Минимальные многообразия Зейферта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ООЗОБЭ136 Перфильев Андрей Андреевич

МИНИМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ЗЕЙФЕРТА

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2007

003053136

Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор С. В. Матвеев ,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. Ю. Веснин

кандидат физико-математических наук, Д. С. Охезин

Ведущая организация: Российский Государственный

Педагогический Университет им. Герцена

Защита состоится 27 февраля 2007 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: г.Екатеринбург, ул. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики УрО РАН.

Автореферат разослан 25 января 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

В.В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1

Актуальность темы.

Топология многообразий, бурно развивающаяся в настоящее время область математики, содержит ряд нерешённых фундаментальных проблем, в том числе, проблему эффективной классификации трёхмерных многообразий. Один из подходов к этой проблеме — создание различных мер сложности, позволяющих эффективно различать трёхмерные многообразия. В качестве примеров таких мер сложности можно привести род Хегора, ранг первой группы гомологий, симплициальный объём, сложность Матвеева (наименьшее возможное количество вершин в специальном спайне многообразия) и др.

Одним из оснований утверждать, что одно многообразие "сложнее" другого, может служить отношение доминирования между ними, определяемое существованием отображения степени 1. Говорят, что многообразие М доминирует многообразие Р (М > Р), если существует отображение / : М —> Р, имеющее степень 1. Теория доминирования получила большое развитие с начала 1990-х годов в работах таких математиков как X. Цишанг, У. Торстон, Ш. Вонг, С. Матвеев, М. Буало, К. Хайат-Легран и др. Известно, что отношение доминирования связано с некоторыми другими мерами сложности трёхмерных многообразий: если М > Р (М и Р — замкнутые ориентируемые связные трёхмерные многообразия), то группы гомологий многообразия Р являются прямыми слагаемыми соответствующих групп гомологий многообразия М [2], \\М\\ > ||Р|| (где || * || — норма Громова) [1], Ы{М) > Ы(Р) (где Лг(*) — число различных попарно непараллельных несжимаемых поверхностей в многообразии) [5].

Проблема, на решение которой направлена данная работа, была поставлена К. Хайат-Легран, Ш. Вонгом и X. Цишалгом в ходе изучения отношения доминирования на множестве замкнутых многообразий Зейферта (широкого класса трёхмерных многообразий, параметризующихся базой — двумерной поверхностью и параметрами особых слоёв — набором пар взаимно простых чисел) и формулировалась следующим образом:

1 Работа выполнена при финансовой поддержке фондов РФФИ (грант № 07-01-96026) и ШТАЭ (грант № 03-51-3663)

Какие многообразия являются минималънъши многообразиями Зейферта?

Многообразие Зейферта называется минимальным, если оно не доминирует никакие другие многообразия Зейферта, кроме гомеоморфных себе или трёхмерной сфере. В работе [3] авторами проблемы был представлен список из десяти серий многообразий Зейфетра со следующим утверждением:

• все минимальные многообразия Зейферта содержатся в данном списке;

• все многообразия шести из десяти серий являются минимальными;

• все многообразия четырёх оставшихся (бесконечных) серий не допускают отображений степени 1 ни на какие другие многообразия Зейферта, кроме себя, трёхмерной сферы и, возможно, гомологической сферы Пуанкаре Б3/Р\2о-

Позже, в работе [4] К. Хайат-Легран, С. Матвеев и X. Ци-шанг исследовали один из четырёх проблемных случаев при помощи компьютерного эксперимента, основанного на той же технике вычисления степеней отображений, что будет использована и в настоящей работе, заметили (хотя и не доказали) периодическую зависимость между параметрами особых слоёв многообразий Зейферта и множеством возможных степеней их отображений на гомологическую сферу Пуанкаре. Была даже построена эмпирическая формула степени некоторого "стандартного" отображения произвольного многообразия серии с!4 на Б3/Р\2о- В настоящей диссертации существование такой периодичности доказывается теоретически для более общего случая, а также рассматриваются все четыре проблемные серии многообразий Зейферта и даётся положительный ответ на вопрос: являются ли многообразия этих серий минимальными многообразиями Зейферта?

Цели работы.

1. Доказать теоретически периодическую зависимость множества возможных степеней отображений замкнутого многообразия Зейферта с базой сфера или тор на произвольное

замкнутое ориентируемое многообразие с конечной фундаментальной группой от значений параметров его особых слоёв.

2. Доказать, что все многообразия следующих четырёх бесконечных серий являются минимальными многообразиями Зейферта (названия серий — в соответствии с работой [3]): (dl) многообразия Зейферта М(Т2; (а, ±1)), где а делится на 3, 4 или 5.

(d2) многообразия Зейферта

M(S2; {2k*v,Pi)\ (2W,/32); (2<w,/33)),

где fc > 1, все аг нечётны, а\афг + &1&Ф2 + = ±1,

и есть пара (1 < г ^ j < 3), что 3|аг, (d3) многообразия Зейферта

М(52; (2аи ft); (2a2; /32); (2a3; ДО)

с теми же ограничениями, что в (d2) и следующим условием: если n > 1 — делитель числа 2аг, то уравнение 2z2(aiQ2<^3) = ±l(mod 4п) не имеет решений в целых числах.

(d4) Гомологические сферы

M(S2-, (2qi;/?I); (3a2; /?2); (5a3; /%)), где aia2û'3 ±l(mod 120) и 49aja2a3 ±l(mod 120).

Записью M(F; (a^; /Зг); г = 1,..., n) обозначается многообразие Зейферта с базой F (F ~ замкнутая ориентируемая поверхность) и п особыми слоями; (аг;/?г) — параметры г-ro особого слоя.

Методика исследования. Для исследования отображений между трёхмерными многообразиями привлекались стандартные методы маломерной топологии. Для теоретического исследования свойств степеней отображений использовался алгоритм вычисления степени, основанный на использовании понятий граничный цикл и характеристическая коцепь ([4]) и связанный с вычислениями в целочисленных групповых кольцах. Некоторые

результаты, связанные с конечным перебором случаев, получены с помощью компьютерных вычислений, основанных на реализации указанного алгоритма.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и соответствуют проблематике данного раздела топологии. Они состоят в следующем.

1. Полностью решена проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта.

2. Теоретически доказаны некоторые периодические свойства степеней отображений многообразий Зейферта.

3. Впервые приведено строгое доказательство формулы для граничного цикла многообразия Зейферта с базой сфера и тремя особыми слоями и построена формула для граничного цикла многообразия Зейферта с базой тор и одним особым слоем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты (особенно, методы серийного построения граничных циклов и вычисления степеней отображений) могут быть использованы учёными, занимающимися проблематикой, связанной с изучением отображений трёхмерных многообразий.

Апробация работы.

Результаты диссертации, в качестве докладов были представлены на Международных конференциях:

• "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2002)

• "Geometric Topology, Discrete Geometry and Set Theory" (Москва, 2004)

• "Workshop on geometry and topology of 3-manifolds" (Горно-Алтайск-Новосибирск, 2005)

Основные публикации автора по теме диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]-[10]. Работа [6] — совместная с C.B. Матвеевым. Она посвящена доказательству теоремы периодичности степеней отображений для случая многообразий Зейферта с базой сфера. Доказательство основано на явной формуле для степени, выведенной первым автором, и на правильном выборе представляющих слов для элементов фундаментальной группы, найденном вторым автором.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Она изложена на 75 страницах, библиография содержит 35 наименований.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю C.B. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении даются определения базовых понятий, касающихся темы исследования, даётся обзор известных ранее результатов, относящихся к свойствам степеней отображений трёхмерных многообразий и отношению доминирования, определяемого существований отображений степени 1. Кроме того, формулируются проблемы, решению которых посвящена настоящая диссертация.

Глава 1 посвящена подробному описанию алгоритма, используемого для вычисления степеней отображений трёхмерных многообразий, вычислению граничных циклов многообразий Зейферта и доказательству теорем периодичности степеней отображений многообразий Зейферта.

В параграфе 1.1 описывается используемая структура левого модуля на группах цепей накрывающего пространства и выводится (следуя [4]) формула для вычисления степени отображения одного трёхмерного многообразия на другое с использованием понятий граничного цикла, характеристической коцепи и индуцированного отображения двумерных цепей.

Рассмотрим отображение / : М —* Р, где М и Р — замкнутые ориентируемые трёхмерные многообразия (снабжённые клеточным разбиением), и фундаментальная группа щ(Р) — конечна. Граничный цикл дРм £ С2{М\Ъ[тт1{М)]) — двумерная цепь, характеризующая многообразие М, а именно, сумма границ прообразов всех трёхмерных клеток многообразия М по универсальному накрытию (выбирается по одному прообразу для каждой клетки). Характеристическая коцепь £р € С2(Р; Ъ[тт1{Р)}) характеризует многообразие Р, и индуцированное отображение двумерных цепей /* : С2{М\Ъ[тх\{М)]) —> Сг(Р; ^[^(Р)]) характеризует отображение /. Степень отображения / находится по формуле ([4})г

(^ё / = £р(Л(ад*))(то(1 ЫР)|).

Следует отметить, что все три объекта, входящие в формулу, могут быть вычислены не единственным способом.

В параграфе 1.2 описываются (в основном, следуя [4]) алгоритмы вычисления граничного цикла, индуцированного отображения двумерных цепей, а также вычисляются граничные циклы для многообразий Зейферта типа М(52; (*, *); (*, *); (*, *)) и типа М(Т2; (*, *)). Выражения для граничных циклов строятся в терминах геометрических копредставлений фундаментальных групп.

Определение. Копредставление7Г1(М) =< а\,.., ап|Й1,.., И,п > — называется геометрическим, если существует представление многообразия М в виде клеточного комплекса со следующими условиями.

1. Задано биективное соответствие между образующими а1(.., ап и рёбрами многообразия М.

2. Задано биективное соответствие между соотношениями Яь.., Ят и двумерными клетками многообразия М.

3. На граничной кривой каждой двумерной клетки задана такая базисная точка, что, если начать в ней обход кривой, то последовательность рёбер (с учётом направления прохода) будет совпадать с последовательностью образующих в соответствующем соотношении.

Для фундаментальных групп многообразий Зейферта используются следующие геометрические копредставления:

тг1[М(32-,(а1,&),1 = 1,2,3)] (аи а2,а3,ЦП3,1 < 3 < 7),

где Й2г-1 = Д2г = «>а„/з,(М)> I — 1,2,3, Д7 = а1а2а3,

и

тг![М(Т2; (а,/?))] 1 < 3 < 5),

где = а£-1а-1£, Яг = з(<М), -Кз = Ы~1Ьгх1, Л4 = /?5 = аки"1 к~1и. Слово гиа>/з(а,£) вычисляется по правилу:

«>1,о(М) = а;гу0,±1(М) ~ша+13,р(а,Ь) = у)аф(а,аЛ,)\

В теоремах 1.3 и 1.4 приводятся следующие выражения для граничных циклов многообразий с базой сфера и базой тор соответственно.

Если М = М(52; (о*,/3,),г = 1,2,3), то

з

1=1

где целые числа х, и уг таковы, что а1у1 — /Згхг = —1, г = 1,2,3. Если М = М(Т2; (а,/3)), то

= (1 - аг^)Д2 + (а - и-1)Дз + (и-1 - «-1/г)Д4 - (1 - *-1)Дб,

где целые числа Х{ и уг таковы, что ау — (Зх = — 1.

В параграфе 1.3 доказывается периодичность степеней отображений многообразий Зейферта в виде следующих теорем. Обозначим через Б{М,Р) множество степеней всех непрерывных отображений из многообразия М в многообразие Р.

Теорема 1.5 Пусть Р — замкнутое связное ориентированное многообразие, причём |7Г1(Р)| = п. Пусть многообразия Зейферта

М = М(Я2; (аь А); («2,(а3> #,)) и

М' = М(52; К,/31); (а'2, (а'3, /З'3)) таковы, что а[ = аг(шоА Т),

= /3,(тос1 Т), г — 1,2,3. Здесь Т = пп', а п' — наименьшее общее кратное порядков всех элементов группы (Р). Тогда £)(М', Р) — И{М, Р).

Теорема 1.6 Пусть Р — замкнутое связное ориентируемое многообразие, причём |7Г1(Р)| — п. Пусть

— многообразия Зейферта. Здесь Т = пп', п' — наименьшее общее кратное порядков всех элементов группы 7Г1(Р), к,1 € Z. Тогда £>(М',Р) = Б(М,Р).

Основная трудность вычисления степени отображения по используемому нами алгоритму заключается в вычислении индуцированного отображения двумерных цепей.

Пусть < а1,...о,|Д1,...ЛР > и < Ьх,...Ь5\Q\i-Qt > — геометрические представления фундаментальных групп -К\{М) и К\{Р) соответственно. Предположим, что гомоморфизм /» : (М) —> 7Г1 (Р) задан набором слов в образующих Ь3, представляющих элементы /*(аг) группы 7Г1(Р), 1 < г < г. Пусть Я - одно из соотношений Чтобы вычислить образ ¡«{К) е С2(Р, 2[7Г1(Р)]) соответствующей 2-клетки, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Заменим в Д каждое аг на /гг и а"1 на Н^1. Получим некоторое слово IV в образующих bj, представляющее нейтральный элемент.

2. Представим ы в виде ги = П^кф**^1, где ек = ±1, Ьк — слова в свободной группе, порождённой образующими Ь3.

3. /*(Я) получим в виде "логарифма"

М = М(Т2; (а,/?))

и

М' — М(Т2; (а 4- кТ, /3 + 1Т))

к

где йк — образ слова Ьк в группе 7Г1(Р).

Другими словами, задача вычисления индуцированного отображения двумерных цепей сводится к задаче разложения слова в образующих группы (представляющего нейтральный элемент) в произведение сопряжённых соотношений группы. Отметим, что выбор слов в первом пункте этой процедуры произволен. Именно на удобном выборе этих слов основаны доказательства почти всех основных результатов настоящей работы, в том числе и теорем периодичности.

В главе 2 решается проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта, а именно доказывается минимальность для всех многообразий из четырёх проблемных серий (11, (12, (13 и (14.

В параграфе 2.1 приводятся необходимые сведения о гомологической сфере Пуанкаре в^/Р^о с* М(52; (2, -1); (3,1); (5,1)), в том числе, строится (следуя [4]) эффективный алгоритм вычисления индуцированного отображения двумерных цепей для отображений на Б3/Р\2о-

В параграфе 2.2 кратко описывается компьютерный эксперимент, на результаты которого частично опираются некоторые из теорем, утверждающих минимальность многообразий.

В параграфе 2.3 доказывается одна вспомогательная лемма о свойствах характеристической коцепи и вводится понятие аналогичного отображения, широко использующееся в доказательствах последующих теорем.

Определение. Пусть фундаментальные группы многообразий М\ и Мч имеют фиксированные копредставления с одинаковым числом образующих: 1Г\(М\) = {хх,х2,. ■ ■, ^¡Дь .??2> • • ■), {М?) = (а^, х'2,..., х'к 1<21, <3г, • • •) • (Наборы образующих упорядочены.) Будем говорить, что отображения /1 : М\ —> Р и /2 : —* Р в некоторое многообразие Р аналогичны, если (/1)*(^г) — (/г)*(^) для всех г = 1,..., к.

В доказательствах последующих теорем широко используется • тот факт, что отображение степени 1 индуцирует сюръективный гомоморфизм фундаментальной группы.

В параграфе 2.4 доказывается минимальность всех многообразий серии (11, то есть, многообразий типа М(Т2; (а, ±1)),

где а делится на 3, 4 или 5. Логика доказательства такова: сначала мы доказываем (лемма 2.2), что для любого отображения (индуцирующего сюръекцию фундаментальной группы) такого многообразия на гомологическую сферу Пуанкаре существует аналогичное отображение многообразия М(Т2; (п, ±1)), где п — 1,2,3,4,5,6 или 10. Затем доказывается лемма 2.3 о том, что степени аналогичных отображений отличаются на число, не взаимно простое с числом 120. Далее, опираясь на компьютерный эксперимент, мы показываем, что степени всех отображений многообразий М(Т2; (п, ±1)), где п — 1,2,3,4,5,6 или 10, также не взаимно просты с числом 120 (предложения 2.1 и 2.2). И, наконец, опираясь на лемму 2.3 и предложения 2.1 и 2.2, мы доказываем, что степени всех отображений многообразий серии (11 на гомологическую сферу Пуанкаре не взаимно просты с числом 120, а следовательно, отображения степени 1 отсутствуют (теорема 2.1).

В параграфе 2.5 доказывается минимальность всех многообразий серии <32 (все они имеют вид: М(52; (2каг, Д), г = 1,2,3), где 3|а2, 5|аз). Теорема 2.2 утверждает, что все отображения таких многообразий на гомологическую сферу Пуанкаре имеют чётные степени, следовательно, все многообразия серии (11 являются минимальными.

Параграф 2.6 посвящён доказательству минимальности всех многообразий серии (13 (все они имеют вид: М(52; (2а,,/%),г = 1,2,3), где 3|с*2, 5\аз и все аг — нечётны).

Сначала доказывается лемма 2.3: Пусть М — многообразие Зейферта с базой 52 и с тремя особыми слоями ((2«!,/?!); (2а2,/32); (2а3,/33)), где 3|а2, 5|а3 и все аг нечётны. Тогда для каждого отображения / : М —> Б^/Р^о верно по крайней мере одно из утверждений:

1. степень deg / чётна

2. гомоморфизм /* : тгу{М) —> Р120 переводит образующие 01, а.2, аз фундаментальной группы, соответствующие особым слоям, в элементы порядка 4 группы Рхго-

Для второго случая доказывается теорема 2.4:

Пусть М = М(52; (2р1,р1), (6р2,р2), (Юр3,в3)) (все рг нечётны), и отображение / : М —► Б^/Р^о таково, что элементы ег = /*(а,), г = 1,2,3 имеют порядок 4 в группе Р^о- Тогда аеё / = - е?1)1о8(е})) + _ е^)1оё(е|)) +

-Р-32+ДЧ((1 - е|3)1оя(е|)) + п(тос1 120), где п — некоторая константа (вообще говоря, зависящая от е2 и ез, но не зависящая от параметров многообразия М).

Далее, с помощью конечного перебора, доказывается, что первые три слагаемых формулы всегда делятся на 30, а число п делится на 15 для любых еь е2 и ез (предложения 2.3 и 2.5). Таким образом, степень любого отображения многообразия серии (13 На гомологическую сферу Пуанкаре либо чётна, либо делится на 15, и, следовательно, отображений степени 1 быть не может.

В параграфе 2.7 доказывается минимальность всех многообразий серии с!4. Все они являются гомологическими сферами вида: М(52; (2р1,/31), (Зр2) /32), (5р3, /?з)), где Р1Р2Р3 ф ±1, ±49(то<1 120).

Следуя работе [4], где рассматривался этот случай, мы сводим рассмотрение всех отображений таких многообразий к рассмотрению только некоторых "стандартный" отображений. Если степень такого отображения равна п, то степени всех возможных отображений сравнимы с ±п или ±49п по модулю 120. Мы выводим явную формулу (для случая, когда р\ — нечётно) для степени стандартного отображения (теорема 2.6). Оказывается, что для всех многообразий серии с14 она принимает вид: <1е§ / = р1р2Рз(гсю<1 120) (теорема 2.7). Это означает, что степень отображения многообразия серии (14 с нечётным параметром р\ на гомологическую сферу Пуанкаре не может равняться 1 из-за условия на произведение Р1Р2РЗ- Для случая, когда р\ — четно, мы доказываем чётность всех степеней отображений на гомологическую сферу Пуанкаре (теорема 2.8).

В параграфе 2.8, в соответствии с результатами [3] и теоремами, доказанными в параграфах 2.4-2.7, приводится полный список минимальных многообразий Зейферта.

Список литературы

[1] Gromov М. Volume and bounded cohomology. // Publ. Math. Institute des Hautes Etudes Scientifique. V. 56 (1983). P. 5-99.

[2] Browder W. Surgery on simply-connected manifolds. // Berlin-Heidelberg-New-York, Springer, 1972.

[3] Hayat-Legrand C., Wang S., Zieschang H. Minimal Seifert manifolds. // Math. Ann. 1997. V. 308. No. 4. P. 673-700.

[4] Hayat-Legrand C., Matveev S., Zieschang H. Computer calculation of the degree of maps into the Poincare homology sphere. // Experimental Mathematics, 10(2001), No. 4, P. 497508.

[5] Wang S. The existence of maps of non-zero degree between aspherical 3-manifolds. // Math. Z. V. 208 (1991). P. 147-160.

Работы автора по теме диссертации

[6] Матвеев С.В., Перфильев А.А. Периодичность степеней отображений между многообразиями Зейферта. // Доклады Академии Наук, 2004, т. 395, № 4, с. 449-451.

[7] Perfilyev A. Map degrees of Seifert manifolds. // Abstracts of International Conference "Geometric Topology, Discrete Geometry .and Set Theory", Moscow, 24-28, August 2004, p. 17.

[8] Перфильев А.А. Отображения степени 1 зейфертовых многообразий на гомологическую сферу Пуанкаре. // Фундаментальная и прикладная математика, 2005, т. 11, Ns4, с. 173-183.

[9] Perfilyev A. Minimal Seifert Manifolds. // Сибирские Электронные Математические Известия, 2005, т. 2, с. 206-207.

[10] Перфильев А.А. Решение проблемы перечисления минимальных многообразий Зейферта. // Сибирский Математический Журнал, т. 48 (2007), № 1, стр. 156-175.

Введение

0.1 Основные определения и обзор литературы

0.1.1 Многообразия Зейферга.

0.1.2 Степень отображения.

0.1.3 Проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта

0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы

1 Периодические свойства степеней отображений многообразий Зейферта

1.1 Формула для вычисления степеней отображений 20 1.1.1 Модульная структура на группах цепей накрывающего пространства

1 1.2 Определения некоторых понятий . . 1.1.3 Вычисление степени отображения . 1 2 Алгоритм вычисления степеней отображений 1.2 1 Вычисление граничного цикла . 1.2.2 Граничный цикл многообразия Зейферт 28 12 3 Вычисление индуцированного отображения двумерных цепей

12 4 Двойственные образующие фундаментальной группы

12 5 Вычисление характеристической коцепи

1.3 Периодичность степеней оюбражений многообразий Зейферта

2 Решение проблемы перечисления минимальных многообразий Зейферта

2.1 Гомологическая сфера Пуанкаре . . 45 2.1.1 Фундаментальная группа

2.1 2 Характеристическая коцепь для 53/Р

213 Операция ло1арифмирования для 53/Р12о

2.1.4 Степени отображений 53/Р]2о на себя

2 2 Компьютерный эксперимент.

2.3 Вспомогательные утверждения и определения

2.4 Минимальность многообразий серии с!

2.5 Минимальносгь многообразий серии с

2.6 Минимальность многообразий серии <г!

2.7 Минимальность многообразий серии с!

2.8 Список минимальных многообразий Зейферт

0.1 Основные определения и обзор литературы

0.1.1 Многообразия Зейферта

Напомним, что п-мерным многообразием в тоиологии называется топологическое пространство, каждая ючка которого имеет окрестность, гомеоморфную п-мерному диску или п-мерному полудиску Множество точек, не имеющих окрестности, гомеоморфной п-мерному диску, называется краем В настоящей работе мы будем рассматривать только замкнутые (компактные, без края), связные, ориентируемые, триангулируемые трёхмерные многообразия Кроме того, большинство рассматриваемых нами многообразий будут многообразиями Зейферха, поэтому остановимся подробно на этом понятии.

Прежде чем определить многообразие Зейферта, определим понятие "расслоенное полногорие". Рассмотрим круглый прямоугольный цилиндр Б2 х I, разбитый на отрезки вида {*} х I. Склеим основания цилиндра по повороту на угол где а и (3 — пара целых взаимно просшх чисел, а > 1. В результате такой склейки, вертикальные отрезки склеятся в замкнутые кривые, и мы получим полноторие, разбитое на слои, гомеоморфные окружностям, или расслоенное полноторие с параметрами (а, ¡3) Расслоенное полногорие с параметрами (1, 0) называется тривиально расслоенным.

Определение. Многообразием Зейферта называется компактное ориентируемое 1рсхмерное многообразие, разбитое на слои (юмсоморфные окружностям) так. чю каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно юмеоморф-ную расслоенному иолноторию Фактор-иространсгво многообразия Зейферта по слою (то есть, но такому отношению эквивалентности, когда 010ждес1вляю1ся все точки каждого слоя) называется базой многообразия Зейфергпа Слой, окрес!-носчь коюрого послойно гомеоморфна тривиально расслоенному иолноторию (полноторию О2 х 51, разбитому на слои вида {*} х 51), называется неособым или регулярным

Конструктивное определение мно1 ообразия Зейферта (аг, Д), г = 1,., п), где ^ — замкнутая ориентируемая (и ориентированная) поверхность, и (аг,Д) — пары взаимно простых чисел, можно дать следующим образом. Удалим из поверхности Р внутренности п непересекающихся дисков (полученную поверхнос1ь назовём Р') Многообразие Р' х 51 имеет на краю п торов. Выберем на каждом из них систему координат, параллель - кривая {*} х 51 (ориентация совпадает с ориешацией окружности 51), меридиан — соотвех-ивующая компонеша края поверхности Р' с ориентацией, индуцированной ориентацией поверхности F Приклеим к г-ой (г = 1 , .,гс) компонент края полноторие по такому юмео-морфизму края, чтобы край меридионального диска иолното-рия переходил в кривую (аг, Д) на краевом горе многообразия Т7' х 51 Полученное тким образом замкнутое многообразие и ес!ь многообразие Зейферта М(Р; (аг, Д), г = 1,. ,п) Осевые окружности вклеенных полноторий называются особыми слоями, а числа (а^Д) параметрами особых слоев

Следующие операции с особыми слоями замкнутого многообразия Зейферта не меняют мноюобразия (см например [1] или [3])'

1 перестановка особых слоев,

2. смены знаков вторых параметров всех особых слоев;

3. добавление или удаление особого слоя с параметрами (1,0);

4 замена пары особых слоев с парамехрами (аг, Д), {а3,Р3) (г ф з) на пару (аг„ Д + а,), (а,, Д - агД

Более подробную информацию о многообразиях Зейфер-та можно най'ш, например, в [1] или в [3].

0.1.2 Степень отображения

На языке теории гомологий понятие степени отображения формулируется следующим образом (см., например, [2]). Пусть М и Р — замкнутые связные ориентированные п-мерные многообразия. Тогда любое отображение / : М —у Р индуцирует гомоморфизм групп гомологий <р : Нп(М) —> Нп(Р). Так как Нп(М) = Нп(Р) = Ъ, то гомоморфизм (р есть умножение на целое число.

Определение. Степенью отображения / называется целое число с^ / = <р( 1)

Там же доказаны следующие свойства степени отображения:

1. Степень являе1ся гомотопическим инвариантом отображения, т. е степени гомоюпных отображений равны.

2. Степень обладает мультипликативным свойством: степень суперпозиции отображений равна произведению их степеней.

3 Степень тождественного отображения многообразия на себя всегда равна 1.

4. Степень несюрьективного см обряжения равна О

Степень как гомоюпический инвариант отображения используется для решения мно1 их различных задач топологии и теоретической физики (см , например, [16, 17]). Пожалуй, самая извесшая из них — интегрирование дифференциальных форм но мноюобразиям Извесша следующая формула (см , например, [29]). если МиР - замкну ше, связные, гладкие, ориешированные п-мерные многообразия, ги - дифференциальная форма, заданная на М. и / гладкое оюбражение из М в Р. то

Среди других (относительно новых) областей применения поня1ия степени отображения следует 01 метить оригинальный способ нахождения числа общих каса1ельных к двум кривым на плоскости как степени оюбражения между некоюры-ми двумерными горами, предложенный М. Поляком (пока не опубликовано)

С 1997 года в зарубежной и 01ечественн0й литературе исследуется 01 ношение часгичною порядка на множес!ве замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, определяющееся существованием отображения степени один

В рабо1е [19]К Хайат-Ле1 ран, Ш Вонг и X. Цишанг рассматривают следующее отношение ¿-доминирования на множестве замкнутых ориентируемых фехмерных многообразий

Определение. Пусть М и Р — два замкну I ых ориентируемых трехмерных многообразия. Будем говорив, чю мною-образие М д-доминирует многообразие Р, если существует оюбражение С1епени (1 из М в Р

Отношение 1-доминирования (или просто доминирования) обычно обозначаемся знаком > В рабою [19] оно называется 01 ношением мастичного порядка Это верно, если под "равенством" многообразий понимать их гомотопическую эквивалентность.

Пример 0.1. Пусть М и Р — гомотопически эквивалентные линзовые пространства Ь-?д и Ь-¡^ соответственно. Тогда М > Р и Р > М (Линзовые пространства Ь-¡^ и Ьч^ гомотопически эквивалентны.)

Замечание 0 1. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие М допускает отображение степени 1 на себя и на сферу 53; то есть, М > М и М > 53.

Определение. ([19]) Многообразие М называется минимальным многообразием, если оно допускает отображения степени один только на многообразия, гомеоморфные М или 53.

Известно множество результатов, касающихся отношения доминирования Перечислим основные из них.

• Каждое отображение степени 1 гомотопно некоторому "выщипыванию" (англ. "ртсЬ") [4, 5, 22].

Определение. Пусть М — трёхмерное многообразие, и тор Т2 С М разбивает его на два подмногообразия М\ и М2 Пусть ц С Т2 — простая замкнутая нетривиальная в Т2 кривая, ограничивающая двустороннюю поверхность F в многообразии М2: FП9M2 = Пусть многообразие Р получено из многообразия М\ приклеиванием полнотория V по тору Т2 так, что кривая ^ становится меридианом полно юрия V. Пусть отображение / : М -» Р обладает следующими свойствами

1. ограничениеявляется тождественным отображением;

2 / отображает поверхность F в меридиональный диск D С V, ограниченный кривой ц, и отображает регулярную окрестность iV(F) С Мг в регулярную окрестное гь N(D) с К,

3 / отображает М2 \ JV(F) в V \ N(B).

Тогда оюбражение / называется выщипыванием (¡mich).

Метод выщипываний использовался в pa6oie Й. Ронга [24] для поиска оюбражений степени один между мноюобра-зиями Зейфер1а ("мешд Ронга").

• Теорема жесткосш Громова-Торс юна для 1иперболиче-ских многообразий

Теорема 0.1. [6J Отображение степени один между гиперболическими трёхмерными многообразиями одного и того же гиперболического объема гомотопно изометрии

Эта 1еорема получила некоюрое усиление и обобщение на случай многообразий Хакена в работах Т. Сомы

Теорема 0.2. [12, Щ

1) Пусть / : М —> Р - отображение степени один между двумя замкнутыми гиперболическими трехмерными многообразиями, причем гиперболический об?>ем Vol(M) < V, V > 0 Тогда существует такая константа с = c(V), что из неравенства (1—c)Vol(M) < Vol(P) следует, что f гомотопно изометрии.

2)Пусть f : AI -4 Р — отображение степени d между двумя такими многообразиями Хакена, что \\М\\ = d||P||. тогда f гомотопно некоторому отображению, переводящему Н(М) в Н(Р) накрытием Здесь ||*|| — норма Громова, а #(*) — гипербо гичсская часть многообразия в J S J-разбиении

• Известно несколько результатов, касающихся связи отношения доминирования и других мер сложности трёхмерных многообразий

1) Если М > Р, группы гомологий многообразия Р являются прямыми слагаемыми соответствующих групп гомологий мноюобразия М ([10]). Кроме -юго, отображение степени один индуцирует сюръективные гомоморфизмы фундаментальной группы и групп гомологий

2) Если М > Р, то ||М|| > ||Р||, где ||*|| - норма Громова

9]).

3) Если М > Р, то N(14) > И{Р), где И{*) - число различных попарно непараллельных несжимаемых поверхностей в многообразии ([26]).

• Несколько важных недавних результатов посвящены исследованию свойств отношения доминирования.

Теорема 0.3. [25, 20, 131 Любое замкнутое ориентируемое многообразие доминирует конечное число геометрических многообразий.

Теорема 0.4. [23, Ц[ Для любого трёхмерного многообразия М существует такое натуральное число Им, что если М = Мо М\ —у . М^ есть последовательность отображений степени один, к > Им, и каждое Мг (г = 1,.,к) допускает геометрическую декомпозицию, то последовательность содержит гомотопическую эквивалентность.

Кроме того, в работе [19] широко исследованы степени отображений мноюобразий Зейферта и для многих случаев определено существование или несуществование отображения степени один Некоторые из нерешённых случаев рассмотрены в работе [21]; там же построен алгоритм вычисления С1епени отображения, базирующийся на исследовании индуцированного оюбражения двумерных цепей, и проведён компьютерный эксперимент но вычислению степеней отображений некоторых мноюобра-зий Зейферта.

• Несколько резулыаюв, полезных для настоящей работы, касаются перечисления возможных степеней отображений на себя мноюобразий Зейферта с конечными фун-дамешальными фупнами.

Теорема 0.5. ¡28] Пусть М — многообразие Зейферта с конечной фундаментальной группой порядка N. Мно-эюеетво возможных степеней огпобраоюений многообразия N на себя, индуцирующих автоморфизмы фундаментальной группы, имеет вид: {к2-\-тМ| gcci(Л:, /V) = 1, т £ 2}.

Теорема 0.6. [11] Существует отображение / : М М степени 49, индуцирующее автоморфизм группы 7Г1 (М), где М ~ 53/А20 — гомологическая сфера Пуанкаре.

0.1.3 Проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта

Определение. ([19]) М1101 ообразие Зейферта называем минимальным многообразием Зейферта, если не допускае! отображений С1епеии один пи на какие дру1ие мноюобразия Зей-фер!а, кроме себя и трехмерной сферы

Там же, в работе [19]. указано, чю если верна I ипотеза Пуанкаре, и все свободные дейавия конечных групп на сфере 53 сопряжены с изомехриями. ю все минимальные многообразия Зейферт являются ¡акже минимальными многообразиями (в смысле определения 0 1 2)

Проблема, которой посвящена данная работа — перечисление минимальных многообразий Зейферта — была впервые поставлена в 1997 году К. Хайат-Легран, Ш. Вонгом и X. Ци-шангом В статье [19] ими было перечислено множество многообразий Зейферта, среди которых содержатся все минимальные, причем для всех многообразий из этого множества, кроме перечисленных в следующей теореме, была доказана минимальность Открытой осталась проблема минимальности этих многообразий.

Теорема 0.7. (Науа1-Ьедтапс1,\¥апд, ЕгеясНапд, 1997, [19]) Многообразия следующих четырёх серий не допускают отобра-оюений степени 1 ни на какие другие многообразия Зейферта, кроме себя, 53 и, возможно, гомологической сферы Пуанкаре

11) многообразия Зейферта М(Т2; (а, ±1)), где а делится на 3, 4 или 5.

2) многообразия Зейферта

М(52;(2Ч;А);(2^2;/52);(2Ч;/?з)), гдек> 1, всеаг нечётны, а^А + ос\аф2 + £*2<*зА — =Ы; и есть пара г^ (1 < г ф ] < 3), что 3|аг, Ъ\а3. с13) многообразия Зейферта М(Б2-, (2а\; А); (2а25 А); (2с*з; А)) с теми же ограничениями, что в (¿2) и следующим условием■ если п > 1 — делитель числа 2аг, то уравнение 2х2(а1а2аз) = ±1 (тоЛ 4п) не имеет решений в целыв числах. (сЦ) Гомологические сферы М(52; (2а\\А); (Заг; А); (5аз! А))> где а^аз ф (той 120) и 49а1а2а;з Ф ±1 (той 120).

Позже, в работе [21] К Хайат-Легран, С. Матвеев и X. Ци-шанг исследовали один из четырёх проблемных случаев (а именно, (14) при помощи компьютерного эксперимента, основанного на той же технике вычисления степеней отображений, чю будет использована и в настоящей рабо1е, замегили (хотя и не доказали) периодическую зависимость между napaMPi-рами особых слоев многообразий серии d4 и множес1вом возможных сгепеней их отображений на tomojioi ическую сферу Пуанкаре Выла даже iiociроена эмпирическая формула степени некоторого "стндартного" оюбражения произвольною многообразия серии d4 на S3/Pm В настоящей pa6oie будет доказана данная периодичность для более общего случая, а также рассмофены все четыре проблемные серии многообразий Зейфер1а и дан положи 1ельный ответ на вопрос.

Проблема. Являююя ли многообразия серий di, d2, d3 и d4 минимальными мноюобразиями Зейферта7

0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы

1. Orlik P. Seifert manifolds, Lecture Notes in Mathematics, 291. // Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972.

2. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. // РХД, Москва-Ижевск, 2001.

3. Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трёхмерной топологии. // Издательство Московского университета, М.: 1991.

4. Haken W. On homotopy 3-spheres // Illinois J. Math. V. 10 (1966), P. 369-383.

5. Waldhausen F. On mappings of handlebodies and Heegaard splittings. // Topology of Manifolds (ed. J.C.Cantrell, C.W. Edwards) Conf. Athens, GA, 1969, 201-211. Chicago, Markham Publishing Company, 1970.

6. Thurston W. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. // Bull. AMS 6 (1982), P. 357-388.

7. Olum P. On mappings into spaces in wich certain homotopy groups vanish. // Ann. of Math V. 57 (1953), P. 561-574.

8. Olum P. Mappings of manifolds and the notion of degree // Ann of Math. V. 58 (1953), P 458-480.

9. Grornov M. Volume and bounded cohomology. // Publ. Math Institute des Hautes Etudes Scientifique. V. 56 (1983) P 599Биб.ШО! ¡ыфия72

10. Browder W. Surgery on simply-connected manifolds. // Berlin-Heidelberg-New-York, Springer, 1972.

11. Plotnick S. Homotopy equivalences and fiee modules. // Topology V. 21.1 (1982) P 91-99.

12. Soma T. A rigidity theorem for Haken manifolds.// Math. Proc. Camb. Phil. Soc V. 118 (1995), P. 141-160

13. Soma T Non-zeio degree maps onto hyperbolic 3-manifolds // J. Di Geom. 3-manifolds , V. 49 (1998), P. 517-546

14. Soma T Sequence of degree-one maps between geometric 3-manifolds // Math. Arm. V. 49 (2000), P. 733-742.

15. Soma T Degree one maps between hyperbolic 3-manifolds with the same lirnrt. // Trans AMS 353 (2001), P. 27-53

16. Shastri A., Williams J.G., Zverujrowski P. Kinks in general relativity //Internat J. Theor. Phys , V 19 (1980), pp 1-23

17. Shastri A., Zvengrowsb P Type of 3-marrifolds and additron of relativistic kinks // Reviews in Math Phys., V. 3 (1991), pp 467-478.

18. Матвеев С В. Algorithmic Topology and the Classification of 3-Mamfolds. // Springer, Berhn-Heidelbeig-NewYork, 2003

19. Hayat-Legrand C., Wang S., Zieschang H. Minimal Seifert manifolds. // Math Ann 1997. V 308 No. 4 P. 673-700

20. Haijat-Legrand C., Wang S. Zieschang H Any 3-manifolds 1-dorninates only finitely many 3-marnfolds suppoiting S3 geometry ' Pioc. AMS V 130 (2002) P 3117-3123.

21. Hayat-L((jrand С. Maticeu S. Zieschang H Computet calculation of the degiee of maps into the Poincaie homologysphere. // Experimental Mathematics, 10(2001), No. 4, P 497-508.

22. Rong Y. Wang S The preimages of submanifolds. // Math. Proc. Cambridge Phil Soc V. 112, P. 271-279 (1992)

23. Rong Y Degree one maps between geometric 3-manifolds. // Trans. AMS (1992)

24. Rong Y. Maps between Seifert fibered spaces of infinite щ 11 Pacific J. Math V. 160 (1993). P. 143-154 (1992)

25. Wang S., Zhou Q. Any 3-manifold 1-dominates at mos finitely many geometric 3-manifolds. // Math. Ann. 2002. V. 322. P. 525-535.

26. Wang S The existence of maps of non-zero degree between aspherical 3-manifolds // Math. Z. V. 208 (1991). P. 147-160.

27. Wang S. Non-zero Degree Maps Between Seifert Manifolds. 11 ICM 2002. V.3. 1-3.

28. Hayat-Legrand C., Kudryavtseva E., Wang S., Zieschang H. Degrees of self-mappings of Seifert manifolds with finite fundamental groups. // Rendiconti Istit. Mat. Univ. Trieste Supp., Vol. 32 (2001) P. 131-147.

29. Гусейн-Заде С. M. Диффернцальная геометрия. Лекции для студентов третьего курса // М. МЦНМО, 2001.

30. Boileau М., Wang S. Degree one maps between small 3-manifolds and Heegaard genus // Algebraic and Geometric Topology, 2005, V 5, 1433-1450Работы автора по теме диссертации

31. Матвеев С.В., Перфильев А А. Периодичность степеней отображений между многообразиями Зейфер:а // Доклады Академии Наук, 2004, т. 395, X» 4, с 449-451

32. Perfihjev A. Map degrees of Seifeit manifolds // Abstracts of International Conference "Geoinetnc Topology, Discrete Geometry and Set Theory", Moscow, 24-28, August 2004, p 17

33. Перфильев А.А. Соображения степени 1 зейфертовых многообразий на гомологическую сферу Пуанкаре. // Фундамен1альпая и прикладная математика, 2005, т. 11, т, с 173-183

34. Perfilyev A. Minimal Seifert Manifolds. // Сибирские Электронные Математические Известия, 2005, т 2, с. 206-207.

35. Перфильев А А. Решение проблемы перечисления минимальных многообразий Зейферта // Сибирский Магматический Журнал, т 48 (2007), №1, пр. 156-175.