Методы алгебраической геометрии и перенос Ферми-Уокера в расширенных теориях гравитаций тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Димитров, Богдан Георгиев
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2013
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
На правах рукописи УДК 530.12 51-71 521.9
ДИМИТРОВ Богдан Георгиев
/
Методы алгебраической геометрии и перенос Ферми - Уокера в расширенных теориях гравитаций
01.04.02 - теоретическая физика
I« НОЯ 2013
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2013
005540662
005540662
Работа выполнена в Лаборатории Теоретической Физики Объединенного Института Ядерных Исследований, г. Дубна
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Сава Славчев Манов
Институт Ядерных Исследований и Ядерной Энергетики Болгарской Академии Наук
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор заведующий кафедры математических методов
современного естествознания Тверского Государственного Университета
Цирулев Александр Николаевич
доктор физико-математических наук, профессор
Фролов Борис Николаевич
Факультет физики и информационных технологий Московский Государственный Педагогический Университет Ведущая организация:
Государственный Астрономический Институт имени
П. К. Штернберга Московского Государственного Университета (ГАИШ
в 15 ч. 30 мин, на заседании Диссертационного совета Д212.203.34 Российского Университета Дружбы Народов по адресу: 115419 г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал №1
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета Дружбы Народов по адресу: 117 198 г. Москва, ул. Миклухс
МГУ)
Защита диссертации состоится « 19 »
Декабря 2013 г.
Автореферат разослан «_
2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат физико-математических наук
В.А. Попова
1 Общая характеристика диссертации
1.1 Актуальность темы
В настоящее время готовятся будущие астрофизические эксперименты на космических установках, такие как GAIA (Глобальный Астрометриче-скпй Интерферометр для Астрофизики), LIS A (Laser Interferometer Space Antenna), STEP (Satellite Test of the Equivalence Principle) и другие, основной особенностью которых будут свверхпрецизионные измерения аст-рометрических (координаты и скорости) и фотометрических параметров. Например, спутник GAIA достигнет точности 10 fias микроарксекунд (1 fias — 10-6 arcsecond) для звезд с величиной V = 15 (то есть он в 1000 раз более точный по сравнению с первым астрометрическим спутником Hipparcos Европейского Космического Агенства).
Другая очень перспективная задача для обнаружения горизонта сверхмассивных Черных Дыр (SMBH - Super Massive Black Holes) требует углового разрешения порядка 1 fias микроарксекунды . Однако, для (предполагаемых) SMBH других Активных Галактических Ядер таких как NGC4258, NGC3227, NGC55A8 требуются еще меньшие угловые разрешения порядка 0.5 fias, 0.2 fias, 0.09 fias, которые пока экспериментально недостижимы.
Такая высокая экспериментальная точность предъявляет не только высокие требования к аппаратуре, но требует и пересмотра самой теоретической концепции, на которой построена теория отклонения светового луча в гравитационном поле - этим занимается релятивистская астрометрия (см. монографию с авторами Sergei Kopeikin, Michael Efroimsky, George Kaplan, "Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System" , WILEY-VCH Verlag, 2011 г., 860 стр.). Здесь надо отметить два основных случая, к которым имеют отношение разработанные в данной диссертации подходы:
А. Распространение светового луча в сильном гравитационном поле вокруг Черных Дыр, Нейтронных Звезд, Белых Карликов, двойных радиопульсаров (например - J0737 — 3039) - предполагается что скалярная кривизна пространства - времени в 100 раз больше, чем кривизна простран-
ство - времени в Солнечной Системе. При таких полях особенно сильно будут проявлятся эффекты относительного ускорения а = Vuu, которое будет сдвигать расстояния между каждыми двумя точками на двух произвольных траекториях. Другими словами, существенно отметить, что это ускорение благодаря своей "ковариантной" формулировке будет действовать во всех направлениях, а не только перпендикулярно к траекториям. Надо подчеркнуть, что самые интересные и новые формулы в этом диссертационном труде о разложении тензора деформации и о переносе Ферми -Уокера в ускоренной системе отсчета, связаны именно с эффектами относительного ускорения.
Б. Сверхпрецизионные эффекты слабого гравитационного поля на распространение светового луча (или радиосигнала) - этот случай затрагивает Лазерную Локацию Луны (в литературе - Lunar Laser Ranging), а также деятельность NASA по построению Глобальной Навигационной Системы (S. Kopeikin, Е. Pavlis, V. A. Brumberg et all (2008)-10 авторов ) в пространстве между Землей и Луной на основе оптических лазерных телекоммуникационных устройств, которые требуют учета отклонения лазерного луча с точностью до 1 миллиметра на расстоянии десятков тысяч километров, причем на временных интервалах в несколько десятков лет. Согласно директивы Президента США, таким прибором должен быть оснащен каждый будущий космический корабль. Также, с 2010 года точность лазерной локации Луны составляет 2-4 mm, иногда и 1 mm. Задача поставлена также и для измерения расстояния в т. н. "суб-миллиметровом" (т. е. меньше 1 mm) диапазоне. Как известно, классический закон Ньютона проверен экспериментально только на расстояниях превышающих 1 mm.
Оба эти направления исследований являются новыми и находятся на начальном этапе разработки на теоретическом уровне. Более того, на теоретическом уровне будут замечено некоторое сходство между двумя задачами. В задаче А действие относительного ускорения приведет к изменению расстояний и масштаба расстояния - это видно из простой формулы
VJ = I,д = (Уид){и, и) + 2g(S7uu, и)
где оператор ковариантного дифференцирования Vu действует на
функцию длины I — д(и,и). Изменение функции длины приведет к следующим последствиям:
1. Тангенциальный вектор к мировой линии наблюдателя уже не будет нормированным к единице, как обычно предполагается в релятивисткой гидродинамике, чтобы выполнялся Принцип Эквивалентности в его стандартной формулировке ("свободно падающий лифт" - (СПЛ)). Поэтому, надо использовать более адекватный - Модифицированной Принцип Эквивалентности (МПЭ), согласно которому пробное тело не испытывает никакого воздействия, если перейти к системе отсчета (СО), которая движется вместе с относительным ускорением. Математические основы этого подхода были выдвинуты впервые болгарским физиком - теоретиком Божидаром Илиевым (В. Hiev) (см. монографию В. Z. Iliev, Handbook of Normal Frames and Coordinates, Progr. in Mathem. Physics, vol.42, Birkhauser Verlag, 2006, 440 стр.), и потом конкретно применены другим болгарским теоретиком Савой Мановым (S. Manoff). Так как выбор системы отсчета согласно МПЭ зависит только от относительного ускорения, то его можно применять и к сильным гравитационным полям, для которых уже не будет справедливо ограничительное предположение о их однородности. Кроме этого, (сильное) гравитационное поле обладает и неметричностыо, кручением и расширением, но МПЭ будет выполняться. Но гравитационное поле между Землей и Луной (хотя и слабой) также будет неоднородным, из-за приливного воздействия Луны (задача Б).
2. Выбор СО, относительно которой пробное тело имеет нулевое относительное ускорение означает, что его движение будет осуществляться по (четырехмерным) автопараллельным траекториям, которые задаются как решениями автопараллелыюго уравнения для (четырехмерного) тангенциального вектора к этим кривым. В этом и основополагающее и принципиальное отличие от уравнения для геодезических, которые задаются для (трехмерных) пространственных траектории. Так как это отличие имеет важное значение для достижения более высокой точности в релятивисткой астрометрии, то в данной диссертации показано, что автопараллельное уравнение справедливо и при ненулевой метричности Vug ф 0 и при изменении длины векторного поля.
3. По автопараллельным траекториям реализируются "свободные от возмущений" движения, и в этом смысле они являются аналогом обычных геодезических линий в Эйнштейновской теории гравитации. Этот факт "невозмущенного движения" вдоль геодезических линий был использован еще в 1963 году Ф. Манассе и Ч.Мизнером (Р. К. Мапаяне, С. ЛПнпег) для введения т.н. "метрический тензор в терминах нормальных координат Ферми" в окрестности этой геодезической линии (формула написана
только для пространственных компонентов)
= % + х1хт +......
Фактически, каждая точка мировой линии локально (!) апроксимиру-ется плоским пространством - временем Минковского, в котором выполняется Принцип Эквивалентности в стандартной формулировке "падающего лифта". Это означает, что выполнены условия Ферми по направлению геодезической линии
= 'Ум-/ > = 0
Теперь понятно, что при наличии относительного ускорения (ОУ) этот подход будет неприменимым, так как ОУ действует во всех направлениях и невозможно провести "невозмущенную" геодезическую линию. Кроме этого, подход Манассе и Мизнера имеет следующие недостатки, которые устранены в новом подходе для определения переноса Ферми - Уокера в этом диссертационном труде:
За. Для определения "невозмущенного движения" используется Модифицированный Принцип Эквивалентности (МПЭ), который расширяет понятие "локальность" не только в окрестности точки, но и вдоль любой линии (не только геодезической). Это вполне оправдано, так как понятие "равномерное движение" в ПЭ на самом деле является идеализацией. Например, вычисление в рамках других (неэйнштейновских) теорий таких как теория скалярно - тензорной гравитации на основе внутренней гравитационной энергии, показывает, что система Земля -Луна, возможно, не "падает" свободно в гравитационном поле Солнца,
а падает с ускорением, которое пропорционально разнице
JL) -(JL) — —4.45.Ю-10 (1)
Md>)E \ M с2 ) м К
и также Пость -Ньютоновскому параметру т] = 4/3 — 7 — 3 (в ОТО г/ = 0). Примечательно, что это будет проявляться в т.н. "поляризации орбиты Луны" (эффект Нортведта) - смещении орбиты Луны вдоль линии к Солнцу , и экспериментально этот эффект будет проявляться при точности лазерной локации Луны меньее чем 4 mm, что соответствует точности измерения относительного ускорения ^ = ±1.5 х Ю-13 (J. G. Williams, SI. G. Turyshev, Th. Miirphy, IJMP D13, (2004)). Это вполне достижимо ныне и с еще более высокой точностью - в ближайшем будущем. Однако, существуют и иные, хорошо обоснованные мнения (S. Kopeikin, PRL (2007); (2009)), что из-за калибровочной свободы Пост - Ньютоновской силы и ее зависимости от орбитальной скорости системы Земля - Луна по отношению к Солнцу, эффект поляризации орбиты не будет доступен обнаружению методами лазерной локации Луны, по крайней мере, при нынешном состоянии теории. Причина в том, что локальные измерения лазерной локации являются нечувствительными к кривизне (асимптотически неплоского) пространства-времени, которая возникает из-за приливных сил со стороны Солнца и других планет. Именно эти внешние воздействия и обусловливают несвободное падение системы Земля - Луна, и нынешная теория не в состоянии учитывать эти эффекты уже на фоновом, асимптотически - неплоском пространстве - времени.
36. "Пертурбативное" (в окрестности геодезической линии) определение компонент метрического тензора в подходе Манаесе и Мизнера не даст ответа на вопрос "сохраняются ли действительно углы и длины базисных векторов при переносе вдоль линии"? Поэтому, в диссертации новое определение переноса Ферми -Уокера основано именно на этом строгом математическом требовании, которое обеспечивает точное сохранение этих длин и углов, а не в пертурбативном, приближенном смысле.
4. Тот факт, что автопараллелытое уравнение определено для векторного поля (а не для пространственных координат) дает некоторые дополнительные возможности применения этого уравнения к массивным телам.
Например, сели в центре массы массивного тела определен вектор плотности импульса р = ри (и вектор скорости центра массы, р - плотность массивного тела), то условие для сохранение плотности импульса можно сформулировать на геометрическом языке как условие для параллельного переноса вектора р = ри , т.е. = Чи{ри) = 0, причем этот вектор не
должен также менять и свою длину 1Р = д(р,р) = сопл ¿.Таким образом, в диссертации получено следующее условие для изменения плотности, чтобы массивное тело двигалось по автопараллельной траектории
Эта формула может найти применение в теории Релятивистких Систем Отсчета (PCO)(барицентрические, геоцентрические, спутниковые), которая впервые (в периоде 1988 - 1992 г., но и гораздо ранее) была разработана русскими ученами В. А. Брумбергом, С. М. Копейкиным, С. Кли-онером. PCO - это математическая процедура для конструирования т.н. "Пост - Ньютоновских (PPN)" локальных координат в искривленном пространстве - времени вокруг массивных, движущихся небесных тел, которые используются для уточнения эфемерид небесных тел, для навигации космических кораблей в Солнечной Системе и для редукции астрономических наблюдений. Теория PCO была официально признана в Резолюциях 24-ой Генеральной Ассамблеи Международного Астрономического Союза (IAU) в августе 2000 г. (см. G. Kaplan, US Naval Obs. Cire. № 179, Washington D.C., 2005).
Однако, при начальном конструировании Геоцентрической PCO (вокруг Земли) основное предположение было об изолировапости пространства вокруг Земли от внешних воздействий, которое означает, что все приливные воздействия со стороны Луны (и других внешних тел) учитываются как пертурбации. Как следствие, центр массы Земли совпадает с центром Геоцентрической PCO, и в силу своего "невозмущенного" движения он движется по геодезической линии. А так как автопараллельное уравнение является более общим, чем уравнение геодезических, то движение центра массы Земли будет осуществлятся также и по автопараллельной
траектории, поэтому и выведенная формула будет справедливой. Но в геофизической литературе (см. монографию V. A. Ferronsky, S. A. Denisik, and S. V. Ferronsky, Jacobi Dynamics. A Unified Theory with Applications to Geophysics, Celestial Mechanics, Astrophysics and Cosmology, 2nd ed., Springer, 2011, 323 стр.) на основе теории строения Земли (вовсе не связанной с PCO) также можно найти распределение плотности внутри Земли
р(г) = ро - ^ ; p(r) = po(l~ -
Комбинирование двух предыдующих формул позволит найти метрический тензор гравитационного поля внутри Земли. Надо отметить, что первоначальная модель Геоцентрической PCO предполагала постоянные давление и плотность вещества в Земле, но современные спутники (как, например GRACE или GPS-спутники Системы Глобального Позиционирования) посредством изменения в тессаральиых моментах потенциала Земли в состоянии обнаружить изменения плотности на поверхности и внутри Земли (например, из-за перемещения огромных океанских водных масс), а также посредством градиометров и акселерометров измерить ускорения тел из-за несферичности и неоднородности Земли (5 х Ю-5 m/s2 ) или из-за приливных воздействий Луны и других планет ( 5 x Ю-0 m/s2 - вызывает отклонение орбиты спутника за 2 часа от 5 метров до 150 метров, что вовсе не является пренебрежимо малым по сравнению с предыдующим).
5. Действие относительного ускорения и результирующее изменение расстояния являются физической мотивировкой для развития математического подхода алгебраической геометрии в этой диссертации. Если тангенциальный вектор к мировой линии наблюдателя постоянен, в соответствии со стандартной формулировкой ПЭ для "свободно падающего лифта" т.е. иаиа = 1 , то аналогом этого условия в теории гравитации является gaß!]^1 = й'п- Но даже в рамках Солнечной Системы, не существует определенного "стандарта" для измерения длины - согласно работы (G. A. Krasinsky, V. A. Brumberg (2004)), наблюдается секулярное изменение Астрономической Единицы (Astronomical Unit), которое составляет j¡AU = 15 ± 4 m/su. Если есть отклонение от нормировки векторно-
го ноля и, то будет вполне естественно предположить, что да/зЭ01 = Ц-На самом деле, Эйнштейн определил контравариантные метрические компоненты как обратные к ковариантными компонентам для удобства и на основе чисто математических соображений . Фактически, последнее равенство означает, что вводится "анизотропная шкала расстояний", и как будеть дальше показано, эту шкалу для случая дгк = dXldXk можно считать естественным обобщением понятия о метрике пространства-времени, которая в сущности представляет собой "изотропную шкалу расстояний". К сожалению, уравнения теории гравитации ставят целью найти метрический тензор, но сам он шкалу расстояний не дает. Наверно поэтому за последние несколько лет эта проблема стала особенно актуальной и дискуссионной - например, в серии работ (см. Carrera, Giulini, 2010, RMP) было высказано мнение, что "иерархия взаимно-вложенных систем, таких как Солнечная Система - Галактика - локальная группа галактик - Скопление - Свверхскопление - Космология невозможно смоделировать в терминах точных решений, так как каждая система определяет характерную (для нее) шкалу расстояний, и вне этой шкалы можно считать эту систему квази - изолированной". Поэтому и сегодня особенно актуальными становятся (сверхпрецизионные) эффекты возможного участия Солнечной Системы в процессе Хаббловского расширения Вселенной. Физическая сущность этого явления связана именно с влиянием внешней для Солнечной Системы материи (например, материя нашей галактики Млечный путь). Это внешнее воздействие можно смоделировать посредством введения фонового гравитационного поля (S. Kopeikin, J. Ramirez, В. Mashhoon, М. Sazhin, PLA (2001); J. Ramirez, S. Kopeikin, PLB (2002)). Таким образом, дальнейшее развитие теории Релятивистких Систем Отсчета на основе их "привязанности" к более удаленным космическим объектам (квазары, радиопульсары и т.д.) неизменно связана с новой физикой - с космологической теорией пертурбаций и пертурбативной гравитацией на искривленном фоновом пространстве (S. Kopeikin, PRD (2012); S. Kopeikin, A. Petrov, PRD (2013)), которая была ранее развита русским ученым Александром Н. Петровым (ГАИШ им. П. К. Штернберга, МГУ, Москва).
Но если существует фоновое поле gaß = yaß + ha¡д ( фоновое поле да0 может быть выбрано как метрика Фридмана - Робертсона - Уо-кера), то можно увидить, что контракция ковариантных и контрава-риантных метрических компонентов для полного метрического тензора 9ßu<Jua ¿¡¡ - hßUhva = I™ определяет анизотропную тензорную шкалу. Следовательно, пертурбативную теорию гравитации второго порядка можно интерпретировать в рамках подхода ГТККСМ.
Также, проблема локального Хаббловского расширения Солнечной Системы имеет и один чисто прикладной аспект - предполагается, что аномальное ускорение (к центру Солнца) космических аппаратов, таких как Pioneer 10/11, связано именно с Хаббловским расширением. Проблема пока нерешена, известно только, что ускорение составляет ар = 8.5.10~8 smjs2 (J. Anderson (1998)) или по другим данным (8.60 ± 1.34).Ю-8 sm/s2 (G. Markwardt (2002)).
Существуют также некоторые интересные, заслуживающие внимания мнения других авторов (J. Rosalez (2002)), которые предполагают "возможное действие локальной кривизны на световых геодезических линиях" . Вполне вероятно, это связано с эффектами относительного ускорения.
1.2 Цель работы
Целью работы является построение математического алгоритма для нахождения решений многокомпонентных алгебраических уравнений в теории гравитации, а также вывод новой формулы для разложения тензора деформации и определение переноса Ферми-Уокера в рамках особого класса расширенных гравитационных теорий - Гравитационные Теории с Кова-рнантными и Контравариаптиымн Связностями и Метриками (ГТККСМ). Были поставлены и решены следующие задачи:
- обосновать с физической и математической точки зрения необходимость и правильность применения подхода алгебраической геометрии в теории гравитации и найти применение для этого подхода в гравитационных теориях с допольнительными пространственно - временными измере-
ниями;
- найти математический алгоритм для нахождения решений в терминах эллиптической функции Вейерштрасса для найденного "кубического алгебраического уравнения репараметризационной инвариантности гравитационного лагранжиана";
- для ГТККСМ, найти разложение тензора деформации и найти условия для существования свободных от сдивига и расширения течений, а также и условие для движения массивного тела по автопараллельной кривой;
- найти условия для осуществления переноса Ферми - Уокера в ГТККСМ и вообще в теориях с кручением, неметричностью и сдвигом;
1.3 Научная новизна
В данной диссертации в рамках т.н. ГТККСМ впервые предложен и обоснован новый метод алгебраической геометрии в теории гравитации и показано, что можно параметризовать с функцией Вейерштрасса (и се производной) многокомпонентные алгебраические уравнения.
- Показано, что после введения изотропной шкалы расстояния на основе ГТККСМ, можно найти новые соотношения (в форме неравенств) между параметрами в гравитационных теориях с дополнительными измерениями;
- Впервые доказано, что можно вывести конкретные математические условия для переноса Ферми -Уокера в более общих гравитационных теориях на основе геометрического требования для сохранения длин базисных векторов и углов между ними (необязательно прямыми) при переносе этих векторов вдоль кривой;
- Выведено более общее разложение для тензора деформации, которое валидно и для случая, когда векторы относительного ускорения а = \7ии и скорости являются неортогональными. Покачано, что условие
£ид = Vu<7
является одновременным условием для:
а. ортогональности этих векторов;
б. существования свободных от сдвига и расширения течений в ГТКК-СМ,
и тем самым, дано новое физическое толкование "нелокальных" и "локальных" гравитационных теорих - последние являются те, для которых выполнены условия а. и б.
1.4 Теоретическая и практическая значимость
Развитый математический подход на основе применения аппарата алгебраической геометрии (параметризация с функцией Вейерштрасса) открывает новые перспективы для нахождения новых решений уравнений Эйнштейна. Эта задача особенно актуальна для космологических метрик типа Фридмана - Робертсона - Уокера - ранее разные авторы (М. ТЭаЬголУйИ, Л. Б^еЯтасЬ, II. С^иегоаих, А. Огоя.чтяпп , Л. СагесЫ, ТЪ. Stachowiak) находили решения в терминах эллиптических функций, но не на основе разграничения между ковариантиыми и контравариантпьши метрическими компонентами, а в рамках стандартной Эйнштейновской теории гравитации.
Найденные соотношения в форме неравенств были бы полезными для будущих экспериментов на ЬНС (Большой Адронный Коллайдер), если будут уточнены параметры в струнном действии (электромагнитная и струнная константа связи, струнная шкала, 4-мерная Планковская константа). Тогда выполнение найденных в диссертации неравенств будет означать, что метрика пространства - времени будет с положительной кривизной (т.е. квадрат длины положительный). В то же самое время, подход может быть применен к гравитационным теориям, более тесно связанные с гравитационными экспериментами - например, к т. п. "Пост - Ньютоновском формализме" в теории гравитации.
Новое разложение для тензора деформации и новое определение переноса Ферми - Уокера могут найти применение при разработке новых моделей в теории Релятивистских Систем Отсчета на фоне искривленного пространства - времени, когда надо учитывать эффекты относитель-
иого ускорения. Также, эти эффекты надо учитывать и при распространении светового луча в сильных гравитационных полях (вокруг Черных Дыр, Нейтронных Звезд) или при очень прецизионных эффектах гравитационного поля при распространении лазерного луча в пространстве между Землей и Луной, которые очень существенны для лазерной локации Луны (Lunar Laser Ranging).
1.5 Достоверность результатов
Методы алгебраической геометрии в теории гравитации основаны на точных математических методах, а не на приближенных методах. Используемое в этом подходе представление для контравариантных метрических компонент таких как дгк = <J,XldXk и введенная на этой основе анизотропная шкала расстояний gijdX:>dXk — являются естественным обобщением понятия о метрике ds2 = I = gijdXldX:> , которую можно интерпретировать как изотропную шкалу расстояний.
Математические выражения для переноса Ферми - Уокера и для разложения тензора деформации являются результатом точных аналитических выражений.
1.6 Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах ЛТФ - ОИЯИ (Дубна) (2005, 2008, 2010, 2012, 2013 г. ), на семинаре отдела Теоретической и Математической Физики Института Ядерных Исследований и Ядерной Энергетики (ИЯИЯЕ) Болгарской Академии Наук (БАН) (2005 г.) , на семинаре им. Абрама Леонидовича Зельманова в Государственном Астрономическом Институте им. Штернберга (ГАИШ) (2012 г.), на семинаре кафедры теоретической физики Российского Университета Дружбы Народов (РУДН) (2013 г.) г. Москва, а также и на следующих конференциях:
• IX Международный семинар "Гравитационная Энергия и гравитационные волны Дубна, 8-12 Декабря 1996 г.
5th International Workshop on Complex Structures and Vector Fields, St. Konstantin, Bulgaria, 3-9 September 2000.
First Advanced Workshop oil Gravity, Astrophysics, and Strings at the Black Sea (GASBS 2002), Kiten, Bulgaria, 10-16 Jun 2002.
International Seminar on Noil - Euclidean (Lobachevsky) Geometry, 2630 February, 2004, JINR, Dubna, dedicated to the 75th Anniversary of Prof. N.A. Chernikov.
Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии, Яльчик-Казань, Россия, 10-15 сентября, 2007.
Международная Конференция "Избранные проблемы современной теоретической физики"(23-27 июнь 2008 г., ЛТФ, ОИЯИ, Дубна), посвещённый 100-летию со дня рождения Д. И. Блохинцева (19082008).
APCTP-BLTP JINR Joint Workshop on Frontiers in Black Hole Physics in Dubna, JINR and APCTP (Acian Pacific Center for Theoretical Physics), Dubna, Russia, May 2009.
II Российская школа по гравитации и космологии. Международный семинар по современным проблемам теории гравитации и космологии; 24-29 августа 2009 г., Российское гравитационное общество, Казань-Яльчик, Россия.
The Grassmannian Conference in Fundamental Cosmology (Grasscosmofun'09), University of Szczecin - celebration of Hermann Gunther Grassmann birth bicentennial anniversary, Szczecin, Poland (13-21 September 2009).
Российский Семинар "Нелинейные поля и релятивисткая статистика в теории гравитации и космологии" ,6-10 Сентября 2010 г., Казань-Яльчнк.
1.7 Публикации
По материалам диссертации опубликовано 7 работ в реферерируемых журналах, из них 5 работ в западных журналах (из списка ВАК): Journal of Mathematical Physics, General Relativity and Gravitation, International Journal of Géométrie Methods in Modem Physics, Classical and Quantum Gravity, Annalen der Physik (Berlin); также из этих 7 работ 2 опубликованные в реферируемых журналах (вне списка ВАК-a): Aerospace Research in Bulgarie. Имеются также б публикаций в сборниках конференций.
Количество опубликованных страниц в журналах из списка ВАК - 93, во всех реферируемых журналах (нз списка и вне списка ВАК)- 108, в трудах конференций - 53.
1.8 Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения . Полный объем диссертации - 175 страниц машинописного текста. Список литературы содержит более чем 100 наименований.
2 Содержание работы
Во введении приводится краткий обзор именно тех физических теорий, дальнейшее развитие которых (по личному убеждению автора этого дис-сертацчионного труда) может потребовать применения развитых в диссертации математических методов алгебраической геометрии и физических методов, связанных с новым разложением для тензора деформации в ГТККСМ и с новым определением для переноса Ферми - Уокера на основе сохранения длин и углов. Этими физическими теориями являются: Реля-тивисткие Системы Отсчета, релятивисткая астрометрия, теория Лазерной Локации Луны (Lunar Laser Ranging). Во введении также содержится краткое описание каждой главы диссертации.
В первой главе с наименованием "Методы алгебраической геометрии в теории гравитации", основанная на опубликованных рабо-
тах [1], [2] и [3], представлены основные уравнения, которые будут рассматриваться в рамках нового, развитого в диссертационном труде подхода алгебраической геометрии в теории гравитации. Основу этого подхода составляют т.н. "Гравитационные Теории с Ковариантными и Контрава-риантными Связностями и Метриками" (ГТККСМ), в которых делается разграничение между ковариантными и контравариантными компонентами метрического тензора. С математической точки зрения, это оправдано, так как базисные вектора тангенциального и котангенциального расслоения многообразии могут быть заданы вполне независимо (см. Кобаяси, Номизу, I т.). В диссертации контравариантные метрические компоненты были выбраны в форме
которая предполагает, что на тг—мерном многообразии заданы две системы координат (две разных разбиения на карты) (ж1, а;2,.....,хп) и
Хг = Хг(х^, х2,хл.... х1'). Но возможен и другой случай, когда эти две системы координат заданы на двух многообразиях - эта математическая конструкция (см. известный курс А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко) будет иметь и физическое соответствие - это будут координаты соответственно Барицентрической и Геоцентрической PCO. В любом случае, известная формула
задает гладкое отображение между касательными векторами с1Х>1 и (1хп в соответных касательных пространствах (расслоениях). Поэтому, существенно подчеркнуть, что эти вектора НЕ являюся бесконечно маленькими. Свертка ковариантных компонентов (далее они будут предполагаться заданными) с контравариантными, "тилда" метрическими компонентами д^ХЫХк = 1к = д^д^к будет определять т.н. (четырехмерную) "анизотропную шкалу расстояний (длин)" которая является естественным обобщением "изотропной шкалы расстояний" - метрика пространство - времени, так как при г = к получается ds2 = I — <)г](1Х1(1Х]. Понятие "анизотропная шкала расстояний" впервые было введено в работах [2], [14] и в этой диссертации.
д13 = dXldXJ
(2)
а=1
Далее, на основе наложенного условия для равенства гравитационного Лагранжиана в "тилда" представлении и обычном Гравитационном Лагранжиане (при условия также сохранения тензора Риччи) выведено основное уравнение, которое далее будет решатся относительно переменных <1Х1
й.хЧхЧхкрГ^{1дк)г - Я^хЧх' = 0 " (А)
Уравнение (А) написано при предположении <12Х1 — 0 и в диссертации и в работе [1] оно названо "кубическим алгебраическим уравнением репараметризационной инвариантности гравитационного Лагранжиана" (КАУРИГЛ).
Однако, оказывается "анизотропная шкала расстояний" может быть введена не согласованной с метрикой, т.е. дгк / ЛХгс1Хк. С этим связано конкретное физическое применение, которое в этой главе найдено для т. н. гравитационных теорий с дополнительными измерениями пространства-времени. В этих теориях, которые с 1998 г. разрабатывались такими авторами как Гиа Двали (С. БуаН), И. Антониадисом (I. АЩ.ошаЖй) и др., действие для низкоэнергетической струнной теории (тип I) задается в 10 - мерном пространстве
+ =/Л*-(......» <з)
и после этого пространство компактифицируется до 4-ех измерений
После сравнения (числовых) коэффициентов перед Я и F2 в подходе в. 0\'аИ и I. Лп1оша<Ий получаются соотношения между параметрами в струнном действии.
В настоящей диссертации, этот подход модифицирован путем введения дополнительной операции "перемасштабирования", согласно следующего переопределения контравариантных тилда компонент дЧ = х) = д*к1(1,х)5:'к(х) , при котором вводится изотропная шка-
ла расстояний /(£, х) . Но так как перемасштабирование может произойти
до компактификации и после комиактификации, то следуя подходу Два-лп, Антониадис и Димополус и сравнивая коэффициентные выражения перед В. и Р2, для каждого случая "компактификация + перемасштабирование" и "перемасштабирование + компактификация" получаются квазилинейные уравнения в частных производных (относительно функции длины 1(1, х)) и алгебраическое соотношение. Если компактификация и перемасштабированпе происходят одновременно, то от обоих квазилинейных уравнений можно найти следующие неравенства между параметрами в струнном действии
, Ь2 а3 , [Ъ2 а? р2 = — + == - Ь\ — + — >
27
27
аг + 6 а 18
+ 12а
(I)
о Ь (I /б2 а3
Р =2 +27~6У7+27<
+ 6а ах
18
18
а\ + 12а
(П)
Примечательно и очень существенно то, что в этих неравенствах функция длины не участвует, поэтому они справедливые и для стандартного подхода Двали, Антониадиса и Димопулуса.
Во второй главе с наименованием " Эллиптические кривые и кубические алгебраические уравнения - известные факты и новые результаты", основанной на опубликованных работах [1],[2], представлен новый математический формализм для нахождения решений выведенного в Главе I кубического алгебраического уравнения (А) КАУРИГЛ в терминах эллиптической функции Вейерштрасса (ЭФВ) и ее производной. Это на языке алгебраической геометрии означает, что данное уравнение (А) будет параметризировапо с ЭФВ
1
1
(г — и)2 ш2
(1)
и ее производной. Напомним, что ЭФВ определена на комплексной плоскости (суммирование но всем периодам на двумерной решетке), так что "параметризация" означает введение добавочной комплексной переменной.
Основная проблема в данном случае состоит в том, что уравнение (А) является многокомпонентным (т.е. для многих переменных) алгебраическим уравнением, а стандартная процедура для параметризации в алгебраической геометрии (см. монографию В. В. Прасолова. Ю. П. Соловьева, Эллиптические функции и алгебраические уравнения, Москва, "Факториал" , 1997 г., 286 стр.) разработана для двумерных кубических алгебраических уравнений типа
у2 = 4х3 - д2х - дг , (1)
которое параметризируется как х = р(г) , у = р (г) . Поэтому, в диссертации разработан новый математический подход для параметризации многокомпонентных алгебраических уравнений типа А, который основан на следующих четырех шагах:
Шаг 1: Уравнение (А) записывается как кубическое относительно одной из переменных, и по отношении этой переменной применяется дробно-линейная трансформация с1Х'л = М^^+М^) (для удобства рассмат-
с3(г)йХ +сг3(г)
ривается трехмерный случай). После зануления выражения перед высшей — з
(третьей) степенью (IX получается алгебраическое уравнение, зависящее от двух переменных (оно фактически является условием для параметризации первоначального уравнения)
рТ^д^Х^Х^йХ? + К^с1Ха<1Хе + К^<1Ха + 2р Г^зг = 0 ,
(В)
а первоначальное уравнение записывается в форме
п2 = рх{п) т3 + Р2(п) ш2 + Рз(п) т + Р4(п) , (С)
где Р\{п) ,Р'2(п), Рз{п) и Ра{п) являются сложными кубическими полиномами.
Шаг 2. Если эти коэффициентные функции являются равными числовыми коэффициентами 4,0. —д>, ~дз , то тогда уравнение п2 = 4т3 — д^т — дз можно параметризовать как п = р (г) = ^ , ^ = т = р(г) .
Шаг 3 (параметризация вложенной последовательности алгебраических уравнений). Так как переменные в уравнении (В) на одну меньше по сравнению с первоначальным уравнением (А),то следующий шаг связан с параметризацией уравнения (В), применяя выше описанный алгоритм Шага 2. В результате, на каждом следующем шаге параметризации получаются уравнения типа (В) и (С) - это и будет та цепочка уравнений, которая в диссертации названа "вложенной цепочкой кубических алгебраических уравнений" .Эта цепочка уравнений обладает исключительно интересным свойством - если решение для с1Х1 задается найденного в диссертации и в работе [2] выражением
¿Х1 _ 7+ + + АР3 + ^Р2 + /зР + /4
то решение для (IX2 является "обвертывающей" (т.е. зависящей от <1Х1 ), а решение для (¿X3 - "обвертывающей" для (IX-.
Шаг 4 (униформизация). Так как найденные решения для (IX1, (IX2 и с1Х3 (I = 1, 2, 3)
зависят от пространствено-временных координат и от комплексной переменной г, то эти решения являются параметризационными. Теперь, если координаты зависят и от комплексной переменной г по формуле
= Х1(х1(г),х2(г),х3(г)) = Х1(х, г) , эти решения будут также и униформизационными. В этой главе показано, как можно их найти. Учитывая первоначальное условие с12Х1 = 0 = <£Р)(Х(;г), х) , после решения системы негомогенных алгебраических уравнений относительно
Яу2 р\ у-3
и —, можно найти систему из нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка = б; = (X1, X2, Хъ, г) , решения которой будуть давать зависимость пространственно-временных координат от г .
В диссертации рассматривался и случай, когда функция Вейерштрас-са и ее производная могут параметризовать более общее уравнение
г , 2
\p{z) = 4pz{z) - g2{z)p{z) - gs(z) - фактически это "параметризируемая форма" кубического алгебраического уравнения, но с коэффициентными функциями вместо числовых коэффициентов (инварианты Эйзенштейна). Уравнение такова типа в математической литературе пока не исследовано. Из полученной цепочки уравнений для коэффициентов Лорановско-го разложения этих функций найдены все коэффициенты и доказано, что суммы (ji
— J2 и 11 = S ZJT ДОЛЖНЫ быть сходящимися. Этот резуль-
ш и>
тат не противоречит известной теореме из теории эллиптических кривых (Э. Кнэпп, Эллиптические кривые, 2004) о равномерной сходимости рядов типа Gm = ZJ^ ПРИ т — так как эта теорема не означает, что всегда ряды при m = 1,2 должны быть расходящимися. В частности, доказательство для сходимости было приведено в работе в электронном архиве [20]. Можно также привести дополнительные аргументы из монографии Кнэппа и из монографии Тома Апостола по теории чисел (Т. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976). Например, на стр. 315 в монографии Кнэппа показано, что если в сумме G(T) = ' т+пт' где W = m + пг (т = суммирование произво-
71 m
дить в указанном порядке, то тогда весъ ряд сходится. Внутренная сумма берется по всем т, таким, что (m,n) ф (0,0).
В третьей главе с наименованием "Теоретические ограничения в стандартной гравитационной теории деформируемых сред. Принцип Эквивалентности в пространствах с кручением и неметрич-ностью" не содержатся новые результаты, она имеет обзорный характер. Но в этой главе представлен материал, без которого будет невозможно понять повое определение переноса Ферми - Уокера, так как материал затрагивает теоретические разработки, в общем незнакомые специалистам-гравитационистам. В главе представлен обзор по автопараллельному уравнению - его канонический и неканонический вид, из которого видно что только при определенном выборе параметра это уравнение сводится к геодезическому уравнению. Также представлен обзор по теоретическому формализму о выполнении ПЭ в пространствах с кручением, неметричностью, расширением и сдвигом, которой разработан болгарским теоретиком Б.
Илиевым. Здесь основной и нетривиальный момент состоится в том, что для выполнения ПЭ в таких теориях будет необходимо не зануление коэффициентов аффинной связности, а т.н. деривация. Само определение 8-деривации давно известно из дифференциальной геометрии (см. Кобая-си, Номизу, I том) - Б-дернвация тензорной алгебры на многообразии М - это отображение Г> : X —> Их = Ьх + ^х ■ где X является векторным полем, Ьх производная Ли по направлении X и Зх тензорное поле типа (1,1), которое считается также деривацией. Условие, которое будет получено в последней главе для выполнения переноса Ферми-Уокера будет фактически условием для нулевой деривации. Также, для перехода к системе отсчета, в которой пробная частица не будет испытывать никакого ускорения (из-за пространственно-временной кривизны), применяется "деформация аффинной связности" - на самом деле это тоже деривация по своей математической сущности
Veu = Vu-Au (-1)
где V® является расширенным оператором ковариантного дифференцирования и Аи является смешанным тензором третьего ранга.
В этой главе представлены также некоторые стандартные определения переноса Ферми - Уокера, основанные на известных монографиях (Но-укинг, Эллис; Меллер).
Четвертая глава "Пертурбативная теория гравитации на искривлённом фоновом пространстве - новые результаты", основана на опубликованных в реферируемых журналах (вне списка ВАК-а) работах [6],[7] (также и [8]), и содержит некоторые неосновные для диссертации новые результаты. Эта глава посвещена новому пертурбативному разложению гравитационного лагранжиана до второго порядка при предположении, что контравариантные метрические компоненты флуктуационпого (пертурбативного) поля определены как
= д{0)М/3 _ +
При этом определении контравариантные метрические компоненты для полного метрического тензора являются обратными (т.е. = 5^) по
отношению к ковариантным компонентам с точностью до второго порядка. Так как разложение в литературе до сих пор было осуществлено только
торьш модификациям в пертурбативном разложении второго порядка для тензора Римана по сравнению с работой автора Барнеби (ВагпеЬу. 1974 г.)
В пятой главе с наименованием "Метрически-Аффинные Теории Гравитации (МАТГ) и Гравитационные Теории с Кова-риантными и Контравариантными Метриками и Связностями (ГТККМС) - известные факты и новые результаты" представлены совместные результаты с проф. С. Мановым, опубликованные в работах [4] и [5]. Основные результаты в этой главе связаны с новым разложением для тензора деформации в ГТККСМ, а также и с новым определением переноса Ферми-Уокера на основе геометрического требования о сохранении длин между базисными векторами и углами между ними. В начале главы представлен обзор математических свойств ГТККСМ - особой акцент сделан на то, что ГТККСМ являются более общими по сравнению с Метрически - Аффинными Теориями Гравитации (МАТГ), так как в ГТККСМ вводится анизотропная шкала длины. Представлена также новая (впервые в работе [4]) классификация пространств в ГТККСМ в зависимости от типа оператора контракции и соотношения между компонентами контравари-антной и ковариантной связностей. Для случая ГТККСМ также дается новое определение пространства Вейля - для него выполнено условие
где Яи определяется как <5и '■= Я}-и] и ковариантное векторное поле — называется ковариантным ковекторным полем Вейля. Используя формулы для изменения длин и углов, показано также, что параллельные переносы в пространстве Вейля являются также конформными переносами. Также из формулы для изменения длины векторного поля в пространстве Вейля
при стандартном определении д^ = г/п''"/ — то это приведет к неко-
(-1)
н при С}] = —пТр ^ следует, что скалярное поле Хр выступает в роли калибровочного фактора, изменяющего длину вектора поэтому и это скалярное поле называется дилатонным полем в пространстве Вейля. Этот простой вывод подсказывает следующую интерпретацию: каждая (метрическая) скалярно-тензорная теория гравитации в (псев-до)Римановом пространстве (с или без кручения, но с параллельным переносом ) может быть переформулирована в соответственном пространстве Вейля с метрикой Вейля и дилатонное поле, порождая таким образом ковектор Вейля в пространстве Вейля.
Особенно интересным и важным является разложение для тензора скорости деформации в ГТККСМ, которое в этих теориях отличается от относительной скорости
Уге1. ••= д = 9(ри) (^а - и^ +д [¿(£)] (Е)
Так как в обычных гравитационных теориях первое выражение в скобках равняется нулю, то в этих теориях разложение тензора скорости деформации
рСьиа-с = иаъ + <?аЬ+-&РаЬ (Р)
на тензор вращения, тензор сдвига и тензор расширения является на самом деле разложением для относительной скорости, поэтому неудивительно, что наложено дополнительное условие ортогональности векторного поля и на тензор вращения и тензор сдвига.
В диссертации выведено повое разложение для тензора скорости деформации, которое аналогично по внешнему виду разложению (Р) Л \= ст + и + , но, благодаря своему отличию от относительной
скорости, это разложение обладает более необычными и интересными физическими свойствами. Во первых, каждый тензор в разложении имеет компоненту, свободную от кручения и индуцированную кручением. Поэтому, отсюда можно предположить, что кручение будеть неизменной характеристикой гравитационного поля с относительным ускорением. Во вторых, так как тензоры сдвига и расширения задаются выра-
жениями
а = \\Ри (Vu5 - £ид)Ри - ^ ^ (Ри - £ид))ри] (G)
© - \ \Ри (Vuff - £ид)\ = \Pl -3 (д%ик - £ugij) , (Н)
то отсюда можно вывести следующее условие Vug = £иц для существования свободных от сдвига и расширения течений. Это простое математическое условие имеет наглядное и богатое по своему физическому смыслу толкование - в свободных от сдвига и расширения течениях наблюдатель по мировой линии двигается вместе с сопутствующей материей, причем в каждой точке траектории вектор скорости является ортогональным к вектору относительного ускорения. В сущности, это можно рассматривать и как "обобщенный" критерий для существования "локальной" гравитационной теории - ранее такой критерий на основе ортогональности векторов скорости и ускорения (но в смысле Ньютоновского определения!) был выдвинут американским физиком-теоретиком Баарамом Машхуном (В. Mashhoon).
Однако, оказывается, что свободные от сдвига и расширения течения (в деформируемой среде, так как соотношение (Е) выполняется) не являются условием для определения переноса Ферми-Уокера, если рассматривать этот перенос с точки зрения геометрического критерия о сохранении длин базисных векторов и углов между ними, а не на основе "невозмущенного" движения в окрестности геодезической линии. Последний подход (Манассе и Мизнера) неприменим из-за деформации среды и наличие относительного ускорения.
Чтобы найти конкретные математические условия для сохранения длин и углов, в диссертации рассмотрены не сами эти вектора, а вектора в ортогональном к ним подпространстве. В нем действует проективная метрика ри := д — ^и & и, которая учитывает изменение длины векторного поля и, в отличие от обычно используемой в релятивисткой гидродинамике метрика ри := 6 — и ® и , которая не обладает этим свойством.
Пользуясь этой метрикой, можно определить изменения длин векторов в этом подпространстве и углы между ними u[cos(£x,tu)], которые
были найдены, действуя оператором ковариаптного дифференцирования на соответные выражения для длин и косинуса угла. Так как длины и углы не должны меняться, полученные выражения приравниваются к нулю:
Чх = ±Л К^рО + 2ри = о (к)
и[СОЭ^х.Т/л.)] = 1 [(\7ири) {€±,11±) + Ри (Уи€±,11±) + Ри (VuC±, VU7>_L)] -
1
у— Híx) +
.Чх ¿»7x
cos(C±,Í?_l) = 0 . (L)
Теперь, пользуясь аналогией с подходом Манассе и Мизнера, надо перейти к системе отсчета, в которой пробное тело не будет испытывать никаких воздействий. Это будет система отсчета, полученна посредством "деформации" аффинной связности путем введения т.н. "расширенного оператора ковариантного дифференцирования" eVu = Vu — Аи, где Аи = д(Аи) является смешанным тензором третьего ранга, который является линейным относительно контравариантпого векторного поля и, т.е. Аи = С {и) = А(и). Существенно, что именно при этом выборе системы отсчета удается найти совместное решение уравнений (К) и (L) и после отделения симметрической от антисимметрической части, получить условие для определения переноса Ферми-Уокера
Vup.u = -2(<т + т—Цт©Р„) ' (п - 1)
Это условие фактически и есть условие для нулевой деривации., а деривация определяет понятие локальности в более общем смысле - не только в (инфинитезимальной) окрестности, но и вдоль кривой или на подмногообразии. В данной формуле тензор вращения и> не участвует, но, так как получено дополнительное условие [ри(ри){0(и))]а = и> , то это означает, что формула справедлива для каждого тензора вращения. Это вполне естественно, так как антисимметрический тензор вращения не будет сказываться на симметрическом тензоре V„pu. Однако, вполне возможно, что
полученный результат является только первым шагом в данном исследовании и тензор вращения будет определяться другими более сложными соотношениями.
В качестве применения нового определения переноса Ферми - Уокера в диссертации рассмотрено движение бесспшювой массивной частицы с плотностью импульса р — р.и, где р суть плотность массы покоя и и -тангенциальный вектор к траектории (мировой линии) центра масс. Эта частица имеет следующие свойства, которые выражают законы сохранения на геометрическом языке:
А. При движении по мировой линии вектор плотности импульса не меняет своего направления - на геометрическом языке это означает параллельный перенос вдоль траектории, т.е. Vир = /.р (автопараллельное уравнение в неканоническом виде) или У„р = 0 автопаралельное уравнение в каноническом виде). Это свойство дает следующее уравнение для автопараллельной траектории У„и = ^ [ие — (Vид) (и, и)] .и, которая является более общей по сравнению с геодезической линии.
Б. Сохранение плотности импульса означает сохранение длины 1р Н д{р,р) вектора плотности импульса, т.е. и1р = 0. Так
как сохранение длины есть свойство переноса Ферми, то опять применяется расширенный оператор ковариантного дифференцирования =е Уи = Vи — д{С{и)) , где второй члень представляет т.н. "оператор Ферми" С(и) :=р й>— |.Уид. Можно заметить, что второе слагаемое с ковариантной производной в этом операторе является следствием от равенства (К) для сохранения длины. Применение оператора Ферми к вектору р при предположении, что плоскость вращения является ортогональной к вектору и , т.е. ш{р) = рш(и) = 0 дает равенство Уир = —\д(Уид)(р), откуда следует и требуемое уравнение для автопаралелной траектории (в неканоническом виде), которое зависит от распределения плотности массивного тела
От зануления правой части этого выражения и решение соответного дифференциального уравнения и находится упомянутая в разделе "Актуаль-
ность темы" формула для распределения плотности вещества.
В заключение сформулированы основные результаты диссертации.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
• Для теорий с ковариантными и контравариантными связностями и метриками , предложено т. н. "кубическое алгебраическое уравнение репараметризационной инвариантности гравитационного лагранжиана" и найдены его решения.
• Доказана теорема для параметризации функциями Вейерштрас-са и ее производной более общего кубического уравнения
ентными функциями).
• На основе введённой "тензорной шкалы длины" и перемасшта-бироваиного действия для типа I струпной теории в гравитационных теориях с дополнительными измерениями, выведены неравенства между параметрами в этом действии.
• Найдено условие для существования свободных от сдвига и расширения течений в гравитационных теориях с ковариантными и контравариантными связностями и метриками (ГТККСМ), а также и необходимое и достаточное условие для движения по автопараллельной кривой свободной бесспиновой частицы с плотностью импульса.
• Дано новое определение о пространстве Вейля и показано, что параллельные переносы в этом пространстве являются конформными переносами, а также что скалярное поле выступает в роли калибровочного фактора, изменяющего длину векторного поля.
3 Основные результаты
непостоянными коэффици-
• Сформулированы математические условия для существования гироскопа (перенос векторных полей, сохраняющий длины и углы между ними) в ГТККСМ и доказано существование переноса Ферми-Уокера в более общих гравитационных теориях с неметричностью, кручением и расширением.
По теме диссертации опубликованы следующие работы
В научных журналах, рекоммендованных ВАК;
• 1. Dimitrov B. G. Cubic algebraic equations in gravity theory, parametrization with the Weierstrass function and nonarithmetic theory of algebraic equations.// Journal of Mathematical Physics. 2003. T. 44. C. 2542-2578.
• 2. Dimitrov B. G. Elliptic Curves, Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory And Uniformization Of Multivariable Cubic Algebraic Equations .// International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 2008. V. 5. C. 677-698.
• 3. Dimitrov B. G. Algebraic geometry approach in gravity theory and new relations between the parameters in type I low-energy string theory action in theories with extra dimensions.// Annalen der Physik (Berlin). 2010. v. 19. 3 - 5. C. 254 - 2575.
• 4. Manoff S. S., Dimitrov B. G. Flows and particles with shear-free and expansion-free velocities in (Ln, g)- and Weyl spaces.// Classical and Quantum Gravity. 2002. T. 19. C. 4377 - 4397.
5. Manoff S. S., Dimitrov B. G. On the Existence of a Gyroscope in Spaces with Affine Connections And Metrics.// General Relativity and Gravitation. 2003. V. 35. 1. C. 25-33.
В научных журналах, вне списка рекоммендованного ВАК:
6. Dimitrov В. G. On the perturbative gravity and quantum gravity theory on a curved background. I. Second-Order gravitational Lagrangian decomposition.//Aerospace Research in Bulgaria. 1997. T. 13. C. 3 - 10.
7. Dimitrov B. G. On the perturbative gravity and quantum gravity theory on a curved background. II. Application of covariant derivatives and third-rank tensors.//Aerospace Research in Bulgaria. 1997. T. 13. C. 11 - 18.
Статьи в трудах и сборниках конференций:
8. Dimitrov B. G. Second-Order Perturbative Gravity Theory on a Curved Background Spacetime// Proceedings of the IX International Seminar "Gravitational Energy and Gravitational Waves". Dubna. 8-12 December. 1996. C. 61-70.
9. Dimitrov B. G. Projective formalism and some methods from algebraic geometry in the theory of gravitation. // Proceedings of the 5th International Workshop on Complex Structures and Vector Fields". St. Konstantin. Bulgaria. 3-9 Sep 2000. C. 171-179. World Scientific, Singapore.
10. Dimitrov B. G. Some algebro-gcometric aspects of the SL(2, R) Wess-Zumino-Witten model of strings on an AdS(3) background. // First Advanced Workshop on Gravity, Astrophysics, and Strings at the Black Sea (GASBS 2002). Kiten. Bulgaria. 10-16 Jun 2002. eds. P. P. Fiziev
and M. D. Todorov . С. 64-74. St. Kliment Ohridsky University Press . Sofia. Bulgaria.
11. Dimitrov B. G. Integral geometry on the Lobachevsky plane and the conformal Wess-Zumino-Witten model of strings on an AdS (3) background // Proc. of the International Seminar on Non -Euclidean (Lobachevsky) Geometry". 26-30 February, 2004, JINR, Dubna, dedicated to the 75th Anniversary of Prof. N.A. Chernikov, C.91-102. Publishing Department of the Joint Institute of Nuclear Research. Dubna.
12. Dimitrov B. G. Some Algebraic Geometry Aspects of Gravitational Theories with Covariant and Contravariant Connections and Metrics (GTCCCM) and Possible Applications to Theories with Extra Dimensions. // Proceedings of the Second Russian Summer School - Seminar "Contemporary Theoretical Problems of Gravitation and Cosmology GRACOS - 2009". Publ. House "Foliant". Kazan. Russia. 2009; C. 33 - 38; also arXiv:0910.4136vl [hep-til],
13. Dimitrov B.G. Perturbative Gravity Theory on a Curved Background and its Importance for Gravitational Light Deflection Experiments.// Proceedings of the Russian Summer School - Seminar "Nonlinear Fields and Relativistic Statistics in the Theory of Gravitation and Cosmology". 6-10 September 2010. Kazan - Yalchik. C. 159-163.
Статьи в процессе реферирования и электронных архивах:
14. Dimitrov В. G. Elliptic Curves and Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory I. The General Approach. // subm. to "Advances in Theoretical and Mathematical Physics". 25 стр. arXiv:0911.1049 Mathematical Physics (math-ph) .
15. Dimitrov B. G. Elliptic Curves and Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory II. Parametrization of a Multivariable Cubic Algebraic
Equation // subm. to "Advances in Theoretical and Mathematical Physics". 8 стр. arXiv:0911.1051 Mathematical Physics (math-ph).
10. Dimitrov B. G. Elliptic Curves and Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory III. Uniformization Functions for a Multivariable Cubic Algebraic Equation// subm. to "Advances in Theoretical and Mathematical Physics". 18 стр. arXiv:0911.1052 Mathematical Physics (math-ph).
17. Dimitrov B. G. Algebraic Geometry Approach in Theories with Extra Dimensions I. Application of Lobachevsky (hyperbolic) Geometry // ", submitted to "International Journal of Geometric Methods in Modern Physics". 41 стр. (revised and extended version), hep-th Arxiv:0810.1501D.
18. Dimitrov B. G. Algebraic Geometry Approach in Theories with Extra Dimensions II. Tensor Length Scale, Compactification and Rescaling in Low-Energy Type I String Theory // submitted to "International Journal of Geometric Methods in Modern Physics". 21 стр. hep-th Arxiv:0810.1503D.
19. Dimitrov B.G. Block-Structure Method for the Solution of the Matrix System of Equations gijg^k = Sk in the iV—dimensional Case // 21 стр. hep-th Arxiv:0810.5312.
20. Dimitrov B.G. Cubic Algebraic Equations in Gravity Theory, Parametrization with the Weierstrass Function and Non-Arithmetic Theory of Algebraic Equations.// 77 стр. hep-th Arxiv:0107231.
21. Dimitrov B.G. Elliptic Curves, Algebraic Geometry Approach in Gravity Theory and Some Applications in Theories with Extra Dimensions// 113 стр. hep-th Arxiv:0511136.
Методы алгебраической геометрии и перенос Ферми-Уокера в расширенных теориях гравитации ДИМИТРОВ Богдан Георгиев
В диссертации развит подход алгебраической геометрии в теории гравитации. Математическая основа этого подхода связана с разграничением между ковариантными и контравариантными метрическими компонентами (ГТККСМ), а физическая основа - изменение расстояния между каждыми двумя точками пространство-времени из-за действия относительного ускорения. Рассмотрено применение к гравитационным теориям с дополнительными пространствено-временными измерениями. Представлено новое разложение для тензора скорости деформации в ГТККСМ, а также найдены новые условия для переноса Ферми - Уокера в ГТККСМ и в средах с сдвигом,расширением, вращением и неметричностью. Обосновано возможное применение этих результатов в теориях Релятивистких Систем Отсчета (РСО), Лазерной Локации Луны и Релятивистской Астрометрии.
Methods of Algebraic Geometry and Fermi - Walker Transports in Extended Gravitational Theories DIMITROV Bogdan Georgiev
In this dissertation the approach of algebraic geometry in the theory of gravitation has been developed. The mathematical grounds for this approach are related with the distinction between the covariant and the contravariant metric tensor components (GTCCMC) and the physical grounds - to the change of the length between every two space-time points due to the action of the relative acceleration. An application has been considered to gravitational theories with extra spacetime dimensions. A new decomposition of the velocity tensor deformation has been given, as well as new conditions for Fermi-Walker transport in GTCCMC and in spaces with shear, expansion, rotation and non-metricity. The possible application of these results to theories of Relativistic Reference Systems (RRS), Lunar Laser Ranging and Relativistic Astrometry has been motivated.
Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.
Подписано в печать 14.11.2013. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,17. Уч.-изд. л. 2,86. Тираж 120 экз. Заказ № 225.
ООО "Дубненская типография" 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Курчатова, д. 2-а
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
на правах рукописи
04201455123
Димитров Богдан Георгиев
МЕТОДЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ПЕРЕНОС ФЕРМИ-УОКЕРА В РАСШИРЕННЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ
Специальность 01.04.02 - «Теоретическая физика»
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, Манов Сава Славчев
Москва — 2013
Содержание
Введение 6
1 Методы алгебраической геометрии в теории гравитации 57
1.1 Алгебраические уравнения в теории гравитации без применения вариационного формализма............. 57
1.2 Алгебраические уравнения в теории гравитации после применения вариационного формализма [76] .......... 62
1.3 Некоторые основные подходы в теориях
с дополнительными измерениями пространства-времени . . 63
1.4 Функция длины в компактифицированном + перемасштабированном типа I низкоэнергетическом действии ............................... 66
1.5 Функция длины при сохранении скалярной
кривизны. Физическое значение ............... 70
2 Эллиптические кривые и кубические алгебраические уравнения-известные
факты и новые результаты 73
2.1 Предисловие .......................... 73
2.2 Основные математические понятия
об эллиптических функциях и их свойствах......... 75
2.3 Основные свойства эллиптической функции Вейерштрасса (ЭФВ) и параметризуемой формы кубического алгебраического уравнения........... 79
2.4 Новые результаты о параметризации двумерной кубической кривой с коэффициентными функциями, зависящими от
комплексной переменной.................... 84
2.5 Параметризация многокомпонентного кубического уравнения (1.1.6) - случай одной
переменной (Шаги А и В)................... 88
2.6 Параметризация вложенной последовательности кубических алгебраических уравнений - Шаг С ...... 91
2.7 Униформизация кубического алгебраического
уравнения - Шаг &....................... 98
3 Теоретические ограничения в стандартной гравитационной теории деформируемых сред. Принцип Эквивалентности в пространствах с кручением и неметричностью 100
3.1 Предварительные сведения..................100
3.2 Геодезические и автопараллельные уравнения и их канонические параметры......................103
3.3 Краткое введение в стандартную формулировку Принципа Эквивалентности в Эйнштейновской теории гравитации . . 109
3.4 Э-деривация и обобщение Принципа Эквивалентности для пространствах
с кручением...........................109
3.5 Стандартное определение о переносе Ферми-Уокера и связь
с Принципом Эквивалентности................113
4 Пертурбативная теория гравитации на искривленном фоновом
пространстве - новые результаты 117
4.1 Предварительные сведения..................117
4.2 Новые результаты в первом и во втором пертурбативном приближении гравитации на искривленном фоновом пространстве ............118
5 Метрически-Аффинные Теории Гравитации и Гравитационные Теории с Ковариантными и Контравариантными Метриками и
Связностями - известные факты и новые результаты 125
5.1 Сравнение между некоторыми основными понятиями в МАТГ и ГТККМС. Новая классификация пространств с аффинными
связностями и метриками...................125
5.2 Определения длины и косинуса угла между контравариантными векторами
вГТККСМ...........................133
5.3 Новое определение пространств Вейля
в ГТККСМ. Параллельные переносы, переносы в пространствах Вейля и конформные переносы......138
5.4 Относительная и деформационная скорость
в релятивистской гидродинамике и в ГТККСМ.......143
5.5 Новые результаты разложения тензора
скорости деформации в ГТККСМ..............148
5.6 Новые результаты - необходимые и достаточные условия для существования свободных от сдвига
и расширений течений в ГТККСМ..............150
5.7 Геометрическая и физическая интерпретация свободных от сдвига и расширений течения
в ГТККСМ. Автопараллельные поля ............151
5.8 Новое определение и математические условия
для переноса Ферми-Уокера в ГТККСМ...........155
5.9 Перенос Ферми-Уокера в направлении
свободных от сдвига и расширения векторных полей и . . 163
5.10 Необходимое и достаточное условие
для движения свободной, бесспиновой частицы по автопараллельной траектории...............164
Заключение Список литературы
Введение
Настоящий диссертационный труд посвящен некоторым математическим и физическим следствиям т.н. "Гравитационных Теорий с Кова-риантными и Контравариантными Связностями и Метриками" (ГТКК-СМ). ГТККСМ - это класс расширенных (неэйнштейновских) гравитационных теорий, которые "расширяют" известную Эйнштейновскую теорию гравитации или Метрически-Аффинную Теорию Гравитации (МАТГ) путем введения разграничения между ковариантными и ковариантны-ми метрическими компонентами. С математической точки зрения, такое разграничение вполне мотивировано и оправдано, так как на каждом дифференцируемом многообразии можно задать независимо базисные векторы на тангенциальном и котангенциалъном расслоении. Это приведет к тому, что на многообразии будут определены две связности-контравариантная (которая знакома с обычной, Эйнштейновской теорией гравитации)и ковариантная связность, которая связана с ковариант-ным дифференциальным оператором, действующим на базисные векторы из котангенциального расслоения. На самом деле, вторая, ковариантная связность тоже появляется и в Эйнштейновской теории - при выписывании формулы для ковариантной производной от контравариантных метрических компонентов, перед вторым членом с аффинной связностью ставится знак "плюс". И это вовсе не случайно - только при таком выборе знака связности контракция ковариантных и контравариантных метрических компонентов будеть давать стандартный дельта (кронекеровский) символ. Таким образом, в Эйнштейновской теории гравитации ковариантная связность (хотя она явным образом не присуствует в теории) равняется контравариантной связности, но со знаком "минус". Мате-
матическая формулировка ГТККСМ, ранее разработана проф. Савой Мановым (S. Manoff) (см. монографии
Разграничение между ковариантными и контравариантными метрическими компонентами приведет к введению анизотропной тензорной шкалы расстояний lk. Эта тензорная шкала впервые вводится в этом диссертационном труде на основе контракции ковариантных и контра-вариантных метрических компонентов = 1к. Полученную таким
способом тензорную шкалу расстояний (здесь существенно заметить, что эту тензорную шкалу расстояний не надо путать с метрикой) будем называть "тензорная шкала расстояний, несогласованная с метрикой". В диссертации такая тензорная шкала при предположении, что она является "изотропной" , т.е. <fJ" = glklJk(t,x) = glkl(t,x)5Jk(x), будет применятся к гравитационным теориям с дополнительными измерениями, и на основе положительности квадрата этой шкалы l2(t,x) (евклидовое пространство-время) будут выведены новые соотношения в форме неравенств между параметрами в струнном действии 1-ого типа. Примечателен и важен тот факт, что так как функция длины не будет входить в эти соотношения, то они будут справедливыми и для теории с дополнительными измерениями, развитой Гия Двали (G. Dvali), Игна-тиусом Антониадисом (I. Antoniadis) и другими. Более того, развитый подход может быт примененным к гравитационным теориям, более тесно привязанны к экспериментам - наппример, к Пость - Ньютоновскому формализму в Общей Теории Относительности. Возможность конкретного применения этого формализма также подсказывает, что для развития подхода алгебраической геометрии в этой диссертации существует не только математическая, но также и физическая аргументация.
Цель введения диссертации показать, что такая физическая аргументация существует, и что она связана с самыми современными экспериментами, такими как Лазерная Локация Луны (в англоязычной литературе - Lunar Laser Ranging (LLR)),c новой, быстро развивающейся областью современной теоретической физики, такой как релятивистская астрометрии (см. монографию [3] с авторами Sergei Kopeikin, Michael Efroimsky and George Kaplan), а также теория Релятивистких Систем От-
счета (РСО), которая была официально признана в Резолюциях 24-ой Генеральной Асамблеи Международного Астрономического Союза (Internatiom Astronomical Union (IAU)) в августе 2000 года (см. [4], также [5]). РСО - это математическая процедура для конструирования т.н. "Пост - Ньютоновских (PPN)" локальных координат в искривленном пространстве-времени вокруг массивных, движущихся небесных тел, которые используются для уточнения эфемерид небесных тел, для навигации космических кораблей в Солнечной шстеме и для редукции астрономических наблюдений. Теория Релятивист}ких Систем Отсчета (РСО)(барицентрические, геоцентрические, спутниковые) впервые (в период 1988 по 1992 г., а также гораздо ранее) была разработана русскими учеными В. А. Брумбер-гом, С. М. Копейкиным, С. Клионером.
Но прежде чем перейти к обзору современных достижений и нерешенных проблем Лазерной Локации Луны, надо упоминуть еще одно новое понятие, которое было введено в этой диссертации - это анизотропная тензорная шкала, совместимая с метрикой. Идея для введения этой анизотропной тензорной шкалы очень простая - если выбрать контрава-риантные, "тильда" компоненты как дгк = dXldXk, то тогда контракция ковариантных и контравариантных "тильда" компонентов будет давать следующую анизотропную тензорную шкалу длин, совместимой с метрикой
9ijdX4Xk = I' = gl3Wk •
Последная формула имеет следующую примечательную особенность: когда г = к, из последней формулы следует стандартное выражение для элемента длины
ds2 = l = gijdXidXj .
Следовательно, это выражение подсказывает следующее новое физическое толкование для метрики пространства-времени, которое впервые дается в этом диссертационном труде: метрика пространства - времени представляет собой изотропную шкалу длин, которая является частным случаем анизотропной тензорной шкалы длин, совместимой с метрикой, при г = к.
В диссертации выведено также новое уравнение - т.н. "кубическое алгебраическое уравнение репараметризационной инвариантности грави-тационното Лагранжиана" , которое составляет основу для предложенного впервые в диссертации метод алгебраической геометрии в теории гравитации. Согласно этому подходу, на двух многообразиях М\ и М2
определены две системы карт соответственно (а;1 (А), 072(Л),......,хп(Х)) и
(Х^Л), Х2(Л),......, Хп(Х)) Mi и М2 - эта ситуация соответствует описанному математическому формализму в известном университетском курсе [?] по дифференциальной геометрии, авторы А. Т. Фоменко и А. С. Мищенко. Тогда гладкое отображение / : Mi —М2 этих двух многообразий может быт представлено как набор координатных функций
Хк = fk{x\x2,.....хп) к = 1,2,.....п
Если = dxk С Tp1(Mi) - касательной вектор к кривой 71 на многообразии Mi, то множество всех этих касательных векторов
= I (ж1 (Л), х2(А),......, хп(Л)) при изменении параметра Л будеть формировать т. н. "касательное пространство" Tp^Mi) в точке Pi.
Аналогично, эсли rjk = dXk С Тр2(М2) - касательной вектор к кривой 72 на другом многообразии М2, то дифференциал от отображения /, определенный формулой rj = dfp1(£), будет определять отображение векторов касательного расслоения первого многообразия М\ на касательные вектора расслоения второго многообразия М^. Таким образом, дифференциал dfp1 есть гладкое отображение двух тангенциальных расслоений, которое не зависит от выбора тангенциальной кривой, т.е. если Pq С М и £ С Тр0(М) и 7 - гладкая кривая, такая что 7(^0) = Лз и 7(^0) = то производной (дифференциалом) гладкой функции / в отношении вектора £ будет выражение
|/(7«))«. = ?(/) = ......ое ■
г= 1
Теперь уже понятно, что основное выражение
п г)Х^
dX»{x\ х2...., хп) = ^dxa ,
а=1
которое используется при конструировании подхода алгебраической геометрии в этом диссертационном труде, корректно определено с математической точки зрения - это выражение задает гладкое отображение между касательными векторами (IXм и с1ха в соотвественных касательных пространствах. Важно подчеркнуть, что эти вектора НЕ являются бесконечно маленькими, и поэтому можно записать основное алгебраическое уравнение, которое далее будет решатся относительно переменных с1Хг как
с1хЧх3(1хкрТг^гдку - ЩйхЧх^ = 0 . (А)
Уравнение (А) написано при предположении с12Хг = 0, и в диссертации оно названо "кубическим алгебраическим уравнением репарамегпризаци-онной инвариантности гравитационного Лагранжиана" (КАУРИГЛ). Надо подчеркнуть, что вместо параметра Л, маленькие координаты х зависят от комплексной переменной г - это та же самая комплексная переменная, которая входит в определение эллиптической функцией Вей-ерштрасса (ЭФВ)
( - — V" Г 1 _ 1_
Р[Х) ~ г2 + ^ {х- и)2 и2 "
Ш ' л
ЭФВ и ее первая производная параметризируют следующие двумерные кубические алгебраические уравнения
у2 = 4х3 - д2х - дъ .
Последнее уравнение в алгебраической геометрии (см. монографию [7] русских математиках В. В. Прасолова и Ю. П. Соловьева) называется "параметризуемая форма кубического алгебраического уравнения" , которое параметризируется как х = р{х) , у — р (г) .
Так как полученное уравнение (А) КАУРИГЛ является многокомпонентным алгебраическим уравнением, а параметризуемая форма кубического уравнения является двумерной, то в диссертации специально разработан "многошаговый" математический алгоритм для параметризации и униформизации многокомпонентного алгебраического уравнения. Как
результат, доказано, что параметризация многокомпонентного кубического уравнения с функциями, зависящими от ЭФВ и ее производной, тоже возможна, но сами эти функции не являются эллиптическими.
С точки зрения возможности применения подхода алгебраической геометрии в теории гравитации к конкретным физическим проблемам, более существенным является тот факт, что отображение координатных систем (карт) имеет и физический аналог, которой связан с теорией Релятивистских Систем Отсчета. Пусть первое многообразие Mi будет то многообразие, на котором заданы координаты ха = (ct, хг) Барицентрической Системый Отсчета (Barycentric Reference System) с метрикой
ds2 = (-1 + c~22U(x))c2dt2 + dx2 + 0(c~2) ,
которая описывает гравитационное поле внутри Солнечной Системы. На втором многообразии заданы координаты Ха = (си, юг) Геоцентрической Системы Отсчета (Geocentric Reference System) с метрикой
ds2 = (-1 + c~22U(u, w))c2du2 + dw2 + 0(c~2) ,
которая описывает гравитационное поле в пространстве вблизи Земли. Теперь, ползуясь обычной трансформационной формулой для тензора второго ранга
dwцdwv дха дх?
а также т.н. "Пость - Ньютоновские Пуанкаре преобразования" координат
и = t + с"2 Qf2* - VkXk^j +
+с-4 Qv4* - iy w) + 0(c~6) ,
wi = (sik + с~2У{Ук) (:xk - Vkt - bk) -I- 0(c~4) ,
(Vk,bk - постоянные компоненты соотственно скорости и смещения), в работе С. Копейкина [8] была выведена формула для связи между координатным времене; t в Барицентрической Системе Отсчета (BRS) и
9ae{t,X) = gav(u,w)
собственным временем г в Геоцентрической Системе Отсчета (GRS)
dt - vkB(xk - хкв) I + 0(с-4)
г = t + с-2
t
1
2V% - UE{xB)
Эта сравнительно простая формула имеет фундаментальное значение для внегалактической астрономии и для радиоастрономии, когда первоначальное время распространения радиосигнала в рамках Солнечной Системы (барицентрическое время t) потом перевычисляется в собственное время системой отсчета, связанной с Землей (где находится радиотелескоп). Аналогичная формула получена также и в работе Томаса [9], где второй член в круглых скобках для орбитальной скорости Земли vE = 10~4с (индекс В обозначает небесное тело) и для растояния между двух VLBI станций Ъ = 12 km оценивается как
кг к кл VE-b i n—4 12000
где l//sec (1 микросекунда = 10~6 sec). Но при выводе этой важной формулы неслучайно были использованы "Пость-Ньютоновские Пуанкаре преобразования" , которые в принципе задают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета - такие преобразования давно известны по классической работы [10] Чандрасекхара и Кантополуса с 1967 года . Правда, в работе Копейки-на [8] эти координатные преобразования дополнены членами, которые квадратично и линейно зависят от пространственных барицентрических координат хг - таким образом, осуществлен переход от инерциальной барицентрической системы отсчета к квазиинерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Последная система является "квазиинерциальной" , потому что, согласно общей теории Геоцентрической Системы Отсчета, она испытывает приливные внешние воздействия со стороны Луны (и в принципе, хотя и в меньшей степени, со стороны других небесных тел Солнечной системы), и все эти воздействия учитываются в теории как пертурбации. Вся проблема теории состоит в том, что эти воздействия вряд ли будут связаны с "квазиинерциальной" системой отсчета - это на
самом деле идеализированное понятие, которое все-таки сыграло положительную роль для развитие теории. Дело в том, что уже в более современной геофизической литературе (см. обе монографии Ферронского [11] и [12] ясно показывается, что приливное воздействие Луны будет из-менята например инерчный момент Земли. Поэтому эти воздействия не надо интерпретировать как пертурбации, тем более что из-за приливного воздействия Луны
