Методы линеаризации в задачах оптимального управления со свободным правым концом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ Иркутский госудврстпенкый университет

Не прчвял рукописи

Антоник-Владимир Георгиевич

МЕТОДЫ ЛИНЕАРКЗАШП В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СО СВОБОДНЫМ ПРАВЫМ КОНЦОМ

01.01.09 - мйтематичоскаи кибернетика

латоррфзрят

диссертации иа соискание учбной стопени кацаудата (фгтол-инч еня*кчвс-ио* няук

Иркутск iVi.il

Работа выполнена на кафедра вычислительной математика Ир-;ут-счого государственного университета

Научней руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Срочно

Офацнальныэ оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор .С.Т.Ащепксв - кандидат физико-математических наук, доцент А.С.ОтрнкалоБсккй

Ведаая организация - Санкт-Петербургский государствеюшй университет

Защита состоится " " _/СЭ91 г. в

на заседании специализированного ссшета К 063.32.06 по присуждении учёной степени кандидата физико-математических наук в Иркутском государственном университете { 6^003, бул.Гагарина,20, 1-11 корпус ИГУ ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета ( бул.Гагарина, 24 )

Аьтореферат разослан ££ " СгЫч 1991 года

Учёный секретарь аюциалиоиройащого совета,

к.ф.-м.к., д0ы6йт

!.-/.<. Н.Б.Бельтюкоь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Разработка специализированных вычислительных методов оптимизации, иопольэую^цях своеобразие задач управления динамическими системами, имеет важное значение в общей проблематике оптимального управления. Актуальности этото направления исследований отоеделяется но только многочисленными приложениями, но и связана с необходимостью повишеты идийис1'о и теоретического уровня конструктивных методов оптимального управления .

Построение еффективных вычислительных процедур решения об-шдх задач оптимального управления тесно связано с использованием техники линеаризации динамической системы и функционала качества . Метода линеаризации традиционно являются основным средством численного решения задач оптимального управления. К атому классу относятся как методы градиентного типа, так и процедуры игольчатого варьирования. Развитие такого подхода можно проследить по работам Ф.Л.Черноусько, Р.К.Федоре'.ко, Н.Е.Кчри-нэ, Р.Г.Евтуиенко, Р.Ф.Габасова, Ф.М.Кирилловой, О.Н.Ьаскльева, В.А.Срочно и их учеников.

Следует отметлт:-, что на уровне задач оптикаиьного управления идея линеаризации допускает неоднозначную реализаций- Наиболее распространенно!' является то/.пина линеаризации, связан-нная с неебг.ожмш усяоьшя» октякяясности. Б последнее время стили рассматриваться другие, белее Змкие и полноценные варианты линеаризации управляемой' системы. Ка этой основе появляется посмо.'кность создания новых, более эффективных алгоритмов оптимального убавления. Такая возможность в определенной степени и реализуется к настоящий диссг.ртчцисиной раОоте.

Цель работы состоит в далыгвйпюм развитии техники .мноари-зации и гг.гнфозанпя в задачах ояттшюго упраплрпла и построений на этой основе соответстьукдах итерационных. методов со свойством монотонною улучшения по критерия качество.

Мотод^х^кловат«»! основан на одмтке формул приращения целевого функционала с использованием аппарата теории ошималь-пого управле;-" в обнкновеннпх динамически:.' системах.

Научная новизна результатов, полученных автором, состоит ь спедуааем:

J) Предложен метод ириоауеькй для решения линейно-квадратич-ичх задач оптимального управления. Метод прост в реализации и обеспечивает улучшение баз использования параметрического поиска ценой разового решения задачи Коки.

Р.) Проведены новые разработки по методам фазовой линеаризации ь задаче оптимального управления со свободным правим концом. ЛиноКьыо задачи ы вариациях построены на основе естественной тейлоровской аппроксимации .управляемой системы без общепринятой коррекции лишенного члена в разложении правой части. Использование специальной функцж варьирования позволяет построить на Сазе фазовой линеаризации новые процедуры улучшения допустимых уп: анлоььй.

СЛ Расработай« перспективные модификации градиентных методов, позголяацке б <:лучае билинейных систем обеспечить улучшение без варьирования со параметру.

Практическая значимость. Предлагаемые методы доведены дс программой реализации и успешно апробированы б процессе вычислительного эксперимента на ряде задач прикладного содержания. В сразнеыги с известными алгоритмами лжеарцзации результаты расчётов позволят' убедительно судить об эффективности разработанных кетедоб.

Основные результата диссертации используются а учебном процессе кафедры вычислительной математики МГУ.

Апробация работы. Основные результаты , включбнные в диссертационную работу, докладывались на 5-й конференции молодых учёных Иркутской области ( Иркутск, I9S7 ), 6-й Всесоюзной конференции но управлению в механических системах ( Льгов, ISS8 ), 7-й Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики ( Горький, 1938 ), Международной школе-семинаре по методам оптимизации и их приложениям ( Иркутск, 1989 ), Международном семинаре по негладким я разрывным задачам оптимизации и управления ( Владивосток, 1991 ), семинарах кафедр методов оптимизации и вычислительной математики Иркутского госуниверситета ( Т987-Т9Э1

Публикации. По теме диссертации ощоликоюна 7 работ , ъ

- л -

которых отражено её основное содержание.

Структура ц объбм диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав !! списка литературы. Общий объ?м диссертации составляет 102 страницы. Список литоратури содержит 79 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Вводонио содержит обзор работ, иримыкяпцих к тематике диссертации и краткое изложение содержания t-.изв.

Пнрвая г'лава диссертации посвлдрна изучении линейно-квад-рэгиадшх задач оптимального управления, где система дир^'ренци-зпъных уравнений рассматривается в виде

х - f(x,u,t) Aiu,t).r f biiL.t) , x!tn!-r° . { I )

Здесь xi t J - n-мерная вектор-функция состояния, ut t • - г-мер-;эя вектор Функция управления.

Иршяцш максимума для задач управления такими системами не шляется достатсчним условием оптимальности, поэтому эти задачи 'радишонно решались о применением обших шерациснних процедур. I главе разрабатываются методы улучшения доиустимкх упрарле;щй '>ез параметрического поиска на итерации.

В §] рассматривается задача управления линейным функцконэ-ом качества вида

Фги> crT(i f> -- min , и. с V . ( Z )

иожпсгво V допустимых управлений имеет вид

V -- f u с L!,7/|'-'I : -.¡(t ) ;J , l с T-it0,t J J ,

яе U - компакт из Kr .

¡роятся форм.улн npi-ipsueiui;! целевого функционала специального ад? на паве управлений и, о f V :

Фа*) - ФСч; - -J' д 1,-о),т(1 ,u)ji(i),t) <Jt , ( 3 ) т "

- Г. -

ФИО ~ Ф(п) = й йЧч^fí(uJ,x•('í.t^),aíí.^t; <зг . ( 4 ) г "

Здесь Н - функция Понтрлгша для задачи (I (2>.

Б «2 на основе формул (3).(4> получены процедуры улучшения долуснаш* управлений в задаче (1)-(2). Формула приращения (3) позволяет построить следующий метод. Пусть на шаге итера-

ционного процесса имеется допустимое управление ик(г) , Ь е Т , Р^О, /,... . Подсчитаем ссо'УБетствуюшуы ему траекторию =ха,ик) . Определим управление и^СГ.ф; из условия максимума

= аг&тлхх t € Т . ( Б )

иСР

Далее, находите решение ф(т) сопряъйиной сисчемк

ф= -¿(Ч^СМъМг/ф , фи,)=-л • ( В )

Тогда очередное прибликеша выбирается в виде

= ика )) , ( € Г . (7

Представленная схема имеет свойство улучшения: Ф(ик1'1) < Ф(ик) Отмечается, что система (£) яаляетсл разрывной по ф . Б пред г/оложеякях единственности решения фк+,(1) этой системы и 01 сутстшш скользящего движения метод (5)-(7) обладает сеойствог, р-Си*.) = Ф(ик) - Ф(ик+') -» О , к -» « . Равенство иСил.)=0 о; начает, что управление ик удовлетворяет принципу максимум: Для особых управлений нарушается , вообще говоря , свойство единственности решения сопряженной системы (6). Этот факт в р да случаев оказывается благоприятным с точки зрения улучшен особого неоптимальногс управления.

Формула приращения (4) позволяет построить симметрии ( относительно пары (ф.х) ) метод улучшения.

По части трудоёмкости реализации ьаметмм, что каждая И1 рация обеих процедур сопровождается двумя интегрирования*« ю тем дифференциальных уравнений ( в прямом и обратном времени Причём , одно интегрирование ( разрывной системы ) приводи улучшению исходного управления, а другое р. плане улучшения

ляется "холостым" и даЗт только информацию для проведения следующей итерации, С целью повышения эффективности обе процедуры объединяются в один метод приращений', итерационная схема которого имеет следующий вид , Пусть на'й-ом шаге процесса имеется допустимое управление uk(t) , t ç 2' , fcO, с соответствующей траекторией хл{tj . Определим управление гу(Ч,.г,Ф.) условием максимума

w(t,z,<p; = argvax Ki'\\x,v, t ) , I : T . ( 3 ;

•ji-.U

Найдем решение сопряжённой системы

ф - -/,iw(t,xk(i),i",t)Ti' , ( Э )

и соответствующее управление

vk с t .1 - v(t, j-1' 11 ; г л; , t с т . < ю )

Далее, интегрируя npwdypj систему

х = A(vn t ,x,<\ikt t)j,tjx + bcxit ,3.,<pk(t )}, t ) , x(tfl)-~x°. ( li )

находим траекторию .r^'fii • В ито^е полагаем.

)/"'(£! г- w(i,.r*r1(l),$h(t}) , I € Г . ( И )

В результате итерации имее,п место двойное улучшение: 4>fi'\) * Фги'8 ' , ifu**') « Ф;v-h) . ¡Лаг метода описан.

Таким оОразом, на кавдоС итерации процедуры (8)-(12) интегрируются две система с раоршсюй правей частью (Э) к (II). что позволяет, Бооои!"' говоря, дшпгл! улучшить управление uk(t) . йшми словами, в рамка:: предлагаемою метода приращений каждое решение задачи Кош для основной и сслрякЗниой систем сопровождается улучшением исходного ¿лршлешк'.

В §3 рассматривается задача управления с целевым функционалом вида

ф|и.) = cTx(i1) + £v(t1iDzttr) + p $ x(t)zF(t)x(t) dt .

Для ьтой задачи проводится построение формулы приращения функционала на паре u,v е V

5>(v)-Q{u) = -J л H(tylt,u)+$(t,u)bxix),zir.,v),uit),t)dt , ( 13 ) т v

где i\X( t) - .z(t,v) - x(t, и) , t € T , сопряжЗнная вектор-функция ф(г,и; и матричная функция i'i't,uj определяются системами

ф= -A'u.tfф + F(t)xit.u) , '\>(t 1).-—(c+la(t1,u)) , ( 14 )

$ - -A(v.,t)T9 - QAfu.t) + Fit) , Sift 1 )=-D . ( 15 )

Даётся вывод второй формулы приращения, не содержащей дт

Ф(и)-Ф(и) = -j" a U(p(t ',u,v),x( i ,и) ,u(t ),t) dt . t, 16 ) г u

Здесь p(t,a,v) - решение вектсрно-мутричной задачи Ксши

р = -A(v,t)Tp - i>(f(z(t,u).v,T) - f(x(t,u).u(t),t)) 1-

+ F(x)x(t,u) , p(r?J—(c+Dx(t1tu)) ,

Ф = -Aiv,t)T4> - M(v,t) + F(t) , 9l(tf)=-D .

В §4 предлагаются методы улучшения допустимых управлений в линейно-квадратичной задаче.

Формула приращения (13) позволяет организовать процедуру улучшения следующим образом. Пусть на &-сы шаге итерационного процесса получено допустимое управление ик(с) , t с f с соответствующей траекторией xhfi) , ft--0,7Г... . Подсчитаем функции (jj^ftj ь Шh(l) как решения задач (14; и Ц5) при ы^ик . Определим управление vk(t,x) соотношением

vk(t,rc) = argmax )(x-xk(t)),r,v, t) , x e T. (1? )

v(ir

Найдбм решение xk''í(t) системы

х -- Т),1)х Г b(vк(t,т),г:. м*.0)=хс . ( 18 )

Очередное приближение ик*' определим ь виде

•-- г^а,!**1 {I)) , t € Г . ( 19 )

Отметим , что в силу формулы приращения (13) описанная схема обеспечивает, вообще говоря, улучшение гго функционалу.

Предположим, что решение а,**1 (г) системы (18) единственно и не является скользящем режимом. Подсчитаем величину ц(ик) = Ф(и"\) - ) . Тогда если , то ик( г) -

экстремальное управление. В случае ц(ик)>0 процесс повторяемся. Метод (I?)-(19) обладает свойством сходимости гы неЕязке: ¡о. С и*; О , к — к. .

Беря за основу вторую формулу (18) приращения функционала, можно построить следующий метод улучшения допустимых управлений. Пусть и?а) , £ € Т , й=0,!,... - допустимое управление. Подсчитаем фазовую траекторию хка)=хЦ,и. Найдём управление \>к(1,р) из условия максимума

ик(1,р) = агдр^и' Н(р,хк(1)) , ( е Г . ( 20 )

и си

Для поиска траектории рк*'(1) совместно проинтегрируем в обратном времени пару задач Коши

р = -Л(ьк(1,р),г)тр - Ш(/(хка),ик(г,р),г) -

( 21 )

Ф - -л£,р),г- 5<Л(1<ка,р)^) + ра) , Фгг ( 22 )

Сиределим следующее приближение

ил+'/0 =• 'Л '1,рк11а)) , X Т . ( 23 )

Схема (20)-(23) улучшает, вообще говоря, управление ив условиях единственности решения p*"'(tj систем (21), (2,?) и отсутствии скользящего режима обладает свойством: k-*<*.

В §5 полученные процедуры улучшения (17)-(19) и (?.0)-(?,3) конкретизируются для случая гадэ-i» ишиияэзцяи нормы конечного состояния на траекториях системы

х = A(t)x + Ъ(и,с) , \r(t }*х° .

Для решения втой задачи применяется метод (17)-(19), который в данной ситуации упрощается: матричная функция- S>(lj вычисляется один раз и не пересчитываете б процессе итераций, что существенно экономит вычислительные затраты на каждой итерации. Проведено решение ряда модельных задач. В итсге представленные процедуры улучшения дают большой выигрыш по времени в сравнении со стандартным« алгоритмами ( методом условного градиента, методом игольчатого варьирования ), чте нах'лядно демонстрирует их эффективность.

Во второй главе рассматривается аадача оптимальною управления со свободам правым конном в следующей постановке

Ф(и) = ф( J7ft;;; rain , и е V , ( 24 )

х f(iC,U,t} , x(tn)^x'J , ( 25 )

V = f ti € ' U(t) € U , t. f T ) . ( 2G )

Здесь U - компакт из Rr .

В §1 проводится естественная ( тейлоровская ; линеаризация задачи (24)-(25) но паре у,о по фазовым перемени™ без коррекции линейного члена в разложений нравов част:;:

¿í'- tJ(X(t,U),U(t),t) ^ J'x(rl''..n).V,t)¿X'Ol 5лл'|! uit0)«Q.

В итоге фазовая вариация функционала определяется соотношением A = 6Фрлги) о (Г ¡I дз: [(.J - 10 -

и имеет виц

6Ф(и.'о) = -.[ $(С,и)ть,/(х(*>и),иа),';) Лг , г

где - решение сопряжйнной задачи

Ф = „(х'А ,и) ,'с )тф , х(хИ1,и)) .

Традиционная игольчатая линеаризация ( относительно параметра р = тзз (г € Т : иа)зта)} ) приводит к аппроксимации

диФ{и) = 60Ф(и,и) + о{р) ,

где 30ФГи,и; - аг .

В итоге фазовая линеаризация, в отличие от игольчатой, является точной в задачах, линзйкых по состоянию, еидэ (1)-(2).

В §2 производится построение метода фазовой линеаризации. Процедура варьирования допустимых управлений задаётся в виде

и Г£ ) = и(Х) + \ftuvilj - и(г)) , £ € Т ,

V € V , X € { х С : ) «-; {0,1) ,

Г XI'ГШ = ааГго) ) , а € 10,11 . г

Параметры варьирования и и % находятся из условия уменьшения вариации 6Ф(и,и ) на величину порядка а .

Предложенная техника варьирования допустимых управлений позволяет построить процедуру фазовой линеаризации для решения задачи (24)-(26). Пусть имеется управление и с V с соответствующей траекторией х(1)~ха,и) , I с У . Определим управление на, ф ) соотношением

г» Г £, ф) = аг^тпах , г а ? . ( 27 )

ыьт

Подсчитаем функцию варьирования

0 , g(t,'p) < \(ц>,а)

1 , g(T,i<) > ЛСф.а;

О V i , g( l ,<1)J =- ,

где gft,<j>J = <\?(f(x(t),v(t,<\>),t) - f(x( t ) ,u(t} ,L ) , Л.(ф ,a) -множитель Лэграшка.

Далее, введём семейство управлений

u(t,ф,си = u(t) -t ^(Ч.ф.сОСг'а.ф; - u(t;j , t ç T ( 29 )

и найдЭм решение ty (t) сопряжённой системы

ф= -fx(ztt),u(r.,q>,a.),t)',<\> , <p(t ,)) . ( 30 )

Окончательно положим

Ujl) _- u{t,'i>rJt),4) , t с T . ( 31 )

Если управление n(tj не удовлетворяет принципу максимума, то для малых а > О возможно улучшение: ) < Ф'и) .

В §3 обсуждаются вопроси реализации метода фазовой линеаризации (27)--(31). Указывается, что в качестве независимого параметра варьирования вместо параметра а целесообразно использовать множитель Лэгранна \>0 . В этом случае процедура варьирования примет следующий вид:

u(t,ф,А; -

u<îj , g(t,ф; < х

i>iM>; , g(t,фj - л .

Для каадого ХЮ находится решение ф it) сои:нл£нной системы

Ф = -fx(x(L),ll(t,^,X),J Лф , Ht ()~-<fs(-V(t f}) . ( ЗЯ ) - 12 -

В результате формируется управление ux(t)=u(t,i\>K(t),X) , и параметр .-л^О подбирается из условия умзньшения функционала: Ф(и } < Ф(ч) .

Отмечается, что согфяжённая система (32) является, вообще говоря, разрывной по ф . ЕЭ решение на поверхностях разрыва вектор-функции u(tty,\) понимается как решение соответствующего дифференциального включения

Ф f 'fjx(t),U(t,i,,X),t)'i¡ , <p(t1 )=-<(,Jxít^) ,

где U(t,- мкокество значений управления .

В заключение параграфа приводятся результаты численного эксперимента для задачи с нагреве тонкой мишени лазером и задачи управления наблюдением двух объектов одним каналом и сравнение с методом игольчатой .линеаризации.

Б §4 предложен второй вариант метода фазовой линеаризации. Фазовая вариация функционала в этом случае принимает вид

- -f è(t,u)T*J(x(t,vj,u(t),v)dt . т

Тогда ¡фоцедуру улучшения мокло организовать следующим образом. Пусть u(t) , t € - - допустимое управление с соответствующими решениями x(t), фШ фазсвсй и сопряжённой систем. НайдЗм экстремальное управление

v(t,x) = argrrnx ty(tff(x,v,L) , t ç Т

viU

и образуем функцию переключения

g(t,x) ^tyítf(f(x,v(t,x),i) - f(x,u(t),t)) . Сформируем Я-язраметркческсе семейство управлений варьирования

j' u(t) , g(t,x) < X u(t,x,\) I vit,г) , g[i,x) >X

j u(i)\t vil ,x) , git,x) \ .

Пусть - соответствующее решение фазовой системы

i = f(x,u(t,x,l),t) , r(t0)=x° .

Обозначим

ux(t) = u(t,z^(t},К) , t с T .

Параметр Х^О подбирается из условия улучшения по функционалу: Ф(их) < Ф(и) .

В третьей главе продолжается изучение задачи (24)-(26) в предположениях выпуклости множества U и гладкости правой части системы (25) по управлению.

В §1 проводится разработка и обоснование методов полной линеаризации но совокупности "состояние, управление". Линеаризованная система имеет вид

лх = fx(x(t,u),v,t)àx v .;jxii,u},u(î),t)tvv(t) -t

+ 0,rjA.r|U V O^Cfii^Uf'Î )\)

И является точной для билинейных систем.

Процедура варьирования задается с помощью семейства

uv (t) = u(t)+yji)(v(ij-u(t.l) , t ç T , и ч и , x(t)<=JOJ]

с нормировкой функции варьирования y(t) в пространстве Lm : JlXloo = а , a ç [0,1J ( слабое варьирование ) .

Получен следующий модифицированный вариант метода условного градиента. НайдЗм управление vit/ï>) как решение экстремальной задачи

v(t,to) = urgni'jx U (<]>,х(т. ,v.) ,v,i ) , t с Т vvi и

Сформируем управление

uf t,ф,а) = u(t) + о. (и Г t ) - u(t.i) , i t T и подсчитаем решение Ф ÎU соггрлкЧнной 'оздачи

Ф = -fx(z(t,u;,nir,<-i>,c.),i /ф , Jx{tlfv)j

В итоге положим

и (с) - u(tj + а( (t) - U(Î)) , vit) = V(t,(ù(t)) , t Î T

Ci U I v Wf

и параметр a e 10,11 подбираем из условия улучшения: Ф(иа) < Ф(и) .

Если для поиска управления t'fM^ использовать операцию проектирования на множество U :

v(î,<p) = Pu(u(t) т HJ^,r(t:u),utt),t)) , t (î,

то имеем модифицированный вариант метода проекции градиента.

В §2 в предположении линейности правой части системы (25) по управлению при нормироЕКб фуш:цш варьирования x(t) в пространстве Ь„: г x.2it.)clt = a2lt , a i [0,1] строится проце-~ т

дура смешанного варьирования ( типа sat-функции ), когда в состав Еозмущйнного управления входят как внутренние, так и граничные участки.

ПЖ'ШКАЦШД

1. Антонин В.Г. Двойственный алгоритм и программа для решения полулинейных задач оптимального управления с променутсчными условиям!// 5-я кокф. молодых учёных Иркутской области. 4.1: Тезисы докл. - Иркутск, 198?. - 0.4.

2. Срочно В.А., Хэмидулкн Р.Г., Антоник В.Г. О методах фазовой линеаризации з задачах оптимального управления // 6-я Все-союз.конф. по,управлении в механических системах. Тез.докл.-Львов, 1988. - С.145.

3. Срочко В.А., Хамидулин Р.Г., Антонин В.Г. К численному решению задач оптимального управления с терминальными ограничениям! // Проблемы теоретической кибернетики. Тез.докл. 8-й Всесоюз.конф. - Горький, 1Э8в. - ОЛ21.

4. Хаммулнл Р.Г., Антоник Б.Г. о методах линепризацял в задачах оптимального унрчлл*ния с краевыми условиями .'/' Междунв-

родная школа-семинар по методам оптимизации к их прилокени-ям. Тез.докл. - Иркутск, 1989. - С.209.

5. Антоник В.Г. Модифицированные варианты методов линеаризации в -задачах оптимального управления // Методы оптимизации и их приложения. - Иркутск, 1991. С.5-17.

6. Антоник В.Г. Вопросы улучшения допустимых .управлений в .линейных системах // Численные метода анализа и их приложения. - Иркутск, 1991. -• С.4-11.

7. Антоник В.Г. О методах линеаризации в задачах оптимального управления. - Иркутек,I991. - 14 с. - Деп.в ВИНИТИ 24.06.91, № 2641,

Подписано к печати 'Ч" октября 1991 г Оперативная печа1ь Тираж 100 экз. Заказ * ¡1'

Отцеча'Тано ь Иркут. ун-те Иркутск, .ул. К.Маркса, [