, при к = -3 к нему добавляется второе. Первому расширению при к {-2; -3/2; -1} соответствует накрытие, заданное системой

щ = (I (К + и1 - иу) V* - и* <'Г2 + Т^ТТ У2к+3

1

(2/7+3)

уу = -их ух + ' п.ук+2

1 ^ ^^ (21) (к+ 2)'

при к = —2 заданное системой

I у1 = их - у;1 - ^ + I ы^ 1 = -"х «X - 1п I г;х |, и при к = —3/2 заданное системой

(22)

Г 71? I 17-

I ^ = 2«1|«г|1/2+41п|г;х|-+ ^ „х, 1>„ = -ихг>х -4|г;х|1/2.

При к = — 3 второе контактное интегрируемое расширение соответствует накрытию вида

Уь = и-(и1 + иу) ух,

уу = х-ихух. ^

При к = -1 существует одно контактное интегрируемое расширение с одним дополнительным инвариантом. Этому расширению соответствуют два накрытия, первое из них задается системой

Ы = (X2 ~Хих-иу)ух,

уу = (Х-их)ух (25) и содержит неустранимый параметр А, а второе задается системой уь = (у2-иху-иу)ух:

Уу = (у-их)ух. (26)

Мы отмечаем, что наличие неустранимого параметра может быть установлено из вида уравнений, задающих контактное интегрируемое расширение,

с помощью результатов §§3.2, 3.6 работы 14 и работ90,91 •92'93. Накрытие (21) было найдено при к = 0 в работе94, при к = 1 в работе95 и при к $ {—2, -3/2,-1} в работе96 другими методами. Накрытие (25) найдено в работах97'98. Накрытия (20), (22), (23), (24) и (26) являются новыми.

В параграфе 7.4 мы рассматриваем уравнение

Щу = Чх + (их + иу) ихх - их иху, (27)

описывающее структуры Эйнштейна-Вейля

Г /г = (¿у + их сИ)2 - 4 (Ас + (их - иу) ей) ей, ,

\ из = иххйу+ ((их + 4) ихх + 2 иху) Л,

возникающие в теории относительности99. Анализ контактных интегрируемых расширений структурных уравнений его псевдогруппы симметрий дает единственное расширение с одним дополнительным инвариантом (теорема 7.4), соответствующее накрытие задается системой

Г VI = ьх (1п2|и,| - иу - (1п|^( + 1)их + 1), ^

\ уу = г>х (1п (г;^! — .

В параграфе 7.5 результаты, полученные в параграфах 7.3 и 7.4, применяются для построения точных многозначных решений уравнения Хохлова-Заболотской

и.

УУ

= щх + и ихх + их (30)

и уравнения (27).

Мы используем преобразование27 и = | ш2 -ги„, связывающее уравнение (30) с модифицированным уравнением Хохлова-Заболотской

Щу = Щх + + шу) ™хх, (31)

9uKrasil'shchik, I.S.: On onoparamctric families of Backlund transformations. Preprint DIPS-1/2000, The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2000)

91Igonm S., Krasil'shchik J. On one-parametric families of Backlund transformations. Preprint arXivrnlin/0010040 (2000)

92Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math., 2002, Vol. 72, P. 51-65

93Igonin S., Kersten P., Krasil'shchik I. On symmetries and cohomological invariants of equations possessing flat representations. Preprint DIPS-07, The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2002)

94Chang J.-H., Tu M.-H.: On the Miura map between the dispersionless KP and dispersionless modified KP hierarchies // J. Math. Pliys., 2000, Vol. 41, P. 5391 - 5406

95Konopelchcnko B.r Martinez Alonso L.: Dispersionless scalar hierarchies, Whitham hierarchy and the quasi-classical á-method // J. Math. Phys., 2003, Vol. 43, P. 3807 - 3823

90Pavlov M.V. The Kupershmidt hydrodynamics chains and lattices // Intern. Math. Research Notes, 2006, Vol. 2006, article ID 46987, P. 1 - 43

97Pavlov M.V. Integrable hydrodynamic chains // J. Math. Phys., 2003, Vol. 44, P. 4134 - 4156

"Dunajski M. A class of Einstein-Weil spaces associated to an integrable system of hydrodynamic type // J. Ceom. Phys., 2004, Vol. 51, P. 126 - 137

"Dunajski M. Interpolating dispersionless integrable system // J. Phys. A, 2008, Vol. 41, 315202

совпадающим с уравнением (19) при к = 0. а также преобразования Бэк-лунда (20), (21). связывающие при к = 0 уравнение (31) с уравнениями

'Г1 П

■уу = rte + f ^ - - гхх, (32)

(si st 1

Syy = stx+ I I 8хх (33)

соответственно. К уравнениям (31), (32) и (33) мы применяем подстановку вида

щ = F(ux), иу = G(ux) (34)

из § 5.IV главы VIII монографии18. Для каждого из этих уравнений подстановка (34) дает связь между функциями F и G. Выражая из этих связей функцию F через произвольную функцию G, мы получаем три семейства решений уравнения (30), заданные равенствами

г u = |z2-G(z),

{ F(z) = -¡z3 + J ((G'(z)f + G(z)) dz,

n*)

Для каждой из этих систем многозначная функция г, зависящая от переменных ¿, х, у, задана неявной формулой

Я{х + Р{г)1 + С?{г)у) = г (35)

с произвольными функциями С} и (?.

Аналогично мы строим два семейства многозначных решений уравнения (27). Применяя подстановку (34) к самому уравнению (27), а также к уравнению

Щу = 1>(х + (К 1п Ы - УЬ) V+ 1) ухх + (уу V- 1п |их|) Уху, (36)

связанному с уравнением (27) преобразованием Бэклунда (29), мы находим многозначные семейства функций их и иу, определяющие структуры Эйн-штейна-Вейля (28). Эти функции заданы формулами

их = г, и у = G(z),

F(z) = J ((G'(z)f + z G'(z) - G(z)) dz - 1г2, G(z)

uT = In\z\

п.) -. / (<«'И)'+и - - ™ - •) Ц .

где многозначная функция г задана той же неявной формулой (35) с произвольными функциями <5 и б.

В параграфе 7.6 мы изучаем контактные интегрируемые расширения структурных уравнений псевдогруппы симметрия обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения дима »9,100,101,102, юз

щу = их иху + к иу ихх. (37)

Мы устанавливаем, что структурные уравнения псевдогруппы симметрии уравнения (37) имеют единственное контактное интегрируемое расширение с одним дополнительным инвариантом (теорема 7.5). В теореме 7.6 мы находим соответствующие накрытия. При к $ {—2; —1;0} накрытие задается системой

I 14 = Щ«х + ——ьк+г

1

Vy = --UyVx

fv

к + 2 " (38)

при к = — 2 накрытие задается системой | vt = uxvx - 2 In I vx I,

vy — 2 uyvx>

(39)

100Konopelchenko B.G., Moro A.: Integrable equations in nonlinear geometrical optics // Stud. Appl. Math., 2004, Vol. 113, P. 325 - 352

""Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R., Tsarev S.P.: On a class of three-dimensional integrable Lagrangians // Comm. Math. Phys., 2006, Vol. 261, P. 225 - 243

102Ferapontov E.V., Moro A., Sokolov V.V.: Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions. Preprint wm.arXiv:0710.2012 (2007) 103Ovsienko V. Bi-Hamiltionian nature of the equation utI n^Uy - Uyynx. Preprint wv.axxiv.org/0802.1818 (2008)

а при к = -1 уравнение (37) имеет два накрытия

{

^ = Ых - у) Ух

Уу = иуУ у

и

( У{ = (их-\)ух,

причем параметр А ^ 0 в последнем накрытии является неустранимым, что может быть установлено непосредственно по виду уравнений, задающих контактное интегрируемое расширение. Накрытие (38) при к = 1, к = 1/2, к = 2 и « £ {-2; 0} было найдено другими методами в работах 100Л0и02-м соответственно. Накрытия (39), (40) и (41) являются новыми. В параграфе 7.7 мы рассматриваем уравнение

2 /с ■}• о

>уу - Щх "М -5----1-ки;иу + ^-гС ' и

-к + и*у (42)

с к {-2,-3/2.-1}. связанное с уравнением (19) преобразованием Вэк-лунда (21). Мы находим два расширения, инварианты которых совпадают с инвариантами псевдогруппы симметрий уравнения (19), и одно расширение, содержащее один дополнительный инвариант (теорема 7.7). Соответствующие этим расширениям накрытия имеют вид

4 и

(43)

= -5^+2 ,

г т Т

Система (43) задаст преобразование Бэклунда между уравнением (42) и уравнением

связанным с уравнением (19) преобразованием Бэклунда (20). Исключение и из системы (44) показывает, что функция я является решением того же самого уравнения (42). Таким образом система (44) определяет автопреоб-разоваиие Бэклунда для уравнения (42).

В заключении мы суммируем результаты диссертационной работы и обсуждаем дальнейшие направления исследований, в которых могут быть использованы разработанные в ней методы.

Основные публикации автора по теме диссертации

(из официального перечня ВАК)

1. Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations // Journal of Physics, A, Mathematical and General, 2002, Vol. 35, No 12, P. 29G5-2977

2. Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680-2694

3. Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 - 1475

4. Morozov O.I. Cartan's structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modified dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Applicandae Mathematical, 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 - 272

5. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Cartan's structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Applicandae Mathematicae, 2007, Vol. 99, No 3, P. 309-319

6. Morozov O.I. Cartan's structure theory of symmetry pseudo-groups, coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya equation // Acta Applicandae Mathematicae, 2008, Vol. 101, No 1-3, P. 231 - 241

7. Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan's method: comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 006

8. Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2007, JV« 114 (4), С. 34-41

9. Морозов О.И. Формы Маурера-Картана псевдогруппы симметрии и накрытие второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник МГТУ ГА, 2009, № 140, С. 14-21

10. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 92-99

11. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 100-106

12. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, № 6, С. 902-903

13. Морозов О.И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности Картана // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005, № 91 (9), С. 28-35

14. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2003, Т. 39, № 3. С. 423-424

15. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41, № 6, С. 855-856

(прочие)

16. Morozov O.I. Cartan structure of symmetry pseudo-groups of differential equations via the moving coframe method // Foundations of Computational Mathematics - 2002. Minneapolis, 5-14 August 2002. Abstracts of talks P. 161-162

17. Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan's equivalence method // Proceedings of the Fifth Conference „Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics", Kyiv, Ukraine, 23 - 29 June 2003, Part 1, P. 196203

18. Morozov O.I. Applications of Cartan's structure theory of Lie pseudo-groups in geometry of differential equations // Abstracts of International Conference „Geometry in Odessa - 2006", Odessa, 22 - 27 May, 2006, P. 127

19. Morozov O.I. Maurer-Cartan forms for symmetry pseudo-groups and coverings of differential equations // Proceedings of the International Conference „Symmetry and Perturbation Theory" (SPT) 2007, Otranto, Italy, 2-9 June 2007, eds. G. Gaeta, R. Vitolo, S. Walcher. World Scientific, 2007, P. 148 - 155.

20. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Lie pseudo-groups // Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks. Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15 - 16 March 2009. P. 6

21. Морозов О.И. Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрии и накрытия уравнений r-mdKP и r-dDym // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. - М.: Университетская книга, 2009. С. 254-255

Подписано в печать 28.06.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 120 экз. Заказ № 1123 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Дифференциальные уравнения, метод Картана и псевдогруппы Ли

1.1 Расслоения джетов и дифференциальные уравнения.

1.2 Накрытия дифференциальных уравнений

1.3 Системы Пфаффа в инволюции.

1.4 Локальные группы Ли.

1.5 Метод эквивалентности Картана.

1.5.1 Частная проблема эквивалентности.

1.5.2 Общая проблема эквивалентности.

1.5.3 Различные обобщения проблемы эквивалентности.

1.6 Псевдогруппы Ли

2 Проблема Ли - Лиувилля - Тресса

3 Сравнение различных подходов к применению метода Картана в изучении псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений

3.1 Априорно известные геометрические свойства изучаемого дифференциального уравнения

3.2 Использование разложения инфинитезимальных генераторов транзитивных псевдогрупп Ли в ряды Тейлора.

3.3 Инвариантизованные определяющие уравнения для форм Маурера-Картана.

4 Псевдогруппы контактных преобразований на расслоениях джетов

4.1 Формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы точечных преобразований на 71(Мп,Ет).

4.2 Формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы контактных преобразований на 72(ЖП, М)

5 Псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений

5.1 Метод подвижного корепера и псевдогруппы точечных симметрий дифференциальных уравнений

5.2 Метод подвижного корепера и псевдогруппы контактных симметрий дифференциальных уравнений

6 Проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений

6.1 Проблема Лапласа для линейных гиперболических уравнений

6.2 Проблема Лапласа для линейных параболических уравнений

6.3 Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро - Хантера - Сакстона.

6.4 Проблема эквивалентности для уравнения Христиановича-Рыжова

7 Накрытия дифференциальных уравнений и интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий

7.1 Накрытия и псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений.

7.2 Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий

7.3 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской.

7.4 Контактное интегрируемое расширение и накрытие уравнения Дунайского.

7.5 Накрытия и многозначные решения дифференциальных уравнений.

7.6 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения

Дима.

7.7 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили

Дифференциальные уравнения являются эффективным средством описания и изучения разнообразных процессов в физике, технике, химии, биологии и экономике, а также важнейшей областью исследования, приводящей к развитию большинства отраслей математики. Функциональный анализ, линейная алгебра, численный анализ и многие разделы геометрии обязаны своим возникновением потребностям совершенствования теории дифференциальных уравнений. В частности, теория непрерывных групп, объединившая методы алгебры, анализа и геометрии и ставшая одним из краеугольных камней современной математики, была создана Софусом Ли для унификации методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как обобщение теории Абеля - Галуа решения алгебраических уравнений. Непрерывные группы, названные Пуанкаре группами Ли, оказали глубокое влияние на многие области математики и физики, такие как теория гравитации, гидродинамика, квантовая механика, теория управления и другие.

Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных уравнений является конструкция группы симметрий. В настоящее время имеется большое количество книг, детально описывающих этот подход, см. [141, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41, 191]. В рамках классической теории Ли группа симметрий дифференциальных уравнений состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых переменных и порожденных ими преобразований производных, которые переводят совокупность решений этого уравнения в себя. Это условие дает сложные нелинейные уравнения на функции, задающие эти преобразования (определяющие уравнения или уравнения Ли). Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что в случае непрерывных групп преобразований эти нелинейные уравнения можно заменить на более простые условия, перейдя от преобразований, близких к тождественному, к порождающим их векторным полям (инфинитезималъ-ным генераторам), то есть, на современном языке, перейдя от группы Ли к ее алгебре Ли. Коэффициенты инфинитезимальных генераторов удовлетворяют переопределенной системе линейных уравнений в частных производных (инфинитезимальные определяющие уравнения). Анализ этой системы и ее интегрирование позволяет в большинстве случаев найти инфинитезимальные генераторы группы симметрий явно, хотя, например, в случае одного обыкновенного уравнения первого порядка задача явного вычисления инфинитезимальных генераторов равносильна задаче нахождения его общего решения, что не всегда возможно (см., например, [188, Ch. VI]).

Знание группы симметрий дифференциального уравнения позволяет явно находить решения этого уравнения, инвариантные относительно различных подгрупп этой группы, а также строить новые решения из уже известных. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений знание однопараметри-ческой группы симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Как показал Ли, этот подход позволяет унифицировать различные частные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнений в частных производных функции, задающие решения, инвариантные относительно подгрупп группы симметрий, удовлетворяют редуцированным уравнениям, содержащим, как правило, меньшее число переменных, что упрощает задачу их анализа и решения.

Многие модели математической физики описываются дифференциальными уравнениями, содержащими числовые параметры или произвольные функции, присутствие которых либо отражает неполноту информации о модели, либо вызвано требованием расширить область ее применения. Поэтому возникает задача классификации таких совокупностей дифференциальных уравнений и выбора уравнений с наиболее богатой математической структурой, например, таких уравнений, для которых можно построить большое количество точных решений. Методы теории групп Ли оказываются действенными в решении таких задач. К этому кругу вопросов примыкает проблема эквивалентности дифференциальных уравнений — задача нахождения необходимых и достаточных условий, при которых два данных дифференциальных уравнения связаны некоторой заменой переменных. Изоморфизм групп симметрий дает необходимое условие эквивалентности, в то время как достаточное условие формулируется в терминах дифференциальных инвариантов — функций от переменнных уравнения и их производных, не меняющихся при преобразованиях, входящих в группу симметрий. Инфинитезимальный метод С. Ли позволяет находить дифференциальные инварианты групп симметрий, если явно известны ее инфинитезимальные генераторы. Для этого требуется проинтегрировать еще одну переопределенную систему уравнений в частных производных, [37, §24], [35, §2.5], [172, СИ. 5]. Зачастую эта система оказывается весьма сложной, что вызывает значительные трудности в применении инфинитезимального подхода к нахождению дифференциальных инвариантов и решению проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений.

За последние сорок лет важные обобщения методов классической теории Ли групп симметрий дифференциальных уравнений были разработаны в связи с развитием метода обратной задачи рассеяния [59, 12] и связанных с ним концепций высших симметрий [8, 203] (называемых также обобщенными, [35], или преобразованиями Ли-Бэклунда, [15]) и высших законов сохранения. Последовательная геометрическая формулировка метода обратной задачи рассеяния, а также связанных с ней представлений нулевой кривизны, структур продолжений Уолквиста-Эстабрука, преобразований Бэклунда, операторов рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, основана на концепции дифференциального накрытия бесконечного продолжения дифференциального уравнения [133, 134]. Существование дифференциального накрытия для данного дифференциального уравнения позволяет применять разнообразные методы для его исследования и получать значительную информацию о его решениях [59, 169, 104, 12, 43, 17, 127, 10, 1, 4, 128, 11, 184, 20]. Поэтому проблема нахождения накрытия для данного дифференциального уравнения является весьма важной. В случае уравнений с двумя независимыми переменными имеется хорошо разработанный подход к этой проблеме, предложенный Уолквистом и Эстабруком в [204] и развитый в работах [95, 90, 133, 109, 134, 190, 149, 116]. Для дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми переменными проблема нахождения условий существования дифференциальных накрытий является гораздо более сложной, [22, 23, 167, 168, 198, 54, 170, 107, 108, 182, 181]. Как показано в работе [148], для большинства таких уравнений накрытия являются бесконечномерными. Поэтому проблема существования накрытия для дифференциального уравнения оказывается тесно связанной с бесконечномерными группами Ли (или псевдогруппами Ли).

Основы теории бесконечных непрерывных групп преобразований были созданы Ли [141, Bd. 5, 314-360, Bd. 6, 300-364]. Эти работы были продолжены Ф. Энгелем, [142], А. Трессом, [199, 200], П. Медолаги, [151], и Э. Вессио, [202]. Дальнейшее развитие теория псевдогрупп Ли получила в работах Э. Картана, [73] -[76].

В отличие от инфинитезимального метода Ли подход Картана к теории псевдогрупп Ли не использует инфинитезимальные генераторы и основан на описании преобразований из псевдогруппы Ли в терминах инвариантных дифференциальных 1-форм, называемых формами Маурера-Картана этой псевдогруппы. Для любой псевдогруппы Ли ее формы Маурера-Картана могут быть найдены с помощью операций линейной алгебры и дифференцирования и без использования интегрирования, что делает подход Картана особенно удобным для применения в компьютерных системах аналитических вычислений, таких как MAPLE, REDUCE, MATHEMATICA, и т.д. Выражения внешних дифференциалов форм Маурера-Картана в терминах самих этих форм дают структурные уравнения псевдогруппы Ли. Эти уравнения содержат полную информацию о псевдогруппе, в частности, их коэффициенты дают базисные дифференциальные инварианты псевдогруппы. Знание форм Маурера-Картана и дифференциальных инвариантов для псевдогруппы симметрии дифференциальных уравнений позволяет решать проблемы эквивалентности и классификации, а также явно находить отображения между эквивалентными уравнениями. Кроме того, основанный на методе Картана подход оказывается эффективным в приложении к проблеме нахождения накрытий в случае уравнений с тремя или более независимыми переменными,

153, 161, 162, 163, 30, 165, 166].

В то время как методу Ли посвящена обширная литература (см., например, [141, 178, 72, 87, 88, 53, 36, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41, 191]), нам известно сравнительно небольшое количество публикаций, в которых метод Картана применяется к симметриям дифференциальных уравнений.

В работах [125, 110, 55] метод Картана был использован для нахождения симметрий и решения проблем эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что непосредственное перенесение этого метода на случай уравнений в частных производных приводит к быстрому росту объема вычислений с ростом количества независимых переменных, что делает невозможным его применение с использованием современных компьютерных систем уже в случае трех переменных.

A.M. Васильев, [5], и К.П. Суровихин, [45] - [47], нашли формы Маурера-Картана и структурные уравнения групп симметрий стационарных уравнений двумерной газодинамики и нестационарных уравнений одномерной газодинамики.

Статьи [102, 103, 126, 195] посвящены использованию метода Картана для нахождения симметрий квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Отметим, что методы работ [5, 45, 46, 47, 102, 103, 126, 195] являются достаточно простыми, но не являются универсальными — они основаны на априорном знании геометрических свойств изучаемых уравнений и не допускают непосредственного переноса на другие классы уравнений.

В работах [22, 23] метод Картана был применен к проблеме нахождения накрытий для уравнений с тремя независимыми переменными. Результаты этих работ были переоткрыты без использования метода Картана через 20 лет, [21, 137].

В работах [69, 70, 68] был предложен основанный на методе Картана подход к изучению законов сохранения гиперболических и параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Этот подход был обобщен в [82] на случай параболических уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными и в работе [100] на случай эволюционных уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными.

Как показано в статьях [56, 55], метод Картана является удобным инструментом для изучения интегрируемости по Дарбу гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Работы [145, 146] посвящены разработке метода нахождения структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений из их ин-финитезимальных определяющих уравнений. Этот метод применим только в случае транзитивных псевдогрупп и не позволяет находить явно их формы Маурера-Картана.

Новый метод изучения псевдогрупп Ли был предложен в работах П. Олвера, Ю. Похъянпелто и их сотрудников [173, 174, 79, 80, 201]. Он позволяет находить структурные уравнения и формы Маурера-Картана непосредственно из инфинитезимальных определяющих уравнений псевдогрупп симмет-рий, в том числе и в интранзитивном случае. При этом метод дает бесконечные наборы форм Маурера-Картана и бесконечные системы структурных уравнений, так что необходимо совершить дополнительные действия для выделения их конечных подсистем, необходимых для эффективной работы с изучаемыми псевдогруппами.

В работе [96] П. Олвером и М. Фелсом был развит намеченный Э. Кар-таном в [74, §13] подход к нахождению форм Маурера-Картана псевдогрупп симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений, названный методом подвижного корепера {the moving coframe method).

Отметим также работы [14, 48, 84, 85, 86], в которых с помощью метода Картана изучались преобразования Бэклунда для уравнений с двумя независимыми переменными.

Данная диссертация посвящена систематическому развитию подхода, основанного на методе эквивалентности Картана и структурной теории псевдогрупп Ли, к геометрическим аспектам дифференциальных уравнений — псевдогруппам симметрий, их дифференциальным инвариантам и проблеме эквивалентности. Особое внимание уделено проблеме нахождения дифференциальных накрытий для уравнений с тремя независимыми переменными.

В главе 1 мы приводим основы метода эквивалентности Картана и структурной теории псевдогрупп Ли, следуя работам [7, 172, 193]. При этом в известных нам работах по методу эквивиалентности Картана отсутствует полное изложение его обоснования в случае, если структурная группа зависит от точки основного многообразия, см., например, [101, р. 37], [124, р. 51], [172, р. 294]. Поскольку при применении метода Картана к задаче нахождения накрытий уравнений в частных производных с тремя независимыми переменными мы встречаемся с необходимостью рассматривать именно тот случай, когда структурная группа явно зависит от инвариантов псевдогруппы симметрий накрывающего уравнения, для обоснования применимости метода мы доказываем его ключевой момент — теорему 1.17, основываясь на идеях [74, §7], [7, с. 29-30] и замечании на стр. 39 в [101].

В главе 2 мы применяем метод Картана для решения классической задачи Ли-Л иувилля-Тр с с с а нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Насколько нам известно, в существующих публикациях отсутствует полное решение этой задачи, хотя очень многие частные случаи разобраны со всеми подробностями, см. замечание на стр. 407 в [172]. С помощью метода Картана мы находим полное решение задачи Ли-Лиувилля-Тресса, [32, 33, 34].

В главе 3 мы проводим сравнение имеющихся в литературе подходов к нахождению форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений, указываем их преимущества и недостатки, а также границы их применимости.

По нашему мнению единственным эффективным и универсальным подходом является метод подвижного корепера, [74, §13], [96]. В статьях [152], [157] мы обобщаем этот метод на случай уравнений с частными производными. Метод подвижного корепера основан на технике нахождения форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий вложенных подмногообразий, которую мы обсуждаем в примере 1.11. Для применения этого метода к псевдогруппам симметрий дифференциальных уравнений требуется предварительно найти формы Маурера-Картана псевдогрупп точечных и контактных преобразований на расслоениях джетов. Этому посвящена глава 4, в первом параграфе которой мы рассматриваем точечные преобразования, а во втором — контактные. С помощью метода Картана мы находим инвариантные формы этих псевдогрупп. Затем мы доказываем ин-волютивность их структурных уравнений.

В главе 5 мы излагаем технику применения метода подвижного корепера к псевдогруппам точечных и контактных симметрий дифференциальных уравнений в частных производных. Этот подход является универсальным — он приложим к любому такому уравнению или системе. Мы приводим примеры вычислений с его помощью форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий уравнений одномерной газодинамики и уравнения Лиувилля.

В главе 6 мы применяем метод подвижного корепера к решению задач эквивалентности для дифференциальных уравнений в частных производных. Мы находим полные наборы дифференциальных инвариантов и приводим полное решение проблемы эквивалентности для линейных гиперболических уравнений (параграф 6.1) и линейных параболических уравнений (параграф 6.2) с двумя назависимыми переменными (так называемая проблема Лапласа, [115, 16]). На основе ее решения в параграфе 6.3 устанавливается контактная эквивалентность обобщенного уравнения Калоджеро—Хантера-Сакстона и линейного гиперболического уравнения с дополнительной зависимостью между его инвариантами Лапласа, [29]. Это позволяет доказать интегрируемость в квадратурах обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона. В частности, мы находим явную формулу для общего решения обобщенного уравнения Хантера-Сакстона, [159]. В параграфе 6.4 мы устанавливаем эквивалентность уравнений коротких волн (уравнений Христиановича-Рыжова) с неисключительными значениями параметра друг другу и уравнению Хохлова-Заболотской в случае исключительных значений параметра.

В главе 7 метод эквивалентости Картана применяется к проблеме нахождения накрытий для дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми переменными. Основой подхода является предложенное в [165] обобщение данного в работе [68] определения интегрируемого расширения системы внешних диффренциальных уравнений. Мы находим интегрируемые расширения псевдогрупп симметрии обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской, [60], интерполяционного уравнения Дунайского, [93], обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима, [60], и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Это позволяет воспроизвести в рамках единого подхода известные накрытия этих уравнений, а также найти их новые накрытия и преобразования Бэклунда. В том числе мы находим новое накрытие для обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима, содержащее неустранимый параметр, и автопреобразование Бэклунда для обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили. В параграфе 7.5 мы приводим примеры применения накрытий для построения точных многозначных решений уравнения Хохлова-Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского, [161, 163].

Все рассмотрения в диссертации предполагаются локальными, все расслоения предполагаются тривиальными, все отображения предполагаются аналитическими.

Заключение

В данной диссертации разработан эффективный и универсальный метод нахождения форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений в частных производных с любым числом независимых переменных. С помощью этого метода решен ряд задач эквивалентности для различных классов дифференциальных уравнений, в том числе дано полное решение задачи Лапласа для линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, установлена линеари-зуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона, найдена явная формула для общего решения обобщенного уравнения Хантера-Сакстона и решена проблема эквивалентности для уравнений Христиановича-Рыжова.

В диссертации также предложен подход к применению метода Картана для нахождения накрытий дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми переменными с помощью техники интегрируемых расширений псевдогрупп симметрий и структурной теории псевдогрупп Ли. Этот подход позволяет единообразно находить уже известные накрытия, полученные ранее другими авторами с помощью достаточно сильно различающихся методов, а также строить новые накрытия. С помощью указанного метода в диссертации найдены интегрируемые расширения и новые накрытия обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской, обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили, а также соответствующие им преобразования Бэклунда. Отметим, что этот метод позволяет получать информацию о наличии в накрытии неустранимого параметра уже на уровне интегрируемого расширения. В диссертации найдено новое накрытие с неустранимым параметром для обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима.

Кроме того, в диссертации продемонстрирована возможность использовать накрытия дифференциальных уравнений с тремя независимыми переменными для построения точных многозначных решений этих уравнений, найдены новые многозначные решения уравнения Хохлова-Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского.

Разработанные в диссертации методы приложимы к исследованию обширных классов дифференциальных уравнений. На наш взгляд, весьма актуальной темой дальнейших исследований является применение предложенного в диссертации подхода к нахождению накрытий на основе техники интегрируемых расширений к различным обобщениям уравнений Кадомцева

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1989

2. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 34, М.: ВИНТИ, 1989.

3. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982

4. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991

5. Васильев A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Матем. сборник, 1996, Т. 70 (112), С. 457 480

6. Васильева М.В. Структура бесконечных групп Ли преобразований. М.: МГПИ, 1972

7. Васильева М.В. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения. М.: МГПИ, 1975

8. Виноградов A.M. Теория высших инфинитезимальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными // ДАН СССР, 1979, Т. 248, №2, С. 274-278

9. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986

10. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988

11. Дубровский В.Г. Применение метода обратной задачи к построению точных решений (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Дисс. . д.ф.-м.н., Новосибирск, 1999

12. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980

13. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функц. анализ и его прил., 1974, Т. 6, №3, С. 43 53

14. Звягин М.Ю. Преобразования Бэклунда уравнений Монжа-Ампера. Дисс. . к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1985

15. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983

16. Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикл. мат. техн. физ., 2004, Т. 45, № 2, С. 11-21

17. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985

18. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: МГУ, 1962

19. Картан Э. Избранные труцы. М.: МЦНМО, 1998

20. Киселев О.М. Асимптотики решений многомерных интегрируемых уравнений и их возмущений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004, Т. 11, С. 3-149

21. Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений // Функц. анализ и прил., 1988, Т. 22, № 3, С. 37-52

22. Кузьмина Г.М. О геометрии системы двух дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки МГПИ, 1965, № 243, С. 99 108

23. Кузьмина Г.М. О возможности сведения системы двух уравнений с частными производными первого порядка к одному уравнению второго порядка // Ученые записки МГПИ, 1967, № 271, С. 67 76

24. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968

25. Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка // УМН, 1979, Т. 34, № 1, С. 137 165

26. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения^ 2003, Т. 39, № 3, С. 423-424

27. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41, № 6, С. 855-856

28. Морозов 0:И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности Картана// Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005,. № 91 (9), С. 28-35

29. Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения^ Калоджеро-Хантера-Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2007, № 114 (4), С. 34-41

30. Морозов О.И. Формы Маурера-Картана псевдогруппы симметрий и накрытие второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник МГТУ ГА, 2009, № 140, С. 14-21

31. Морозов 0;И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 92-99

32. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 100-106

33. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, № 6, С. 902-903

34. Олвер П.Дж. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989

35. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО АН СССР, 1962

36. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978

37. Павлов M.B. Уравнение Калоджеро и уравнения типа Лиувилля // Теор. мат. физ., 2001, Т. 128, С. 927-932

38. Цоммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М;: Наука, 1983

39. Рождественнский Б.Л. Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газодинамике. М. : Наука, 1968.

40. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. A.M. Виноградова и И.С. Красильщика, М.: Факториал, 1997

41. Синцов Д.М. Заметки об уравнениях, аналогичных уравнению Рикка-ти. // К вопросу о рациональных интегралах линейных дифференциальных уравнений. Казань, 1897

42. Солитоны / под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983

43. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир- 1970

44. Суровихин К.П. Внепшие формы Картана и отыскание основной группы, допускаемой данной системой уравнений // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1965, № 6, С. 70 81

45. Суровихин К.П. О грзчшовой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа // ДАН СССР, 1966, Т. 171, № 1, С. 55 -58

46. Суровихин К.П. Структурные уравнения при наличии интранзитивной группы в случае общих одномерных течений газа // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1967, № 1, С. 56 64

47. Ферапонтов Е.А. Преобразования Бэклунда квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при двух независимых переменных. Дисс. . к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1987

48. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и частных производных. М.: ГИТТЛ, 1948

49. Хамитова P.C. Структура группы и базис законов сохранения // Теор. мат. физ., 1982, Т. 52, № 2, С. 244-251

50. Христианович С.А., Рыжов О.С. О нелинейном отражении слабых ударных волн // Прикл. мат. техн. физ., 1958, Т. 58, № 5, С. 586-595

51. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.: Гостехиздат, 1949

52. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1954

53. Alfinito Е., Profilo G., Soliani G. Properties of equations of the continuous Toda type // J. Phys. A, 1997, Vol. 30, P. 1527-1547

54. Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 21 -48

55. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math., 1997, Vol. 89, P. 351-375

56. Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of the Painleve equations // J. Diff. Eq., 1999, Vol. 157, P. 452 485

57. Backlund A.V. Ueber Flachentransformationen // Math. Ann., 1876, Vol. 9, P. 297-320

58. Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications. Lect. Notes Math., 515 / Miura R.M., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1976

59. B-laszak M. Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersi-onless systems // Phys. Lett. A, 2002, Vol. 297, P. 191-195

60. Bluman G.W., Kumei S. Similarity Methods for Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 13, N.Y.: Springer-Verlag, 1989

61. Bluman G.W., Anco S.C. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2002

62. Bluman G.W., Cheviakov A.F., Anco S.C. Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 168. N.Y.: Springer-Verlag, 2010

63. Bogdanov, L.V., Konopelchenko, B.G.: On the 8 -dressing method applicable to heavenly equation // Phys. Lett. A, 2005, Vol. 345, P. 137-143

64. Bordag L.A., Dryuma V.S. Investigation of dynamical systems using tools of the theory of invariants and projective geometry // Z. Angew. Math. Phys., 1997, Vol. 48, P. 725 743

65. Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng equations // J. Math. Phys., 2004, Vol. 45, P. 2646-2655

66. Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldschmidt H.L., Griffiths P.A. Exterior Differential Systems. N.Y.: Springer-Verlag, 1991

67. Bryant R.L., Griffiths Ph.A.: Characteristic cohomology of differential systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Math. J., 1995, Vol. 78, P. 531-676

68. Bryant R.L., Griffiths Ph.a., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. I // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 1, No 1, P. 21-112

69. Bryant R.L., Griffiths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. II // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 2, No1, P. 265-323

70. Calogero F. A solvable nonlinear wave equation // Stud. Appl. Math., 1984, Vol. 70, P. 189-199

71. Campbell J.e. Introductory Treatise on Lie Theory of Finite Continuous Transformation Groups. Oxford, 1903

72. Cartan É. Sur la structure des groupes infinis de transformations // Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, P. 571-715. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]г

73. Cartan Е. Les sous-groupes des groupes continus de transformations // Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, P. 719-856. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]

74. Cartan É. Les problèmes d'équivalence // Œuvres Complètes, Part II, Vol.2, P. 1311-1334. Paris: Gauthier Villars, 1953

75. Cartan É. La structure des groupes infinis // Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, P. 1335-1384. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]

76. Cartan É. Sur les variétés à connexion projective // Bull. Soc. Math. France, 1924, Vol. 52, P. 205 241

77. Chang J.-H., Tu M.-H.: On the Miura map between the dispersionless KP and dispersionless modified KP hierarchies // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5391 5406

78. Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan equations for Lie symmetry pseudo-groups of differential equations // J. Math. Phys., 2005, Vol. 46, 023504

79. Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations // Foundations of Computational Mathematics, 2008, Vol. 8, R 501-532

80. Clairin J. Sur les transformations de Baecklund // Ann. Sci École Norm. Sup. 1902, Vol. 3, Supplement, P. 1-63

81. Clëlland J.N. Geometry of conservation laws for a class of parabolic partial differential equations I // Selecta Mathematical New Series, 1997, Vol; 3, P; 1-77

82. Clelland JiN. Geometry of conservation laws for a class of parabolic PDEs E: Normal forms for equations with conservation laws // Selecta Mathematica, New Series, 1997, Vol. 3, P. 497-515

83. Clelland J.N. Homogeneous Bâcklund transformations of hyperbolic Mon-ge-Ampère systems // Asian J. Math., 2002, Vol. 6 , P. 433 480

84. Clelland JiN., Ivey T.A. Parametric Bâcklund transformations I: phenomenology // Trans. Amer. Math. Soc. 2005, Vol. 357, P. 1061 1093

85. Clelland J.N., Ivey T.A. Backhand transformations and Darboux integrabi-lity for nonlinear wave equations // Asian J. Math., 2009, Vol. 13, P. 15 -64

86. Cohen A. An Introduction to the Eie Theory of One-Parameter Groups, with Applications to the Solution of Differential Equations. N.Y.: D.C. Heath & Co, 1911

87. Dickson L.E. Differential equations from the group standpoint // Ann. Math., 1924, Vol. 25, P. 287-378

88. Dodd R.K., Morris H.C. Bâcklund transformations // 104], P. 63 94

89. Dodd R., Fordy A. The prolongation structures of quasi-polynomial flows // Proc. Roy. Soc. London, A, Vol. 385, P. 389^29

90. Dryuma V. On the Riemann and Einstein-Weil geometry in theory of the second order ordinary differential equations. Preprint, www. arXiv. org : math.DG/0104278 (2001)

91. Dunajski M. A class of Einstein-Weil spaces associated to an integrable system of hydrodynamic type // J, Geom. Phys., 2004, Vol. 51, P. 126 137

92. Dunajski M. Interpolating dispersionless integrable system // J. Phys. A, 2008, Vol. 41, 315202

93. Ermakov S. Short wave / long wave interaction and amplification of decimeter-scale wind waves in film slicks // Geophysics Research Abstracts, 2006, Vol. 8, 00469

94. Estabrook F.B.: Moving frames and prolongation algebras // J. Math. Phys., 1982, Vol. 23, P. 2071-2076

95. Fels M., Olver P.J.: Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta. Appl. Math., 1998, Vol. 51, P. 161-213

96. Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R.: The characterization of two-component (2+l)-dimensional integrable systems of hydrodynamic type // J. Phys. A.: Math. Gen., 2004, Vol. 37, P. 2949 2963

97. Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R., Tsarev S.P.: On a class of three-dimensional integrable Lagrangians // Comm. Math. Phys., 2006, Vol. 261, P. 225 243

98. Ferapontov E.V., Moro A., Sokolov V.V.: Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions. Preprint www. arXiv :0710.2012 (2007)

99. Foltinek K. Third-order scalar evolution equations with conservation laws // Selecta Math., New Ser., 2002, Vol. 8, P. 201-235

100. Gardner R.B. The Method of Equivalence and Its Applications. CBMS-NSF regional conference series in applied math., Philadelphia: SLAM, 1989

101. Gardner R.B., Kamran N. Characteristics and the geometry of hyperbolic equations in the plane // J. Diff. Eq., 1993, Vol. 104, P. 60-116

102. Gardner R.B., Kamran N. Normal forms and focal systems for determined systems of two first-order partial differantial equations in the plane // Indiana Math. J., 1995, Vol. 44, P. 1127-1161

103. Geometrical Approaches to Differential Equations. Lect. Notes Math., 810. / Martini R., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1980

104. Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotatio-nally symmetrical case // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2004, Vol. 50, Part 1, P. 110-117

105. Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations / Ibragimov N.H., Ed. Vol. 1 -3, Boca Raton (Fl): CRC Press, 1994 1996

106. Harrison B.K. On methods of finding Bácklund transformations in systems with more than two independent variables // J. Nonlinear Math. Phys., 1995, Vol. 2, P. 201-215

107. Harrison B.K. Matrix methods of searching for Lax pairs and a paper by Estévez I I Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 2000; Vol. 30, Part 1, P. 17-24

108. Hoenselaers C. More Prolongation Structures // Prog. Theor. Phys., 1986, Vol. 75, P. 1014-1029

109. Hsu L., Kamran N. Classification of second-order ordinary differentialequ-ations admitting Lie groups of fiber-preserving symmetries // Proc. London Math. Soc., 1989, Vol-. 58, P. 387 416

110. Hunter J.K., Saxton R*. Dynamics of director fields // SIAM J. Apph Math., 1991, Vol. 51, P. 1498- 1521

111. Husain V. Self-dual gravity and the chiral model // Phys. Rev. Lett., 1994, Vol. 72, P. 800 803

112. Ibragimov N.H-. Infinitesimal method in the theory of invariants of algebraic and differential equations // Notices of the South' African Mathematical Society, 1997, Vol. 29, P. 61 70

113. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group* Analysis and Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley and Sons, 1999

114. Ibragimov N.H. Laplace type invariants for parabolic equations // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 28, P. 125 -133

115. Igonin, S. Coverings and the fundamental group for partial differential equations // J. Geom. Phys., 2006, Vol. 56, P. 939-998

116. Igonin, S., Krasil'shchik, J. On one-parametric families of Bácklund transformations. Preprint arXiv: nlin/0010040 (2000)

117. Igonin, S., Kersten, P., Krasil'shchik, I. On symmetries and cohomological invariants of equations possessing flat representations. Preprint DIPS-07, The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2002)

118. Ivey T. A., Landsberg J.M. Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and-Exterior Differential Systems. Grad. Stud. Math. 61. Providence (RI): AMS, 2003

119. Jakobsen P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena, I. Preprint, Troms0 University, 1997

120. Jakobsen P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena, II. Applications to non-linear acoustics. Preprint, Troms0 University, 1998

121. Johnpillai I.K., Mahomed F.M. Singular invariant equation for the (1+1) Fokker Planck equation // J. Phys. A Math. Gen., 2001, Vol. 34, P. 1103311051

122. Johnpillai I.K., Mahomed F.M., Wafo Soh C. Basis of joint invariants for (1+1) linear hyperbolic equations // J. Nonliear Math. Phys., 2002, Vol. 9, Supplement 2, P. 49 59

123. Kamran N. Contributions to the Study of the Equivalence Problem of Élie Cartan and its Applications to Partial and Ordinary Differential Equations. Mem. CI. Sci. Acad. Roy. Belg., 1989, Vol. 45, Fasc. 7

124. Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for y" = F(x, y, y') and the Painlevé transcendents // J. Diff. Geom., 1985, Vol. 22, P. 139- 150w

125. Kamran N., Shadwick W.F. Equivalence locale des équations aux dériées partielles quasi lineares du deuxième ordre et pseudo-groupes infinis // Comptes Rendus Acad. Se. (Paris), Série I, 1986, Vol. 303, P. 555-558

126. Konopelchenko B.G. Nonlinear Integrable Equations. Recursion Operators, Group-Theoretical and Hamiltonian Structures of Soliton Equations. Lect. Notes Phys., 270, N.Y.: Springer-Verlag, 1987

127. Konopelchenko B.G. Introduction to Multidimensional Integrable Equations. The Inverse Spectral Transform in 2+1 Dimensions. N.Y.: Plenum Press, 1992r

128. Konopelchenko B., Martinez Alonso L.: Dispersionless scalar hierarchies, Whitham hierarchy and the quasi-classical d-method // J. Math. Phys., 2003, Vol. 43, P. 3807 3823

129. Konopelchenko B.G., Moro A.: Integrable equations in nonlinear geometrical optics // Stud. Appl. Math., 2004, Vol. 113, P. 325 352

130. Kraenkel R., Manna M., Merle V. Nonlinear short-wave propagation in ferrites // Phys. Rev. E, 2000, Vol. 61, P. 976-979

131. Krasil'shchik, I.S.: On one-parametric families of Backhand transformations. Preprint DIPS-1/2000, The DifFiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2000)

132. Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, P. 79-86

133. Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bácklund transformations // Acta Appl. Math., 1989, Vol. 15, P. 161-209

134. Kruglikov В. Point classification of second order ODEs: Tresse classification revisited and beyound // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 199 221

135. Kucharczyk P. Group properties of the "short waves"equation // Bull. Acad. Pol. Sei. Ser. Sei. Technol. 1965, Vol. XIII, No 4, P. 469-475

136. Kupershmidt, B.A.: The quasiclassical limit of the modified KP hierarchy // J. Phys. A Math. Gen. 1990, Vol. 23, P. 871 886

137. Kuranishi M. On E. Cartan's prolongation theorem of exterior differential systems // Amer. J. Math., 1957, Vol. 9, P. 1-47

138. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact Geometry and NonLinear Differential Equations. 2007 (Cambridge: Cambridge University Press)

139. Laplace P.S. Recherches sur le calcul intégral aux différences partielles // Mémoires de l'Academie Royale de Sciences de Paris, 1773 1777, 341 - 401, переиздано: Œuvres Complètes, Vol. IX, Paris: Gauthier - Villars, 1893

140. Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1 6, Leipzig: Teubner, 1919-1927

141. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Bd. 1-3, Leipzig, 1888 1893

142. Liouville R. Sur les invariants de certaines équations différentielles et sur leurs applications. // J. de l'École Polytechnique, 1889, Vol. 59, P. 7 76

143. Lisle I.G. Equivalence Transformations for Classes of Differential Equations. Ph.D. Thesis, University of British Columbia, 1992

144. Lisle I.G., Reid G.J., Boulton A. Algorithmic determination of structure of infinite Lie pseudogroups of symmetries of PDEs // Proceedinds of ISS AC'95 New York: ACM Press, 1995

145. Lisle I.G., Reid G.J. Geometry and structure of Lie pseudogroups from infinitesimal defining equations // Journal of Symbolic Computation, 1998, Vol. 26, P. 355-379

146. Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differen-• tial equations, and nonlinear phenomena // Acta Appl. Math., 1985, Vol. 3,1. P. 135 173

147. Marvan M. On zero-curvature representations of partial differential equations // Proc. Conf. on Diff. Geom. and Its Appl., Opava (Czech Republic), 1992, P. 103-122

148. Marvan M. A direct procedure to compute zero-curvature representations. The case sl2 // Proc. Int. Conf. on Secondary Calculus andCohomological Physics, Moscow, Russia, August 24-31, 1997

149. Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math., 2002, Vol. 72, P. 51-65

150. Medolaghi P. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del se-condo ordine, che ammettono un grupo infinito di transformazioni puntuali. // Ann. Mat. Pura Appl., 1898, Vol. 1 (3), P. 229-263

151. Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations // J. Phys. A, Math. Gen., 2002, Vol. 35, No 12, P. 2965-2977

152. Morozov O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations. Preprint www. arXiv. org/maph-ph/ 0 3 0 4 0 4 5 (2003)

153. Morozov O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations. Preprint www. arXiv. org/math-ph/ 0306007 (2003)

154. Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan's equivalence method. // Proc. of the Fifth Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics Kyiv, Ukraine, 23 29 June 2003, Part 1, P. 196203

155. Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680-2694

156. Morozov O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter Saxton equation and the Euler - Poisson equation. Preprintwww. arXiv. org/math-ph/ 0406016 (2004)

157. Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan's method: comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 006

158. Morozov O.I. Applications of Cartan's structure theory of Lie pseudo-groups in geometry of differential equations // Abstracts of International Conference "Geometry in Odessa 2006", Odessa, 22 - 27 May, 2006, P. 127

159. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Cartan's structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Appl. Math., 2007, Vol. 99, No 3, P. 309 319

160. Morozov O.I. Cartan's structure theory of symmetry pseudo-groups coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya equation // Acta Appl. Math., 2008, Vol. 101, No 1-3, P. 231 241

161. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Lie pseudo-groups // Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks. Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15-16 March 2009. P. 6

162. Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 1475

163. Morozov O.I. Cartan's structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modified dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 272

164. Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions // J. Math. Phys., 1976, Vol. 17, P. 1870-1872

165. Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions: a general class of equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1979, Vol. 12, P. 261-267

166. Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. / Boiti M., Pempi-nelli F., Soliani G., Eds. Lect. Not. Phys., 120. N.Y.: Springer-Verlag, 1980

167. Nucci M.C. Pseudopotentials for nonlinear evolution equations in 2+1 orders // Int. J. Non-Lin. Mech., 1988, Vol. 23, P. 361-367

168. Olver PJ. Evolution equations possessing infinitely many symmetries // J. Math. Phys., 1977, Vol. 18, P. 1212-1215

169. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995

170. Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan forms and the structure of Lie pseudo-groups // Selecta Math., 2005, Vol. 11, P. 99-126

171. Olver P.J., Pohjanpelto J. Moving frames for Lie pseudo-groups // Canadian J. Math., 2008, Vol. 60, P. 1336-1386

172. Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary wave solutions having compact support // Phys. Rev. E, 1996, Vol 53, P. 1900 1906

173. Ovsienko V., Roger C. Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension 2 + 1 // Comm. Math. Phys., 2007, Vol. 273, P. 357 388

174. Ovsienko V. Bi-Hamiltionian nature of the equation utx = uxy uy — uyy ux. Preprint www. arxiv. org/ 0802.1818 (2008)

175. Page J.M. Ordinary Differential Equations. An Elementary Text-Book with an Introduction to Lie's Theory of the Group of One Parameter. L.: Macmillan & Co, 1897

176. Painlevé P. Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme // Bull. Soc. Math. France, 1900, Vol. 28, P. 201 261

177. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur, dont l'intégrale générale est uniforme // Acta Math., 1902, Vol. 25, P. 1 86

178. Palese M. Bàcklund loop algebras for compact and non-compact non-linear spin models in (2+1) dimensions // Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 144, No 1, P. 1014-1021

179. Palese M., Leo R.A., Soliani G. The prolongation problem for the heavenly equation // Proc. SIGRAV Conference "Recent developments in general relativity" (Bari, 1998). Springer, 2000

180. Pavlov M.V. Integrable hydrodynamic chains // J. Math. Phys., 2003, Vol. 44, P. 4134-4156

181. Pavlov, M.V. The Kupershmidt hydrodynamics chains and lattices // Intern. Math. Research Notes, 2006, Vol. 2006, article ID 46987, P. 1 43

182. Plebanski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 2395 2402

183. Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces // Stud. Appl. Math., 1989, Vol. 81, P. 221-248

184. Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2002, Vol. 43, Part 1, P. 201 -208

185. Ritt J.F. Integration in Finite Terms. Liouville's Theory of Elementary Methods. N.Y.: Columbia University Press, 1948

186. Roy S., Roy Chowdhury A., De M. Loop algebra of Lie symmetries for a short-wave equation // International Journal of Theoretical Physics, 1988, Vol. 27, No 1, P. 47-55

187. Sakovich S.Yu. On zero-curvature representations of evolution equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1995, Vol. 28, P. 2861-2869

188. Schwarz F. Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations. Boca Raton (Fl): Chapman & Hall/CRC, 2008

189. Stohny V. Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck equation // Nonlinear Mathematical Physics, 1997, Vol. 4, No 1-2, P. 132 -136

190. Stormark O.: Lie's Structural Approach to PDE Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2000

191. Takasaki, K.: Quasi-classical limit of BKP hierarchy and W-infinity symmetries // Lett. Math. Phys., 1993, Vol. 28, P. 177-185

192. The D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2008, Vol. 4, Paper 058

193. The Painleve Property: One Century Later / Ed. by R. Conte, CRM Series in Math. Phys., Berlin: Springer-Verlag, 1999.

194. Tod K.P. Einstein-Weil spaces and third order differential equations // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5572 5581

195. Tondo G.S. The eigenvalue problem for the three-wave resonant interaction in (2+1) dimensions via the prolongation structure // Lett. Nuovo Cimento, 1985, Vol. 44, P. 297-302

196. Tresse A. Sur les invariants différentielles des groupes continus de transformations // Acta Math., 1894, Vol. 18, P. 1 88

197. Tresse A. Détermination des invariants ponctuels de l'équation différentielle ordinaire de second ordre y" = w(x, y, y') Il Preisschriften der furstlichen Jablonowski'schen Gesellschaft. 1896, Vol. 32. Leipzig: Hirzel.

198. Valiquette F. Structure equations of Lie pseudo-groups // Journal of Lie theory, 2008, Vol. 18, No 4, P. 869-895

199. Vessiot E. Sur l'intégraton des systèmes différentiels des groupes continues de transformations // Acta Math., 1904, Vol. 28, P. 307-349

200. Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, No 1, P. 21-78

201. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 1-7

202. Xu Xiaoping. Stable range approach to short wave and Khokhlov-Zabolot-skaya equations // Acta Appl. Math., 2009, Vol. 106, No 3, P. 433-454

203. Yumaguzhin V.A. Differential invariants of second order ODEs, I // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, P. 283 313

204. Zakharov V.E. Integrable systems in multidimensional spaces // Lect. Notes Phys., 1982, Vol. 153, P. 190-216