Методы компьютерного анализа некоторых динамических систем классической механики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1. Вероятностные эффекты в динамике твердого тела

1.1. Задача о вращении твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущающих моментов

1.2. Падение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Вероятностные эффекты и притягивающие множества

1.3. Динамика саней Чаплыгина на наклонной плоскости

2. Уравнения Лиувилля. Адиабатический хаос

2.1. Гамильтоновы системы с полутора степенями свободы. Скачки адиабатического инварианта и адиабатический хаос

2.2. Динамика твердого тела с медленно меняющимися параметрами

2.3. Расщепление сепаратрис и условия адиабатического хаоса

3. Численные методы в динамике вихрей и задачах рассеяния

3.1. Введение.

3.2. Уравнения движения и первые интегралы для вихрей на сфере.

3.3. Хореографии в движении трех и четырех вихрей на сфере

3.4. Хореографии п одинаковых вихрей.

3.5. Возмущенное движение частиц жидкости в системе двух вихрей с противоположными интенсивностями.

3.6. Задача о трех притягивающих центрах.

Во времена формирования и разработки общих принципов динамики твердого тела, в так называемый классический период, первостепенным по важности считалось нахождение случаев, фиксируемых ограничениями на параметры и начальные условия, явной разрешимости задачи в квадратурах; в современной терминологии — интегрируемых случаев.

Случаи интегрируемости обычно связывают с именами их первооткрывателей. Среди них — известные западные математики и механики — Г.Кирхгоф, А.Клебш, П.Аппель, Ф.Брун, В.Вольтерра, крупные достижения принадлежат русским ученым — А.М.Ляпунову, В. А. Стеклову, Н.Е.Жуковскому, С.А.Чаплыгину. В этом смысле динамику твердого тела можно рассматривать, как область наиболее богатую содержательными задачами, составляющими «золотой фонд» современной динамики.

В классический период кроме нахождения первых интегралов особенно ценилось также получение явного решения в различных классах функций, в основном элиптических. Особых успехов здесь добились С. В. Ковалевская, В. Вольтерра, Г. Альфан, и их техника до сих пор во многом является непревзойденной.

В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А .Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамиль-тоновой динамической системы [1]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений.

Основные уравнения динамики твердого тела в общем случае также являются неинтегрируемыми, а значит обладающими сложным непредсказуемым поведением, изучение которого составляет предмет новой области исследований, называемой детерминированным хаосом. Систематически эффекты неинтегрируемости в динамике твердого тела обсуждаются в монографии В. В. Козлова [2]. Важное значение этой монографии состоит также в том, что в отличие от стремления классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем.

Новый этап в развитии динамики твердого тела наступил с появлением компьютерной техники. В некоторм смысле, даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой, в принципе, возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации «особо замечательных» решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования стало возможным получить ряд новых результатов даже для такой, казалось бы, полностью изученной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева—Чаплыгина, решения Бобылева—Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически, но уже после их компьютерного обнаружения. Примером того насколько могут быть громоздкими и трудоемкими аналитические выражения могут служить формулы для долготы и широты паралакса Луны, которые получил Ш.Делоне. Каждая формула размещалась на 200 листах печатного издания, и на их вывод Ш.Делоне потратил двадцать лет своей жизни [3]. Следует также особо отметить возможность анализа движения в абсолютном пространстве, при численном решении уравнений движения, который ранее практически вообще не производился.

Некоторые любопытные движения, имеющиеся у интегрируемых волчков, возможно, способны вызвать конкретные идеи по их практическому применению. Можно напомнить, что, например, открытый более столетия назад волчок Ковалевской до сих пор не нашел своего применения, именно потому, что о его движении, несмотря на полное решение в эллиптических функциях, было, практически, ничего не известно.

Компьютерные исследования заставляют во многом «произвести ревизию» и понять истинный смысл аналитических исследований. Если некоторые аналитические результаты — типа разделения переменных оказываются очень полезными для изучения бифуркаций и классических решений, то их дальнейшее «развитие» до получения явных квадратур (через ^-функции) является практически бесполезным.

Относительно ценности результатов классиков в динамике твердого тела ряд сомнений был высказан еще в 70-х годах прошлого столетия [1]. Эпоха веры в безграничные возможности вычислительной техники породила убеждение, что все эти результаты являются бесполезными, и достаточно мощный компьютер способен спрогнозировать движение на любом интервале времени с достаточной точностью. Однако факт экспоненциально быстрого разбегания траекторий (связанный с неустойчивостью в целых областях фазового пространства) в типичных динамических системах, являющихся интегрируемыми, сделал такой компьютерный счет на достаточно больших интервалах времени не имеющим физического смысла, так как начальные условия для конкретных (прикладных) систем всегда известны с некоторой погрешностью.

Кажется, что вполне надеяться на численные методы можно только в интегрируемой ситуации, в которой такого разбегания не происходит. Тем не менее, оказывается, что консервативные системы даже в стохастической ситуации сохраняют многие элементы интегрируемой динамики. При небольшом возмущении интегрируемой задачи продолжают существовать невырожденные периодические орбиты, не разрушается большинство условно-периодических движений.

При дальнейшем увеличении возмущения, как с периодическими орбитами, так и с инвариантными торами, происходят различного рода бифуркации, имеющие некоторые общие закономерности. Они определяют изменение всей структуры фазового потока, сочетающего в себе зоны с.регулярным и хаотическим поведением, и задают сценарии перехода к хаосу. В динамике твердого тела эти исследования, невозможные без высокоточного компьютерного моделирования, стали проводиться лишь в конце XX века.

Оглядываясь назад, всю историю развития динамики твердого тела можно разделить на три этапа:

1. обнаружение и исследование частных интегрируемых случаев

2. качественный анализ уравнений движения

3. сочетание качественный анализ + компьютерное моделирование

По результатам работы на защиту вынесены следующие положения

1. Найдены значения параметров, при которых начинает проявляться вероятностное поведение динамических систем.

2. Построены диаграммы асимптотического хаоса начальных условий динамических систем.

3. Проведено численно-аналитическое исследование уравнений Стеклова Чаплыгина.

4. Получен вид хореографий трех и четырех вихрей на сфере.

5. Показана неинтегрируемость в общем случае задачи трех неподвижных тяготеющих центров.

Объекты и общая методика исследований. В настоящей работе с помощью численных методов проводится анализ решений некоторых задач, поставленных еще классиками динамики твердого тела. Выбранные задачи представляют собой динамические системы изменяющиеся во времени. Рассмотрены некоторые динамические системы с диссипацией и с медленно периодически изменяющимися параметрами. Для систем первого типа характерно наличие решений, к которым со временем эти системы приходят. И хотя различными аналитическими методами можно получить асимптотические решения этих систем, оказывается, что эволюция подобных систем содержит элементы случайного поведения.

Для динамики систем второго типа характерно случайное изменение адиабатического инварианта (АИ), когда динамическая система эволюционирует таким образом, что вдали от ее сепаратрис адиабатический инвариант остается постоянным. При переходе через сепаратрису эволюция системы может развиваться по двум сценариям: а) малое изменение АИ порядка малой величины возмущения системы ~ е, б) с резким изменением АИ на случайную величину ~ 1. В результате многократного перехода динамической системы через сепаратрису значение АИ испытывает диффузию и его эволюция принимает случайный характер.

Кроме задач динамики твердого тела в работе рассмотрена динамика точечных вихрей на сфере, затронут вопрос о хаотизации рассеяния точечными вихрями частиц жидкости и рассмотрено движение точечного тела в поле трех неподвижных центров.

Эволюция всех систем исследовалась стандартными численными методами, обеспечивающими необходимую точность вычислений.

Научная новизна. В диссертационной работе

- численно построены картины асимптотического хаоса начальных условий некторых задач динамики твердого тела;

- установлены численные значения параметров, при которых наблюдается вероятностное поведение динамических систем;

- получены условия образования абсолютных хореографий вихрей на сфере;

- установлена неинтегрируемость динамической системы, описывающей движение точечного тела на плоскости в поле трех тяготеющих центров при отрицательной энергии.

Практическая ценность Все полученные результаты могут быть использованы в аналитических исследованиях соответствующих динамических си" t стем.

Результаты первой и второй глав могут быть использованы в некоторых областях прикладной механики изучающих движение твердых тел в жидкости, динамику твердого тела в условиях медленно меняющихся параметров.

Результаты третьей главы имеют ценность для прикладной метеорологии и океанологии. Также результаты третьей главы могут быть использованы в задачах стохастического рассеяния на системе вихрей. Установленный факт неинтегрируемости и приведенный примеры возможных движений могут служить начальными данными в аналитическом исследовании небес-номеханических систем.

В первой главе рассматриваются вероятностные эффекты в динамике твердого тела. Одна часть главы посвящается численному анализу задачи о вращении твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативно-го возмущающих моментов. Исследуются возможные типы движения твердого тела в зависимости от величины возмущающих моментов, исходя из которых подбираются условия для исследования асимптотического поведения при больших временах. Показано, что в изученной системе возможно два асимптотических движения, к которым приходит система через некоторое время по тому или иному пути, в зависимости от начальных условий и величины возмущающего момента. Также показано, что определенность к какой именно асимптотике придет тело исчезает при достаточно малой величине возмущающих моментов.

Во второй и третьей частях главы наряду с качественными аналитическими оценками асимптотического движения численно исследуется динамика падения тяжелого твердого тела в идеальной жидкости и динамика саней Чаплыгина на наклонной плоскости. Исследуется новое явление для этого типа задач - асимптотический хаос, когда при вполне конкретных начальных условиях нет определенности в том, к какому асимптотическому движению в итоге придет система. На примере плоскопараллельного движения и движения тела, обладающего тремя плоскостями симметрии, строятся асимптотические диаграммы, отображающие исход эволюции движения твердого тела.

Во второй главе На примере уравнений Лиувилля, описывающих движение твердого тела с медленно периодически меняющимися параметрами, показана бо'льшая эффективность использования численных методов по сравнению с аналитическими применительно к исследованию динамики этого типа систем. Наглядно показано, что практически идентичные по начальным условиям траектории могут эволюционировать по совершенно различным путям уже через период малого возмущения.

Первая часть третьей главы посвящена численному исследованию некоторых вопросов вихревой динамики. В частности, исследуются решения, получившие название хореографии, в задачах движения вихрей на сфере, и рассеяние частиц жидкости на системе двух вихрей. Получен вид и уравнения для хореографий на сфере, а также обсуждаются возможные случаи возникновения особых видов хореографий, получивших название бэшболы, танцующие вихра и твисторы. Для задачи рассеяния построена диаграмма рассеяния, отображающая отклонение частицы жидкости от первоначального движения в момент прохождения через рассеивающую области. Во второй части третьей главы численно исследуется задача движения точечного тела в системе трех тяготеющих центров при отрицательной энергии. Показано, что задача в такой постановке в общем случае не интегрируема.

Заключение

1. Количественно описана задача о вращении тела вокруг центра масс под действием суммы постоянного и диссипативного возмущащих моментов. Установлены численные значения параметров задачи, при которых начинают наблюдаться вероятностные эффекты.

2. Обнаружено новое явление для уравнений Стеклова-Чаплыгина, описывающих падение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости -асимптотический хаос, когда при вполне конкретных (заданных) начальных условиях отсутствует определенность в асимптотическом поведении динамической системы. Установлены условия и значения параметров при которых возможно наблюдение этого явления.

3. Аналогичное явление обнаружено в поведении неголономной динамической системы, описывающей движение саней Чаплыгина. Установлено значение параметров задачи, при которых наблюдается асимптотический хаос.

4. Получено количественное описание движения одной из систем, проявляющих адциабатический хаос, - системы уравнений Лиувилля. Показано, что для этой системы применение численных методов позволяет получить более полное представление об ее эволюции.

5. Найдены условия существования абсолютных хореографий в движения трех и четырех вихрей на сфере. Получены численные значения параметров, при которых наблюдается хаотическое рассеяние частиц жидкости на вихревой паре в периодически возмущенном потоке идеальной жидкости.

6. Показана неинтегрируемость и стохастическое поведение задачи трех неподвижных центров при отрицательных энергиях.

1. А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела, 2001, 384 с.

2. В. В. Козлов Методы качественного анализа в динамике твердого тела, 2000. 256 с.

3. G. Contopoulos Order And Chaos in Dynamical Astronomy, Springer, 2002, 624 p.

4. Нейштадт А. И. Об эволюции вращения твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущающих моментов. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1980, №6, с. 30—36.

5. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Физика плазмы, 1986, т. 12, вып.8., с. 992.

6. Neistadt A. I. Probability phenomena due to separatrix crossing //Chaos. 1991. V.l № 1. P. 42

7. Горячев Д. H. К вопросу о движении тяжелого тела в жидкости, Изв. Импер. об-ва любителей естествознания при Московском Императорском Университете, 1893, т. 78 (н. 2), с. 59—61.

8. Козлов В. В. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1989, №5, с. 10—16.

9. Козлов В. В. О полиномиальных интегралах динамических систем с полутора степенями свободы. Мат. заметки, 1989, т. 45, №4, с. 46-52.

10. Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле. Прикл. Мат. Мех., 1991, т. 55, №1, с. 12—19.

11. Рамоданов С.М. Асимптотика решений уравнений Чаплыгина, Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1995, № 3, с. 93-97.

12. Стеклов В. А. Дополнения к сочинению «О движении твердого тела в жидкости», 1895, Харьков.

13. Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893, 234 с.

14. Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости. Поли. собр. соч., т. 1, 1933, с. 133—150.

15. Bertolli М. L., Bolotin S.V. Doubly asymptotic trajectories of Lagrangian systems in homogeneous force fields, Ann. di Matem. pura ed. applicata, 1998 (IV), v. CLXXIV, p. 253-275.

16. Deryabin M. V. On asymptotics of Chaplygin equation. Reg. & Chaot. Dyn., 1998, V. 3, № 1, p. 93-97.

17. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе, Поли. собр. соч., M.-J1., 1948, т. 1, с. 15-25.

18. НеймаркЮ.И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем, М.: Наука, 1967,519 с.

19. МощукН. К. О движении саней Чаплыгина, Прикл. Мат. Мех., 1987, т. 51, вып. 4., с. 546-551.

20. Нейштадт А. И. Скачки адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису и происхождение люка Кирквуда 3:1. ДАН СССР, 1987, т. 295, № 1, с.47-50.

21. Борисов А. В., Мамаев И. С. Адиабатический хаос в динамике твердого тела, Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т. 2, № 2, с. 30- 36.

22. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. УРСС, 2002, 414 с.

23. S. Wiggins. Adiabatic chaos. Phys. Lett. A, 1988, V.128, №67. P. 339- 342

24. Нейштадт А И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Физика плазмы, 1986, т. 12, вып. 8, с. 992- 999.

25. Tennysonn J.L., Carry J. R., Escande D.F. Change of the Adiabatic Invariant due to Separatrix Crossing. Phys. Rev. Lett., 1986, V. 56, №20, p.2117— 2120.

26. Neistadt A. I., Treshev D.V., Sidorenko V. V. Stable periodic motions in the problem on passage through a separatrix. Chaos, 1997. V.7(3), p.2-11.

27. Kaper T.J. Kovacic G. A geometric criterion for adiabatic chaos. J. Math. Phys., 1994, V. 35, №3, p. 1202- 1218

28. Румер Ю. Б., Рыбкин М. М. Термодинамика, статистическая физика и книетика. М.: Наука, 1972, 400 с.

29. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы. ПММ, 1987, т. 51, вып. 5, с. 750- 757.

30. Тимофеев А. В. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения ЖЭТФ, 1978, т. 75, Вып. 4, с. 1303-1308.

31. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч. т. II, Гостехиздат, 1948.

32. Борисов А. В. К задаче Лиувилля. В сб. Численное моделирование в задачах механики, М.: МГУ, 1991, с. 110-118.

33. Neistadt A. I. Probability phenomena die to separatrix crossing. Chaos, 1991, V. 1, № 1, p.42-48.

34. Нейштадт А. И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно меняющимся параметром. ПММ, 1975, №4, т. 39, с. 625.

35. Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере, Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, 1977, № 6, с. 57-65.

36. Newton Р К- The N-Vortex problem. Analytical Techniques. Springer, 2001.

37. Bagrets A. A., Bagrets D.A. Nonintegrability of two problems in vortex dynamics // Chaos. 1997. V. 7. № 3. P. 368-375.

38. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Abosule and Relative Choreographies in the Problem of Point Vortices Moving on a Plane, Reg. & Chaot. Dyn., 2004, V. 9, №2, p. 101-112.

39. Горячев Д. H. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей. Москва: Унив. тип., 1898.

40. A. Chenciner, J. Gerver, R. Montgomery С. Simo Simple Choreographic Motions of N bodies: A Preliminary Study, // Springer. 2002. in Geometry, Mechanics, and Dynamics, volume dedicated to J. Marsden, P. 287-308.

41. Borisov A. V., Pavlov A. E. Dynamics and Statics of vortices on a Plane and a Sphere. 111 Reg. & Ch. Dynamics. 1998. V. 3. № 1. P. 28-39.

42. Boatto S., Laskar J. Point vortex cluster formation in the plane andon the sphere. An energy bifurcation condition // Chaos. 2003. V. 13. № 3. P. 824-835.

43. Lim С. C., Montaldi J., Roberts M. R. Relative equilibria of point vortices on the sphere // Physica D. 2001. 148. P. 97-135.

44. Montaldi J., Souliere A., Tokieda T. Vortex dynamics on a cylinder I I SI AM J. Applied Dynamics Systems 2003. V. 2. № 3. P.417-430.

45. Glass K. Equilibrium configurations for a system of N particles in the plane // Physic Lett. 1997. A. V. 235. P. 591-596.

46. Aref H., Vainstein D. L. Point vortices exhibit asymmetric equilibria // Nature. 1998. V. 392. 23 April. P. 769-770.

47. Aref H., Newton P. K., Stremler M., Tokieda Т., Vainchtein D. L. Vortex Crystals // ТАМ Reports 2002.http://www.tam.uiuc.edu/publications/tamreports/2002/l008.pdf.

48. Souliere A., Tokieda T. Periodic motions of vortices on surfaces with symmetry // J. Fluid Mech. 2002. V. 460. P. 83-92.

49. Tokieda T. Tourbillions dansants, C. R. Acad. Sci. Paris, 2001, T. 333, Ser. I, p. 943-946.

50. Khushalani B. The Families of Periodic Orbits Bifurcating from the Fixed Equilibria in a 48-Dimensional Systems, Reg. & Chaot. Dyn., 2004, V. 9, №2, p. 189-198.

51. Laurent-Polz F. Point vortices on the sphere: a case with opposite vortices Ц Nonlinearity. 2002. V. 15. № 1. P. 143-172.

52. Laurent-Polz F. Relative periodic orbits in point vortex systems // Nonlinearity. 2004. V. 17. №6. P. 1989-2013.

53. Laurent-Polz F., Montaldi J., Roberts M. Stability of Relative Equilibria of Point Vortices on the Sphere // DS/0402430. http://front.math.ucdavis.edu/math.DS/0402430.

54. H.Varvoglis The two centers problem revisited 5th Alexander Von Humboldt Colloquium «New Developements in the Dynamics of Planetary Systems.»

55. Болотин С. В. Неинтегрируемость задачи п-центров для п > 2 Вестник МГУ, сер. 1, математика и механика (1984), № 3, стр. 65-68.

56. A. Knauf, I. A. Taimanov Integrability of the n-centre problem at high energies arXiv:math.DS/0312429 v2 16 Jan 2004.

57. В. В. Козлов О стохатизации плоскопараллельных течений идеальной жидкости В сб. А. В. Борисов И. С. Мамаев «Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей».