Методы компьютерных исследований в нелинейных динамических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве. Точки либрации.

1.1. Введение

1.2. Задача двух тел в искривленном пространстве.

1.2.1. Уравнения движения и первые интегралы.

1.2.2. Инвариантные многообразия.

1.2.3. Ограниченная задача двух тел.

1.2.4. Частные решения задачи двух тел на 52 и I?.

1.2.5. Устойчивость частных решений задачи двух тел

1.3. Ограниченная задача трех тел.

1.3.1. Точки либрации на сфере Б2.

1.3.2. Точки либрации на плоскости Лобачевского

1.3.3. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс.

1.3.4. Малое отклонение от случая равных масс.

1.3.5. Области Хилла

Глава 2. Устойчивость томсоновских конфигураций вихрей на сфере

2.1. Введение

2.2. Линейная устойчивость томсоновских конфигураций вихрей на сфере

2.3. Нелинейная устойчивость томсоновских конфигураций на сфере и плоскости для N = 2,

2.4. Случай N = 7 на плоскости.

3.2. Уравнения движения и их интегрирование.56

3.2.1. Уравнения движения и интегралы.56

3.2.2. Интегрирование уравнений движения в случае нулевой константы площадей.58

3.2.3. Интегрирование уравнений движения в случае ненулевой константы площадей.58

3.3. Бифуркационная диаграмма, периодические решения и точка контакта.61

3.3.1. Случай (М, 7) = 0.61

3.3.2. Случай (М, 7) ф 0.62

3.3.3. Случай М || 7.65

3.4. Качение шара с гироскопом.68

Заключение.72

Литература.74

Введение

Данная работа посвящена исследованию динамических эффектов, наблюдаемых в консервативных динамических системах из различных разделов математической физики. В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится невозможным, как по техническим (громоздкость выкладок), так и по принципиальным соображениям (например, невозможность проинтегрировать в классе известных функций). Если с трудностями первого типа могут помочь справится современные системы аналитических вычислений (Maple, Matematica и др.), то вторая проблема разрешима только с помощью постановки численных экспериментов. С другой стороны чисто численное исследование также может осветить лишь некоторую часть проблемы. Поэтому для эффективного применения численных методов необходимо совмещать численный эксперимент с различными аналитическими методами исследования. Такой подход представляет возможность по новому взглянуть на уже известные результаты в теории динамических систем и получить более полное качественное представление о динамике систем. В данной работе было исследовано несколько задач небесной механики, вихревой динамики и динамики неголономных систем. С помощью совместного использования аналитических и численных методов были получены новые интересные результаты.

В первой главе диссертации исследуются частные решения задачи двух тел и ограниченная задача трех тел в пространствах постоянной кривизны. Изучение задач небесной механики в пространствах постоянной кривизны восходит к Н. Лобачевскому, которым был установлен аналог ньютоновской силы притяжения для пространства L3. Свойства движения твердого тела на L2 были исследованы А. Е. Жуковским. Он заметил, что в отличие от плоскости центр масс в данном случае не движется по геодезической. Интегрируемость задачи Кеплера на S'2 была установлена Шредингером, исследовавшим проблему квантования атома водорода в искривленном пространстве. Обобщение всех законов Кеплера для классической динамики частицы в поле неподвижного ньютоновского центра в Ss и L3 произведено в работах В. В. Козлова [15], H.A. Черникова [34] (для L3). Интересно, что задача Кеплера для 53 и L3 также остается вырожденной и все траектории замкнуты [15]. В работе [40], кроме того проинтегрирована задача о движении частицы на двумерной сфере S2 в поле двух неподвижных ньютоновских центров. В отличие от задачи Кеплера и задачи двух тел в евклидовом пространстве, задача двух тел на S3 и L3 не только не является вырожденной, но даже неинтегрируема [19] (хотя это строго не доказано).

В первой части первой главы рассматривается задача двух тел в пространствах постоянной кривизны SA (L3). Приведены уравнения и интегралы, показано, что для полной интегрируемости не хватает еще одного первого интеграла (п. 1.2.1). Рассматриваются частные решения задачи двух тел на инвариантных подмногообразиях 52 (L2), при которых сохраняется расстояние между точками (п. 1.2.3). Исследуется их устойчивость в линейном приближении. Показано что в пространстве параметров существуют области, в которых отсутствует экспоненциальная неустойчивость. Следовательно, возможна постановка ограниченной задачи трех тел.

Во второй части первой главы исследуется существование точек либрации на S2 (L2) и их бифуркации в зависимости от параметров системы. Помимо обобщений классических точек либрации найдено еще 5 эйлеровских и 4 лагранжевых точки. С помощью численного исследования эффективного потенциала строятся зависимости их положения на сфере в зависимости от кривизны и соотношения масс тяжелых тел. На плоскости параметров системы построены бифуркационные диаграммы существования точек либрации. Проводится аналитическое исследование случая равных и почти равных масс тяжелых тел (пп. 1.3.3,1.3.4). Строятся области Хилла для некоторых областей параметров на бифуркационной диаграмме. Показано, что некоторые из найденных точек либрации при определенных параметрах могут быть устойчивыми (п. 1.3.5).

Во второй главе исследуется устойчивость полигональных конфигураций N вихрей на сфере и плоскости. Некоторым аналогом небесной механики в искривленном пространстве в вихревой динамике может служить динамика точечных вихрей на некоторой искривленной поверхности. Наибольший интерес представляет случай сферической поверхности, который может рассматриваться как некоторая модель движения циклонов и антициклонов в атмосфере Земли. В 1885 году И. С. Громека в работе [9] рассмотрел движение точечных вихрей на сфере, цилиндре, а также в области на этих поверхностях, ограниченной некоторым замкнутым контуром. Однако он не смог найти в явном виде функцию тока, обобщающую плоскую ситуацию. В дальнейшем этой задачей занимался Э.Цермело [45], в книге [12] отмечена важная роль модели точечных вихрей и вихреисточников для целей динамической метеорологии. Общая гамильтонова форма уравнений движения N точечных вихрей на сфере была указана В.А.Богомоловым в работах [4, 5]. В работе [38] уравнения Богомолова проанализированы с точки зрения отображения момента, в работах [2, 31] доказана неинтегрируемость ограниченной задачи четырех вихрей. Достаточно полное изложение вопросов вихревой динамики, как на плоскости так и на сфере, а также самые последние результаты в этой области можно найти в монографии А. В. Борисова, И. С. Мамаева [7].

В п. 2.2 показано, что при N ^ 7 такие конфигурации неустойчивы в линейном приближении, а при N ^ 6 могут быть как устойчивы, так и неустойчивы в зависимости от радиуса окружности на которой лежат вихри. Для N = 2, 3 исходя из свойств движения вихрей показана устойчивость конфигураций по Ляпунову. В случае N = 4, 5, 6 устойчивость по Ляпунову в области линейной устойчивости доказывается с помощью построения функции Ляпунова в качестве которой в данном случае можно использовать квадратичную часть гамильтониана. Показано, что в случае движения вихрей на плоскости все конфигурации при N ^ 6 являются устойчивыми по Ляпунову (п. 2.3). В п. 2.4 исследуется случай N = 7. В этом случае движение вихрей на сфере неустойчиво уже в линейном приближении. На плоскости же экспоненциальная неустойчивость пропадает, однако появляется две нулевые собственные частоты с двумерными жордановыми клетками. Построены нормальные формы гамильтониана третьего и четвертого порядков, исследованы квазиоднородные укорочения полученных разложений гамильтониана. Однако ввиду большого числа степеней свободы, нулевых собственных частот и двух резонансов 1:1, до конца вопрос об устойчивости данной конфигурации не разрешен. В п. 2.6 приведен алгоритм построения нормальных форм для случая, когда в квадратичной части гамильтониана присутствует п двумерных жордановых клеток с нулевым собственным значением. Получено условие, определяющее в этом случае резонансные слагаемые в разложении гамильтониана. В приложении ко второй главе рассматривается еще одна задача вихревой динамики о движении кругового цилиндра и точечного вихря в бесконечном объеме несжимаемой идеальной жидкости. Доказана интегрируемость данной задачи, найден интеграл движения, и инвариантная мера.

В третьей главе с помощью численных методов исследования исследуется качение динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания (шар Чаплыгина). Существенную роль в развитии динамики неголономных систем сыграло знаменитое исследование С. А. Чаплыгина, посвященное задаче о качении тяжелого твердого тела вращения по горизонтальной плоскости [27], в которой он, проанализировав ошибку Э. Линделефа, получил правильные уравнения движения и провел полное исследование задачи для ряда частных случаев формы тела. В другой своей работе [28] С. А. Чаплыгин провел полное исследование задачи о качении динамически несимметричного шара по плоскости при единственном предположении о совпадении центра масс шара с его геометрическим центром. В этой работе С. А. Чаплыгин привел интегралы движения системы, нашел интегрирующий множитель и получил решение уравнений движения в квадратурах. Несмотря приведенную им геометрическую интерпретацию, движение шара Чаплыгина в абсолютном пространстве практически не было изучено. Недавно в работе А. В. Борисова, И. С. Мамаева [8] на примере задачи о шаре Чаплыгина была показана связь между системами с неголономными связями и гамильтоновыми системами с нелинейной скобкой Пуассона.

Достаточно большой интерес также представляет обобщение задачи о шаре Чаплыгина, когда внутрь него помещен гироскоп. Впервые (еще до работ С.А.Чаплыгина) данную задачу в частной постановке, когда шар динамически симметричен, рассмотрел Д. К. Бобылев в работе [3]. Д. К. Бобылев показал, что несмотря на простоту геометрии тела траектории движения шара могут иметь интересную нетривиальную форму. Еще более частный случай данной задачи, когда ее анализ несколько упрощается, рассмотрел Н.Е.Жуковский в своей работе [10]. Позднее в работе [22] А. П. Маркеев показал интегрируемость полной постановки задачи, когда шар динамически несимметричен, а момент гиростата направлен произвольно. Однако несмотря на доказанную интегрируемость проинтегрировать в квадратурах (или найти решение в каком-либо классе специальных функций) данную систему до сих пор не удалось. Не выполнен также и топологический анализ задачи. О движении в абсолютном пространстве, кроме частных постановок, также до сих пор ничего неизвестно.

В работе с помощью численного эксперимента построены и расклассифицированы различные виды траекторий точки контакта на плоскости (п. 3.3). Приведены различные виды траекторий точки контакта, соответствующие разным точкам бифуркационной диаграммы на плоскости первых интегралов. Подробно исследован случай, когда кинетический момент вертикален и задача о шаре Чаплыгина сводится к уравнениям Эйлера. С помощью численных экспериментов показано, что в этом случае кроме того, практически все траектории (за исключением некоторых критических) являются ограниченными. Для сепаратрисного движения кроме численных методов проведено аналитическое исследование. Аналогичным образом исследованы траектории точки контакта для шара Чаплыгина с гиростатом (п. 3.4). Показано, что в случае, когда кинетический момент шара вертикален, и уравнения движения сводятся к уравнениям Жуковского-Вольтерра, траектория точки контакта, несмотря на более сложную форму, опять является ограниченной.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Рассмотрена задача двух тел в пространствах постоянной кривизны 53 (Ь3). Указаны ее частные решения на инвариантных подмногообразиях 52 (Ь2), при которых сохраняется расстояние между точками. Исследована их устойчивость в линейном приближении. Показано что в пространстве параметров существуют области, в которых отсутствует экспоненциальная неустойчивость. Следовательно, возможна постановка ограниченной задачи трех тел. В ограниченной задаче трех тел исследованы существование точек либрации на 52 (I/2) и их бифуркации в зависимости от параметров системы. Помимо обобщений классических точек либрации найдено еще 5 эйлеровских и 4 лагранжевых точки. С помощью численного исследования эффективного потенциала построены зависимости их положения на сфере в зависимости от кривизны и отношения масс тяжелых тел. На плоскости параметров системы построены бифуркационные диаграммы существования точек либрации. Проведено аналитическое исследование случая равных и почти равных масс тяжелых тел. Для некоторых областей параметров на бифуркационной диаграмме приведены области Хилла . Показано, что некоторые из найденных точек либрации при определенных параметрах могут быть устойчивыми.

2. Исследована устойчивость полигональных конфигураций N вихрей на сфере и плоскости. Показано, что при N ^ 7 такие конфигурации на сфере неустойчивы в линейном приближении, а при N ^ 6 могут быть как устойчивы, так и неустойчивы в зависимости от радиуса окружности на которой лежат вихри. Для N = 2, 3 исходя из свойств движения вихрей показана устойчивость конфигураций по Ляпунову. В случае N = 4, 5, 6 устойчивость по Ляпунову в области линейной устойчивости доказывается с помощью построения функции Ляпунова в качестве которой в данном случае можно использовать квадратичную часть гамильтониана. Показано, что в случае движения вихрей на плоскости все конфигурации при N ^ 6 являются устойчивыми по

Ляпунову (п. 2.3). Отдельно исследован случай N = 7 на плоскости. На сфере в этом случае движение вихрей неустойчиво уже в линейном приближении. На плоскости же экспоненциальная неустойчивость пропадает, однако появляется две нулевые собственные частоты с двумерными жордановыми клетками. Построены нормальные формы гамильтониана третьего и четвертого порядков, исследованы квазиоднородные укорочения полученных разложений гамильтониана. Однако ввиду большого числа степеней свободы, нулевых собственных частот и двух резонансов 1:1, до конца вопрос об устойчивости данной конфигурации не разрешен. Получен алгоритм построения нормальных форм для случая, когда в квадратичной части гамильтониана присутствует п двумерных жордановых клеток с нулевым собственным значением. Получено условие, определяющее в этом случае резонансные слагаемые в разложении гамильтониана.

Исследована задача о движении кругового цилиндра и точечного вихря в бесконечном объеме несжимаемой идеальной жидкости. Доказана интегрируемость данной задачи, найден интеграл движения, и инвариантная мера.

3. С помощью численных методов исследовано качение динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания (шар Чаплыгина). Построены и расклассифицированы различные виды траекторий точки контакта на плоскости (п. 3.3). Приведены различные виды траекторий точки контакта, соответствующие разным точкам бифуркационной диаграммы на плоскости первых интегралов. Подробно исследован случай, когда кинетический момент вертикален и задача о шаре Чаплыгина сводится к уравнениям Эйлера. С помощью численных экспериментов показано, что в этом случае практически все траектории (за исключением некоторых критических) являются ограниченными. Для сепаратрисного движения кроме численных методов проведено аналитическое исследование. Аналогичным образом исследованы траектории точки контакта для шара Чаплыгина с гиростатом. Показано, что в случае, когда кинетический момент шара вертикален, и уравнения движения сводятся к уравнениям Жуковского-Вольтерра, траектория точки контакта, несмотря на более сложную форму, опять является ограниченной.

Заключение

1. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3, М.: ВИНИТИ, 1985.

2. Багрец А. А., Багрец Д. А. Неинтегрируемостъ гамилътоновых систем вихревой динамики. Per. и хаот. дин., т. 2, 1997, №1; 2, с. 36-43; 58-65.

3. Бобылев Д. К. О шаре с гироскопом внутри, катящемся по горизонтальной плоскости баз скольжения. Мат. сб., 1892, т. XVI.

4. Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере. Механика Жидкости и Газа, 1977, № 6, стр. 57-65

5. Богомолов В. А. О двумерной гидродинамике на сфере. Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, № 1, с. 29-35.

6. Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах Sn. Изв. АН СССР, сер. мат., 1985, т. 49, №5, с. 899-915.

7. Борисов A.B., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамилъто-новой механике. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 464 с.

8. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассонова структура задачи о качении шара Чаплыгина. Мат. заметки (в печати)

9. Громека И. С. О вихревых движениях жидкости на сфере. Собрание протоколов заседания секции физ.-мат. общества естествоиспытателей при Казанском университете. В кн. Громека И. С. Собр. соч. М.: АН СССР, 1952.

10. Жуковский Н.Е. О гироскопическом шаре Д. Н. Бобылева. Труды отд. физич. наук Общ. люб. естествознания, 1893, т. VI, вып. 1, с. 11-17.

11. Зиглин С. JI. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. Труды ММО, 1980, т. 41, с. 287-303.

12. Извеков Б. А., КочинН.Е. Динамическая метеорология. JI1935.

13. Килин A.A., Мамаев И. С. Точки либрации в ограниченной задаче трех тел на S2. Изв. Инст. математики и информатики УдГУ, Ижевск, 1998, Вып.1(12), с. 61-66.

14. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962.

15. Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Мат. Мех., 1994, N2.

16. Козлов В. В. Симметрии, топологии и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, Изд-во РХД, 1995.

17. Козлов В. В., Фурта С. Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1996.

18. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947, пер. с анг. Lamb Н. Hydrodynamics, Ed. 6-th., N.Y.Dover publ., 1945.

19. Мамаев И. С. Численные и аналитические методы исследования динамических систем на алгебрах Ли. Канд. дисс., Ижевск, 1998.

20. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978.

21. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.

22. Маркеев А. П. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью. Изв. АН СССР, механика твердого тела, 1985, №1, с. 64-65.

23. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967, 520 с.

24. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990, 240 с.

25. Федоров Ю. Н. Явное интегрирование и изоморфизмы некоторых задач классической механики. Автореферат на соискание ученой степени кандида физитко-математических наук, М.: МГУ, 1989.

26. Хазин J1. Г. Правильные многоугольники из точечных вихрей и резонансная неустойчивость стационарных состояний. ДАН СССР, т. 230, 1976, №4, с. 799802.

27. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого твердого тела вращения на плоскости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 57-75.

28. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 76-101.

29. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990.

30. Aref Н. On the equilibrium and stability of a row of point vortices. J. Fluid Mech., 1995, v. 290, p. 167-181.

31. BagretsA.A., BagretsD.A. Nonintegrability of two problems in vortex dynamics. Chaos, v. 7, 1997, №3, p. 368-375.

32. Borisov A. V., Kilin A. A. Stability of Thomson's Configurations of Vortices on a Sphere. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №2, p. 189-200.

33. Borisov A. V., Lebedev V. G. Dynamics of Three Vortices on a Plane and a Sphere — II. Reg. & Ch. Dyn., 1998, v. 3, №2, p. 103-118.

34. ChernikovN. A. The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solution. Acta Phys. Polonica, v. 23, 1992, p. 115-124.

35. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum. Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 1767, v. 11, pp. 144-151.

36. Helmholtz H. On integrals of the hydrodynamical equations which express vortex-motion. Transl. P.G.Tait, Phil. Mag., v. 33(4), p. 485-512.

37. Kilin A. A. Libration points on S2 and L2 spaces. Reg. & Ch. Dyn., 1999, v. 4, №1, p. 91-104.

38. KirwanF. The topology of reduced phase spaces of the motion of vortices on a sphere. Physica D, v. 30, 1988, p. 99-123.

39. Kozlov V. V. Problemata Nova, ad Quorum Solutionem Mathematici Invitantur. Amer. Math. Soc. Transi. (2), v. 168, 1995, p. 239-254.

40. Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler's problem in constant curvature spaces. Celest. Mech. and Dyman. Astron., 1992, v. 54, p. 393-399.

41. Lagrange J.L. Eassais sur le problème des trois corps. Paris, 1772.

42. Ramodanov S. M. Motion of a Circular Cylinder and a Vortex in an Ideal Fluid. Reg. k Ch. Dyn., 2001, v. 6, № 1, p. 33-38

43. Thomson J. J. A treatise on the motion of vortex rings. London, MacMillan, 1883, p. 124.

44. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes. Acta Math., 1899, v. 22, p. 201-358.

45. ZermeloE. Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegung in einer Kügelfläche. Leipzig, Zeitschr. für Math, und Phys., Bd. 47, 1902.