Метод проективных неравенств и совершенные формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 514.174+511.9+519

АНЗИН МАКСИМ МИХАЙЛОВИЧ

МЕТОД ПРОЕКТИВНЫХ НЕРАВЕНСТВ И СОВЕРШЕННЫЕ ФОРМЫ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре дискретной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор С.С. Рышков

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Е.П. Барановский

доктор физико-математических наук, профессор В.М. Сидельников

Ведущая организация

Центральный экономико-математический Институт РАН (ЦЭМИ РАН)

Защита диссертации состоится 3 октября 2003 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2 сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор ' I В.Н. Чубариков

/су с^

Общая характеристика работы Актуальность темы

Настоящая работа непосредственно связана с проблемой разыскания плотнейших решетчатых упаковок равных шаров в евклидовом пространстве.

В общем виде (когда все центры шаров упаковки не обязательно образуют точечную решетку) эта проблема была поставлена Кеплером в его трактате «О шестиугольных снежинках» (рассматривался плоский и трехмерный случаи). На данный момент общая проблема упаковки шаров решена лишь для плоского случая. В трехмерном случае она до сих пор остается открытой.

Напротив, проблема плотнейших решетчатых упаковок шаров ("решетчатая проблема") решена до размерности пй 8, здесь основные результаты принадлежат Лагранжу, Гауссу, Коркину, Золотареву, Вороному, Барнсу, Блихфельдту и Ветчинкину.

Впервые конечный алгоритм решения решетчатой проблемы для любого и (на языке положительно определенных квадратичных форм (ПКФ)) был получен Вороным1. Им было введено понятие совершенной (квадратичной) формы, далее было доказано, что каждая "плотнейшая", т.е. дающая решетку плотнейшей упаковки, форма является совершенной и то, что совершенных форм с точностью до эквивалентности конечное число. Алгоритм Вороного заключается в некотором правиле перебора конечных граней максимальной размерности так называемого "совершенного полиэдра Вороного" (полиэдра П(и)). Каждой такой грани естественно ставится во взаимно однозначное соответствие ПКФ, которая оказывается совершенной. Существо алгоритма заключается в переходе от

1 Вороной Г.Ф. О некоторых свойствах положительных совершенных квадратичных форм// Собр. соч. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. Т.2. С.171-238.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

одной известной ("первой") совершенной грани ко всем граням, смежным с исходной по гиперграням ("стенкам").

Множество всех совершенных граней (форм), смежных с исходной и рассматриваемых с точностью до эквивалентности, называется окрестностью Вороного исходной формы. На очередном шаге алгорима Вороного, для каждой новой формы из окрестности исходной, отыскивается ее окрестность и т.д. Алгоритм Вороного заканчивается, когда для каждой из найденных на очередном шаге совершенных форм найдется эквивалентная ей форма, полученная на каком-либо из предыдущих шагов.

К настоящему времени алгоритм Вороного полностью проведен для всех п < 8. Для п < 5 он был проведен самим Вороным. Оказалось, что для п = 2,3,4,5 с точностью до эквивалентности существует, соответственно 1,1,2 и 3 совершенные формы. Кроме этого, для любых размерностей и>6 Вороной провел первые два шага своего общего алгоритма. На втором шаге он полностью описал строение «второй» совершенной грани и для любых размерностей нашел одну из форм из окрестности второй грани - так называемую третью совершенную форму (отвечающую «большой стенке»). Однако он не стал перечислять все ее минимальные векторы и проводить третий шаг своего алгоритма.

В дальнейшем, другими авторами было показано, что совершенных форм существует всего: при п = 6 - семь [Barnes]2, при п~1 - тридцать три [Jaquet]3. В 2000 году французские математики объявили, что провели алгоритм Вороного (с использованием ЭВМ) для п = 8 и получили более миллиона попарно неэквивалентных совершенных форм. На следующем

2 Barnes E.S., The complete enumeration of extreme senary forms// Phil. Trans. Royal Soc. of London, Ser. A - 1957 -V. 249, N 969 - P. 461-506.

3 Jaquet D.-O., Enumeration complete des classes de formes parfaites en dimensuon 7// Univ. De Neuchatel - 1991.

шаге, начиная с « = 9, проведение алгоритма Вороного для полиэдра П(л), оказалось трудно выполнимыми.

Цель работы

Основной целью диссертационной работы является развитие методов, позволяющих для любых размерностей преодолевать вычислительные сложности в задачах ПКФ, и применение этих методов для проведения алгоритма Вороного по перечислению совершенных форм. Для всех

третий шаг общего алгоритма Вороного по перечислению совершенных форм. В частности - для п = 9, т.е. для минимального значения размерности, для которой "решетчатая проблема" остается на сегодня не решенной.

Методы исследования

В работе применяются методы проективной геометрии и классические методы теории решетчатых упаковок4.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие:

1. Разработан универсальный метод проективных неравенств для решения различных задач геометрии ПКФ.

2. Найдена новая бесконечная серия совершенных форм из окрестности Вороного второй совершенной формы, отвечающая одному частному случаю «малых стенок» второй совершенной грани.

* Рышков С.С., Барановский Е.П. Классические методы теории решетчатых упаковок// УМН. 1979. Т.34, №4. С.3-63.

размерностей вида

удалось провести

3. Для всех размерностей и>9 перечислены все минимальные векторы классической третьей совершенной формы Г.Ф. Вороного (р{2п).

4. Дано полное описание граней совершенного полиэдра Вороного, отвечающих классическим совершенным формам А.Н.Коркина и Е.И.Золотарева \У„ (для и>10, и = 2А;)и Т„ (для п> 11, п = 2к +1).

5. Дано полное описание совершенной грани, для третьей совершенной формы Г.Ф. Вороного 0>2Я) Для п>9, пё{к2 - ],к2 + \,кг + 3 ].

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть полезны специалистам, работающим в МГУ им. М.ВЛомоно-сова, МИ РАН им. В.А.Стеклова, ПО МИ РАН им. В.А.Стеклова, ЦЕМИ РАН и других организациях.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре по дискретной математике и ее приложениям мех.-мат. ф-т МГУ им. М.В.Ломоносова, на семинаре по теории точечных решеток кафедры «Дискретная математика» мех.-мат. ф-т МГУ им. М.В.Ломоносова, на 3-й Международной конференции по геометрии «в целом» (Черкассы, 1999 г.), на конференции Г.Ф.Вороного по аналитической теории чисел и разбиениям пространства (Киев, 1998 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из четырех глав и Приложения, первая из которых - введение. Текст диссертации изложен на 75 страницах. Список литературы содержит 17 наименований.

Обзор работы Первая глава

Первая глава - вводная. В ней дается краткая характеристика работы, вводятся основные понятия, формулируется основная задача и объясняется роль метода проективных неравенств в ее решении. Кроме этого описывается алгоритм Вороного по перечислению совершенных форм, и дается исторический обзор. Известно следующее

Утверждение 1. Всякая ПКФ /(х) = £ ftj jc; х} > О на множестве

\<d,j£n

Z" - Z" \{0} достигает минимума, который называется ее арифметическим минимумом (или просто минимумом) и обозначается здесь через min / = min /(z) . Для любой ПКФ /(х) существует лишь конечное

xez"

число векторов ±m1,...,±mJeZ'', на которых эта форма достигает своего минимума. Число s называется числом представления минимума

Определение 1 (Г. Ф. Вороной). ПКФ /(х) называется совершенной, если она однозначно восстанавливается по заданию значения ее арифметического минимума min / и по всем его (целочисленным) представлениям. Для произвольной ПКФ естесгвенно возникает следующая Задача 1. Для данной ПКФ /(х): 1) определить min / - значение ее арифметического минимума; 2) найти все векторы ±ml,...,±mïeZ" -представления минимума формы /.

Г.Ф. Вороной доказал, что для каждой размерности п > 2 существует лишь конечное число попарно не эквивалентных классов совершенных форм, и дал общий для всех размерностей п> 2 алгоритм перечисления совершенных форм. Для размерностей п< 5 он полностью провел свой

алгоритм и определил все классы совершенных форм. Кроме этого, для всех п> 5 Г.Ф.Вороной провел первые два шага своего алгоритма. Существо алгоритма заключалось в переходе от «первой совершенной» формы <рдЯ)(х)= £ xlxJ■ ко всем совершенным формам, смежным с

li.li.j-in

исходной. На первом шаге алгоритма оказалось, что все совершенные формы, смежные с формой эквивалентны «второй совершенной»

форме (р\п) (х) = ср^ (х) -х1х2. Форму (р\п) Г.Ф.Вороной изучил, применив линейное преобразование:

* — 4" • • • сХ^ 9 Х^ — } X^ — ¡Х| у / — Зу • • • ^ VI у

которое переводит систему представлений арифметического минимума формы ср\п) в систему векторов вида ж = ±е,±е7, l<i<j<n, где е,-единичные векторы. В терминах этой системы векторов была описана окрестность Вороного формы (р\п\ На втором шаге алгоритма Вороной установил вид всех совершенных форм, смежных с ф\п).

Теорема 1 (Г.Ф. Вороной). Все совершенные формы, смежные с формой , эквивалентны следующим формам:

1) <р\п)~рх 1*3. 2) ф\П) -¿34*3*4

где Зи = Оили 1,...,5п_1п = 0или 1.

Далее оставалось в каждом конкретном случае форм 1) и 2) указать параметры р и /. Вороной провел исследование только случая 1) и определил параметр р для любых п > 4. Исследуя этот случай, Вороной решил только пункт 1 задачи 1.

Вторая глава

Во второй главе для произвольной ПКФ /(х) и вектора х0 еК": с = /(х0)>0, предлагается способ получения различных называемых нами проективных неравенств вида

г.

где g(x) - произвольная ненулевая квадратичная форма, а числа С и

вычисляются по формам / и g.

Для этого для произвольной пары квадратичных форм /(х)>0 и g(x)#0, одна из которых (/(х)) является положительно определенной, рассматривается вариантный многочлен

p(t) = det(f-tg),

как функция действительного параметра t. В пространстве параметров Rw, N = п{п +1)/2, квадратичных форм, пара форм / и g определяет некоторую двумерную плоскость P = (f,g). В этой плоскости

рассматривается проективная прямая Р1 и ее пересечение с конусом определенности К (положительно определенных и отрицательно определенных форм), что задает отрезок определенности (в проективном смысле) , ]. tt и it - это ближайшие к нулю корни вариантного многочлена p{t) со стороны соответственно положительного и отрицательного направлений с допустимым переходом (в случае невырожденности вариации g ) через бесконечность t = ±00.

Доказывается следующее

Утверждение 2. Пусть даны две квадратичные формы /(х), g(x) Ф О от одного и того же числа переменных хеЕ", и пусть /(х)>0 -положительно определенная. Рассмотрим вариацию /(х) = /(x)-/g(x) и определим вариантный многочлен p(t) = det / = det(/ -tg). Пусть tt и t7 - это ближайшие к нулю корни вариантного многочлена p(t), являющиеся границами отрезка определенности [/„~, tt ] (в проективном смысле, как это определено выше). Тогда для произвольного вектора х0 eR", представляющего значение /0 = /(х0) для формы /, выполняются неравенства

•V <g(xQ)<fo/

/г» / г*

Для нахождения всех целочисленных векторов zeZ" представлений некоторой величины с>0 для исходной формы /(х) - мы подбираем различные формы g,(x), i = l, 2,... , и для каждой из них составляем проективные неравенства. Получающиеся неравенства дают

нам ограничения на координаты отыскиваемых векторов. Задача состоит в том, чтобы указать такой набор форм g¡ (х), проективные неравенства для

которого ограничивали бы в Ж" лишь конечное число векторов. Все известные алгоритмы решения задачи 1 основаны на неравенствах, которые являются частными случаями проективных неравенств. Метод проективных неравенств можно использовать в различных задачах геометрии ПКФ. Причем не только в аналитических исследованиях, но и в практических вопросах создания различных алгоритмов для решения задач ПКФ.

Третья глава

В третьей главе демонстрируются возможности метода проективных неравенств и даются три его приложения.

В первом приложении демонстрируются возможности метода на примере формы (р^, и обсуждаются неравенства для вариаций ёу{х) = 2х1х], \<1<]<п.

Во втором приложении исследуется новая бесконечная по п серия совершенных форм й„(х) из окрестности Вороного второй совершенной

формы <р\п), отвечающая случаю 534 =... = £„_,„ =1 из теоремы 1. При

этом решаются следующие две задачи: а) находится параметр ( «отклонения» от второй совершенной грани и устанавливается форма й„(х); б) для формы А„(х) полностью решается задача 1, а также даются ответы на другие вопросы.

В третьем приложении для любых размерностей и >9, проводятся подробные исследования для третьей совершенной формы Вороного ф["\ которая также принадлежит окрестности Вороного второй совершенной формы (р\п) (форма 2) из теоремы 1). Для формы (р^ Вороной решил следующие две задачи: а) нашел параметр р «отклонения» от второй совершенной грани и определил форму б) для формы он решил пункт 1) задачи 1. В настоящей работе мы, непосредственно вслед за Вороным, решаем и пункт 2) задачи 1 для формы перечисляем все ее минимальные векторы и указываем их количество.

Теорема 2.При всех п>9 для формы (р^■' I. количество (пар взаимно противоположных) целочисленных векторов -представлений арифметического минимума формы равно: п1-2п + 2, при -1,£2 + \,к2 + з);

и2, при иеж2-1|

п2 - п, при п е |i2 + ll

п1-п +1, при ле{t2+3^ 2. мы перечисляем все векторы ± z е Z", для которых < 1, и>9.

Для всех таких векторов выполняется равенство (Р^Ч2)= 1 • Л^ы даем подробное описание всех таких векторов, которые оказываются минимальными векторами формы tpj"1. Также доказывается следующее

Утверждение 3. При пё\к2 -\,к2 +\,к2 +з}, п>9, у формы (р(2л) имеется единственный «новый» минимальный вектор, т.е. такой, который не является одновременно и минимальным вектором формы <р\п). Если п = т2 + р, где 1 < р < 2т +1, то такой вектор meZ" имеет вид

I 111 14 т{т-\) , р _

(а,а — \,т —1,-1,...,-1), р —четное, а =—^—- +

ш =

/Ii 1 1 1\ 1 m(m-l) р-1 ,

(о,о-1, т, -1,...,-1), р-нечетное, b = —--h-е*

Четвертая глава

В четвертой главе дано полное описание граней совершенного полиэдра Вороного, отвечающих классическим совершенным формам А.Н.Коркина и Е.И.Золотарева \У„ (для п>10, п = 2к) и Т„ (для «>11, п = 2к +1). Получены следующие результаты.

Теорема 3. Грани полиэдра Вороного, отвечающие при и = > 10 формам (р^ и \УЯ, и при п = 2к + \>\\ - формам <р\п) и Тя афинно эквивалентны.

Следствие 1. Окрестности Вороного форм \¥„ и Т„ устроены локально комбинаторно эквивалентно окрестности формы <р\п) при п четных и нечетных соответственно.

Кроме этих результатов, также дано полное описание строения совершенной грани, отвечающей третьей совершенной форме Г.Ф.Вороного (р^ для п>9, иг \к2 —\,к2 +\,кг +3 ). Тем самым для формы (р^ (для указанных размерностей) впервые - непосредственно вслед за Вороным - проведен третий шаг его общего алгоритма по перечислению совершенных форм. Получены следующие результаты.

Утверждение 4. Для всех размерностей иг\к2 — \,к2 +\,к2 +3,}, и >9, совершенная грань формы является пирамидой. Основанием этой пирамиды является «большая стенка» совершенной грани <р[п^, а вершиной пирамиды - форма, соответствующая форме (т,х)2, где вектор т - из утверждения 3.

Следствие 2. Для всех размерностей пё{к2 -1.,кг +1Д2 +3,), п> 9, совершенная грань формы является "п-этажной" пирамидой. Эта грань образована п «вершинами» а ее основанием является совершенная грань ^ ■

Приложение.

В приложении, для классических совершенных форм А.Н.Коркина и Е.ИЗолотарева \У„ (для «>10, п = 2к) и Т„ (для и> 11, п = 2к + \) решается п>'нкт 2) задачи 1 и перечисляются все их минимальные векторы (которые не были выписаны в явном виде Коркиным и Золотаревым).

Автор выражает благодарность своему учителю профессору Сергею Сергеевичу Рышкову. Автор также выражает благодарность сотрудникам ООО «Центрон». Особую благодарность автор выражает Константину Рыбникову (младшему) за поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

1. Анзин М.М. О вариациях положительных квадратичных форм (с приложением к исследованию совершенных форм).// Тр. МИАН. 1991. Т. 196. С. 11-26.

2. Анзин М.М., О третьей совершенной форме Г.Ф. Вороного// 3-я Международная конференция по геометрии «в целом». Тезисы докладов. Черкассы 1999. С. 5-6.

3. Maxim М. Anzin. Design of Voronoi neighbourhoods of two и-series of perfect forms// Voronoi conference on analytic number theory and space tilings. Abstracts. Kyiv 1998. P. 12-13.

г1 I

Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102 Тираж 100 экз. Заказ №50

Глава I. Введение.

§0. Краткая характеристика работы.

§1. Основные понятия и факты.

§2. Основная задача и роль метода проективных неравенств.

§3. Алгоритм Г.Ф. Вороного, исторический обзор.

Глава II. Метод проективных неравенств.

§4. Конус определенности К, вариантный многочлен p(t).

§5. Вариации и оценки.

§6. Основные вариации и оценки.

Глава III. Приложения метода проективных неравенств.

§7. Исследование первой совершенной формы U„ ~(Pq1)

А.Н.Коркина и Е.И.Золотарева.

§8. Исследование новой бесконечной по п серии совершенных форм hn(\).

§9. Исследование третьей совершенной формы qj^ Г.Ф.Вороного.

Глава IV. Новый взгляд на результаты Г.Ф.Вороного.

§10. Описание строения окрестностей Г.Ф.Вороного предельных форм А.Н.Коркина и Е.И.Золотарева W„ (для п> 10, п = 2к) и Т„ (для л>11? п = 2к + \).

§11. Описание строения окрестности Г.Ф. Вороного для третьей совершенной формы ср^ для п g \к2 -\,к2 +1 ,к2 +3,}.

§0. Краткая характеристика работы

Настоящая работа непосредственно связана с проблемой разыскания плотней ших решетчатых упаковок равных шаров в евклидовом пространстве.

В общем виде (когда все центры шаров упаковки не обязательно образуют точечную решетку) эта проблема была поставлена Кеплером в его трактате «О шестиугольных снежинках» (рассматривался плоский и трехмерный случаи). На данный момент общая проблема упаковки шаров решена лишь для плоского случая. В трехмерном случае она до сих пор остается открытой.

Напротив, проблема плотнейших решетчатых упаковок шаров ("решетчатая проблема") решена до размерности п< 8, здесь основные результаты принадлежат Лагранжу, Гауссу, Коркину, Золотареву, Вороному, Барнсу, Блихфельдту и Ветчинкину.

Впервые конечный алгоритм решения решетчатой проблемы для любого п (на языке положительно определенных квадратичных форм (ПКФ)) был получен Вороным. Им было введено понятие совершенной (квадратичной) формы, далее было доказано, что каждая "плотнейшая", т.е. дающая решетку плотнейшей упаковки, форма является совершенной и то, что совершенных форм с точностью до эквивалентности конечное число. Алгоритм Вороного заключается в некотором правиле перебора конечных граней максимальной размерности так называемого "совершенного полиэдра Вороного" (полиэдра П(и)). Каждой такой грани естественно ставится во взаимно однозначное соответствие ПКФ, которая оказывается совершенной. Существо алгоритма заключается в переходе от одной известной ("первой") совершенной грани ко всем граням, смежным с исходной по гиперграням ("стенкам"). Множество всех совершенных граней (форм), смежных с исходной и рассматриваемых с точностью до эквивалентности, называется окрестностью Вороного исходной формы. На очередном шаге алгорима Вороного, для каждой новой формы из окрестности исходной, отыскивается ее окрестность и т.д. Алгоритм Вороного заканчивается, когда для каждой из найденных на очередном шаге совершенных форм найдется эквивалентная ей форма, полученная на каком-либо из предыдущих шагов.

К настоящему времени алгоритм Вороного полностью проведен для всех п < 8. Для п < 5 он был проведен самим Вороным. Оказалось, что для п = 2,3,4,5 с точностью до эквивалентности существует, соответственно 1,1,2 и 3 совершенные формы. Кроме этого, для любых размерностей п > 6 Вороной провел первые два шага своего общего алгоритма. На втором шаге он полностью описал строение «второй» совершенной грани и для любых размерностей нашел одну из форм из окрестности второй грани — так называемую третью совершенную форму (отвечающую «большой стенке»). Однако он не стал перечислять все ее минимальные векторы и проводить третий шаг своего алгоритма.

В дальнейшем, другими авторами было показано, что совершенных форм существует всего: при « = 6 - семь, при п-1 - тридцать три. В 2000 году французские математики объявили,' что провели алгоритм Вороного (с использованием ЭВМ) для п = 8 и получили более миллиона попарно неэквивалентных совершенных форм. На следующем шаге, начиная с /7 = 9, проведение алгоритма Вороного для полиэдра П(и), оказалось трудно выполнимыми.

Основной целью диссертационной работы является развитие методов, позволяющих для любых размерностей преодолевать вычислительные сложности в задачах ПКФ, и применение этих методов для проведения третьего шага общего алгоритма Вороного для п>9. Это удалось сделать для всех размерностей вида п <£ [к2 - \,к2 +1 ,к2 + з|, в частности, для п = 9.

Работа состоит из четырех глав и Приложения.

§12. Заключение.

В работе [3] Г.Ф. Вороной построил теорию совершенных форм. Он доказал, что в каждой размерности п > 2 существует лишь конечное число классов эквивалентности таких форм. Для « = 2,3,4,5 он перечислил все классы совершенных форм, которых оказалось, соответственно 1,1,2 и 5. В дальнейшем, все совершенные формы были перечислены: для /7 = 6 - в [13] - их оказалось 7; для « = 7 - в[14]-их оказалось 33. Известно также, что все совершенные формы перечислены и для и = 8, где их оказалось около одного миллиона.

Кроме исследований для п < 6, Вороной для всех размерностей п > 6 провел первые два шага своего общего алгоритма по перечислению совершенных форм. А именно, 6н конструктивно описал строение первой и второй совершенных граней, отвечающих формам <р^0п) и (р\п). То есть для каждой размерности Вороной исследовал всего лишь по две формы. С учетом того обстоятельства, что уже для /7 = 8 количество совершенных форм оказалось очень большим, » результаты Вороного в [3] могли быть восприняты как «малая часть от общего объема». Это также дало основания считать, что в отношении практических вычислений, Вороной реализовал свой алгоритм «лишь в £-окрестности второй совершенной грани».

Наши исследования приводят к следующим выводам

1. Результаты Вороного относительно строения второй совершенной грани один-в-один приложимы к исследованию и других совершенных граней (например, и Т„).

2. Описание строения других совершенных граней удается сводить к результатам Вороного о строении второй совершенной грани.

Эти наблюдения подводят нас к следующему взгляду на результаты Вороного об окрестности второй совершенной формы, которые диаметрально противоположны тому взгляду, что это «лишь в с -окрестности». И мы ставим следующий, важный с нашей точки зрения

Вопрос. А не есть ли результаты Вороного о строении второй совершенной грани «вся теория целиком»?

В стремлении получить ответ на этот вопрос, мы предпринимаем дальнейшие исследования.

1. Рышков С. Барановский Е.П. Классические методы теории решетчатых упаковок// УМН. 1979. Т.34, №4. 3-63.

2. KorkineA., ZolotareffG. Sur les formes quadratiques// Math. Ann. 1873. Bd. 6. S. 366-389. См. также: Золотарев Е.И. Поли. собр. соч. М.: Изд-во АН СССР. 1931. Т.1. 109-137.

3. Вороной Г.Ф. О некоторых свойствах пололсительпых совершенных квадратичных форм// Собр. соч. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. Т.2. 171-238.

4. КиутД. Искусство программирования для ЭВМ. М: Мир, 1977. Т.2. 105-125.

5. Dieter U. How to calculate shortest vectors in a lattice// Math. Comput. 1975. Vol. 29, N 131. P.827-833.

6. Finck U., Post M. Improved methods for calculating vectors of short length in a lattice: AMS Subject classification 10-04,10E25, 10C25. Math. Inst.'Univ. Dusseldorf.

7. Aimm M.M. О варианиях положителы1ых квадратичных форм (с прилолсением к исследованию совершенных форм).//Тр. МИАН. 1991. Т 196. 11-26.

8. Апзин М.М., О третьей совершенной форме Г.Ф. Вороного// 3-я Мелсдународная конференция по геометрии «в целом». Тезисы докладов. Черкассы 1999. 5-6.

9. Erdahl R., Ryhnikov К., An Infinite Series of Perfect Quadratic Forms and Big Delaunay Simplices in Z''//Tp. МИАН. 2002. T 239. С 170-178.

10. Coxe/erЯ^S'.M,Extremeforms//Can. J.ofMath.- 1951 - V. 3 - P . 391-441.

11. Barnes E.S., The complete enumeration of extreme senary forms// Phil. Trans. Royal Soc. of 1.ondon, Ser. A - 1957 -V. 249, N 969 - P. 461-506.

12. Jaquet D.-O., Enumeration complete des classes de formes parfaites en dimensuon 111 Univ. De Neuchatel-1991. 15. Larmouth J. The enumeration of perfect forms// Computers in number theory. L.; N. Y., 1971. P. 237-239.'

13. Scott P.R. On perfect and extreme forms// J. Austral. Math. Soc. 1964. N 4. P. 56-77.

14. Stacey K.C. The enumeration of perfect quadratic forms in seven variables: Diss. Doct. Philos. Oxford: Univ. press, 1973. ^