Методы группового анализа при построении и исследовании уравнения разветвления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Pro ол

'Ji.ii'w'XBO Bb'CSiiiiQ H ь^адщм. 0

rübtu D.L»Ln!rl J OOrjUlL 1ЙД

TaíKairrcKaít ГссудзссгБакнаа 7кд~ -,-CÎÏTST

азгорэфарэт /глссзр7ал!гя па ссис"^;г1э учзксЗ стапз"!

ÜWwGTvT

1 cUL'Tc! r'UJ.'.ir.trna ь

Кнсиггуте Математики жег,:

Б. ¡i. Fc"sso5íKcro Iîcsâçwjî Наук Респу&ликп УзСекистгн

'tîitî.i.i p¿ }»0B jjZ^lTt-^-b 13 • 1»(<зТ» л G** iv j,

Лсгкксв Борге Р^йдагарэвгч

ОМЩРЕЛЬККЭ оппскскты — ЛОКТОр ф!"..-KST. H8VK, jjpOjJóCCOp

З-зСЛуХбЕЕКЯ Л^-ЯТвЛЬ H3VKÎ' РОССШТ

Трвкогпк Еледплен АяспгЕКцроБгч

:-:;нд;:цат йиз.-кьт. наук, профессор ¿рппсв Кгргазд ЙЕрсгдяссБгч

Бедущя ортгк25£ЦЕЯ - V '.ептту? гкцродигашзз! ккекк

кгдеижа Б.А. Лаврентьева СО РАН

гаг '

¿IlX'CéTITSuIHÍ СОСТОИТСЯ ■ ^$ " Sl*-^ j-^c-rr i'. ь

J\ т-.-^í------ - ^ -i —- — - -- i'-rt- ^ TT Г);~>7 ОТ

f ______ f hi— —__. i— i. . . i i .i—; <i.p i—. ,-i t-. к > , i . !

4£L'Oiz T z' С П r 1Л1 о -ч1 '* 3 17p 0 HO : III С, Г О СОьОТЗ , -UL

npií TSEKr-K?CKí-M Государственном "HisepcirreTe пс адресу: 700095 ?. Тг'л>:ен~. Буггородок, ь'атематтгческиП факультет. ауд. 205. С дисс£р"ащ:&й !-'о:;:яо сззакоюттся б научной Си^жстеке

ТаНГКеКТСьОГО Г Г) С У H Î Ir -v р С i Т ê Т S ( ВуЗГСрОЛОК ).

Автореферат разослан <• ~7>-

Учгкü£ секретарь спецгглззгфовгккого сов?г<<

Д.ф.l'.K, / Ц?ГК4РЗВ с.

ОЩЛЛ ХЛРЛКТЕРКСТКГСЛ РАБОТЫ

В Д1КСерТаЦ1Ш ручается ПОСТрйОПИО общего вида урэвпот1Я разветвления по ого групп« симметрии. Осиогаоо вникание уделяется исследованию уравнения-разветвления бифуркации рождения цикла. Актуальность темы. Изучение бифуркации рождения продольного цикла - возникновение периодического автоколобатолыюго режима при потере устойчивости равновесия ( или стационарного движения ) -восходит к работам А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова (-1033 г.). С двумерном случае открыл бифуркацию рождения продольного цикла-из состояния равновесия при изменении парамотроп систота А. А. Андронов ( 13.30 г.). Условия рОлДОНИЛ НОрИОДИЧОСКПл рОшОНИИ в общем п - мерном случао пэлучеим Э. Хопфом ( 1342 г.). Для бесконечномерных систом исследование отсотвлонил цикла от равновесия проведено в работах; В. И. Юдовича, с использованном главного инструмента теории во талон кя - иотода Ллпунова-!!!мидта.

В фупдамонталыпгх работах- основателями теории вотвлонпл функционлльнше уравнений - A.M. Ляпуновым и D. Шмидтом - показано, что задача о ветвлении роионий нелинейных интегральных уравнений с янгшгтчоскими нолинейпостями сводится к исследованию уравнонпл разветвления ( УР ) - задачо вотплоиия решений систем ноявгагх аналитических функции.

! За последнее время под влиянием различных задач моханжи и

■Физики тооркя вотвлеиин интенсивно развивалась и ото привело к

;глубоким результатам в рядо eS проблом и, в частности, - одной из

I

!трудных ей частей - о ветвлении решений шлинойпых: уравнений с.

' ЯНЯЛИТИЧЙОКИМИ' 0перат^г,а""г ° uunmunntmu /-> пттпа

Наиболее важной причиной высокой размерности вырождения лш^'ргздлашюго оператора лг-ллотсл групповая сиымотрия

эволюционного уравнения по пространсгпошшм псромоппш. Далеко продвшутая теория ветвления роионий иолипсйигос уравнений с группой симметрии развита в работах D.D. Логиносп и В.Л. Tpoitoram. .Ими приводятся условия, позволяй,w осуще^таггь редукцию ( понизить порядок ) УГ, как по числу уравнений, так и но числу неизвестних в случав, когда исходное полгаюйпоо уравионио в банаховой пространстве инвариантно отпоситолыю непрерывной 1'рупш. Tillî, При ОПрСДОЛвЛЛКХ услогипх окогятпоотся, что DCG poiKOITKJ УР получ-мк/гсл из одного прообраг.оетаиямн ipyniiw ежмотрпи задачи. Доказано, что оелк лел'шойлоо уравионио инвариантно сгаосетолыю некоторой группы С, тогда отвочащоо ому УГ инвариантно отноептолыю той жо группы. Вопрос о построении общего вида .YP зад; с группой симмотрш рассматривался Б.В. Логиновым к Д.Саттипгором.

Р последние годи изучение бифуркации рождения цикла ( БРЦ ) рззрзба'пшаотся с учСтом групп симметрии. ПориоИ нвллотся работа Д. Гюэля, в ней доказана теоромл, позволяйся свости походную бифуркациоикую задачу с группой с;".;могр;;к G к конечномерной задаче, инвариантной относительно продставлбппй той жо группы Гассмотрои прммор бифуркации Хопфа d систомол с SO (2) симмотриой и примеры той же бифуркации для отображений, ивсариаитпи относительно О(п) и 0(2).

Математическое оггкеапио роалыак процессов, происходящих п биологии, химии, механике приводит к исследованию БРЦ с группой симметрии 0(2) ( см. обзор в диссертации ). Задача о вотвлошш и устойчивости пориодичоских по времони ровганий в динамических

снетомлх с KOMü.'iKviK)!! грулпоП спммотрпл изучалась !.'. ГолуСг.ц;;:-,:-'. г. И. С'ПЩУТОН. ДОКЛ^-'ПГЯ гжгатлриалталл тоорома ХОП'ХЛ О Oyi^CCTCOnailV": периодических решений, инвариантных отлосстолмго некоторой . подгруппы группы симметрии. Цель роботы.

1. Нд оскоьо . тоерсмп о молодо палил ЗТ групповой симметрии нелинейного урлглогшя и методов груплоЕого ллллпза пронести

1ЮСТрО<Ч1ПО ПОЛНОГО Об/ЦОГО РПДЛ УГСГЦ по ^опусклемой пм симметрии

плоских u прострзнстглнлнх криотпллогр-'зЯктчосжх групп.

2. Ропюшпть ряд прикладных дздпч, сг.лг.лппнх о отнгчеллиом гомоЛсп; периодических p^JüOHiii'i, ш:лппсл;мних г. кслеблтольпих системах, лаЛ>и;он;шд охглмотриоИ.

3. Ияй'Ш г«1<1окпаиГ|.то. • а оикслп чкслошшоК ро.члпелцкл пп ОС?.!, методы рошошш »ядач теории тпмоття.

«

Научная нопизна. В диссертации сдолпи д-пльпоШпиЯ гс.чг пл пути широкого прпмоноикя методов группового ппллпзл ди.±<1^ролцилльппх

УрЯМОННМ К построению II КСОЛОДогаКПЮ ПЛДЛч тлорг.и Г.птГ.ЛГ'Шт.

Предлагаемый подход к проблеме определения порподлчоеких по двум прострлнстшлнш переменным роаюикИ полпнаИлого урлвпоппл с группой симметрии поас.оллот полпоеть» описать neo сомп.Чстел pOüIOJIl'iíl исходи!¡x онолюциошп.« ургл-лопий. Тпссмптроа метод рлечото м>?лил poüionnü кр;юш.!х :г.лдлч для оЛгаюг.опких дп:'Г«Т'?рпц;цтл;1м:1.тх ypaiifiúliníl, ОТСетГЛНМЦИХСЯ ОТ ТрЛГ-ИЛЛМЮГО.

Практическая ценности. Получоилко п рлбото рог-ультлтп посполля/г значительно рлегпприть круг в-пдпч теории гогплоппл, для исследования которых оклм>ц}л;отся о'Тч^тпглнми методы гругаюсого анализа. Кроме того, мотод rpymi прооброзослииП предлзгакди^сл для

численного анализа УР предполагает возможность примоношт методов Рунге-Нутто. Зтот факт свидетельствует о ого простоте и экономичности при реализации на ЭВМ.

Лппробация работы. Результата исследований составляй:;их данную диссертацию, докладывались на 'сонфоронцик молодих учоных в ИМ и СС им. М.Т. Ур?збаевэ АН УзССР ( ими, 1303 г. ), на YI Всесоюзном коллоквиуме по методам группового анализа ( Баку, сентябрь 1003 г. ), на конференциях "Моделирование сложтк механических систем" ( ТашГУ, сентябрь 1031 г. ), молодих учонмх ИМ им. В,И. Романовского АН РУз (' ноябрь 1332 г. ), "Моделирование и исследование устойчгшости процессов" ( Киев, май 1993 г. ), "Механика и ей применении" ( ТашГУ, ноябрь 1333 г. ), яа объединенном семинаре отделов "ДкфТхэронниалиые уравнения" и "Некласс, ¡чеокие уравнения математической физики" под руководством Академика АН РУз М.С. Салахигдгаова и академика А1Г ТУз Т.Д.Длураова ( декабрь 1ЭЭ2 г. ), на научнпх семинарах д.ф.м.н., профессора, Заслуженного деятеля пауки Госсии В.А. Треногина ( Москва, Институт стали и сплавов, январь 1333 г. ), д.ф.м.п., профессора М.М. Хапаовз ( Москва, МГУ ф-т ВМК, январь 1933 г. ), член-корр. АН ГУз Н.!0. Сатжова ( ГаиГУ ф-т ПММ, октябрь 1333 г. ). .'

Публикации. Диссертация представляет собой развортзутое изложение материалов, представленных в работах t 1-7 ].

Структура работа. Диссертация состоит из вводопил, четырех глав v; списка литературы, содержащего 104 иошоновзпил.

СОДШГЛНИЕ ДИССЕРТАНТ К ЕЕ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В» ря'->дг,ции длотоя кратким оо'пор, по;;учо;п;:гл к настогадому ьромени,' результатов исследования в области вотвлсштл. решений нэлшюйних уравнений. Устанавливается круг задач, роягожю которых посвящена днссортаимл, дается краткое изложение содержания глав и параграфов работы, приводятся нообходшно продваритольпш сведения.

В глава I рассматривается задача построения общего вида УР БРЦ с симметриями плоских кристаллографических rpyini. Идоя такого построения основмплотся на тэоромо о паслодовакип .YP

{-» £Ги ?n

fj(-<J ], , з -» 2 групповой симмотрга

исходной нелинейной задачи В^ f( £,ji,r; ) - f ( А^, ц,с У

( здесь Рп - размерность :Г(В) подпространства пулой линеаризованного оператора, Зп - разморность дефектного

подпространства ), которая позволяет рассматривать многообразно F: / - /( ; = О в пространстве С . ¡caí: инвариантного

многообразия rpyimn £ ^g'^g }•

Теорема Л. Р. Овсянникова о представлении инвариантного многообразия группм симметрии с помощью полной систомм функционально независим!« инвариантов делает^ посможшал постросиио общего вида /С )

В силу инвариантности исходного полппейиого уравнения относительно сдвига по времени, ,УГ допускает группу врз::;оний СО(2) по каждой паре гюромошшх , Sju •

Пусть | XyiUp^iC) | _ алгебра Ли гафшгитозимальных

операторов соответствующей I - параметрической группы

I

преобразований | } и

Од О о

*о с с > - - е, — + \ ~Г - ■■■ - «2« — + \

01, * ох <-п о^

I '2 Zii 'Сн

О ■ д д д

+ — - ... +1гпду^

инфипитезшалышЯ оператор, порождотпшй симмотриоЯ' сдокга по времени. Если предположить, что ), . . . , 1г,Гл+п,_р ( С»/ )

{ т* - общий ранг матрицы операторов на многообразии F ) базисная система функционально независимых инвариантов £ В^; £0(2)

то многообразие F представляется как 0"(1д, ... , 1г(т+п>_г )=0.

б = >.2т и для построения общего вида- f ( £,|1.,Б ) должно быть

Г D(I)

выполнено условно rank. - = 2т независимости систомн

D (/J) ' инвариантов по переменным f,J~.

Всвду ниже УР продполагаотсл аналитическим. Но будем явно указывать зависимость f от параметров ц, е но являющуюся существенной для группового анализа . Слодуот считать, что коэффициента построешшх ниже систем разеотвлошш являются аналитическими функциями малых параметров.

Результатом § I является вывод двух тоором ( случаи 4-х и 6-ти мерного вырождения ) об опродолонил скотом развотплсшш для нахождения периодических по- двум прострзнствоштм • переменным решоикй нелинейного уравнения с группой скжотрш. прямоугольной решетки.

Теорема 1.1. Чотнролнорноо уравнение развотвлепил допускающее группу симметрии прямоугольной рошотки имоот вид

/ l la +

i>

* I '«¡U 4 [ Vr'^V4 «W^^W* ] - 0

, Р> Я J

fh ( С, [А, е ; в ра_; ;( г Е, ц, е ; - о,

где

Р, = (12) (34), Р2 = (13)(24), Р3 = (14) (23) - подстановки группы прямоугольника.

Возможно более высокое вырождение оператора В. Например л « dim Н(В) = G.

Тоорпн» 1.2. При п — 6, УР с симмотриой прямоугольной решетки

: В = dlae I t.et*<*iaa!+niPa2>J, Le'-^'VVW7, е я [ ' '

£ gf-l itHjOta^-«jP^g) J ^ If-m^icij+njPag)] £ ei-l(-n?cia.(-т^рс^) J

Z5e[i[v:l2ai)]. [5ef■1[Vиl,,, Z0ct[l[-mi2ai)]. X6c[-i[~n2itai)] } P1 = (12)(34) (56), P2 = 03)(24>(%), P3 = 04)(23)(5G) Рл = (1532G4), РГ) = (14G235)

име'ет вид

Vй р

с

ОМ'УЛЫше млаилгш находятся из у слоги л

/уС.р.е » s Pk l /,(С.|1,Е ) = О h =

• _ Осноьпнм содор^шюм каждого из- пяти последующих параграфов нерпой главы является вмвод подобних теорем. В силу краткости изложения, ограничимся лишь порилислепиом, получошшх результатов: ! - 'используя инвариантность ЗПР отпоептольио подстановок группы вращений треугольника, р j 2 догспг.иппотся, что компоненты сектора определяются фактически одним элементом. . - § 3 посвящен изучению систем разветвления. обладающих смметриеИ врзщониП-отражений • квадратной рсыотки. Исследовано соотношение, опроделлицоо бифуркации длл nf - п2 и л( / и Йорядки вырождения равные 4-м к 0 - ми соответственно.

; - в 5 4 проводится построение .ТР инвариантного отлоситольпо представлении группы шестиугольника. ■ Рассматривается случай шестимерного вырождения линоаризолаплого оператора.

- Для построения УР решений, шгарлалтлж относительно нормальных- долитолой длепротной подгруппы слодует поройти d подпространствах нулей 1Г(В) линеаризованного оператора к.базису неприводимых относительно соотпотглт/пцоа дискротлой группы подстановок шварканти подпространств. В 5 С доказали леммы о разложении IÎ(B) :

в случао гексагональной екммогрш - б прямую сумму двух одномерных инвариантных подпространств и двух дсуморпкх; .....в с луч«« трушш ешмйтрш лоыдрйта ' в прямую "сумму дь„'

опном^рн^гу и о ля о го цт)1гчлгчт»л'гп 1титюптяап'таг-пг птоплото nvnn ti

- a G посогацон исследовании УР ПГЦ с дискретными группами еимметркк. Полушнше результат: прокл.тлгтрт^50ваин на примере построения УР решений с группой еккметрж ромбической рсястки.

В главе 2 рассматривается задача построения общого вида . вещественного УР = О. £ = ( ) по группо

. : Ае = diog | exp tt<l/rq>J, охр (-К1 ¡,ц>1, ...

схр [Kln ,4>h охр Г-К1п .(]>} 1

О В J

пп - dim Н(Вд) ииндуцированкой в If (В) трехморными сдвигами

L^ и( х,ц,7, ) и( хт]Г ij>ap, zia3 ) и группой симметрии С элементарной ячойгш П0-

В случае простой кубичоской роиотки: п равно числу прод-

° о

ставлоний целого з = 11.! в виде сумми квадратов £ a: и при

J i=t *

действии группн куба Оп баеис в г,'(С(1) порождаются о длим элементом. Тогда всевозможные значения являются делителями !Од! = 48: 6,8,12,24 и 48.

В 5 I строится УР для пе = б в вида

) s /^J-.ji.e ) = О, k = pTG

'P, =Gi3)2' P2 = C43>' Рз=С(4)3' P4 = Cf'3' Р5 = Сдг>-

1 pt - подстановки индексов У i, внражащио дойствио

элементов групп« 0^. : В 5 2 доказана аналогичная тоорома в случае вырождения п - 8.

Хотя исследования Ляпунова возникли в связи с извостлой проблемой о фигурах равновесия вращапцойсл жидкости, они ( а также исследования Э. Шмидта ) нашли примоионио в других областях, в частности, в теории лолипойнкх колебаний.

В глава 3 исслодуотся бифуркация рождения цикля в

колебательных скотомах, наделенных симметрией. К отысканию

периодических решений пригоняется метод Ляпунова - Шмидта.

5 I посвящен отысканию одпопарамотричоского сомойстга

периодических решений уравпонил, описпвагоцого колебания маятника: г

ал Лг -— + б!п г = с /( г, - > (1)

м • «

ОЙ

где ¡(г,-) аналитическая, боскопочно диффоронциируемая в

< некоторой окрестности П точки (0,0) функция, е - малкИ положительный параметр.

Ответвляющееся от г = О решение рассматривается

как решение системы

(I х

-= В х - Щх.е) (2)

а г

предположении, что нелинейность в (I) достаточно "слаба", т.о. функция синус с достаточной степенью точности может бить заменена членами разложения в ряд.

Пересеченно споктра линейного оператора В с мнимой осью состоит

■ из пары копечнокрзтних собственных значений ±£. Нолипойный

оператор К(х,е) аналмтичон по совокупности поромеингос в

окрестности нуля, причем К(0,0)=0, II (0,0)=0. 1 х

| Автономность (2) предполагает инвариантность относительно

группы переносов по I.

Заменой поромонных í « 1/(И\1), х(и = у(%) задача

нахождения малых ( 2г,с / (1+\1) ) - пориодичоских рошоний (2), где

ц - р. (е) —» 0 при е —» 0, сводится к отысканию 2к-

периодических решений .уравнения., с'дгумя мслими параметрами е,;

йу Сц

й% йх . 1

Здесь и - Фродгольмов оператор с дпумпркподпространство:! пулой.

Примоноиил лс-ммн Шмидта rrpn.i07.1vr к падачо тоорпп вотплонпл в

двумерном случае, ютвзрляптаоЯ относительно одцопаромотрпчсской

групгш перокосов по т. Послодаоо обстоятельство позволлот

редуцировать соответствующую систему .УР к одному уравнению и

выписать асимптотику малого рсаюпнл.

В 5 2 изучается бифуркация Андропова - Хопфо с симметрией

квадрата В в системе осцилляторов Вап-дор-Полл: - г 2

х = -х + ( 1. - а: - оу ) х

г 'Р. (4) у = -у /- ( X - у - аг- ) ц '

При изменой;-»; X в окростпости нуля, имсот мосто СГЦ с

симметрией П.. Паблюдаемий ро;;;им

гакжо и от некоторого

Перошсав (4) в виде

И

нетрудно устзн.шить,

параметра а , однако,-он ко играет существенной роли в плоскости ветвления (х,у ,\).

У = я-г.т/.х

что система инвариантна относительно преобразований групп« Пд. I : (х,у) -* (.х,у) /(х.у.Х) = /(х,у,Х) г., : (х,т/) {у,т.) ;{]),£,X) = !{Х,]),Х) Т..г : {х,у) -» (~у,х) /(.-у,х,Х) = /(х,у.\) Г.3 : (л:,у) — 1-х,у) /(-я,.у.Х> = /(г.уМ Воспользуемся зпквялонтной (2) формой, записанной в покторпом видь

(5)

в =

г о 1 0 0

-1 0,00 0 0 0 1 о 0 -1 0.

о

г г (-Хгх] >ах3 )хр

г

(.С-^+Хд ■юх1 )хА] г

(х1)

ТТтглит. и - С М Л Л 1 )|

П Л "1 л(-\г;лтго£тллте>

векторы оператора В, отвочащио собственным значениям ± * соотвот с,/тонне. Представления (5) позволят' опродолить к слодущие собственные векторы = ^».з

Однако, базис собственных подпространств составляют лишь и., и.

*

поскольку (4) влечет сшжонгго кратности каждого собстсоппого значения с 4 до 2-х и полученные с помощью преобразования группа собственные векторы, являются липоГшо зависимыми.

Проводится построение глэолой част УР ( с отброшонпыш, начиная с четвертого порядка, членами ) к описан способ нахождения рошоний.

Показано, что при переходе параметра через критическое значение эта задача сводится к отысканию унитарных ( равных по модулю единице ) корней полинома восьмой стопони.

Потеря устойчивости тонкого упругого сторжпя или колонии, вызванная сжимающим осовш давленном, продставляот собой , возможно, простейший пример явлония бифуркации. Его анализировали Эйлер, Сернулли, Лаграпж. Один из врсмозпгах подходов к задачам подобного рода основан на примопопки тоории ветвления. Поскольку, задачу отыскания ' малых рошолкй двухточечных краевых задач для обыкновенных диЗфэропциальпых уравнений ( ОДУ ) можно свости к эквивалентной задачо отыскания малых решений уравнения разветвления, построенного методом Ляпунова - Шмидта.

В глава 4 на основе метода преобразования нолииойных граничим задач к задачам Кош и итерационного метода рекопия аналогов УР строится числонпал модель задачи о малых изгибах

гтоил тлоаМпплг» ✓«готгпа гтлтт ттоМлфгшом ттлофлапрп*» иагпиотп»' л

различными условиями закреплении.

Суть метода заключается в следующем. Сначала задается группа преобразований, далее требуя независимости ДУ от параметра преобразования и полагая последний равным нодостащому начальному значению, находим коккротиоо преобразование, позволяющее свести грашгчпую задачу к задачо Коми, что предполагает возможность применения методов Рупго-Кутта.

В 5 I главы разыскивается риненио Д7 второго порядка

>'(з) i Тх(с>)/- 1

. x(s) i r,i;(r>)V■ 1 - х (а) --- О (G)

при значении нагрузки Р близкой к критической сило Эйлера, при двух различных условиях закрепления

а:(О) --О, л:(1) - О х(О) =0, х' (1) - О После применения группи преобразований х = а у. а = a t приходим к задаче Кош

/-~

II (I) + Ту(Ы 1 - к*у Си = О (7)

X* = '

с соответствующими начальными данными

у(0) - О, у'(0)=1,

у(1) = 1, у'(1) = о.

Связь (О) и (7) определяется соотношением ау(1;Х*) ^ 1 - Х*а~г, либо ау(0;\*)=1- Л'сГ2. После чего проблема поиска нетривиальной ветви решения сводится к рошонию аналогов УР

п Г ) н У( 1-Х ) = О

?{ я* ) в у( о;\* ) = О

которое может быть осуществлено с помоцыо итерационного процесса, обладающего кубической сходимостью. , В § 2 рассмотрены краовио задачи для нелинойного ДУ четвертого порядка, опкешаэдио сторжповыо систоми с болоо общими условиями закрепления

. х (о) - Р^х(о) + 4х(аДс (в) v- х (з)х (а) Л = О

Для построения' задачи Коми пообходимо двукратное применение

группы преобразований, что приводит к рпзрошогато системы аналогов .УР

п * "п+ 1 (к*) 11

¡с». 11*

( f' ] f( « ) W > = {V KK >- v >}

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить признательность научному руководителю профессору Логинову Борису Владимировичу за продоставлонио томи исследования и постоянное внимание в работо над ной..

Основные результаты диссертации в вида работ:

1. Азизова A.A., Кузнецов А.О., Логинов D.D. Мотод групповых преобразований в двухточечных краевых задачах о сторжпових системах. // III Коллоквиум по групповому анализу ДУ. Баку. 138Э. Тр. конференции. С. IÖ-30.

2. Азизова A.A., Кузнецов А.О., Логинов Е.В. О мотодо расчога форм изгиба стержней, основанном на .построении вспомогательной

задаче Коши. // Тр. конференции молодых учелых ИМ и СС им. М.Т. Уразбаева ЛИ Уз ССР. 1339. С. Г5-13-

3. Аздаопа A.A., Кузнецов Л.О., Логинов Б.В. Метод групповых преобразований при расчета;; форм изгиба стержней. // В кя. Краевые задачи для диффэронциольнпх уравнений смотанных типов. Ташкент. ФАН. 1330. С. 27-34.

4. Азизова A.A., Ким-Гян Л.Р. Поведение развотвллщихся решений в задаче о колебательных движениях. // Конф. "Модолирова-* ни'е сложных механических систем", ТэшГУ. 1001. Тез. докл. С. 8.

5. Азимова A.A. Построоппо уравнения рлзлотвлонил бифуркации рождения цикла с симмбтрпой крястлллографичоских групп // Доп. ' В ВИНИТИ. 1ЭЭ2. 74с.

6. Aziz ova A.A. Branching equation о i Ilopr bifurcation In com! Шопа о Г a group ny.игле try. // Копф. "Модолированио и устойчивость процессов", Киев. 1333. Tos. докл'. С. 5.

7. Азизова A.A. Бифуркация Хопфз в колебательных системах с симметрией. ff Конф. "Механика и о5 приложения". ТааГУ. 1333. Тез. докл. С.4.

А Н Н 0 7 А Ц II Я

Амалда б арча физик ва тздботу;:: масалалар у Ски бу гуру:;иМ симмотрияга зга.Рлфуркациллзриклг тэдбэт/лй'масалаллрдяги ну^с.; урни анк^ланади.

Дкссертацияда гурухлаб тахллл гаш;;;! усуллари ностационар холдаги. тармоцлалкш тонгламаларни тузил ва тоюи;ришга к^улланилгал.

Иинипг лсосий натижалари 1>уйндагилардол лборат:

- MK3HKCW3 TonrjiawDJiap rypy^wR cwMMOTpwficKiiMir Tapwoi^aisisa TGnrjiaMajiapim Mapocjiaui xaiaiflara ToopoMa acocima tokmc ca $a30Bii£t KpMCTajmorpalMK rypy^apiaiHr cuMMerpwii rypy^H (Jyiliiwa CPU, TTmmr Ty^ra; yMyMitil KypiiraiiM Kouia-icoT Kypujiaflw.

- EPi{ i Cyilma Ky'iKpiiii! rypy^iira nmSman raiBspwaitT Oy^ran AHiiaMiuc cHCTGMsiflapAa TeKEiMpvuiran.

"ijHOKapTCpi'Mran" cHCfOMami Toicaiipwa icypcaTannic«, ynyMiifl Kypuraiuiara uMKJiapim 'ronwu camraviirai ^,apa;,;a;;n nojumoMimur K^nwsjiapvniH 'roroiiaKa ojihS iceJiraiaflM.

- O/P'Hwur Tj)iiBHa-i jf;o;i,naii TapHo^anyDW hkkm nyKTajui MorapaEKll HacaJiapHiuir ichhkk SmiMJiapHHH jjiicotfjiaro ycyjin Taic-nraJ) iauiiuiraii.' MorapaBHl-l Maca-naprai Capon-Cup rypy^aan wyatlrai a^Manmipraajm axpatm.0 ojii-i'ii Gp^aMtyyi icoiiih Maca-nacwra lCGJirapmira acocjianrau oy ycyji Pyiire - KyT?a ycymiHH iy/juiaiivrji KywKraiJiuraira nasap^a TyTajw.

t

A II If 0 T A 1 I 0 If

t'rjc' U-aJly all physical and applied problems allow conic group symmetry. Important role of bifurcations rnako cloar In applications.

In tills thesis group analysis method a are applied to construction arid Investigation of branching equations ( BEq ) in nonstatlonary case.

Main results of tills work can be characterized by following statements:

- on ,tho base of the theorem about Inhcrltcnco of group symmetry of original nonlinear equation by corresponding BEq and group analysis methods the construction of full general form of

¿¿л] Гог ::opr btrurcation on allcvrU:£ •>. p¿.i;;<; or

spatill crystallographlc groups is mátíñ.

- liw Inv^.TUçatlon o" Andronov - ID.;. " j lliu. t ion In л. "Uating dynamical sys tesis invariant reli._j.vo to shirts by t

. .nsidered.For the caso оГ additional D>(- sj-ir.etry stydlng or tlie truncated system shíwrs tliat the рпочо.т, or rinding о Г cycles or general lora Is reducir^ to loori Гог the roots oZ some polynomial of eighth ctegreo.

- the method of definition оГ err,all so'utlons bifurcating Ira. trLval one of two - point boundary value problems lor ordinary differential equations la suggested. It is based cn reducing of boundary value problems to Gar,shy problem- -.vlth the aid or group transformations and gives tK> possibility of application o" Runge - Gutta' se'hods.

"he applications to rinding ЪиеЛсИпз fonr.s оГ roads sy.: ж .re given.

Отпгчетяно в МВГП "Мензаре тареж 5Ü экз. Зак3S?