Метод проектирующих операторов в задачах о взаимодействии частиц с квантовым полем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИ! ордена трудового красного знамени государственны:'! лшерситет шени в.и.лшиа

Па правах рукописи

ШН11Р ВАСШШ НИКОЛАЕВИЧ

;,12ТОД ПРОБЖИТТЩИХ ОПЕРАТОРОВ В ЗАДАЧАХ О ЗЗАШ0ДЙ1СТВМ ЧАСТЩ С ШНТОВШ ПОЛЕМ

01.04.02 - теоретическая и математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата ^изшсочлатематических наук

■Минск, 1992

Работа выполнена в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И.Ленина.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Комаров Л.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хрусталев О.А.

кандидат физико-математических наук, доцант Дубовская И.Я.

Ведущая организация - Институт физики АНБ, Минск.

Защита состоится 1992 года в ■

часов на заседании специализированного Совета К 056.03.09 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Белорусском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И.Ленина (220080, г.Минск,проспект Ф.Скорины, 4, к.206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосунивер-оитета им. В.И.Ленина.

Автореферат разослан 1992 г.

Ученый секретарь Совета А.В. Ивашин

ОНЦАЯ ХАРАКГЕЕ1СТИКА РА БОШ

Актуальность 'Темы. Ужа на начальном этапа развития квантовой творил поля существуем задачи требовали разработки методов, отличных от стандартной теории возмущений (ТВ). Обзор этих методов мояно найти в монографиях [1.2] • Особого упоминания требуют многочисленные работы, в которых для разработки не-пертурбативнкх лодходоз использовался б качестве модели гамильтониан задачи о поляроид (см.обзор [3]). За последние полтора десятилетия для изучения непертурбативнкх явлений в каллбровоч-1шх теориях сильных взаимодействий используются достаточно мощные и перспективные метода [4] . При воем этш проблема построения метода, приспособленного к анализу в области промежуточных констант связи, в настоящее время яачяется такой же острой и актуально!!', как и ранее.

Для анализа некоторых явлений, например таких, как удержание кварков, популярные (с середины 70-х годов) стал квази-классическш1 метод [5] . Первая строгая теория данного метода в применешш к задачам теории поля была разработана Н.Н.Боголюбовы.! [6] . В [б] было показано, что операторы взаимодействующего бозонного поля содержат с-числовую составляющую (равную нулю в случае свободного бозонного поля).. При малой кинетической энергии поля ("адиабатическая связь") мояно построить теорию возмущений в окрестности классического решения. Однако при прямолинейном выделении из бозонного поля классической составляющей теряются свойства симметрии гамильтониана системы, что влечет за собой проблему "нулезых мод". Боголюбовым бнло построено преобразование, которое вводит коллективные переменные поля, являющиеся одновременно параметрами группы симметрии гамильтониана . В этом случае при квазиклассическом разложении волновая функция (ВФ) системы в любом приближении является собственной по. отношению к генераторам группы симметрии гамильтониана. В работах [7, 8] дня учета интегралов движения было предложено использовать проекционные операторы. Оказалось, что, перейдя с языка коллективных переменных на язык проекционных операторов, получи, 1 некий вариационный метод, который имеет частным случаем теорию возмущений и содержит.в качестве предельного случая приближение'сильной связи. Этот результат был получен для гамильтониана задачи о-полярона. Позднее он был подтвержден

для задачи о статистическом источнике, взаимодействующем с пи-ошшм полем, в работе [9j (в которой, однако, использовались проекторы на на сохраняющиеся полные изоспин и спин системы, а на изоспин и спин пионкого поля). В ему вышеизложенного представляется актуальным исследование, проведенное в диссертации.

Цель работы. Анализ метода проекционных операторов в применения к задачам об определении основного состояния некоторых квантовополевых систем, а тленно:

1. Исследование свойств аналитичности зависимости энергии основного состояния от константы связи и от параметра размерности в задаче о взаимодействии нерелятивистской частлцы со скалярным квантовым ноле!.!.

2. Исследование сходимости метода в задаче о самодействующем скалярной поле с нетривиальными условиями на бесконечности; изучение особенностей МПО при исследовании-возбуждений над частицеподобным решением.

3. Построение корректной процедуры применения МПО в задаче о взаимодействии статического источника, обладающего внутренними степенями свобода, с изовекторнш псевдоскалярным полем.

4. Разработка схемы применения МПО в задаче о взаимодействии двух нерелятивиотских частиц, обладавших внутренними степенями .свобода, с квантовым полем.

Ра^чная новизна. В диссертации показано в общем виде,что применяемый в задаче о взаимодействии нерелятивистской частицы со скалярным квантовым полем МПО содержит в качестве предельных случаев теорию возмущений и (как'предел больших короткодействующих корреляций) метод сильной связи. В данной задаче также установлен с помощью МПО факт наличия трех видов графиков завися-мости энергии основного состояния от константы связи. В задаче . о самодействующем скалярном поле показано, что известное квазиклассическое приближение есть предел больших короткодействующих корреляций метода проекционных операторов; в рамках МПО предложен способ рассмотрения'возмущений основного состояния данной системы. Найден корректный способ применения МПО при рассмотрении гамильтонианов, обладающих случайными симмвтриями. Разработана схема рассмотрения методом проекционных операторов задачи о двух частицах, имеющих внутренние степени свободы и взаимодействующих посредством изовекторного псевдоскалярного поля.

Практическая ценность, Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при ранении различных проблем теории твердого тела, формулируемых на языке модельных гамильтонианов, аналогичных рассмотренным ;при расчоте характеристик//// - взаимодействия, а такао при рассмотрении гамильтонианов современной квантовой теории поля.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. МПО содержит в качестве предельного случая приближение сильной связи.

В рамках НПО существует предел слабой связи, совпадаший со вторым порядком теории возмушениЯ (если ТВ определена).

2. Прямеиешш НПО в задаче о взаимодействии нерелятивистской частицы со скалярным квантовым полем с использованием ос-щшшторного приолпженпя для ВФ голой частицы приводит к. трем типам зависимости энергии основного состояния от константы связи.

3. ШО может применяться при квантовании самодействующих полей вблизи кпазккиасспческих репоний с возможностью перехода в область промежуточных значений константы самовоздействия.

4. В задаче о статическом источнике с внутренними степенями свободы, взаимодействующего с изовзкторннм псевдоскалярным полем, МПО позволяет получить значения физических характеристик для любой константы связи; однако, оказывается, что, в силу имеющей здесь место приближенной случайной симметрии, метод требует особого рассмотрения.

5. Существует схема применения МО в задаче об основном состоянии системы двух частиц с внутренними степенями свободы,взаимодействующих с азовекторним псевдоскалярным полем, приводящая к замкнутой системе уравнений типа Шредннгвра с потенциалами двухчастичного взаимодействия, определяшшяся самосогласованным образом. I

Апробация работы. Основные результаты, излол:анные в диссертации, обсукдались на семинарах кафедры теоретической физики Велгосунпварситета им .В .II .Ленина и кафедр физики и инженерной математика! Белорусского политехнического института, были представлены на Меэдунзроднсм соЬесюши по теорш малочасгнчшх и кварк-адронных систем.

Структура и объем сгботн. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 96 наименования. Объем диссертации: 97 страниц машинописного текста, включая I рисунок и I таблицу. '

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении сформулирована цель исследования и обоснована актуальность темы.

В первой главе с пскоцыо метода проектирующих операторов (МПО) исследуется основное состояние нерзлятыаистской частицы, .взаимодействующей .со скалярный квантовым полем. Рассматриваемая система описывается трансляционно-инвариантным гамильтонианом

И* -¿у А * № ^а! с* + ^ | А (¿^«М'" Щ'*1) (I)

где М - масса частицы; ^ - константа связи; а^и аь - операторы рождения и уничтожения квантов поля с импульсом^ и энергией ; - формфактор взаимодействия; 5. - размерность пространства, в котором рассматривается движение системы ( 5 не фиксировано и является параметром задачи).

В первом параграфе при помощи проектора на сохраняющийся полный импульс системы и преобразования Боголюбова,выделяющего в операторах в» , классическую составляющую, строится вектор основного состояния системы. Для волновой функции (ВФ) частицы " используется осцилляторное приближение с варьируемым параметром. Далее, с помощью схемы, предложенной в £8} ,•оценивается энергия основного состояния. В результате имеем два репоиия, определяющие зависимость энергии от константы связи и параметризуемые неким параметром » (0,1). Одно из них, соответствующее параметру Х= I, имеет место для значения параметра 5 и функций , при которых определена теория возмущений, и совпадает с решением Ли-Лоу-Пайнса [з) , а другое (в этом случае 0< * ) определяется некоторой системой функциональных уравнений и, в частности, при 5 = 3,£»к= и>, = се^Л , у*. = //А. дает решение задачи о по-ляроне, полученное в С81 •

Во втором параграфе рассматривается частный случай,соответствующий величинам £ = I, и>к= ¡к .» ~ одномерный акустический полярон. Здесь, очевидно, решение Ли-Лоу-Пайнсэ не имеет места. Система уравнений, определяющая решение, которое соответствует значениям 1«(0,1), в данном случае значительно

упрощается. Исследуя ееЧв предельных случаях по параметру Д, получим, что здесь существуют два решила сильной связи. Один из них (Л-->0), определяющий нижний уровень энергии, совпадает с результатом метода сильной связи; другой предельный случай X-* I, которому также соответствует д -*■ , определяет некое метастабильноа состояние. График зависимости £ ), построенный численно, оказывается типичной бифуркационной кривой, нижняя ветвь которой достаточно быстро стремится к своей асимптотике - кривой £"„ (д ), полученной из метода сильной связи.

В третьем параграфе рассматривается точечное взаимодействие частицы с квантовш полом, которому соответствуют = I,

= -/¿'л/*1- , где f - масса кванта поля; размерность 5 удобно считать непрерывным параметром. В данной задаче решение Ли-Лоу-Папнса определено да значений размерности 5 <3). В зависимости от параметра $ исследуется реиение соответствующее значениям Л € (0,1). При рассмотрении предельных случаев по параметру X оказывается', что для любого 5« [I, 3} существует предел сильной связи (соответствующий пределу ), причем зависимость Ё(^) ПРЦопределяется формулами:

при

А-

■ >-!■ А 1'i

(2)

* Ф • (з)

Е^-^/'!7 •• при л = 2 (4)

Очевидно, А - это критическое значение параметра. Предел А ->1 соответствует пределу слабой связи 0 только для I* [I, 2), при этом

Е«> (5)

о

Для значений размерности $«(2^ при Л~*1, имеем еще один режим сильной связи, причем зависимость энергии от константы связи при 2 < 5 < 3 определяется формулой (5), в которой однако «о , а при $ = 3 - уравненном в параметрической форма

1е е-з/ъг&ъ)4- (6)

гда «-> 0.

Значение размерности s = 2 здесь также является критическим: цри Л->>-1 константа связи стремится к некоторому фиксированному . Любопытно, что ту же зависимость при Я -*■ I имеем и в задаче о лояяроне; аналогично сопоставляются задача об акустическом поляроне и задача о точечном взаимодействии частицы с полем при 5=3..

В четвертом параграфе рассматривается взаимодействие с обрезающим формфактором . В этсм случае кривая зависимости £ (£) определена для любого^ , причем при малых $ тлеем результат теории возмущений, а при больших g - результат метода сильной связи. Рассмотрен такие предел статического источника и оказывается, ■что в этом пределе решение, получешов методом проекционных операторов, совпадает с точным.

В пятом параграфе показывается в общем ввде, что метод сильной связи является предельным случаем !.Ш0 и соответствуют большим короткодействующим корреляциям. Указывается, что доказательство существования решения Ли-Лоу-Пайнса в рамках МПО, приведенное в [8} для задачи о поляроне, справедливо-и в рассматриваемом общем случае. Анализируются три типа зависимости

£. ( g )» полученных в данной задаче.. Далее замечается, что корректность осцидляторкого прябликения для пробной ВФ частицы при значениях параметра Xе (1/3, I) сомнительна в ему того, что норла вектора основного состояния для этих X оказывается "равной нули. В связи с этим приводятся выкладку показывающие в общем виде, что в рамках МПО существует предел слабой связи, соответствующий теории возмущений.

feo второй глдве транслядаонно инвариантный гамильтониан самодействующего скалярного поля

Н » [dt ( j.Jг(1) + ¿(vtf is))* + U(tti)) 1 (7)

где i/((f(d) - произвольный функционал, используется в качестве модели для сопоставления ТЛЮ и метода сильной связи Н.Н.Бо голюбова, применяемых в задачах о квантовании часгицеподобннх решений.

В первом параграфе после переопределения канонических переменных (fit), %(*) , вводящего'параметр малости £ так,чтобы кинетическая энергия поля имела порядок , осуществляется преобразование Боголюбова f Ч) -<fcU • i) + t Ф(£-

где Чс(1) и - классическая и квантовая составляющие поля

> а вектор & есть коллективная переменная, соответствующая трансляционному движению системы. После преобразования канонических импульсов Х(&) получим разлоненле гамильтониана в ряд по степеням £ :

Н^Н^Н. + е0^... О)

Гамильтониан, выраженный через новые канонические переменные, не зависит явно от трансляционной переменной В , в связи с чем ВФ системы записывается в виде

(10)

где у9 - полный импульс системы.

Разложению (9) соответствуют разложения по степеням £ энергии £ а вектора состояния &({<Р(1)}) . Поскольку Д, оказывается с- числом, в нулевом приближении для энергии получим соотношение Е„ = H, (<ft (t)) . Варьируя Ис , получим для и £с трансллционно-инвариантные выражения, описывающие протяженную тяхелую релятивистскую частицу. Рассматривая второе приближение, описывающее квантовые возбуждения над классическим решешем, получим, что,в разложешш по нормальным модам

автоматичаси! но включаются трансляционные моды, соответствующие нулевому собственному значеншо.

Во втором параграфе квантование возле классического решения осуществляется с помощью обычного канонического, преобразования

tu) «= % <v + Фи), «w=Пш . . си)

a трансдационная инвариантность учитывается с помощью проектора, , гак что вектор основного состояния записывается в вида

>tl > Ç " " (12)

А

После подстановки (II) в (7) и усреднения И по состояншо(12) получше функционал, варьируя который, имеем для <рс(£) некоторое интегродифферешдаальное уравнение. На примере модели Хиггса далее показывается, что лдвестное квазиклассическое приближенна может быть получоно из ЩЮ в качестве предельного случая.

В третьем параграфе указывается способ рассмотрения возмущений основного состояния системы в рамках МПО и описываются результаты такого рассмотрения.

В третьей'главе изучаются особенности МПО в задаче об основном состоянии статического источника с внутренними степенями свободы, взаимодействующего с изовекторным псевдоскалярным полем. Гамильтониан задачи имеет вид:

н -Ukf^«J^ jgjs (bi)) -aXk)) (13)

где a.¿(i) , a»Ok) ( Л =1,2,3) - операторы роздеиш и уничтожения ппэнного поля; ^и ( А = I, 2, 3) - соответственно, изоспиновыа п спиновые матрицы Паули; н - гласса кванта поля; т(к) = /XV»»1' ; р(к) - сТурье-образ плотности источника; - безразмерная константа связи.

В первом параграфе вектор основного состояния системы строится с палошьи проекторов фтг - на полный пзоспин, и $fJ - на полнш'! спин (здесь > J¡. - соответст-

вующие проекции):

где £ -вектор состояния источника, а К»ь - вектор вакуумного состояния по отношению к операторам $Alk) , которые определяются каноническим преобразованием

aji) -- «< а>+ ш, си -& fu +(к)

Классическое поле находится из вариационного принципа,

а 4-кшпонентнш": вектор-столбец^определяется матричным уравнением

Во втором параграфе дано обоснование "анзаца"

где é - некоторый фиксированный, не равный нулю вектор-параметр Ф.И.Федорова, 0dit&) - собственная ортогональная матрица вращений. В результате (17), из (16 имеем две ветви зависимости энергии от константы связи. Решение иояот бить параметризовано с помощкэ некоторого параметра к , определяющего интенсивность классической компонента' пиошюго поля. ПсслйдоЕаш.! пре-

дельные случаи по параметру к : предел к. -> О соответствует теории возмущений, а предел о дает результат метода сильной связи. -

В третьем параграфе рассчитываются в зависимости от константы связи характеристики системы: среднее число виртуальных мезонов, постоянные перенор.шровки, магнитный момент. При рассмотрении предельных случаев оказывается, что при Х-*- 0 значения всех физических воличян совпадают со значениями, полученными из теории возмущений, а при к ->-«>* - со значениями, полученными по методу сильной связи .

В четвертом параграфа при обсуждении результатов главы в частности отмечается, что три компоненты вектора / и четыре компоненты вектора-столбца £ отзываются связанными только одним уравнением и условием норлировки ££ =1. Эта неопределенность есть проявление очевидного сволства ШО: проецируемая пробная В§ определена с точностью до составляющих, ортогональных инвариантному по отношению к проектору подпространству.

В четвертой главе с помощью МПО рассматривается система двух нерелятивистских нуклонов, взаимодействующих с изовектор-ным псевдоскалярным (пионнш) полем, описываемая гамильтонианом

* ^ 1 Iй е

н ~ ¿ч й+

+ ( Л Г •/ С) {>} А) (1>\ / I 1 (18)

где /И - - масса нуклона; , % а - координаты нуклонов.

В персом параграфе строится основное состояние системы (дейтрон), соответствующее квантовым числам Г = О я / =1. Усредняя гамильтониан (18) по вектору основного состояния и варьируя полученный Функционал, имеем, во-первых, интегро-диффе-ренциальное в частных производных матричное уравнение для полно-, стью антисимметричной БФ голых нушгонов (%,г%индексы I й 2 означают совокупность изоспиновых и спиновых координат первого и второго нуклонов) и, во-вторых, уравнение для определения классической составляющей иЛ(к) пионного поля.

Во втором параграфе, делаются приближения для классического' поля и для ВФ и • Для классического паля ис-

пользуется подстановка - 1к.ли(к.) > в результате которой

и в силу полозительной четности основного состояния в уравнашц для останутся сферические гармоники, соответствую-

щие орбитальным мшентам £ = 0 и 2. Следующее приближение состоит в ; ззделеши переменных ¿-^'¿г и Г?/*5соответствующих относительному движению и движению центра масс нуклонов, причем движете центра масс учитывается с помошью осцил-ляторного приближения с варьируемым параметром. Тогда оказывается, что состояние системы двух голнх нуклонов представляет собой суперпозицию пзосинглетного, триплетного по спину и изо-триплетного, синглагного по спину состояний, каждое из которых, В: свою очередь, есть суперпозиция и О-волн. В результата имеем систему четырех дифференциальных уравнений для радиальных ВФ <1>!'С(?)> и > .Потенциалы и константы этой системы определяются классическим полем ¿/к. , .которое находится из вариационного принципа (^Е/^ц^И.

В третьем параграфа исследованы предельные случаи полученной самосогласованной задачи. Определены.приближения слабой и сильной связей с соответствующими им критериями.

В заключении приводятся результаты, которые выносятся на защиту.

ОСНОВНЫЕ ЕЕЗУЛШТЫ И ВЫВОД)!

1. Показано, что применяемый в любой из рассмотренных задач МПО содержит в качестве предельного случая приближение сильной связи. Показано, что в рамках ШО .существует предел слабой связи, совпадающий со вторым порядком 1В (если ТВ определена) .

2. Получены-три вида зависимости энергии основного состояния от константы связи в задаче о взаимодействии нерелятпвист-' ской частицы с квантовым полем в пространства размерности

14 5 4 3 .*

' 3. Доказана применимость метода в задаче о самодействующем скалярном поле с нетривиальными условиями на бесконечности; указан способ рассмотрения в рамках МПО возбуждений над частице-подобным решением.

4. Осущестшсена корректная процедура построения с помошью

МПО основного состояния статического источника с внутренними степенями свобода, взаимодействующего с изовекторным псевдоскалярным полем; вычислены физические характеристики статического источника без ограничения на величину константы связи.

5. Разработана схема применения МПО в задаче о взаимодействии двух нуклонов посредством пионного поля. Получена самосогласованная система уравнении для четырех радиальных Функций, описывающих относительное движение голых нуклонов в изосинг-летном триплетнш по спину и изотриплетнсы спнглетнал по спину состояниях, соответс'твующих физическому состоянию дейтрона с квантовыми числами Т = 0 и ,7=1.

Полученные результаты позволяют надеяться на успешное применение МПО для расчета квантово-полевых систем, аналогичных рассмотренным.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ШЕ ДИССЕРТАЦИИ •■

1. Комаров Л.И., Кушнир В.Н., Романова Т.С.. Метод сильной связи в квантовой теории самодействующего скалярного поля I. // Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-мат.навук, 1982, 1.' 4, с.75-80.

2. Комаров Л.И., Купнир В.Н. Метод сильной связи в квантово!! теории самодействующего скалярного поля П. /7 Весц! АН БССР. Сер. фЬ.-мат.навук, Г982, £ 5, С.1Г6-И8.

3. Куинир В.Н. Метод проектирующих операторов в задача об основном состоянии статического источника, взаимодействующего с пиошшм полем У/ Деп. в ВИНИТИ, К- 5663-В88 от 14.07.88.

4. Кушнир В.Н., Комаров Л.И. Метод проектирующих операторов в задаче об'основном состоянии системы двух нуклонов, взаимодействующих с пионнш нолем I. Постановка задачи // Деп. в ВИНИТИ, )' 5670-В88 от 14.07.88.

5. Кушнир В.Н. Метод проектирующих операторов в задаче, об акустическом пеляронэ. Л Деп. в ВИНИТИ, К 5531-В90 от 29.10.50.

6. Кушнир В.Н., Комаров Л.И. Анализ основного состояния системы двух нуклонов, взаимодействующих с пионнш полем. И Сб.аннотаций "Международное совещание по теории малочастичных и газарк-адронных систем". Дубна, 1987, с.57,

ЩГШЕШ ЛИТЕРАТУРА

. I. Бёте Г., Гофман Ф. Мезоны и доля. Т.2. ГЛ.: MI, 1957.515 с.

2. Хенчи Э., Тмррикг В. Элементарная квантовая теория поля. М.: Ш1, 1963. - 316 о.

3. (ген-Вал^ В. йне/ №. J'ML^ti'cai рьорг/dcu cd fwia&OH, : рр&Ллясе pkut iia*i.uilu>KA evitt pt uai f

fawu* pf MI, (l, ATI y p. 90.

4. КройцЫ. Кварки, глионы и решетки. М.: Мир, 1987. -192 с.

5. Радаараман Р. Солитош и инстантоны в квантовой теории поля. 1,1.: Мир, 1985. - 416 с.

6. Боголюбов H.H. Об одной новой форле адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем. - Укр. матем.журн., 1950, т.2, Я 2, с.3-24. Избранные труда. -М.: Наука, 1970, т.2, с.499-523.

7. Te/tAH-bkuk- £>., Ti'sUh. i.U. ,and Ксуклюъ- Л,

J\nai<ftis *4 fyt pelute»рко$Ам о* ik hiii £>pa>udi>l

Hikd - {еа\мс( 4^Wi Phgt., /Ш. ьЛ.МЩ р.чт-mt-

8. TtMtmhti U. Tahvt, S. &МЯ tat-Juaigtt'c&t int&ftyodfc* ij>epachten. Jeu*Ал/ ej P/ySft6 С: {o&JSide Pkfs., /ffft t. tf, /. £~С$Ь - f03k.

9. ЗавтракС.Т., Комаров Л.Й. Основное состояние статического источника с внутренними степенями свободы, взаимодействующего с квантовым полем. - Васц1 АН БССР. Сер. фГз.члат.навук, 1984, Л 4," с.94-99.