Минимаксные задачи асимптотического поведения некоторых дискретных распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Пп лршчй L'cteobî Ar.opii Xap:c.:OB?.a

Автореферат

диссертации да co;:ci:2in;e учепо'Л стелек:: какдщата фпЕЕТО-гатег'.атэтескпх ЕЗТТ:

Ташкент

1993

Рабата выполнен» в Ферганском государственной университете, на кафедра шслеЯ математики.

Научны! руководитель : член-корроспондзнт АН Р/з.,доктор

ф а з и х о -и а т с м а та ч е с ¡с: х наук, профессор АЭЯАРОЗ Т.Д.

О^ицйнчьние оппоненты : лектор физико-математических наук,

доцент МУХИН А.Б. канцидзт физико-ма?цматичвек:;х наук, с.н.с ХАИдАМ 03 п.М.

Ведущая организация : Московские институт электоэнного машшост роения.

Защита диссертации состоится " " 1!»94 г. з ^ часов на заседай»» спзциалкзкроазниогс совета Д 015,1'.21 в Институте математики имен« В.'Л. Романовского АН Респуилики Узбекистан по адресу : 700141, г. Талкект.ул. О.Ходхаева, 29.

С диссертации 1 колно ознакомиться з библиотеке Института математики имени Романовского АН Республики Узбекистан

Автореферат разослан " 9 "

Ученые секретарь специализированного соает-а доктор "изико-матвчатичйскях ,

г.

паук ШуГ /Л гл^оа

и

0Е1АЯ ХАРЛКТЕРИСТт РАБОТУ.

Актуальность та/к. Изучению асимптотического поведения распределений, икеацдх в той плп иой кере слогяуэ природу, в теория вероятностен постоянно уделялось больное внимание. Находились достаточно простые дркблкгзпнцз зцрззеякя для неходких распределен;'.: при различия: изкененичд параметров, оценивались погрешности зто„ аппроксимация,строилпс5 асимптотические разложения ;: т.д.

По-Е:!д:п,*оглу, вяервпе в работе Прохорова ЕЭ.В«' для биномиального распределения: било установлено асимптотическое поведение макекпалького ( по параметру ) значения ккнкглального ( в смысл"; расстояния по вариацил ) уклонения от с&шгавцях яуассо:-:свс;:;г': и нормального распределен;:;: ( сгл. нике стр.б ).Ясз.-гг аналог.:*:'1-'-, задачи редгалнсъ Дренбзгнш Н.К. для по.ет?сг:пзлтл-:охэ распределят, Холчннил 3.0. з классической задаче о дгоСик::зх- для рзсщг:-д-глекия числа яликов с ровно * частЕцгшя, =0,1,2,... л 4зларов;.гл Т.л.,Угарова С.Д. для гипергеонетрнчоскогз распределения.

Задана изучения асимптотического поведения максдальнего ( по яарзггвтрам ) значения г.нздпмального ( в смысле вводимых различных «ер близости ) уклонения от сб.гаяакцях кх возмз-ннх распре-телс^;иГ. представляет определенна! теоретически! н дрокггисях-интерес. В результате репення зтоЛ задачи становится воз;лскл.гл полное, в асимптотическом емпеле, определение зон, в которых изучаемое распределение сблндэется каплучжм образом с те:.: как книг распределение:,;.Расширение классов расс&;атряЕс.екых распределений такг.е является актуально:! задаче.!.

В дальнейшем всюду будут рассматриваться аналогичные задач:-;. Их мг: будем называть м и н и м аде н:.ы м и задачами асимптотического поведения того или иного распределена.

Палью работ;; является решзнае минимаксных задач для биномиального, стрицатсльно-бннсмиального.гпяергеометрического л отри-цательно-гидергсометрнческого ( Ромзноеского ) распределений, когда рассматривается целый класс мер пх близости со сбллглг'лддлн

I) Прохоров Ю.В. Асимптотическое доведение биномиального рзеяре-. деления,Успеха математических наук,?. ЛИ, .'¿3 { 1953 ), с. 135-142.

распределениями.

Методика исследования. В работе используется прямой метод асимптотического анализа формул для локальных вероятностей с использованием оценок для вероятностей больших уклонений.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной р боте решены минимаксные задачи, в смысле различных мер близости,д биномиального, отрицательно-биношального, гипергеометрического,

отрицатель..о-гипергео?летрического ( Романовского ) распределений к указаны асимптотически точные границы параметров, при которых то или иное распределение является лучины приближение

В ходе решения этой -задачи для отрицательно-биномиального рг деления, попутно, улучшая один результат Аренбаева Н.К., устанав; вается асимптотическое различение для расстояния по вариацка мегр: ним и распределением Пуассона (теорема 3.4 ).

См. такзхе заключение, приведгннное в конце автореферата.

Результаты работы'носят теоретический характер.

Апробация работы. Основные результаты исследований были доле ни н апробированы на Всесоюзной- конференции по предельным теоре теории вероятностей, посвященной 70 - летню академика АН Р7 G.X. Сксатдинова ( Ташкент, 22-24 мая 1990 г. ), на городском семинар! по теории вероятностен п математической статистике при ТааГУ, н; семинаре отделов теории вероятностей и математической статистине института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбеки* так, на ежегодных научных конференциях Ферганского государствен® го университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в работах til - [5] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти параграфов, списка цитируемо;! литературы.На 138 страницах гл. иинописного текста изложено основное содержание работы. Библиогрн фия содержит 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во .'введении обоснована актуальность теш диссертации л определена (ель нсследованпя.Здесь ке дана общая характеристика полученных результатов.

В §1 изложены краткий обзор исследования в "минимаксном" нап-)авленпи и основные результаты диссертации.

§2 посвящен биномиальному распределеккю.Как известно, бхшогга-лыюе распределение

л к а, , ч«-к "п. Р (1_Р) , К=0,1,'2,...И-

В (*)

а

< > п.

сегда ( т.е. для всех значений параметра р , i )

блзкается в определенной смысле с нормальным или пуассоновскзма асдределениями :

Сар) ' Г . \

П L<) = Г. =0,1,2.....

Г1 LK) ,

к.! 1

Vdj пру, — к ~ hP

л. =п T ?

rv U) = iilj

M

этом параграфе изучается поведение величии

ро

—О •

а)

2 г(в,п£) = в)

Пусть

32 л^ = ги^ ? ( В, П,- .

V, / л > _ Ъ

к ' 0 4. р £-)

л: а 2.1. Пусть '/Д, . При я—"> ^ справедлив;

'пхЛу. \ ( В, П£- )

асимптотическая форму;

- У ^ • ''

где

ш = гк Гг I«"- з« ге ;

¡г

~ у

V* -к Т - *г \

Л, (¡0 - ( / и-/I е ^

При =1 тлеем известки! результат Прохорова Ю.З.^ Теорема 2.1 получена как следствие следугшх утзерЕденгй.

Теорема 2.2. Пусть и />■= о ( " '^'у

глн 4-1 ± л для некоторого Г> о .тогдг

<м .а*. :.. 1 И __-- ) 1

Улл ' I

л

- 7 - _

Теорема 2.3. Пусть г ¥ * ± а- о ).

или ^ 1 2 •для некоторого ,?•>(? .тогда

ММ»,?) м ^ ) *

+ ^ С^П ) г О (упЛП (I, Щ )).

Теорема 2.4. Пусть ^ > ^ и ^ ^ ,тогда

Сравнивая главные члены представлений в теоремах 2.2-2.4

получаем УпЛи. ^ ( 6, П,;,^ ) —

I = ^ Д, 3

-I- V )

!(ЛП1,107 *«" р'р^)* Л

■ ■ 1 . .А .

где ЛЫ -

Теорема 2.5. Пря ■ П. —=» <*> £ .

гп 1ь) - .'»¿"^ + * ( и"гЛ

гдс . А X

=• 0,08338...,

лг= Л Я

Л ~ —-1—-=0,08904...,

-3 -ЛИе е ■

л _ dEZ.ev6 <Г 1

Л" Л^ЗГ *П ~ ) =0.09176...

Теперь сформулируем следующие теорстлы об аеиштотаческок поведений. . ^ [].), которые в совохулксста позволяют доказать теорему 2.5. '

Теорема 2.6. При р —> О Теорема 2.7. При

г С 6, П, ) = ))

Теорем а 2.8. При И.р ^ —-> 00

(в,пг ) ♦ (/о-р*)"* )•

Исследуя результаты теорем 2.6-2.8 мояно показать, что

Л (б, Пс ) -

ГСб.ПД если о ( И

••-■ ' л, ■ 1 (в, пД 3+ ® ( и- Р'

Л V

Д И ( и 3 Л .

* .1 ч

И В, П.» ), если _ р < - £ > + о (и" 3 ^

где * Л ~ Л^Л7" =1»02049—

В §3 изучается аетмптотэтеское поведение отрзщательно-биионгзль-ого распределения

Ьг ) ~ с' ? " ,

К =0,1,2,... .

Как язезстно, предельншя з смысла слабой сходимости,дда отрл-1телько-б1Шо.\яалького распределения • являются пуассоновское, нор-шыгое з эрлаяговское распределения. Пусть

г~\ г \ * К -<г

~ ~ л е , к =0,1,2,...,

где

л __ ( и

= к. =0,1,2,...

= (км-^лЧ*''/ з

г (а, <?•) = и (*)- з-и) 1,

1С

'I =1,2,3,

Ч (4 ) = ^ ^ ^ (ЯЯ- ^

ел (О = /«V ).

- 10.-.

■' В работе Аренбаева Н.К.^ . доказаны следующие теоремы. Теорема 3.1. Для любого и и О*- ± справедливо неравенство

? (а, О

где . С - абсолютная постоянная. Теорема 3.2. Пря ШЬ —'> 00

= ТШГЧ

Теорема 3.3. Пусть и. -фиксировано ала сюемзтся бесконечности

•Г

ь-е

я р—> О ,так, что р (£ =2,71828...),

1 I

тогда

Легко заметать, что в отлячая от. теоре:/ 3.2, 3.3 в теореме 3.1 для £ ) имеется, ладь оценка сверху.Отсутствяе разло-

аенля с выделенный главном членом для £ 1} не позволила

Аренбаеву Н.К.доказать минимаксную теорему тузя отрщательно-бкно-1>шального распределения и указать ■, асимптотически точные границы параметров, при которых то или иное распределение является лучшим приближением.

Следующая теорема улучдает теорему 3.1. Аренбасва Н.К. Теорема 3.4. Пря К190 и- справедлива формула

+ (А £=г Д

где - . ■ *

гг -

- ^ е Л ^ = =0.48394...

г Теоремы 3.4, 3.2 и 3.3 позволяют решить ыанаыакснув задачу аст.штотнческого поведения отрицательно-йиномлального распределения з. случае • ^ =1,- _

Т top.ii! а 3.5. Пусть # .При П —">

2) Аренбаев Н.К. Асимптотическое поведение отрацательно-бзнсмз-.. ального распределения.Деп. в ВИНИТИ, & 2445 - 81. - '

г -Ь +

где

\ М = К>Г'М- V3'

Теорема 3.9. При °° ^

(с;) -А6 + 0 ■)>-■'

где

/\ ^ . Л =0,10690..

I

Л - Ц===-- =0,15429...

3 -/д/Тб г

В §4 решаются млнагдакскые задачи аснштотзчеснсго поведения гяперхеокетрпческого распределения. В этом параграфе сформулируются з доказпзаются теоремы, аналогачнне теореглам 2.1, 2.5. ■

Полному решению поставленных задач для отркцательно-гипергео-метрзчесного распределения

-.рн.и) =Р *

и , Ы-(1-1 К. Д/+А/1 - И - Й"-1

( к.- о, М

А/ ' (3)

Л

й > /и ,

(9,

яосяяшен §5. " -

. Ята распределение встречается в работе В.И.Романовского '

В.И.Романовский достаточно подробно изучил это распределение и у к? зал на его очень вааную прохладную сторону.Именно по этой причине и для краткости отрнцательпо-глпергсоыетрнческое распределение (3' мы будем называть распределением Романовского. Пусть _ м _ А/

' 1У+М > У ~ м+ьл '

- N ) ~ л? •

Далее введен обозначения для распределений, с которыми сбл:х2;аетс£ распредгпаняе Романовского :

Т4 и) = - • е7

X

. к:^ -1Р

1|С -Тару*, (и+м) к. =0,1,2...

-нормальное распределение, г-, , (п + К)! И+1

^ = -ТТГТГ ^ * =0,1,2...,

( А/-И-1+К1) К-

-отрицательно-биномиальные распределения,

Г /• * / , . М- ь

К-=0,1,2,...

о

)

К = 0,/И К> м

-биномиальное распределензе,

3) Рсигловскал В.И.Об упорядоченных выборках хз одной а -го.1 гв непрерывной совокупности.Труды института механика г математики. Ташкент ( 1249 ), с. 5-19.

///■

И.1 Al \ M ) (i-fr)

О.

n

л/-«-i ^ »t-4м

бета-распределение,

(д/- n ) Р

(VP? % .

К. =0,1,2,...

-пуассоновскяе распределения ж

п

«1=0,1,2,...,

У-п-1

w^fV.; Ы-

щ Р 1>

^ —0,1,2,...

-эрлаяговскае распределения. БВедем также обозначения :

*

,j0=(S i«W-T;Wi )

' L =1,9,

( ]= ^ ^ P(W,r),

MV«, fí 0á^f>¿i

5 г (М = ^ар т^и. 1 (я,7-) М+М > 0¿ыtp¿ I ¿'=¿9

Следующими теоремаш реааются ыинямансп;^ сздачн асЕмптотаческого поведения распределения Романовского.

Теорема 5.1. Пусть у •> 1 . При Му-М .

• - ^ . - V)

(

чу / ЧГ

'(г)- •

Теорема 5.II. Пря Л^М

д. , л

где. л, -о^:. \ .

Пусть

= { К р) ^ч р

-О -

= 1 Rp) : p*«* },

I - P Л 1—^—

-Л о)' —л

.0, -jl-^PJ-

;-;:з г с ope:.: 5.12-5.20, прзвгдгнные з §5, kosso вывести, что

um. ч ( ) -

+ 0 (( Л/*- M ) N ); £(К/ТД «лд- ^ P'/ >

Г

\ -± -OW,"5*1 Р) (d+Ml I

-гоГ(^м) 4 )7

!

ъ /о m

* ц( JJ+ ГЛ) 4 ) <

i _± ,

! lz(H Т, ^ 3 остальных случаях,.

=1,01749..., D =0,12643...

- IS -

Доказанные в диссертации теоремы позволяет сделать заключена е, что для всех исследованных распределен^ характерными являются

а) тот факт, что

■ сЕ-я Т ) при

топько для > ^ .

б) при возрастали! степень Л. ( зла Д/ , ила [-AiA ) в главном члене ^^ ^.^i) убывает.

в) наличие "непрерывного", перехода" от асимптотической формулы для 'ö£.ft('(^ к асимптотической: формуле душ ) Пря

г) гранвцы ( в асимптотическом смысле ) зон, в которых то вал жное распределение является лучшим прлблггеняем, тлеют одинаковый ( не зависящий; от ¿И ) порядок степ«::: п- ( или

// , ьлв h/+M ).

Приводимая нкке таблица I шшзьтрирует аэмененне поведения (• ) Е L'j f) -дал Рассмотренных в дзссертацжг распределений дрг.разлЕчкнх -значениях . .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах :

1. Азларов Т.А.,Шутова А.К. АсгаптотЕческое поведение одного распределения В. И. Романовского .Доклады АН УзССР й8 ( 1987 ),с.7-8.

2. Юсупова А.К. Об асзшптотгчееком поведении распределения В.И. Романовского .Деп. в ВИНИТИ , I7597-B88 ( IS88 ).

3. Азларов Т.А. .Юсупова А.К. Минимаксная задача предельного распределения В.И. Романовского .Доклада АН УзССР .'с8 ( 1990 ),с.4-5.

4. Юсупова А.К. Предельные теоремы дкя одного распределения В.И. Романовского и кх уточпенкя.Сб.института математики АН УзССР "Асимптотические задачи теории вероятностей и математической, стапютикп" Ташкент Фан, .1990,с. 162-170.

5. Юсупова А.К. Минимаксная задача для распределен m Романовского в нетраке L^ - - .Доклада АН РУз. Л 4-5 ( 1992 ), с. 21-23.

Таблша I.

Поведание главных членов (■ ) и З^С'^'у .идя некоторых дискретных распределений.

^пХ ■ )

I

биномиальное распределение В и) 0,511.. И \ _ -г 0,\оц... п ^ С) 0 5 5,., 1

отрицательно- биномиальное распределение Сг (О МгК • _ 4-0,3*7-п 3 „ ~ у*. _ Л

гипергеометрв-ческое распреде ление н(«0 ., 'V КтУ' 1 0}ЬЧ%... л/ - " 0,019,.,*/

распределение' Романовского, _ / X

т

БАЪЗИ ДИСКРЕТ ЩЖОШР АСИМПТОТИК ХУСУСЙЯТЯАИ5 УШ МИНКМКС ЫАСМЛЛАР.

Юсупова Анора КарЕмовне

Чачасг, 10.В. Прохоров ( IS53 ) блргкчя игротаба блномпаль tsf,-снкотиеег у я^еклапавгган пуассон ва нориаль зщсЕкотларадан огзпз ( кгржтклгаЕ варгацгя öyiirrsa ыасофа ыгъпосЕда ) игивя&х цгйыатингкг ( р £ параметр буйкча ) максгаал учун &ор:лула

толгак.

КейЕЕчалгк бундай ыасалзлар Н.К.Арепбаев токонадан ползкомк-сл та^сЕко? учун, В.З.Колчкк таыонсдак заррачаларзпнг яойлашшг 1;гдагк классзк иасалаларда -t.' та ( -0,1,2... ) заррачалг япшклар coüs та^сшлотв учуй,- Т.А.Азларов ва С.Е.Умаоовлар томопздзк ггяергеометрхк саксают учун з;ал этглгап.

Дт;ссертацгяд& бгашгал, тескарг бжозагл, пшсга-еоглетргг., гескарг гхпергдсметркк ( Романовский ) та^схмотлар:; учун турлкча ккрзтглгап я^знлкн масофалара паъкосзда мгнпмакс масаж^лар з;ал

асосЕЙ Еатггаларк 2.1, 2,5 , 3.5, 3.9, 5.1

ва 5.II теорекаларда уз апсипи топтан.

-13 -

МГПЛГ. PROBLEMS Op ASKIKHSICAb BEHAVIOR 03 SÜ-.I3 DISCRETE DICTHXBCTIOIÍS.

ÏUCU50VA ATORA EARXÍOVKA

:;rohoroy Y.?, ( "353 ) established the азушрtotical fcohavloi- of the supremo ( with -aapoct to the lj )

of th<3 xaininal distance bateo ев binomial probabilitiea end ^pproxii-nitlr.i'3 th'j г:оггл1 and РоХзпоп probabilities С ess thsoroc 2,1, pago S ).

later on auch Einlage problema \шэ investiraisd by Arc-aeayev ii.Ü. ( for polyricinial dis iributioua }, by Kolciiiii 7.3. ( for tiif; àiзtributich of the rausber of calls containiu¿ г -article in :ho classical occupancy pro'olen ), and by Aslarov 2.A. «ï.d 1'глго-/- G.S. ( for hypernscaatrlcal distributions. ) .

Ir. this v;e aolv-э tho niair-as: problenn for the

bir.or.ial, binomial, hypergccuqiriс and negative

hyp-rr; trie ( Hornano-vsri ) diatributioas. purtüffisore •.ve the deal with whole foaily of distaacea ( (1) and (¿) ) betv/asn diotributioaa considovcd. The cain r3ault3 of the japcr are theorem 2.1, 2.5, 3.5, 3.9, 5.1, 5.11.