Методика построения региональных дисперсионных кривых поверхностных волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

Введение

Глава I. Методика измерения спектральных характеристик поверхностных волн.

§ I. Система сбора и хранения цифровых длиннопериодных записей.

§ 2. Вычисление и коррекция спектральных характеристик поверхностных волн.

§ 3. Методика итеративного спектрально-временного анализа

§ 4. Алгоритм итеративного СВАНа.

§ 5. Анализ точности на теоретических и экспериментальных примерах.

Глава 2. Моделирование экспериментальных данных

§ I. Разбиение геодезической по картам.

§ 2. Решение прямых задач для волн Лява и Рэлея

§ 3. Расчет времени пробега по трассе

§ 4, Описание модели Евразии.

Глава 3, Применение различных методов для построения дисперсионных кривых

§ I. Применение МНК и БУР.

§ 2. Нелинейное программирование.

§ 3. Сопоставление квадратичного программирования с методом МНК.

§ 4. Линейное программирование и метод Бэкуса

Гилберта

§ 5. Методические рекомендации

Детальное изучение глубинного строения земной коры и верхней мантии в соответствии с запросами геологии, сейсморайонирования и прогноза землетрясений - важная и сложная задача, стоящая перед современной сейсмологией. Для ее решения, наряду с другими методами сейсмологии, широко применяются методы, основанные на использовании дисперсионных характеристик поверхностных волн.

Решение обратной задачи поверхностных волн - построение детальных скоростных разрезов отдельных регионов - естественным образом разбивается на несколько этапов: I) сбор и накопление данных в виде цифровых записей поверхностных волн, пересекающих изучаемую территорию по разным направлениям; 2) выделение сигналов и измерение по ним дисперсионных характеристик; 3) определение региональных дисперсионных кривых; 4) построение скоростных разрезов для отдельных регионов и их геофизическая интерпретация.

В последние годы достигнут значительный прогресс в каждом из этих этапов решения обратной задачи поверхностных волн. Быстрое развитие регистрирующей цифровой техники ведет к переоснащению сейсмологической сети и появлению все большего числа станций, оборудованных длиннопериодной апраратурой с цифровой регистрацией на машинные носители. Такие системы регистрации обладают высокой точностью измерений, широким динамическим диапазоном и тем самым свободны от неизбежных ошибок, возникающих при ручной или полуавтоматической оцифровке аналоговых записей. Переход к обработке сейсмограмм на ЭВМ позволил существенно продвинуться в точности и надежности измерения дисперсионных характеристик сигнала, поскольку стало возможным систематически применять методику измерений, основанную на совместном изучении спектральных и временных характеристик диспергирующих сигналов.

Дадим краткий обзор основных методик измерения поверхностных волн, применяющихся в настоящее время в мировой сейсмологической практике. Следует заметить, что методы определения фазовых скоростей по записям двух или трех станций (bruñe.,Dormán> 1963; Press , 1956), расположенных на расстояниях порядка длины волны, путем замера времен экстремумов, а также по фазовым спектрам этих записей ( Akt , 1961; To/(SO¿ , Веп-МетЬгщ 1963) сейчас практически не используются, хотя на их основе получены достаточно значимые результаты по изучению коры и верхней мантии ( Brune , Л)о г man , 1963; А/а , 1960а; 19606; SаЫо, 1961; Sanio, Said , 1966). Это связано с тем, что вышеуказанные методы предъявляют излишне высокие требования к качеству записей поверхностных волн, поскольку их фазовые спектры крайне неустойчивы к шумам и посторонним детерминированным сигналам. Кроме того, замеры на сейсмограммах без учета поправок за аппаратуру вносят искажения в определение периода и приводят к заметным фазовым сдвигам, особенно на больших периодах ( Еш'ипу , Press , 1959).

Современные методы основываются на предварительной фильтрации сейсмограмм во временной и (или) спектральной области с целью максимального отделения исследуемого сигнала от помех для более точного определения фазовых и групповых скоростей. Впервые такая техника для определения фазовых скоростей была предложена Ландис-маном,Дзевонским и Сато ( LahdiSman-tí 1968,1969). Для этого в исходном сигнале, путем умножения на некоторое окно,вырезались достаточно короткие участки, для которых затем рассчитывались спектры и определялись фазы в окрестности максимумов амплитудных спектров. Данная техника имеет ряд недостатков, в частности, она не обеспечивает разделение сигналов (или частей одного и того же сигнала) с разным частотным составом и близкими временами прихода.

Наибольшее применение нашла методика спектрально-временного анализа (СВАН), предложенная Дзевонеким, Елохом и Ландисманом (ЕгСеыопькС 1969) и получившая дальнейшее развитие в работе А.Л.Левшина, В.Ф.Шсаренко, Г.А.Погребинского 1972)* Ее основное отличие от ранних методик заключается в том, что фильтруется запись сигнала с помошью набора узкополосных частотных фильтров. Все измерения производятся во временной области, а в частотной - лишь коррекция спектра за аппаратуру и источник. Вопросы теории СВАНа и методика подбора оптимальных фильтров рассматривались в работах А.В.Ландера (1974, 1975, 1978).

Хотя применение СВАНа существенно улучшило разрешающую способность и помехоустойчивость анализа поверхностных волн, точность оценок СВАНа поверхностных волн, особенно в окрестности фазы Эйри (Ландер, 1974) и в участках с резким изменением амплитуд спектра, оказалась недостаточной, В связи с этим было разработано несколько модификаций СВАНа: предварительное выравнивание фазового спектра при помоши теоретической дисперсионной кривой фъСен/опзк^ 1972); уточнение дисперсионных кривых с помошью поправок к результатам СВАНа (Ландер, 1974); "плавающая" фильтрация выделенного сигнала ( Сага, 1973), выбираемая исходя из диаграмм СВАНа как в частотной, так и во временной области. Каздый из этих подходов обладает рядом недостатков, главные из которых заключаются либо в неполном устранении систематических ошибок СВАНа, либо в излишнем усложнении процедур обработки.

В связи с этим была разработана и опробована новая модификация СВАНа - итеративный спектрально-временной анализ (ИСВАН), позволяющий получать с помошью одной основной процедуры практически несмещенные оценки фазовых и амплитудных характеристик поверхностных волн.

Задача измерения характеристик сигнала тесно связана с интерпретацией наблюдений. Так, для того, чтобы получить информацию о глубинном строении Земли (до 300 км и глубже), необходимы наблюдения длиннопериодных волн с периодами до 300 секунд и длинами волн до 1500 километров. Надежные измерения столь длиннопериодных волн возможны только на достаточно протяженных трассах порядка 5 тыс.км и более. Такие трассы неизбежно пересекают регионы, заметно отличающиеся по глубинному строению. Результирующие дисперсионные кривые носят осредненный характер и не отражают деталей регионального строения, представляющих наибольший интерес с точки зрения геотектоники. Для интерпретации наблкщений на протяженных трассах используется ряд методических приемов. Большинство из них основывается на априорной регионализации Земли и ряде упрощающих предположений: так, на поверхности Земли выделяются регионы, характеризующиеся разнотипным строением, в пределах которых строение среды предполагается неизменным (гипотеза о горизонтальной однородности); принимается, что волны распространяются по дугам большого круга между эпицентром и станцией; игнорируются эффекты на контактах регионов, т.е. полное время пробега по трассе принимается равным суммарному времени пробега волны по отрезкам пути, приходящимся на отдельные регионы. Тем самым каждому региону ставится в соответствие одна "стандартная" дисперсионная кривая (для данного типа волны и ее моды), являющаяся осредненной характеристикой региона в целом. Будем в дальнейшем эту кривую называть региональной дисперсионной кривой.

Рассмотрим основные методы построения региональных дисперсионных кривых. При малом количестве трасс и небольшом количестве регионов задача может решаться последовательным исключением регионов (Бертоссен, Левшин и др., 1982), Если количество трасс достигает несколько десятков, то возможна статистическая постановка задачи. В предположении, что ошибки измерения на разных трассах независимы и нормально распределены, задача может быть решена методом наименьших квадратов (МНК) путем минимизации суммы квадратов отклонений реальных и теоретических времен пробега волны вдоль трасс ( San-to , Sato t 1966; Santo , 1961; Кно-пов, 1975).

Однако, этот и близкие к нему подходы, основанные на сингулярном разложении матриц (SVD )х, обладают серьезным недостатком. Они не используют априорной информации о допустимых скоростях в отдельных регионах, которой обычно располагает интерпретатор. Это может приводить к грубым ошибкам определения скоростей в регионах с относительно небольшими размерами. Чтобы избежать этой ситуации, малые регионы с аномальным строением включают в состав более крупных регионов, искусственно создавая значительные ошибки осреднения. Мезду тем, на искомые значения скоростей нетрудно наложить систему ограничений, отвечающую физической постановке задачи: скорости в отдельных регионах хорошо известны из независимых данных; скорости заключены в пределах, соответствующих возможным аномалиям регионального строения литосферы Земли; ошибки измерения не превышают определенных величин. В этих условиях целесообразно применять методы нелинейного программирования (Базара, Шетти, 1982; Бармин, 1983а), поскольку они дают статистически обоснованное (в смысле МНК решение), удовлетворяющее при этом системе априорных ограничений»

В работе рассмотрены и сопоставлены с другими методами

50

Singular value decomposition (Форсайт И др., 1980).

МНК, БУГ) линейного программирования и др.) приложения квадратичного программирования к изучению регионального строения блоковой структуры поверхностными волнами. Методика опробована на модельных примерах, имеющих все основные черта реального эксперимента. Продемонстрирована эффективность методики квадратичного программирования в решении поставленной задачи.

Таким образом, основная задача диссертации заключается в разработке и совершенствовании методики измерения дисперсионных характеристик сигналов поверхностных волн и в исследовании возможностей различных способов построения региональных дисперсионных кривых на модельных примерах, имеющих все основные черты реального эксперимента.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе описывается система сбора и хранения цифровых длиннопериодных записей поверхностных сейсмических волн Рэлея и Лява, получаемых советской и зарубежной сетями станций. Приводится описание коррекции спектров поверхностных волн за характеристику прибора и начальную фазу в источнике. Для учета последней разработаны или усовершенствованы методики расчета собственных частот и функций краевых задач для волн Рэлея и Лява, а также определения механизма очага. Предлагается новая итеративная модификация СВАНа -ИСВАН, позволяющая повысить точность измерения фазовых и групповых скоростей по сравнению со СВАНом, а также получать оценки амплитудного спектра исследуемого сигнала. Методика опробована на модельных примерах и экспериментальных данных.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с моделированием экспериментальных данных: разбиение геодезической (трассы эпицентр-станция) на части, порождаемые заданной регионализацией исследуемой области; решение прямых задач для волн Рэлея и Лява в каждом регионе с целью построения теоретических дисперсионных кривых фазовых и групповых скоростей. Предложен новый алгоритм расчета прямой задачи для волн Лява, обладающий большим быстродействием. Описывается способ вычисления времени пробега вдоль произвольной трассы, включающего случайную ошибку, имитирующую реальные ошибки наблюдений. Приводится конкретная регионализация Евразии и система трасс эпицентр-станция, для которой рассчитываются все необходимые параметры.

В третьей главе на примере модели Евразии изучается применение различных методов для решения обратной задачи - построения для заданной регионализации, системы трасс, времен пробега по трассам региональных дисперсионных кривых. Приводятся некоторые вопросы теории различных методов построения дисперсионных кривых: SVD , МНК, линейного и квадратичного программирования; проведено сравнение достоинств и недостатков различных методов, показаны существенные преимущества метода квадратичного программирования при решении поставленной задачи. Даны методические рекомендации по анализу реальных данных.

В заключении сформулированы основные результаты проведенной работы»

В приложении приводится цифровой материал, описывающий модель Евразии в виде четырех таблиц, содержащих скоростные модели для каждого региона, дисперсионные кривые регионов (для четырех значений периодов), систему трасс, длины пересечений трасс с регионами.

Работа выполнена в Опытно-методической экспедиции Института физики Земли АН СССР.

Автор пользуется случаем выразить благодарность и глубокую признательность своим научным руководителям А.Л.Левшину и O.E.

Старовойту за большую помощь и постоянное внимание к данной работе. Автор признателен А.В.Ландеру за ценные советы и замечания по методике итеративного СВАНа, а также Л.М.Розенкнопу, любезно предоставившему программу расчета по методике Б VI) и С.Николовой за проведение расчетов по двумерной инверсии Бэкуса-Гилберта.

ЗАКЛКМЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработана система сбора, накопления и обработки цифровых длиннопериодных записей поверхностных волн на базе ЭВМ серии ЕС.

2. Разработана и опробована на теоретических и реальных сигналах методика итерактивного спектрально-временного анализа с коррекцией спектров исходных записей за аппаратурные искажения и начальную фазу в источнике. Методика позволяет значительно повысить точность определения фазовых и групповых скоростей поверхностных волн,

3. Предложена более эффективная, по сравнению с существующими, методика численного расчета волн Лява в сфере. Разработанное на основе метода прогонки программное обеспечение решения прямых задач для волн Лява и Рэлея позволяет рассчитывать фазовые и групповые скорости, а также другие спектральные характеристики поверхностных волн в упругой сферической негравитирую-шей модели Земли,

4. Разработана система машинного кодирования произвольных региональных разбиений поверхности Земли и алгоритм расчета длин трасс, пересекающих выделенные регионы.

5. Предложена и опробована на модельных примерах методика построения региональных дисперсионных кривых, основанная на квадратичном программировании с системой линейных ограничений на область переменных. Показаны ее значительные преимущества по сравнению с методом наименьших квадратов и сингулярным разложением матриц.

- 119

1. Андрианова З.С., Кейлис-Борок В.И., Левшин А.Л., Нейгауз М.Г. Поверхностные волны Лява. М.: Наука, 1965. 108 с.

2. Бабич В.М., Чихачев Б.А., Яновская Т.Б. Поверхностные волны в вертикально-неоднородном упругом полупространстве со слабой горизонтальной неоднородностью. Изв.АН СССР, сер.физ.Земли, 1976, 4, с.24-31.

3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. - 583 с.

4. Бармин М.П. Алгоритмы регионального деления геодезических линий на сфере. М.: Материалы МЦЦ-Б МГК АН СССР, 1983.-25с.

5. Бармин М.П. Методика построения региональных дисперсионныхкривых. Москва, 1983а. - 12 с. (Препринт/Институт физики Земли АН СССР: 18).

6. Бармин М.П., Левшин А.Л., Старовойт O.E. Итеративный спектрально-временной анализ поверхностных волн. В кн.: Математическое моделирование и интерпретация геофизических наблюдений. М.: Наука, 1984, сЛП-128. (Вычислит.сейсмол. ; Вып.16).

7. Барридж Р., Вейнберг Г. Горизонтальные лучи и вертикальные моды. В кн.: Распространение волн и подводная акустика. М.: Мир, 1980, с.76-125.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962, т.2. 639 с.

9. Брюн Д. Поверхностные волны и строение коры. В кн.: Земная кора и верхняя мантия. М.: Мир, 1972, с.186-198.

10. Булаевский В.А,, Звягина P.A., Яковлева М.А, Численные методы линейного программирования (специальные задачи), М.: Наука. 1977, 367 с,

11. Валюс В.П,, Левшин А.Л,, Сабитова Г.М. Совместная интерпретация объемных и поверхностных волн для одного из районов Средней Азии, В кн.: Машинная интерпретация сейсмических волн. М.: Наука, 1966, с,95-103, (Вычислит,сейсмол.; Вып.2),

12. Валюс В.П, Определение сейсмических разрезов по совокупности наблюдений, В кн.: Некоторые прямые и обратные задачи сейсмологии. М,: Наука, 1968, с.3-14. (Вычислит,сейсмол,; Вып.4).

13. Вилькович Е.В,, Левшин А.Л., Нейгауз М.Г. Волны Лява в вертикально-неоднородной среде (учет сферичности, вариаций параметров, поглощения). В кн.: Машнная интерпретация сейсмических волн. М.: Наука, 1966, с.130-149. (Вычислит, сейсмол,; Вып.2),

14. Дубров М.Н. Об использовании световодов для измерения деформации земной коры. Изв.АН CCGP, сер.физ,Земли, 1976, 2, с.90-93,

15. Желанкина Т.О., Кейлис-Борок В.И., Писаренко В.Ф. и др. Определение механизма землетрясений на цифровой электронной вычислительной машине. В кн.: Алгоритмы интерпретации сейсмических данных. М.: Наука, 1971, с.3-27. (Вычислит, сейсмол.; Вып.5).

16. Кнопов А. Поверхностные волны и их использование в обратныхзадачах. В кн.: Верхняя мантия. М.: Мир, 1975, с.212-233.

17. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963. 245 с.

18. Кузнецов Д.С. Специальные функции, М.: Высшая школа, 1965. -424 с.

19. Ландер A.B. О методике интерпретации результатов спектрально-временного анализа. В кн.: Машинный анализ цифровых сейсмических данных. М.: Наука, 1974, с.279-315. (Вычислит, сейсмол.; Вып,7.).

20. Ландер A.B. Спектрально-временное представление линейно-дис-пергируюшего сигнала с гауссовым спектром. В кн.: Интерпретация данных сейсмологии и геотектоники. М.: Наука, 1975, с.122-128. (Вычислит.сейсмол.; Вып.8).

21. Ландер A.B. Некоторые методические вопросы измерения спектральных характеристик и интерпретации поверхностных волн. -В кн.: Вопросы прогноза землетрясений и строения Земли. М.: Наука, 1978, с.93-110. (Вычислит.сейсмол.; Вып.II).

22. Латынина Л.А., Кармалеева P.M. Измерение горизонтальных смешений на земной поверхности кварцевым экстензометром. В кн.: Современные движения земной коры. Тарту, 1965, 2, с.376-381.

23. Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые поверхностные волны. -М.: Наука, 1973, 176 с.- 122

24. Левшин А. Л. О влиянии горизонтальных неоднородностей на измерения поверхностных волн, «и В кн.: Математическое моделирование и интерпретация геофизических данных. М.: Наука, 1984, с.71-83.

25. Лидский В.Б., Нейгауз М.Г. К методу прогонки в случае самосопряженной системы второго порядка. Ж.вычислит.матем. и математ.физики, 1962, 2, № I, с.161-165.

26. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

27. Нейгауз М.Г., Шкадинская Г.В. Метод расчета поверхностных волн Рэлея в вертикально-неоднородном полупространстве. В кн.: Машинная интерпретация сейсмических волн. - М.: Наука, 1966, с.121-129. (Вычислит, сейсмол.; Вып. 2).

28. Плешингер А. Сбор и обработка широкополосных сейсмическихзаписей. В кн.: Автоматизация сбора и обработки сейсмологической информации. М.: Радио и связь, 1983, с.35-47.

29. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968. 547 с.

30. Саваренский Е.Ф., Кирнос.Е.Ф. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. М.: Гос.издат. тех.-теорет.литерат., 1955. 543 с.

31. Старовойт O.E., Фео^илактов В.Д., Щульпин Л.А., Ярошевич М.И. Кварцевый деформограф Центральной Сейсмологической Обсерватории "Обнинск". Изв.АН СССР, сер.физ.Земли, 1971, II, с.85-94.

32. Старовойт O.E., Захарова А.И., Бармин М.П., Бабкина В.Ф. Система сбора, обработки и хранения сейсмических данных на ЭВМ EC-I030. В кн.: Проблемы и методы сейсмометрии. -М.: Наука, 1981, с.75-81. (Сейсмические приборы; Вып.14).

33. Старовойт О.Е., Захарова А.И., Мишаткин В.Н., Бармин М.П.

34. Система сбора, обработки и хранения сейсмологической информации. В кн.: Автоматизация сбора и обработки сейсмологической информации. М.: Радио и связь, 1983, с.53-61*

35. Старовойт О.Е., Чепкунас JI.G., Аптекман Ж.Я., Бармин М.П. Об определении механизмов очагов землетрясений на ЭВМ EG-1030. В кн.: Физика сейсмических волн и внутреннего строения Земли, М.: Наука, 1983а, с.86-97.

36. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я, Методы решения некорректных задач.-M.s Наука, 1974. 223 с.

37. Форсайт Дне., Мальком М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений, М.: Мир, 1980, 280 с.

38. Чинари М.А., Ганн А.Г, Современные методы сбора, обработки ихранения сейсмологической информации. В кн.: Автоматизация сбора и обработки сейсмологической информации. М.: Радио и связь, 1983, с,28-34.

39. Шкадинская Г.В. Метод расчета поверхностных волн Рэлея в ра-диально-неоднородном шаре. В кн.: Алгоритмы интерпретации сейсмических данных. М.: Наука, 1971, с.178-188. (Вычислит.сейсмол.; Вып.5).

40. Яновская Т.Б. Распределение групповых скоростей поверхностных волн в Северной Атлантике. Изв.АН СССР. Физика Земли, 1982, 2, с.3-11.

41. Agnew D., Berger J., Buland R., Farell W., Gilbert P. International deployment of Accelerometers: a network for very long period seiaraology. EOS (Trans. Amer. Geophys. Union), 1976, 57, p 180-188.

42. Aki K. Study of earthquake mechanism by a method of phase equalization applied to Rayleigh and Love waves. J.

43. Geophys. Res., 1960a, 65, p 729-740.

44. Aki К. Further study of the mechanism of circum Pacificearthquakes from Rayleigh waves. J. Geophys. Res.,1960b, 65, p 4165-4172.

45. Aki K. Crustial structure in Japan from the phase velocity of Rayleigh waves. Bull. Earthq. Res. Inst., Tokyo Univ., 1961, 39, P 255-283.

46. Aki K., Richards P.G. Quantitative seismology. Theory and methods. San Francisco, W.H.Freeman and C°, 1980, 1, P 557.

47. Backus G., Gilbert F. The resolving power of gross Earth data. -Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 1968, 16, p 169-205.

48. Backus G., Gilbert F. Uniqueness in the inversion of inaccurate gross Earth data. Phil. Trans. Roy. Soc. bond. A, 1970, 226, p 123-192.

49. Blum P.A., Gaulon R. Detection et traitment des odnes sismiques de tres basses frequences. Ann. Geophys., 1971, 27, p 123-140.

50. Brune J., Dorman J. Seismic waves ahd Earth structure in Canadian shield. Bull. Soc. Amer., 1963, 53, p 167-209.

51. Сага M. Filtering of dispersed wave trains. Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 1973, 33, p 65-80.

52. Cooley J.W., Tukey J.W. An algorithm for machine calculation of complex Fourier series. Math. Сотр., 1965, 19, p 297-301.

53. Dillinger H., Pope J., Hardind Т.,The determination of focal mechanisms using P and S - waves data. - ЖЮА Techn. Rept ITOS44. Nat. Ocean Surv., Nat. Oceanic and Atmos. administration, U.S. Dept. Commerce. Rockville, Md., July, 1971. p 56.

54. Nolet G. Simultaneous inversion of Seismic data. Geophys. J., 1978, 55, p 679-691.

55. Plesinger A., Horalek J. The seismic broadband recoding and data processing system FVB/DPS and its seismological application. Geophys. J., 1976, 42, p 201-217.

56. Plesinger A. Theory of photoelectric feedback controlled seismograph. - Trav. Inst. Geoph. Tehee. Acad. Sci. No 324, Geof. Sbomik XVIII, 1970, p 191-227.

57. Press P. Determination of crustal structure from phase velocity of Rayleigh waves, part I: Southern California. Bull. Geol. Soc. Amer., 1956, p 1647-1658.

58. Santo T. Division of the south-western Pacific area into several regions in each of which Rayleigh waves have the same dispersion characters. Bull. Earthq. Inst., Tokyo Univ., 1961, 39, p 603-630.

59. Santo Т., Sato Y. World-wide survay of the regional characteristics of group velocity dispersion Rayleigh waves. -Bull. Earthq. Inst., Tokyo Univ., 1966, 44, p 939-964.

60. Toksoz M.N., Ben-Menahem A. Velocities of mantle Love and

61. Rayleigh waves over multiple path. Bull. Seismol. Soc. Amer., 1963, 53, p 741-764.

62. Wielandt E., Steckeisen G. The leaf-spring seismometr; design and performance. Bull. Seismol. Soc. Amer., 1983, 6, p 1532-1553.

63. Wiggins R.A. The general inverse problem: implication of surface waves and free oscillation for earth structure. -Rew. Geophys. and Space Phys., 1972, 10, p 251-285.