Методы Галеркина и коллокации для решения объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения в задачах дифракции на диэлектрических телах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

004616945

МИРОНОВ Денис Алексеевич

МЕТОДЫ ГАЛЕРКИНА И КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2010

- 9 ДЕК 2010

004616945

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Смирнов Юрий Геннадьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Самохин Александр Борисович;

доктор физико-математических наук, профессор Плещинский Николай Борисович.

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова, г. Москва.

Защита диссертации состоится 16 декабря 2010 г., в 14 часов 30 минут, на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 при ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, копус2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Автореферат разослан «/£_» А^г^ф^х 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор

Задворнов О. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена решению интегродифферен-циальных уравнений, возникающих в задаче дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в задаче дифракции на диэлектрическом теле, помещенном в прямоугольный волновод, методом Галеркина и методом коллокации. Задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в волноводе являются актуальными в связи с применением результатов решения в электронике СВЧ, при решении обратной задачи восстановления диэлектрической проницаемости тела в волноводе, исследовании влияния электромагнитного поля на биологические объекты. Данное направление — предмет исследования ряда авторов (А. Б. Самохин, А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов, Е. Е. Тыргашников). Исследование этой области электродинамики привело к активному и успешному применению численных методов для решения задач дифракции. Однако при всем многообразии исследований до сих пор остались открытыми вопросы об обосновании и сходимости методов. Одной из важнейших является задача построения эффективных, высокоскоростных алгоритмов расчета, использующих современные кластерные технологии.

Цели работы:

- разработка методов Галеркина и коллокации для решения интегродиффе-ренциальных уравнений в задачах дифракции электромагнитных волн на неоднородных диэлектрических телах в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе;

- программная реализация на суперкомпьютере параллельных вычислительных алгоритмов, позволяющих эффективно решать интегродифференциальные уравнения.

Научная новизна:

- краевые задачи для системы уравнений Максвелла сведены к объемным сингулярным интегро дифференциальным уравнениям на диэлектрическом теле, доказаны теоремы о существовании и единственности решений для этих уравнений;

- доказана теорема о сходимости метода Галеркина для решения задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве, об однозначной разрешимости конечномерных уравнений метода коллокации для решения задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе;

- предложены и программно реализованы на суперкомпьютере параллельные вычислительные алгоритмы, позволяющие решать задачи дифракции на диэлектрических телах произвольной формы.

Практическая значимость. Большое практическое значение имеют параллельные вычислительные алгоритмы для решения задач дифракции, реализованные на суперкомпьютерных вычислительных комплексах и позволяющие решать задачи с высокой точностью и приемлемым временем ожидания результатов вы-

числений. Важно также и то, что возможно решать задачи дифракции на диэлектрических телах произвольной формы.

Реализация и внедрение полученных результатов. Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета'

- проект «Разработка методов суперкомпьютерного моделирования и GRID-технологий для определения эффективной диэлектрической и магнитной проницаемости нанокомпозитных материалов и наноструктур различной геометрической формы» аналитической ведомственной, целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)»;

- проект РФФИ 06-07-89063а «Субиерархические параллельные вычислительные алгоритмы и Программное обеспечение для решения трехмерных векторных задач электродинамики»;

- проект в рамках научно-технической программы Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств Грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпьютерных) вычислительных систем семейства "СКИФ"» (шифр «СКИФ-ГРИД») «Web-ориентированный вычислительный комплекс для решения трехмерных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и GRID-технологий».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах;

- URSI International Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS 2010), Berlin, Germany, August 16-19,2010 г.;

- научном семинаре кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета;

- научном семинаре кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, 2 работы - в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, содержащего 66 наименований. Работа изложена на 135 страницах машинописного текста, содержит 30 рисунков и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава посвящена постановке задач дифракции.

Задача дифракции на теле Q в свободном пространстве формулируется следующим образом. Тело Q характеризуется постоянной магнитной проницаемостью д0 и положительной (ЗхЗ)-матрицей-функцией (тензором) ди-

электрической проницаемости е(х). Компоненты г(х) являются ограничен-

__ Л Л — 2

ными функциями в области ¡3, ее £^(0, а также £ е Ь^ (0. Граница д<2 области Q кусочно-гладкая. Требуется определить электромагнитное поле Е, Н е 1^0) (здесь и далее ¿2(С?) ~ декартово произведение трех экземпляров пространства квадратично-суммируемых в О, комплекснозначных функций), возбуждаемое сторонним полем с временной зависимостью вида е~ш. Источник сто-

•0 3 3

роннего поля-электрический ток ] е ¿2 \ос ) с компактным носителем в М .

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

гоШ = -/юеЕ + }£, го1Е = коц0Н, хе!3. (1)

Если же тензор диэлектрической проницаемости является, например, гладкой функцией, то из справедливости уравнений (1) во всем пространстве следуют условия непрерывности касательных компонент поля при переходе через границу тела:

И|3е=[Н]|ае = 0. (2)

Кроме того, поля Е и Н должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности:

Здесь кй - волновое число свободного пространства (вне (2), ¿0 =со2е0ц0.

Задача дифракции на теле Q в прямоугольном волноводе формулируется следующим образом. Пусть в декартовой системе координат Р = {х: 0 < Х\ < а, 0 < < Ь, - °о < < +<х>} - волновод с идеально проводящей поверхностью дР. В волноводе расположено объемное тело <2 (0сР- область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью р.0 и положительной (3 X 3) -матрицей-функцией (тензором) диэлектри-

Л. А

ческой проницаемости е(х). Компоненты е(х) являются ограниченными

функциями в области (), ее ¿^ (0, а также е е Ьгл (0. Граница д() области Q кусочно-гладкая. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок волновода, д<2пдР = 0. В Р\<2 среда изотропна и однородна с по-

стоянными б0(>0), ц0(> 0). Требуется определить электромагнитное поле Е,Н б LajociP) (и, следовательно, Е, Н ), возбуждаемое в волново-

де сторонним полем с временной зависимостью вида е~Ш . Источник стороннего поля - электрический ток jg е Li ¡ос (Р) с компактным носителем в Р.

В области Ра К стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций. Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

rotH = -/соеЕ + й, rotE = го>ц0Н, хеР. (4)

Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности: поля Е и Н при |х3|>С для достаточно больших С > 0 имеют представление (+ соответствует +оо, - соответствует -оо):

где э 1ту0) >о или 1шу^=0, ку^ >0 и X®,

Пр (х],^) и У р (хих2) ~ полная система собственных значений и

ортонормированных в ^(П) собственных функций двумерного оператора Лапласа -А в прямоугольнике П := {(^ ): 0 < <а,0<;с2 <Ь} с условиями Дирихле и Неймана соответственно и = б] д/дх\ + &2 • Для коэффициентов разложений (5) имеют место оценки

ЖрКо/р =о(рт),р->«>, (6)

для некоторого т € N. Для Е, Н должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

Ег = О, Н„ (7)

Пусть также Е° и Н° - решения рассматриваемой краевой задачи в от-

А А Л

сутствие неоднородного тела О,, е(х) = е0/, хеР ( / - единичный тензор):

гоШ° = -/шбоЕ0 + «ЯЕ0 =/соц0Н°, (8)

с краевыми условиями:

Е?1ар=о,н®|ар=о. (9)

Эти решения могут быть выражены аналитически через j¿; с помощью введенного ниже тензора Грина. Решения не обязаны удовлетворять условиям

на бесконечности. Например, Е° и Н° могут быть ТМ- или ТЕ-модой этого волновода.

Имеют место результаты о гладкости решений задач (4)-(7) и (8}-{9) при более гладких данных.

Утверждение 1.1. Пусть е НХ1ос(Р). Тогда Е°,Н0 &Н11ос(Р).

9 Л 1 1

Пусть, кроме того, д£>еС , е е С (0. Тогда сужения Е \д,Н \де Н (0

и Е ¡р\д,Н1р\д€ Н11ос(Р \ О). Кроме того, справедливы условия сопряжения на д<2 \

[Ег]|ее=0, [Нт]|эе=0, где [ • ] означает разность следов с разных сторон д(). Аналогичный результат имеет место для задачи (1)—(3). Во второй главе описаны тензоры Грина, используемые для перехода к интегродифференциальным уравнениям, и основные свойства этих тензоров.

Диагональный тензор Грина Ое для свободного пространства, компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца с коэффициентом и удовлетворяют условиям на бесконечности, имеет вид:

СЕ =

в 0 0} , „¡к0\х-у\

О в О о о в

,С(х,у) = -1 6

4к \х-у\

X /

Выделив особенность в компонентах тензора Грина, получим:

-1 1

ед^оОО + ад, г=\х-у\1 в0(г) = —-= —.

4яг 4пг

уч

Диагональный тензор Грина Сг£ для прямоугольного волновода, компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в Р с коэффициентом £02 и удовлетворяют краевым условиям первого или второго рода на дР (обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных

составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода) и условиям на бесконечности, имеет вид:

оЕ =

(г1 0 0

0 0

0 0 4

Л

где

4 II 00 I п=0 оо т=1

II со X со Е

л=1 т=0

II оо Е со £■

л=1 т=1

Упт

В этих выражениях '¡пт =

е 7хп . пт лп . пт

---——соэ—х15\п—гх2 СОЭ—у1 БШ—у2,

Уй/я(1 + 80«) а Ъ а Ъ

е .л п пт .7хп пт

-вш—соз—х2 вт—у^ соэ—у2,

УИтО + 8пт) а Ъ а Ь

.тс п .7хт .7хп .7хт /1ПЧ -Бт—X) эт—х2 эт—у^т—у2. (1°) а Ь а Ь

Г \2 'тп) _г2

Ъ )

ко , при этом ветвь квад-

ратного корня выбирается так, чтобы Ьпупт > О.

Утверждение 2.1. Тензор Грина Ое допускает представление 1 е'ка\х~У\ „ „

аЕ=-

-1 + М(х,у), х,уеР,

(И)

4я |х-.,у|

где матрица-функция (тензор) g е С00(£}хР) и g е Ст(Р х 0.

В третьей главе осуществлено сведение задач дифракции к интегродиффе-ренциальным уравнениям на теле. Этот подход позволяет перейти от решения краевых задач в неограниченной области к решению уравнений на ограниченном теле, что позволит в дальнейшем применить методы Галеркина и коллока-ции для численного решения задач.

Пусть решения краевых задач (1), (3), (4)~{7) существуют и единственны. Перепишем (1) и (4) в эквивалентной форме:

ГОШ = -Л»Б0Е + \Е, го!Е =/юдоН, (12)

•О , .р

ГДе\Е=1Е+1Е-

В последнем равенстве = —¿(й^Е(х) - е0/^Е - электрический ток поляризации.

Нетрудно проверить, что решение краевых задач (12), (3) и (12), (5}-(7) имеет вид

Е = гшцо^£--~—8га<^ ¿1УА£,Н = го1А£, (13)

ИВЕр

где

А е= \ое(г)1Е{у)йу- (14)

Р

векторный потенциал электрического тока. Потенциал АЕ удовлетворяет уравнению

ААЕ+кс;АЕ=-}Е. Таким образом, потенциал АЕ, обеспечивающий выполнение требуемых краевых условий для полей, есть свертка с тензором Грина для уравнения Гельмгольца. Из соотношений (13)-(14) для поля Е следует интегродиффе-ренциальное уравнение

Е(*) = Е°(*) + £02 /5£(г)

+gгaddiv _[ (?£(/-) в

ео

Е(у)Ау +

Ч Е(у)ду,

(15)

т

где Е(у) = [у},Е2 (у),Щ (.у)) - вектор электрического поля; У = {У1>У2>Уъ) - точка в пространстве Ж3; / - единичная (3х3)-матрица; е(_у)/£о ~ тензор (относительной) диэлектрической проницаемости. Кроме

того:

Е(х) = Е°(;с) + £02 |СЕ(г)

гку)

-I

Ч

Е (у)6у +

+graddiv \<Эе(Г) <2

7" \

ч

Последняя формула дает представление решения Е(д;) в области Р\<2 \ б )> если Е(>>), у е Q - решение уравнения (15).

Вводя обозначение =

g(^) j £0 j

E(jy) для электрического тока

J^M^OVlOVaM) >откуда Е^^адад.е^)-

Ну)

\-1

-/

Ео

получаем уравнение в виде

JGjEJ(j)d>> -

-graddiv ¡GE{x,y)3(y)dy = E°(x),xeQ. (16)

e

В ряде случаев уравнение (16) (для токов) предпочтительнее, чем уравнение (для полей). Эти уравнения эквивалентны (при сделанных предположениях относительно параметров задач), и решения одного уравнения легко выражаются через решения другого.

Рассмотрим оператор, отвечающий уравнению (16):

АдJ = k$ ¡Ge (x,y)J(y)dy +graddiv ¡GE(x,y)j(y)dy. (17)

q q

Сведем полученное интегродифферендиальное уравнение (15) к объемному векторному сингулярному интегральному уравнению. Представим функцию Грина в виде

GE(r) = Go(r) + Gi(r) + G2(r),r=¡x-y iktf- _, , Go(r)= --Gi(r) = -—/, G2{r) = dmg{g\g2,g1},

где g¿, gg, g„ -гладкиефункции.

Переходим от интегродифференциального уравнения (15) к векторному сингулярному интегральному уравнению

(I + S-K) Е = Еи, где операторы S и К определяются по формулам:

(18)

(ЯЕХ*) = -

Ч

f" \

ЕО

(£Е)(х) = Jf(x,?) q

q

E(y)dy + jf2 (*,>>) q

E(y)dy,

fz(y) J v E0 j

Здесь тензоры Г, П, Тг имеют вид

(Т2)у =

дУОО

дХ]рХ;

Таким образом, решения краевых задач дифракции сведены к решению ин-тегродифференциального уравнения (15) или объемного сингулярного интегрального уравнения (18) (при этом тензоры Грина для этих двух задач будут различными). Имеет место теорема об эквивалентности краевой задачи дифракции и сингулярного интегрального уравнения.

Теорема 3.1. Пусть тело <2 с кусочно-гладкой границей д(? характеризуется положительным тензором диэлектрической проницаемости е е Дю(£?)

и г е Ь^{О). Пусть Е, Н и Е°, Н^ - единственные решения краевых задач (1),(3), ((4)-(7)) и (8)-(9) соответственно. Тогда существует и единственно решение Ее ¿2 (2) уравнения (18). Обратно, если Е е ¿2 (б) - решение интегрального уравнения (18), то формулы (12)-(14),(15) дают решение краевых задач для системы уравнений Максвелла (1), удовлетворяющее условию (3), и для системы уравнений Максвелла (4), удовлетворяющее условию (6).

Вопрос о разрешимости уравнения (18) устанавливается в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть однородное уравнение (18) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что

(19)

/ 1/2 на

С58 8ир 3 I е1п(*) * 2 <

хе£> /,я=1 е0 1 42]

Тогда уравнение (18) однозначно разрешимо для любой правой части Е° 6^(0.

Далее рассмотрим метод псевдодифференциальных операторов для анализа уравнения электрического поля (16). Обозначим:

2^1ь=о ((1-/М

te2 Û-ko Ыз Ыз §2§3

где

Уравнение (16) как псев до дифференциальное запишется в виде

aiГ = Е°, (22)

^ = 7^-3 (ë(,)_dt(4))J(y)4vd4, (23)

(2тс)

dt(Ç) определяется формулой (21). Полагаем, что

det(ê-/)*0,jceg (24)

(это соответствует физическим ограничениям) и 3

А(х)= cosа,- coscljBjj Ф 0, Ьц = (*), х е Q . (25)

им

Определим пространства Соболева:

Hs (Q) := |и|е : и е Hs (l2)| и H* (g) := |м е Hs (¡К2 ) : supp« с Щ . Теорема 33. Оператор А : H* (Q) —> Hs (Q), s à 0 , определенный по фор-

муле (23), является эллиптическим ПДО нулевого порядка приусловиях (24) и (25). Теперь сформулируем результат о фредгольмовости этого оператора. Теорема 3.4. Пусть выполнены условия (24) и (25). Тогда, если дополнительно выполнено одно из двух условий (26) или (27):

Ке5(х)у-у^(С2+1)|у|2,при хе<2 иС2>0, (26)

1ше(л:)у-у 2:С3(у|2, прихеб, (27)

то оператор А: Ь^ —> (£?), определенный формулой (23), является фред-

голъмовым с нулевым индексом.

В четвертой главе рассматриваются численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений. Для случая свободного пространства используется метод Галеркина, для случая прямоугольного волновода - метод коллокации.

Пусть X - нормированное пространство и и с X - нетривиальное подпространство.

Дня уравнения Ац> = /, (ср, / е X) в пространстве X метод Галеркина формулируется следующим образом. Приближенное решение ф„ е Х„ определяется из уравнения РпА(рп =Рп/ ■ Здесь е Хп (Хпесть «-мерное подпространство пространства X), Рп:Х ~>Хп~ оператор ортогонального проектирования на конечномерное подпространство. Пусть подпространства Х„ являются линейными оболочками базисных функций: Хп = 5рап{у[,..., у„ } . Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось деловые аппроксимации:

М ||ц/-ф|-»0, п —> оо. (28)

Уравнение РпА(рп = Рп/ эквивалентно следующему:

(А9п>Ч)х=(/>Ч)х> / = !,...,», где ( • , • )х ~ скалярное произведение в X.

Представим приближенное решение в виде линейной комбинации базис-п

ных функций: (рп = 2 скук ■ Подставив это представление в схему Галеркина, к=1

получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов : п

£ ск (А ук, V/ )х = (/, V/ )х, / = 1,..., п. к=1

Определение 4.1. Метод Галеркина будем называть сходящимся для оператора А, если существует число Ы, такое, что для каждого / е 1т Л приближенные уравнения (А(рп,У1)х 1 — имеют единственное решение <р„ еХп для всех п> N, и если эти решения сходятся ф„ —>ф при и —» оо к единственному решению ф уравнения Аср = /. Тогда имеет место квазиоптимальная оценка скорости сходимости:

||ф„-ф||<С М ||ц/-ф||.

уеХп

В рассматриваемом случае X = ¿2 (в) ■

Теорема 4.1. Пусть однородное уравнение (18) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что

е^вир хе<2

3

I

/,«=1

-8

е0

Чп

\1/2

1-1

и выполнено условие аппроксимации. Тогда для любой правой части Е° е метод Галеркина сходится для уравнения (18).

Таким образом, метод Галеркина для уравнения (18) будет сходиться при любом выборе базисных функций, обладающих условием аппроксимации. Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы Галеркина для рассматри-

ваемой задачи дифракции. Будем предполагать, что матрица \-1

/" л

Ш-1

ео

обра-

тима в Q,

ео

(£?)> I - единичная матрица. Будем рассматри-

вать уравнение (22).

12 3

Определим компоненты приближенного решения = (/„,./„,Jn) следующим образом:

к-\ к=1 Лг=1

где - базисные функции-«крышки», существенно зависящие лишь от переменной х-г Ниже проводится построение функций . Будем считать, что Q - параллелепипед: Q = {x^.a\ <х\ <й2> ^<х2<^2' С1 <х3 <сг) • Разобьем <2 параллелепипедами:

Пк1т = (х:х1,к-1 <Х1 <х\,к+Ь Х2,1<Х1<Х2,М> х3,т <х3 <хЗ,т+\}'> х1,к = а1 + °2~а1к, хг1 = + 2 2~Ь{1, хи = с, + 2Сг~Сут,

и п

где £ = /,/и = 1,...,и/2-1.

п

Обозначив А] :=[ - Я] ¿„] [, получим формулы для :

Лт ="

1—|,дгеП$/и,

2 3

Функции /ут , , зависящие от переменных х2 и х3 соответственно, определяются аналогичными соотношениями. Из определения базисных функций следует, что каждая компонента вектора приближенного решения обращается в

нуль на одной из граней . Построенное множество базисных функций удовлетворяет требуемому условию аппроксимации в ¿2(0 •

Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов удобно представить в блочной форме:

\А31

*12 Аз

*22

*23

д

1

В2 Вз

(29)

^32 ¿33

элементы колонок и матриц Ац определяются из соотношений:

вк-(Ео>/г)>

4= I ¡С{х,у)/Цу)/1к(х)ду<Ьс +

П4П( ду1 дхк

к, 1 = 1,2,3;/,У = 1,...,ЛГ. Предложенный метод Галеркина реализован для решения задач дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве.

Рассмотрим процедуру формирования матрицы коэффициентов в методе Галеркина. Пусть Q - куб с ребром к. Интегрирование производится численным методом по квадратурной формуле прямоугольников. Интеграл по паре кубиков

П®, П(2)

от функции /о (х, у) вычисляется по формуле

/ $ Мх,уУМу= £ /(х^^А3^, п(') п(2) к-т

где х = (х},х2,х3), У = (У\,У2,УЗ)> А2

п п + \

-ф + ^ + И.Л2

-| + ЬД, Л,

Здесь (4с\х(2с],4с)), (у$с),у[с\уР) - центры кубиков П(1), П(2). В случае совпадения носителей при интегрировании второго и третьего инте-

градов (29) возникает слабая особенность, поэтому при численном интегрировании в одном из носителей выбирается п точек интегрирования (метод прямоугольников с выбором средней точки), а во втором п +1 точек - по каждому направлению. Это приводит к избавлению от особенности за счет несовпадения узлов интегрирования.

Для уравнения Аср = / (ф,/ е X) в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение фй е Хп определяется из уравнения РпАуп = Pnf. Здесь q>neXn (Хп есть и-мерное подпространство пространства X), Рп : X -> Хп - оператор проектирования на конечномерное подпространство.

Разобьем область Q на элементарные подобласти Qt с кусочно-гладкими границами dQt так, чтобы выполнялись условия Qi =0 при 1Ф} и

Q = l)Qi ■ Выберем в каждой подобласти Qi точку (узел) коллокации х'. Рас-г

смотрим базисные функции vt- = jg * gg. • Пусть подпространства Хп являются линейными оболочками базисных функций: Хп -span{V[,..., v„} . Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось условие аппроксимации:

VxeX lim jnf ||jc-3c|| = 0.

«-» <яхеХ„

Проектор Рп:Х—>Хп определим так: (Pnty)(x) = ф(лг), хе . Заметим, что при таком определении проектора не определены значения функций (Рпц>)(х) при х 6 dQi, но это не будет важно, так как в рассматриваемом случае X = L^ . Уравнение РпА<рп = Pnf эквивалентно следующему:

(Aq>n)(xJ) = f(xJ), j = \,...,n. Представим приближенное решение в виде линейной комбинации базис-п

ных функций: = 2 ckvk • Подставив это представление в схему метода Ь=1

коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов С/,:

£ck(A4Xxj) = f(xj),j = l,...,n. Ы1

Основная трудность применения метода коллокации связана с тем, что в качестве пространства X рассматривается пространство в котором

значения функции в точке, вообще говоря, не определены. Таким образом, оператор проектирования Рп : X -» Хп определен не на всем пространстве

Хи не ограничен. Это приводит к тому, что нельзя применить стандартные утверждения о сходимости проекционных методов. Однако в нашем случае правая часть f является гладкой функцией и функция А(рп тоже будет определена в точках коллокации.

Рассмотрим вопрос о построении схемы метода коллокации для рассматри-

ваемой задачи дифракции. Будем предполагать, что матрица

{ * Ер) ^

обра-

V

тимав ,

Гкх) ^ 1

£0

еС(0, I -единичнаяматрица. Рассмотрим уравнение (22).

1 о

Определим компоненты приближенного решения Зп = (./„,./„,./„) следующим образом:

1 " 2 п 3 "

Л = £ вк/к(х)> ¿п = £ Ьк/к(х)> ¿п = Е ск/к(х)>

к=1 к=1 ¿=1

где - базисные функции-«ступеньки».

Проведем построение функций /д.. Будем считать, что Q - параллелепипед: 0 = {х:а, <х1 <а2, Ь1<х2<Ь2, с1<х3<с2}. Разобьем Q элементарными параллелепипедами:

Щт = Iх • х\,к <х\< х1,к+1> х2,1 <х1< Х2,М, х3,т < *3 < *3,«+1} »

х\,к = а1 + а2~°1(к -1), х2,1 = к +~(1 ~ 1), х3,т = С1 -1),

п п п

где к,1,т = \,...,п. Получим формулы для /к1т : /ш = *^

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в 1^(0) ■

Конечномерную систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов а^, Ск удобно представить в блочной форме:

Ами = Ь, (30)

( А а)2 а^

= а21 а22 ^23 II -О В2 ,и = Jг

^31 Л32 Аз) А) и;

ЛМ

где элементы столбцов В^ и матриц Ащ определяются из соотношений:

вк=Ео{хд>

¡-¿-¿(Х^уШУШ (31)

<2 <% <2 °Х1

а координаты точки коллокации имеют вид

= (*д»*д»*о) >хп =(к +и2)Кхц =(/2+1/2)^,^.3 = (/3 +1/2) V

¿з Л,/ = 1,2,3; = ... ЛГ = «3.

п п п

Таким образом, представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения сингулярного интегродифференци-ального уравнения.

Значения матричных коэффициентов действительно могут быть вычислены

в точках коллокации х' = (ха,хп,хп').

Утверждение 4.1. Существует константа М, такая, что для коэффици-

4

йМ, причем М независит от 1\, и

ентов (31) верно неравенство

и], К /■

Теорема 4.2. Пусть тензор £(х) е С(0) диагональный, вещественнознач-

ный и 8^(х)>Ео,хе(2 (/ = 1,2,3). Тогда существует Л^, такое, что при N^N0 решения уравнений (30) существуют и единственны.

Доказанная теорема 4.2 устанавливает разрешимость конечномерных урав-

А

нений в методе коллокации при некоторых ограничениях на тензор £(х). Заметим, что эти ограничения выделяют широкий класс диэлектриков, используемых на практике.

Рассмотрим процедуру формирования матрицы коэффициентов в методе коллокации.

Проинтегрировав компоненты тензора Грина по параллелепипеду

Ри,и ={(Х|,х2,х3>:¡1 <у-<ц +и2 <~<¡2 +1,/3 < —-^/3 +1} и обозна-123 \ Ьг А3

чив их через (32, (г3, будем иметь:

2 ¿-I 2

л и=1 т=\ Уптпт

хеш

\ * /

\ 2 ;

+

+

«=1 УОю"

я и=1ю=1 7птпт

. Г я. хеш

гО

+

пН\

я2 П=л 7«ош

I 2

о 00 СО /■О /" \

я л=1 /я=1

ь/и^Ъ-Л-г/ Л- , п иЯ2

хэт^—^-^8т(/яЯ2(/2 ^

Здесь Г2=т Я2=Ж

а о а о а о

Х1 = №1 > х2 = 72^2, я = , у2 = /2Л2, упт = ~ '

~(гз +1)%)уда,)-®р(-(хз -^)Гпя)). *3 >(г3

(2-ехр(-(*з -/3%т)-ехр(-((г3 +Щ -х3)ушг)), /3/$ <х3 <(/3 +1)%.

В представлениях для функций С2, (?3 аналитически суммируются медленно сходящиеся части рядов, что позволяет эффективно вычислять приближенные суммы соответствующих рядов (и все матричные коэффициенты (30)), так как оставшиеся ряды сходятся быстро (экспоненциально).

Рассмотрим свойство симметрии матрицы, получаемой при решении задачи с использованием метода Галеркина Для уменьшения времени на работу алгоритма программы и объема занимаемой памяти учитывается симметрия матрицы - достаточно вычислить и хранил, в памяти коэффициенты блоков ап и а12 ■

Вычисление и хранение только двух блоков матрицы уменьшает время вычисления коэффициентов и необходимый объем для их хранения в 4,5 раза. Общее количество коэффициентов блоков ап и ап матрицы вычисляется по

формуле n -тгр • 2, где т - количество интервалов разбиения всей области по одной координате.

Для упрощения передачи данных между узлами суперкомпьютерного комплекса все коэффициенты блоков аи и аи матрицы хранятся в одномерном

массиве {Л/} .

Учтена симметрия матрицы, получаемой при решении задачи с использованием метода коллокации.

Рассмотрим параллельный алгоршм формирования матрицы. Для получения численных результатов решения задачи дифракции использовался параллельный алгоритм для многопроцессорных кластеров и распределенных вычислительных систем. Неизбежность использования подобных алгоритмов вызвана большим объемом вычислительной работы. Последнее обстоятельство обусловлено, прежде всего, трехмерным и векторным характером задачи, ее численное решение приводит к плотным матрицам большой размерности (порядка тысяч и десятков тысяч), при которых эффективно (за приемлемое время) применение параллельных версий решения систем линейных алгебраических уравнений методом сопряженных градиентов. Однако большую трудность представляет не решение системы, а получение коэффициентов: элементы матрицы представляются либо через шестикратные интегралы (задача для свободного пространства с использованием метода Галеркина), либо через сложные двойные ряды (задача для прямоугольного волновода с использованием метода коллокации).

В пятой главе представлены результаты расчетов и особенности реализации программ.

Представлены результаты по вычислению коэффициентов матрицы, получаемой при использовании метода Галеркина. Для запуска программы были использованы вычислительные ресурсы суперкомпьютернош комплекса СКИФ МГУ «Чебышёв». Основное требование при запуске на кластере данного комплекса - определить до запуска время расчета, когда программа гарантированно завершит работу.

С учетом доступного объема оперативной памяти и рассчитанного значения необходимого объема для хранения всех векторов выбранное значение т не должно превышать 16.

Предложенный алгоритм был запрограммирован на языке С++, для распараллеливания алгоритма использовалась система параллельного программиро-

вания Message Passing Interface в реализации OpenMPICH для операционной системы Linux. Произведено несколько модельных запусков программы при разном количестве процессов. На рис. 1 показано время вычисления (в секундах) в серии модельных запусков при т = 4, п = 3 и разных количествах используемых процессов, где т - количество интервалов разбиения, п - количество интервалов интегрирования по каждой координате.

С учетом времени расчета при модельных запусках определено гарантированное время расчета т = 8, /7 = 10 при количестве использованных процессов, равном 100.

При заполнении блоков Аи и А п на суперкомпьютерном вычислительном комплексе СКИФ МГУ с использованием MPI-функций при т = 16, п = 10, с учетом дополнительных расходов системы на передачу коэффициентов между процессорами время на решение задачи составит ~ 1-2 суток при 1000 выделенных процессах. Если в течение этого времени возникнет сшуация, при которой хотя бы один процесс прекратит работу, необходимые коэффициенты блоков получены не будут. Программная система «х-сот», разработанная специалистами НИВЦ МГУ, предназначена для многопроцессорных комплексов. Основная цель системы - решать задачи в многопроцессорных средах, где возможно прекращение работы одного или нескольких процессоров во время решения задачи. Эта система оптимальна для решения задач, которые допускают разбиение на независимые подзадачи (в терминах системы «х-сош» - «порции»).

Программа с реализацией алгоритма вычисления коэффициентов блоков А u и А12 при т —16, п = 10 была запущена в системе «х-сот». Было задействовано 4000 процессоров. Общее время счета составило 6 ч 54 мин 23 с (24 863 с).

По данным статистики выполнения алгоритма в системе «х-сош» вычислено следующее:

1) доля эффективности системы только с учетом проблем на узлах (непосчи-танные порции) относительно идеальной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,86203 (86,203 %);

2) доля эффективности системы с учетом дополнительных расходов на качественное выполнение задачи (лишний счет порций) относительно идеальной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,96930 (96,930 %);

3) доля эффективности системы с учетом проблем на узлах и дополнительных расходов на качественное выполнение задачи относительно идеальной ситуации, когда каждая порция будет посчитана с первого раза и только один раз, составляет 0,83557 (83,557 %).

Применение системы «х-сот» позволило получил, коэффициенты блоков Аи и А п при т = 16, п = 10. Ранее это не удавалось сделать по причине большой вычислительной сложности задачи, и время на получение результатов было неприем-

лемо большое, даже при вычислении на суперкомпьютерном комплексе с применением функций MPI.

Программа для вычисления коэффициентов А1^ , получаемых при использовании метода коллокации в суммах рядов с количеством членов, равным 500, реализованная с использованием MPI-функций, была запущена на суперкомпьютерном комплексе. Количество выделенных процессоров на задачу -100. В табл. 1 показано время выполнения программы, запущенной два раза при значении т, равном 9 и 10 соответственно.

Таблица 1

Количество коэффициентов матрицы и время, затраченное

на вычисление данных коэффициентов при m = 9 и 10 соответственно

m Количество коэффициентов без учета симметрии Количество коэффициентов с учетом симметрии Время выполнения (ч)

9 47 830 19 294 1,30

10 90 000 36 156 2,44

После формирования матриц производится решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), для матриц большой размерности выбран итерационный метод сопряженных градиентов. На каждой итерации используется операция скалярного произведения векторов, которая позволяет равномерно распределить нагрузку по узлам в процессе решения на суперкомпьютерном комплексе, что, в свою очередь, ведет к эффективному использованию ресурсов суперкомпьютерных комплексов для решения СЛАУ больших порядков. Были использованы ресурсы СКИФ МГУ «Чебышёв».

На рис. 2 представлены данные о времени решения СЛАУ для задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве (метод Галерки-на) в серии модельных запусков (при т = 4).

0.35

а

m

25 20 15 10 5 0

123456789 10 Количество процессов

Рис. 1. Данные о времени выполнения программы (в секундах) для вычисления коэффициентов матрицы при модельных запусках (т=4, п = 3)

23456789 10 Количество процессов

Рис. 2. Данные о времени выполнения программы (в секундах) для решения СЛАУ при модельных запусках (т = 4)

Из рисунка видно, что на суперкомпьютерном комплексе с увеличением числа используемых процессов увеличивается задержка при вычислениях, связанная с особенностями работы операционной системы вычислительного комплекса. Использование последнего для решения СЛАУ с матрицами малого порядка неэффективно.

Представлены результаты по задаче дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе. В связи с большим объемом вычислений коэффициентов Ащ программа была запущена на кластере СКИФ МГУ. На рис. 3

представлено решение СЛАУ при а = 1, Ь = 1, с = 1, ко =1, £ = сйа§{2,2,2} и единичной правой части (метод коллокации): в данном случае абсолютное значение третьей компоненты поля Е в сечении х^ =0,55 ; количество интервалов разбиения т = 10.

На рис. 4 представлено решение СЛАУ при а-1, 6 = 1, с = 2, к^ =2,5,

£ = diag{2,2,2} и правой части

в данном случае абсолютные значения третьей компоненты поля Е в сечении = 0,9; количество интервалов разбиения т = 10.

Рис. 3. Решение задачи дифракции Рис. 4. Решение задачи дифракции

электромагнитных волн на диэлектрическом электромагнитных волн на диэлектрическом теле в волноводе при т = 10. Модельная теле в волноводе при т = 10 и падающей задача Абсолютные значения третьей волне вдоль волновода Абсолютные

компоненты в сечении хъ = const значения третьей компоненты в сечении

х3 = const

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Краевые задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе сведены к решению векторных сингулярных интегродифференциальньгх уравнений.

2. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости интегродифференциальных уравнений и соответствующих краевых задач три некоторых достаточных условиях.

3. Разработан метод Галеркина для численного решения векторного сингулярного интсгродифференциального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве. Доказана теорема о сходимости метода Галеркина.

4. Разработан метод коллокации для численного решения векторного сингулярного интегродифференциального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе. Доказана теорема об однозначной разрешимости конечномерных уравнений в методе коллокации.

5. Предложенные параллельные алгоритмы реализованы для решения векторных сингулярных интегродифференциальньгх уравнений для задач дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе на суперкомпьютерных комплексах.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Миронов, Д. А. Математическое моделирование с использованием мощных вычислительных комплексов / ДА. Миронов // Надежность и качество : тр. междунар. симп. / под ред. Н. К Юркова. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - С. 141-145.

2. Миронов, Д. А. Применение суперкомпьютерных вычислительных комплексов для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. -№ 3. - С. 55-62.

3. Миронов, Д. А. Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский региоа Физико-математические науки. - 2009. - № 2. - С. 14-24.

4. Миронов, Д. А. Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации! М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010.-№ 2. - С. 32-43.

5. Mironov, D. Analysis of Inverse Scattering in a Waveguide using the Method of Volume Singular Integral Equation / Y. Smirnov, Y. Shestopalov, D. Mironov // URSI Interactional Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS 2010), August 16-19. -Berlin, 2010. - P. 532-534.

6. Миронов, Д. А. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов / Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов Н Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50. - № 9. - С. 1587-1597.

ñf.f ■>'•■ У -

Научное издание

Миронов Денис Алексеевич

МЕТОДЫ ГАЛЕРКИНА И КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

01.01.07 - вычислительная математика

Редактор К П. Мухина Корректор Н. А. Сидельникова Компьютерная верстка С. В. Денисовой

Подписано в печать 09.11.10. Формат 60x84^/16. Усл. печ. л. 1,45. Тираж 100. Заказ № 678.

Издательство ПГУ 440026, Пенза, Красная, 40.

Введение.

1 Дифференциальная формулировка задач дифракции.

1.1 Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве.

1.2 Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе.

2 Тензорные функции Грина.

2.1 Тензорная функция Грина для свободного пространства.

2.2 Тензорная функция Грина прямоугольного волновода.

3 Метод интегро-дифференциальных уравнений для решения задач дифракции на диэлектрическом теле.

3.1 Интегро-дифференциальное уравнение электрического поля.

3.2 Объемное сингулярное интегральное уравнение.

3.3 Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля.

3.3.1 Задача дифракции и уравнение электрического поля.

3.3.2 Теорема о композиции, эллиптичность и фредгольмовость.

3.3.3 Уравнение электрического поля как псевдодифференциальное уравнение.

3.3.4 Эллиптичность и фредгольмовость ПДО задачи.

3.3.5 О компактности оператора Я.

4 Численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений. 47 4.1 Проекционные методы.

4.2 Метод Галеркина для решения интегро-дифференциального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве.

4.2.1 Метод Галеркина.

4.2.2 Метод Галеркина для решения интегро-дифференциального уравнения электрического поля.

4.2.3 Формирование матрицы коэффициентов в методе Галеркина.

4.3 Метод коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе.

4.3.1 Метод коллокации.

4.3.2 Метод коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения электрического поля.

4.3.3 Формирование матрицы коэффициентов в методе коллокации.

4.4 Учет симметрии матриц.

4.4.1 Симметрия матрицы, получаемой при решении задачи с использованием метода Галеркина.

4.4.2 Симметрия матрицы, получаемой при решении задачи с использованием метода коллокации.

4.5 Параллельный алгоритм формирования матрицы.

5 Результаты расчетов.

5.1 Результаты по вычислению коэффициентов матрицы, получаемой при использовании метода Галеркина.

5.2 Результаты по вычислению коэффициентов матрицы, получаемой при использовании метода коллокации.

5.2.1 Учет симметрии матрицы при использовании метода коллокации

5.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений.

5.3.1 Результаты по задаче дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве.

5.3.2 Результаты по задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе.

5.4 Замечания по отладке программ при использовании многопроцессорных вычислительных комплексов.

Задачи дифракции электромагнитных волн на рассеивателях с конечной проводимостью (на диэлектрических телах) имеют широкий диапазон применений в микроволновой технике, медицине, физике плазмы и в других областях. Задача дифракции на неоднородном теле произвольной формы имеет тесную связь с вопросами о влиянии электромагнитного излучения на биологические объекты.

Исследование задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрических телах является классической проблемой электродинамики. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение волн обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса - Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.

Благодаря работам А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условия излучения» (Зоммерфельд, 1912), состоящие в том. что вся энергия, излучаемая источником, должна уходить в бесконечность. Кроме того, следует учитывать особое поведение полей в окрестности края поверхности гонкого экрана. Первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости было дано Зоммерфельдом [1,2]. Уже это решение позволило сделать ряд важных выводов о поведении электромагнитного поля в ближней и дальней зоне, об особенности полей в окрестности края тонкого экрана, о поведении полей на бесконечности и т.д.

Релеем [3] рассмотрена двумерная задача возбуждения диэлектрического цилиндра кругового сечения плоской волной. Решение находится методом разделения переменных и представляет собой ряд по тригонометрическим и цилиндрическим функциям (ряд Рэлея), который сходится при всех значениях к0К, где = 2л IЛ - волновое число, Я- длина падающей волны, Я- радиус цилиндра. Если к0Я<< 1, то ряд сходится достаточно быстро. При к0Я » 1 сходимость ряда может быть улучшена при помощи преобразования Ватсона [4]. В резонансном случае (т.е. для цилиндров с диаметром порядка длины волны) ряд Рэлея сходится плохо, и для его суммирования необходимо применять специальные методы [5]. Методом разделения переменных получено решение для диэлектрического шара [6] и для некоторых других тел простой формы.

Решение задач дифракции на телах сложной формы невозможно аналитически, поэтому необходимо разрабатывать численные (приближенные) методы решения таких задач. Для тел, размеры которых значительно меньше или значительно больше длины волны, возможно применение асимптотических методов [7]. Однако в «резонансном» случае, когда размеры тела сравнимы с длиной волны, применение асимптотических методов невозможно, и приходится решать задачу численно с помощью современных компьютеров.

При этом необходимо решать трехмерные векторные краевые задачи для системы уравнений Максвелла в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных проблем в электродинамике и с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислении, что зачастую невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Многочисленные дорогостоящие пакеты прикладных программ для решения задач электродинамики (Апз!б, Ошкшауе и т.д.), имеющиеся на рынке программных продуктов, не используют кластерных технологий, решают задачу традиционными конечно-разностными методами или методами конечных элементов и не дают удовлетворительных по точности результатов. Несмотря на достаточно высокую цену предлагаемых продуктов, результаты, анонсируемые их производителями, сильно разнятся и не могут считаться надежными [8]. Последнее объясняется, прежде всего, отсутствием интереса у разработчиков ПО к данному кругу задач. Кроме того, указанные пакеты являются лишь модификациями программ для решения задач, связанных с техникой связи, и не имеют хорошего теоретического обоснования.

При решении краевых задач в неограниченных областях конечно-разностные методы и методы конечных элементов встречают принципиальные трудности: область, в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такая редукция области приводит к появлению неконтролируемой погрешности, причем размеры области для уменьшения погрешности должны быть достаточно велики. Конечно-разностные методы и методы конечных элементов в такой ситуации обычно приводят к очень большим, но разреженным матрицам (порядка 109 и более).

В качестве альтернативного метода решения задач в неограниченных областях применяется метод интегральных или интегродифференциальных уравнений. В этом случае задача сводится к интегральному или интегродифференциальному уравнению в области неоднородности, которая по размерам существенно (на порядки) меньше области решения задачи в случае применения конечно-разностных методов и методов конечных элементов. После дискретизации получается конечномерная система уравнений с матрицей существенно меньшего порядка (103 -104). До недавнего времени для задач дифракции резонансного диапазона не существовало универсального метода решения всех перечисленных выше задач, приемлемого с точки зрения вычислительных ресурсов, и для решения более общих задач приходилось вносить в их постановку различные упрощения, например, считать диэлектрическое тело «телом вращения» или заменять непрерывное распределение параметров среды кусочно-постоянным. Впервые объемные интегральные уравнения были выведены в [9]. В работах [10, 11] были приведены объемные сингулярные интегральные уравнения относительно вектора электрического поля, описывающие трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических рассеивателях. К достоинствам этих уравнений следует отнести простоту и универсальность учета неоднородности любого типа, т.е. анизотропии. Опишем кратко результаты, полученные в этих работах.

-г

Рассмотрен следующий класс задач. Пусть область Qc: К , ограниченная поверхностью 5, характеризуется произвольной тензор-функцией ¿(х), обращающейся вне <2 в константу - диэлектрическую проницаемость £0 свободного пространства. Магнитная проницаемость во всем пространстве предполагается постоянной. Требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое в данной среде внешним монохроматическим полем, представляющим собой либо плоскую волну, либо поле стороннего тока. Вводя электрический ток поляризации, применяя известные формулы векторного потенциала и теорему о дифференцировании интегралов со слабой особенностью [12], для рассматриваемой задачи получено [13] следующее векторное сингулярное интегральное уравнение относительно электрического поля:

E(*) = E°(*)-i j

Q\ £0 J g(*) j

Е(*) +

0 J

Е (y)G(r)dy+ (0.1) v

•P-i

E (y),grad X J gradxG(r)dy,

G(r) - exP(;/H)r) фундаментальное где и{г)-——-— - фундаментальное решение трехмерного уравнения 4ят

Гельмгольца в свободном пространстве, соответствующее временной зависимости ехр(—¿Ш), а Е°(.т) - известная гладкая функция. При достаточно общих предположениях о компонентах тензора проницаемости, оператор уравнения является ограниченным в пространстве и в П^] получена оценка его нормы.

Уравнение (0.1) относится к классу многомерных сингулярных интегральных уравнений, общая теория которых построена в [12]. Основные результаты этой теории получены для уравнений на многообразиях без края, поэтому для того, чтобы применить их к (0.1), необходимо предварительно определить продолжение оператора уравнения в ). В [13] такое продолжение построено, исследована его взаимосвязь с исходным оператором, и в явном виде выписан символ продолженного оператора (0.1).

Утверждение 0.1. Пусть компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны во всем пространстве. Тогда для того, чтобы оператор уравнения был нетеров в необходимо и достаточно выполнения условия з п!" X аг (в, ф)а/(в, ф)Еу {х) > 0,

0.2) где а}{в,ф) - декартовы координаты точек единичной сферы, е^ — компоненты тензора ё в декартовой системе координат.

Отметим, что требование непрерывности компонент тензора диэлектрической проницаемости во всем пространстве является принципиальным при использовании теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, поскольку эти функции входят в выражения для символа оператора (0.1). С использованием утверждения 0.1 и факта эквивалентности исходной дифференциальной задачи и системы (0.1), в [13] получена следующая теорема существования и единственности решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрике.

Утверждение 0.2. Пусть декартовые составляющие исходного поля и компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны по Гельдеру во всем пространстве, выполняется условие (0.2), а тензор системы (0.1) существует, единственно в ¿2(<2) и является классическим решением задачи дифракции, т.е. удовлетворяет поточечно уравнениям Максвелла и условиям излучения.

Для изотропной среды требование непрерывности диэлектрической проницаемости во всем пространстве удается снять. В [14] для системы (0.1) в явном виде построен регуляризирующий оператор, и теорема существования и единственности решения задачи дифракции доказана при выполнении неравенства л е(х)-£ (х) 21 положительно определен почти всюду в О. Тогда решение

1тг:(л:) > 1т .

0.3)

В [13] также проведено исследование системы (0.1) при минимальном требовании ограниченности компонент тензора диэлектрической проницаемости. При условии

Нх)-ё\х)-2/W

2 i обобщающем (0.3) на анизотропный случай, доказана теорема существования и единственности решения (0.1) в L2(Q).

Подробное исследование задачи дифракции в свободном пространстве на сложных диэлектриках с применением метода интегральных уравнений проведено A.C. Ильинским, А.Б. Самохиным и Ю.Ю. Капустиным в работах [15-17].

В работе Д.В. Савостьянова и Е.Е. Тыртышникова [18] рассматривается распространение электромагнитной волны в неоднородной среде, содержащей идеально проводящую плоскость. Вычисление значений электрической и магнитной составляющих производится сведением исходной задачи дифракции к объемному сингулярному интегральному уравнению в области неоднородности и применением численного метода Галеркина. Результаты получены с использованием ресурсов суперкомпыотерных вычислительных комплексов.

Метод интегральных уравнений находит применение и при решении других классов задач, например, в волноведущих структурах.

В работе Ю.А. Еремина, В.И. Ивахненко [19] рассматривается проблема моделирования царапины на стенке волновода. Исходная дифференциальная задача сводится с использованием тензорной функции Грина к интегральному уравнению, для приближенного решения которого построен и обоснован численный метод.

В работе Е.М. Карчевского [20] метод сингулярных интегральных уравнений успешно применен при исследовании проблемы о собственных модах волновода с размытой границей.

До недавнего времени главной областью применения волноводов и резонаторов была техника СВЧ. К основным вопросам, которые рассматривались исследователями, можно отнести следующие: определение собственных частот и волн для волноводов и резонаторов разной формы; исследование характера волновых процессов в волноводах и резонаторах; изучение влияния на поля потерь в волноводах и резонаторах и определение добротности; исследование диэлектрических, оптических и квазиоптических волноводов и резонаторов. Эти и ряд других вопросов исследованы в монографиях [21-23]. Наиболее полно математический аппарат для решения задач электродинамики применительно к волноводам и резонаторам исследован в работах В.В. Никольского [24 - 27].

В данной работе рассматриваются две задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в бесконечном прямоугольном волноводе. Несмотря на различные краевые условия, получаем однотипные интегро-дифференциальные уравнения, используя функции (тензоры) Грина.

Для численного решения задачи дифракции в свободном пространстве ' используется метод Галеркина. Выбор метода Галеркина обусловлен тем, что этот метод обладает большой устойчивостью к погрешностям вычислений. При его использовании получается плотная матрица с блочно-теплицевой структурой. При заполнении получаемой матрицы используются средства мощных вычислительных комплексов - кластеров (суперкомпьютеров), так как процесс заполнения при использовании ПЭВМ занимает неприемлемо большое время. Для запуска программ на кластерах широко используется реализация стандарта MPI [28] - OpenMPICH [29]. Показаны проблемы, встречающиеся при отладке и запуске программы, реализованной под

OpenMPICH и пути их решения. Показаны методы распределения данных для одновременного использования нескольких узлов. Получены первые результаты. Также для запуска программы заполнения матрицы была использована система «х-сош» [30] позволившая заполнить матрицу для исследований еще большего размера, чем реализация MPI.

В случае задачи дифракции на теле в бесконечном прямоугольном волноводе используется метод коллокации, так как при использовании метода Галеркина получаем проблему значительного увеличения времени заполнения (формирования) матрицы коэффициентов в конечномерной системе линейных алгебраических уравнений (на несколько порядков). В работе использовано аналитическое представление коэффициентов матрицы в виде двойных рядов с выделением (аналитическим суммированием) медленно сходящихся рядов.

В первой главе рассматривается постановка задач дифракции. В первой части рассматривается случай свободного пространства, во второй части -случай прямоугольного волновода.

Во второй главе описаны функции Грина, использованные для перехода к интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям.

В третьей главе получены векторные интегро-дифференциальные и интегральные уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле. Показана эквивалентность интегро-дифференциальной и исходной формулировок соответствующих задач. Доказываются теоремы о сходимости методов для решения соответствующих интегро-дифференциальных уравнений.

В четвертой главе описаны численные методы решения задач. В первой части исследуются проекционные методы, показаны основные утверждения о сходимости методов. Во второй части исследуется метод Галеркина, использованного для случая свободного пространства, в третьей части — метод коллокации для случая прямоугольного волновода. Доказываются теоремы о сходимости методов для решения соответствующих интегро-дифференциальных уравнений. В четвертой части описываются методы оптимизации на основе свойств симметрии получаемых матриц в использованных численных методах для сокращения времени вычислений и сокращения выделяемой памяти. В пятой части, в терминах стандарта MPI, описываются методы распределения вычислений для обоих случаев, а также, в терминах системы «х-сош», метод раздачи заданий узлам (только случай свободного пространства) для одновременного использования произвольного числа узлов суперкомпьютерного комплекса.

В пятом пункте представлены результаты работы программ по заполнению получаемых матриц, рассмотрены таблицы и графики производительности вычислений при использовании суперкомпьютерных вычислительных комплексов. Показаны численные результаты решения задач дифрации.

Результаты работы были использованы для решения обратной задачи дифракции на диэлектрическом теле, размещенном в прямоугольном волноводе - задачи определения диэлектрической проницаемости материалов [65], [66].

Заключение

Данная работа содержит следующие основные результаты:

1. Краевые задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе сведены к решению векторных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.

2. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений и соответствующих краевых задач при некоторых достаточных условиях.

3. Разработан метод Галеркина для численного решения векторного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве. Доказана теорема о сходимости метода Галеркина.

4. Разработан метод коллокации для численного решения векторного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе. Доказана теорема об однозначной разрешимости конечномерных уравнений в методе коллокации.

5. Предложенные параллельные алгоритмы реализованы для решения векторных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе на суперкомпьютерных комплексах.

1. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных в физике. М.: Иностр. литература, 1950.

2. Зоммерфельд А. Оптика. М.: Иностр. Литература, 1973.

3. Lord Rayleigh // Ph.Mag., Sc. Papers. 1918. V.36.

4. Хенл, Мауэ, Вестпфаль. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

5. Воронцов А.А., Мировицкая С.Д. Специальные функции теории задачи рассеяния. ~М.: Радио и связь, 1991.

6. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: И.Л., 1961.

7. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980.

8. Yakovlev V.V. Commercial ЕМ codes suitable for modelling of microwave Heating a comparative review // Proceedings of the 3rd international workshop. - Berlin: Springer, 2001. P. 87-95.

9. Хижняк H.A. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред // Ж. тех. физ. 1958. Т.28, №7. С. 1592-1609.

10. Livesay Р.Е., Chen К. Electromagnetic fields included indide arbitrary biological bodies // IEEE Trans., 1974. V.MTT-22, №12.

11. Yaghjian A.D. Electric dyadic Green's functions in the source region // Proc. IEEE. 1980. V.68, №2,

12. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

13. Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // ЖВМиМФ. 1990. Т.ЗО, №1.

14. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // ЖВМиМФ. 1992. Т.32, №5.

15. Ильинский А.С., Капустин Ю.Ю., Самохин А.Б. Математическая модель задачи дифракции на неоднородном цилиндрическом теле // ЖВМиМФ. 1998. Т.28, №9.

16. Ильинский А.С., Капустин Ю.Ю., Самохин А.Б. Метод сингулярного интегрального уравнения для решения задачи дифракции на неоднородном теле // Межв. сб. «Дифракция и распространение радиоволн». М.: МФТИ, 1998.

17. Савостьянов Д.В., Тыртышников E.E. Применение многоуровневых матриц специального вида для решения прямых и обратных задач электродинамики // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2006. Т. 7, №1. С. 1-16.

18. Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. Строгие и приближенные модели царапины на основе метода интегральных уравнений // Дифф. уравнения. 2001. Т.37, №10. С. 1386-1394.

19. Гуревич А.Г. Полые резонаторы и волноводы. М.: Мир, 1974.

20. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.

21. Григорьев А.Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ. М.: Радио и связь, 1984.

22. Никольский B.B. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967.

23. Никольский В.В. Математический аппарат электродинамики. М.: изд-воМИРЭА, 1973.

24. Никольский В.В., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983.

25. Никольский В.В. Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.

26. MPI: А Message Passing Interface Standart. Version 1.0. - University of Tennessee, May 5, 1994.

27. W.Gropp, E.Lusk. Technical Report ANL-96/5, Argonne National Laboratory, 1996.

28. Филамофитский М.П. Система поддержки метакомпьютерных расчетов x-com: Архитектура и технология работы // Вычислительные методы и программирование. НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004. Т.5. С. 1-9.

29. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖР, 1996.

30. Adams R. Sobolev spaces. New York.: Academic press, 1975.

31. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и Связь, 1998.

32. Цупак A.A. Метод Галеркина для решения интегрального уравнения в задаче дифракции на локально неоднородном теле в случае Н-поляризации // Труды математического центра имени Н.И.

33. Лобачевского. Казань: НИИММ им. Чеботарева, 2000. Т. 6. С. 240248.

34. Tsupak А.А. Vector integral equation method for diffraction problem in a cavity resonator // Processing and abstracts of 2001 Far-Eastern school-seminar on mathematical modeling and Numerical Analysis. Nakhodka, Russia: August 22-28, 2001. P. 200

35. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи математических наук. 1948. Т. 3, №3. С. 29-112.

36. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

37. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

38. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. / Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. -М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 31. С. 5-125.

39. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978 (переиздание: М.: Добросвет, 2005).

40. Ремпель LLL, Шульце Б.-В. Введение в общую теорию индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986.

41. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир, 1972.

42. Егоров, Ю. В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы — М.: Изд-во Московского университета, 1985.

43. Панич, О. И. Введение в общую теорию эллиптических краевых задач -Киев: ВищаШкола, 1986.

44. Мазья, В. Г. Пространства Соболева Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1985.

45. Kress R. Linear Integral Equations. Applied Mathematical Sciences. V.82. -Springer-Verlag. New-York Inc., 1989

46. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны M:. Радио и связь. 1988.

47. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

48. Жуматий С.А. Система анализа производительности параллельных программ на кластерных установках // Вычислительные методы и программирование. НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005. Т.6 С. 57-64.

49. Шилдт Г. Полный справочник по С++. 4-е изд. М.: Вильяме, 2003.

50. Дацюк В.Н., Букатов A.A., Жегуло А.И. Методическое пособие по курсу "Многопроцессорные системы и параллельное программирование" Введение в организацию и методы программирования многопроцессорных вычислительных систем. -Ростов-на-Дону, 2000.

51. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 55-71.

52. Миронов Д.А. Математическое моделирование с использованием мощных вычислительных комплексов. // Надежность и качество. Труды международного симпозиума. Россия, Пенза, 23-31 мая, 2005 г. -Пенза: ПГУ, 2005. С. 141-145.

53. Немет Э., Снайдер Г., Хейн Т. Руководство администратора Linux. -М.: Вильяме, 2004.

54. Немнюгин С., Чаунин М. Эффективная работа: Unix. СПб.: Питер, 2001.

55. Колисниченко Д.Н. Linux-сервер своими руками. 3-е изд. СПб.: Наука и Техника, 2005.

56. Smirnov Y., Shestopalov Y., Mironov D. Analysis of Inverse Scattering in a Waveguide using the Method of Volume Singular Integral Equation // URSI International Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS 2010). Berlin: August 16-19, 2010. P. 532-534.

57. Миронов Д.А., Смирнов Ю.Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов. // ЖВМиМФ. 2010. Т.50, №9. С. 1587-1597.