Многокритериальный подход к определению параметров подземных гидродинамических процессов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Юлмухаметов Дмитрий Ринадович

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ ПОДЗЕМНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2006

Работа выполнена в лаборатории математической химии Института нефтехимии и катализа Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Спивак Семен Израилевич.

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Хасанов Марс Магнавиевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Урманчеев Сайд Федорович, доктор технических наук Рамазанов Айрат Шайхуллинович,

Ведущая организация:

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Защита состоится « декабря 2006 г. в часов на заседании

Диссертационного Совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, Уфа, ул. Фрунзе, д. 32, в аудитории 216 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан у?ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета /у^У д.т.н., профессор

---Ковалева Л.А.

Общая характеристика диссертации Актуальность темы исследования.

При решении задач математического моделирования геологии и разработки месторождений нефти и газа решающее значение имеет корректная интерпретация измерений. параметров подземных гидродинамических процессов. В то же время, задачи математической интерпретации измерений относятся к классу обратных задач, которые, как правило, некорректно поставлены. Решение некорректно поставленных задач — активно развиваемая область при интерпретации измерений самого разного типа. Начиная со знаменитых работ академика А.Н.Тйхонова и В.А.Морозова, интенсивно публикуются исследования по решению обратных задач, направленные на устранение причин, вызывающих некорректность. В тесно связанной с этой темой дисциплине системного анализа работали такие авторы как Н.Н.Моисеев, В.Д.Ногин, В.В.Подиновский. В связи с теорией нечетких множеств, призванной справиться с природными неопределенностями, возникающими во многих естественнонаучных задачах и задачах управления, в первую очередь следует отметить имена Л.А.Заде и А.И.Орлова. В области же некорректно поставленных задач геологии и разработки месторождений нефти и газа ключевую роль играют работы А.Х.Мирзаджанзаде, М.М. Хасанова, Р.Н.Бахтизина.

Один из путей регуляризации решаемых задач — привлечение разнотипных независимых измерений. Такая постановка приводит к многокритериальности и неопределенности целей. Минимизация нескольких критериев соответствия приводит к получению нескольких взаимно-противоречивых решений. Возникает задача — выбор такой области в пространстве определяемых параметров, которая каким-то образом приводит во взаимное соответствие определенные по разным критериям значения параметров.

В настоящей работе такая задача решается при определении параметров подземных гидродинамических процессов. В качестве исходного

экспериментального материала использованы реальные данные по месторождениям Западной Сибири.

Целью работы является изучение вопросов формализации проблемы максимально точного определения параметров подземных гидродинамических процессов и ее решения как многокритериальной задачи с применением соответствующих методов, а именно:

■ определение проницаемости по данным геофизических исследований скважин с привлечением данных керна и гидродинамических исследований скважин;

■ определение распределения РУТ-свойств пластовой нефти по объему залежи по данным лабораторного анализа глубинных проб и исследований на механизированном фонде скважин методом отжатая динамического уровня;

■ интерпретация гидродинамических исследований скважин по видам КВУ и КПД с привлечением данных нормальной эксплуатации скважин и экспертных оценок параметров.

Работа связана с такими дисциплинами, как системный анализ, методы решения некорректно поставленных и обратных задач, а также математическая обработка результатов эксперимента.

Задачи диссертации.

■ Разработка многокритериального подхода и определение множества неулучшаемых решений при решении обратных задач определения гидродинамических параметров при интерпретации указанных выше типов измерений;

■ Создание методики решения многокритериальных задач;

■ Использование разработанных методов при решении задач конкретного определения параметров подземных гидродинамических процессов.

Научная новизна результатов.

1. Сформулирована и математически строго поставлена многокритериальная задача интерпретации измерений по определению параметров подземных гидродинамических процессов.

2. Создано математическое обеспечение для решения многокритериальных задач определения параметров подземных гидродинамических процессов на основе принципа Парето.

3. На основе разработанных методов решены задачи определения подземных гидродинамических параметров при:

■ определении проницаемости по данным геофизических исследований скважин с привлечением данных керна и гидродинамических исследований;

■ определении распределения РУТ-свойств пластовой нефти по объему залежи по данным лабораторного анализа глубинных проб и исследований на механизированном фонде скважин методом отжатия динамического уровня;

■ интерпретации гидродинамических исследований скважин по видам КВУ и КПД с привлечением данных нормальной эксплуатации скважин и экспертных оценок параметров.

4. Проведен анализ эффекта, достигаемого с помощью многокритериального подхода, с точки зрения гидродинамического моделирования. Определена погрешность метода по сравнению с традиционным подходом.

Практическая значимость результатов. Разработанный подход может стать основой для подготовки данных для построения гидродинамических моделей месторождений нефти и газа с целью минимизации вероятности ошибок при последующей настройке модели. Кроме того, уточненные с помощью многокритериального подхода значения параметров могут применяться во всем спектре аналитических моделей разработки месторождений и производительности скважин. Построенные в работе

методы и алгоритмы внедрены в практику работы и использовались при анализе реальных данных по ряду месторождений Западной Сибири. Опробование метода при построении гидродинамической модели показало сокращение исходной погрешности в 2-2.5 раза. Применение метода в ОАО «Нижневартовское нефтегазодобывающее предприятие» позволило выявить 15 новых скважин-кандидатов на гидроразрыв пласта и обработку призабойной зоны на 2007 год с суммарным планируемым приростом около 250 т/сут.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международном форуме университетов Хериот-Ватт и Стэнфорд по описанию и моделированию резервуара (Heriot-Watt and Stanford University Reservoir Description and Modeling Forum) -Эдинбург, сентябрь 2003 г, на I международной научно-практической конференции «Интенсификация добычи нефти» (Томск, май 2004 г), на 6-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, май 2005 г), на 7-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, май 2006 г), на Н-ой международной научно-практической конференции «Интенсификация добычи нефти» (Томск, сентябрь 2006 г), на Российской технической нефтегазовой конференции и выставке общества инженеров-нефтяников (Москва, октябрь 2006 г).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 4 статьи в центральной печати.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, результатов, выводов. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста, содержит 31 иллюстрацию и список литературы из 60 наименований.

Основные результаты и обсуждение

Комплексный подход к определению параметров

Рассмотрим некий параметр, входящий в уравнение Дюпюи, т.е. характеристику нефтяного пласта, флюида, или заканчивания скважины,

заданный на некотором количестве т объемов наблюдения: х = (Х[, х2,...гХт). Пусть для определения значений этой характеристики существует несколько методов Кь У2,...,У1,. Результаты применения этих методов зависят от набора входных параметров а — (аи а2,...,а„), значения которых должны быть известны априорно. Поскольку различные методы применяются для определения х в различных масштабах (в реальных условиях может варьировать от 10"6 до 10б м3), к набору а отнесем также параметры методов осреднения результатов исследований и переходов от разных масштабов к целевому масштабу величин л:. Таким образом, набор а несет в себе погрешности и неточности всех методов У1.

При использовании метода У, и некотором наборе значений а результатом является характеристика дс,{а). Частично формализованная задача отыскания значений дс комплексным (мультидисциплинарным) способом состоит в отыскании набора а, при котором достигается в некотором смысле оптимальное взаимное соответствие результатов л:,, х2,...^Ск- Иными словами, должно обеспечиваться минимальное расхождение между результатами определения характеристики х всеми доступными методами К„ одновременно с соответствием набора параметров а априорным представлениям.

Неопределенность целей, очевидная из предыдущего абзаца, типична для задач системного анализа. Для решения такой задачи необходимо, в первую очередь, ввести критерии оптимальности. В нашем случае они принимают следующий вид:

где ||*|| - некоторая векторная норма. Такие критерии отражают взаимную согласованность результатов различных видов исследований. Чтобы обеспечить разумность значений параметров а, необходимо ввести еще один критерий вида:

^(а)=/(||«-а*||), (2)

где а* - некоторый набор стандартных значений параметров а^... а„, отклонение от которого нежелательно, а/— функция, приводящая последний критерий в примерно ту же область значений, что и предыдущие, и тем самым обеспечивающая их сравнимость. Набор а* может включать в себя значения, определенные линейной или нелинейной регрессией по одному из видов исследований, конкретно для изучаемого объекта (месторождения), или коэффициенты эмпирических зависимостей и корреляций, заимствованные из более общих работ.

Полностью формализованная задача, решение которой обеспечивает комплексный подход к определению характеристики х, заключается в совместной минимизации критериев ^ относительно а:

Очевидно, в общем случае, единственного решения многокритериальной задачи (3) не существует, поскольку абсолютные минимумы целевых функций не достигаются в одной и той же точке х. Поэтому решение, которое необходимо принять, является компромиссным, сочетающим в себе, вообще говоря, неоптимальные значения целевых функций, но в целом оптимальным в каком-то смысле. Для облегчения отыскания такого решения существует ряд методов, рассматриваемых ниже.

Линейная свертка. Вместо р частных критериев Р/ предлагается рассматривать один комбинированный критерий вида:

где а/ - некоторые неотрицательные числа. Такой критерий представляет собой линейную свертку (комбинацию) частных критериев Г/. Весовые коэффициенты а, выбираются исходя из относительного доверия к априорной информации, стоящей за критериями, и релевантности самих критериев по отношению к решаемой задаче. Их значение представляет собой результат экспертизы о содержании компромиссного решения, которое необходимо

(3)

(4)

принять. Поскольку значимость последнего критерия, как правило, равна общей значимости всех предыдущих, величина а.,, априорно должна быть равна 0.5. Таким образом, многокритериальная задача снова сводится к эквивалентной ей в некотором смысле однокритериальной задаче минимизации комбинированного критерия F, который может быть и нелинейной комбинацией критериев F\,...,FP.

Множество Парето. Решением многокритериальной задачи (3) называется любой набор параметров а. Каждому такому решению соответствуют некоторые значения критериев F\,...,FP. Однако решения, которое минимизировало бы все критерии сразу, как правило, не существует. То есть если какое-то решение минимизирует один из критериев, то остальные критерии этим же решением не минимизируются. Можно, тем не менее, из множества всех решений выделить множество так называемых неулучшаемых (или недоминируемых) решений, или множество Парето. К нему относятся те решения, для которых не существует решения, лучшего по всем критериям сразу (т.е. доминирующего). То есть, множество Парето состоит из таких решений д:*, для которых не выполняется следующее условие:

Эх': (5)

причем хотя бы одно из неравенств - строгое.

Такой подход позволяет сузить область, из которой следует выбирать оптимальное решение задачи. Если анализ заканчивается на построении множества Парето, то выбор окончательного решения должен осуществляться специалистом на основе интуиции и неформальных правил, либо с применением других методов решения многокритериальных задач, но уже на значительно ограниченном множестве возможных решений.

Метод нечетких множеств. Нечетким множеством называется объект, о принадлежности к которому можно судить только с некоторой долей уверенности. Нечеткое множество M определяется своей функцией принадлежности (л, которая присваивает каждой точки и пространства U

значение от 0 до 1. При этом значение //(«), равное нулю, означает, что точка н однозначно не принадлежит множеству А/, а значение 1 позволяет с абсолютной уверенностью говорить, что неМ

Зададим нечеткие множества М, «значение критерия ^ мало», /=!,..., р, соответствующими функциями принадлежности. Обозначим как М пересечение нечетких множеств:

М=ПЛ/,., / = 1 р. (6)

Тогда многокритериальную задачу (3) можно свести к однокритериальной задаче максимизации функции принадлежности ¡л к множеству А/, определенному в пространстве значений критериев и.

В той или иной форме все вышеперечисленные методы были применены на практике, о чем более подробно рассказывается в соответствующих примерах.

Задача определения проницаемости

На месторождении X продуктивными являются три близко расположенных пласта Ь|, Ь2 и Ь3, эксплуатируемые совместным способом и характеризующиеся низкими средними проницаемостями (от 1 до 10 мД). Характер ловушки стратиграфический, подвижная вода в пределах залежи отсутствует, уровень ВНК неизвестен.

В качестве основы для петрофизической зависимости для проницаемости использовалось уравнение Тимура:

ь А(РВ

(7)

где — насыщенность связанной водой, т.е. асимптотическое значение кривой капиллярного давления.

Стандартный подход для определения оптимальных значений эмпирических коэффициентов А, В и С в уравнении (7) подразумевает применение множественной линейной регрессии на основе данных керна с критерием оптимальности в виде:

N

]Г(1о- \о%А-В\о%^ +С1о§5,,то/)2 -> гшп.

(8)

Задача определения коэффициентов А, В и С решается для каждого пласта индивидуально. Суммарные эффективные кИ по скважинам, рассчитанные с помощью зависимостей, определенных таким способом, заметно меньше кИ, полученных с помощью гидродинамических исследований.

Введем в задачу оптимизации коэффициентов А, В, С дополнительный критерий, отражающий близость расчетных кИ к фактическим. Таким образом, приходим к двухкритериальной задаче отыскания оптимальной зависимости вида (7) с критериями следующего вида:

где М — число скважин, для которых есть надежная оценка кИ из ГДИС или данных нормальной эксплуатации. к?ясч вычисляется для каждого образца керна по формуле (7) с заданными А, В, С. АУ/,расч вычисляется из профилей пористости и водонасыщенности тоже по формуле (7) с заданными А, В, С. Функции ^и С представляют собой средние относительные квадратичные отклонения расчетных значений от фактических.

Варьируя значения параметров А, В, С в уравнении (7), получим множество возможных решений задачи определения оптимальной зависимости. Для каждого из этих решений рассчитываются значения критериев Fи О. Однако точки минимума функций и й не совпадают, то есть решение, минимизирующее критерий Р, не доставляет минимум критерию С. Математический анализ здесь позволяет лишь выделить множество таких решений, для которых не существует доминирующего решения, то есть лучшего по обоим критериям. Это множество называется

(9)

множеством неулучшаемых (недоминируемых) решений, или множеством Парето.

Точка, в которой достигается минимум критерия представляет собой решение, которое с наименьшей погрешностью предсказывает проницаемость лабораторного образца керна. Точка, обеспечивающая минимум критерия О, представляет собой решение, которое с наименьшей погрешностью предсказывает суммарное значение кИ по скважине. Все решения между этими точками являются в некотором роде оптимальными. Ясно, что главную роль для гидродинамической модели играет критерий О, позволяющий сократить время, которое будет затрачено на адаптацию к данным нормальной эксплуатации. В то же время нельзя полностью пренебрегать критерием Г, так как он может повлиять на динамику заводнения через неоднородность проницаемости по вертикали. Поэтому в качестве финального решения была выбрана точка, которая по критерию С отличается от минимума лишь в третьем знаке после запятой, в то время как критерий Т7 значительно улучшается.

Полученные результаты значительно облегчают построение гидродинамической модели благодаря их адаптированности к данным нормальной эксплуатации или ГДИС. Таким образом, под вопросом остаются лишь кривые относительных фазовых проницаемостей. Также, очевидно, получаемые при многокритериальном подходе результаты позволяют более точно решать нефтепромысловые задачи, например, оценки потенциалов скважин.

Задача определения РУТ-свойств

Давление на забое скважины является очень важным параметром, однако определить его прямым способом невозможно, если нет датчика давления на приеме ЭЦН (им оборудованы около 5-10% скважин). Существуют несколько видов дополнительных исследований, направленных на определение забойного давления в таких проблемных скважинах; наиболее

дешевым из них является кратковременное отжатие динамического уровня. С помощью него определяется средняя плотность газожидкостной смеси в затрубном пространстве (ргжс), что позволяет рассчитать давление на приеме ЭЦН (р) и забойное давление. Параметр рпкс можно перевести в относительный параметр:

где в знаменателе — плотность дегазированной нефти нефти. При полном отсутствии газа этот параметр равен единице, при подавляющем преобладании газа в смеси — значение приближается к нулю.

Построив кросс-плот р'гжс от р по нескольким отжатиям в нескольких скважинах, можно, с помощью линейной' регрессии, определить среднее давление насыщения по данной группе скважин, как точку пересечения регрессионной прямой с ординатой р'гяас ~ 1- Задача определения давления насыщения по данным отжатия, таким образом, записывается следующим образом — найти Рнас такое, что:

где А'о-ок — количество отжатий, участвующих в регрессии, р', и р, -относительная плотность ГЖС и давление на приеме ЭЦН соответственно. Очевидно, величина Б по определению не может превышать единицу, и не может быть меньше нуля.

Большой разброс значений давления насыщения нефти газом, определенного по данным лабораторного анализа глубинных проб после отбраковки (от 62 до 154 атм), позволяет предположить, что в пределах месторождения состав пластовой нефти неодинаков. Простейший анализ позволяет выявить зависимость давления насыщения от координаты X пластопересечения, т.е. географической широты. Поэтому задача определения

(10)

(П)

РУТ-свойств пластового флюида по месторождению У сводится к определению зависимости вида:

(12)

где Х0 и Л» — отсчетные параметры, соответственно широтная координата и давление насыщения в крайней южной точке месторождения, а В - градиент давления насыщения по широте.

Для удобства решения задачи, имеющиеся отжатая динамических уровней по месторождению У были сгруппированы с юга на север по 9 блокам разработки, характеризующихся некоторым средним значением координаты X: Х\...Х9. Для каждого блока (ряда) построен кросс-плот относительной плотности газожидкостной смеси в затрубном пространстве,/}', от давления на приеме ЭЦН, р. Выбирая различные значения Р0 и В, рассчитываются значения давления насыщения Рнас для координат блоков разработки. Для каждого ряда критерием оптимальности полученного значения Р, нас является функция Р/ вида (3.4), т.е.

->ШШ, (13)

у '*к»нж у=1 ч 'час }

где Л/).отж. — количество отжатий в /-ом блоке разработки.

Аналогичным образом, для лабораторных определений давления насыщения по глубинным пробам можно записать следующий критерий:

Сг(р 1 у^\-Ро-в{х,-х0))

.. ¿^ плаб (т, „(V _ V \\

___?

^аб Ь ^ -СРо +В(Х, ~Х0)) ^ тШ (И)

Таким образом, необходимо решить задачу отыскания зависимости вида (12), наилучшим образом удовлетворяющую "одновременно всем десяти критериям: Си^../?.

Совместная оптимизация десяти целевых функций С7 и Р\...Рд крайне затруднительна. Для упрощения задачи однотипные критерии р1 были объединены с помощью линейной свертки:

^ = >0, =1. (Н)

1=1 ¿=1

Каждый из множителей а, представляет собой меру степени доверия к соответствующему критерию /*), по сравнению с другими критериями группы. Данную меру можно отождествить с мерой представительности выборки скважин, исследованных методом отжатия в каком-либо блоке, относительно трехмерного объема пластовой нефти, приуроченного к этому блоку. После создания комбинированного критерия двухкритериальную задачу

определения давления насыщения нефти газом можно сформулировать следующим образом — необходимо найти параметры зависимости (12) Ро и В такие, что достигается совместная минимизация целевых функций Р и С:

Для решения этой задачи был использован метод Парето, или метод выделения множества неулучшаемых решений, для которых не существует другого решения с меньшими значениями обеих целевых функций. Перебором пар (Р0, В) в разумных пределах с некоторым небольшим шагом (всего около пяти тысяч пар) получен кросс-плот F и С. Множество неулучшаемых решений весьма узкое, и, следовательно, возможна совместная оптимизация по обоим критериям без большого ущерба для каждого из них в отдельности.

На основе полученной зависимости вида (12), и корреляций, сделанных на основе данных лабораторного анализа глубинных проб, для каждого блока месторождения У были рассчитаны средние РУТ-свойства нефти и газа. Использование этих уточненных данных вместо усредненных значений по всему месторождению, имевшихся ранее, повлияло на подбор подземного оборудования, расчет текущих и накопленных компенсаций, а также распределения начальных и остаточных запасов нефти по площади месторождения.

В результате проведенной работы можно считать доказанным существование на месторождении У градиента давления насыщения нефти газом в меридиональном направлении, величиной 2 атм/км. Вероятнее всего,

он некоторым образом связан с наклоном водонефтяного контакта и гидродинамикой подземных вод, хотя данный вопрос, безусловно, требует дополнительного изучения. Наличие градиента подтверждается также данными по PVT-свойствам пластовой нефти залежей, расположенных южнее и севернее месторождения Y, в пределах той же региональной структуры.

Задача интерпретации КВУ

Для получения качественных результатов при интерпретации гидродинамических исследований скважин необходимо, чтобы при проведении КВД замеры давления проводились манометром, спущенным в интервал пласта-коллектора, или недалеко от него, а частично заполненное газом затрубное пространство скважины было отсечено герметичным пакером. Как правило, такие исследования затруднительны, и вместо них проводят КВУ (кривая восстановления уровня). Данный метод определения забойного давления обладает значительно меньшей точностью по сравнению с прямым замером с помощью манометра, поэтому однозначная интерпретация КВУ довольно затруднительна. Регуляризовать эту задачу можно путем использования информации о нормальной эксплуатации скважины в установившемся или псевдоустановившемся режиме фильтрации непосредственно перед остановкой на КВУ. Для удобства будем рассматривать только установившийся режим, который описывается формулой:

г

При обработке результатов КВУ большое значение имеет плотность жидкости в затрубном пространстве, которая используется для расчета забойного давления из глубины статического уровня:

kh Рк-Рзя б

(16)

(17)

10.33

На практике значение р носит предположительный характер — точных методов его определения во время проведения исследования нет. В связи с недоступностью точного значения р предлагается в целях многокритериальной интерпретации КВУ использовать понятия теории нечетких множеств. Считается, что наиболее близко к истинному значению средней плотности р является плотность дегазированной нефти рдег и., которая известна из лабораторных опытов, и варьируется для разных месторождений обычно в пределах 0.8-0.9 г/см3. Максимальным возможным значением плотности р является плотность воды, т.е. 1-1.05 г/см3. Значения р, большие единицы, вряд ли могут быть истинными для данного вида исследований. С другой стороны, теоретически минимальное значение плотности ГЖС в затрубном пространстве - это ноль, однако, практически, в условиях восстановления давления, вряд ли можно ожидать, что свободный газ занимает более половины пространства под статическим уровнем. Поэтому практически минимальное значение р можно принять равным 0.5 от рдег н, а меньшие значения признать невероятными.

Введем нечеткое множество М\ — «правдоподобное значение плотности жидкости или газожидкостной смеси в затрубном пространстве под статическим уровнем», со следующей функцией принадлежности р\{р)\

_ i + ^-А 0.5рдегн < р < рдег н

Р Рдег.н.

7Г1-(«-Л 1 08)

Р пег.»

0, р < 0.5рдег н или р > 1

Такая функция полностью отражает наши представления о тех значениях, которые может принимать параметр р.

Теоретически значение скин-фактора 5 может изменяться в пределах от -In (RK/r) до +00. При этом его приблизительную величину можно оценить, исходя из истории ремонтов и работ на скважине. Для месторождений, с

мх (р) =

которыми работал автор, характерно наличие относительно недавнего гидроразрыва пласта на большей части добывающих скважин, поэтому функция принадлежности к множеству М2 «правдоподобное значение

скин-факгора исследуемой скважины» записана следующим образом:

0, Б <-6 или Б > О 6 + 5, - 5 < 5 < -6

1, -2 <5 <-5 (19) -0.55, -2 < 5 < 0

Как говорилось ранее, плотность жидкости в затрубном пространстве р может принимать различные, более или менее правдоподобные, значения, которые влияют на результаты интерпретации КВУ. В каждом случае мы можем подставить полученные значения к и 5 в уравнение Дюпюи для установившегося притока. Можно записать следующую функцию принадлежности Мз(Рпл) к нечеткому множеству М3 «правдоподобное значение пластового давления»:

о, РПД<Р*

0л{Рпл-Р*\ Р* < Рпл < Р* +10 Р* +10

(20)

Р>Р* +10

Задача интерпретации КВУ с учетом правдоподобности различных входных и выходных параметров, таким образом, сводится к определению такого значения р, которое само по себе правдоподобно, и при этом получаемые после интерпретации и подстановки в формулу Дюпюи значения Рпл и 5 также правдоподобны. Согласно теории нечетких множеств, для этого необходимо ввести еще нечеткое множество М = Л/1ПЛ/2ПЛ/3 - пересечение нечетких множеств М\, М2 и Л/3, соответствующее логической связке «и», т.е. нечеткое множество «правдоподобное значение набора параметров р, Рпд, 5>>. По определению, это нечеткое множество со следующей функцией принадлежности:

Мс (р, Рпп > 5) = (р,-) • Цг (Рпл• М3

(21)

Таким образом, для обеспечения правдоподобной интерпретации КВУ необходимо максимизировать функцию принадлежности рс-

При заданной плотности жидкости в затрубном пространстве р, параметрами линейной регрессии /п1п и Ъ можно варьировать в определенных рамках так, чтобы полученная прямая достаточно хорошо описывала экспериментальную зависимость Р(1п /). Для оценки степени соответствия произвольной прямой экспериментальным данным введем следующую целевую функцию:

Для обеспечения максимального соответствия между расчетными и экспериментальными данными необходимо минимизировать этот критерий.

В окончательном варианте задача принимает следующий двухкритериальный вид: найти такие значения параметров р, т\а и Ь, при которых достигается совместная оптимизация целевой функции Г и функции правдоподобия рс.

Аналогично предыдущим примерам, в решении этой задачи используется множество неулучшаемых решений (множество Парето).

Множество неулучшаемых решений в данном случае занимает верхнюю левую границу области всех решений. Максимальное значение функции правдоподобия — 0.85. Экспертным путем установив минимально допустимое ее значение — 0.75, получаем область правдоподобных решений. Проинтерпретировав КВУ в этой области правдоподобия параметров, получаем диапазон значений проницаемости к, скин-фактора 5, пластового давления Р„л, а также плотности жидкости в затрубном пространстве р.

Разработанный многокритериальный подход к интерпретации данных гидродинамических исследований скважин по типу КВУ позволяет с достаточной степенью уверенности определять среднюю проницаемость и

(22)

скин-фактор по скважинам. При однокритериальном подходе значительная доля КВУ интерпретируется с неправдоподобными результатами, поэтому в промышленности применение этого вида исследований ограничивается оценкой среднего пластового давления в области дренирования. Но получаемое значение пластового давления зависит от использованного значения средней плотности жидкости или газожидкостной смеси в затрубном пространстве, которая несет в себе «природную» неопределенность. Поэтому, по сути, корректная однокритериальная интерпретация КВУ (когда единственным критерием является соответствие регрессионной прямой на графике Р от 1п * фактическим точкам) вообще невозможна.

Гидродинамическое моделирование

Для месторождения У, расположенного в Западной Сибири, были произведено уточнение карты проницаемости пласта, параметров пластового флюида и заканчивания скважин с применением описанных выше подходов. Было построено две гидродинамические модели: одна из них была заполнена стандартными имеющимися параметрами, а другая — уточненными. Различие между моделями заключается в:

■ поле проницаемости — в стандартной модели используются результаты интерпретации геофизических исследований скважин, в уточненной — результаты применения многокритериального подхода, т.е. поле геофизической проницаемости, скорректированной с учетом гидродинамических исследований скважин;

■ РУТ-свойства нефти и газа — в стандартной модели эти свойства одинаковы по всему объему месторождения и взяты как средние значения по лабораторному анализу глубинных проб, а в уточненной модели свойства изменяются по объему, в соответствии с данными отжатая динамических уровней;

■ Скин-факторы скважин с ГРП — в стандартной модели у всех скважин с ГРП одинаковый скин-фактор (-4), в уточненной использованы данные, полученные от многокритериальной интерпретации КВУ.

Был произведен помесячный расчет истории разработки месторождения по двум моделям. Уточненная модель оказалась лучше адаптирована к фактической добыче жидкости. Следует отметить, что в обеих моделях для добывающих скважин использовался контроль по дебиту жидкости, т.е. дебит жидкости являлся жестко заданным входным параметром, а все остальные параметры адаптации - сугубо расчетные. Среднесуточная добыча жидкости по моделям отличается от расчетной в силу того, что если при обеспечении заданного дебита жидкости всегда задается ограничение по минимальному забойному давлению добывающих скважин (в данном случае — ноль атмосфер).

По обводненности уточненная модель практически идеально соответствует факту только в последнюю треть периода эксплуатации месторождения; в средней трети периода соответствие наилучшее у стандартной модели. Но при этом адаптация по среднесуточной добыче нефти однозначно лучше у уточненной модели.

Были также построены кросс-плоты параметров адаптации по скважинам на последний расчетный шаг: накопленная добыча жидкости, накопленная добыча нефти и забойное давление. Во всех случаях уточненная модель дает более адекватные результаты. Относительное среднеквадратичное отклонение от факта по накопленной добыче жидкости составляет для стандартной модели 23.4%, для уточненной — 10.1%. По накопленной добыче нефти аналогичные показатели соответственно: 49.4%, 32.8%.

Таким образом, многокритериальный подход к определению параметров подземных гидродинамических процессов позволил существенно повысить точность гидродинамического моделирования, снизить затраты и

возможность ошибок на этапе настройки модели, и, в конечном итоге, повысить достоверность прогноза показателей разработки.

Выводы и заключения

1. В работе сформулирован многокритериальный подход к определению параметров подземных гидродинамических процессов, который позволяет существенно повысить точность расчетов и прогнозов, выполняемых на аналитических и численных моделях разработки месторождений нефти и газа. Создано математическое обеспечение для решения многокритериальных задач определения параметров подземных гидродинамических процессов на основе принципа Парето.

2. С помощью разработанных методов решены следующие практические задачи:

a. Определение проницаемости на основе данных геофизических исследований скважин с привлечением данных лабораторного анализа керна и гидродинамических исследований скважин;

b. Определение характера распределения РУТ-свойств пластовой нефти по объему залежи по данным лабораторного анализа глубинных проб и данных отжатая динамического уровня;

c. Интерпретация гидродинамических исследований скважин по виду КВУ с привлечением данных нормальной эксплуатации скважин.

3. В ходе работы был выполнен анализ данных по нескольким месторождениям Западной Сибири. Конкретным результатом использования многокритериального подхода явилось:

а. Построение уточненной зависимости проницаемости от пористости и начальной водонасьиценности для месторождения X, что снизило погрешность при определении потенциального дебита новых скважин и подборе погружного

насосного оборудования. Тем самым было обеспечено увеличение среднего начального дебита новых скважин и уменьшение частоты подземных ремонтов.

b. Построение карты изменения РУТ-свойств пластовой нефти по площади месторождения У, что позволило уточнить геологические запасы нефти и газа, а также увеличить нефтеотдачу за счет более обоснованного подбора уровня текущей компенсации отборов закачкой.

c. Переинтерпретация исторических кривых восстановления уровня по месторождению У, что дало массу дополнительной информации по средней проницаемости и скин-факторам добывающих скважин и позволило выявить кандидатов на проведение внутрискважинных работ (гидроразрыв пласта, обработка призабойной зоны) с целью увеличения добычи нефти и коэффициента нефтеизвлечения.

4. Проведен анализ эффекта, достигаемого с помощью многокритериального подхода, с точки зрения гидродинамического моделирования. Путем сравнения с реальными данными оценена погрешность многокритериального и традиционного подходов. Анализ показал, что многокритериальный подход сокращает погрешность модели в 2-2.5 раза по ключевым показателям. Таким образом, многокритериальный подход позволил существенно повысить точность гидродинамического моделирования, снизить затраты и возможность ошибок на этапе настройки модели, и, в конечном итоге, повысить достоверность прогноза показателей разработки.

5. Разработанные методики внедрены в практику работы геологической службы ОАО «Нижневартовское нефтегазодобывающее предприятие». Их применение позволило выявить 15 новых скважин-

кандидатов на гидроразрыв пласта и обработку призабойной зоны на 2007 год с суммарным планируемым приростом около 250 т/сут.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Спивак С.И., Юлмухаметов Д.Р. Некоторые вопросы формализации и решения некорректно поставленных задач промысловой геологии и физики нефтегазового пласта// Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2005.- Т. 12, №2.- С.517.

2. Спивак С.И., Юлмухаметов Д.Р. О регуляризации задачи интерпретации кривых восстановления уровня методом МДХ// Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2006.- Т. 13, №3.- С. 547.

3. Хасанов М.М., Спивак С.И., Юлмухаметов Д.Р. Определение проницаемости из данных геофизических исследований скважин как некорректно поставленная задача11 Нефтегазовое дело.- 2005.- Т.З.-С. 155-166.

4. Spivak S.I., Yulmukhametov D.R. An Applied Mathematics Method of Formalizing the Comprehensive Approach to the Evaluation of Reservoir and Well Completion Characteristics// Journal of Petroleum Technology, SPE.-№ 104327.-12 p.

5. Хасанов M.M., Юлмухаметов Д.Р. Новые методы определения проницаемости пласта по данным ГИС: Многокритериальный подход/Тез. докл. 1-ой международной научно-практической конференции «Интенсификация добычи нефти». Томск: ТПУ, 2004.-С.56-58

6. Спивак С.И., Юлмухаметов Д.Р. Комплексный метод определения физических свойств нефти для недонасыщенных залежей/Тез. докл. 2-ой международной научно-практической конференции «Интенсификация добычи нефти». Томск: ТПУ, 2006.-C.33-35.

Юлмухаметов Дмитрий Ринадович

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ ПОДЗЕМНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 20.11.2006 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,43. Уч.-изд. л. 1,23. Тираж 100 экз. Заказ 822.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Введение.

Глава 1. Многокритериальный подход в геологии и разработке месторождений нефти и газа.

1.1 Предметная область: геология и разработка месторождений нефти и газа.

1.2 Уравнение Дюпюи.

1.3 Формализация комплексного подхода к определению параметров.

1.4 Методы решения многокритериальных задач.

1.5 Цель работы.

Глава 2. Задача определения проницаемости.

2.1 Постановка задачи в терминах предметной области.

2.2 Постановка многокритериальной задачи.

2.3 Решение многокритериальной задачи.

2.4 Интерпретация результатов.

Глава 3. Задача определения PVT-свойств нефти и газа.

3.1 Постановка задачи в терминах предметной области.

3.2 Постановка многокритериальной задачи.

3.3 Применение линейной свертки.

3.4 Решение двухкритериальной задачи.

3.5 Интерпретация результатов.

Глава 4. Задача интерпретации кривых восстановления уровня.

4.1 Постановка задачи в терминах предметной области.

4.2 Постановка задачи в терминах теории нечетких множеств.

4.3 Решение многокритериальной задачи.

4.4 Интерпретация результатов.

Глава 5. Анализ эффекта с точки зрения гидродинамического моделирования.

-35.1 Общие положения.

5.2 Адаптация гидродинамической модели.

5.3 Результаты.

Выводы и заключения.

При решении задач математического моделирования геологии иразработки месторождений нефти и газа решаюш,ее значение имееткорректная интерпретация измерений параметров подземныхгидродинамических процессов. В то же время, задачи математическойиптернретации измерений относятся к классу обратных задач, которые, какправило, некорректно поставлены. Решение некорректно поставленных задач- активно развиваемая область при интерпретации измерений самого разноготипа. Начиная со знаменитых работ академика А.Н.Тихонова иВ.А.Морозова, постоянно публикуются исследования по решению обратныхзадач, направленные на устранение причин, вызываюп];их некорректность. Втесно связанной с этой темой дисциплине системного анализа работали такиеавторы как Н.Н.Моисеев, В.Д.Ногии, В.В.Нодиповский. В связи с теориейнечетких множеств, нризванной справиться с природныминеопределенностями, возникающими во многих естественнонаучных задачахи задачах управления, в первую очередь следует отметить имена Л.А.Заде иА.Н.Орлова. В области же некорректно поставленных задач геологии иразработки месторождений нефти и газа ключевую роль играют работыА.Х.Мирзаджанзаде, М.М. Хасанова, Р.Н.Бахтизина.Один из путей регуляризации решаемых задач - привлечениеразнотипных независимых измерений. Такая постановка приводит кмногокритериальности и неопределенности целей. Минимизация несколькихкритериев соответствия расчета фактическим замерам по разнотипнымизмерениям приводит к получению нескольких взаимно-противоречивыхрешений. Возникает задача - выбор такой области в пространствеопределяемых параметров, которая каким-то образом приводит во взаимноесоответствие определенные по разным критериям значения параметров.В настояш;ей работе такая задача решается при определениипараметров подземных гидродинамических процессов. В качестве- 5 исходного экснериментального материала иснользованы реальные данные номесторождениям Западной Сибири.Целью работы является изучение вопросов формализации проблемымаксимально точного онределення нараметров нодземныхгидродинамических нроцессов и ее решения как многокритериальной задачис применением соответствующих методов, а именно:• онределение проницаемости по данным геофизических исследованийскважин с привлечением данных керна и гидродинамическихисследований скважин;• определение раснределения PVT-свойств нластовой нефти по объемузалежи по данным лабораторного анализа глубинных нроб иисследований на механизированном фонде скважин методом отжатиядинамического уровня;• интерпретация гидродинамических исследований скважин но видамКВУ и КПД с привлечением данных нормальной экснлуатациискважин и экспертных оценок параметров.Работа связана с такими дисциплинами, как системный анализ, методырешения некорректно поставленных и обратных задач, а такжематематическая обработка результатов эксперимента.В ходе работы достигнуты следуюн];ие результаты:1. Сформулирована и математически строго поставленамногокритериальная задача интерпретации измерений поопределению параметров подземных гидродинамических процессов.2. Создано математическое обеснечение для решениямногокритериальных задач онределения параметров подземныхгидродинамических нроцессов на основе нринцина Парето.3. На основе разработанных методов решены задачи определениянодземных гидродинамических параметров при:• определении проницаемости по данным геофизическихисследований скважин с привлечением данных керна игидродинамических исследований;• определении распределения PVT-свойств пластовой нефти пообъему залежи по данным лабораторного анализа глубинных проби исследований на механизированном фонде скважин методомотжатия динамического уровня;• интерпретации гидродинамических исследований скважин повидам КВУ и КПД с привлечением данных нормальнойэксплуатации скважин и экспертных оценок параметров.4. Проведен анализ эффекта, достигаемого с помощьюмногокритериального подхода, с точки зрения гидродинамическогомоделирования. Определена погрешность метода по сравнению страдиционным подходом.Разработанный подход может стать основой для подготовки данныхдля построения гидродинамических моделей месторождений нефти и газа сцелью минимизации вероятности ошибок при последуюш,ей настройкемодели. Кроме того, уточненные с помоп];ью многокритериального подходазначения параметров могут применяться во всем спектре аналитическихмоделей разработки месторождений и производительности скважин.Построенные в работе методы и алгоритмы внедрены в практику работы ииспользовались при анализе реальных данных по ряду месторожденийЗападной Сибири. Опробование метода при построении гидродинамическоймодели показало сокраш,ение исходной погрешности в 2-2.5 раза.- 7

1. Aziz К., Settari А. Petroleum Reservoir Simulation. Amsterdam: ElsevierApplied Science Publishers, 1979. - 476 p.

2. Craft B.C., Hawkins M.F., Terry R.E. Applied Petroleum Reservoir Engineering. NJ: Prentice Hall, 1991.-431 p.

3. Bourdarot G. Well Testing: Interpretation Methods. Paris: Editions Technip, 1998.-337 p.

4. Home R.N. Modern Well Test Analysis: A Computer-Aided Approach. Petroway Inc., 1995. - 257 p.

5. Tixier M.P. Evaluation of Permeability from Electric-Log Resistivity Gradients // Oil & Gas Journal. - Jun 1949. - P. 113.

6. Wyllie M.R.J., Rose W.D. Some Theoretical Considerations Related to the Quantitative Evaluation of the Physical Characteristics of Reservoir Rockfrom Electric Log Data. Trans., AIME, Vol. 189, 1950. - P. 105.

7. Pirson S.J. Handbook of Well Log Analysis. N.J.: Prentice Hall, Inc., 1963.-121p.

8. Timur A. An Investigation of Permeability, Porosity and Residual Water Saturation Relationship for Sandstone Reservoirs // The Log Analyst.- Jul-Augl968.-Vol. 9.-.№4.-P. 8.

9. Coates G.R., Dumanoir, J.L. A New Approach to Improved Log-Derived Permeability // The Log Analyst. - Jan-Feb 1974. - P. 17.

10. Log Inteipretation Charts. Houston: Schlumberger Ltd., 1987 - 130 p.

11. Archie G.E. The Electrical Resistivity Log as an Aid in Detemiining Some Reservoir Characteristics. Trans., AIME, 1942.- Vol. 146, No. 1. - P. 54-62.

12. Leverett M.C. Capillary Behaviour in Porous Solids. Trans. AIME, 1941.- Vol. 142,-P. 152-169.

13. Bloch S. Empirical Prediction of Porosity and Permeability in Sandstones// AAGP Bulletin, Jul 1991. - Vol. 75, No. 7.- P. 1145.

14. Ahmed U., Crary S.F., Coates G.R. Permeability Estimation: The Various Sources and Their Interrelationships // JPT. - May 1991. - P. 578.

15. Yao C.Y., Holditch S.A. Estimating Penneability Profiles Using Core and 1.og Data. SPE 26921, Eastern Regional Conference, Pittsburgh, PA, Nov.1993.

16. Wendt W.A., Sakurai S., Nelson P.H. Permeability Prediction from Well 1.ogs Using Multiple Regression // Reservoir Characterization / Lake L. W.,Caroll H.B. -New York: Academic Press, 1986. - P. 417-430.

17. Dubrule 0., Haldorsen H.H. Geostatistics for Permeability Estimation // Reservoir Characterization / Lake L.W., Caroll H.B. - New York:Academic Press, 1986. - P. 343-358.

18. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. Wiley, 1981 - 736 с

19. McCormac M.P. Neural Networks in the Petroleum Industry. RE2.1, Society of Exploration Geophysicists, Expanded Abstracts withBiographies, Technical Program, 1991. -Vol. L- P. 285-289.

20. Osborne D.A. Permeability Estimation Using a Neural Network: A Case Study from The Roberts Unit, Wasson Field, Yoakum County, Texas. -AAPG South West Section Transactions, 1992. -P. 125-132.

21. Mohaghegh S., Reza A., Ameri S., Rose D. Design and Development of An Artificial Neural Network for Estimation of Formation Permeability:SPE 28237 // SPE Computer Applications. - Dec. 1994. - P. 151-154.

22. Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Труды международной конференции (Москва, 19-25 авг. 1991) /Гл.ред. А.Н.Тихонов. - М.: ТВН; Утрехт; Токио: ВСН, 1992. - 610 с.

23. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтнзин Р.Н. Этюды о моделировании сложных систем нефтедобычи. Нелинейность,неоднородность, неоднородность. Уфа: Изд-во Еилем, 1999 - 462 с.

24. Chung СВ., Kravaris Incorporation of А Priori Information in Reservoir History Matching by Regularization: SPE 21615. - 1990.- 7 1 -

25. Kameda A., Dvorkin J. Effects of Texture and Diagenesis on Permeability and Porosity of Sandstones. - GSA annual meeting, Nov. 5-8, 2001.

26. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981-488 с.

27. Справочник но нефтепромысловой геологии / Н.Е. Быков, А.Я. Фурсов, М.И. Максимов и др. М.: Недра, 1981 - 525

28. Испытание нефтегазоразведочных скважин в колонне / Ю.В. Семенов, B.C. Войтенко, К.М. Обморышев и др. М.: Недра, 1983 - 403 с.

29. Спивак СИ., Юлмухаметов Д.Р. Некоторые вопросы формализации и решения некорректно поставленных задач промысловой геологии ифизики нефтегазового пласта// Обозрение прикладной ипромышленной математики.- 2005.- Т. 12, №2.- 517.

30. Спивак СИ., Юлмухаметов Д.Р. О регуляризации задачи интерпретации кривых восстановления уровня методом МДХ//Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2006.- Т. 13,№3.- С 547.

31. Хасанов М.М., Спивак СИ., Юлмухаметов Д.Р. Определение проницаемости из данных геофизических исследований скважин какнекорректно поставленная задача// Нефтегазовое дело.- 2005.- Т.З.-С155-166.

32. Spivak S.L, Yulmukhametov D.R. An Applied Mathematics Method of Formalizing the Comprehensive Approach to the Evaluation of Reservoirand Well Completion Characteristics// Journal of Petroleum Technology,SPE.-JV2l04327.-12p.

33. Хасанов M.M., Юлмухаметов Д.Р. Новые методы определения проницаемости пласта по данным ГИС: Многокритериальныйподход/Тез, докл. 1-ой международной научно-практическойконференции «Интенсификация добычи нефти». Томск: ТНУ, 2004.-С.56-58

34. Спивак СИ., Юлмухаметов Д.Р. Комплексный метод определения физических свойств нефти для недонасыщенных залежей/Тез, докл. 2-ой международной научно-практической конференции«Интенсификация добычи нефти». Томск: ТИУ, 2006.-С.ЗЗ-35.

35. Rowlan O.L., McCoy J.N., Becker D., Podio A.L. Advanced Techniques for Acoustic Liquid-Level Determination: SPE .4o80889. - SPE Productionand Operations Symposium, Oklahoma City, 22-25 Mar 2003.

36. McCoy J.N., Podio A.L., Huddleston K.L. Acoustic Determination of Producing Bottomhole Pressure: SPE №14254 // SPE FomationEvaluation. - 1985. - № 8 . - P . 617-621.

37. Kabir C.S., Иasan A.R. Two-Phase Flow Correlations as Applied to Pumping Well Testing: SPE №21728. - SPE Production OperationsSymposium, Oklahoma City, 7-9 Apr 1991.

38. Маскет M. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Москва-Ижевск: Институт Компютерных Исследований, 2004 - 628 с.

39. Желтов Ю.И. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра, 1975 - 216 с.

40. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: Недра, 1985-288 с.

41. Квэйд Э. Анализ сложных систем. М.: Сов.радио, 1969 - 513 с.

42. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // ЖВМ и МФ - 1966. - Т.6, №1 - 171-177.

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986-288 с.

44. Нодиновский В.В., Ногин В.Д. Нарето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982 -256 с.

45. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. М: Радио и связь, 1982 - 504 с.- 7 3 -

46. Ногин В.Д. Использование количественной информации об относительной важности критериев в нринятии решений // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2000. - № 2. - 89-93.

47. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня. - М.: Знание,1974. - 5-49.

48. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.-432 с.

49. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. М.: Знание, 1980-64 с.

50. Вош;инин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. Изд-во МЭИ (СССР) и Техника (НРБ), 1989 - 224с.

51. Wasserman M.L., Emanuel A.S. History matching three dimensional models using optimal control theory // J. Can. Petrol. Technol. - 1976. -№4. - P. 70-77.

52. Coats K.H. Use and misuse of reservoir simulation models // J. Petrol. Technol. - 1969. - vol. 21. - P. 1391-1398.

53. Научные основы разработки нефтяных месторождений / А.Н. Крылов, М.М. Глоговский, М.Ф. Мирчинк и др. - Москва-Ижевск: ИнститутКомпьютерных Исследований, 2004 - 424 с.

54. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Москва-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002 - 140 с.

55. Орловский А. Нроблемы принятия решений при нечеткой информации. М.:Наука, 1981 -206 с.

56. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров: Справочник. Киев: Наукова думка,1971.-517 с.

57. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей но эмнирическим данным. М.: Наука, 1984.-447 с.

58. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский Н. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

59. Л.Ф.Дементьев. Системные исследования в нефтегазопромысловой геологии. М.: Недра, 1988.-203 с.