Методы построения функций управляемости и позиционных управлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Харківський національний університет імені В.II. Каразіна

? і ;і ?, Ч

Скорик Василь Олександрович

УДК 51

МЕТОДИ ПОБУДОВИ ФУНКЦІЙ КЕРОВАНОСТІ ТА ПОЗИЦІЙНИХ КЕРУВАНЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичшіх наук

лп

Харків - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Ка-разіна Міністерства освіти та науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент

Когут Петро Ілліч, професор кафедри комп’ютерних інформаційних технологій Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту;

кандидат фізико-математичних наук, професор Рабах Рабах, професор інституту кібернетики Гірничого інституту м. ГІант, Франція (Institut de Recherche єн Cybernétique de Nantes Ecole des Mines de Nantes, France).

Провідна установа: Одесі,кий національний університет імені 1.1. Мечникова Міністерства освіти та науки України, м. Одеса, кафедра оптимального керування.

Захист відбудеться ”29” грудня 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи,4.

Автореферат розісланий ’‘29" листопада 2000 р.

Скляр Григорій Михайлович, професор кафедри математичного аналізу Харківського національного університету ім. В.ІІ. Ка-разіна.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математична теорія керування бере свій початок у середині 50-х років XX століття. її виникнення пов’язане з необхідністю розв’язувати нові на той час задачі керування, перш за все, механічними об’єктами, рух яких описується диференціальними рівняннями. Подальший розпиток теорії керування пов’язаний як із прикладними задачами (керування літаючими об’єктами, у тому числі космічними апаратами, керування технологічними та економічними процесами, тощо), так і з дослідженням задач керування як суто матемаїичних. Так виникли та сформувалися такі напрямки в математичній теорії керування як керованість, спостережуваність, ідентифікація систем, теорія оптимального керування, еннтеї керування для різних типів систем (звичайних диференціальних, у тому числі в нескінченновимірннх просторах, з розподіленими параметрами, інтегро-лиференціальїшх, стохастпчних, із запізненням та інші).

З іншого боку, інтенсивний розвиток математичної теорії керованих процесів призвів до виникнення принципово нових напрямків теорії диференціальних рівнянь, що в значній мірі вишачал її теперішній стан. Одним із таких напрямків став синтез керування для диференціальних рівнянь, якому присвячена дисертація. Широке застосування до задач керування і подальший розвиток одержав метод функцій О.М. Ляпунова. Одним із важливих досягнень у цьому напрямку став метод функції керованості, запропонований1 ІЗ.І. К.оробовим для розв’язання задачі синтезу допустимого позиційного керування. Пізніше цей метод був розвинутий ІЗ.І. Ко-робовим і Г.М. Скляром також і на нескінченновимірнип випадок (метод фу нкці оц ал у кер о в а н о сті2).

Поряд із теоремами, що становлять загальний підхід1’1’, як і в методі функцій Ляпунова, важливою складовою частиною методу функції керованості є способи побудови функції керованості і синтезуючого керування для конкретних класів систем. Па цьому шляху у випадку скінченповимірних систем запропоновано ряд методів для побудови досить широкої множини

'Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости// Матем. сб.- 1979.- Т. 109(151), 4(8). - С.

582 - 606.

2Коробов 13.1., Скляр Г.М. Розв’язок задачі синтезу за допомогою функціоналу керованості для систем в нескінчепноішмірних просторах// Доп. АН УРСР. Сер. А,- 1983,- № 5,- С. 11-14.

^Коробов В.И., Скляр Г.М. Синтез управлення в уравнениях, содержащих неограниченный оператор// Теория функций, функциональный анализ и их приложения.- 198С,- Вып. 45,- С. 45-63.

обмежених керувань1,4,5. У той же час для нескінченновимірних систем до цього часу розроблено по суті один метод2, обгрунтування якого наведено в роботі6. У зв’язку з ним актуальним є створення різноманітних методів побудови позиційних керувань, що розв’язують задачу позиційного синтезу для диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі.

До цього часу в межах методу функції керованості розглядалися лише задачі з геометричними обмеженнями на керування. Проте актуальним та важливим для застосувань є випадок, коли керування має задовольняти обмеження також і на його похідні (так звані інерційні керування'). У дисертаційній роботі дається подальший розвиток методу функції керованості для розв’язання задачі позиційного синтезу обмежених інерційних керувань для скінчеішовимірних систем.

Зв’язок роботи з науковими проламами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний у дисертації, є складовою частиною тематики кафедри диференціальних рівнянь та керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.II. Ка-разіна за державним реєстраційним номером 0100U003352 ’’Нелінійні динамічні системи та керування”, яка виконується згідно з кафедральним планом науково-дослідних робіт.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова множини обмежених позиційних керувань, що розв’язують задачу синтезу для лінійного диференціального рівняння та нелінійного рівняння за пертим наближенням у гільбертових просторах, розв’язання задачі позиційного синтезу обмежених інерційних керувань для систем у скінченно-вимірних просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі вперше:

І. У гільбертових просторах на основі методу функціоналу керованості:

1. Побудована множина обмежених позиційних керувань, кожне з яких розв’язує задачу локального синтезу для керованого процесу, який описується лінійним диференціальним рівнянням з обмеженим оператором. На цій основі розв’язана задача для нелінійного рівняння за першим наближенням.

4Коробов В.И., Скляр Г.М. Методы построения позиционных управлении и допустимый принцип максимума // Дифференциальные уравнения,- 1990,- Т. 26, № 11- С. 1914-1924.

5 Коробов В.И., Скляр Г.М. О множестве позиционных ограниченных управлений, решающих задачу синтеза// Докл. АН СССР.- 1990.- Т. 312, № 6.- С. 1304-1308.

6Скляр Г.М. О расиостранимости одного метода построения позиционного синтезирующего управления на уравнения с неограниченным оператором//Веспшк Харьк. ун-та.- 1992,- № 361: Прикладная математика и механика.- С. 15-25.

7Математическая теория оптимальних процессов / Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Гамкрелидзє Р.В., Мищенко Е.Ф. -М.: Наука, 1961.- 391 с.

з

2. Побудована множина обмежених позиційних керувань, кожне з яких розв’язує задачу глобального синтезу для лінійного рівняння з обмеженим кососамосиряжешім оператором.

3. Розв’язана задача позиційного синтезу обмежених керувань для певних класів рівнянь із необмеженим оператором у випадку, коли функціонал керованості є часом руху, що знайшло застосування для рівнянь із частинними похідними.

II. У скінчешювимірних просторах на основі методу функції керованості:

1. Для лінійної системи вказана за параметром ;/ сім’я позиційних керувань. кожне з яких розв’язує задачу локального позиційного синтезу інерційних керувань, а в граничному випадку и ~ сс - задачу стабілізації.

2. Для нелінійної системи з однонимірним керуванням розв’язана задача локального синтезу інерційних керувань за першим наближенням.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є внеском у математичну теорію керованих процесів, що описуються диференціальними рівняннями. Вони можуть бу'іи використані в подальших теоретичних дослідженнях. Поряд із ним, внаслідок конструктивного характеру доведень, ряд результатів може стати основою для побудови нових чисельних методів.

Особистий внесок з,добувача. У роботі [4], то питана на компактному диску за матеріалами 14 Міжнародного сімнозіуму, який проходив у м. ГІерпін’яні (Франція), ідея теореми 3 належить всім авторам у рівній мірі. Доведення цієї теореми автор дисертації отримав особисто. Решта опублікованих результатів отримана автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результаті! дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції ’’Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецьк, 199(3), на Четвертій Кримській Міжнароднім математичній школі ’’Метод функций Ляпунова и его приложения". присвяченої (Ю-річчю директора Інслитута Математики НАН України Л.М. Самойленка (Алушта, 1998), на VII Міжнародній конференції ’’Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецьк, 1999), на Міжнародному науковому семінарі в Інституті Математики Щепінського університету (Польща, 1999), на 14 Міжнародному сімиозіумі МТ^Я 2000 (Першії ян, Франція, 2000), на Міжнародній науковій конференції ’’Дифференциальные и интегральные урависиия” (Одеса, вересень 2000), на науковому семінарі з теорії керування на кафедрі диференціальних рівнянь та керування ММФ ХНУ (керівник професор В.І. Коробов).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи наведено в статтях [1] - [4], три з яких опубліковані в наукових виданнях, включених у перелік ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації 126 сторінок, список використаних літературних джерел містить 86 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі приводиться короткий огляд сучасного стану питань, що вивчаються в дисертації, підстави і вихідні дані для розробки теми, обгрунтування необхідності проведення досліджень.

У тушо му розділі наведено огляд літератури за темою дисертації, обгрунтовується вибір напрямків досліджень та приводяться основні результати дисертації.

У другому розділі наведено загальний підхід до розв'язання задач синтезу в скінчешювимірних та нескінчепновимірних просторах і деякі результати теорії керування, що використовуються в дисертації.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено побудові множини позиційних керувань, які розв’язують задачу позиційного синтезу для диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі.

Розглянемо задачу синтезу обмеженого позиційного керування для керованого процесу, який описується рівнянням dx

— = Ах + Ви, х Є X, и Є Я С U. 0 Є int Я, (1)

dt ■ де X, U - простори Гільберта, оператор А з областю визначення D(j4) породжує сильно неперервну групу операторів { єЛі} _co<i< > тобто оператори А і —А з областями визначення Т)(А) і D(— А) (D(/l) = D(—А)) породжують сильно неперервні півгруни {Г-Аі}і>0 і {с~Л<}(>о і В Є [U,X], Припустимо, що рівняння (1) точно 0-кероване за вільний час.

Під локальним синтезом обмеженого позиційного керування для рівняння (1) будемо розуміти задачу знаходження керування и = и{х) такого, щоб и(х) Є fi для всіх х із деякого околу Q початку координат, і такого, щоб

для довільного xq Є Q розв’язок х(і) рівняння — = Ах + Ви(х) із початковою умовою х(0) = Xq задовольняв умови: 1) lim x(t) — 0 при деякому

t—>T( J70)

скінченному T -- T(xо); 2) х(1) Є Q для всіх t Є [О.Т(о’о))- Якщо Q = X, то будемо говорити про глобальный синтез. Дослідження сформульованої задачі опирається на метод функціоналу керованості.

У підрозділі 3.1 даються методи побудови функціоналів керованості та синтезуючих керувань.

Нехай f(.s) - довільна незростаюча невід’ємна на півосі [О.оо) функція

така, що

ln /(.s)

lim

S —► CO

= /о > 0 (2)

(якщо / - фінітна функція, то /0 = +оо). Позначимо

, ч 1п||е--лгі| , Ґ 2и>0(-А)

tv'0(—Л) = lim --------------, A() = max<0, -

i-* + co І ’ і ' /о

Розглянемо оператор А > Aq, який для кожного ж Є X задається

співвідношенням Nj{Х)х = І /(\і)е АіВВ*е л ьх(іі.

о.

Якщо (функція /(я) не є фінітною, то точна О-керованість рівняння (1) за вільний час еквівалентна додатній означеності оператора Агу(А), А > Ао-Якщо /(л) є фінітною функцією, то для того іцоб оператори N/(\) для всіх А > Ао = Ü були додатно означені, необхідно і достатньо, щоб рівняння (1) було точно О-керовашім за довільно малий час. Якщо оператор А є обмеженим, то поняття точної О-керовапості для рівняння (1) за вільний і за довільно малий час співпадають. У цьому випадку далі будемо говорити, що рівняння (1) точно ü-кероване. У подальшому припускається існування операторів N^(А) при А > Ао-

Нехай 0/ Є (0, А^"1) і ао - деяке додатне число. Виберемо число Ftj = 6, 1 (¿öf. О < <$! < 1, і нехай Q1 = {х : ||j|| < І1}].

Функціонал керованості 0(ж) визначимо в області Q1 \ {()} як єдиний додатний розв’язок рівняння

2aQQv =(Nj' (3)

0(0) = 0. Нехай константа Су = Sn (¿7) II W^]'1 (¿7) її] * > 0 <

62 < 1. Тоді множина Q = {х : Q(x) < С/} є обмеженою і Q С int Q1. Задамо керування Uf(x) в області Q \ {0} формулою

= (4)

У підрозділах 3.2, 3.3 та 3.4 дається розв’язання задачі синтезу пошцій-ішх керувань у випадку, коли А є обмеженим оператором. Л саме, показано, що керування вигляду (4) розв’язує для рівняння (1) задачу синтезу.

У випадку обмеженого оператора А основою для всіх подальших побудувань є наступний факт: умова точної 0-керованості рівняння (1) еквівалентна існуванню цілого числа т > 0 такого, що8

Span{BU, ABV,AmUU} = X. (5)

8Коробов В.И., Рабах Р. Точігая управляемость п банаховом пространств// Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 12.- C. 2142-2150.

Нехай rn > О - найменше число, для якого виконане співвідношення (5). ІІри розв’язанні задачі синтезу суттєву роль відіграє наступна лема, доведення якої основано на ідеях класичної проблеми моментів.

Лема 1. Нехай X і U - гільбертові простори, А Є [Х,Х] і В Є [U,X] -доцільні оператори, і нехай ß(s), s Є [0, со), - монотонна функція, яка має хоча б m + 1 точку зросту і така, що при 0 < 0 < 0^ виконана умова

ОО

I s2m+2e2s@^dfi(s) < CO. (6)

о

Тоді існує константа, > 0 така, ідо прп 0 < 0 < см і деяких додатних константах та (0 < lß < Lß) виконуються нерівності

m , \ m

1»Тв2к\\}ГА-кх\\2<( e-A!Bß*e-A\^(i)x-,x)<IM][>2i:|\Б*А*кх\\2.

k=0 ' k = 0

Позначимо через Fm(/1) клас монотонних незростаючих невід’ємних на півосі [0, +ос) (функцій /, які мають хоча б m -f 1 точку спадання, і таких,

що виконана умова (2). Нехай / Є fii{s) = [ /(т)сіт, p-j(s) = —/(*')>

о

5

Мз(«) = І гсІ(-/(т)). Умова (б) для для цих функцій випливає з (2). Визна-

0

чимо константи cj = min{C/, cßl, с,І2, сДз}, ßj = lß2/(vLtll + Lß3). Розв’язок задачі локального синтезу обмеженого керування дає

Теорема 1. Розглянемо рівняння (1), де X, U - гільбертові простори, А Є [X, X], В Є [U, X], Гї = {к Є U : ||u|| < d} (d > 0 - будь-яке задане число). Припустимо, що рівняння (1) точно 0-кероване. Нехай f Є Fm(A),

0 < a0 < cif = 2/Mld2//2(0)c^-1, функціонал 0(a;) визначається рівнянням (3).

Тоді керування гі/(х) вигляду (4) розв’язує задачу локального синтезу в області Qf \ {0}, де Qj = {х : 0(х) < cj}. При цьому Т(х0) < Q(xü)/ßf.

Випадок кососамоспряженого оператора А в рівнянні (1) дозволяє розглянути питання про глобальний синтез (підрозділ 3.3).

Позначимо через F'm(/1) підклас всіх функцій f(s) із класу функцій Fj;i(j4), для кожної з яких існують числа T¡ > 0 та £/ > 0 такі, що на відрізку [Tj,Tj + £/] функція має похідну f'(s) < 0.

Для функції / Є F'T¡(/1) визначимо число b¡ > 0 так, щоб

Чсі

Cj 1

^ J е-АіВВ"е-Аи(Н£,х^ > ¿/||х-||2 0

Нехай число є > 0 таке, що для функції / Є F'm(A) виконана умова

" ОО

f(c) > 0. Позначимо = min (-/'(*')) > 0> Ij = Í АГМГ>

2,7/,-)</• _ ¿//;гп

/2(0)!І5|Р' ' 2//W

Тс-орема 2. Нехай додатково до умоп теоронп 1 оператор А є ко-сосамсспрлжепим, / Є F;'7i(.4), и = 1, 0 < <in < S'r = min{a/, a^}, /:)-mm{,5';,/?)}. _

Толі функціонал O^.-s) шкшачасться рівіииилм (-1) ул :і всіх гбХ\ {0} і ьеруван.і-і и ({т) пґігллду (і) розв 'язує задачу гл:Хил:ЯіОГС синтезу, причому Т{.го) < Є^0)/£).

і

Ü.C ,

У піДі-'о ід;..;, 3.4 почг.іла/ю и^аиійне p¡ '.ілші.і — = ^х> u)> х Є X,

“ r¿<

■і; Є í¿ С U, 0 Є im. Si, v4:V-') = С, ча перші;;.: на',.г^.кек2;»к.

—- = Аж, -i- bit + 9vr, u), х G X, i* Г Г: ; U, 0 Є- int Si, (7)

fí;. ' ' ' '

,:iO _ ■_ t І ІЛ D'X'.j' T j!i¡ 11 j '.<. / i —' , ■. ’,. 0; , - ' - ,; {(j. 0 i. (i [ .í.". U j } t'' П ¡ peni,:. ,1 na Xxl1 фушаїіл Поалтгл ■ • :/ oí. зленого позицій-

•¡<,<00 ї i С ^1 y F>i і її 11..! Поіїі.іі KXt.Yb^íl Ко. Ні’, і ЛД'-і- Г. ¡. ііроДіі іі ЛІ ЧИНОМ.

’Ієоркка 2. }’03r.'if.n¿M0 керований lípcuc. (7), де X, U - гільбертові простори, сисрь'оух: А Є [Х.Х], Б t |l.',Xj і? — {?» Є U : ||'/¡] < d].

Припустимо, !uo ріпііяиіія (1) є т очк.' ü-xipu¿¿, ej і і функція g(x,u) з а-лоі,о.'хьж нерік.А(ль h);¡ < -f c2¡.л-^|;"3 + сзЦ^Л1"4, де

Ci > 0, с2 > C. r3 > 0, ¿i > 1. s.? > 1, г.. - -c¿ > 1, га ь но&ніїі області ((г. !<,") : С ,r¡ < ¡,1¡j < //3, ¡;íí¡- < зядовах • \ :í умов} Ліааізья

|Ч\г и") - w )j| < з)(!г7 " - • : ?|: + |:u'' - t/jj).

ifeáii / Є Frn(A), с/ = mia{c/, 1}, u > 1 + 2глтаа/{^}, f^j-} ■

Тоді існує додатьа кодсіаліа «о така, що керування u¡{z) вигляду (4), де функніснхл 0(г) гцш х ф 0 визначений рівнянням (3), розв’язує для рівняння (7) задачу локального cniizt-зу в обльоті Q/ \ {0} = {х : 0(я) < Cf) \ {0}^ причому Т{хс) < 0(хс).//і/ (ßf > 0).

Одержані и дисертації вирази для визначення констант «о, ßj не нало-дяіьслі «наслідок їх громіздкості.

Далі в підрозділі 3.5 розглядається нолиціГшпіі синтез для деякого класу керованих ріїшяпь шігляду (1) із необмеженим оператором А, до яких зводяться рІБНяішя з частшнишн похідними гіперболічного типу. Розглянемо,

наприклад, керований хвильовий процес, що описується рівнянням

s) = Ay(i, s) + u(t, s), у|эс=0, (8)

де s Є G, I € [0,oo), G С En - деяка замкнена обмежена область евклідового простору Еп з межею <9G класу С2. За допомогою заміни змінних рівняння (8) зводиться до рівняння вигляду (1), в якому:

а) оператор А має в просторі X ортонормований базис із власних векторів {еп}11=±1 +2 , які відповідають власним значенням {Ап}„_±1 та-

ким, що А,; = А_,м |RcA„| < Л, |ГтАп [ > д, п = ±1, ±2,...;

б) В - оператор вкладення U = Span{en — c_n}n__±1 ±2 в X, тобто

В ((-п £ — п) — Сп ^ — п •

Розглянемо функцію j\{s) = l — s для s Є [0,1], /i(s) = 0 для я > 1. У дисертації доведено, що за умов а), б) на оператори А та В випливає додатна означеність операторів Лг/і(А), А > Ао = 0, що еквівалентно точній 0-керованості рівняння (1) за довільно малий час.

Теорема 4. Нехай у рівнянні (1) для операторів А і В викопані припущення а), б) та П = {« £ U : ||u|| < d]. Нехай f = J\, функціонал 0(л) визначається рівнянням (.3) при v — 1.

Тоді:

1) існують додатні константи cjf1 < тіп(С7;. 1 /Л} та oj1 такі, що для

числа «0; яке задовольняє нерівність 0 < а о < «/,, керування м/Ді') вигляду (4) розв’язує задачу локального синтезу в області Q/1 \ {0}, де Qf,= '{■>':Є{х) <cfl}; ^

2) якщо ReAti = 0, a ~ ±1, ±‘2,..., то для 0 < ао < с/2/125 керування м/, (я) розв’язує; задачу глоба-пьного синтезу.

При цьому час руху Т(хо) = 0(хо).

Приклади застосування теореми 4 також і у випадку, коли оператор А має ще й скінченну іїі.'ч.кісіь дійсних власних значень, наведені у підрозділі 3.6. Наприклад, розглянуто керований процес, що описується гіперболічним рівнянням 2-го порядку вигляду

0’^ 7

—j = Ly + u, J/|0G= 0, «Є {«Є L2(G) : ||tt|| < d},

де y = y(t,s), seG, і Є [0,со), GCR" є замкнена обмежена область з межею 8G класу С2, диференціальний оператор L визначається

^ $ ( д

співвідношенням Lip = — ( gkj{s)-^; ) + 3o{s)<p, gkj(s), 9o(s) ~

k, j = 1 ' 3

дійсні функції, gkj Є C2(G), g$ Є C(G), і при деякому e > 0 має місце

п ті

нерівність

= 1 k — l

У четвертому розділі дисертаційної роботи дається подальший розвиток методу функції керованості для розв’язання задачі локального позиційного синтезу інерційних керувань для автономних систем у скінчешювимір-них просторах.

Під задачею локального синтезу позиційних інерційних керувань для системи і = ір(х, «), х Є Іі", и Є Ііг, з (І — 1) (/ > 1) раз неперервно дифе-рснційовною функцією <р(х, и) будемо розуміти задачу побудови керування и = и[х), яке переводить довільну точку хо із деякого околу Q початку координат у початок координат по траєкторії х(і) системи х — <р(х,и(х)) за скінченний час Т(хо) та для всіх точок х Є Q задовольняє обмеження !|t/(A:)(z)ll < <h, к — 0,... ,1, де и^к\х) - похідна k-го порядку, складена за системою X = >р{х, и(х)).

В даному розділі з множини позиційних керувань, наведеної у третьому розділі, виділено сім’ю інерційних керувань ?/„(.r), vq < и < оо, таких що: при V < оо керування ііи(х) розв’язують задачу локального позиційного синтезу: при и — оо час руху нескінченний, тобто керування Uoo(x) розв’язує задачу стабілізації та задовольняє задані обмеження. При цьому зі збільшенням параметра /' відбувається збільшення степеня гладкості керування. Для лінійної системи знайдено час руху T(xq) із довільної точки хо у початок координат. Для нелінійної системи дасться оцінка на час руху зверху.

У підрозділі 4.1 дається розв’язання задачі позиційного синтезу інерційних керувань для канонічної системи

X — Л о X Ь{) 1!.. X (z Rn, У Є R. ^ :

(9)

де матриця А о та вектор Ьо мають вигляд

/ 0 1 0 ... 0 0 \

0 0 0 ... 0 1

\ 0 ü Ü ... о о /

/ 0 \

о

(10)

з обмеженнями на керування вигляду

и<-к\х) < dk, к = 0,1,..., /, /> 1,

(И)

де и(к\х) - похідна к-го порядку, складена за замкненою системою (9). Розглянемо відносно параметра и > 1 сім’ю функцій

при 0 < t < и, при t > V.

Далі будемо позначати через N„(0) при у>\ матриці вигляду

NV{Q) = Nf„ = J (i-^r) Л°гЬоЬ*0с~A°ldt, (12)

0

oo

jVoo = lim JV„(0) = / e-'c-^boblc-^dt. (13)

i/—*oo J

0

Відмітимо, що iVV(0) = Dl/(Q)NV D„(Q), де

і/

/Л(0) = diag , N„ = j (і - е-Ло‘60Ь*0с~А°Чі..

о

Визначимо функцію керованості Qv(x) при х ф 0 і фіксованому v як єдиний додатний розв’язок рівняння

2а0в = (N~\e)x,x) , а0 > 0, і/>1. (14)

Керування (4) набирає вигляду

иЛх) = -^оЛГ1Т1(0Ді’))'1- (15)

Введемо до розгляду множини керованості - сім’ю еліпсоїдів вигляду Qi/(c) = {* : ©і/(ж) < с} = ja; : (N~l(Qv(x))x,x) < с| , v> 1.

Співвідношення між дими еліпсоїдами дає наступна теорема. .

Теорема 5 . Нехай 1 < і/] < и-А. Тоді при 0 < с < 1 справедливе

включення Q,,(c)CQ

Розв’язання задачі локального спніезу інерційних керувань для канонічної системи дає

Теорема G. Hexan ио = 2/-f 1, üq у рівнянні (14) задовольняє умову

п - 1 • 4

0 < а0 <а0 = ■ ■ min , де

2||Ато|| o<k<i w\

и;0=^||^2І+1ІІ> ^=5і№іііП (^ТГ+1+^ІЛГ2Н1І|) ■ (16)

Нехай 0!/(х) визначається рівнянням (14) і Q = {:/: : 0|/о( *)<1}.

Тоді при v > Vo кожне керування uv(x) вигляду (15) в області Q\{0} розв’язує для системи (9) задачу локального позиційного синтезу і задовольняє обмеження вигляду (11). При цьому час руху %(хо) із довільної точки

хо Є Q \ {0} у початок координат по траєкторії системи (9) з керуванням ' х

Uv(x) дорівнює l/Qv (хо).

При побудові функцій керованості та інерційних керувань виникає необхідність в оберненні матриць із (12), (13), що мають вигляд

к(в) = (\ ^ (17)

' (п — і)\(п — _/)! (р + к) ' і,і-1

к = і

М(Т~Т~>гдТ ■ ^

V (ті — г)1(п — J)l ) і і=х

Позначимо через Г„, и> 1, ганкелеві матриці вигляду

р /(2 п-і-1)\и2п-і-> + 1У

, Гоо = ^(2П-І-І)!^ . (19)

‘ \ 2 п-і-,7 + 1 ч /

V П (>у + *0 у>^1 'і=1

к = 1

Для знаходженая матриць А^1 необхідно обернути матриці Г„. Відзначимо, що матриці Г„ (тим більше, матриці Хи) є погано зумовленими. Аналітичне зображення матриць Г“1, Д^Ч©) дає

Теорема 7. Нехай вектори хи, у1’ задаються ріпностямн

П (" + 2п — к) / 1 п

к=1 1 і П («'+2»-*)

(п — 1)! \ (п - і)\и2

к=і+1

;=1

у,/ = І (п^Т)^~+~с^1 П<*+2" -*) І ■ 1 ^,у < °°>

*=' ' і — і

1 /(-І)2"-^-1 ,_ЛП /(-1)

-С£ і) , г/со = (т-~тг^Г1

у*-;

(«- 1)! V (»-Я! /,=і ’ " V (П - і)! п /і=1 ’

а ганкелепі матриці Г„ мають вигляд (19).

Тоді обернені матриці Г“1 можуть бути знайдені за однією з наступних формул:

Гй1 = (УЇ + ^і^+кУЇ-к - хкУЇ+к)) 1 > 1 = тіп(п - 1.1 ~ 1).

=і

IVі = (<2/і + - 2;-*2/Г+*:)^ , « = тіп(п-і,І- 1),

де х", у і - компонента векторів хр, уи відповідно. Матриці обернені до матриць (17), (18), мають вигляд

іУ-^Є) = _ г)!(п - і)!0-~ ,^-17г^

Л^ = -0!(»

де тГ;> 71“ “ елементі! матриць Г”1, Г^1 відповідно.

У підрозділі 4.2 розглядається розв’язання задачі синтезу інерційних керувань для повністю керованої лінійної системи з одновимірним керуванням

і = Ах + Ьи, х Є Кп, и Є IIі, (20)

з обмеженнями на керування вигляду (11). Нехай вектор с задовольняє

рівність (с, Ап~1Ь) = 1 і ортогональний векторам Ь, АЬ, ..., Ап~2Ь, Ь — (с, А*с,..., /Гп-Іс) , р - «.-вимірний вектор, компонентами якого є коефіцієнти характеристичного полінома \п—рпХп~1 — ... —р\—0 матриці А.

Теорема 8. Розглянемо повністю керовану систему (20). Нехай ¿Л) =

1 СІ~

21+1, 0 < а о < а0 = ■■■ ■ шіп де

2||Лто|| о<*<; г\\

ІІИ+Е^-іІРп-^І, якщо 0 < & < п — 1,

п , = 0

Е шк-і\Рп -і+і|, якщо к > п,

1=0

ІР?і+і| = 1, ь>к, А; = 0,із (16). Нехай функція керованості ©„(ж) прп х ф 0 є додатним розв ’язком рівняння

2ао0 = (Ь*М-1(Є)Ьх,х), (21)

0,(0) = 0 і Ц={х:Є,0(х)< 1}.

Тоді при V > і/о кожне керування ии(х) — —т,ЬІі\т~1(0„(х))Ьх — (р, Ьх)

розв’язує для системи (20) задачу локального синтезу в області \ {0} та

задовольняє задані обмеження вигляду (11). Прп цьому час руху Т1/(х0)

із довільної точкн хо Є Q \ {0} у початок координат по траєкторії системи

і

(20) з керуванням ии(х) дорівнює и<дц(хо).

Далі п цьому підрозділі розглядається лінійна повністю керована система з багатовимірним керуванням

з: = Ах + Ви, х Є R", и Є R-r,

з обмеженнями на керування вигляду

||«(і)(г)|! <г/ь ¿ = 0,1,..../, />1.

(22)

(23)

Бет облтежения загальності, вважаємо, ідо ранг матриці В дорівнює г. Розглянемо ланцюг лінійно незалежних векторів

Ьи АЬі ......-Г1-1 >>і , b2, AboА*9~ Ч2і.... К, ЛЬГ..... Д"г “1 Ьг, (24)

г

,;н' Ьг - і-ґі стовпець матрипі В, n¡ > ті2 . . > nr, J2 пі — 11■ Нехай

l~ 1

вектори г*.. к = 1,...,)', такі, що (ci¡,Anir~ :ч;) = 1 і ортогональні всім іншим векторам ланцюга (24).

Позначимо через IÍ, S, М, A¡, Bq ; ,-10 чаїрпні. відпопідно, розмірів п х п, гхп, гхг, чхп, пхг, пхп, що м-'оть вигляд

г г п = («,. 4*сь . .,Д*П* -1 Ссу,

0 . . 0 1 Ü ... 0

0 . . 0 0 0 ... 0

5

0 . . 0 0 0 ... 0

\ \ (Si)

/ 1 7і '2. Ті.з • • • 7і \

М = 0 1 1 723 ■ ■ ■ 72 г , Лі =

\ 0 0 0 . . 1 )

0 0

(^)

А o = diag (Доь • ■ ■ •. Aar) > де An, В0і є матриці розмірів іцхп і ii¡ х г вигляду

Ді

0 \

0

Во =

/ 0 . . 0 1 0 . . 0 . .. 0 \

0 . . 0 0 1 . . 0 . .. 0

0 . . 0 0 0 . . 1 . .. 0

\ ft!l • ü'ís.-i+y . ■ ais і • ■ • «¿n /

п 1

0

( O

Воі =

0 0 0

0 \

0 1 o

(O

, i = 1

/

/іо, - матриці розміру «¡хп; ітгляду (5 0), а числа «о = 0, а,- =

ь —і

í = 1,...,/'. Hexan додатні числа a’D, задовольняють / Í тіерінпість

(y.má

1 для к

\ 5

L;=o

II" ;і! І / , - -4)11' vOO,4l^fc-; і і — І

+

-f |¡5/íi ла ||

л

J0I

|-Noo,.lÍ

V

г=1

< ¿k, якщо 0 < А. < щ — 1,

j-ü Ра = Г,

Í25J

07 f

Л-"-ч . , ^ 5

¡|Aj¡ [¿JSa’oüiV^.-liwjL^ І <¿k, якщо п3 < к < І,

\i-.l )

Pj - -SA-І A-l-1 Be, j — 1,...,H], JVoo,, - Mdipuiu pv>3.^ipy ii{ x n.¿ лі:глді,у (13і, чксла w¡¡v., г = 1,...,г, ьшляду (16j.

Ііозш*чішо Lt = (¿i, А ;,c¿, ..., á'"1’~1cí) , i ~ 1,. ,,r. Длл ішжного

і l,....r шпиачимо функцію керованості 0у, ,(*) при х 0 лк єдььіло доднтшш розв’язок рішілішя

a-Q > 0,.

(2 0

Л’і/„»(0) - маарини розміру то х н.,. виі'л>; ху (12). і покладемо 0* ,-(0) =• 0. Нехай у‘„'(х) ¡іозлачає керупашш ь’і (а;) = —і*(01/,,.'(я)К-/«*-'> иЩО) = 0, де ¿»о,> - ггі-ш<шрьий ьемор Бйіляду (10). Нєаай и — (і/'і,. ...і шила-домо і>г(х) -- (^ (а-), ... , і>Іг(х)У .

Теорема 9 . Розглянемо иоьиісію керовану систему (22). ІІсхьй щ — 21 + 1, для кожного і = 1....,г число сг‘0, вибрано гак, що ь.и-конуються 1+1 нсріспість із (25) - (26) для к = і функція керо-

ваності ©„„¿(ж) нрн х зі 0 є додатним розв’язком рівняння (27). Нехай Сі = {а1 : 0і/Гіі(аг) < і, і ~ 1,.... г} .

Тоді при щ > іуц, г = 1,.. , 7-, кожне керування

и„(х) = Л/_І(і;„(а:) — ЗАіНх)

розв’язує для системи (22) в області С} \ {0} задачу синтезу інерційних керувань і задовольняє обмеження (23). При цьому час руху з точки Хо Є Ц

0

0

у початок координат по траєкторії системи (22) з керуванням иІ/(х) дорів-

1

іпоє Ти(хо) = max vtQ": {(х0).

1<г<г г ’

На завершення цього розділу, у підрозділі 4.3 розглядається задача синтезу інерційних керувань для нелінійної системи і = <р(х\и), х Є К", її Є R1, за припущенням, що 0, 0) = 0, з обмеженнями на керування вигляду (11) при / = 1. В околі нуля цю систему можна записати у вигляді

і = Ах + bu + g(x, u), i£R", (/ Є R1, (28)

де А = 95т(0,0), 6 = 9,,(0,0), д(х, и) - неперервна функція.

Теорема 10 . Розглянемо систему (28), де гапк(6, /16,..., An Jb)

п,

функція д(х,и) задовольняє нерівність ||;/(г, а)|| < Сі||г||51 -|- Ст||ж11|г/.|53 + С3|г/|і4, Сі > 0, С2 > 0,Сз > 0,Si > 1,52 + s3 > i,s-i >1, і в кожній області {(avi) : 0 < р\ < ||х|| < р->, |?t| < d0] задовольняє умову Ліпшиця \\ф", н") - п(х\ и')|| < ЦриМх" - ¿-'І! + !и" - «'1). Нехай '

ІУО = гпах {3, 2п+,,-.?арЗ 2Л±^-з ~ — 1 +

u (_ 1 äi-1 ' .<2 + 53-1 ’ *4-1 ’ «1 ’ 52 + гз .5.1 J

Тоді існують додатні константи а(). С < 1 такі, то прн v > і/ц кожне керування и,,(х) = — (Sv(x))Lx < визначеною рівнянням

(21) функцією керованості Qt,{x) розв’язує для спасші (28) в області Q\{0} = {г : 0j,n(2') < С'}\{0} задачу синтезу інерційних керувань та задовольняє обмеження |п„(;п)| < dо, |и„(ж)! < dі. ІІрп цьому час руху ГД.со) із точки ;с0 Є Q в початок координат задовольняє нерівність

Т„(хо) < jjOt (х0) (ß > 0).

Одержані в дисертації інгрази для визначення констант oq, С, ß не наводяться внаслідок їх громіздкості.

Відмітимо той факт, що в теоремах 6, 8, 9, 10 у граничному випадку при v — ос керування uоо(^) розв’язує задачу стабілізації і задовольняє задані обмеження в області Qoo-

ВИСНОВКИ

1. У третьому розділі розглянуто задачу синтезу обмеженого позиційного керування для керованого процесу, який описується рівнянням dx

— = Ах + Ви, х Є X, 77 Є fl С U, 0 Є int П, dt

де X, U — простори Гільберта, оператор А з областю визначення D(vl) породжує сильно неперервну групу операторів {e'At}_(X)<i<+00 > В € [U, X], за припущенням, що цс рівняння точно 0-керошше за вільний час.

Дослідження цієї задачі проводиться на основі методу функціоналу керованості.

1. Нехай А - обмежений оператор, число т > 0 - найменше число таке, що виконується співвідношення 5рап{-ЕШ, АВХ5,..., Ат ¿Ш} = X. Нехай Гт(Л) - клас незростаючих невід’ємних на півосі [0,+оо) функцій /, які мають хоча б т + 1 точку спадання, і таких, що виконана умова - 1п /(*)'

litn

/о > 0. Тоді кожна (функція з цього класу породжує

S

синтезуюче обмежене керування.

2. Для нелінійного рівняння задача локального синтезу розв’язана за першим наближенням.

3. Нехай А - кососамоспря женин оператор, Т'т(А) С Fm(^) - підклас всіх функцій /(«). кожна з яких має від’ємну похідну на деякому відрізку. Тоді кожна функція / Є F'7l(/1) породжує позиційне керування uj(x), яке розв’язує задачу глобального синтезу.

4. Нехай необмежений оператор А має в просторі X ортогональний нормований базис із власних векторів {сп}п=±і ±о > як‘ відповідають власним значенням {Ап}п_±1 ±2 таким, що Хп — А_„, |ІІеА„| < Л, |ІіпА,г| > q, п = ±1,±2...., U = Span {е„ — c_n}n=±1 ±2 і В є оператор вкладення U в X. Тоді функція f(s) = 1 — s, 0 < s < 1, f(s) = 0, s > 1, породжує позиційне керування, яке розв’язує задачу локального синтезу, а у випадку, коли ReAn = 0, п = ±1,±2,.. ., - задачу глобального синтезу. При цьому Т(хо) = 0(а;о). Цей результат застосований для розв’язання задачі синтезу для деяких керованих процесів, що описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними гіперболічного типу.

II. У четвертому розділі метод функції керованості розвішую на задачі позиційного синтезу керування з обмеженнями на керування та його похідні до заданого порядку І > 1 (задача синтезу інерційних керувань).

1. Для лінійної системи з множини позиційних керувань, наведеної в третьому розділі виділено сім’ю (відносно параметра v) позиційних керувань, що розв’язують задачу локального синтезу інерційних керувань, причому таку, що в граничному випадку при v = оо керування uоо(х) розв’язує задачу стабілізації. При цьому за допомогою функції керованості обчислюється час руху.

При розв’язанні вказаної задачі одержано також наступні допоміжні результати: для сім’ї погано зумовлених матриць аналітично знайдено обернені матриці, за якими будуються функції керованості та синтезуючі керування; встановлено співвідношення між областями керованості відносно параметра гл

2. Для нелінійної системи з одновиміриим керуванням задача локального синтезу (та стабілізації) розв’язана за першим наближенням у випадку / = J. На час руху дається оцінка зверху.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Скорик В.А. Аналитическое обращение одного семейства плохо обусловленных матриц, возникающих в методе функции управляемо-сти//Вісник Харківського університету.- 1999.- N° 444 : Математика. іі])іікладпа математика і механіка,- С. 15-2.'!.

2. Скляр Г.М., Скорик В.А. О множестве позиционных управлений, решающих задачу синтеза в гильбертовых пространствах // Вісник Харківського університету- 1999.- S* 458 : Математика, прикладна математика

і механіка,- С. 3-14.

3. Скляр Г.М., Скорик В.А. О синтезе управления для некоторых уравнении гиперболического типа// Вісник Харківського університету,- 2000.-.V* 475 : Математика, прикладна математика і механіка,-С. 347-357.

4. Korobov Y.I., Sklyar С.М., Skoryk V.A. Sohition of the Synthesis Problem in Hilbert Spaces// Proceedings CD oft.be Forteenth International Symposium of Matbemat.ical Theory of Networks and Systems (MTNS 2000).- Perpignan. l’rance.- 2000,- 10 pages.

АНОТАЦІЯ

Скорик В.O. Методи побудови функцій керованості та позиційних керувань. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фпико-матема-тичішх наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. - ■ Харківський націоналі,ний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2000.

Дисертація присвячена побудові множин обмежених позиційних керувань, що розв’язують задачу синтезу для лінійного диференціального рівняння і нелінійного рівняння за першим наближенням в гільбертовому просторі, а також задачі синтезу інерційних позиційних керувань для автономних систем диференціальних рівняні, в скінчснновіїмірних просторах. На основі методу функціоналу (функції) керованості отримано конструктивний розв’язок цих задач.

Показано, що кожна функція з класу незростаючих невід’ємних па невід’ємній півосі функцій експоненційного типу, що мають достатнє число точок спадання, породжує обмежене позиційне керування, яке розв’язує задачу синтезу для рівнянь у гільбертовому просторі. З цього класу функцій виділено сім’ю функцій, кожна з яких породжує позиційне керування, що розв’язує задачу синтезу інерційних керувань для систем в скінчсішотімір-них просторах.

Результати дисертації носять теоретичний характер. Поряд з цим. в силу конструктивного характеру доведень, низка результатів може бути основою для побудови нових чисельних методів.

Ключові слова: задача синтезу, позиційне керування, інерційне керування, метод функціоналу (функції) керованості!.

АННОТАЦИЯ

Окорик В.А. Методы построения функции управляемости и позиционных управлений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук но специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.

- Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2000.

Диссертация посвящена решению задачи синтеза позиционных управлений. удовлетворяющих наперед заданным ограничениям. Исследования проведены па основе метода функции (функционала) управляемости и имеюі конструктивный характер.

В диссертационной работе построено множество ограниченных позиционных управлений, решающих задачу локального синтеза для линейного дифференциального уравнения с ограниченным оператором в гильбертовом пространстве. Л именно, показано, что каждая невозрастающая неотрицательная на неотрицательной полуоси функция экспоненциального типа, имеющая достаточно большое число точек убывания, порождает искомое управление. На этой основе решена задача локального синтеза для нелинейного уравнения по первому приближению. Из этого класса функций выделен подкласс функций, каждая из которых имеет на некотором отрезке отрицательную производную. Для линейного дифференциального уравнения в случае кососамосопряженного оператора каждая функция из этого подкласса порождает позиционное управление, решающее задачу глобального синтеза и удовлетворяющее заданным ограничениям.

Для определенного класса дифференциальных уравнений с неограниченным оператором А построено ограниченное позиционное управление, решающее задачу локального синтеза, а при условии мнимого спектра оператора А и задачу глобального синтеза. Этот результат применяется для решения задачи синтеза для некоторых управляемых процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа.

В диссертационной работе впервые метод функции управляемости развит на задачи позиционного синтеза инерционных управлений для автономных систем в конечномерных пространствах (с ограничениями на управление и на его производные в силу замкнутой системы до заданного порядка).

В этом направлении из указанного множества управлений выделено семейство (по некоторому параметру) позиционных управлений, решающих эту задачу для линейных полностью управляемых систем с одномерным и

многомерным управлением. При этом вычисляется время движения из произвольной точки некоторой окрестности начала координат в начало координат. Для нелинейной системы с одномерным управлением с ограничениями на управление и его производную задача решена по первому приближению. При этом дается оценка на время движения сверху. В граничном по параметру случае соответствующие управления для этих систем решают задачу стабилизации и удовлетворяют указанным ограничениям в некоторой окрестности начала координат. Кроме того, установлены соотношения между эллипсоидами, которые задаются функциями управляемости и являются множествами управляемости за одно и то же время, и существование области, в которой решается задача позиционного синтеза любым инерционным управлением из этого семейства. При построении инерционных управлений и функций управляемости требуется обращать семейство плохо обусловленных матриц произвольного порядка. В диссертации приводится аналитическое представление обратных матриц, что позволяет применять разработанный метод для систем большого порядка.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Вместе с тем, вследствие конструктивного характера доказательств, ряд результатов может стаи, основой лля построения новых численных методов.

Ключевые слова: задача синтеза, позиционное управление, инерционное управление, метод функционала (функции) управляемости.

ABSTRACT

Skoryk V.A. Methods of constructing of the controllability functions and the positional controls. - Manuscript.

The thesis for candidates degree in physics and mathematic science by speciality 01.01.02 - differential equations. - V.N. Karazin Khar’kov National University, Khar’kov, 2000.

The thesis is devoted to constructing of the set of restricted positional controls solving the synthesis problem for a linear differential equation and a non-linear equation at the first approximation in the Hilbert space and to the problem of synthesis of inertial positional controls for systems in finit-e-diinentional spaces. On the basis of the controllability functional (function) method the constructive solutions of the problems are obtained.

For every function of exponential type with sufficient number of decrease points it is shown that if the function is non-increasing non-negative on the non-negative semiaxis then it generates a restricted positional control solving the synthesis problem for equations in Hilbert space. From this class of functions (with respect to certain parameter) we extract the family of functions which generates the positional control solving the synthesis problem of inertial controls for systems in fmite-dimentional spaces.

The results of the thesis are of a theoretical character. Along with this, by virtue of constructive character of proofs the numbers of the results can form the basis for new numerical methods.

Keywords: synthesis problem, positional control, inertial control, controllability functional (function) method.

Підписано до друку 10.11.2000. Формат 60x90/16. Папір офісний. Друк-ризографія. Умови, друк. арк. 1,3. Умови, фарб. відб. 1,0. Облік.-вид. арк. 1,0. Тираж 100 прим. Замовлення Л'5 8,0^4<Ь

Видавництво: ТОВ ’’Спайк” Адреса редакції видавця: 61057, м. Харків, пул. Сумська, 11