Методы расчета мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ШУЮПОВА Яна Олеговна

МЕТОДЫ РАСЧЕТА МОД ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ФОТОННО-КРИСТАЛЛ И ЧЕСКИХ СВЕТОВОДАХ

Специальность 01 04 05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003160084

САМАРА-2008

003168884

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С П Королева» и в Институте систем обработки изображений РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие:

доктор физико-математических наук, профессор Котляр Виктор Викторович доктор физико-математических наук, профессор Захаров Валерий Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент Козлов Николай Петрович Самарский филиал Физического института им ПН Лебедева РАН

Защита состоится « 13 » июня 2008г, в_ч

на заседании диссертационного совета Д 212 215 01 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика СП Королева» (СГАУ) по адресу 443086, Самара, Московское шоссе, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ

Автореферат разослан « 29 » апреля 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке двух методов расчета пространственных мод однородных в продольном направлении и неоднородных по поперечным осям оптических световодов и применению этих методов для расчета мод фотонно-кристаллических световодов

Актуальность работы. Создание лазеров и их широкое применение привело к появлению ряда новых направлений науки и техники. Одним из таких направлений является современная волоконная оптика

Практический интерес к оптическим световодам и волокнам породил необходимость разработки методов их исследования, позволяющих численно анализировать свойства уже существующих образцов и прогнозировать перспективы применения синтезируемых средствами компьютерного моделирования волноводных структур

Фотонно-кристаллические световоды (ФКС) - это относительно новый класс оптических волокон, использующих свойства фотонных кристаллов (J С Knight, 1996) Способность ФКС удерживать и направлять свет зависит от множества физических и геометрических параметров, поэтому с их созданием появились дополнительные степени свободы для управления характеристиками света, распространяющегося внутри световода

Актуальной задачей остается разработка эффективных методов расчета мод ФКС, то есть электромагнитных волн, которые способны возбуждаться и распространяться в сердечнике световода Любой пучок излучения, направляемый в световод, будет «раскладываться» в нем по совокупности пространственных мод и распространяться в виде линейной суперпозиции мод Исторически первым методом, примененным для расчета мод ФКС, стал метод эффективного индекса (ТА Birks, 1997) Являясь одним из самых быстрых, он при этом уступает конкурентам по точности

Методы декомпозиции Основная идея, эксплуатируемая в данной группе методов, - это возможность представления поля моды световода в виде разложения по некоторому базису Разложение по плоским волнам (А Ferrando, 1999) с периодическими граничными условиями дает решение для бесконечного, периодически повторяющегося в поперечной плоскости световода, что делает принципиально невозможным получение данным методом мнимой части константы распространения, соответствующей потерям при распространении вытекающей или несобственной моды Метод разложения по модам Гаусса-Эрмита (Т М Monro, 2000) ограничен применением только к ФКС с отверстиями в оболочке, расположенными в узлах правильной гексагональной решетки Метод мультиполя был обобщен на случай ФКС в работе (Т Р White, 2002) Основным его недостатком является обязательное требование округлости микроотверстий в оболочке

Метод согласованных синусоидальных мод (ССМ-метод) (A S Sudbo, 1993) наиболее универсален среди методов этой группы и свободен от

перечисленных выше недостатков Характерной чертой метода согласованных синусоидальных мод (ССМ-метод) является техника разбиения неоднородного сечения световода на прямоугольные области с постоянным значением показателя преломления среды В каждой из таких областей поле моды аппроксимируется суперпозицией факторизованных гармонических функций А константы распространения мод находятся из условия минимизации невязки представлений поля на границах соседних областей Однако и в ССМ-методе имеются проблемы Процедуры поиска корней (нулей функции), как на начальном этапе отыскании локальных мод, так и при определении константы распространения, обладают существенным недостатком, а именно возможен пропуск корней в том случае, если они располагаются вблизи друг друга или вблизи разрыва Кроме того ССМ-метод не был ранее применен для расчета мод ФКС

Интегральные методы Интегральные методы являются сеточными в отличии от методов предыдущей группы В этой группе можно выделить метод конечных элементов (F Brechet, 2000) Он представляет собой мощный инструмент векторного анализа, достаточно быстрый и гибкий Среди недостатков требовательность к ресурсам памяти, а также необходимость вмешательства человека в работу алгоритма для лучшего определения граничных условий и сетки дискретизации Метод граничных элементов (N Guan, 2003) отличает меньшая требовательность к ресурсам памяти Однако существенным недостатком является возможность возникновения ложных решений

Конечно-разностные методы Конечно-разностные методы, также как и названные методы интегральные, дают сеточное решение Метод конечных разностей (KP-метод) широко используется для решения разного рода уравнений Благодаря простоте реализации, этот метод стал удобным инструментом для расчета мод оптических световодов, особенно тех, для которьк не существует аналитического решения, например, таких как ФКС За основу рассматриваемого дифференциального метода был взят подход, предложенный в работе Яиг (R Yang, 2004), где для расчета мод использовалась техника применения конечно-разностных аппроксимаций к стационарным векторным волновым уравнениям для монохроматического света KP-метод выигрывает по скорости работы алгоритма у ССМ-метода, поскольку задача отыскания констант распространения и отсчетов сеточных решений напрямую сводится к линейной матричной задаче на собственные числа и вектора Янг описывает метод расчета только для электрической составляющей электромагнитного поля и не приводит явный вид элементов матрицы Задача расчета напряженности магнитного поля мод не рассматривалась вовсе

Обычно при расчете мод ФКС ограничиваются применением одного метода и не обсуждается вопрос о правильности или точности этого расчета

Сравнение результатов расчета мод двумя принципиально разными методами, например, ССМ- и КР-методами, позволит говорить о достоверности результатов расчета

Целью диссертации является разработка двух методов расчета пространственных мод лазерного излучения фотонно-кристаллических световодов, а также сравнение между собой пространственных мод, рассчитанных этими методами

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации

• Разработать метод согласованных синусоидальных мод для расчета поперечных мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на итеративном методе Крылова решения нелинейной задачи поиска констант распространения мод

• Разработать метод расчета мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям и независимом решении задач расчета электрических и магнитных составляющих электромагнитного поля

• Рассчитать численные значения характеристик мод лазерного излучения, распределения их компонент в сечении фотонно-кристаллических световодов и провести сравнение результатов, полученных разными методами

Научная новизна работы состоит в следующем-

1 Разработан метод согласованных синусоидальных мод для расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, в котором задача поиска констант распространения мод без пропусков решается как нелинейная задача на собственные значения с помощью итеративного метода Крылова

2 Разработан метод расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, основанный на независимом решении двух линейных матричных задач на собственные значения, получаемых в результате применения конечно-разностных аппроксимаций к векторным волновым уравнениям относительно электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля

3 С помощью разработанных методов проведено численное исследование модового состава оптических световодов с оболочкой в виде двумерного фотонного кристалла с круглыми и квадратными отверстиями, расположенными в узлах гексагональной и квадратной решеток, с заполненным и полым сердечниками Показано, что оба метода дают сходные результаты значения рассчитанных констант распространения отличаются на величину порядка 10"3, а среднеквадратическое отклонение распределений амплитуд

компонент поля по области сечения составляет менее одного процента

4 Рассчитана зависимость дисперсионного параметра фотонно-кристаллических световодов от дайны волны, и показано, что при выбранных параметрах световод с заполненным сердечником обладает нормальной дисперсией, а аналогичный световод с полым сердечником - аномальной Световод из плавленого кварца с полым сердечником может обладать дифракционными потерями (0,1 дБ/км) меньшими, чем потери за счет поглощения света (0,2 дБ/км) в световоде с заполненным сердечником

Защищаемые положения:

• Метод согласованных синусоидальных мод, усовершенствованный итеративным алгоритмом Крылова, позволяет без пропусков рассчитывать константы распространения пространственных мод фотонно-кристаллических световодов

• Независимый расчет поперечных составляющих электрического и магнитного векторов электромагнитных полей мод фотонно-кристаллических световодов с помощью метода конечно-разностных аппроксимаций, применяемых к стационарным волновым уравнениям, позволяет получать одни и те же константы распространения мод, отличные друг от друга на доли процента

• Основная мода модельного фотонно-кристаллического световода с квадратными отверстиями, расположенными в шахматном порядке вокруг сердечника, рассчитанная двумя разработанными методами отличается в среднем по сечению не более чем на один процент, а константа распространения отличается в третьем знаке после запятой

• Предложенная реализация ССМ-метода в среде МаЙаЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод (менее 20), чем коммерческая программа Р1ММ\УАУЕ

Практическая ценность работы:

• Разработанный ССМ-метод позволяет получить в виде Фурье гармоник аналитическое непрерывное описание любой составляющей любой собственной моды фотонно-кристаллического световода с произвольно заданным поперечным сечением

• Разработанный КР-метод позволяет быстро получать отсчеты амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мод световода с произвольным поперечным сечением

• Оба метода позволяют рассчитывать дисперсионные кривые для ФКС с полым и заполненным сердечниками и определять области нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости света

• Оба разработанных метода также позволяют с помощью дополнительного оптимизационного алгоритма проектировать профиль показателя преломления в сечении световода, который бы обеспечил заданный модовый состав ФКС

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах IV и V международных конференция молодых ученых и специалистов «Оптика - 2005» и «Оптика - 2007», проводимых Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г Санкт-Петербург, октябрь 2005 и 2007гг), третьем Самарском региональном конкурсе-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике, проводимом Самарским филиалом Физического института РАН (г Самара, ноябрь 2005г), Всероссийском семинаре по моделированию, дифракционной оптике и обработке изображений, проводимом Самарским государственным аэрокосмическим университетом (г Самара, июнь 2006г), международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «ICO Topical Meeting on Optomformatics», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г Санкт-Петербург, сентябрь 2006г)

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, 8 из которых опубликованы в научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы (95 наименований) и приложения, изложенных на 149 страницах, и содержит 45 рисунков

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации Сформулированы цель и задачи, сделан обзор научных работ по рассматриваемым вопросам Изложена научная новизна, практическая значимость, защищаемые положения, описаны содержание и структура диссертации

В Главе 1 содержатся сведения о современном состоянии сферы проектирования, производства и применения ФКС Стеклянные или кварцевые ФКС в своем поперечном сечении имеют периодическую или апериодическую структуру включений или микроотверстий цилиндрической формы, ориентированных вдоль оси волокна Дефект микроструктуры служит

сердечником световода, обеспечивая волноводный режим распространения электромагнитного излучения.

Рис. 1 - Различные типы ФКС: (а) - с полым сердечником и гексагональной решеткой микроотверстий, (б) - волокно Брэгга, (в) - твердотельный Благодаря оболочке в виде фотонного кристалла ФКС обладают рядом свойств, отличающих их от обычных световодов. Так, ФКС могут быть одномодовыми в очень широком диапазоне длин волн. Величина и наклон кривой дисперсии групповой скорости может сильно меняться в зависимости от геометрических параметров ФКС, что позволяет, например, получить требуемое значение дисперсии на заданной длине волны. Структура ФКС позволяет достигать больших, порядка 10~2, значений параметра

двулучепредомления 5п~-\п]я где п*еХ и пуеЛ - эффективные модовые

индексы ортогонально поляризованных мод, что привлекательно в плане использования в оптических сенсорах. Для целей передачи информации наиболее важным является создание ФКС, в которых удастся снизить затухание до величины меньшей фундаментального предела затухания обычных кварцевых световодов, порядка 0,2 дБ/км. Основной задачей исследования ФКС, как и световода любого другого типа, является проблема отыскания его мод — электромагнитных полей, способных в нем распространяться. Существует несколько методов, предназначенных для расчета мод ФКС. Все их можно условно разделить на три группы: приближенно-аналитические методы или методы декомпозиции, интегральные методы и дифференциальные методы. Подробно рассматривается пара методов расчета мод световодов из двух принципиально разных групп: приближенно-аналитический метод согласованных синусоидальных мод и дифференциальный сеточный метод, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям.

Во Главе 2 рассмотрен метод согласованных синусоидальных мод, скалярный и векторный варианты. ССМ-метод основан на представлении решения для пространственной моды в виде суперпозиции локальных синусоидальных мод, которые являются собственными модами однородных, с постоянным показателем преломления, прямоугольных частей световода с неоднородным сечением (Рис. 2а). Результирующая пространственная мода

удовлетворяет в скалярном случае уравнению Гельмгольца, в векторном -уравнениям Максвелла, и граничным условиям.

Рис. 2 - Схема разбиения неоднородного поперечного сечения световода на однородные прямоугольные области (а), схема обозначения полей на границах

разбиения (б)

Однородность световода вдоль оси позволяет осуществить разделение переменных и представить поле монохроматической моды в виде:

Е,(х,у,г,0 = Е) (х, у) ехр(-/£г; г) ехр(г'<э/'), Н ,{х,у,г,1) = Н¡(х, у) ехр(-г£г у г) ехр(гог), где Е^х,у,г)- вектор напряженности электрического поля; вектор напряженности магнитного поля; кг] - константа распространения,

собственное значение >й моды, или проекция на продольную ось г волнового вектора, со - частота излучения, (х,у) - поперечные координаты,

В каждой прямоугольной ячейке разбиения локальные у- и х-моды задаются известными выражениями:

Ф(у) = ФГ соз[^ -/"')] +—(у - /">)], (2)

ку

где к[л) = ^е^'^кд - кгк - константа распространения локальной у-моды, ко -волновое число в вакууме, ет'"' - диэлектрическая проницаемость в ячейке (т,п), ф1"л = ф(у{") + 0)- нижнее или левое значение у-моды ф(у) в данном прямоугольном фрагменте, ф„л=ф(у^)+ 0)- нижнее или левое значение производной ф{у) в той же ячейке сечения. Аналогично определяются правые значения ф{у). Иллюстрация расположения ф'"'1', ф'апГ', ф["', ф1"'г) приводится на Рис. 26. Аналогичное (2) выражение можно задать для локальной к-ой х-моды в т-ом столбце.

иГОО = «Г со8[С(*-0] + ^8ш[С(*-*(м))], (3)

где к[°" = - к] - константа распространения локальной .т-моды, а и'"" ,

и{а" 0 - левые значения локальной х-моды и ее производной соответственно

Из требования равенства левых и правых значений >'-моды на границах соседний ячеек возникает характеристическое уравнение относительно константы ее распространения к1")

ФТг)ФГи) -Ф1п,)ФГи) = о (4)

На этапе решения уравнения (4) предложен статистический алгоритм адаптивного выбора шага дискретизации, позволяющий повысить точность вычислений для обнаружения расположенных вблизи друг друга корней В скалярном случае поле в т-ом столбце представляется в виде

Г(х,у) = ^иГ(х)фГ()'), (5)

4-1

где суммирование идет по всем локальным модам в т-ом столбце

Принципиальное отличие векторного случая состоит в том, что необходимо рассматривать локальные моды двух различных поляризаций - ТЕ и ТМ, поскольку обе они вносят свой вклад в формирование гибридной моды световода Поэтому выражение для векторной моды имеет вид'

р>т\х,У)=ЕЁкг (^Л^+СМС'ОО], (6)

р-г А 4=1

где Р("'\х,у) представляет собой любую из электрических или магнитных компонент поля моды, а внешняя сумма соответствует суммированию по поляризациям ТЕ - р = И, ТМ - р = е Функции и /га^)(_у)

выражаются через локальные >-моды В обоих скалярном и векторном случаях из условия минимизации невязки поля на границах соседних столбцов вытекает нелинейная матричная задача на собственные значения относительно константы распространения пространственной моды к2

А(к,}и = 0, (7)

где и - вектор, содержащий некоторые левые значения локальных х-мод, Л -квадратная блочная матрица, элементы которой нелинейно (через тригонометрические функции) зависят от кг В скалярном случае Л имеет размерность (Л/ - 1)А" х (М - 1)А", где М — число столбцов разбиения, К -число локальных мод в разложениях, в векторном - в четыре раза большую

Чтобы избежать пропуска искомых констант распространения, возможного в случае применения метода нулей функции, предложенного в работе

(A.S. Sudbo, 1993), в диссертации было предложено использовать метод Крылова (А. Ruhe, 2000) для решения задачи (7).

Интерполируя нелинейный матричный оператор А(кг) между двумя произвольными значениями а и р следующим образом:

АОfc,)«A(*,):

к.- а

// - к.

Л(сг),

(8)

ц-а р-сг

получаем линейную задачу на собственные значения, которую решаем итеративно в виде:

'y-Mjuk)+flk (а)

U„ = 0,

(9)

Л -сг

где ркЛ - приближенное значение искомого кг, получаемое на (к+1)-ом шаге итерации. Рассчитываем оценку для собственного значения к, на (к+1)-ом шаге итерации:

Ик+1 ~ Мк

Мм = Мк ~сг). где в = -

(10)

Итерации повторяются до тех пор, пока последовательность оценок {рк} не сойдется. Показано (Е. 1аг1еЬпг^, 2005), что итерационная процедура в методе Крылова сходится к искомому собственному значению.

Как следует из диаграммы (Рис. 3), показывающей количество найденных корней на интервале единичной длины, метод Крылова существенно лучше обнаруживает искомые значения параметра кг, чем два других метода: метод нулей функции и комбинированный метод, сочетающий итерации метода Крылова и метода нулей функции.

2 5 10 20 50 100 200 500 1000

О Комбинированный метод Ш Метод нулей функции Ш Метод Крылова

Рис. 3 - Диаграмма зависимости количества найденных констант распространения тринадцати первых мод ФКС от величины IIИ, обратно пропорциональной точности разделения корней

В Главе 3 рассматривается КР-метод, основанный на конечно-разностных аппроксимациях производных, примененных к стационарным волновым уравнениям для монохроматического светового поля:

> д рп' X." ~Е~ ~ н х~ X"

ра рп Ev Е у о. <J.. я,. я„

+ 1ли2 • е)+ п2к*Ё = 0, (11)

V2// -(Ух/7)хУ1пи2 +п2ЦН = 0 , (12)

где п(х,у) - неоднородный показатель преломления в поперечном сечении ФКС.

Однородность световода вдоль оптической оси позволяет произвести разделение переменных и записать уравнения (11) и (12) в матричном виде относительно поперечных составляющих электромагнитного поля Ех, Еу, Нх, #,,:

(13)

Заменяя в (13) непрерывные дифференциальные операторы Рхх, Рху, Охх, (2ху и др., конечно-разностными, получаем две независимые линейные задачи на собственные значения относительно квадрата константы распространения:

= к:Е*, БН* = £Г2Я,", (14)

где К и 5 - квадратные разреженные матрицы, состоящие из линейных комбинаций отсчетов функции п(х,у). В Приложении в явном виде приводятся все элементы матрицы К Вектора £* и Я,А содержат все отсчеты в узлах заданной сетки поперечных компонент электрической и магнитной составляющих поля соответственно. При этом продольные компоненты могут быть рассчитаны по известным формулам.

Независимый расчет поперечных составляющих электрического и магнитного векторов фундаментальной моды ФКС с заполненным сердечником из плавленого кварца (Рис. 4) с помощью КР-метода дает

значения эффективного индекса п - ,

друг

отличные

пI = 1,4509 и п:;

от друга на 0,008 %: -1,4508 . На рисунке 4 d-

диаметр отверстия в оболочке ФКС (белые круги). Л - расстояние между центрами соседних отверстий, черным цветом показан плавленый кварц с показателем преломления п

1,46, коэффициент заполнения dl А = 0,85. Для расчетом было выбрано значение параметра Л = 1 мкм, длина волны при этом равнялась Xq = 0,6 мкм. На Рис. 5 показаны в полутонах модули амплитуд всех шести компонент фундаментальной моды для ФКС, изображенного на Рис. 4.

о

х/Л

Рис. 4 - Сечение ФКС

(б) х/Л Х/А х/Л

/'ас. 5 - Распределение абсолютных значений амплитуды электрических Е„ Еу, Ег (а) и магнитных компонент Н» Щ Я2 фундаментальной моды ФКС, изображенного на Рис. 4, при А/Л = 0,6, где Х0 - длина волны в вакууме В Главе 4 рассматривается численное сравнение двух разработанных методов расчета пространственных мод друг с другом и коммерческой программой РТММ^/АУЕ. Показано, что для ФКС с заполненным сердечником из плавленого кварца (Рис. 6) ССМ- и КР-метод дают решения, совпадающие с точностью до 0,86 % в смысле среднеквадратического отклонения по области сечения 9x9 мкм (100 х 100 отсчетов). На рисунке 6а серым цветом показан плавленый кварц с п = 1,47, черным - микроотверстия с п = 1.

(а) (б) (в)

Рис. 6- Сечение ФКС (а), центральные сечения вдоль осейх - (б) иу-(в) распределений квадрата модуля амплитуды скалярного поля и основных векторных компонент Ну фундаментальной моды, рассчитанных ССМ- и

КР-методами

X, мкм

■0.1'—•—■—•—1—■—*—»—;— 0125468783

У, мкм

Из сравнения двух реализации ССМ-метода (Рис 7) предложенной в диссертации и коммерческой программы Р1ММ\^АУЕ (Оксфорд, Англия), следует, что первая имеет более устойчивую и монотонную сходимость относительной ошибки при увеличении числа используемых локальных мод е разложении (6), а также дает существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа Р1М\^АУЕ

О 0012

Л о пою 0,0008

а

I ОПООб 9

§ О ООО-! £

§ 0 0002

^ 0 0000

-О 0002

А

V ^ ~>

1-СШ МаЙаЬ

1-ССМ ПМШРАУЕ

10

20

30

40

50

«О

Рис 7 - Графики зависимости относительной ошибки вычисления константы распространения фундаментальной моды ФКС (Рис 6а) от числа локальных мод для двух реализаций ССМ-метода Проводятся другие вычислительные эксперименты по расчету модовых характеристик ФКС обоими методами Так, например, показано, что ФКС с заполненным сердечником (Рис 4) может обладать нормальной дисперсией, а аналогичный ФКС с полым сердечником - аномальной (Рис 8) То есть ФКС с полым сердечником может быть использован для компенсации дисперсии обычных кварцевых волокон и ФКС с заполненным сердечником

••••••••••

Ш о

х/л

X, мкм

(а)

Рис 8 - Сечение ФКС с полым сердечником (а), график дисперсионного параметра (б) для ФКС (Рис 8а) - сплошная линия, для аналогичной модели ФКС с заполненным сердечником (Рис 4)- пунктирная линия

Дисперсионный параметр £> = -(А01с)с12пе^ / ¿Л20, где с - скорость света,

характеризует дисперсию групповой скорости света в ФКС

Рассчитанные модовые дифракционные потери ФКС с полым сердечником (Рис 8а) и Л = 1 мкм равняются 0,1 дБ/км для Х0 = 0,6 мкм, что ниже фундаментального предела затухания для кварцевых волокон

В Приложении А приводятся формулы для расчета элементов матрицы линейной задачи на собственные значения для поперечных компонент вектора напряженности электрического поля из третьей Главы 3

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приводятся основные результаты, полученные в работе

1 Разработан метод синусоидальных согласованных мод, позволяющий без пропусков рассчитывать моды фотонно-кристаллических световодов, основанный на применении итеративного метода Крылова решения нелинейной задачи на собственные значения

2 Разработан метод расчета мод фотонно-кристаллических световодов на основе независимого решения двух линейных задач на собственные значения для электрической и магнитной компонент светового поля, полученных с помощью конечно-разностных аппроксимаций соответствующих стационарных волновых уравнений

3 Проведено сравнение двух разработанных методов расчета мод фотонно-кристаллических волноводов и показано, что оба метода дают почти одинаковые результаты (отличие менее 1 %) , если в методе согласованных синусоидальных мод выбирать более 15 локальных мод в каждой ячейке разбиения, а в конечно-разностном методе выбирать шаг сетки отсчетов меньше, чем десятая доля длины волны

4 Для ФКС с полым сердечником доля энергии электрической составляющей, распространяющейся в сердечнике, составляет 50% Эффективный индекс несобственной фундаментальной моды комплексный и по модулю меньше единицы Мнимая часть эффективного индекса составляет незначительную величину (Ю"10-Ю" 9 мкм"1) в диапазоне длин волн от 0,55 мкм до 0,65 мкм Показано, что энергетические потери составляют порядка 0,1 дБ/км для длины волны 0,6мкм, это меньше фундаментального придела затухания в обычных кварцевых волокнах (0,2 дБ/км)

5 Расчет зависимости дисперсионного параметра от длины волны КР-методом для ФКС показал, что ФКС с полым сердечником в диапазоне длин волн от 0,55 мкм до 0,65 мкм обладает аномальной и меньшей по абсолютному значению дисперсией, по сравнению с нормальной дисперсией аналогичного ФКС с заполненным сердечником

6 Предложенная реализация ССМ-метода в среде МаНаЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа ИММШАУЕ

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

в научных изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией

1 Котляр В В, Шуюпова Я О Расчет пространственных мод оптических волноводов с неоднородным поперечным сечением методом согласованных синусоидальных мод // Компьютерная оптика № 25, 2003 -с 41-48

2 Kotlyar V V, Shuyupova Y О Calculating the Modes m Microstructured Optical Fibers // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics), Vol 13, 2004-p 27-36

3 Котляр В В, Шуюпова Я О Расчет векторных мод оптического волновода // Компьютерная оптика № 27,2005 -с 89-94

4 Котляр В В, Шуюпова Я О Практическое применение метода согласованных синусоидальных мод для моделирования некоторых распространенных типов волноводов // Компьютерная оптика № 27,2005 -с 84-88

5 Котляр ВВ, Шуюпова Я О Сравнение аналитического и полученного конечно-разностным методом решений для круглого волокна // Компьютерная оптика № 28,2005 -с 41-44

6 Котляр В В, Шуюпова Я О Расчет мод фотонно-кристаллического световода разностным методом // Оптический журнал, том 74, № 9, 2007 -с 600-608

7 Шуюпова Я О, Котляр В В Нахождение констант распространения методом Крылова при расчете мод фотонных волноводов // Компьютерная оптика Т 31, № 1,2007-с 27-30

8 Коттяр ВВ, Шуюпова Я О Расчет мод по того фотонно-кристаллического световода разностным методом // Известия СНЦ РАН, том 9, № 3, 2007 -с 592-597

в других изданиях

9 Шуюпова Я О Применение метода согласованных синусоидальных мод для расчета полей в волноводах на фотонных кристаллах // Вестник СГАУ "Вторая летняя школа молодых ученых по дифракционной оптике и обработке изображений", 2004,-с 63-646 СГАУ, Самара

10 Шуюпова Я О Сравнение двух методов расчета пространственных мод волноводов на фотонных кристаллах // Сборник трудов Всероссийский семинар по моделированию, дифракционной оптике и обработке изображений, 2006,-с 9-11, Самара, СГАУ

11 Kotlyar V V, Shuyupova Y О Calculating spatial modes in photonic crystal fibers based on applying finite-difference method to wave equations // Proceedings of ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics 2006, September 4-7, 2006, St Petersburg, Russia,-p 483-485

Подписано в печать 18 04 08 Формат 60x84 1/16 Отпечатано в типографии ООО «Август» Тираж 100 экз

Введение.

Глава 1. Фотонно-кристаллические световоды.

1.1 Различные типы фотонно-кристаллических световодов и их изготовление.

1.2Необычные свойства фотонно-кристаллических световодов.

1.3Методы расчета мод фотонно-кристаллических световодов.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Метод согласованных синусоидальных мод.

2.1 Моды однородных световодов.

2.2Метод согласованных синусоидальных мод в скалярном случае .42 2.3Метод согласованных синусоидальных мод в векторном случае . 51 2.4Метод Крылова решения нелинейной задачи на собственные значения при расчете мод световода.

2.5Программная реализация алгоритмов расчета методом согласованных синусоидальных мод.

2.6Численный расчет мод ступенчатого световода с круглым сечением.

2.6.1 Расчет и анализ собственных мод двух моделей ступенчатого световода с круглым сечением.

2.6.2Разложение гауссова пучка по собственным модам световода.

2.7Расчет векторных мод фотонно-кристаллического световода.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Метод расчета мод с помощью конечно-разностной аппроксимаций стационарных волновых уравнений.

3.1 Линейная задача на собственные значения при расчете электрических полей мод.

3.2Конечно-разностный метод для расчета магнитных полей мод световода.

3.3Программная реализация алгоритмов расчета конечно-разностным методом.

3.4Численный расчет электромагнитных мод световода с круглым сечением.

3.5Численный расчет мод фотонно-кристаллического световода.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Сравнение результатов численного расчета модового состава фотонно-кристаллических световодов, полученных разными методами

4.1 Расчет модовых полей фотонно-кристаллического световода методом согласованных синусоидальных мод и методом конечных разностей.

4.2Численное исследование методом согласованных синусоидальных мод влияния параметров отверстий фотонно-кристаллического световода на фундаментальную моду.

4.2.1 Сравнение двух локализаций микроотверстий в оболочке фотонно-кристаллического световода с точки зрения концентрации энергии мод в сердечнике.

4.2.2 Исследование влияния диаметра микроотверстий в оболочке фотонно-кристаллического световода на распределение интенсивности его фундаментальной моды.

4.2.3 Определение диапазона реализации одномодового режима фотонно-кристаллического световода.

4.2.4 Модификация слабонаправляющего световода.

4.3Расчет мод фотонно-кристаллического световода с полым сердечником конечно-разностным методом.

4.4Сравнение расчета мод с помощью разработанных методов и программы Р1ММ\\ААУЕ.

Выводы к главе 4.

Диссертация посвящена разработке двух методов расчета пространственных мод однородных в продольном направлении и неоднородных по поперечным осям оптических световодов и применению этих методов для расчета мод фотонно-кристаллических световодов.

Актуальность работы. Создание лазеров и их широкое применение привело к появлению ряда новых направлений науки и техники. Одним из таких направлений является современная волоконная оптика, изучающая стеклянные волноводы с низкими оптическими потерями. Наиболее важной и развитой в настоящее время областью применения волоконной оптики является волоконно-оптическая связь.

Постоянно расширяется круг практических применений световодов и оптических волокон, то есть волноводов цилиндрической формы. Среди них: волоконно-оптические датчики различных физических полей (акустических, температурных, электрических, магнитных), в которых волновод является чувствительным элементом; волоконно-оптические лазеры и преобразователи частоты; генераторы суперконтинуума; компенсаторы дисперсии.

Практический интерес к оптическим световодам и волокнам породил необходимость разработки методов их исследования, позволяющих численно анализировать свойства уже существующих образцов и прогнозировать перспективы применения синтезируемых средствами компьютерного моделирования волноводных структур.

Фотонно-кристаллические световоды (ФКС) - это относительно новый класс оптических волокон, использующих свойства фотонных кристаллов (J. С. Knight, 1996). В поперечном сечении ФКС представляют собой кварцевую или стеклянную микроструктуру с периодической либо апериодической системой микровключений или микроотверстий цилиндрической формы, ориентированных вдоль оси волокна. Дефект микроструктуры служит сердечником световода, обеспечивая волноводный режим распространения электромагнитного излучения.

Способность ФКС удерживать и направлять свет зависит от множества физических и геометрических параметров, поэтому с их созданием появились дополнительные степени свободы для управления характеристиками света, распространяющегося внутри световода.

Актуальной задачей остается разработка эффективных методов расчета мод ФКС, то есть электромагнитных волн, которые способны возбуждаться и распространяться в сердечнике световода. Любой пучок излучения, направляемый в световод, будет «раскладываться» в нем по совокупности пространственных мод и распространяться в виде линейной суперпозиции мод.

Исторически первым методом, примененным для расчета мод ФКС, стал метод эффективного индекса (Т.А. Birks, 1997). Метод эффективного индекса, суть которого состоит в замене сложной модели сечения ФКС с множеством микроотверстий на адекватную модель обычного круглого световода со ступенчатым профилем показателя преломления, является одним из самых быстрых, но при этом метод уступает конкурентам по точности.

Существует несколько методов, предназначенных для расчета мод ФКС. Все их можно условно разделить на три группы: приближенно-аналитические методы или методы декомпозиции, интегральные методы и конечно-разностные методы.

Методы декомпозиции. Основная идея, эксплуатируемая в данной группе методов, — это возможность представления поля моды световода в форме разложения по некоторому базису. В результате этой декомпозиции отыскание мод сводится к задачи на собственные значения и собственные вектора некоторой матрицы.

Разложение по плоским волнам (A. Ferrando, 1999) с периодическими граничными условиями дает решение для бесконечного, периодически повторяющегося в поперечной плоскости световода, что делает принципиально невозможным получение данным методом мнимой части константы распространения, соответствующей потерям при распространении вытекающей или несобственной моды.

Метод разложения по модам Гаусса-Эрмита (Т.М. Monro, 2000) оказывается более пригодным для описания сложной структуры сечения ФКС, нежели метод разложения по плоским волнам, однако данный метод ограничен применением только к ФКС с отверстиями в оболочке, расположенными в узлах правильной гексагональной решетки, так как расстояние между центрами любых двух соседних отверстий должно быть фиксировано, и значение этого расстояния входит в выражение для базисных функций.

Метод мультиполя, разработанный для расчета мод световодов с несколькими сердечниками (Е. Yamashita, 1985), был обобщен на случай ФКС (Т.Р. White, 2002). Основным его недостатком является обязательное требование округлости микроотверстий в оболочке. Сильная сторона метода состоит в том, что он позволяет вычислять как действительную, так и мнимую части константы распространения, и, в отличии от метода мультиполя для световодов с несколькими сердечниками, использующего технику поточечной стыковки поля на границах включений, данный метод обрабатывает граничные условия путем разложения компонент поля по ортонормальному базису.

Характерной чертой метода согласованных синусоидальных мод (ССМ-метод) (A.S. Sudbo, 1993) является техника разбиения неоднородного сечения волноводной структуры на прямоугольные области с постоянным значением показателя преломления среды. В каждой из таких областей поле моды аппроксимируется суперпозицией факторизованных гармонических функций. А константы распространения мод находятся из условия минимизации невязки представлений поля на границах соседних областей, для чего используется интегральный подход. ССМ-метод использует процедуры поиска корней уравнений, и потому проигрывает по скорости методам, основанным исключительно на отыскании собственных чисел матриц.

Интегральные методы. Интегральные методы являются сеточными, то есть, в отличии от методов предыдущей группы, в данном случае решением задачи отыскания поля моды является сеточная функция, а не заданная аналитически.

Среди этой группы можно выделить метод конечных элементов (F. Brechet, 2000). Он представляет собой мощный инструмент векторного анализа, способный учитывать все особенности геометрии микроотверстий и расположение их в структуре сечения. Достаточно быстрый и гибкий, он часто используется для моделирования свойств ФКС. Среди недостатков метода конечных элементов можно назвать требовательность к ресурсам памяти, так как для описания структуры сечения ФКС требуется подробная дискретизация и большое количество переменных, а также необходимость вмешательства человека в работу алгоритма для лучшего определения граничных условий и сетки дискретизации.

Метод граничных элементов (N. Guan, 2003), где сечение разбивается на однородные области, а задача на собственные значения получается в результате применения теоремы Грина, отличает меньшая требовательность к ресурсам памяти. Однако существенным недостатком является возможность возникновения ложных решений.

В методе функции Грина (Н. Cheng, 2004) задача отыскания констант распространения мод также сводится к задаче на собственные числа матрицы, для решения которой разработан специальный быстрый алгоритм. Этот метод работоспособен в случае сложных геометрических форм микроотверстий ФКС, хотя и с меньшей скоростью сходимости, чем в случае круглых отверстий.

Конечно-разностные методы. Конечно-разностные методы, также как и методы интегральные, дают сеточное решение.

Метод конечных разностей (KP-метод) широко используется для решения разного рода уравнений. Благодаря простоте реализации, этот метод стал удобным инструментом для расчета мод оптических световодов, особенно тех, для которых не существует аналитического решения, например, таких как ФКС.

Наличие больших контрастов показателя преломления в структуре сечения ФКС требует использования полностью векторного подхода при расчете мод, вместо часто используемого для слабонаправляющих световодов скалярного подхода. Однако, как было продемонстрировано (7. КшИеёе, 2003), скалярный КР-метод может использоваться для получения как минимум качественной оценки распределения мод ФКС, в том числе на основе эффекта фотонных запрещенных зон.

Для более точного анализа были предложены векторные конечно-разностные схемы (О.И. НагсИеу, 1994). Дискретизации подвергаются дифференциальные операторы и функции, входящие в уравнение Гельмгольца или стационарные волновые уравнения.

Результатом применения специальных конечно-разностных схем к нестационарным волновым уравнениям или уравнениям Максвелла является семейство методов распространения пучка (С.Ь. Хи, 1994). Суть методов состоит в моделировании распространения когерентного пучка света вдоль световода, в результате чего получают моды данной структуры, как бы апостериорно. С помощью метода удобно исследовать энергетические потери при прохождении излучения по световоду, хотя это может быть и затруднительно в связи с проблемой сходимости метода к устойчивому состоянию, а плохо сходящиеся результаты для многомодового световода будут получаться всякий раз, когда более одной моды достигают устойчивого состояния одновременно.

Рассмотрим подробнее пару методов расчета мод световодов из двух принципиально разных групп: приближенно-аналитический метод согласованных синусоидальных мод, и дифференциальный сеточный метод, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям. Эти два метода усовершенствованы в данной диссертационной работе.

Базовая идея ССМ-метода, также известного как техника поперечного резонанса, была впервые сформулирована в новаторской работе Унгера (H.G. Unger, 1966). Последующее развитие метод получил благодаря работам Пенга и Олинера (S.T. Peng, 1981), которые применяли его для расчета потерь излучения за счет вытекающих мод в ступенчатых световодах. Затем в работе Садбо (A.S. Sudbo, 1993) был введен описательный термин «согласование синусоидальных мод» и дана точная математическая формулировка. Несмотря на преимущества данного подхода, связанные с возможностями полного векторного анализа и непрерывным характером результирующего поля, ССМ-метод ранее не применялся для моделирования ФКС. Кроме того, в ССМ-методе процедуры поиска корней (нулей функции) как на начальном этапе отыскании локальных мод, так и при определении константы распространения, обладают существенным недостатком, а именно: возможен пропуск корней в том случае, если они располагаются вблизи друг друга или вблизи разрыва, на расстоянии меньшем шага дискретизации. Пропуск корней в первом случае ведет к неверному решению для пространственной моды, а во втором — и вовсе к ошибочному отрицанию факта существования моды световода с некоторым значением константы распространения. Поэтому в диссертационной работе ССМ-метод был модифицирован на этапе отыскания констант распространения с помощью итеративного метода Крылова решения нелинейной матричной задачи на собственные значения и вектора. А на этапе поиска локальных мод в диссертации предложен оригинальный «статистический» алгоритм нахождение корней характеристического уравнения.

За основу рассматриваемого конечно-разностного метода был взят подход, предложенный в работе Янг (R. Yang, 2004), где для расчета мод использовалась техника применения конечно-разностных аппроксимаций к стационарным векторным волновым уравнениям для монохроматического света. KP-метод выигрывает по скорости работы алгоритма у ССМ-метода, поскольку задача отыскания констант распространения и отсчетов сеточных решений для поперечных компонент электрической или магнитной составляющих напрямую сводится к линейной матричной задаче на собственные числа и вектора. В своей работе Янг приводит вывод только для электрической составляющей электромагнитного поля, хотя явный вид элементов матрицы не показан. Компоненты магнитной составляющей поля могут быть рассчитаны через компоненты электрической составляющей путем численного их дифференцирования, хотя это приведет к дополнительным ошибкам. В диссертационной работе сформулирована математическая задача расчета магнитной составляющей светового поля, и строится алгоритм ее решения. Полностью расписана структура матрицы линейной задачи на собственные значения и вектора для электрической составляющей. Совместное решение двух аналогичных, но независимых, задач для электрической и магнитной составляющих позволяет произвести внутренний контроль правильности работы метода путем сравнения значений констант распространения.

Каждый из двух рассмотренных методов позволяет производить полный векторный анализ мод ФКС. Сравнение результатов расчета мод двумя принципиально разными методами позволит говорить об их достоверности.

Целью диссертации является разработка двух численных методов расчета пространственных мод лазерного излучения фотонно-кристаллических световодов, а также сравнение между собой пространственных мод, рассчитанных этими методами.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• Разработать метод согласованных синусоидальных мод для расчета поперечных мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на итеративном методе Крылова решения нелинейной задачи поиска констант распространения мод. в Разработать метод расчета мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на применении конечноразностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям и независимом решении задач расчета электрических и магнитных составляющих электромагнитного поля.

• Получить численные значения характеристик мод лазерного излучения, распределения их компонент в сечении фотонно-кристаллических световодов и провести сравнение результатов, полученных разными методами.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан метод согласованных синусоидальных мод для расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, в котором задача поиска констант распространения мод решается как нелинейная задача на собственные значения с помощью итеративного метода Крылова.

2. Разработан метод расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, основанный на независимом решении двух линейных матричных задач на собственные значения, получаемых в результате применения конечно-разностных аппроксимаций к векторным волновым уравнениям относительно электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля.

3. С помощью разработанных методов проведено численное исследование модового состава оптических световодов с оболочкой в виде двумерного фотонного кристалла, с круглыми и квадратными отверстиями, расположенными в узлах гексагональной и квадратной решеток, с заполненным и полым сердечниками. Показано, что оба метода дают сходные результаты: значения рассчитанных констант распространения отличаются на величину порядка 10" , а среднеквадратическое отклонение распределений амплитуд компонент поля по области сечения составляет менее одного процента.

4. Рассчитана зависимость дисперсионного параметра фотонно-кристаллических световодов от длины волны, и показано, что при выбранных параметрах световод с заполненным сердечником обладает нормальной дисперсией, а аналогичный световод с полым сердечником — аномальной. Световод из плавленого кварца с полым сердечником может обладать дифракционными потерями (0,1 дб/км) меньшими, чем потери за счет поглощения света (0,2 дб/км) в световоде с заполненным сердечником.

Защищаемые положения:

• Метод согласованных синусоидальных мод, усовершенствованный итеративным алгоритмом Крылова позволяет без пропусков рассчитывать константы распространения пространственных мод фотонно-кристаллических световодов.

• Независимый расчет поперечных составляющих электрического и магнитного векторов электромагнитных полей мод фотонно-кристаллических световодов с помощью метода конечно-разностных аппроксимаций, применяемых к стационарным волновым уравнениям, позволяет получать одни и те же константы распространения мод, отличные друг от друга на доли процента.

• Основная мода моделируемого фотонно-кристаллического световода с квадратными отверстиями, расположенными вокруг сердечника, рассчитанная двумя разработанными методами отличается в среднем по сечению не более чем на один процент, а константа распространения отличается в третьем знаке после запятой.

• Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде МайаЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа Р1ММЛ^АУЕ.

Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами: Разработанный метод согласованных синусоидальных мод позволяет получить в виде Фурье гармоник аналитическое описание любой составляющей любой собственной моды фотонно-кристаллического световода с произвольно заданным поперечным сечением.

• Разработанный метод расчета мод лазерного излучения, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям, позволяет быстро получать отсчеты амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мод световода с произвольным поперечным сечением.

• Оба метода позволяют рассчитывать дисперсионные кривые для ФКС с полым и заполненным сердечниками и определять области нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости света.

• Оба разработанных метода также позволяют с помощью дополнительного оптимизационного алгоритма проектировать профиль показателя преломления в сечении световода, который бы обеспечил заданный модовый состав с требуемыми свойствами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на IV и V международных конференция молодых ученых и специалистов «Оптика -2005» и «Оптика - 2007», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г. Санкт-Петербург, октябрь 2005 и 2007гг.); на третьем Самарском региональном конкурсе-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике, - проводимом Самарским филиалом Физического института РАН (г. Самара, ноябрь 2005г.); на Всероссийском семинаре по моделированию, дифракционной оптике и обработке изображений, проводимом Самарским государственным аэрокосмическим университетом (г. Самара, июнь 2006г.); на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «ICO Topical Meeting on Optoinformatics», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г. Санкт-Петербург, сентябрь 2006г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, 8 из которых опубликованы в научных журналах рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (95 наименований), приложения, изложенных на 149 страницах и содержит 45 рисунков.

Выводы к главе 4 | -

1. Применение двух методов расчета мод ФКС (ССМ-метода и КР-метода) приводит к хорошо согласующимся результатам, что, учитывая также качественное и количественное соответствие результатов, полученных для круглых световодов, аналитическому решению, доказывает работоспособность обоих методов и достоверность получаемых модовых характеристик.

2. Численные исследования показали, что отверстия в сечении оболочки ФКС следует располагать в «шахматном порядке», чтобы избежать существования мод, распространяющихся в оболочке.

3. Из полученной ССМ-методом численной зависимости эффективного индекса первых шести мод ФКС диаметром отверстий в оболочке 0,4мкм от длины волны в диапазоне от 1мкм до 1,6 мкм следует, что одномодовый режим для данного ФКС реализуется при Л0 > 1,15 мкм. I

4. Для ФКС с полым сердечником доля энергии электрической составляющей, распространяющейся в сердечнике, составляет 50%. Эффективный индекс несобственной фундаментальной моды комплексный и по модулю меньше единицы. Мнимая часть эффективного индекса составляет незначительную величину в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм, что соответствует малым энергетическим потерям, в частности порядка 0,1 дБ/км для длины волны 0,6мкм, это меньше фундаментального предела затухания в обычных кварцевых волокнах (0,2 дБ/км).

5. Расчет зависимости дисперсионного параметра от длины волны КР-методом для ФКС показал, что ФКС с полым сердечником в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм обладает аномальной и меньшей по абсолютному значению дисперсией, по сравнению с нормальной дисперсией аналогичного ФКС с заполненным сердечником.

6. Результаты расчета эффективного индекса, полученные с помощью разработанных методов и коммерческой программы РТММЛУАУЕ для двух моделей ФКС с заполненным сердечником совпадают с точностью до 0,2% .

7. Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде Ма1:1аЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа РХМММУАУЕ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод синусоидальных согласованных мод, позволяющий без пропусков рассчитывать моды фотонно-кристаллических световодов, основанный на применении итеративного метода Крылова решения нелинейной задачи на собственные значения.

2. Численно показано, что фундаментальная мода слабонаправляющего одномодового световода переносит 100% энергии гауссового пучка, радиус которого в 1.17 раз больше радиуса сердечника.

3. Численно показано, что скалярная мода ФКС близка по распределению интенсивности и значению константы распространения к доминирующей компоненте векторной моды ФКС с таким же номером. Скалярный ССМ-метод, в применении к ФКС будет давать хорошее приближение для наиболее интенсивной из шести компонент вектора электромагнитной моды: Ех, Еу, Е:, сВх, сВу, сВ:.

4. Разработан метод расчета мод фотонно-кристаллических световодов, на основе независимого решения двух линейных задач на собственные значения для электрической и магнитной компонент светового поля, полученных с помощью конечно-разностных аппроксимаций соответствующих стационарных волновых уравнений.

5. Разработанный КР-метод применен для расчета НЕи моды слабонаправляющего ступенчатого волокна и ступенчатого световода с круглым сердечником, который не является слабонаправляющим. Выявлено отсутствие ^ радиальной симметрии основной моды у последнего. В обоих случаях результаты согласуется с аналитическим решением для аналогичного световода с неограниченной оболочкой. Поведено сравнение двух разработанных методов расчета мод фотонно-кристаллических волноводов и показано, что оба метода дают почти одинаковые результаты (отличие менее 1 %) , если в методе согласованных синусоидальных мод выбирать более 15 локальных мод в каждой ячейке разбиения, а в конечно-разностном методе выбирать шаг сетки отсчетов меньше, чем десятую долю длины волны.

Показано, что отверстия в сечении оболочки ФКС следует располагать в «шахматном порядке», чтобы избежать существования мод, распространяющихся в оболочке. ССМ-методом рассчитаны зависимости эффективного индекса от длины волны нескольких первых мод фотонно-кристаллического световода и определен диапазон длин волн, при котором данный световод является одномодовым.

Для ФКС с полым сердечником доля энергии электрической составляющей, распространяющейся в сердечнике, составляет 50%. Эффективный индекс несобственной фундаментальной моды комплексный и по модулю меньше единицы. Мнимая часть эффективного индекса составляет незначительную величину в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм. Показано, что энергетические потери составляют порядка 0,1 дБ/км для длины волны 0,6мкм, это меньше фундаментального предела затухания в обычных кварцевых волокнах (0,2 дБ/км).

Расчет зависимости дисперсионного параметра от длины волны КР-методом для ФКС показал, что ФКС с полым сердечником в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм обладает аномальной и меньшей по абсолютному значению дисперсией, по сравнению с нормальной дисперсией аналогичного ФКС с заполненным сердечником.

11. Результаты расчета эффективного индекса, полученные с помощью разработанных методов и коммерческой программы Р1ММ\Л^АУЕ для двух моделей ФКС с заполненным сердечником совпадают с точностью до 0,2% .

12. Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде МаЙаЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа РГММХ^АУЕ.

1. J.C. Knight, T.A. Birks, P.SJ. Russel, and D.M. Atkin, "All-silica single mode optical fiber with photonic crystal cladding", Opt. Lett., V. 21, N. 19, PP. 15471549, 1996

2. Adams MJ. An Introduction to Optical Waveguides (Wiley: New York, 1981)

3. P. Yeh, A. Yariv, and E. Marom, "Theory of Bragg fiber", J. Opt. Soc. Am. N. 68, PP. 1196-1201, 1978

4. M. Ibanescu, Y. Fink, S. Fan, E.L. Thomas, and J.D. Joannopoulos, "All-dielectric coaxial waveguide", Science, N. 289, PP. 415-419, 2000 '

5. E. Cojocaru, "Dispersion analysis of hollow-core modes in ultralarge-bandwith all-silica Bragg fibers, with nanosupports", Appl. Opt., V 45, No 9, 2039 2045, 2006

6. M. Foroni, D. Passaro, F. Poli, A. Cucinotta, S. Selleri, J. Legsgaard, and A. Bjarklev, "Confinement loss spectral behavior in hollow-core Bragg fiber", Opt. Lett., V 32, No 21, PP. 3164 3166, 2007

7. A.M. Zhelticov, "Ray-optic analysis of the (bio)sensing ability of ring-cladding hollow waveguides", Appl. Opt., V. 47, N. 3, PP. 474-479, 2008

8. A. Dupuis, N. Guo, B. Gavreau, A. Hassani, E. Pone, F. Biosmenu, and M. Skorobogatiy, "Guiding in the visible with "colorful" solid-core Bragg fiber", Opt. Lett., V.32, N.19, PP. 2882-2884, 2007

9. Q. Fang, Zh. Wang, L. Jin, J. Liu, Y. Yue, Y. Liu, G. Kai, Sh. Yuan, and X. Dong, "Despersion design of all-solid photonic bandgap fiber", J. Opt. Soc. Am. A, V.24, N. 11, PP. 2899-2905, 2007

10. G. Ren, P. Shum, L. Zhang, and X. Yu, "Low-loss all-solid photonic bangap fiber", Opt. Lett, V. 32, N. 9, PP. 1023-1025, 2007

11. R. Yang, W. Xue, T. Huang, G. Zhou, "Research of the effects of air hole shape on the properties of microstructured optical fibers", Opt. Eng., V. 43, N. 11, PP. 2701-2706, 2004

12. Y. Yue, G. Kai, Zh. Wang, T. Sun, L. Jin, Y. Lu, Ch. Zhang, J. Liu, Y. Li, Sh. Yuan, and X. Dong, "Highly biréfringent elliptical-hole photonic crystal fiber with squeezed hexagonal lattice", Opt. lett., V. 32, N. 5, PP. 469-471;, 2007

13. H.-G. Choi, Ch.-S. Kee, K.-H. Hong, J.H. Sung, S. Kim, D.-K. Ko, J. Lee, J.-E. Kim, H.Y. Park, "Discpersion and birefringence of irregularly microstructured fiber with elliptical core", Appl. Opt., V. 46, N. 35, PP. 8493-8498, 2007

14. A. Mafi and J. V. Moloney, "Shaping Modes in Multicore Photonic Crystal Fiber", IEEE Photonics Technology Letters, N. 17, 348-350, 2005

15. L. Michaille, D. M. Taylor, Ch. R. Bennet, T. J. Shepherd, and B. G. Ward, "Characteristics of a Q-switched multicore photonic crystal fiber laser with a very large mode field area", Opt. Lett., V. 33, N. 1, PP. 71-73, 2008

16. M. Eguchi, Y. Tsuji, "Geometrical birefringence in square-lattice holey fibers having a core consisting of multiple defect", J. Opt. Soc Am. A, V. 24, N. 4, 2007

17. Ch. Zhang, G. Kai, Zh. Wang, T. Sun, Ch. Wang, Y. Liu, H. Liu, W. Zhang, Sh. Yuan, and X. Dong, "Design of tunable bandgap guidance in high-index filledmicrostructure fibers", J. Opt. Soc. Am. A, V. 23, N. 4, PP. 782 786, 2006:

18. J. Sun, Ch.Ch. Chan, X.Y. Dong, "Refractive index measurement using photonic crystal fiber", Opt. Eng., V.46, N.l, 014402, 2007

19. J. Sun, Ch.Ch. Chan, "Hybrid guiding in liquid-crystal photonic crystal fibers", J. Opt. Soc. Am. A, V. 24, N. 10, PP. 2640-2646, 2007

20. T. Larsen, A. Bjarklev, D. Hermann, and J. Broeng, "Optical devices based on liquid crystal photonic bandgap fibres", Opt. Express, V. 11, N. 20, PP. 25892596,2003

21. P. Domachuk, H.C. Nguyen, B.J. Eggleton, "Transverse probed microfluidic switchable photonic ciystal fiber devices", Photon. Technol. Lett. V. 16, N. 8, PP. 1900-1902, 2004

22. E. Yablonovitch, "Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics", Phys. Rev. Lett. V. 58, 2059 2062, 1987

23. R. M. Wynne, "A Fabrication Process for Microstructured Optical Fibers", J. Lightwave Technology, V. 24, No 11, 2006

24. J. Lui, L. Xue, Y. Wang, G. Kai, and X. Dong, "Impact of imperfect geometry structure on nonlinear and chromatic dispersion properties of micro structure fiber", Appl. Opt., V. 46, N. 31, PP. 7771 7775, 2007

25. M. Zghal, R. Cherif, "Impact of small geometrical imperfections on chromatic dispersion and birefringence in photonic crystal fiber", Opt. Eng., V. 46, N. 12, 2007

26. T.A. Birks, J.C. Knight, P. St. J. Russell, "Endlessly single-mode photonic ciystal fiber", Opt. Lett., V. 22, N. 13, PP. 961-963, 1997

27. D. Mogilevtsev, T.A. Birks, P. St. J. Russell, "Group-velocity dispersion in photonic crystal fibers" Opt. Lett., V. 23, PP. 1662-1664, 1998

28. AN.G.R. Broderick, T.M. Monro, P.J. Bennett, D.J. Richardson, "Modelling Large Air Fraction Holey Optical Fiber". J. Opt. Tech., V. 18, PP. 50-56, 2000

29. AN.G.R. Broderick, T.M. Monro, P.J. Bennett, D.J. Richardson, '"Nonlinearity in holey optical fibers: measurement and future opportunities" Opt. Lett., 24, P. 1395,1999

30. A. Ferrando, E. Silvestre, J.J. Moret, P. Andres and M.Y. Andres, "Full-vector analysis of a realistic photonic crystal fiber", Opt Lett., V. 24, PP. 276-278. 1999

31. A. Ferrando, E. Silvestre, J.J. Miret, P. Andres, "Nearly zero ultraflattened dispersion in photonic crystal fibers", Opt Lett., V. 25, PP. 790-792, 2000

32. M. Moester and G. Steinmeyer, R. Iliew and F. Lederer, K. Petermann, "Analitical relation between effective mode field area and waveguide dispersion in microstructure fibers", Opt. Lett, V.31, N.22, PP. 3249-3251, 2006

33. L. Zhang, T. Luo, Y. Yue, Ch. Yu, and A.E. Willner, "Photosensitivity-enabled dispersion controllability for quasi-phase-matching in photonic crystal fibers", Opt. Lett, V.32, N.24, PP. 3498-3500, 2007

34. J. Riishede and O. Sigmund, "Inverse design of dispersion compensating optical fiber using topology optimization", J. Opt. Soc. Am. В, V. 25, N. 1, PP. 88-97, 2008

35. A.M. Желтиков, «Да будет белый свет: генерация суперконтинуума сверх которткими лазерными импульсами», Успехи физических наук, Т. 176, №6, СС. 623-649, 2006

36. J.C. Knight, Т.A. Birks, R.F. Gregan, P. St. J. Russell, de Sandro J.-P. Electron. Lett, V. 13, P. 1347, 1998

37. A. Hasegawa, "Optical solitons in fibers", Springer, Heidelberg, 1990

38. А.Б. Федотов, Д.А. Сидоров-Бирюков, А.А. Иванов, M.B. Алфимов, A.M.

39. Желтиков, «Полые фонтонно-присталлические волокна для передачиi"мегаваттных фемтосекундных импульсов в солитонном режиме», Российские нанотехнологии, Т. 2, № 3-4, СС. 134-139, 2007

40. A.M. Желтиков, «Микроструктурированные световоды для нового поколения волоконно-отических источников и преобразователей световых импульсов», Успехи физических наук, Т. 177, №7, СС. 738-762, 2007

41. Y. Xu, and A. Yariv, "Loss analisys of air-core photonic crystal fibers", Opt. Lett. V. 28, PP. 1885-1887,2003

42. Д.В. Богданович, «Минимизация потерь и расчет оптических свойствбрэгговских волоконных световодов с полой сердцевиной)^ Письма в

43. ЖЭТФ, Т.86, №4, 265-269, 2007

44. Е.Г. Павлова, «Механизм потерь в фотонно-кристаллических волокнах», Lightwave Russian Edition, №3, СС. 54-56, 2005

45. K. Saito, N.A. Mortensen, and M. Koshiba, "Air-core photonic bang-gap fibers: the impact of surface modes", Opt. Express, V. 12, N. 3, PP. 394-400, 2004I

46. H. K. Kim, J. Shin, S. Fan, M. J. F. Digonnet, and G.S. Kino, "Designing air-core photonic-bandgap fibers free of surface modes", IEEE J. of Quantum Electronics, V. 40, N. 5, PP. 551-556, 2004

47. MJ.F. Digonnet, H.K. Kim, J. Shin, S. Fan, and Gordon S., "Simple geometric criterion to predict the existence of surface modes in air-core photonic-bandgap fiber", Opt. Express, V. 12, N. 9, PP. 1864-1872, 2004

48. Jun-ichi Sakai, "Optical loss estimation in Bragg fiber", J. Opt. Soc. Am. A, V.24, N. 4, 2007

49. B. Momeni and A. Adibi, "An Approximate Effective Index Model,for Efficient Analysis and Control of Beam Propagation Effects in Photonic Crystals", J. Lightwave Technology, V. 23, No 3, PP. 1522-1532, 2005

50. K. N. Park and K.S. Lee, "Improved effective-index method for analysis of photonic crystal fibers", Opt. Lett., V. 30, N.9, pp. 958-960, 2005

51. Y. Li, Y. Yoa, M. Hu, L. Chai, and Ch. Wang, "Improved fully vectorial effective index method for photonic crystal fibers: evaluation and enhancement", Appl. Opt., V. 47, N. 3, PP. 399-406, 2008

52. T.P. White, B.T. Kuhlmey, R.C. McPhedrran, D. Maystre, G. Renversez, C. Martijn de Sterke, L.C. Botten, "Multipole method for microstructured optical fibers", J. Opt. Soc. Am. A, V. 19, N. 10, PP. 2322-2330, 2002

53. M.J. Steel, T.P. White, C.D. De Sterke, R.C. McPhedran and L.C. Botten, "Symmetiy and degeneracy in microstructured optical fibers", Opt. Lett., N. 26, PP. 488-490, 2001

54. E. Yamashita, S. Ozeki and K. Atsuki., "Modal analisys method for optical fibers with symmetrically distributed multiple cores", J. Lighhtwave Techn., N. 3, PP. 341-346, 1985

55. D. Felbacq, G. Tayed and D. Maystre, "Scattering by a random set of parallel cylinders", J. Opt. Soc. Am. A, N. 11, PP. 2526-2538, 1994

56. A.S. Sudbo, "Film mode mathing: A versatile method for mode field calculations in dielectric waveguides", Pure Appl. Opt. (J. Europ. Opt. Soc. A), V. 2, PP. 211233, 1993

57. A. Cucinotta, S. Selleri, L. Vincent and M. Zoboli, "Holey fiber analysis through the finite element method", IEEE Photon. Technol. Lett.,- N. 14, PP. 1530-1532, 2002

58. F. Brechet, J. Marcou, D. Pagnoux, and P. Roy, "Complete analysis of charecteruistics of prapogation into photonic crystal fibers by the finite element method", Opt. Fiber Technol., V. 6, N. 2, PP. 181-191, 2000

59. N. Guan, Sh. Habu, K. Takenaga, K. Himeno, and A. Wada, "Boundary Element Method for Analysis of Holey Optical Fibers", J. Lightwave Technol., V. 21, N. 8, 2003

60. H. Cheng, W.Y. Crutchfield, M. Doery and L. Greengard, "Fast, accurate integral equation methods for the analysis of photonic crystal fibers", Opt. Express, V.12, N.16, PP. 3791-3805, 2004

61. J. Riishede, N. S. Mortensen and J. Legsgaard. "A "Poor Man's Approach" to Modeling Micro-Structured Optical Fibers", J. Opt. A: Pure Appl. Opt., N. 5. PP. 534-538,2003

62. G.R. Hardley and R.E. Smith, "Full-vector waveguide modeling using an iterative finite-difference method with transparent boundary conditions", J. Lightwave Technol., N. 13, PP. 465-469, 1994

63. Z. Zhu and T.G. Brown, "Full-vectorial finite-difference analysis of microstructured optical fibers", Opt. Express, V. 10, N. 17, PP. 853^864, 2002

64. W. Jiang, L. Shen, D. Chen, and H. Chi, "An Extended FDTD Method With Inclusion of Material Dispersion for the Full-Vectorial Amalysis of Photonic Crystal Fibers", J. Lightwave Technol., V. 24, N. 11, PP. 4417-4423, 2006

65. C.L. Xu, W. P. Huang, M.S. Stern, and S.K. Chaudhuri, "Full-vectorial mode calculations by finite difference method", Inst Elec. Eng., Proc.-J. N.141, PP. 281-286, 1994

66. C.L. Xu, W. P. Huang, M.S. Stern, and S.K. Chaudhuri, "Efficient and accurate vector mode calculations by beam propagation method", J. Lightwave Technol. V. 11, N. 9, PP. 1209-1215, 1993

67. T. Itoh (editor), "Numerical techniques for microwave and millimeter-wave passive structures", Wiley, New York, 1988 |"

68. R. Sorrentino. Transverse resonance technique, Ch. 11 in Itoh's book 68.

69. W. Schlosser and H.G. Unger, "Partially filled waveguides and surface waveguides of rectangular cross section", Advances in Microwaves Academic, New York, 1966

70. S.T. Peng and A.A. Oliner. "Guidance and leackage properties of a class of open dielectric waveguides: Part I Mathematical formulations", IEEE Trans. Microwave Theory Techn, V. MTT-29, PP. 843-855, 1981

71. A.S. Sudbo, "Improved formulation of the film mode matching method for mode field calculations in dielectric waveguides", Pure Appl. Opt. (J. Europ. Opt. Soc. A), V.3, PP. 381-388, 1994

72. R. Pregla and W. Pascher. "The method of lines", Ch. 6 in Ithon's book 68.

73. U. Rogge and R. Pregla, "Method of lines for the analysis of dielectric waveguides", J. Lighhtwave Techn., V. 11, PP. 2015-2020,1993

74. A.S. Sudbo. "Problems in vector mode calculations for dielectric waveguides", Linear and Nonlinear Integrated Optics, SPIE Europto Series Proceedings, V. 2212, PP. 26-35, 1994

75. A. Dreher and T. Rother, "New Aspects of Method of lines", IEEE Microw. Guided Wave Lett, V. 5, PP. 451-453, 1996. I ^

76. G. Sztefka and H.P. Nolting. "Bidirectional eigenmode propagation for large refractive index steps", IEEE Photonic Technol. Lett, V. 5, PP. 554-557, 1993

77. V. Dangui, М. J.F. Digonnet, and G. S. Kino, "A fast and accurate numerical tool to model the modal properties of photonic-bandgap fibers", Opt. Express, V. 14, N.7, PP. 2979-2993, 2006

78. М. Chen and R.Yu, "Design of defect-core in highly birefringent photonic crystal fibers with anisotropic claddings", Optics Communications, V. 258, N.2, PP. 164169,2006

79. E. Jarlebring and H. Voss, "Rational Krylov for nonlinear eigenproblems, an iterative projection method", Applications of Mathematics, V.50, PP. 543-554, 20051.l