Исследование устойчивоподобных свойств решений конечно-разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Садкхг^е^р0^ргскм государственный университет

I 1)10 ¡'I !0.>.)- ---:-

На правах рукописи

Афиногентова Елена Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОПОДОБНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 - вычислительная математика

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на математическом факультете Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Щенников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Квитко кандидат физико-математических наук, доцент Т.К. Виноградова

Ведущая организация: Балтийский государственный технический университет имени Д.Ф, Устинова (Военмех)

Защита состоится _1998г. в "ч-

на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой стешни кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете го адресу:Санкт-Петербург,В.О.,10-я линия,д.ЗЗ, ауд.66.

С диссертацией мояшо ознакомиться по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная,7/9, библиотека СПбГУ. .

Автореферат разослан "/■/ " ЛлМ^_1998 г-

Ученый секретарь диссертационного совета К-063.57.16, доктор физико-математических наук, профессор

ГОРЬКОВОЙ В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С развитием науки и техники возникли новые задачи, решение которых требует исследования свойств конечно-разностных уравнений. Они являются удобной моделью для описания дискретных динамических' систем, а также для математического моделирования импульсных систем. По дискретной системе в определенных случаях можно судить об' устойчивости систем дифферзнцилышх уравнений. Уравнения в конечных разностях возникают и в случае разностной аппроксимации дифференциальных уравнений ' при решении их численными методами. Бри этом становится актуальной проблема устойчивости вычислительных процессов, которая напрямую связана с устойчивостью дискретных систем. Кроме того конечно-разностные уравнения представляют особый интерес в качестве моделей при решении математическими методами проблем медицины и биологии.

Цель работы. 1.Построение оценок погрешности линеаризации систем конечно-разностных уравнений.

2.Определение области асимптотической устойчивости дискретной системы в случае аналитического задания её правой часта.

3.Исследование нелинейной системы конечно-разностных уравнений на устойчивость по части переменных.

4.Стабилизация системы конечно-разностных уравнений в критическом случае ш простых корней, по модулю равных единице.

Методы исследования связаны с применением прямого метода Ляпунова и теоремы сравнения для конечно-разностного уравнения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые.результаты, выносимые на защиту.

1 .Построены оценки погрешности линеаризации по всем переменным и по части переменных для систем конечно-разностных

уравнений.

2.Оценена погрешность линеаризации для параметрически возмущенных систем конечно-разностных уравнений.

3.Разработанный способ оценивания погрешности линеаризации применяется для получения соответствующих оценок при решении дифферзнциальных уравнения методами Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка.

4.Подучены уравнения для определения коэффициентов разложения дискретной функции Ляпунова в ряд по одаородным формам.

5.Доказана теорема об устойчивости по части переменных для нелинейных систем конечно-разностных уравнений.

8. Доказана теорема, дающая достаточные условия стабилизируемое™ системы конечно-разностных уравнений в критическом случае ш простых корней, по модулю равных единице.

7. Проведено исследование корректности применения линейной математической модели раковой опухоли при лучевой терапии.

Научная и практическая ценность. Теоретический характер работы определяют результаты, касающиеся области асимптотической устойчивости, решения задачи об устойчивости по части переменных и стабилизации системы конечно-разностных уравнений в критическом случае. Разработанный способ получения оценок погрешности линеаризации имеет практический интерес. Он позволяет определить корректность применения метода линеаризации при решении систем дифференциальных уравнений численными методами. В процессе исследования математической модели раковой опухоли при лучевой терапии, с его помощью определяется эффективность лечения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на I Международной конференции по дифференциальным

уравнениям и их приложениям (Саранск, 1994 г.), на Огаревских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1995, 1996, 1997гт.), на семинарах кафедры дифференциальных уравнения (1994-1998 гг.) Мордовского государственного университета.

Публикации. Основные результаты работы отражена в пяти публикациях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации 109 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации и приводятся основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе содержатся основные сведения то теории ус-, тойчивости систем конечно-разностных уравнений, даны необходимые определения, излагаются основные идеи прямого метода Ляпунова для изучаемых уравнений, теоремы об устойчивости по части переменных, для критического случая и элементы теории управления дискретными объектами.

Во второй главе разрабатывается метод построения оценок погрешности линеаризации, которые позволяют определоть насколько отличаются друг от друга решения нелинейной и линеаризованной систем. Указаны условия существования таких оценок, связанные с разрешимостью скалярного уравнения.

В первом параграфе верхняя оцэнка нормы погрешности линеаризации строится по всем переменным для системы

хСк+11>=ЛхСк>+РСхСкЭЭ+гСк}, хСОЭ-хо, ксЫ. N-<0, 1, г,... > , (1)

где-а - постоянная матрица размерности юп,. гсхскээ , гскз - . п-мерные векторы,

|ГСхСк}3||^Ь||хСкЗ||>', ||г<к> [|<В<а> при ЦхСкЭ ||:£р.

Здесь ь>о, г>1. р>о - произвольное вещественное число. Предполагается, что для линейноа системы

хСк+11"АхСк}, кеМ, (2)

существует дискретная функция Ляпунова усхск>з, удовлетворяющая неравенствам

а) ИхСкЭ «£УСхСк5Э<М«хСкЭ « , М>1 ;

б) | УСх"<Ю)-УСх'СЮЭ |£М11х"СкЭ-х'Ск> » , В) ¥СхСк+1>>-УСхСк))5-хУСхСкЭ> , 0<*<1 .

Линеаризованный вариант системы (1) имеет вид

1Ск+15-АЪСк5+гСк> , ЪСОЭ-х , кеЯ.

• о *

Доказана следующая теорема

теорема г.1.1. Если для линейной системы (2) выполнены условия а)-в) и, кроме того, уравнение

-ХЧ+МЬи^+МВ-О

имеет решения и'11 и и'21 такие, что о£иш<и" и м«хсоэ «<и'г>, то при кеМ справодлины оценки

1> Лх(к)»<тах<М«хСОЭ1!,иШ>=Лг

MhAr

£> JcrCki ll-llxCk>-tClc) «<-.

X

Во втором параграфе верхняя оценка нормы погрешности линеаризации строится по части переменных для системы (3) при наличии устойчивости линейноа части системы по соответствующим переменным. По остальным переменным оценка зависит от дискретного параметра времени, причем, если имеется устойчивость по всем переменным, то предельное значение оценки не зависит от параметра времени.

yC)c+lD-PyCk)+LCyCkD,z(k»+fCkJ ,

(3)

zC k+i } -Sy< Ю +QzC Ю +DCy< k5, zCk>> +gC k>

хСОЭ-х , keN.

о

Здесь усю - ^-мерный вектор, гею - с n-го-мерный вектор, р, s, Q - постоянные матрицы размера (n-ni)xni и (n-г^ )х (п-г^)

соответственно; LCyCk),zCk)), Кускз,zCk?> - вектор-функции размера п^ и (п-п^) соответственно; гею - п4-мерный вектор, дсю - (п-п1)-мерный вектор, удовлетворяющие соотношениям

HLCytkD, zCk>> llimllytki lla, IlfCkJ Hiq<«o, о>1 , (q&m)>0; IIDCyC zC k}5 И^ЛуСкЭ 11^, ИдСкЭllip<cp, ft>l , (d&p)>0.

Погрешность линеаризации определяется равенствами

£ Cki-ytkD-^CkJ , « »zCkJ-vCk> , keM,

у * 3

где г,с kj и vCk> есть решения системы

Т)С к+13 =Рт)С к) С к) ,

иС к +1 > »Зт)С к) +ОиС кЭ +дС кЗ , тСк> -Сг)СкЭ, тЛ к» Т , гС03»хо> кеК,

,7 знак транспонирования.

Пусть для линейной системы

/(к+П-РуСкЭ ,

(5)

2ск+13-3)<к>+02(к3 , кеМ,

существует дискретная функция Ляпунова УСхСк>>, удовлетворяющая неравенствам

а') 1уСк> 1<УСхСк>1<йС1у<к> «-ИгСкЭвЭ , ;

б' ) 1УСх"Ск}Э-УСх'Ск)} |<р< «у"СкЗ-у'Ск> «4»г"Ск)-2'Ск) О ,

В') УСАхСк)5-?Сх<к)><-0УСхСкЛ,О<е<1, хСк)-Су<кЗ ,2Ск»Т .

Теорема 8.2.1. ЕСЛИ ДЛЯ ЛИНейНОЙ СИСТ9МЫ (5) ВЫПОЛВеНЫ условия а' )-в') и уравнение

-вш+рпш^+^скЛцСр+ч} «О

в области *>о имеет решения и такш, что о<**"<*г> и м1хСо>«<»'г>, то при кем справедливы оценки

рс л»5а+ай'?)

Ву<кЭВ£тах<р«хо1,*'1,>-6, ВсуСк> -—- -сг,

8£ СкЛйС 15>о~»<1<5^). -<у, при |£Ск> 1-«х<к>-т<к> %<о4а, .

* , Д — И ЦВ К к

В третьем параграфе вариационный метод исследования устойчивости параметрически возмущенных систем вида

хС к-+1 > «САСуЗ +ВСуЗиС кЗСТСуЗЗ хСкЗ+гСхСкЗ, к, уЗ+гСкЗ, кеЫ, (6)

где

АСгЗ-Са.^СгЗ)"^ - СпхлО-матрица, ВС*0-1Ь1С>0, . • .,ьт£у>3 - СпхлО-матрица, иСкЭ-Си.^СкЗ!^™'^' - С тхэЗ -МЭТрИЦа, ССуЗ-[с1СГУ... . ,с3ССпхвЭ-матрица.

постоянные параметры »'■•у^ принадлежат ограниченной замкнутой области г<жг, кроме того предполагается, что:

1 )яг<хСкЭ,к,/В<р«х<кЗ 1г при к>к , ИхСкЗ«<г,

р>о, г>о - произвольное вещественное число; 23 8г<к3 П^сКоо, при <*>0;

3За. ¿и. <р. , 1-1,111, «»1,3 1

IV 1« 1 ¡и* '

применяется для нахождения максимальной области изменения параметра. При значениях параметра из этой области получена оценка нормы погрешности линеаризации исходной системы. Соответствующая линеаризованная система имеет вид

:гСк+13 «С АС уЗ +ВС ^3 иС к> СТС 3 хС кЗ -*г С кЗ , к<=Ы (7)

В рассмотрение вводится функционал

Ли1--ВуС/о,ко>К5Иг , E>kQ+l, (8)

где у<уо, ко, ю - решение системы

yCk+li-CACjOHBCjOuCk^CjO^yCki, кеМ. (9)

при фиксированной ucki«u, (и - совокупность матриц искз, элементы которых удовлетворяют неравенствам 3)) и rep. иеи -матрица, для которой

Jig]"« max J I u).

u i к > €U

Для линейной системы

yCk+l>-CACr> tBCfi иСГСгУ>уСк>, keN,

существует доложительно определенная функция vcyck>5 такая, что

a)«yCkJB£VCyCk><Mly{)c) I, М>1; б ) IVC у"Cki i -VC у' С Ю 5 |£М» у"С к J -у' С к5 Н ; B)VCy<k-H>)-VCyCk>)<-aVCy<k>5, СКс<<1.

Теорема 2.3.3. Пусть для системы (6) вшолнякггся условия:

т 01

I. 1 )-3), а)-В). где Юа+1, «АС^+ВСуЭиСЧу-Ж—;

М-1

и. уравнение

-/iu+Mpu2-»Md«0

'имеет два решения- и1' и и2': о<и"<и2', и .кроме того, ми*к 1<о2>. Тогда справедливы оценки

о

о

1хСк> »<тах<М«х<к > I,->=Д,

° гпр

ИгСк) Я-»хСкЭ-г<к)115рЛг~-• к>к .

М-1 -а о

Разработанный в третьей главе метод нахождения оценки нормы погрешности линеаризации дает возможность определить корректность применения линеаризованной системы при исследовании нелинейной системы.

Третья глава включает в себя три параграфа. В первом параграфе рассматривается задача определения области асимптотической устойчивости для дискретных систем вида

хСк+И-ГСхСкЭ), кеМ, (10)

где хскэ - п-мерный вектор с компонентами х^кэ,....х^скэ, ТСхСкУУ ~ вектор-функция вида {СхСЮУ'СГ^СхСЮ},. , . , Г^СхСкЭ)} , причем Предполагается, что правые части системы (10)

разлагаются в ряды по степеням х^скэ,... .х^ск), сходящиеся абсолютно в некоторой окрестности положения равновесия системы.

Показано, что уравнение

УСхС к41>) -УСхСк}} »-ФС х<к}}С1 -УСхСк}}Э, (11 )

соответствующее уравнению в частных производных для непрерывного случая, разрешимо относительно усх<к>> в области асимптотической устойчивости при условии, что функция Ф<х(кз> задается в виде степенного ряда.

Функция УСхСкээ, являющаяся решением разностного уравнения (11) найденная в виде степенного ряда , определена в некоторой окрестности нуля. Построив ее аналитическое продолжение, можно

сколь угодао близко приблизится к границе области асимптотической устойчивости. В диссертации получены уравнения для определения коэффициентов разложения функции Ляпунова V в ряд по однородным формам относительно переменной х в случае, когда функция представлена в вице степенного ряда.

Второй параграф посвящен решению задачи об устойчивости по

части переменных нулевого решения нелинейной системы конечно-разностных уравнений

у Ск+О-З^ а. уСЮ+Г? Ь .гСк) +У СуСк},гСЮЭ,

V Э ^1 = 1 VI I V

<12)

г .С к +1У -Е^С г^С к) +гс у( кЗ , гС кЗ Э , кеИ С1-17р , Л-Т7Ч>.

Правые части системы (12) считаем непрерывными и удовлетворяющими условиям существования и единственности решения в Области «уСкЭКа, <3>0, ИгСкЭ й<00. Пусть уСк>»0, ъСЮ-О - положение равновесия. Предполагается, что функции усусю, 2ск>> разлагается в ряды с постоянными коэффициентами по степеням кэ,...»у^ск), ^ск},.... з^скз в окрестности нуля, причем разложения начинаются с членов не ниже второй степени. Функции чхусю.гсюъ, 1-1,р представлены следующим образом

У.СуСЮ.гСк«^ У^'СгСкЭ+Й У^г><уСЮЗ +

1 г

* ЧуСк??!^^^^2 'с гСк>> +К.СуСкЭ, гСк5),

ГДЭ У<с/1,С2Ск53. у'^'СуСк«. Г<<51>Су(к», р'^'чхСЮ^-

IV * 21 * * 11 ' ' 12

однородные формы степени ог, , ¿г соответственно. Новые переменные определяются равенствами

мСЮ«Гч Ь г С к>ч"*1' 'Ч *-г=» а I ^о =2 п 1

1 г

Из системы (2) после введения новых переменных (13) выделяют линейную ^-систему

уСк+1Э-Гр а у С к) Ск>, 1-ГГр.

I У -1 18 I I

(14)

1 11 1 11

Доказаная теорема 3.2.2 позволяет вместо линейной части исходной системы рассматривать линейную ^-систему и в зависимости от ее устойчивости или неустойчивости делать вывод об устойчивости по заданным переменным нулевого решения исходной системы.

Теорем« 3.2.2. ПуСТЬ ДЛЯ СИСТвМЫ (14) СуЩвСТВувТ ФУНКЦИЯ ус?<к>} такая, что

а) с41?СкЭ »г<УСгСкЭ>:£сг«?{к>11г, с >0,с >Ог

б) ДУ14(С?<к>5<-сзй?СкЛ2, 0<сэ<1;

В) |УС?Ск35-УС?СкЗЗ |<М»?£кЭ-?СкЭ Я, М>0.

Здесь ?<к>- вектор с координатами ухы, ^скэ, сю ,1-ГГр,

1

<5^1, Е-1 , ДУ(14)С?Ск>>- шрвая разность функции УС?С к« на решениях системы (14).

Кроме того будем предполагать, что справедливо неравенство

8UCyCk>, ¡i& <k>, z<k3 3 »¿p»i<k3 II2, »>>0, i

где и - вектор-функция, компонентами которой являются нелинейные слагаемые системы (12) после введения новых переменных по формулам (13).

Тогда нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво по переменной усю.

Этот метод позволяет учитывать структуру не только нелинейных, но и линейных членов в исходной системе, при этом расширяется область применимости метода линеаризации.

Во третьем параграфе решается задача стабилизации нелинейной системы конечно-разностных уравнений

хСк+13 «РхСк)-tSi СкЭ+QuCк) +f Сх<кЗ, {(кЭ, иСкЗ3 ,

?Ск+13 «£СкЗ лрСхСкУ, ?СкЗ, иСкЗ 3, k«N, (15)

СхСкЗей", iCkieR™, u<k3«=Rl3.

Матрица Р постоянная размерности «хп и имеет собственные числа по модул» меньше единицы, s и Q - постоянные матрицы размерности (пхио и спхо соответственно. Компоненты вектор-фукций t и <р разлагаются в ряда, по степеням х^кз, ..., *скз, г^скз,

.... ¡г <кЗ. иСкЗ, .... и.СкЗ , ССх Ск>... СкЗЗТ-хСкЗ,

т I I i п

Cfi<k3,...,fm<k>>T-fCk3, Си1Ск>,...,и1<кЗЗт»иСкЗ, СХ0ДЯЩШСЯ

при достаточно малых »хсюа и »?ck>« и несодержащие членов, линейных ; fco, о,оз«о, *>со, о, оз-о.

С помощью неособой линейной замены системы уравнений с аналитическими правыми частями приводятся к виду системы (15), если характеристическое уравнение имеет m простых корней, по

модулю равных единице.

Теорема 3.3.1 даёт достаточные условия стабилизируемое™ системы (15) управлением вида

а> «а

«СкЗ-СхСкЗ+ Г 4Са,...,о )? *СкЗ...? тСк>. (16)

1 т 1 т

Л ♦ . . . +С< =1 1 т

где С - матрица размерности 1хп, Ы-а^,..., аи)ек1.

теорема з.э.1. Система (15) стабилизируема управлением (18), если после подстановки в функцию ^хсю^оо.иСкт

00 р р х<к>- с Кр ,...,(1 )( ЧкЭ...? тСк>

- - 1 т 1 т

я ..

1 00 ^ иСЮ-0 £ г)(р ,...,{) СкСкЗ-

Л гЭ 4 «11 Ш

ОТ 0 р

-Н £ ЛСР.....Р )? Чк>...? ™<к>, р,...*р ~~ 1 1 т 1

где кр^.. ..р^) - решение системы уравнений

СР+ОО«^ ,...,р -)~Г)<.р , ... 1-йаСр 3

1 т 1 т 1 т

Причем • •• >оэ—э ,...,псо,... ,о, 13 — где й.,

- столбцы матрицы 5; пср^...,рт1 в общем случае зависит от

т т

>7( р^..., , где р^..., таниэ, что Е Р < Е . нелинейное

т 1=1 1-1

приближение второго уравнения системы (16) асимптотически устойчиво.

Гаким образом, решение поставленной задачи осуществляется

позтапно. Сначала стабилизируется линейная система некритической части исходной системы, затем определяются соответствующие параметры аса,...,« > и строится стабилизирующее управление для

всей системы.

В четвертой главе, состоящей из дзух параграфов, даны приложения представленного в третьей главе метода оценивания.

В первом параграфе рассматриваются разностные схемы решения квазилинейной системы дифференциальных уравнений численными методами Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта четвертого порядка как системы конечно-разностных уравнений. На основе метода, изложенного в третьей главе, оценивается норма разности решений нелинейной и линеаризованной систем дифференциальных уравнений, полученных с помощью разностных схем метода Эйлера и Рунгз-Кутта четвертого порядка.

Во втором параграфе рассматривается математическая модель раковой опухоли при лучевой терапии. Показано, что при определенных соотношениях кинетических ' параметров ' модели допустима линеаризация. В случае, когда такая замена не может быть произведена, оценивается разница между числом патологических клеток линейной и нелинейной модели при одинаковой оптимальной дозе облучения. Данная оценка позволяет определить эффективность лечения при лучевой терапии.

Все результаты второй, третьей и четвертой глав являются новыми.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ , ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Афшзогентова Е.В., Щенников В.Н. Построение оценки по-

грешности линеаризации систем конечно-разностных уравнений// Тез. докл. I Междун. конф. "Дифференциальные уравнения и юс приложения", Саранск, 1994. - С.30.

2. Афиногентова Е.В., Щешшков В.Н. Построение оценки погрешности линеаризации систем конечно-разностных уравнений // Мат. моделирование, РАН - 1995. - Т.7,N5. -С.34.

3. Афиногентова Е.В. Построение оцэнки погрешности линеаризации системы конечно-разностных уравнений относительно части переменных // xxiv Огзревскио чтения: Тез. докл. науч. конф., Саранск, 4-9 дек., 1995. В 3 ч. Ч.З. - Саранск, 1995. -С.30.

4. Афиногентова Е.В., Ценников В.Н. Построение оценок погрешностей линеаризации в параметрически возмущенных системах // Дифференциальные уравнения и метода их решения. / Мордов. гос. ун-т.- Саранск, 1995. - С. 43-52. - Деп. в ВИНИТИ 05.12.95, NQ224-B95.

5. Афиногентова Е.В. Стабилизация системы конечно-разностных уравнений в критическом случае m корней, равных единице // Вести. Морд, ун-та. - 1997. -№1. - С. 53-56.