Минимаксные оценки линейных функционалов от случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

!ТП он

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Тараса Шевченка

на правах рукопису

ТАТАРИНОВ СЕРГІЙ ВАСИЛЬОВИЧ

МІНІМАКСНІ ОЦІНКИ ЛІНІЙНИХ ФУНКЦІОНАЛІВ ВІД ВИПАДКОВИХ ПОЛІВ

01.01.05 — теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на одобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ —1993

Роботу виконано на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка

Науковий керівник — кандидат фіоихо-математичних наук, доцент М.П.Можлячуж

Офіційні опоненти — доктор фіоико-математичних наук, професор Н.С. Кнопов, кандидат фіоико-математичних наук, старший науковий співробітник А.А. Маляренко

Провідна установа — Київський політехнічний інститут

Захист відбудеться 17 січня 1994 року о 14.00 на засіданні спеціалізованої ради К 068.18.11 у Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою 252127, м.Кшв, просп. Академіка Гиушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка (вул. Володимирська,58)

Автореферат розіслано грудня 1993 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

В.Н.Сущансьхий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ. В дисертації досліджуються оадачі оптимального лінійного оцінювання (екстраполяція, інтерполяція, фільтрація) однорідних випадкових полів. У 1939 p. А.М. Колмогоров сформулював оадачу лінійного оцінювання невідомих оначень стаціонарної послідовності. Він же вкапав па геометричну інтерпретацію оадачі лінійного оцінювання в термінах геометрії гільбертового простору та ов’яоок цієї оадачі о апроксімаційними та граничними задачами теорії функцій. Піоніше стало ясно, що оадачі лінійного оцінювання відіграють важливу роль в статистичній теорії ов’яоку, радіотехніці, теорії автоматичного регулювання. Значний вклад на ро-овиток математичної теорії лінійного оцінювання стаціонарних процесів внесли Н. Вінер, X. Вольд, М.Г. Крейн, А.М. Яглом, Ю.В. Ро-оанов. Перші реоультати о теорії однорідних випадкових полів отримали Цоян Цое-пей, М.С. Пінскер, М.Й. Ядренко, М.І. Фортус. Слід визначити реоультати, отримані X. Хелсоном та Д. Лоуденслегером, Ю.Д. Поповим, П.С. Кноповим, М.П. Моклячуком, А.А. Маляренхом. Задачі лінійного оцінювання вони роов’яоували оа умови, що відомі спектральні щільності. На практиці, однак виникають оадачі оцінювання невідомих оначень, коли точні значення щільностей невідомі. Щоб роов’яоати такі оадачі онаходять параметричні чи непараме-тричні оцінки спектральних щільностей і оастосовують класичну теорію, припускаючи, що онайдені тим чи іншим методом спектральні щільності являються істинними. Такий підхід, як покахзали К. Вастола і Г. Пур, може привести до оначного росту величини похибки. Тому необхідно онаходити такі оцінки невідомих оначень, які дають найменшу похибку для всіх щільностей о деякого класу D можливих спектральних щільностей. Такий мінімаксний підхід до оадач екстраполяції та фільтрації стаціонарних процесів та однорідних випадкових полів привернув увагу багатьох дослідників. Огляд реоультатів о мінімаксної обробки інформації ороблений у статті Кассама С.А., Пура Г.В., “Ро-бастньїе методьі обработки сигналов” (ТИИЗР, 1985, т.73, N 3, с.54-110). У дисертації досліджується оадача мінімаксного оцінювання лінійних перетворень однорідних випадкових полів оа умови, що невідомі спектральні щільності нележать опуклим множинам.

МЕТА РОБОТИ. Вишукати найменш сприятливі спектральні щільності та мінімаксні (робастні) спектральні характеристики оптимальних лінійних оцінок функціоналів від невідомих оначень однорід-

них випадкових полів для рісших класів спектральних спільностей. Знайти вигляд найменш сприятливого однорідного поля для оцінювання функіопалу.

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ. Використані основні положення теорії однорідних випадкових полів, властивості операторів у гільбернових просторах, методи опуклої оптимізації, субдиференційне числення.

НАУКОВА НОВИЗНА. У дисертації розв’язані задачі оптимального лінійного оцінювання функціоналів від невідомих значень випадкового поля. Знайдені формули для обчислення величин середньо-квадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальних оцінок функціоналів. Досліджені оадачі екстраполяції, інтерполяції та фільтрації однорідних полів. Знайдені найменш сприятливі щільності та мінімаксш спектральні характеристики оптимальних оцінок лінійних функціоналів для різних моделей випадкових полів.

ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ РОБОТИ. Отримані в дисертації теоретичні результати можуть бути використані для розв’язування задач, що виникають в статистичній радіофізиці та оптиці, голографії, метеорології, теорії розпізнавання обряоів, теорії автоматичного регулювання.

АПРОБАЦІЯ РОБОТИ. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Республіканському семінарі о теорії ймовірностей (керівник А.А. Скороход), на II, III, IV Всесоюзних конференціях “Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных процессов и полей” (Севастополь, 1985, Гродно, 1988, Петрозаводск, 1991), на II Донецькій конференції “Вероятностные модели процессов в управлении и надежности” (Донецьк, 1990), на IV Міжнародній Вільнюській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Вильнюс, 1985).

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведені основні положення теорії однорідних випадкових полів. Сформульована задача оптимального лінійного оцінювання невідомих значень поля. Викладемо основні результати дисертації.

Перший розділ “Максимальне значення величини похибки оптимальної оцінки” містить 4 параграфи. У п.1.1. “Оптимальні оцінки лінійних функціоналів від однорідного поля дискретного аргументу” досліджується задача лінійного середньоквадратично оптимального

з

оцінювання функціоналів

оо М N

Af= £ а(т,п)((т,п), AMn£ = ]Ta(m,n)£(m,n)

m,n=0 m=0 n = 0

від невідомих значень поля £(m,n) о класу Н однорідних випадкових полів, що задовольняють умовам Mf(m,n) = 0, M|£(m,n)|2 < cr2, за результатами спостережень поля ((тп,тг) при (m,n) Є Z2 \ Z+. Величина середньоквадратичної похибки Д({, А) = М|А£ - А£|2 оцінки А£

о класу £ всіх лінійних оцінок функціоналу залежить від послідовності а(т,п), (m, п) Є Z2 та поля f Є Е. Доведені такі теореми.

Теорема 1.1. Найменш сприятливе для оптимального оцінювання функціоналу AmnZ випадкове поле має вигляд

m п

t(m,n)= 9{т- и,п - u))7(u,v).

u=m —Л/ v—n^N

При цьому

min max Д(£, Ал/w) = max min A(£, Amn) = cr2vlfN, AufreC AMNec

де дг — найбільше власне значення, a g(u, v), и 0,1,..., М, v =

0,1 — власний елемент, що відповідає і'м/у, само спряженого

компактного оператору Qmn У просторі Rw х R , який визначається матрицею о елементами

min(M—ptM—<) min(N—qtN—з)

QMN(p,q',t,s) = $3 a(p+u,g + u)a(i + u,s + r)

в=0 v—0

p,t = 0,l,...,M; q, 3 = 0,1,..., N.

Теорема 1.2. Якщо послідовність a(m,n), m,n = 0,1,..., задовольняє умови

ОО ОО

|a(m,n)| < 00, (m -Ь 1.)(гг 1.)|а(т,гг)|2 < оо, (1)

т,п=0 т,п=0

то найменш сприятливе для оптимального оцінювання функціоналу випадкове поле £(т,п) Є Е має вигляд

М п

£(т,п)= ]Г ^2 g(тn-■u,n-v)т)(u,v).

и— — оо —оо

При цьому

тіптах Д(£, А) = тах тіп Д(£, А) = а21/2,

Л€С ^еЕ £еЕ Ай с

де V2 — найбільше власне значення, а д(и, у), и,и Є 2+ — власний елемент, що відповідає і/2, само спряженого компактного оператора в просторі І2 х Ь, який визначається матрицею о елементами

ОО

Я{р,Я',1,й)= ^а(р+и,? + «)о(( + и,з + і)), р, 9,4,5 = 0,1,... .

и,г/=0

Наведені приклади, що вкапують на можливість застосування теорем.

У п.1.2. “Випадкові поля в гільбертовому просторі та оцінки їх невідомих значень” досліджується задача лінійного оцінювання функціоналів

ОО

А£~ Л (а(гтг, тг), ^(т, гг)>,

т,гг=0

М N

Амиї = X) Х^а(т,п)>£(т,,г^’

т=0 п~0

для невідомих значень поля £(т, п) о класу Е однорідних випадкових полів із значеннями в гільбертовому просторі X о базисом {еь}л;>і, що задовольнють умови

М£*(т,п) = 0, {к(т,п) = ({(т,п),ек),

ОО

М||,£(т,п)||2 = £М|а(т,п)|2 < а2, к-1

оа даними спостережень поля £(т,п) при (т,п) Є Z2\Z\.

Встановлене максимальне оначення величини похибки

ОО ОО

Д({,А) = ]ГМ|А*,£-А*£|2, Ак( = ^3 ак(т,п)£к(т,п)

к= 1 т,п=0

оцінки А£, класу С, всіх лінійних оцінок функціоналу А£. Доведені такі теореми.

Теорема 2.1.

тіп тахД(£, Амы) = тіп Д(£, Амм) = &2 тахс^

АинЄС ЇЄ“ {Є“ Аин€С *-* ’

Найменш сприятливе випадкове поле для оптимального оцінювання функціоналу Амм£ має компоненти

тп п

$к(т, п) = (£(т, я), ек) = Ькі ^ ді{т -и,п- у)г](и, и).

и=т—Л/ і>=п—N

ТУт і/* — максимальне власне оначення, а <7к(и,и)> и = 0,1,... ,М,

V = 0,1,...,# — власний елемент самосряженого компактного оператора (2к,мн У просторі IIм х 11^, який визначається матрицею о елементами

шіп( А/—я,А/—і) тіп(N—qiN—$)

<ЗкМн{РЛ^,з) = ^3 53 а*(р + и,д + и)х

и=0 г=0

хак{і + и.й + ь), = 0,1,... ,М\ 9,з = 0,1,..., Я; к = 0,1,...,

^{к:»1ММ = тахі|,

т](и,у) — стандартне випадкове поле о ортогональними значеннями і нормою 1.

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови

ОО ОО

ІІа(т’п)ІІ2 < °°> 53 (т+1)(п+1)||а(т,п)||2 < ОО.

т,п=0 т,п=0

Тоді

_тіп тах Д(£, Амы) — тах тіп Д(£, Амлг) = сг2 шахиі.

AкlN€C Аиы€С

а найменш сприятливе випадкове поле ((т,п) для оптимального оцінювання функціоналу має компоненти

т п

Оь(т,п) = (((т,п),ек) = 6кі 53 9н(гп - и,п - у)г)(и,у).

и= — оо і/= — оо

Тут і/\ — найбільше власне оначення, а дк(и, и), и, и = 0,1,, власний елемент, що відповідає само спряженого компактного оператора С}к у просторі І2 х /2, який визначається матрицею о елементами

ОО

<?*(>> 91 ^л) = X а*(р+и,9 + і>)а*(*+ у,л +г>)

и,і>=0

р,«,д,в = 0,1,..., гіе =

Г7(и, ь) — операторне випадкове поле о ортогональними оначеннями і нормою 1.

У п.1.3. “Оптимальні оцінки функціоналів від однорідного поля неперервного аргументу” досліджується оадача лінійного середньоква-дратично оптимального оцінювання функціоналів

/•оо ґоо лТ

А£= а(з,1)((з,і)(ізсІІ, = а(в,*)£(.?,*) ізві

Уо Jo Jо Jо

від невідомих значень поля £(з, і) о класу Е середньоквадратично неперервних однорідних випадкових полів, що оадовояьняють умови М£(з,і) = 0, М|£(а,і)|2 = а2, оа результатами спостережень поля £(з,£) при (з, 4) Є И2 \ В.+ . Доведені такі теореми.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови

ПТ гй гт

|а(з, г)| (Із <И < оо, зі|а(з,<)|2 (івсИ < оо. (2)

Уо Jо

Найменш сприятливе для оптимального оцінювання функціоналу АзтІ випадкове поле має вигляд

[ [ д(з - и,1 - у)6г]{и^). (3)

J,-sJ^-т

При цьому

шах тіп А((,А$т) = лт'п тах Д(£, ^т) =

^е“ АЄт€С Л5г€£ {е“

ТУт и2зт — найбільше власне значення, а д{и,у) — власний елемент, що відповідає і^%Т' само спряженого компактного оператора С}зт У просторі [0, з] х [О.Т1]), який визначається ядром

утіп(5 —1,5— х) />тів (Т—у,Т—ш)

Язт(х,У',2,иі) = а(х + и,у + у)х

Jo J о

ха(гг + г,го + и)<1и(1ь 0 < х,г < 5, 0 < у, ю<Т.

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови

/•ОО /"ОО /• ОО ЛОО

І І |а(з, і)| сіаЛ < оо, І 5<|а(5,

ио J о J о

г)|2 <із <И < оо. (4)

Найменш сприятливе для оптимального оцінювання функціонала А£ випадкове поле має вигляд

({з, І) = [ [ з(5 — и,і — и) <1и (IV. (5)

<і — оо«/ — оо

При цьому

шах тіп Д((, А) — тіптах Д((,Л) = а2и2. лес лес ЇЄ“

ТУт и2 — найбільше власне значення, а д{и,у) — власний елемент, що відповідає і/2, самоспряженого компактного оператора <3 У просторі І*2( [0, оо) х [0, оо)), який визначається ядром

/■ОО г ОО _______________

С}(х,у;г,ю)=: а(х 4- и, у + и)а(г + п, ш 4- и) сіп

J о ио

Наведені приклади застосування доведених теорем.

У п.1.4. “Векторні неперервні поля та оцінки їх невідомих значень” досліджується задача лінійного оцінювання функціоналів

N *00 ЛОО

М = 53 і аА:(5>0ЫМ)сЬ к=і->° У0 ■

Л.

Шт .

від невідомих оначень поля £(з, і) о класу ^ векторних середньоквадра-тично неперервних випадкових полів, що оадовольняють умови

П

М£*О,і) = 0, ]>^М|£*(М)|2 < °"2, к = Т~п,

*=1

оа даними спостережень поля £(з,ї) при (з,<) Є ІЇ.2\Н^.. Доведені такі теореми.

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови

П||а(з, і)|| <і£ < оо, / І з4||а(з,£)||2 сіз Л < оо.

Jo ^о

Найменш сприятливе для оптимального оцінювання функціоналу Аятї векторне випадкове поле £(з,і) має координати

^к{з,і) = 6к(і д<і(з - и,г - у)(1г]{и,у), к- 1,ЛГ.

7.-5 Л-т

При цьому

шах _тіп А(£,А$тО = „шіп шах Д(^,ЛзтО = ^ тахг/*,5Т>

АЄтіЄС ЛїгіЄГ ІЄН * ’

де і/\ 5Т — найбільше власне значення, а дк{и,у) — власний елемент, що відповідає и\ 5Т, компактного оператора С}кізт в Ьг( [0,5] х [0,Т|), який вионачається ядром

- /*тіп(5 — х,5— х) /•тіп(Т— у,Т— ш)

Як,Бт{^,У\2,ію) = ак(х + и,у + и)х

Уо Уо

хак(г + и,іи + и)<іи с£г>,

0 < х, г < 5, 0 < у, г« < Т, А: = 1, АГ (і Є < А:: = тах

Теорема 4.2. Нехай виконуються умови

ГОО Г ОО ҐОО /• оо

/• ОО Л ОО ГОО /• оо

І І ||а(з, і)|| <і£ < оо, І з£||а(з,£)|| сізсіі < оо.

^o J о Уо Уо

Найменш сприятливе для оптимального оцінювання функціоналу А£ векторне поле має компоненти

((з,г) = 6кі і [ да(г - и,1 - V) 4т](и,у), А: = 1, Лг.

7 — оо «У — оо

При цьому

тахтіп Д(£, А) = тіп тах Д(£, А) = а2 тах лє£ АЄС ІЄ“ 4

де — найбільше власне значення, а дк(и,у) — власний елемент, що відповідає компактного самоспряженого оператра С}к У просторі 1*2([0,оо) х [0,оо)), який вионачається ядром

,»оо *00 ________________

<Зк(х,у;г,хи) = ак(х + и, у 4- у)ак(г + и, ю + и) йи <іи,

Уо Уо

х,у,г,ги Є 11+

Наведені приклади застосування доведених теорем.

Рооділ II “Мінімаксно-робастна екстраполяція випадкових полів” складається о 2 параграфів.

У п.2.1. “Мінімаксна екстраполяція випадкового поля дискретного аргументу, що спостерігається о білим шумом” рооглядається задача оптимального лінійного оцінювання функціоналів .

оо М N

м= £ а(т, п)((т, п), Амн( = У^ У~^ а(т, п)((т, п)

т,п=0 т=0 п=0

від невідомих значень випадкового поля £(777,77) оа даними спостережень поля £(т,п) + 77(777, п) при (777,77) Є 22 \ , де 77(777,77) — не-

корельоване о £(т,п) випадкове поле о ортогональними (значеннями

і дисперсією а1 (білий шум). У п.2.1.1. знайдені формули для обчислення величин середньоквадратичних похибок та спектральних характеристик оптимальних оцінок перетворень А£, Амні У тому випадку, коли відома спектральна щільність / = /(А,/і) поля £(777,77). Доведена така лема.

Лема 1.1. Якщо виконуються умови (1) і спектральна щільність /(А,д) + а2 допускає канонічну факториоацію

СО

/(А,м) + а1 = Ие~,\е-,'0|2, (1{г,іи) = 'ЇГ (ікігкхю3 (6)

к,і=о

ТО

Д(М/)>/) = тіп Д(Ь,/) = 11 Асі||2 - ||а||2,

ЛеЬ2 (/+оГ»)

Л(/) = А(е‘л, є*'1) - г(е‘л, еі'‘)гі-1(е-‘\ є-'**), (7)

Де

оо оо

г(е‘л, є'*1) = {Ас1)^е^кх+^\ Л(еІА,еі'і) = 53 а{к,ІЇе*кх+ІІІ\

£,.7—0

оо

ІНІ2 = 53 Іа(*»і)І2 к,}=0

Оператор А задається співвідношенням

ОО

[А<ї)кі = 53 а(й + и,і 4- «)<*„„.

и,и=0

У п.2.1.2. досліджується задача оптимального оцінювання перетворень А£, АмнЄ У тому випадку, коли щільність /(А,д) не визначена точно, а відомо лише, що /(А,м) є елементом деякого класу V спектральних щільностей. Знайдено найменш сприятливі щільності /о(А,д) та мінімаксні (робастні) спектральні характеристики оптимальних оцінок А£.

Означення 1.1. Спектральна щільність /о(А,^) Є V наоивається найменш сприятливою в V для оптимального оцінювання перетворення А£, якщо

Д (/і(/°),/0)) = тах Д Ш/),/)) = шах тіп Д (/і,/))

V ^ і'* " /€х> 4 /ер Л6£-(,+„) 4

Означення 1.2. Спектральна характеристика /і°(е,А, є1'1) оптимальної оцінки перетворення А£ наоивається мінімаксною (робастною), якщо

к°(е'\е'»)єН„ = П і2"(/(А,/і) + сг2),

/ЄР-

тіп тах Д(Л, і) = тах А (/г°. /) .

/ЄТ> '

Лема 1.2. Спектральна щільність /°(А,ді) Є V буде найменш сприятливою в V для оптимального оцінювання А£, якщо /°(А,/і) + а2 допускає канонічну фахторизайію (6) о коефіцієнтами в, = к,

І = 0,1,...,}, що визначають розв’язок задачі на умовний екстремум

^ є-і(*а+і» к,) = 0

а2 Є V

Лемаї.З. Спектральна щільність /°(А, /і) Є буде найменш сприятливою в С для оптимального оцінювання Амні, якщо

/°( АіАі) =

(7

(8)

де <і = = 0,1,..., М,; = 0,1,...,#} — розв’язок задачі на

умовний екстремум

\\AMNd\l2 -*■ тах, /(А,д)

А/ N

ЕЕ^^А+І',)

і=0І=0

а2 Є V

Поле £(/:,і) + ті(к^) у цьому випадку допускає розклад рухомого середнього порядку (М, #):

йк>ЇЇ + г}{к,ії = £ £ аі-и,;-»»7(и,и)

Ч — к~" V—) 1Я

В класі спектральних щільностей

2>о= |/(А,м) І /(\,ц)<1Х<1р<Ро

найменш сприятлива щільність має вигляд

(9)

/°(А.М) =

с

~ СГ

(10)

Позначимо черео И)(Ро + &2) максимальне оначепня ||Л<і||2, де сі, ИІ2 = Ро + а-2, — роов’яоок рівняння Асі = асі, а Є й1, що вионачає канонічну факториоацію (6) щільності /(А,ц) + а2, ї(Х,іі) Є Vо- Черео 4(Ро + сг2) пооначимо максимальне оначення ||А(і||2, коли сі, ||<і||2 = Ро + сг2, оадають канонічну фахториоацію (6) щільності /°(А,р) + а2, де /°(А,ц) — щільність (10).

Теорема 1.1. Якщо існує така послідовність <і° =

к = 0,1,...,,і = 0,1,...,}, що Псі0!!2 = Ро + сг2 і

и0(Р0 + а2) = і/+(Р0 + сг2) = ЦЛс^Ц2, то найменш сприятлива щільність в Т>0 буде щільність

53 £^іЄ‘','(*А+-’м) к,)=0

а2.

Випадкове поле у цьому випадку допускає канонічний рооклад рухомого середнього

Якщо і'о < •'о", то щільність (10), що допускає канонічну фактори-оацію (6) щільності /°(А,^) + а2, буде найменш сприятливою в Т>0-Мінімаксна спектральна характеристика /і0 = /і(/) оптимальної оцінки перетворення А( обчислюється оа формулою (7).

Для перетворення Лм//£ щільність (10) має вигляд

/°(А,м) =

М N

с5353(Ам^<')*ієі(ьа+і'1)

А:=0 і =0

- С7

(И)

Пооначимо черео і/^ІІЯ(Р0+о2) найбільше оначення ЦАд/^Ц2, де с/, ІМІІ2 = + о'2, роов’яоки рівнянь AмNd = ай, AмNd = /?<ї, от, /? Є В.1,

що оадають канонічну факториоацію (6) щільності /°(А,/х) + а2. Черео (Ро + а2) пооначимо максимальне оначення ||Ама^||2, коли

||сі||2 = Р0 + ст2, оадають канонічну факториоацію (6) щільності /°(А,рі) + сг2, де /°(А,ц) — щільність (11).

Теорема 1.2. Якщо існує така послідовність сР = {сРк ,0 < к < M,0<j<N},щo \\<Р\\2 = Р0 + а2, и*"{Р0 + а3) = ^М"(р0 + о2) = ІИмм<^°||2, то найменш сприятливою в Vо буде щільність (9). Випадкове поле і(к, j) + т](к,1) у цьому випадку допускає канонічне зображення рухомого середнього (9) порядку (М, М). Якщо ж ,

то щільність (11), що допускає канонічну факториоадію (6) щільності /°(А,/х) + сг2 буде найменш сприятливою в Т>0.

У п.2.1.3. показано, що для множини спектральних щільностей

Т>р,о = |/(А,д) \■^JJДА,д)соз(рА)соз(до)с?Ас^ = Ррч,

0<Р<Л0<?<<?

найменш сприятлива щільність має вигляд

ЛА,д) =

53 {А<Г)кге><кХ+М

к,;= О

Р <3

ЕЕсяе'і(а+,>) р=0 7=0

— а

У п.2.1.4., 2.1.5. встановлено, що для множини спектральних щіль-ностей

К = {/(А,/і) І »(А,а*) < /(А,/і) < и(\,ц), /(\,ц)<і\сіц < Р0

що описує “смугову” модель випадкових полів, найменш сприятлива щільність має вигляд

/°(А,р) = тах { и(А,д),тіп < и(А,/і),

с 53 (А^е1^^^

*г,>=0

-2

а для множин щільностей

= |/(А,/і) І і/(А,/і) - и(А,/і)|<іАсг/і < є

що описує модель “є-околу” у просторі Ь\, НаЙмеНШ сприятлива щільність має вигляд

/°(А,м) = тах -і и(А,/і),

с 53 (/М)*,-е,'(*л+і',)

А:,;=0

м

Доведені теореми, аналогічні теоремам 1.1., 1.2.

У п.2.2. “Мінімаксна екстраполяція випадкового поля неперервного аргументу” досліджується оадача оптимального лінійного оцінювання перетворень

ґоо л оо ґТ

А(= а(5,і)((з,і) сІвсИ, = а(з,і)£(з,і)сІ8<1і,

Jo Jo ]о Jо

невідомих значень середньоквадратично неперервного випадкового поля £) оа даними спостережень поля при (з,і) Є К2\+. Знайдені формули для обчислення величини середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальних оцінок перетворень- А(, АбтІ У тому випадку, коли спектральна щільність /(А, ц) поля допускає канонічну факториоацію. Знайдені найменш сприятливі спектральні щільності та мінімакспі (робастні) спектральна характеристики оптимальних оцінок перетворень для таких класів спектральних

щільностей: £>“, Vіе, Т>є, Vг£. Множина

= |/(А,М) | (1 - Ф(А,а*) + єи{А./х), /(А,/і)сгА^ = ,

де и(А,/л) — відома, аи(А,д) — невідома спектральні щільності, описує модель “є-оабруднеппя” випадкових полів. Множина

£>2* = |/(А,м) І ^IIІ/(А,р) - и(А,Аі)|2сіАсір < є|

описує модель “с-ОКОЛу” у прострі Ьі-

Рооділ III “Мінімаксна фільтрація випадкових полів” складається о 3 параграфів.

У п.3.1. “Мінімаксна фільтрація однорідного поля о білим шумом” досліджується оадача оптимального лінійного оцінювання перетворень

оо М N

м = 53 AмNt -

к,]- 0 к=0>=0

однорідного випадкового поля Цк,і) оа реоультатами спостережень поля £(^,і) + г)(к,ї) при к < 0, і < 0, де гі(к^) — некорельоване 0 випадкове поле о ортогональними оначеннями (білий шум).

Знайдені формули для обчислення величин середньоквадратичних похибок та спектральних характеристик оптимальних оцінок перетворень А£, АммІ коли відома спектральна щільність /(А,р) поля Вионачені найменш сприятливі спектральні щільності та мінімаксні (робастні) спектральні характеристики оптимальних оцінок перетворень А£, Амн^ в класах Ро, Ррд, Р-о,

У п.3.2. “Мінімаксні фільтри для випадкових полів дискретного аргументу” досліджується оадача оптимального оцінювання перетворень А£, AмN^ однорідного випадкового поля £(£,.?), що має щільність /(А,^), оа результатами спостережень поля і{к,і) + г^(к,і), де т](^>І) — некорельване о£(&,і) однорідне випадкове поле, що має щільність д(\,ц). Знайдені формули для обчислення величин середньо-квадратичних похибок та спектральних характеристик оптимальних оцінок перетворень А£, Ами(, а також найменш сприятливі щільності /° Є Х>/, <7° Є Т>д і мінімаксні спектральні характеристики таких класів щільностей: V0 х V0, 2?“ х Р“, Т>с х Ре, Р1е х Т>іе.

У п.3.3. “Мінімаксна фільтрація неперервного випадкового поля” розв’яоана оадача оптимального лінійного оцінювання перетворень

/•ОО /*оо

А£= а(в,і)£(—з,-і)<1з<И,

Уо Уо

Авт^ - [ [

Уо Уо

середньоквадратично неперервного випадкового поля £(з,<), що має щільність /(А, д) оа результатами спостережень поля і) + т?(з, і), з < 0, І < 0, де 77(3, £) — некорельоване о £(з,<) неперервне однорідне поле, що має щільність д(А,р). Встановлені формули для обчислення середньоквадратичних похибок та спектральних характеристик оптимальних оцінок перетворень А£, Азт£- Знайдені найменш сприятливі щільності Є 2?/, <7°(А,/і) Є Т>д та мінімаксні спектральні харак-

теристики оптимальних оцінок А£, АзтЄ для таких класів щільностей:

Т^о X Х>“, 2?г X Т>іс, Т^2єі X 2?2г2-

Розділ IV “Мінімаксна інтерполяція випадкових полів” містить З параграфи. У п.4.1. “Мінімаксна інтерполяція однорідних полів дискретного аргументу” досліджується оадача оптимального лінійного оцінювання перетворення

М N

Амні = 53 У^,а(куіШк>І) к—0 і=0

однорідного випадкового поля Є(к^) оа реоультатами спостережень поля £(к, 3) при к Є 2 \ { 0,1, ^ Є 2 \ { 0,1,. ..,#}. За допо-

могою класичного методу А. Н. Колмогорова «знайдені формули для обчислення величини середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної оцінки Амн£ оа умови, що відома щільність /(А, ц) поля і(к^). Якщо щільність поля невідома, то використовується мінімаксний підхід до оадачі оцінювання перетворення Амн£. Знайдені найменш сприятливі щільності та мінімаксні спектральні характеристики для таких класів щільностей:

V-o={f{\,|^)\^±їfjг:l{Xt|^)d\d|л>Py

Т>Г = {/(А,М) \~2JJГЧКгійМ» = Р,

0 < у(А,м) < /(А,/і) < и(А,м)|.

У п.4.2. “Інтерполяція випадкових полів, що спостерігаються о шумом” досліджується оадача оптимального оцінювання перетворення Амы£ випадкового поля ((к^) оа даними спостережень поля £(к,ї) + ті(к>І) при к Є 2\{0,1,. і Є 2\{0,1,. де т](к,і) — неко-

рельоване о однорідне поле. Знайдені формули для обчислення

величини середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної оцінки Аміїі оа умови, що відомі щільності /(А,/і), д(Х,ц) поля £{к,1) та т?(£,;). Знайдені найменш сприятливі щільності /°(А, ц) Є Р/, <7°(А,/і) є Т>д та мінімаксні спектральні характеристики для таких класів щільності: V0 х Р0, Ре х Р", Р2е х Р1г.

У п.4.3. “Мінімакспа інтерполяція неперервних випадкових полів” роов’яоана оадача оптимального оцінювання перетворення

АбтІ = / / a{s,t)^(s,t)dsdt іо Jо

неперервного випадкового однорідного поля £(з,0 оа реоультатами спостережень поля {;(з,£) + т?(з,(), з Є И \ [0,5], і Є И \ [0,Т], де 7?(з,і) — некорельоване о £(з,і) неперервне однорідне випадкове поле. Знайдені формули для обчислення величини похибки та спектральної характеристики оптимальної лінійної оцінки перетворення А$тІ оа

умови, що відомі щільності /(А,^), д(А,/х) поля і) та пС^М)- Знайдені найменш сприятливі щільності /°(А, /х) Є V/, д°(\,ц) Є Т>д та мінімаксні спектральні характеристики для таких класів щільностей: Х>0 х Р0, V" х Ре, VI, х Р,е.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ РОБОТАХ:

1. Татаринов С.В. О минимаксном оценивании линейных преоб-раоований случайных полей. Киев, 1984. 25с. Ден. в УкрНИИНТИ 03.10.84, N 1612.

2. Татаринов С.В. О минимаксном оценивании линейного функционала от случайного поля// Теоисы докладов ІУ Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1985. Т.З. С.176.

3. Татаринов С.В. Об оценке линейного преобразования случайного поля// Тео. докл. II Всесоюзной конф. ” Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных процессов и полей”. М., 1985. 4.1. С.88.

4. Татаринов С.В., Моклячук М.П. О минимаксном оценивании линейных преобразований случайных полей со значениями в гильбертовом пространстве// Теория вероятностей и математическая статистика. 1986. Вып. 35. С. 111-118.

5. Татаринов С.В. Об одной оценке линейного функционала и экстраполяции случайного поля// Вычислительная и прикладная математика. 1986. Вып. 59. С.

6. Моклячук М.П., Татаринов С.В. О робастной интерполяции однородного случайного поля// Тео. докл. III Всесоюзной конф. ” Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных процессов и полей”. М., 1988. 4.1. С.73-74.

7. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Минимаксные оценки преобразования случайного поля// Тез. докл. II Донецкой конф. ’’Вероятностные модели процессов в управлении и надежности”. Донецк. 1990. С.48.

8. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Минимаксная фильтрация однородных случайных полей с белым шумом// Вычислительная и прикладная математика. 1991. Вып. 73. С. 78-93.

9. Моклячук М.П., Татаринов С.В. О минимаксной фильтрации однородных случайных полей // Теория вероятностей и математиче-

ская статистика. 1991. Вып. 44. С. 105-115.

10. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Робастная фильтрация однородных случайных полей// Тео. докл. ІУ Всесоюзной конф. ” Перспективные методы планирования и аналиаа экспериментов при исследовании случайных процессов и полей". М., 1991. 4.1. С. 49-50.

11. Моклячук М.ГІ., Татаринов С.В. Минимаксная фильтрация однородных случайных полей, возмущаемых белым шумом// Тез. докл. ІУ Всесоюзной школы-семинара ”Статистический и дискретный анализ данных и экспертное оценивание”. Одесса. 1991. С. 76-78.

12. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Про задачу мінімаксної екстраполяції однорідних випадкових полів// Вісник КДУ. сер. фіз-мат. наук. 1992. N 4. С. 52-64.

13. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Про задачу робастної фільтрації однорідних випадкових полів// Теорія ймовірностей та математична статистика. 1992. Вил. 46. С. 104-114.

14. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Робастная экстраполяция однородных случайных полей// Тез. докл. конф. ”Методы распознавания изменений в случайных процессах и полях”. Киев. 1992. С. 58-59.

15. Моклячук М.П., Татаринов С.В. Про задачу лінійного прогнозу однорідних випадкових полів// Теорія ймовірностей та математична статистика. 1992. Вин. 47. С. 118-129.