Методы теории расширения и дифференциально-граничные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

%

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРШШИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА «РАНКА

ОД

На правах рукопису

.. -

СТОРОІ Олег Георгійович

МЕТОДИ ТЕОРІЇ РОЗиМРЕИЬ ТА ДИФЕРШЩІДЛЬИО-ГРАІШЧНІ ОПЕРАТОРИ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

А^нів - 1095

Дпсеріащя б рукопис.

Робота виконана в Львівському державному університеті.

Офіційні опоненти : ■ .

доктор фізико-математичних наук, професор Кужель 0. В. ,

'■ доктор фізико-математичних наук,

. процесор Рофе-Еекетов Ф. С. ,

доктор фізико-математичннх наук , Лопушанський 0. В.

Провідна устаюча: Інститут математики НАН України,

М. КИЇВ.

* Захист відбудеться 199'^р. о & год.

на засіданні спеціалізованої- радії Д 04.04.01 при Львівському

державному унівеірситуті ім. Ів. Франка за адресою : 290602,

м. Львів, вул. Університетська, 1.

З дисертацією модна ознайомитись в науковій бібліотеці Львівського держуніверситету.

Авгореферат розісланії:

ч’ЗО' 199*5р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

Микитюк Я. В.

Актуальність теми. Важливу роль в сучасному функціональному аналізі відіграє закладена Дж.фон Нейманом теорія розширень лінійних, перш за все симетричних, операторів в пльбертовону просц-прі. Його результати отримали дальший розвиток в роботах (А А. Наймарка і Б. Секефальв і-Надя (розширення а виходом у ширший простір), М. О. Красносельсъкого, А. В. Штрауса, О. В. Кужеля, Е. А. Коддінгтона, А.. Дійксми, Г. Сноо (розширення симетричних відношень і нещільно визначених операторів), К. Фрідріхса, Ы Г. Крейна, Філлшса (розширення невід'ємних'і акретивних. операторів) та багатьох інших математиків. У більшості з цих робіт опис шуканих розширень дано в термінах дефектних підпросторів. .

М. Я. Вшішк і' 1,1 Ш. Бірман отримали опис рійних класів розширень оператора з обмеженим оберненим і застосували отримані результати для дослідження певних класів диференціальних операторів. Ф. С. Рофе-Бекетов та М. Л. Горбачук знайшли загальний вигляд самоспряженої крайової задачі для рівних класів диферен-ціально-операторних рівнянь в термінах крайових умов. Поширенню цих результатів на інші класи операторів присвячені роботи А Я. Вайнермана, В. І. Горбачук, В. 0. Кутового, В. А. Михайлеця, а також А. К Кочубея і В. М. Ерука, які показали, ідо схема досліджень, використана Ф.С. Роф?-Бекетовмм та М Л. Горбачу ком, носить універсальний характер, і отримали опію дисипативних і самоспрямених розширень ' замкненого симетричного оператора з рівними дефектними числами у вигляді, який у випадку диференціальних оперторів формулюється в термінах крабових умов.

Б циклі робіт Ю. 11 Арлінсьісого, В. 0. Деркача, М. М. ІІїла-муда і Е. Р. Цекановського дослід;« но різні класи сектор і аль-них ( зокрема, акретивних) розширень невід’ємного оператора. Опис усіх максимально акретивних розширень мінімального додатно

визначеного оператора, породженого^ звичайним диференціальним виразом, отримано Б. Д. Івансом та Дж. Ноулезом. Виявилосьшр кожне таке розширення є спряженим до звуження максимального оператора, шр визначається інтегральними крайовими умовами. Відзначимо, що диференціальні оператори з такими крайовими умова),ш досліджувалися Б. С. Пзвловим (в зв'язку в застосуваннями в теорі.г розсіяння), Т. Г. Керімовим і Ф. Г. Шксудовим, Ю. І. Любичем, В. Брюнсом та іншими математиками. А. М. Кралл і P. С. Браун розглянули клас операторів в L , шр містить як звуження вказаного вигляду, так і спряжені з ними. Останні були названі диференціально-граничними операторами (ДГО). Крім цього, як показали Е. А. Коддінгтон і А. Е Кочубей, ДГО містяться серед ди- ' сипативних, зокрема, самоспряжених, розширень нещільно визначених симетричних диференціальних операторів. Тому актуальним, на наш погляд, є вивчення класу операторів | 'єв(Н) (тут і далі 'в(Н) - множина, замкнених лінійних операторів в гільберто-

вому просторі Н з областю визначення й(Т) , ЩІЛЬНОЮ В И ) , який містить два фіксовані оператори L і С L0C L )■

множину '

{L, « L.cL, = L і (и

і у випадку, коли L та L.0 ~ відповідно максимальний і мінімальний оператори, породжені даним диференціальним виразом, охоплює ДГО. зв'язані з цим виразом. Один з варіантів відповідної теорії (теорію споріднених операторів) запропонував В. Е. Лянце в припущенні, пр Jem [ D(L) /D(L0)] < 00 .

' Мета даної роботи - побудова нескінченновимірного аналогу теорії спорідненості і дослідження на іг основі ДГО, зв'язаних а диференціально-операторними рівняннями, до яких, як відомо,

.вводяться деякі рівняння в частинних похідних.

Ійтодика досліджень. Використовується (і частково розвивається) теорія розширень лінійних операторів в пльбертовому

- з -

просторі, теорія збурень таких операторів, методи дослідження граничних задач для диференціально-операторнлх рівнянь, теорія лінійних операторів в просторах з індефінітною метрикою.

В результаті вдається розвинути специфічну теорію збурень/ яка охоплює не тільки зміну закону дії оператора, але і зміну його області визначення. В застосуванні до диференціальних операторів це означає збурення як диференціального виразу, так і крайових умов. Це природним чином приводить до різних нелокальних крайових задач, континуальних аналогів багатоточ-кових крайових задач,' дозволяє доводити твердження про розв'язність деяких кекласичних варіаційних задач.

Наукова новизна. Результати, викладені в дисертації, нові.

В ній, зокрема, в термінах абстрактних граничних умов: ‘

1. Описано максимально дисипативні розширення симетрично- . го оператора з довільним індексом дефекту.

2. Встановлено загальний вигляд максимально невід'ємного

та власного максимально акретивного розширення невід’ємного ■ оператора. ■ '

3. Досліджено один клас збурень замкненого лінійного оператор, які змінюють не тільки закон його дії, ай область визначення, встановлено умови, що гарантують замкненість та ' щільну визначеність збуреного оператора, побудовано його резольвенту.

4. Розв’ язано задачу про умови максимальної дисипативності і самоспряженості, а при певних припущеннях - про умови . максимальної акретивності і максимальної неяцд’ємності розглядуваних збурень та про'знаходження індукуючих -їх квадратичних форм.

5. Описано усі максимально акретивні- розширення додатно

визначеного оператора зі скінченним індексом дефекту. .

6. Результати, перераховані в попередніх пунктах, застосовано при дослідженні деяких конкретних класів диференціально-

■ - 4 - ,

граничних операторів.

Теоретична, та практична значимість. В дисертації розроблені нові теоретико-операторні методи дослідження деяких класів замкнених лінійних операторів в гільбертовому просторі, гї результати носять теоретичний характер. Еони можуть знайти ssctí сування при розв'язуванні конкретних задач математичної фізики.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідалися в 5-ій (Новосибірськ-1979), 6-ій (Іркутськ-1981), .9-ій (Тержшіль-1984), 11-ій (ЧеляСінсЬк-1985), 13-ій (Самара-1988), 14-їй (Новгород-1989), 15-ій (Ульяновськ-1990), 16-їй (Нижній Новгород-1991) школах з теорії операторів у функціональних просторах, в зональних школах-с&мінарах з спектральної теорії лінійних операторів (Ульяновськ-1979, 1981), в Воронезьких зимових математичних школах (1980, Í987), на республіканській конференції пам’яті М. Г. Крейна (0деса-1990), на Міжннародних математичних конференціях, присвячених 1D0-річчю з дня народження С. .Банаха (Львів-1992) і пам’яті академіка М. П. Кравчука (Київ, Луцьк-1992), на Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до ' розв'язання диференціальних рівнянь"(Дрогобич-1994), в Мі ¿«народному математичному центрі ім. С. Банаха (Варшава-1992), на семінарах в Москві (ВДУ, кер. • проф. А.. Г. Костю-ченко, проф. Б. Е -fea; тан), в Кі'са; (їм ндн України, кер. приф. М. Я Горбчук, проф. С. Д. Вйдельм&н,, ь Донецьку (Д'НДУ, кер. проф. Е. F. Цекановеький), <j Львові (ЛДУ, кер. проф. В. Е. Дянце). ' ’ . ' ■

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [.і - 24]. . . .

Структура та об'єм робота Дисертацій складається з вступу, трьох розділів та списку літератури, викладених на 277 стр. малмнописного тексту' Бібліографія містить 166 найменувань.

- 5 •ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації-, коротка викладено основні гг результати та роз’яснено позначення:

('!'))(t II'' скалярний добуток та норма в. гільбертовому просторі Д ; XX ~ тотожне перетворення цього простору;

R( І І hz’lT - область значень і ядро оператора Т ■ ; M,Y)(£t.(X,Y), ß*IX, V)) - сукупність лінійних неперервних (компактних, неперервних скінченновимірних) операторів Т-X^Y > Де X < V “ гільбертові простори, таких, що

DfOX; &(X);

TIE та ТЕ - відповідно звуження оператора Т на множину Е та образ цівг множини при відображенні Т ;.

(’{’) т > II'И j - скалярний добуток і норма графіка оператора~Г; DET] - передгільбертів простір, шр збігавтьея як множина в Ь(Т) і наділений скалярним добутком (* J * )т ;

Ф j , б-j. -..символи ортогональної суми і ортогонального до-.повнення в ОСТ] ■,

ПІД./-/ розуміємо фіксований комплексний гільбертів простір ЗІ скалярним добутком ('І') та нормою || * II , а за вихідний об’єкт приймаємо пару операторі^ таких, що L„cL ;

Mft-*, M„-L* (и®, м, м„ см )(

IV - оператор, спряжений з оператором , якщо D **

один з пльбертових просторів: D[ L ] або D[M] , а % -ДОПОМІЖНИЙ гільбертів простір, так шр для’ веяклх (£ Є О

Л«4 (WJ/IV'A ) ягацр V/* ІСНУЄ);

якщр <*)*%*%; М*Я(1>,Ъ> (і'і* *> .то

и/-Ц©й4 ]4£]vyeb Ц/»Ц<(. КУ>*

S-lifnt \rf- (¿m - символи для позначення відповідно сильної

та слабкої границь операгорйих послідовностей або функцій; j>(T), б(Т1Ъ - резольвентна мнодина, спектр та резольвента оператора Т , так шр \ґл ер(Т) Т}*(Т-лі У'1.

Роаділ І присвячено теорії розширень, а саме встановленню умов, необхідних і достатніх для приналежності оператора Ly , Шр міститься'в множні (І), до того чи іншого класу (з точки вору його розв’язності або секторіальності відповідної квадратичної форми). .

В § 1 досліджено умови взаємної спряженості операторів Ly,

М< «Ш таких, шр . Тут введено

поняття крайової пари, яке відіграє важливу роль в роботі.

1.1 Означення. Нехай ^ - гільбертів простір, а 2С &

«£(0 ВД) . Бара (%И) називається крайовою для (L, L0 ), якшр Л«к-О0.д R№*% . При цьому ^ називається крайовим простором, а и - повним крайовим оператором.

Має місце абстрактний аналог формули Лагранка.

1.6 Наслідок. Нехай % ■ ^Зг - гільбертові простори, а lii t#>(D[L], tyi) такі, шр l\U) . де

U*U49Ut , є крайовою парою для (LtL0).

Існують ЄДИНІ IIj такі, up

(*}.й )-'!%*% ) - крайова пара для (МДЬ

Vi « D(M) (L^j2)-i^jMH .) 3 ^

ae V hi * Ч)і Iі-i 2-1 ¡(ht, fit) -'I і fit, -t Л1).

Перш ніж переходити до формулювання основних результатів, пояснимо, що оператор , де ^ - гільбертів простір,

ми називаємо правильним, якщо існують' А € В(Чд ) і ортопро-«тор РеЛЦ) такі, що А" ипЩ) і А*РА .

Зокрема, якщо <%х> - крайова пара для (і,і*) . а МИ, то говоримо, ідо (І - правильний крайовий, оператор.

1. 16 Твердження. Нехай {_.{ €Ш. Ів*і4СІ , а<£ -крайовий простір для Ґ1., |_0) . Існує ортогональний розклад **7Я і правильні крайові оператори ЦеЖ В[ЦМ})(

<5 ^3 ( 0[М]{ ) так і, що *

Щ)'^„ кги^-ОІІ^

Далі.розглядається ситуація, коли - крайовий простір для ІІХо), (^(ОГЦ ЦеЖОСМІ'У/Ф^)-

правильні крайові оператора, 1А*1. .м< СМ , причому

жуі)з^2, оа^хкіЦ' т4)~ш4.

1.19 Теорема. Такі, твердження еквівалентні:

У 5 2 розв'язано задачу про опис максимально дисипативних (див. о. їй), зокрема, самеспрядених, розширень симетричного оператора . У випадку, коли має

рівні дефектні числа, ця задача розв'язана А. Н. Кочубеєм і В. М. Еруком, які встановили, кіс для кожного симетричного оператора (_(И} з рівними дефектними числами існує простір граничних значень (ПГ-3), тобто трійка Г& )■ така, шр

(П®Я,Т,$Гг ) - крайова пэра для ( 1_ , 1_ 0 ) і

. ' - 8 -

^¡,H4D(L) (LylD-IUlLíl^UjryirD^x*

r _ (3i де Г- rj©r¿,

*hk*n i«

2.1 Овкачення. ■ Нехай ^ - пльОертові простори, 6

* 43(0[Ц Чу*), ^ = 8^Ф5_ . четвірка (Чу+,Чэ~~

Sf, ) називається антисиметрнчккм ПГЗ оператора L с , якщо

1) <ІШ Уу * - (jírn fan. (L + і{н ) ^ пЬ ± '

2) hti- 5 =* DÍL 0), з) F\(5) = ,

4) V-¡¡,i*D(U (Lylz)-lij¡Li)=(i3Sy¡$2)^

де ■ . * ■ . . . ' ■

Vh+zty* vLsyf y(h+)hJ*(h+tJ. (6)

Б роботі показано, (теорема 2 3), -цо для будь-якого гідьбер- ■ товога простору^ розмірності /Н+ РІ•„ . існують ортогональний розклад a^«J‘ і S+ eMoCLl.ty*) такі, ідо ^ ¿V, > --антисиметричний ПГЗ оператора L 0 ■

2.15 Наслідок. Нехай. í^ t , 5+, 5.) ■" антисиметричний

ПГЗ оператора L 0 , А, !; ^ ~ кц 1^*,

b(L,l-{<jeü(U-- A,4^A-í.^0}, L^L. (7)

Такі твердження еквівалентні: •

а) Ljf максимально дисипативний ( самоспряжб-ний):

б) a/ía^'s/i^ía-)*, ma;=ioí

{ AtíA;r= A;(A;j*, teA* = f°¡);

в) існує стиск (унітарний оператор) такий, до

IpOiL) • -<51 у }.

З результатів P.C. Філліпса і А.Б. Штрауса випливає, що ї наслідку 2.15 наведено загальний вигляд максимально дисипативного розширення, оператораL®- Умови максимально: акумулятивності формулюються аналогічним чином. .

В § 3 побудовано резольвенту оператора виду (1). Тут

вважаються даними крайові пари

дтаД.Ьа f,®G > - да Ш.Мв) і

оператори . такі, що

Ку* /Щ ' КЯ iöWJ (Lyli)-(ylMi)*

L/L. (;i>

З результатів, викладених в § 1, випливав, шр L-j завжди може бути поданий у вигляді (8), причому, не зменшуючи загальності,. можна вважати, шр

Припустимо, щр для будь-якого Л*р(1) відома резольвента L і оператора L а LI , а отже й резольвента

М Л оператора М * Iя Ml nW [" t . Покладемо

Z, - '

Л

В роботі доведено, ЩЭ При ВСІХ- Л 6 р ( L ) .

1у-(іАвнЧМ1+М)Г/еЩгНІ т^киІІ-лік),

itZA= {^t.

Таким чином, для будь-якого J Єß (£ ) і tt ^ ^

- 10 -

у=^а<=>(!_рЛ!/, г,у»а). .

Введеш позначення: (л*рП».

3.4 Наслідок. \ҐЯ4/(І) Н(А)€ і

0(1.0)+Ь'і(і-МиЬ{і$<0(и'-Гіу=МШГ1 Ц І. . І9;

Аналогічними властивостями володіють оператор-функції 2^ ~ ”1ГЛл)* та Крім цього, №М% Я(3 і.

Покладемо Ал°А„М(л) + /\ « ■

В роботі показано, щр якшр А(АУ) = ^, , то

а) ¿ст М% (І4-Мн) = сіш ЫА*,

б)

■ в) нормально розв'язний тоді і тільки тоді,

коли А д нормально ровв' яаний, ' •

ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, коли

В цьому випадку

(іг^н )ч* Ьл-1}К1а«1з , сю)

Зауважимо, шр оператор-функція 2/ , про яку йшла мова,

б аналогом введеного М. Г. Крейном і ¡.Є. Овчаренком операторного поля і цр задача про опис різних класів розширень замкненого оператора з точки аору їх розв'язності в термінах абстракт- ' них граничних умов досліджувалась М. Я. Еишиком, Г. Грабб, .В. М. Бруком, Л. Е Вайнерманом, В. О. Деркачем і М. 11 Маламудом, А. Н. .

■ Ночубеєм, В. А. Михайлецем. Але в роботах цих математиків граничні умови задано не в загальному (див. (3)), а в деякому "канонічному" вигляді.

- 1.1 -

Метою §4 є побудова жорсткого (фрідріхсіьеьісого) |_р та м’якого (крейнівського) L« розширень невід’ємного оператора І-р ^ *6(4) в термінах ПГЗ. Тут використовується схема, запропонована Т. Андо і К Ніші о та А. В. Штраусом. . ^ ^

Нехай ЩГІ.Гі) - ПТ3 оператора и о тагаіЙ> “£> 1 ^

~ ІЬвї Г2 7/0 . Покладемо 1^1 г;!*)*, м/ю=г.\іь (л*

е р(Ь) . З ('3) випливає, що М(Л) є функцією Вейля оператора І_о , яка відповідає ПГЗ Гь Г, >, - в сенсі означення,. . запропонованого В. 0. Деркачем і М. М. Иаламудом. Відзначимо, ир

. л

зокрема, при у& * л < 1-П} і.

мш-мш* ММ>>МІ/и, М■

Позначимо через И(л) ■ характеристичну функцію оператора і, 0 в сенсі А. В. Штрауса - А. К Кочубея: '

Мер (І) Шю=(м (М-1{%)(МШ + ІіхҐ.

Неважко доеєсти, шр існують унітарні оператори ьа-~) гко)б

*П(%) такі, шр $-йт 11Щ Шо)* ї-іїя Ы Ь).

Л~» -О .

При цьому

МіРЬ{у<й(1.*в)--(иі-~Н%)Г<уН(11(-~>Н1І)Г^0)і 0(і-х>--{^о(і.'')-(и<о)-{х)Гіу*іШоіН%)Гг‘і~оІ

Побудова жорсткого і м’ якого розширень.оператора 1_ <? спрощується у випадку,- коли (_0 та [_ додатна визначені. В цьому випадку існує 5 - ¿¿т ( М (* ) ~ М В~0 . Покладемо

ІГГ<Г ■ Ы*'ьг<*+{{* ¥т^-

Еиявлябться, шр (%, У2) - ПГЗ оператора І. о > причому

0(Іе>Ш!г о (!-„)= Лг*й'.

В цьому ж параграфі встановлено деякі аналітичні та асимптотичні властивості функцій 2^ та мш . Зокрема,показано, шр має місце абстрактний аналог леми Рімана-Лабега: .

№-ІСт Е , = 5~йт Z і = 0

> * ' а-»-« л

' § 5 присвячено описові максимально невід' ємних і власних

максимально 0 -акретивних (перш аа все акретивних) розширень невід'ємного оператора ів*<е(н> . Лінійний оператор Т ¡Н-+Н називаєш 9 -акрегявним (~ї е у6 *• ^ > ЯК®Р будь-якого

у*0(Т) а&д(ТуІу)б[9-1,$+ті і максимально 0 -акретивним, якщо, крім цього, він не має в Н 0 -акретивних розширень.

У випадку, коли ) . 9 -акретивний опера-

тор називається акретивним (дисипативним, акумулятивним).

5.1 Означення, йэхай - додатно визначений опе-

ратор. ПГЗ ^ ї]} Гі, ) оператора і. 0 називається жорстким,

якщо Ьеъ я £>П-0) =0(іц), 0(ір).

5.8 Наслідок. Нехай 1_0» О , П/ , Г& ) - ПГЗ оператора [_ 0 такий, шр £ « ІІоІЇПГі >> О ,а8; М(0),

УІ такі, як вида. Покладемо:

ал»А#.(ї*+М№6НА„в, аа*АнМ«»*Ьп..

Оператор виду (8) максимально $ -акретивний тоді і тільки толі, коли виконується одна (а отже й інша) а двох еквівалентних умов: '

а) ЯсГе" кч(&44~е-1 а.л)»{<?},

б) існує стиск К * Я(%) такий, ию

ООчНу* 0(0-- ННіЩ+ҐШїЩ-о\.

Для максимальної невід'ємності цього оператора необхідно і достатньо, шрб виконувалась кожна з таких еквівалентних умов:

- 1 й -

а) сіца*1^о> кеп. (ан- аи)* {о}, •

б)існує стиск К* К* є Ж %) такий, іцр

Зі сказаного вище -і з результатів §3 випливає, шр якщо І_ ^ - власне максимально акретивне розширення оператора [_ й @,

Т° \ҐЕ?0 (І/£ІИ)'*ІЇ£(І^Є'1НҐ*(ІН+£'{,ІГІ,

Далі розглядається ситуація, коли |_ о ~ невід'ємний, але не обов'язково додатно визначений оператор, причому, для простоти, припускаємо, що

5.12 Теорема. При наведених припущеннях оператор 1_ ^ виду (8) максимально акретивний (максимально невід'ємний) тоді і тільки тоді,.коли

а) існує Б-^ГП А МГЛ)АІ=М0 € £>{%) ,

Л->-0 °

б) А0 +Яе (АнАи) *°

(ВІДПОВІДНО А0 +АН А ^ ^ ° ),

в). для деякого, а отже для будь-якого Л '< О

Ы (Ац -Аи'Ац МШ)-{ 0 } #

Введемо в роагляд оператори

Ітіп = Іт„<І(оцяно(Ц)}.

Легко зміркувати, що ■

1— /7ЇІ/І - І-0 <==і> ЖёЪ (Ш0)-{ л )- І 0\ '

д) для будь-якого власного максимально акретивного роаши рання оператора |_0 і тсп с і4 с I ^ .

Далі, ж-хай .

де p¿ - ортопроектор ( і = і, I )г

¡їїкм т.,(л>) Л1

М(Я1» ' и Ю)=

т„(Щ

- матричні зображення відповідних відображень.

Легко бачити, .цо (%^, ^) -ПГЗ для ¿_ гліл • Такті чином

будь-яке гласне максимальне акретиаяе розпирання L а, операто ра L о можна подати у вигляді:

ОО-іИрО(О-їиЦ’О. ЦсЬ* ,

Д Ьс1,{)СІ££4д( УС 4). .

Далі в §5 розглянуто деякі часткові випадки. Зокрема, встановлено (теорема 5.25' критерій макешкальної вкретивності (максимальної невід'ємності) оператора !_^ . .. який задовольняв

ут 1"4 сіт^

Крім цього, доведено, зр в ситуації, калії замкнений (

тільки тоді), і сну? £ - (¿ПІ. 01 (-¿)- ІП0 е &(%,) . Ця обста-' £ *»+о

вина дає мзхгивість поширим: покатал • .жорсткого ПГо на деякі невід'ємні оператори ? нульсьо» кішіьов гранню. '

- Б. 34 Означення. Шхай ЛЛу , 71 ^ - гільбертові простори,

Г^ е&тЩ;), П-Гл®П» и.М,*),

Ні

О

О Іц,

Шістка {%1t %&,Гн,Г4г> Гго Гг1) називається жорстким І!ГЗ оператора L 0 , якщр

а) / t Гг ) - ПГЗ оператора L 0 , '

б) D(Lfl=kzretfiinrit, OlLKhкгГ^пЫГ^.

В роботі .доведено,' шр для будь-якого невід’ємного L06<£ (І І ‘ такого, шр L'n!ay -Lmay > иорс'тгаїй ПГЗ існує.

5. 39 Теорема. Нехай (%^ Q' " «зрсткий ПГЗ

оператора [_ 0 > а i--f ' його власне максимально акретивне (максимально незід'ємне) розширення. Існують В у В,&!&(%.) такі, нір

< * к> 7

Da(H^DU.'e,/;,^e2/7(y=0J, L,CL', (ft)

fte (dj &/)^0 (відповідно £>* £ 0 ) і йгя. [Bijj-B)2 )~j(?}„

Навпаки, якщо {_^ визначено аг і дно з (11), а та задовольняють перераховані умови, то L у максимально акретив-ний (максимально невід'ємний). .

5.40 Наслідок. В умовах теореми 5.39 Lу максимально акре-гивний(максимально невід'ємний) тоді і тільки тоді, коли існув стиск (самоспряжений стиск) К £ !R> (у ) такий, що

DfL<)=f^ єй(L0): Qty=Of у + ij = 0}'

Відзначимо, шр відмінний від запропонованого в дисертації спосіб побудови щрсткого 1ЇГЗ невід'ємного оператора у випадку Lmay ~ L о вказано КІМ. Арлінським. В близькій, хоч і дещо іншій в порівнянні в виїде викладеною, формі опис максимально невід'ємних і власних максимально акретивних розширень невід’ємного оператора отримано Б.О. Деркачем, IIII Маламудом та Е. Р. ЦеканоЕським, у випадку, коли L0 0 - А. Н. Кочубеві/

та. В. А. їйіхайлецем. В термінах дефектних просторів задача про різні класи .розширень невід' емноґ.о оператора досліджувалася

. - 15 -

M. 11L Бірманом, A.B. UfrpaycoM, О. В. Кужелем і Е. Роткевич та іншими математиками."

Розділ II є централіним в дисертації. У ньому"розглядається один клас збурень замкненого щільно визначеного лінійного оператора в гільбертовому просторі, які змінюють не тільки закон його дії. ай область визначення. Як і в попередньому розділі, роль вихідного об'єкта тут відіграє-.пара

(L,LPKm L.L,(<Є(НІ, L,cL. M.i'L*.

В 5 6 дано опис таких збурень.в термінах крайових пар.

^ і

5.1 Означення. Звуження 1_ оператора L називається

гладким (відносно (L, L0) )> якщо Це 'ßlH), D(t*)cß(M) і 0 (£ * ) замкнена в D[M1 .

5. 2 Означення. Оператор ßeßiDfLJ, Н) .називається

найде обмеженим (відносно ), ЯКЩО ß|D (L,)

є Н“> Н -обмеженим відображенням. '

Основний результат параграфа міститься в таких теоремах.

. 6.5 Теорема. Нехай Чц крайовий простір для {L. L 0 ) і

штшФ А А ^ ‘ V Л

Т-1і * й, де L - гладке звуження оператора L , а G- -

майле обмежений відносно (L,L0) . Існують ортогональний розклад -Чд =« 4>}f ФЧ)2 і Щ «.ÄfDfL], У/й), Рі є$>(Н, ),

Q Є ■£>(Н) {1-4, & ) такі, вір

' кРай0Ба пзРа пГіЯ ^ I-, L0),

RlUt-<P,)* , <1Z>

D(Tl={y*D(L)‘ (13)

V$*D(T) Тц~1д+Фг%у + Üf. u«

6. 9 Теорема. Нехай - гільбертові простори, Q €

- 17 -

і ) (І- ~ 4, £ )у причому ) - краЛова пара для (і, і д ) , Я (^ ~ )

замкнена в , £<*в(о[№,%). £1€А(осмі,'Ь1)

(однозначно) визначаються умовою (2), а операми^ 1 - за допо-

могою співвідношень (13) - (14). Тоді

а) Т щільно визначений і виконуються рівності (12);

б) !_ |0( / ) ■ - гладке звуження оператора .! .

в) о(Т*) ={ 2 є о(М); йі г ~ Флг 1, Уі^ОГТЧ Т*2=Мг+Ф(*а2г+аі‘г. "

- ~р &

6.10. Наслідок. В умовах теоремі 6.9 І є май»? обмеженим збуренням гладкого звуження оператора М відносно (М,М,І

ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ К (И { " ■ • .

Б'роботі доведено, шр якщо ф^ та Фл компактні або до- ..

сить малі ва'нормою, то Иу-^г та Ці - Ф £ нормально розв'язні і ІбЦЩ) (у випадку,^коли 21 ^ , Ых мають {_ -грань, рівну нулю, а ¿¿у , IIг - Д/ -грань, рівну нулю, це має місце при всіх Ф^ й $Ъ ( Н, ), ¿ - 4, & ).

5.13 Приклад. Нехай 1__ р " симетричний оператор з рівними дефектними числами, ¡.-і?. ЛЖ,Г,Л> - ПГЗ оператора

10І Фі є (Н, К) О.**,*), /\ = (А 1\)кц*4-

бівкція

0(5)*{цбра):АнГ<у+А<гГх1/*<1>4у }, . (16) Ууй О($) 5у * уС у), (їв)

Д"^ (6 ¿у їі І *1 . 3 теореми 6.9 випливає, шр 5 Є ),

0Г5*Ин«0№ -б^ГгН * £гН і,

їг €[>($*) 5*е«Мн+Ф/В/,//2 +В*Гг2 ).

5 7 є продовженням попереднього. У ньому вважаються даними гільбертові простори ^ такі, шр

крайовий простір для ал.ь Фс<*<и,%к іч.ь ПчссіГИИеш: ( Uf, UL ) é / <P1t <f> { , ЯКЩО Ui єМОСИ, tÿi ) ' и^и{<вО^ - правильний крайовий оператор длл

(L.L.). ми,ищ-ф4)=%. Ш2)-Н(фГі

n<U)--P,W,)шшг). • ■ ■

Аналогічно слід розуміти запис ( 1^ \/^) є {Ф& > ^ ^ . • Д1?

Ц€Я(о[мі.<$х), і/^жоглп, %). '

Для довільних пар (UitÜJ Є {ф4> <Pt }, ^

визначимо оператори 5 та о за допомогою співвідношень

Da)-Î^D(L): Цу.ф'Ц },

/pws) Sy-Lyf^Uty, . D (S l = {i e D(M)’ ¡/<l’‘<PzZÎ_

mD(S) Se = Mz * Ф/і4г.

З результатів § 5 випливає, що 5 є майже обмеленим збуренням гладкого звуження оператора |_ відносно (L, L0) . Більше того, itoraie таке збурення має вигдад 7~ - 5 + Û , де б?б ЯЬ(Н) Далі, нехай ■ " '

Lj^Li DiMjiefoi 14 , М^М.

7. 4 Теорема. Ifexaft ( ¿4 і £ {Ф0 Ф. £ С^,-^МФ2, 1. 0пе~

ратори S та 5 взаємно спрялет тоді .і тільки тоді, коди .

, І

а) (УМУ 0 0 о

о

(Iі?)

де и му' трактується як відображення нгф^фа^/ф/ир,)-

-*і\(Фі)®{\1 Ф,)1 ФК(ФЛ),

Оператори 5 га 5 інтерпретуєш як збурення оператори, та Мі відповідно.

У § 8 побудовано резольвенту збуреного оператора. 5 отриманих співвідношень, які являють собою нескінченновимірні аналоги формул Ароншайна - Еанште'йна, випливав, шр якщр Ф^ і Ф, компактні, то й різниця резольвент збуреного та незбуреного

операторів компактна. Зокрема, ягага ф. та ф, ядерні, 5=5 І ^

(а отже 1~^ = ), ’ то абсолютно неперервні частини операторі а

.5 та L| унітарно еквівалентні.

В 5 9 У ситуації, коли і_ 0 - симетричний оператор з рівними дефектними числами і (_ ~ '[^0 > встановлено умови мак-

симальної дисипативнссті досліджуваних операторів. Нь.ч*=Л

%®У,г,) - крайова пара для (І-Л 0Ї. Ь Фі б

€5Ьсо) Гі = ^^) . В роботі доведено, ідо в максимальної д.і-

сипативності оператора 5 , визначеного за допомогою спіьбід-

ношень 0(5)={(/Є0(іУ-Ифф^і Щ е&($}_$ у Л[і + випливає існування біЕкціг Є А(і\ ( Рг)} Ц(%)) , яка задовольняє рівність Фу , тому їюмга а раз у вважати, що

0Г5Ну*Е>(и-- Щу^Сфу}, +

де Ф € (Н) ■ С /е?.у) ■ Виявляється, що д. я

максимальної дисипагивнссті щ>ого оператора необхідно і ; о-с-татньо, щоб виконувалась умова

Р

іиіи'-

ис

Р * 0, ('і б)

де Р - ортопроектор Я (Р.) , і щоб операто

був максимально дисипативним. •

Зосередимось на випадку ~ ^ ^ ~ ^ "Я ' н&ха*

~ пгз оператора 1_ 0 , А=САгу)г^‘яу (Д^Ліу*

Є $>(%), ¿,/ = 4 ¿0 оборотний в , тобто

. о^)Ну«оа) = а()Г4+ад^=ф^ї, «я ^«0(5) у+Ь^АцГіЦ+АцГіЦ). (20)

9.20 Теорема. Для максималіної дисипативноеті (самоспря-жеиості) оператора (19) - (20) необхідним і достатнім є вико-іісШН5гі Іугииіа

Р(АЗА *-3)Р*°. Ье*(А„ + іАи)-Юі

( відпосіачо РҐА^АЯ~3)Р-(1 4і)-1оі

9.24 Теорема. Якщо L^=iL^ , то оператор (19) - (20) максимально дисипативний (самоспрядений) тоді і тілыж тоді, коли він може бути поданим у кожному з таких видів: '

0(5)*{у*0(и* (соіОГ^у-іїіпОГіу = Фс у }, УЦєйІЬ) $у*іу+Ф*[№пС)Г{іі + (С05С)Глу1+Фс*Ос4>су

або . .

да С.КеЛ(И) - відповідно самоспряаьний і унітарний оператори; Фс,Фк Є Я„ІН,К): вс,аке яі %) дисипативні

- (самоспряжені).

Аналогічно формулюються умови максимальної акумулятивності.

В §§ 10-13 пвалаємо, шр и 6 «б (Н) додатно визначений, Г,, Гь ) - яорсткий ПГЗ оператора Ь в , I - Ф€ (НД),

с£у А і; *Я>т, я /, І' , причому

оборотний В ІЗ (ЖФ%) і розглядаємо питання про умови максимальної. 0 -акретивності та максимальної невід’ємкості оператора 5 , визначеного за допомогою співвідношень (15) - (16). Нехай Р - ортолроектор %®% ^%(вцт.

У--Р

.0 с,

о с

І. /

М% 0 )Т*Н% о

10 С/Г (о С,

р

^=ррж;фтрє «є р^,аь Vм** .

+ & )к х , і ф.і/и «) < '

10.22 Теорема. Якщо Ц)^ Л \п)7і~) , то О максимально

0 -акретивний (максимально невід'ємний) тоді і тільки тоді, коли С05 + /?£ (б ) >/ 0 (відповідно 5У %■ 0 )

І, Крім цього,

к.ч[елвАа^н^п *созвт)й(Фс;Ф*Г%? )Но}

(відповідно .

А«ГА„-ля (і^іФгіШ’ІФ'г'фг )Но» і.

10.24 Теорема. Нехай Аі(. Лд при-

чому оператор Ду , визначений умовою:

і , правильний, , & і* £%,.

О^Н^оіи-.А^^А^г-Ф^: 5СІ-.

Ь максимально 9 -акретивний тоді і тільки тоді, коли

Чве[еі%1(ФІ-Аа),1» ж$- ¿Г/Ф'

«и [Г^М„-Ф2)-А„1 =101.

Зауважимо, що у випадку, колії dim 71 < , в - О у

теоремі 10. 24 подало загальний вигляд максимально акретИвного звуження S оператора [_ > такого, що D(S*)c DfL ) .

§ 11 присвячено встановленню умови максимальної невід’ємності оператора ~f такого виду: • -

D(ТІ*Ьи(Гг + Ф), KysDfT) Т^Ц+ФЪу-Ф’СФц.

де Я), КЇФ) = И.

Об'єктом дослідження в § 12 є оператор £ g > визначений за допомогою співвідношень

0(1,Нїе0Ю‘і ^D(it)їфІу+ФХу,

(Ф‘Я„(Н,Н), &*%Ш). Покладемо

Ъ = гЛе(Фі>- ФЦ ф' + в

і позначимо через проектор DfLJ-DCLp ) паралель- -но L (легко встановити, що = do(L} ~ Z Ґд, ).

12. З Теорема. L g максимально акретивний (максимально невід'ємний, розв’язний) ТОДІ 1 ТІЛЬКИ ТОДІ) коли В ^ акретивний (невід’ємний, оборотний в $І(ТІ) ). Зокрема, La

Л* ***

та В . додатно визначені (або ні) одночасно. • ^

Далі в § 12 знайдено енергетичний простір оператора (_g в припущенні, шр він додатно визначений. Позначимо через Hg енергетичний простір оператора (__£> > а через Sf0 ('і *) - скалярний добуток цього простору. Оператори іР та Г% однозначно продовжуються неперервним чином до відображень Не -і hen. L~*

—> Н е та Hg+btn. L —* %. відповідно (ці відпбражрння також позначаємо через JP та Гд ). • .

12.9 Теорема. Припустимо, шр Е?> 0 і позначимо через

Л" - ^ Л'

Н В та ^ енергетичний, простір оператора Lg та від-

. - 23 - ■ '

повідний енергетичний скалярний добуток. Тоді Нв~Не*^'1

\/LC,VsH& ^&(UfV) = 9І0 (Ри, Pv) + + (bfziiir^v)^ + (Фи. I f] v^ + fQu 1 Ф>гг)% .

В § 13 б термінах ПГЗ розв'язана задача про опис максимально акретивних розширень додатно визначеного оператора зі скінченним індексом дефекту. В цьому параграфі Нt та Р _ ті самі, що в попередньому, а черев ф позначається one ратор, спряжений з

13. 9 Теорема. Нехай Т ~ максимально акрєтивне розширення оператора L о ■ ^Я1 існують Ац, А^г £&(%), ф €

б $>(He1t) такі, що .

wnhiA^A^Umt, ФФ‘ті(А„АІ)іО,

а Т е звуженням оператора .[_ на множину -

DiT,n^D(L):Allr^ +А(1Ґгї- ФРу {.

Навпаки, якщо Т*Ч!(Н) Е розширенням оператора L Q > для якого виконуються перераховані умови, то це розширення максимально акретивне. ’

Рппділ III ( § § 14-17*) присвячено використанню викладених вище результатів у ситуаціях, коли’оператори L та L0 • 6 відповідно максимальним та мінімальним операторами, породжг-ними в пльбертовому просторі (вектор-)функцій Н деяким ДИС.Э-ренціальним виразом ІЦ\.

Е § 14 проаналізовано випадок, коли t[ty] - самоспрр ке-ний за Лагранжем вираз порядку Ztl з дійсними коефіцієнте'ми, визначеними на інтервалі Id. , а Н= . Спочатк-

розглядається ситуація, коли цей вираз регулярний.

Нехай Д ■=» (¿і\ ї.1**] - невироджена числова матрицу,

4 (•/¡“І

' - 24 -

Xfl • , ,

i<<¡tD(U uí(y>. І (¿Ч$‘ґа(а>+*ЧМ 4ÍI4!U>) D(S)={y 60(L)- L¿(p --(у\Чї), í4,L. zn }/

y.

VjeD(S) tykyjtZ u^íiji^i ,

де Ü jjtJl - квазіпохідна порядку j .

функції ^ . В роботі побудовано спряжений оператор $* (теорема 14.1), з'ясовано умови сашспряженості та максимально:

дисипативності (теореми 14.3, 14.4), а в припущенні, до L„

. ' #

додатно визначений, - умови максимальної акретивноеті і максимальної невід'ємності оператора 5 (теореми 14.7, 14.8, 14.9). Аналогічні твердження доведені у випадку, коли коефіцієнти виразу Іці визначені на півосі Ю, , причому Кінець X =0

регулярний, а мінімальний оператор, породжений цим виразом в

• М35 індекс дефекту [(І ¡ ti ) . -

■ В § 15 шва йде про ДГО типу Шгурма^Ліувілля з обмеженим операгоршш потенціалом. Нехай ~ < é < о*> і для

будь-якого Х6Е&&] р(Х)*р(ОС)*€ Л(Нр), де Н0 " сепа7

рабедьний гільбертів простір, причому функція ОС р(%) сильно неперервна. Розглянемо диференціальний вираз Іци-ц"+рк>д

і позначимо через L та (_ р максимальний і мінімальний оператори, породжені в цим виразом. Далі, нехай

d ij 6 В(Но\ Фі Нр) причому h'Uij)*ja1

оборотний в 0Ь(Н%),

u¿(p - <іі4 ym + du у'ш + іц у(б)+іін уЧЬ)

, . (jeDÍL),

D(5)-f yéD(L)5 H¿(p * Фі£, ). (21)

VJ«D(S) $у*1суі + фїн3(у)+ф!їі1і(у). (22)

Ot tr-

io 'A O 0 V

- f O 0 0

0.0 04,

\ O o 1 oJt

~ 14 ^

<1,

¿11. ~ ct í if

. X = н0е Ио.

0 V

1- 1% 0 /

l¿н •^/3 \

ct ¿i / '

‘ 15.2 Теорема. Sg4j(H) , а спряжений оператор $ *

гадається за допомогою співвідношень

D(S*W2fi O(L)- ¿¿,(2)*фл2, ÍJl VZ¿D(S*) S*¿ =*/т + Ф/й3Ч2) + ф/^Г2>, де ül(d- ZLiim*¿£tz'(a) + l¿bi(6)+X¿41’(6)

(2 «0(U; (¿у}'^.,-~-2(А*Г4-е..

15.7 Теорема. Припустимо, &p. Ф$*Ф4, Фа , тобто

DÍSJ-j ye 0(L1¡ '<-* і l í. tj.í D(S) Sy * (ер t

S максимально дисипативний тоді і тільки тоді, коли

PUA£A* кп. (аи <-iOla)*{o},

де Р - ортопроектор % -* % © я7ф<® фау.

Зауважимо, ідо ці теореми вірні не тільки для компактних, а й для довільній Ф,, <p¿ * Я (Н, Не).

Далі в §15 розглядається ситуацій,. Коли потенціал р(Х)

рівномірно додатно визначений ( VX ЄІ&, Ь ] р(Х)ъ ,h}0) і ’ *10

досліджується оператор ~J~ , область.визначення якого склада-, ється з тих LCéHuUH4H0(a¿))

, які задовольняють умови

( ~и'{(1)+рн иЩ+fiu U(6) + ф, ¿¿ = 0

Í +ргі ікси *-piZ и(б) +фли* о л

Де fiij ~ fijí € $Ъ (Но ) (¡ ) .а закон дії такий:

Ти, = ¿CU] + ф* ікси + р/ а (6).

15.10 Теорема. Нехай (^¿(ОС) - операторні розв'яз

ки рівняння У"=/>шУ такі, шр Cúj f&) - Cút (é) - (

tylé) = Uz {&) - 0 „ Покладемо

e /А< J3 «];/">' (!W

Оператор і додатно визначений тоді і тільки тоді, коли

Ь<- ШФі)-ФС<Р'>’ о. (24)

Цей результат застосовано для доведення розв'язності однієї Еарігщійної задачі-. Нехай

ЗЇ(ІІ, V)* }[(и'(Х)Іії'(Х))н^([>[Х)и(Х)ІІГ(Х))Н'] ¿х +

+(р.ліа)\т)) щ,ишіт>) + + (р„и(Ш(*>)) +

1 Но Нф «і • Но ** “о

+{ф^|да)«о+(^аІШ))йо + («-(а}|фд)/Уо +(и(1)\флУ)И' г УИ є Н* ][и,]= ЗГ(а,іи-ги і(и,{х)І№))Но4х.

15.11 Теорема. Припустимо, що виконується нерівність (£4), де В, -ФЕ, Фір Ф* ті самі, що в (23). Н* - енергетичний

простір оператора Т з енергетичним скалярним добутком 57(', •),

15.12 Наслідок. В умовах теореми 15.11 варіаційна задача ІЇІІП, иеН\ для будь-якого і £ Н має єдиний розв’язок И0-Т і . При цьому ]Ніо]*-и\ив\

§ 16 в продовженням попереднього. У ньому побудовано резольвенту і встановлено умови фредгольмовості оператора (21)-(22) в припущенні, що 4>су*£Чс(Х)*%(Х) ¿X , де

уяеіал <г£(х)ея>„ін0), ¡Мі(х)Иг<Іх<~

(при цьому, взагалі кажучи, ргх)+ р(Х) ).

Нехай - операгорні розв'язки рівнян-

ня ~У"+р{Х) У ~Я У такі, шр (С, Я) = У2 (С, Я)= іц0, У^ (С/ Л ) = У^ (С/ X )~0(се[¿,¿3 ) . Покладемо

¡(х,!,л)*±т(У,/я, я> У/<ЬІ)- У*ГЛ.Л)У,я))

("+" береться при X ? ? , а " - " при СС < £ );

¿ = У,*; УС(Х,Л)*1 №ї.Я)<ґі($,лЖ, І-з,Ч;

Ші).. 1° 0 0 0

+ 0 0 0 0

г 0 0 і Не 0

WiYJ.. ■ $н(Чч)) 0 0 0 ^Ио і

16.14 Теорема. Оператори та йШ фредголь-

мові одночасно і манль рівні індекси. Зокрема, Л б р ( S ) тоді. і тільки тоді, коли А(лг*є#(н о ) і в цьому випадку

f,»’- І Хіх.нІпіЩЩіФк],

л ікч

A CO -(Sjh , і є Н .

В §17 наведено деякі приклади максимально дисипативних ДГО. Зупинимось на одному а них. Нехай С -самоспряжений опе-

Де

- 23 -

ратор в сепарабельном/ гільбертовому просторі Н 0 , С Ъ іцд ,

а [_ та L о - відповідно максимальний та мінімальний оператори, породжені в Н- 1_£ (Но, (0-, ^)('ко < 0- <&<са) диференціальним вирагом ІС4] ~ •

М. Л. Горбачуком доведено, що для всякого Ц 6 оги КО“ рентно визначені векторі! ' . ■

Чл-1іт. С'і1нЧ(^,

0 ¿іі« а іп 1-0 а

. . Ш . Ці , . -іін , 4к

(мається на увазі збіжність відносно норми простору. Н0 ) і шр

(%, г„ г,) , ден, вно, Гф іу'а, у', >, й у -

~(Ца.,~ЦіК ' Л?3 оператора І: 0 • ____

Нехай Ф^ ^\0(Н, %) , Р - ортопроектор АцбЗЬШ і), А я (, причому ),

ЬіїиіціОій- АНГ,у +А„г,-у = 'фц І, Ууе'ОН)

Виявляється, шр

. а) 5 ’ максимально дисипатитшй тоді і тільки тоді, коли '

Р(АЗА_*-Д)Р5 0, кч.а«Пки)-{оі ■,

б) ЯКЩр , то максимальна дисипативність

оператора £ Рівносильна двосторонній ^ -непоатягуваноеті оператора .Д : . . ' . . '

в) акщр незбурений оператор 1

самоепряжений, то для максимальної1 днсипсітивності оператора 5 необхідно і достатньо; щрб існували Ь*Ь*йЯ>(%\ <Р6ЄЛ„(Н, %) і дисипативний оператор &(%) такі, шр

0(і.): (С05В)Г^-(^пВ)Гг у= Фй^ }, ЩеОСЭ) ¿^Іу+фІ<&[(5іі)В)Гіу+ІС€вЬ)Гі^і'РІОй<Рь^.

Зокрема, якщо L та І_0 - максимальний та мінімальний оператори, породжені в І_г((а,б)*П) диференціальним виразом

Х=Х(і,х,$)єІ-г((а,6)х$г)/

то, застосовуючі ці результати в ситуації, коли С г само-спряжений оператор, породжений в (Р( ) диференціальним виразом -у + у. , переконуємось, шр оператор Б , визначений

за допомогою співвідношень

0 (Э) = ІУ є 0 (І / '• у а ис; * (¿4 Ц&Пху* з ЇЇ (ь X, 5 ^ Ы§ с/і ,

. -Уі(Х>-И*г&)(Х) = 0 і, ’

УЦЄО(Ь) з%(*.%, Хїу'аШН,

ІЙ ' • максимально дисипативний тоді і тільки тоді, коли сі^ та дисипативні.

Основні- результати опубліковні в таких роботах: .

1. Лянце В. Е., Сторож О. Г. Умови взаємної спряленості деяких

. 'замкнутих операторів в термінах абстрактних граничних опе-. раторів // Доп. АН УТСР. Сер. к. - 1980.-М 6. .- С. 29-32.

2. Лянце К 3. , Сторож 0.Г. О некоторых возмущениях линейных

операторов с изменением области определения // Мат. методы и фиэ. - мех. поля. - 1982. - Вып. 15. - С. 25-31) ,

3. Лянце В. Э. , Сторож 0. Г. Операторы,' удовлетворяющие условии гладкости // Укр. мат. журн. - 1982. -34, N 4. - С. 451-45Б,

4; Лянце В. Э. , Сторож 0. Г. Методы теории неограниченньЬс операторов. - К : Наук, думка. 1983. - 210 с.

5. Лянце В. Э. , Сторож О. Г. О резольвенте зозмущеиного операто-

■ - ЗО - '

ра//Мат. методы и физ. -мех. поля.-1984. - Был. 19. - С. 23-2

; 6. Сторож О. Г. О максимальной диссипативности обыкновенных дифференциально-граничных и некоторых других операторов // Укр. мат. журн. - 1984. - 36, N 1. - С. 78-82.

7. Сторож О. Г. О разрешимости расширений положительно определенного оператора// В кн.: 9-ая ЕИюэла по теории операторов в функциональных пространствах. -Тернополь. 1984. -С. 133-134.

8. Сторон О. Г. О расширениях симметрических операторов с неравными дефектными числами// Мзг. заметки. -1984. -36, N 5 С. 791 - 796.

9. Сторож О. Г. Диссипативные возмущения с изменением области определения, и Л-нерастягиваюпрэ операторные матрицы //

ІЙТ. методы и физ.-мех. поля. - 1985.- Вып. 22.- С. 17-20.

10. Сторож 0.Г. О максимальной неотрицательности одного замк-

, нутого оператора // Б кн.: 11-ая Всесоюзная школа по тео- -рш^операторов в функциональных пространствах. - Челябинск, 1986. - Т. 2, С. 119. . •

11. Сторож О. Г. Диссипативные возмущения с изменением области .

■ определения’// Функцион. анализ (Ульяновск). - 1986. -.

Вып. 26. - С. 136-140. . '

12. Сторож О.Г. Опис деяких класів розширень, невід’ємного оператор 0// Доп. АН УРСР. Сер. А. 1987,- N 10. - С. 14-16.

13. Сторож О.Г. Условия максимальной диссипативности дифферен-циально-граличных операторов .в пространстве ве-ктор-функций // Дифференц. уравнения,- 1988.- 24, К 2. С. 359-361.

14. Сторой О. Г. Аккретивные операторы, родственные положитель-

. Но определенному// укр. ыат. журн,-1989.-41 ,N6.-С. 789-794.

15. Сторож О. Г. аккретивные расширениях неотрицательного оператора // В кн.: 14-ая Пкола по теории операторов -в ' функциональных пространствах. - Новгород, 1989, Т. 3, С. 51.

16. Сторож 0. Г. О разрешимости расширений замкнутого оператора

- 31 - .

// В кн. : Методы исследования дифференц, и интегр. опера- . торов. - К. : Наук. думка, 1989. C. 171-175.

’. "Сторож О. Г. Экстремальные расширения неотрицательного one-' ратора и аккрет’ивные граничные задачи /У Укр. шт. журн. -1990. - 42, N 6. - С. 858 - 860.

Î. Сторож О. Г. Условие неотрицательности оператора, родственного оператору Дирихле // Мат. методы и физ.-мех. поля. -1990. - Вып. 32. - С. 30-33. ' '

і. Миль g О. Я. , Сторож О Г. Про загальний вигляд максимально акретивного розширення додатно визначеного оператора //

Доп. АН УРСР. - 1991. - М 6. - С. 19-22.

. Storozh O.G. On minimization of quadratic form, inducing differentials boundary operator H В ich.: Тези Міжнародної

■ математичної конференції, присвяченої 100-річчю народження С. Банаха. - Львіе, 1992, С. 40.

. Сторож 0. Г. , Шувар 0. Б. Замкненість, щільна визначеність та умови самоспряженасті диференціально-граничних операторів у просторі вектор-функцій // Доп. АН України. - 1992. -N 8. - С. 20 - 24. ' . ' .

Сторож О. Г. Диференціально-граничний оператор другого порядку в просторі вектор-функцій, асоційовний з квадрат ич-ною формою // Мат. студії. Праці Львів, мат. г-ва.

- 1993. - N 8. - С. 59-63.

Сторож О. Г. , Шувар 0. Б. Умови максимальної дисипативно^ті деяких диференціально-граничних операторів у просторі &к-тор-функцій /У Доп. АН Укр гни. ■- 1994. - N 2. С. 20-2-’. Сторож 0. Г. Про умови розв'язності і резольвенту дифер' н-ціально-граничного оператора’другого порядку в простор: вектор-функцій// Укр. мат. журн. - 1995. - 4?,N 4,

С. 517-524. , ‘

Старой 0. Г. І&хода теории расширений и дшйрренцилыга-грагачиъя операторы.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01. 01. 01 - математический анализ. Львовский ун-т. Львов, 1995.

Защищается 24 научные работы, содержащие теоретические исследования по теории неогрсчниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. С помощью методов теории расширений построена специфическая теория Еозмущений, изменяющих не только действие оператора, но и область его определения. В случае дифференциальных операторов это означает возмущение как. дифференциального выражения, так и краевых условий. Установлены условия секториальности и разрешимости исследуемых операторов.

Sfcorosh □. G. Brtcraion theory issthods and differential-bmndary operators.

Doctor of Science Thesis (Physics and Mathematics), specialization - mathematical analysis. Lviv Umvversity, Lviv,1995.

24 scientific papers containing theoretical studies on the unbounded linear- operators theory in Hilbert space are defended. With the help of extension theory methods the speciical perturbation theory is developed. Such perturbations change no* only the functioning of operator, but it’s domain also. In the case of differential operators this iveans the perturbation of the differential expression and-of the boundary conditions. Criteria of sectori3lnjss and solvability of investigated operators have been established. . '

Ключові слова: дисипативне розширення, гладке звуження, простір граничних значень, диференціально-граничний оператор.