Многокварковые взаимодействия, методы их бозонизации и физика мезонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2009-55 На правах рукописи УДК 539.12

ОСИПОВ Александр Андреевич

МНОГОКВАРКОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, МЕТОДЫ ИХ БОЗОНИЗАЦИИ И ФИЗИКА МЕЗОНОВ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003470701

Дубна 2009

003470701

Работа выполнена в Лаборатории ядерных проблем имени В.П. Джелепова Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.A. Андрианов (СПбГУ, Санкт-Петербург)

доктор физико-математических наук

А.Е. Дорохов

(ЛТФ ОИЯИ, Дубна)

доктор физико-математических наук,

профессор Р.Н. Фаустов

(ВЦ им. Дородницына РАН, Москва)

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (НИИЯФ МГУ).

Защита состоится 4 июня 2009 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований, ул. Жолио-Кюри,6, г. Дубна, Московская область, 141980.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан « »

09 г.

Ученый секретарь ^ -

диссертационного совета A.B. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию кнральной динамики кварк-антикварковых систем, обладающих эффективными локальными многофермионными взаимодействиями. Данная тематика представляет интерес в связи с многочисленными усилиями специалистов понять и математически описать фазовую структуру основного состояния квантовой хромодинамики (КХД). Область исследования настолько обширна и сложна, что к настоящему времени уже сложились целые направления, которые сильно различаются методами, выбранными для решения задачи. КХД правила сумм, калиброванные теории на решетке, инстап-тонная модель вакуума КХД, многочисленные кварковые модели — вот далеко не полный перечень методов, активно развиваемых на протяжении уже нескольких десятилетий. Благодаря этим исследованиям, постепенно вырисовывается общая картина адронного вакуума и отвечающие ей детали физики адронов.

В этих исследованиях моделям с многокварковыми взаимодействиями отведена особая роль. Их задача — уловить главные черты эффективной неиертурбативной динамики, ответственной за динамическое нарушение киралыюй симметрии. Давно известно, что четырехфермионные кираль-ные взаимодействия способны привести к возникновению щели в спектре безмассовых фермионов. Именно этот механизм был использован Намбу и Иона-Лазшшо (НИЛ) для описания нуклонов, как возбужденных квазичастиц. В это же время вышли работы В.Г. Вакса и А.И. Ларкина, а также Б.А. Арбузова, А.Н. Тавхелидзе и Р.Н. Фаустова, в которых обсуждалось применение методов теории сверхпроводимости к изучению вопроса о генерации масс у элементарных частиц. Позднее появились кварковая версия модели НИЛ, а также ее расширения, как по группе киралыюй симметрии, так и по типу кварковых взаимодействий. Предложенная в 1961 году еще задолго до появления квантовой хромодинамики, модель не утратила своей актуальности и в настоящее время, представляя собой приемлемую базу для моделирования и изучения вопросов спонтанного и явного нарушения киралыюй симметрии, адронизации кварков, описания низкоэнергетической мезонной физики, поведения кварковой системы в плотной и горячей средах, внешних электрическом и магнитном полях.

Модели с многокварковыми взаимодействиями в последнее время активно используются и для описания кварк-глюоиной плазмы (в предположении, что глюонные эффекты уже абсорбированы в многокварковых вершинах). Эта активность отчасти мотивирована экспериментами с ультрарелятивистским рассеянием тяжелых ионов, проводимых в ЦЕРН (SPS) и Брукхейвене (RHIC), и ожиданиями, связанными с пуском линейного

адронного коллайдера в ЦЕРН.

Прослеживаются две основные тенденции в современном развитие модели НИЛ. Одна из них связана с рассмотрением нелокальных взаимодействий. Именно такие вершины возникают из инстаитопной картины КХД вакуума (Д.И. Дьяконов, Э.В. Шуряк) или в теории вакуумных корреляторов глюонных полей (Ю.А. Симонов). В последнем случае даже пег необходимости конкретизировать вид топологических зарядов, присутствующих в адронном вакууме, - интегрируя но полям глюонов в производящем функционале КХД, мы получаем эффективный кварковый лагранжиан, содержащий бесконечный набор нелокальных мпогокварко-вых вершин. Нелокальные расширения модели необходимы для описания мезонных радиальных возбуждений и по-видимому для конфайнмирова-ния кварков.

Другая тенденция заключается в мотивированном добавлении новых кварковых или глюонных вершин. Так появились обобщения, содержащие четырехкварковые взаимодействия, генерирующие qq куперовские пары в холодной плотной кварковой среде; струпу Полякова, ассоциируемую с эффектом глюонных полей и ответственную за появление в теории параметра порядка, описывающего фазовый переход конфайнмент — де-конфайнмент при конечной температуре; т'хофтовские шестикварковые взаимодействия, учитывающие аномальное нарушение аксиальной U(1)a симметрии. Общая структура моделей с многокварковыми квазилокальными взаимодействиями изучалась в работах A.A. Андрианова и В.А. Андрианова. Исходя из небольшого числа предположений (1 /Лгс-разложение, масштабная инвариантность), им удалось классифицировать вершины эффективной теории, ответственные за динамическое нарушение киральной симметрии, и показать, что доминирующими в такой теории являются только четырех, шести и восьмикварковые взаимодействия.

Вопрос о роли, которую могли бы играть высшие многокварковые связи в физике адронного вакуума изучен недостаточно: неясно каковы физические следствия этих взаимодействий, можно ли увидеть их проявления в современных или будущих экспериментах, существует ли иерархия мно-гокварковых связей и чем она вызвана, возможно ли построение непротиворечивой теория многокварковых сил? Все эти вопросы актуальны и требуют тщательного изучения.

Не ясна и природа возникновения гипотетических многокварковых вершин. Имеются расчеты, показывающие что они могут быть вызваны присутствием инстантонов в адронном вакууме: в инстантонной картине вакуума КХД эффективные кварковые взаимодействия т'Хофта возникают в узком слое вблизи поверхности Ферми и ведут к динамическому наруше-

ншо киралыюп симметрии, а ненулевые моды оператора Дирака в ипстан-тошюм поле ответственны за возникновение остальных многокварковых сил. Реальная картина КХД вакуума по-видимому сложнее.

Не вникая в природу возникновения многокварковых взаимодействий, можно просто предположить, что в основе эффективного мезонного лагранжиана на некотором более глубоком уровне понимания непертурбатив-ной кварк-глюонной динамики лежит другая эффективная теория, которая может быть описана нелинейным кварковым лагранжианом и которая является естественным промежуточным шагом на пути извлечения феноменологических следствий КХД в области низких энергий. В настоящее время только нащупываются пути для непротиворечивого построения эффективной теории поля многокварковых взаимодействий. Такой поиск осуществляется на базе феноменологически мотивированных моделей и известных непертурбативных методов (например см.: S. Weinberg, PRD, Vol. 56, (1997) p. 2303) и постепенно углубляет наши представления о структуре эффективных кварковых вершин.

По мере усложнения формы эффективного кваркового лагранжиана возникает необходимость в развитии адекватного математического аппарата теории. Элегантное математическое решение, возникающее при рассмотрении какой-либо физической проблемы, представляется не менее интересным делом, чем сам физический результат. Это объясняется тем, что область применения развитых математических схем часто выходит далеко за рамки конкретной модели и в этом их самостоятельная ценность.

Таким образом задача построения и изучения моделей с многоквар-ковыми связями представляется необходимым, важным и актуальным направлением в теории сильных взаимодействий. Новые идеи и методы, развитые в диссертации, я надеюсь, найдут свое применение в будущей эффективной теории нелинейных многокварковых сил.

Цель работы. Главной целью работы является детальное исследование эффективной динамики кварковых систем с полиномиальными многофер-мионными взаимодействиями восьмой степени и ниже и развитие необходимых математических методов для проведения последовательных теоретических расчетов в области низкоэнергетической мезонной физики на основе таких моделей.

Задачи работы. В диссертации рассматриваются следующие вопросы:

1) Исходя из эффективного действия бозонизированной теории, включающего однопетлевой фермионный вклад в виде логарифма формального детерминанта дифференциального оператора второго порядка, ставится задача развития метода для вычислений произвольных матричных элементов составных кварк-антикварковых состояний в лидирующем поряд-

ке 1/-/Ч; разложения с учетом полной импульсной зависимости мезонных вершин.

2) Сформулированный метод используется для исследования эффектов, вызванных явным нарушением киралыюй симметрии в процессах упругого 7Г7Г рассеяния (вычисляется амплитуда, низшие длины рассеяния и параметры эффективной области взаимодействия) и фоторождении пионов 77 —> 7Г7Г (вычисляются сечения процессов, поляризуемости заряженных и нейтральных пионов).

3) Чтобы связать общий результат, полученный предложенным здесь методом, с результатами приближенных расчетов, использующих длинноволновое разложение эффективного действия модели, решается задача построения киральных разложений в теории с многофермиопными взаимодействиями.

4) Исследуются альтернативные формулировки нового метода, использующие как линейную, так и нелинейную реализации киралыюй симметрии при введении коллективных степеней свободы. Изучается вопрос независимости физического результата от способа реализации киралыюй симметрии.

5) В рамках метода Швингера — Девитта ищется обобщение для разложения функции теплового ядра по обратным степеням тяжелых масс составляющих кварков на случай, когда киральная симметрия нарушена явно, а массы токовых кварков различаются. Вычисляются первые члены данного ряда. Новое разложение используется для получения эффективного кирального лагранжиана и описания физики низших мезонных состояний при низких энергиях.

6) Исследуется проблема, возникающая в эффективных моделях КХД с четырехкварковыми 17(3)^ ® С^(3)д киралыю симметричными взаимодействиями при нарушении нежелательной глобальной £/(1)л симметрии за счет детерминанта т'Хофта, которая заключается в том, что эффективный потенциал такой теории неограничен снизу. Ищется возможное решение проблемы стабильности основного состояния, основанное на гипотезе о существовании эффективных восьмикварковых взаимодействий.

7) На основе метода функционального интегрирования детально исследуется процедура бозонизации восьмикварковых вершин. С этой целью изучается система нелинейных уравнений стационарной фазы и доказывается ее совместность при определенных условиях, наложенных на коэффициенты. Исходя из общего вида решения, строится рекурентная цепочка уравнений для определения стационарной траектории и ищутся условия, которым должны удовлетворять константы многокварковых взаимодействий, чтобы стационарная траектория отвечала теории имеющей

глобальный минимум.

8) Исследуются возможные феноменологические проявления восьмикварковых взаимодействий, для чего вычисляется спектр мезонных масс, привлекаются известные эмпирические данные и с их помощью фиксируются параметры эффективной модели.

9) Изучается влияние восьмикварковых сил на свойства трехфлэйвор-ной кварковой системы, находящейся в постоянном магнитном поле, в частности, на процесс магнитного катализа спонтанного нарушения ки-ральной симметрии.

10) Исследуется влияние восьмикварковых взаимодействий на фазовый переход, восстанавливающий киральпую симметрию при конечных температурах (приближение безмассовых кварков); анализируется также более реалистичный случай массивных токовых кварков.

Научная значимость работы. В диссертации предложено обобщение модели НИЛ, которое помимо стандартных 6г(3)^®С/(3)я кирально симметричных четырехкварковых взаимодействий и шестикварковых взаимодействий т'Хофта включает восьмикварковые эффективные вершины. Такое обобщение устраняет внутреннее противоречие, присущее данному классу моделей НИЛ — отсутствие глобального вакуумного состояния.

Помимо этого развит аппарат, позволяющий проводить последовательные расчеты в теориях с бозонизированными многокварковыми взаимодействиями. С его помощью впервые вычислены поправки (лидирующий по 1/Лс вклад), обусловленные явным нарушением киральной симметрии в модели НИЛ. Эти поправки дополняют картину, получаемую из киральной теории возмущений (КТВ).

Следует особо отметить значимость появления формулы для длинноволнового разложения реальной части фермионного детерминанта при различающихся массах фермионов. В ее отсутствии такого рода разложения проводились эвристическими приемами и с потерей свойства инвариантности у коэффициентов разложения.

Научная новизна работы. В диссертации детально исследованы вопросы бозонизации многокварковых взаимодействий на основе метода функционального интегрирования; развиты новые методы для работы с одно-петлевым киральным детерминантом; высказана и детально исследована гипотеза о возможной роли восьмикварковых взаимодействий в низкоэнергетической мезонной физике.

Автором впервые получены и выносятся на защиту:

1) Новый теоретический метод, позволяющий вычислять однопетле-вые п-частичные амплитуды в теории составных частиц с учетом полной импульсной зависимости эффективных мезонных вершин в лидирующем

порядке 1 /Агс разложения.

2) Нелинейная формулировка метода, и вывод о полной эквивалентности линейного и нелинейного подходов на массовой поверхности составных мезоиных полей.

3) Впервые полученные в модели НИЛ выражения для амплитуд тпт-рассеяния и 77 —> тг7г вблизи порога, которые в лидирующем порядке 1/Лс разложения полностью учитывают импульсную зависимость эффективных мезонных вершин, а также расчитанные на их основе длины рассеяния, параметры эффективной области, дипольные поляризуемости пионов.

4) Асимптотическое разложение по степеням обратных масс тяжелых кварков для функции теплового ядра эллиптического самосопряженного оператора второго порядка Д, в теориях с нарушенной (явным и спонтанным образом) киралыюй симметрией, которое обобщает известное разложение в методе Швингера — Девитта для случая равных масс. Аналитические выражения для первых четырех членов ряда, которые являются обобщением коэффициентов Сили — Девитта.

5) Найденную связь между существованием единственного действительного решения у системы уравнений стационарной фазы, определяющей квазиклассическую траекторию при бозонизации многофермионных взаимодействий, и стабильностью основного состояния теории.

6) Рекурентные формулы для построения решения системы уравнений стационарной фазы, возникающей при бозонизации многофермионных взаимодействий методом функционального интегрирования.

7) Доказательство, что нарушение II(1)д симметрии, осуществляемое детерминантом т'Хофта, в модели НИЛ с четырехфермионными 17(3)ь <8 £/(3)л киралыю симметричными взаимодействиями, ведет к теории, эффективный потенциал которой не ограничен снизу.

8) Решение проблемы нестабильности вышеуказанной теории, основанное на рассмотрении дополнительных локальных восьмикварковых взаимодействий.

9) Формулы для спектра легких мезонов и, в частности, обобщение формулы Виттеиа — Венециано для массы г/ при наличие восьмикварковых сил.

10) Теоретическое предсказание возможности осуществления вторичного магнитного катализа в системе, которая помимо четырехфермиоп-ных обладает шести и восьмифермионными взаимодействиями, а именно: способности таких взаимодействий при квазистатическом увеличении магнитного ноля дестабилизировать вакуумное состояние системы, катализированное слабым магнитным полем.

11) Эффект понижения температуры кирального перехода с ростом интенсивности восьмикварковых сил.

12) Вывод о том, что восьмикварковые взаимодействия, нарушающие правило Цвейга, влияют на тин фазового перехода в многокварковой системе с явно нарушенной киральной симметрией, а именно: в зависимости от силы восьмикварковых взаимодействий в системе с Nf = 3 может осуществляться либо быстрый кроссовер переход, либо фазовый переход первого рода.

13) Вывод о имеющейся связи между интенсивностью восьмикварковых взаимодействий, нарушающих правило Цвейга, и механизмом динамического нарушения киральной симметрии: начиная с некоторого «критического» значения константы 8ч-связи за спонтанное нарушение симметрии ответственны 6ч-взаимодействия т'Хофта, а не 4ц-взаимодействия, которые вызывают данный процесс при слабых Зс^-силах.

Достоверность результатов. Вычисления, проделанные в диссертации, основываются на использовании стандартных методов теории поля. Все новые результаты проверялись на предмет соответствия (для ряда предельных случаев) известным классическим достижениям в данной области теоретической физики. Именно с этой целью в частности был развит специальный аппарат киральных разложений. Помимо этого, в случаях вычисления функциональных интегралов, для лучшего качественного понимания задачи, предварительно активно использовались их конечномерные аналоги (см. например §4.2 диссертации).

Практическая ценность работы. В диссертации изложена логически замкнутая и непротиворечивая эффективная теория, которая может быть использована (и частично уже использовалась в диссертации) для изучения фазовой структуры КХД вакуума, эффектов явного и спонтанного нарушения киральной симметрии во внешнем электромагнитном поле, при конечных температурах и в плотных средах, а также для описания низкоэнергетических процессов адронной физики. Восьмикварковые взаимодействия, как и взаимодействия т'Хофта, содержат вершины, нарушающие правило Цвейга, и тем самым модель позволяет также исследовать феноменологические проявления такого нарушения. Практическая ценность двух математических методов, упомянутые выше в пунктах 1-2) и 4), выходит за рамки изучаемой в диссертации модели. Их область применения, как всякого математического аппарата, значительно шире.

Апробация работы. Материал, изложенный в диссертации, докладывался и обсуждался на семинарах Лаборатории ядерных проблем ОИЯИ, Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, на теоретических семинарах зарубежных научных центров: университет г. Куимбра (Португалия), уни-

верситет г. Порто (Португалия), университет им. Луиса Пастора г. Страсбург (Франция), университет г. Регенсбург (Германия); па ряде международных конференций и рабочих совещаниях:

• "The Quark Confinement and the Hadron Spectrum 2008", 1-6 Sept 2008, Mainz, Germany.

• The XIII International Conference "Selected Problems of Modern Theoretical Physics" (SPMTP08), June 23-27, 2008, Dubna, Russia.

• "Scadron'70" Workshop on Scalar Mesons and Related Topics, February 11-16, 2008, Lisbon, Portugal.

• "Quark Matter 2008" 20th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus Nucleus Collisions, February 4-10, 2008, Jaipur, India.

• The 7th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 07), 24-30 June 2007, Kyiv, Ukraine.

• The Hadronth06 Workshop, 7-9 September 2006, Peñiscola, Spain.

• The Quark Confinement and the Hadron Spectrum VII, 2-7 September (2006), Azores, Portugal.

• The International Meeting on Topics in Quantum Field Theory, 10-14 April 2006, Belo Horizonte, BH, Brazil;

• The 6th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 05), 20-26 June 2005, Kyiv, Ukraine.

• The International Conference on High Energy and Mathematical Physics, 4-7 April 2005, Marrakech, Morocco.

• The 8th Workshop on Nonperturbative Quantum Chromodynamics, 7-11 June 2004, Paris, France.

• The 5th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 03), 23-29 June 2003, Kyiv, Ukraine.

• The International Conference on Many-Body Physics, Sept. 20-25, 1993, Coimbra, Portugal.

и т.д.. Ссылки на полученные в диссертации результаты можно найти в центральных европейских и американских физических журналах, включая обзоры в "Physics Reports" и "Успехи Физических Наук".

Публикации и личный вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в виде 32 статей в ведущих Российских и зарубежных журналах. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в журналах из перечня ВАК.

Вклад автора во все полученные результаты является основным. Автором осуществлялись: формулировка задач, разработка путей и методов их решения, развитие необходимого математического аппарата, подготовка текстов публикаций, а также переписка с редакциями научных журналов и рецензентами.

Структура п объем работы. Диссертация состоит п з введении, шести глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Материал изложен на 215 страницах, включает 27 рисунков, 1С таблиц. 24С библиографических ссылок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Здесь обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основная цель и задачи возникающие при ее решении, обсуждается научная новизна представленных исследований.

Глава 1. В первой главе диссертации сформулирован метод, позволяющий вычислять произвольные /г-частичные мезонные амплитуды, исходя из нелокального однопетлевого эффективного действия, получающегося при бозонизации нелинейных фермионных вершин. Для определенности рассматривается простейший вариант модели НИЛ с лагранжианом взаимодействия, инвариантным относительно преобразований киральной группы II(2)I 0 [/(2)д. Стартовой точкой является формальное выражение фермионного детерминанта — результат вычисления функционального интеграла гауссова типа по полям кварков.

Решая задачу извлечения из фермионного детерминанта полной информации об импульсной зависимости мезонных амплитуд (в лидирующем порядке \/Мс разложения), мы строим специальные преобразования фурье-образов коллективных бозонных полей. Новые переменные отвечают составным состояниям, что проявляется в импульсной зависимости массовой функции соответствующих им пропагаторов.

Чтобы ясно сформулировать задачу, решаемую в данной главе диссертации, и увидеть разницу между стандартными методами и новым, мы кратко останавливаемся на сути стандартного подхода, осуществляя при этом исторический экскурс в теорию данного вопроса.

Изучение динамики коллективных возбуждений, путем явного выделения коллективных степеней свободы в модели НИЛ на основе метода функционального интегрирования, было впервые предпринято в 1976 г. в работах Егучи, Куго и Киккавы. В своих вычислениях они прибегали к локальному разложению вершин, выделяя только расходящиеся части кварковых петель и пренебрегая конечными членами. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в начале 1980 годов и был положен в основу многочисленных феноменологических построений, что прежде всего связано с именами М.К. Волкова и Д. Эберта.

Выделение расходящейся части у действия коллективных полей является приближением, призванным проиллюстрировать имеющуюся связь между моделью НИЛ и рядом известных феноменологических киральных

лагранжианов. Было замочено, что в секторе скалярных и псевдоскалярных мезонов возникает линейная сигма модель, для векторных мезонов получается лагранжиан типа Янга - Миллса, а рассмотрение электромагнитных взаимодействий мезонов приводи т к картине векторной доминантности. Однако в данном приближении коллективные моды элементарны: хотя информация о кварковой природе мезонов содержится в константах их взаимодействий и массах в виде параметра т - массы составляющего кварка, структурная часть, заключенная в конечных членах разложения, полностью игнорируется. В результате мезонпые иропагаторы описывают распространение точечных объектов.

Чтобы учесть структурную часть действия, было предложено элегантное решение, использующее метод теплового ядра (A. Dliar, R. Shaiikar, S.R. Wadia, D. Ebert, II. Reinhardt). Метод позволяет непосредственно в координатном пространстве найти несколько первых членов в разложении эффективного мезонного действия, но к сожалению с его помощью невозможно вычислить полный вклад, заключенный в кварковых петлях.

Как альтернатива вышеуказанному направлению исследований в конце восьмидесятых годов в рамках модели НИЛ интенсивно изучались спектр и константы кварк-мезонных взаимодействии с помощью метода Хартри - Фока (U. Meissner, V. Bernard, W. Weise, S.P. Klevansky, T. Hatsuda, T. Kunihiro и т.д.), который эквивалентен линеаризации четырехкварко-вых вершин лагранжиана посредством самосогласованного введения бо-зонных переменных. Иропагаторы бозонных полей определялись в результате суммирования ряда, состоящего из цепочек однопетлевых кварковых диаграмм. Он например вытекает из уравнения Бете - Солпитера, написанного для канала qq —> qq.

Излагаемый в данной главе формализм по сути эквивалентен хартри-фоковскому подходу. Действительно, оказывается, что предложенное нами преобразование осуществляет переход к бозонному полю, нропагатор которого в точности совпадает с известным результатом вычислений в методе Хартри-Фока (С.М. Shakin). При этом однако непосредственного суммирования однопетлевых диаграмм в нашем подходе не производится, а вся процедура легко укладывается в рамки метода функционального интегрирования.

Затем на основе уравнения щели и уравнения на массу пиона находятся киральные разложения (в данном случае это ряды Тэйлора по степеням токовой массы кварков) для основных физических величин. Они выступают связующим звеном при сравнении результатов развиваемого здесь подхода с известными результатами, полученными методом асимптотического разложения тепловой функции. Сравнение позволяет проверить са-

мосогласованпость нового метода, а также установить насколько быстро сходится кнральпып ряд.

Чтобы исследовать эффекты, связанные с явным нарушением киральной симметрии и убедиться в непротиворечивости метода в целом, вычисляются амплитуда тгтг рассеяния, параметры эффективной области и длины рассеяния. Исследуется процесс 77 —> 7Г7Г и вычисляются дипольные электрическая и магнитная поляризуемости пионов. Получены сечения процессов 77 —> тг°7гп и 77 —> 7г+7г~ в околопороговой области.

Глава 2. Во второй главе метод распространяется на случай расширенной модели НИЛ. Такая модель помимо псевдоскалярных и скалярных мезонов содержит векторные и аксиал-векторные состояния. В результате возникают смешивания между псевдоскалярными и аксиал-векторными модами, а также между скалярной и векторной компонентами. Диаго-нализация соответствующих двухчастичных функций осуществляется в импульсном пространстве. В остальном вычисления аналогичны случаю, рассмотренному в первой главе.

Найдены масштабно инвариантные соотношения, связывающие свойства пиона с характеристиками векторных и аксиал-векторных частиц. В частности, установлены формулы, которые обобщают известное КЭШ соотношение и вайнберговские правила сумм на случай составных частиц. Массы векторных и аксиал-векторных мезонов лежат в области ~ 1 ГэВ, поэтому неудивительно, что именно для них важен учет членов с высшими производными. Однако здесь начинает проявляться деконфайнмент кварков, т.е. амплитуды получают нефизические мнимые части, что существенно сужает область применимости метода.

Тем не менее имеются все основания для использования векторных и аксиал-векторных мод в качестве виртуальных состояний при изучении физики пионов и каонов.

Как и в предыдущей главе, подробно анализируются следствия явного нарушения киральной симметрии. Построены киральные разложения для основных физических величин в присутствие частиц спина-1. Показано, что в модели НИЛ с векторными мезонами улучшается сходимость киралыюго ряда.

Затем мы повторяем расчет амплитуды упругого пион-пионного рассеяния, чтобы включить вклады виртуальных векторных частиц, и извлекаем из нее информацию о фазах, длинах рассеяния и параметрах эффективной области взаимодействия.

В заключение метод распространяется на случай с нелинейной реализацией киральной симметрии, для чего используется стандартная техника индуцированных представлений. Очевидно, что физические результаты не

могут зависеть от выбора асимптотических полей. Изменяется только дпа-грамное содержание теории и поведение амплитуд вне массовой поверхности. Так замена переменных, преобразующихся по линейному представлению кнралыюй группы, па переменные, преобразующиеся по нелинейному закону, полностью изменяет картину виртуальных вкладов в амплитуду 7Г7Г рассеяния, однако их полная сумма на массовой поверхности пионов остается прежней.

Глава, 3. В третьей главе строится асимптотика фермионного детерминанта для случая невырожденной массовой матрицы. Отправным пунктом является знаменитое представление детерминанта эллиптического оператора в виде интеграла по собственному времени. Оно известно, как формула Швипгера — Девитта

оо

W[Y] = — In | (let D\ = \Jj Pit, A2) Tr (e-iDt°) + const. (1)

о

Здесь оператор Дирака D зависит от асимптотических полей, которые при переходе к эрмитову дифференциальному эллиптическому оператору второго рода D^D = Л42 — д2 + Y собраны в Y, метрика евклидова. Вычисление функционального шнура ведет к возникновению сингулярностей в интеграле по t, которые абсорбируют ультрафиолетовые расходимости однопетлевых фермионных диаграмм, при условии, что интегрирование по собственному времени осуществляется в последнюю очередь. Чтобы интеграл по t сходился, в выражение (1) введен регулятор p(t, А2). Результаты данной главы остаются в силе независимо от конкретного вида этой функции, содержащей параметр обрезания А.

Формализм «собственного времени» Фока - Швингера позволяет справиться с задачей асимптотическое разложение эффективного действия W[Y] по степеням собственного времени с коэффициентами Сили - Девитта а„, аккумулирующими в себе всю зависимость от фоновых полей. Замечательно, что для каждого значения (п = 0,1, 2 ...) выражение tr(an) инвариантно относительно действия группы внутренней симметрии. Это вытекает из общей ковариантности формализма. В настоящее время асимптотические коэффициенты ап хорошо известны до значений п — 5 для произвольного оператора лапласовского типа.

В случае массивных квантовых полей с вырожденной массовой матрицей Л4 = diag(т,,т,...) несложно перейти от разложения по степеням собственного времени к разложению по обратным степеням т2, так как зависимость от массы легко факторизуется, а последующее интегрирование по собственному времени ведет к желаемому результату. Асимптотические коэффициенты ап при этом не изменяются.

Если и теории яино нарушена киральная симметрия, то массовая матрица невырождена М = (Иа^/Н), //><_),...) и ее полная факторизация невозможна из-за некоммутативное™ Л4 с остальной частью эллиптического оператора. Наивная же факторизация по частям разрушает ковариантность коэффициентов асимптотического ряда. Возникает естественный вопрос: нельзя .111 осуществить факторизацию массовой зависимости, сохранив при этом свойство ковариантности коэффициентов на каждом шаге асимптотического разложении?

В данной главе показано, что сформулированная задача имеет простое решение, которое мы получаем па основе рекурептного использования специально предложенной формулы

ОО д„

Мт]) - Мт?) = - (-1)"./,+„(»ф] , (2)

// — 1

где Д^- = 1Щ — 7Пр а интегралы ./п(т2) имеют вид

ОО

Мт2) =

о

+ т- Р)

Выбор факторизуемой комбинации, составленной из функций в

виде

ь = (4)

1 ¿=1

ведет к желаемому результату. Мы показываем, что с помощью формулы (2) удается произвести перестройку ряда по степеням собственного времени, так что его члены автоматически собираются в кирально ковариант-ные комбинации

/т 4 оо

!=0

В итоге каждый шаг разложения сохраняет трансформационные свойства исходного действия 1У[У], что важно при проведении приближенных вычислений, с точностью до ?г-го шага в длинноволновом разложении эффективного действия. Новые коэффициенты разложения 1ц являются обобщением известных коэффициентов Силн — Девитта. В случае М} = 3 первые

четыре коэффициента имеют вид

h = 1. bi = -У b2 = Ç + ^ А3У + (Д13 + Д23) А8У,

h = -^Г - y2(dYf - (Дз1 + Д32) А3У + [Д13(Д21 + д23) + Дзз(Д12 + Ais)] А8У + (Д31 + Д32) А8У2 + ^Д21А3У2. (6)

Прежде всего, очевидно, что в предельном случае равных масс т\ = т2 = ■.. = m л,- результат совпадает с классическим разложением Швин-гера — Девитта. Если массы не равны, ряд (5) является обобщением известного результата. На место асимптотических коэффициентов Сили — Девитта ап приходят коэффициенты Ьп. Далее можно убедиться, что если оператор D^D преобразуется по присоединенному представлению группы: ó(D^D) — i[ui,D^D], то bn в (6) также коварнантны, т.е. 5bn = i[uj,bn], где íú = а- + 75/3 — параметры глобальных инфинитезимальных преобразований.

Следует также отметить, что, строго говоря, полученный ряд не является последовательным разложением по обратным степеням масс: хотя каждый из интегралов ,J¡ при I > 1 и обладает необходимым для этого асимптотическим поведением J/+i(m?) ~ m"2', коэффициенты b¡ зависят от разности масс. Таким образом происходит перестройка ряда в соответствии с общим требованием киральной симметрии, которое представляется нам более серьезным аргументом, нежели скрупулезное следование идее 1 /то2 разложения.

Глава 4. Здесь сформулированный в предыдущей главе метод применяется для получения эффективного действия теории со спонтанно-нарушенной симметрией в ее длинноволновом режиме. В качестве фундаментальной теории используется модель НИЛ с лагранжианом четырехкварковых взаимодействий, инвариантных относительно преобразований киральной U(3)¿® и(3)г{ группы, и шестикварковых взаимодействий т'Хофта, ответственных за нарушение аксиальной U(1)a симметрии. Массы легких кварков выбираются таким образом, чтобы теория обладала SU{2)¡ флейворной симметрией, т.е. массовая матрица была невырождена ти = та ф ms. Благодаря спонтанному нарушению киральной симметрии, данная массовая матрица перейдет в невырожденную массовую матрицу тяжелых составляющих кварков, т.е. возникают основания для разложения теории по степеням обратных масс и получения соответствующего эффективного мезоиного лагранжиана.

В литератур»? имеется несколько различных подходов для решения данной задачи (D. Ebert и II. Reinhardt., 198G; D. Esprín, Е. de Rafael и Л. Tarou, 1990; Л. Bi.jneus, С. Впшо и Е. de Rafael, 1993). Метод, используемый здесь, имеет ряд преимуществ:

(а) Бозоннзацпи осуществляется через функциональное интегрирование и здесь мы существенно развиваем аналитическую сторону подхода, первоначально предложенного в работе (Н. Reinhardt. и R. Alkofer, 1988). Суть метода заключается в том, что в производящий функциональный интеграл вводя тся дополнительные бозопные переменные, которые исключают все фермионные вершины лагранжиана степень которых выше второй. Вместо них появляются бозонные вершины, зависящие от вспомогательных полей. Избыточные переменные устраняются приближенным интегрированием с использованием метода стационарной фазы. Стационарные траектории удовлетворяют системе из восемнадцати кубических уравнений, которые совместны, но имеют более одного действительного корня. Мы показываем, что присутствие сингулярного корня дестабилизирует вакуумное состояние. Проблема нестабильности подробно изучается в следующей главе, а здесь выбирается решение, отвечающее пересуммированию ряда теории возмущений по константе т'Хофта.

(б) Эффективное действие вычисляется путем инвариантного разложения теплового ядра. В этой части наши вычисления полностью оригинальны и основываются на материале предыдущей главы.

Полученное таким образом асимтотическое разложение эффективного лагранжиана используется для вычисления мезонного спектра масс и констант слабого распада для членов нонета псевдоскалярных мезонов. Показано, что для r¡-r]' состояний модель ведет к картине с двумя углами смешивания.

Глава 5. В пятой главе изучается вопрос стабильности основного состояния у системы с многокварковыми взаимодействиями. В качестве математического аппарата используется метод эффективного потенциала. Потенциал мы получаем через функциональное интегрирование методом стационарной фазы в лидирующем приближении. Показано, что в случае SU(3) ® SU(3) киралыюй симметрии т'хофтовский детерминант дестабилизирует вакуум модели НИЛ. Дестабилизация выражается в отсутствии абсолютного минимума у эффективного потенциала теории. Однако наличие восьмикварковых сил может исправить ситуацию. Лагранжиан наиболее общего вида, который описывает безспиновые 8с|-взанмодействия, а именно они важны для формирования эффективного потенциала, содер-

где

жит два члена: £8? = + где

4У = «51 ШРнЧтШгЛЯг)}2 , (7)

4J = 1652 ШРкЧтШтРМъРМкШРьЧй ■ (8)

Он симметричен относительно преобразований £7(3)/, ® С^(3)д группы и содержит в С^ вершины, нарушающие правило Цвейга.

Производящий функционал теории Z после линеаризации кварковых вершин имеет вид

Z = f2ВДЦ2><гвЦ1>0а exp (if<ilxCq{q,q,a,cf>)

а а ^

+оо

X [ П Vs° П VP* ехР И ф, Д; s, р)\ , (9)

-ос W У

= -т-а- iy5<j>)q, (10)

Q

Cr = sa{aa + До) + РаФа + 2" (4+Р2а)

+ ^ AabcSa (SbSc ~ ?>PbPc) + J + Paf 92

+ о [^abe^cde SbScSd + 2sasbpcpd +PaPbPcPd) + 4facefbdeSaSbPcPd]- (И)

Здесь Дв = та — та, АаЬс - полностью симметричные константы, которые связаны со структурными константами U(3) группы. Бозонные поля оа и фа описывают скалярный и псевдоскалярный нонеты и позднее идентифицируются с соответствующими физическими состояниями. Вспомогательные переменные sa и ра должны быть исключены из эффективного мезонного лагранжиана £г.

Чтобы найти квазиклассическую асимптотику функционального интеграла при интегрировании по переменным sa,pa в (9), ищутся стационарные траектории sf = sa(a, ф), pf = Ра(с, ф), являющиеся решением уравнений движения

^ = 0, ^ = 0. (12) OSa дра

Решение представляется в виде разложений по степеням внешних мезон-НЫХ ПОЛеЙ (Та, фа,

4=K + h):>ab + h^cabac + h\Zq Ра=^фь + к^сфьас + ... (13)

Коэффициенты /;«.'. завпсятот констант многокварковых взаимодействии G, к, с/[. <]2 11 масс кварков Аа. Коэффициенты более высокого порядка hal. рекурентно связаны с младшими коэффициентами. Самые низшие из них h„ удовлетворяют системе кубических уравнений

А а + Gha + ^ AabchK- + ^ hah'l + ^ dobcdcth,hbhcJ)d = 0. (14)

Таким образом, задача сводится к поиску решении системы алгебраических уравнений, погруженных в девятимерное пространство алгебры Ли группы U{3). Похожая система изучалась ранее Папсом (Pais, 1968) в связи с вопросом нарушения SU{3) группы сильных взаимодействий.

Мы подробно обсуждаем условия полноты системы и устанавливаем, что при следующих условиях, наложенных на константы многокварковых связей,

9i > 0, Oi + 3(?2 > О, G>-(~)' (15)

д 1 \1о/

система уравнений стационарной фазы совместна, имеет лишь одно действительное решение, и, благодаря этому, модель обладает стабильным вакуумным состоянием.

Стабилизирующий эффект — не единственное возможное следствие от «включения» восьмикварковых взаимодействий. В данной главе мы находим, что если такие силы существуют, то одним из интересных их проявлений может быть одновременное сосуществование двух локальных минимумов, т.е. двух киральных фаз: симметричной вигнер-вейлевской и асимметричной намбу-голдстоуновской. В данном случае интенсивность взаимодействия т'Хофта является причиной динамического нарушения киральной симметрии. Это новое свойство модель приобретает только благодаря восьмикварковым взаимодействиям.

В заключение данной главы мы обращаемся к рассмотрению спектра мезонных масс и роли, которую здесь играют восьмикварковые силы. Из полученных формул следует, что восьмикварковые взаимодействия, хотя и дают свой вклад в уравнения для масс псевдоскаляров, делают они это так, что единственным доминирующим вкладом здесь по-прежнему остается вклад т'хофтовских сил. Пикантность ситуации заключается в том, что формально их вклад в формулы может иметь тот же ^./Ус-порядок, что и вклад от взаимодействий т'Хофта, но несмотря на это обстоятельство их лидирующие вклады в массовые формулы полностью компенсируются между собой.

Еще одно интересное наблюдение связано с формулой, описывающей

расщепление масс г/-?? мезонов

т""т° 9 (т2,-тп2) '

где Шр = |(4гп2к — т2), что является известным результатом Гелл-Манна - Окубо для массы 77-мезона. Вычитаемое ведет к дополнительному расщеплению между состояниями т] и г/', и представляет собой эффект от нарушения 5/7(3) симметрии во втором порядке по массе токовых кварков. Коэффициент сч зависит кроме того и от шести н восьмпкварковых вкладов. Формула (16) при сч ф 0 обобщает известный результат Вене-цнано, включая поправки, связанные с нарушением 5[/(3) симметрии вызванным присутствием т'хофтовских и восьмпкварковых взаимодействий. Численно то = 565 МэВ лишь немного больше экспериментального значения тп — 547.30 ± 0.12 МэВ. Поправка Виттена - Венециано (второе слагаемое ~ (т2{ — т2)2) связана с топологической восприимчивостью и по величине где-то в четыре раза превосходит требуемое значение. Так мы получаем, что т, ~ 496 МэВ. Эта величина корректируется вкладами от шести и восьмпкварковых взаимодействий, собранными в сч, к сожалению не улучшая согласие с экспериментом. В итоге мы получаем, что тп = 486 МэВ. Этот результат говорит о необходимости более тонкого описания эффектов, связанных с явным нарушением киральной симметрии.

Глава 6. Шестая глава посвящена исследованию возможных специфических проявлений восьмикварковых сил при фазовых переходах много-кварковой системы. Анализ основывается на изучении решений уравнения щели, соответствующего конкретной ситуации, и рассмотрении эффективного потенциала теории.

В разделе 6.1 изучается процесс динамического нарушения киральной симметрии, вызванный действием постоянного магнитного поля. В качестве модели выбран лагранжиан НИЛ, к которому добавлены взаимодействия т'Хофта и восьмикварковые силы. Хорошо известно, что в 2 + 1 и 3 + 1 измерениях постоянное и однородное магнитное поле Н ф 0 приводит к динамическому нарушению киральной симметрии и возникновению массы у фермиона при наличие сколь угодно малого притягивающего четы-рехфермионного взаимодействия между частицами и симметрия не может быть восстановлена при любых сколь угодно больших значениях Н.

Вычисления осуществляются сначала для стандартного случая, т.е. в отсутствии 6q и 8q взаимодействий (раздел 6.1.2). Это связано с тем, что используемая нами регуляризация отличается от регуляризаций других авторов. Убедившись, что она адекватно описывает хорошо изученную ситуацию, мы в разделе 6.1.3 обращаемся непосредственно к выяснению роли новых взаимодействий.

Получи» уравнение щели и изучив его решения, мы показываем, что шести и восьмпкварковые взаимодействия способны разрушить локальный минимум, катализированный действием постоянного магнитного поля. Это возможно, например, когда константы многокварковых взаимодействий обеспечивают режим, при котором модель обладает более чем одним локальным минимумом при Н = 0, хотя это лишь достаточное условие: даже в случае конфигурации, обладающей одним локальным минимумом, П1)и помещении системы в сильное магнитное поле возможно образование второго энергетически более выгодного локального минимума.

В разделе 6.2 изучается температурное поведение системы бсзмассовых кварков. Температурная зависимость вводится методом Мацубары. Анализируя поведения эффективного потенциала мы определяем температуру при которой происходит восстановление киральной симметрии и делаем вывод, что наличие восьмикварковых взаимодействий ведет к уменьшению величины критической температуры.

В разделе 0.3 принимается во внимание конечность масс токовых кварков. Это позволяет обратиться к изучению более реалистического случая. В частности, фиксировать параметры модели по экспериментальным данным. Мы используем для этого известные значения масс псевдоскалярных и скалярных мезонов, а также константы слабых распадов и /к■ Фит ведет к корреляции между величинами независимых констант (7 и д^. при уменьшении С константа д\ растет, при этом спектр практически не показывает каких либо существенных изменений.

Анализ численных решений уравнения щели позволяет заключить, что взаимодействия, нарушающие правило Цвейга, играют важную роль для понимания природы температурного фазового перехода. Если они малы, фазовый переход будет быстрым кроссовер переходом. Однако, как только константа восьмикварковых взаимодействий д^ превысит некоторую критическую величину, тип перехода меняется на фазовый переход первого рода.

Заключение. Здесь кратко суммируются основные научные результаты, представленные в диссертационной работе, которые выносятся па защиту. Приводится неполный список семинаров и научных конференций, где докладывались и обсуждались основные результаты диссертации. Выражаются благодарности коллегам но совместной работе.

Приложения. Диссертация имеет три приложения. В приложении А содержится вывод рекурентного соотношения, играющего важную роль при получении основного результата главы 3. Приложение Б носит справочный характер: здесь собраны формулы и даны определения, необходимые при

рассмотрении смешивания между синглет-октетнымн компонентами ме-зонных состояний. Доказательство совместности системы уравнений стационарной фазы, полученной в главе 5 при бозонизации многофермиои-ных вершин, приводится в приложении В.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В диссертации предложено новое направление, суть которого состоит в изучении низкоэнергетической мезонной физики на базе эффективного лагранжиана с локальными многокварковыми взаимодействиями. Новыми являются: (а) развитый в диссертации математический аппарат, позволяющий построить эффективный мезонный лагранжиан бозонизиро-ванной теории в случае, когда киральная симметрия в системе нелинейно взаимодействующих фермионов нарушена явным и спонтанным образом; (б) модель, которая предполагает существование эффективных восьми-кварковых взаимодействий, как правило игнорируемых большинством известных подходов. Восьмикварковые взаимодействия, как показано в диссертации, важны для формирования стабильного вакуумного состояния многокварковой системы и влияют на характер протекания фазовых процессов при конечной температуре, плотности и в присутствии внешнего магнитного поля.

2. Развит новый теоретический метод, позволяющий вычислять од-нопетлевые п-частичные амплитуды в теории составных частиц с учетом полной импульсной зависимости эффективных мезонных вершин в лидирующем порядке 1/ЛГс разложения. Таким образом получено новое решение известной проблемы, ориентированное на использование в рамках метода функционального интеграла. Преимуществом нового решения является его простота: основная идея заключена в несложном преобразовании бозонных переменных, которое эквивалентно суммированию бесконечной цепочки однопетлевых фермионных петель в рамках стандартного хартри-фоковского подхода. Другое его достоинство заключается в гибкости формулировки: в диссертации построена нелинейная (здесь имеется в виду реализация представления киральной группы симметрии) версия метода, и сделан вывод о полной эквивалентности линейного и нелинейного подходов на массовой поверхности составных мезонных полей.

3. Благодаря новому методу впервые получены в модели НИЛ выражения для амплитуд 7Т7г-рассеяния и 77 —> тгтг вблизи порога, которые в лидирующем порядке 1/Л^с разложения полностью учитывают импульсную зависимость эффективных мезонных вершин. Исходя из полученных выражений, рассчитаны длины 7Г7т-рассеяния, параметры эффективной области 7Г7Г взаимодействия, дипольные поляризуемости пионов. Построены

киральные разложения амплитуд и показана связь первых членов такого разложения с известными результатами, установленными ранее на основе эффективных киральных лагранжианов.

4. Развит математический формализм, который может быть использован в качестве основного аппарата при построении инвариантной асимптотики оператора Дирака в теориях содержащих тяжелые частицы с разными значениями масс в присутствии внешних полей, принимающих значения в алгебре Ли группы /7(3). Метод Шиннгера - Девптта взят за основу конструкции. Существенно новым моментом является процедура ресуммирования ряда, полученного из разложения теплового ядра после взятия интегралов rio «собственному времени» Фока - Швиигера. Перестройка ряда диктуется требованиями симметрии и обеспечивает инвариантность возникающего эффективного действия на каждом шаге разложения. Тем самым новый метод распространяет ставшую уже классической технику Швингера — Девитта на случай теорий со спонтанно нарушенной SU(Nj)l ® SU(Nf)¡{ киральной симметрии, когда массовая матрица фер-мионных полей не пропорциональна единичной, и в этом представляется его основная ценность. В диссертации найдены аналитические выражения для первых четырех коэффициентов нового асимптотического ряда.

5. Найдена связь между существованием единственного действительного решения у системы уравнений стационарной фазы, определяющей квазиклассическую траекторию при бозонизации многофермионных взаимодействий, и стабильностью основного состояния теории. На основе этого результата установлено, что нарушение /7(1)л симметрии, осуществляемое детерминантом т'Хофта, в модели НИЛ с четырехфермионными /7(3)ь 0 /7(3)я киралыю симметричными взаимодействиями, ведет к теории, эффективный потенциал которой не ограничен снизу. Предложено решение проблемы нестабильности вышеуказанной теории, основанное на рассмотрении дополнительных локальных восьмикварковых взаимодействий.

6. Сделано теоретическое предсказание возможности осуществления вторичного магнитного катализа в системе, которая помимо четырехфер-мионных обладает шести и восьмифермионными взаимодействиями, а именно: способности таких взаимодействий при квазистатическом увеличении магнитного поля дестабилизировать вакуумное состояние системы, катализированное слабым магнитным полем.

7. Предсказан эффект понижения температуры киралыюго перехода с ростом интенсивности восьмикварковых сил.

8. Рассмотрение восьмикварковых взаимодействий позволяет сделать вывод, что вершины, нарушающие правило Цвейга, влияют на тип фа-

зового перехода в многокварковой системе с явно нарушенной кпралмши симметрией, а именно: в зависимости от силы восьмикварковых взаимодействий в системе с N1 = 3 при конечной температуре может осуществляться либо быстрый кроссовер переход, либо фазовый переход первого рода.

9. Сделан вывод о имеющейся связи между интенсивностью восьмикварковых взаимодействий, нарушающих правило Цвейга, и механизмом динамического нарушения киральной симметрии: начиная с некоторого «критического» значения константы восьмикварковых связей, за спонтанное нарушение симметрии ответственны взаимодействия т'Хофта, а не че-тырехкварковые взаимодействия, которые вызывают данный процесс при слабых восьмикварковых силах.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. V. Bernard, A. A. Osipov and Ulf-G. Meißner, "Consistent treatment of the bosonized Nambu — Jona-Lasinio model", Physics Letters B, Vol. 285, No. 1-2 (1992) pp. 119-125.

2. B. Bajc, A. H. Blin, B. Hiller, M. C. Nemes, A. A. Osipov, and M. Rosina, "Low-energy dynamics of the 77 —» тттт reaction in the NJL model", Nuclear Physics A, Vol. 604, No. 4 (1996) pp. 406-428.

3. V. Bernard, A. H. Blin, B. Hiller, Yu. P. Ivanov, A. A. Osipov, and Ulf-G. Meißner, "Quark-antiquark resonances in the NJL model", Physics Letters B, Vol. 409, No. 1-4 (1997) pp. 483-490.

4. M. К. Волков, А. А. Осипов, "Поляризуемости пионов и каонов в кварковой модели сверхпроводящего типа", Ядерная Физика, том 41, вып. 4 (1985) стр. 1027-1034.

5. A. A. Osipov and М. К. Volkov, "Decays of the В, H, Н', Qx and Q2 mesons in the quark model of superconducting type", Sov. Journal of Nuclear Physics, Vol. 41, No. 3 (1985) pp. 500-503 [Ядерная Физика, том 41, вып. 3 (1985) стр. 785-790].

6. A. A. Osipov, and М. К. Volkov, "Pion-pion scattering lengths", Sov. Journal of Nuclear Physics, Vol. 39, No. 3 (1984) pp. 440-442 [Ядерная Физика, том 39, вып. 3 (1984) стр. 694-698].

7. V. Bernard, Ulf-G. Meißner, and A. A. Osipov, "The momentum-space bosonization of the Xamhn Jona-Lasinio model with vector and axial-vector mesons', Physics Leiters В, Vol. 324, No. 2 (1994) pp. 201-208.

8. V. Bernard, A. H. Blin, B. Hiller, Yu. P. Ivanov, A. A. Osipov, and Ulf-G. Meißner, '"Pion observahles in the extended NJL model with vector and axial-vector mesons", Annals of Physics, Vol. 249, No. 2 (199G) pp. 499-531.

9. A. A. Osipov, "The momentum-space bosonization", Physics of Atomic Nuclei, Vol. 59, No. 10 (1996) pp. 1786-1794 [Ядерная Физика, том 59, вып. 10 (1996) стр. 1849-1858].

10. М. К. Волков, А. А. Осипов, "тг —> с^ переходы и кварковые массы в модели сверхпроводящего типа", Препринт ОИЯИ Р2-85-390 (1985), 7 стр.

11. М. К. Волков, А. А. Осипов, "7га1-переходы и низкоэнергетический предел в линейной сигма-модели", Теоретическая и математическая физика, том 86, вып. 3 (1991) стр. 385-390.

12. A. A. Osipov and В. Hiller, "One-loop fermion determinant with explicit chiral symmetry breaking", Physics Letters B, Vol. 488, No. 3-4 (2000) pp. 299-302.

13. A. A. Osipov, B. Hiller and A. H. Blin, "One-loop determinant of Dirac operator in non-renormalizable models", Physics Letters B, Vol. 475, No. 3-4 (2000) pp. 324-328.

14. A. A. Osipov and B. Hiller, "Inverse mass expansion of the one-loop effective action", Physics Letters В, Vol. 515, No. 3-4 (2001) pp. 458-462.

15. A. A. Osipov, M. Sampaio and B. Hiller, "Implications of a new effective chiral meson lagrangian", Nuclear Physics A, Vol. 703, No. 1-2 (2002) pp. 378-392.

16. A. A. Osipov and B. Hiller, "Effective chiral meson Lagrangian for the extended Nambu — Jona-Lasinio model", Physical Review D, Vol. 62, No. 11 (2000) 114013.

17. A. A. Osipov and B. Hiller, "Generalized proper-time approach for the case of broken isospin symmetry", Physical Review D, Vol. 63, No. 9 (2001) 094009.

18. A. A. Osipov and B. Hiller, "Large mass invariant asymptotics of the effective action", Physical Review D, Vol. 64 (2001) pp. 087701-1 - 0877014.

19. A. A. Osipov, H. Hansen and B. Hiller, "Long distance expansion for the NJL model with SU{3) and UA(l) breaking", Nuclear Physics A, Vol. 745, No. 1-2 (2004) pp. 81-103.

20. H. Hansen, A. A. Osipov, and B. Hiller, "Implications of a generalized heat kernel expansion for an effective QCD chiral Lagrangian with SU{3) and UA( 1) breaking", Proceedings of the Eighth Workshop on Non-Perturbative Quantum Chromodynamics, Paris, France, 7-11 June 2004. Editors: Berndt Midler and Cliung-I Tan. Special Issue of Int. Journal of Mod. Phys. A, Vol. 20, No. 19 (2005) pp. 4599-4608.

21. A. A. Osipov and B. Hiller, "Path integral bosonization of the't Hooft determinant: quasi-classical corrections", European Physical Journal C, Vol. 35, No. 2 (2004) pp. 223-241.

22. A. A. Osipov and B. Hiller, "Path integral bosonization of the't Hooft determinant: fluctuations and multiple vacua", Physics Letters B, Vol. 539, No. 1-2 (2002) pp. 76-84.

23. A. A. Osipov, B. Hiller, V. Bernard, and A. H. Blin, "Aspects of UA( 1) breaking in the Nambu and Jona-Lasinio model", Annals of Physics, Vol. 321, No. 11 (2006) pp. 2504-2534.

24. B. Hiller, A. A. Osipov, and A. Blin, "Perturbative approach to UA( 1) breaking", Proceedings of International Conference on High Energy and Mathematical Physics, Marrakech, Morocco, 4-7 Apr 2005. Published in African Journal of Math. Phys., Vol. 3, No. 1 (2006) pp. 65-75.

25. B. Hiller, A. A. Osipov, V. Bernard, and A. H. Blin, "Functional integral approaches to the bosonization of effective multi-quark interactions with UA(l) breaking", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, Vol. 2 (2006) Paper 026, 18 pages.

26. A. A. Osipov, B. Hiller, J. Moreira, and A. H. Blin, "Stationary phase corrections in the process of bosonization of multi-quark interactions", European Physical Journal C, Vol. 46, No. 1 (2006) pp. 225-233.

27. A. A. Osipov, B. Hiller, J. da Providencia, "Multi-quark interactions with a globally stable vacuum", Physics Letters B, Vol. 634, No. 1 (2006) pp. 48-54.

28. A. A. Osipov, B. Hiller, A. H. Blin, aud J. da Providencia, "Effects of eight-quark interactions on the hadronic vacuum and mass spectra of light mesons", Annals of Physics, Vol. 322, No. 9 (2007) pp. 2021-2054.

29. A. A. Osipov, B. Iiillcr, A. H. Blin, J. da Providencia, "Dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field and multi-quark interactions", Physics Letters D, Vol. C50 (2007) pp. 262-267.

30. B. Hiller, A. A. Osipov, A. H. Blin, and J. da Providencia, "Effects of quark interactions on dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, Vol. 4 (2008) Paper 024, 14 pages.

31. A. A. Osipov, B. Hiller, J. Moreira, A. H. Blin, J. da Providencia, "Lowering the critical temperature with eight-quark interactions", Physics Letters D, Vol. 646 (2007) pp. 91-94.

32. A. A. Osipov, B. Hiller, J. Moreira, A. H. Blin, "OZI violating eight-quark interactions as a thermometer for chiral transitions", Physics Letters D, Vol. 659 (2008) pp. 270-274.

riojiyweHO 15 anpejiH 2009 r.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 16.04.2009. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,92. Тираж 100 экз. Заказ № 56565.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 Динамика составных частиц: вычисление амплитуд п-частичных процессов в лидирующем порядке 1 /Nc разложения

1.1 Формулировка задачи.

1.2 Бозонизация в импульсном пространстве.

1.3 Разложения по степеням т.

1.4 7Г7Г рассеяние.

1.5 7") —> 7Г7Г взаимодействие.

1.6 Процесс 77 —» 7Т°7Г°.

1.7 Процесс 777г+7г.

2 Динамика составных частиц: векторные Jp = моды

2.1 Бозонизация расширенной модели НИЛ.

2.2 Соотношение Гольдбергсра - Треймана и другие формулы

2.3 Разложение по степеням m.

2.4 7Г7Г рассеяние в расширенной модели НИЛ.

2.5 Нелинейная формулировка модели.

2.6 7Г7Г рассеяние: нелинейный подход.

3 Метод Швингера — Девитта в теории с нарушенной киральной симметрией

3.1 Разложение Швингера — Девитта.

3.2 Случай невырожденных масс

3.3 Связь коэффициентов Ьп и а„

3.4 Выводы.

4 Эффективный лагранжиан модели НИЛ с нарушенной SU(3)f и U(1)a симметрией

4.1 Модель.

4.2 Отступление в одно измерение.

4.3 Разложение фермионного детерминанта.

4.4 Токи, смешивание, константы fp

4.5 Спектр масс

4.6 Численные оценки.'.

5 Восьмикварковые взаимодействия и стабильность SU{3) <g> 51/(3) ваку

5.1 Простая модель с локальными многокварковыми взаимодействиями

5.2 Условия глобальной стабильности вакуума: SU{3) случай.

5.3 Условия глобальной стабильности: общий случай.

5.4 Псевдоскалярный спектр.

5.5 Скалярный спектр.

5.6 Численные оценки.

6 Фазовые переходы при наличие восьмикварковых взаимодействий

6.1 Магнитный катализ.

6.2 Температура фазового перехода.

6.3 Фазовый переход при т ф 0.

Цветные кварки и глюоны являются не наблюдаемыми непосредственно на опыте основными объектами фундаментальной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодипамнки (КХД). При низких энергиях законы, описывающие взаимодействие этих фундаментальных частиц, приводят к сложным перестройкам внутри кварк-глюонпой системы, в результате которых появляются бесцветные образования из кварков и глюонов: мезоны, барионы, глюонии. гибриды н возможная экзотика.

Несмотря на то, что лагранжиан КХД известен, сложность явлений, которые охватывает теория, почти не оставляет надежд на то. что ее уравнения могут быть решены точно и в результате нам откроется картина адронного мира. Обычная теория возмущений1 или любое искусное ресум-мирование ряда теории возмущений не годятся для вычислений свойств адронов, т.к. они не в состоянии воспроизвести нулевую асимптотику ад-ронных масс при малых значениях КХД константы связи д. являющуюся прямым следствием ренорм-группового рассмотрения [1], что выводит на первый план неиертурбативные методы. Их задача дать нам в руки эффективный аппарат для описания низкоэнергетической динамики адронов и найти ответ на такие фундаментальные вопросы теории сильных взаимодействий как копфайпменг, спонтанное нарушение киралыгай симметрии, структура КХД вакуума, динамическая генерация адронных масс.

Феномен спонтанного нарушения киральной симметрии в КХД тесно связан с явлением конфайнмснта: в теории, обладающей кирально симметричными взаимодействиями конфапнмирующими кварки, с неизбежностью происходит спонтанное нарушение киральной симметрии [2, 3]. При этом возбуждаются голдстоуновские моды [4, 5] — своеобразная реакция системы, направленная на восстановление утраченной вакуумом симметрии. Неудивительно, что кпральпая симметрия играет определяющую роль в описании динамики голдстоуновских частиц, и это нашло свое математическое выражение в методе феноменологических лагранжианов [6, 7].

1 Пертурбативная динамика дочшшрзет на расстояниях г < 0.25 фм.

Первоначально идея заключалась в удобной и компактной лагранже-вой форме записи основных результатов алгебры токов. Позднее данный подход удалось развить в мощный самостоятельный метод для описания сильных взаимодействий псевдоголдстоуновских мезонов, получивший название киральной теории возмущений (КТВ) [8]. При низких энергиях поведение амплитуд рассеяния или матричных элементов токов в КХД может быть описано в терминах модифицированных тейлоровских разложений по импульсам частиц, учитывающих сингулярности, связанные с полюсами и разрезами, порождаемыми присутствием в спектре теории легких псевдоскаляров. КТВ дает возможность получить вышеуказанные разложения, используя язык феноменологических мезонных лагранжианов и методы эффективной теории ноля. При этом полностью игнорируется кварк-антикварковая структура псевдоголдстоуновских состояний, а значит неясно как можно вычислить константы эффективного мезониого лагранжиана из первых принципов. Чтобы продвинуться в решении данного вопроса, необходимо понять микроскопическую картину спонтанного нарушения киральной симметрии в КХД, т.е. установить какие топологически нетривиальные конфигурации полей Янг — Миллса отвечают за это явление и каким образом в результате возникают эффективные мезонные вершины. Эта проблема еще не решена.

Модель ннстантонного [9, 10] вакуума КХД дает элегантное микроскопическое описание спонтанного нарушения киральной симметрии [11]-[13]. Ключевой элемент .механизма — наличие нулевой моды у оператора Дирака во внешнем поле (анти)инстантона. Локализованные пулевые моды отдельно взятых пнетантонов, перекрываясь между собой, делокализуются. В результате делокализации возникает глобальная зона «проводимости», характеризуемая ненулевой плотностью собственных значений оператора Дирака, приходящихся на единицу-объема пространства-времени: //(Л) при Л < 7% где т - масса фермиопа. Образование такой зоны означает нарушение киральной симметрии, т.к. в киральном пределе т —» 0 плотность квазпнулевых мод в зоне непосредственно связана с кварковым конденсатом: (qq) — — 7П/(0) Ф 0 (результат известный из работы [3]).

Реальная картина КХД вакуума по-видимому сложнее [14]-[16]. Инстан-тонный ансамбль не в состоянии объяснить конфайнмент. К тому же изучение распределения плотности топологического заряда на решетке свидетельствует о том, что около 80% пространства-времени заполнено двумя непрерывными структурами (слоями), обладающими противоположными зарядами. Наиболее интенсивные точки (18%) каждого из слоев организованы в протяженную локально одномерную структуру (скелст), пронизывающую весь слой [17]. Данная структура определенно отличается от того, что лежит в основе модели инстантоннон жидкости (разделенные топологические заряды). Известно также, что решение С/(1)л проблемы в КХД [18. 19], не нуждается в инстантонах. 1JN разложение оказалось более фундаментальным подходом, который автоматически справился с трудностями инстантонного решения: выполнением аномальных тождеств Уорда [20] и описанием в зависимости вакуумных ожиданий, например, для квар-кового конденсата (qq) [21]. Был построен и эффективный лагранжиан, включающий псевдоскалярные мезонпые поля и плотность топологического заряда Q(x), который отвечает решению 17(1) проблемы в рамках 1/N разложения КХД [22]. Отсюда в частности следует, что реальный механизм спонтанного нарушения киральной симметрии существенно отличается от картины перекрывающихся локализованных нулевых мод отдельных ин-стантонов.

Тем не менее инстантонная модель способствовала развитию полезного математического аппарата, позволившего заглянуть в топологические свойства адронного вакуума и связать конкретную микроскопическую картину с соответствующим ей на некотором макроскопическом уровне эффективным мезонпым лагранжианом. Одним из таких следствий оказались эффективные многокварковые взаимодействия, индуцированные ин-стантонами в области энергий Acor,f < Е < Ахарактеризуемой шкалой конфайнмента Aconf ~ Aqqd ~ 0.2 ГэВ н шкалой спонтанного нарушения киральной симметрии Axsr ~ — 1 ГэВ, где Axsb является естественным параметром разложения для эффективного кирального лагранжиана [23], а соответствующие вершины имеют вид

С = q(i$ - m)q + + + . . (1)

Здесь Г — матрицы, несущие индексы спипа, аромата и цвета; т — массы токовых кварков; А — масштаб, определяемый шкалой спонтанного нарушения киральной симметрии, а многоточием обозначены члены лагранжиана, содержащие более высокие степени фермиоиных полей и производных. Параметр А одновременно является эффективным обрезанием неие-ренормируемой теории, необходимым при вычислении кварковых нетель.

Замечательно, что теории с нелинейными многокварковыми связями возникают и вне рамок инстантонного подхода. Для этого нет необходимости конкретизировать вид топологических зарядов, присутствующих в адронном вакууме. Так в методе вакуумных корреляторов [24, 25], предположив. что некоторые из корреляторов глюонных полей, ответственных за конфайнмент2, отличны ог нуля, мы автоматически приходим к эффективной теории легких кварков с нелинейными многофермионными взаимодействиями.

Исходя из вышесказанного, можно предположить, что в основе эффективного мезонного лагранжиана на некотором более глубоком уровне понимания непертурбагивноп кварк-глюонной динамики лежит другая эффективная теория, которая может быть описана нелинейным кварковым лагранжианом и которая является естественным промежуточным шагом на пути извлечения феноменологических следствии КХД в области низких энергий. В настоящее время мы не располагаем надежным методом для получения такого лагранжиана из первых принципов. Тем не менее молено попытаться достичь некоторого прогресса основываясь на феноменологически мотивированных моделях, постепенно углубляя наши представления о структуре эффективных кварковых вершин. Что мы знаем о них сейчас?

Инстантонные модели позволяют сделать некоторые заключения относительно числа членов, содержащихся в лагранжиане (1). Известно, например, что в модели инстантонного газа возникает бесконечный набор многокварковых вершин, начиная с четырехкварковых [26], причем знаменитый детерминант т'Хофта [10] появляется при рассмотрении только нулевых мод в процессе получения эффективного кваркового лагранжиана. Этот 2Дг^-кварковый член, где Nf — число легких кварковых ароматов, явно нарушает U{1)a аксиальную симметрию КХД лагранжиана и несет ответственность за большую массу т/ мезона.

Напротив, в модели инстаптонной жидкости с малой плотностью ин-стантонов многокварковые вершины степеней больших чем 2Nf подавлены, и лагранжиан С, содержащий лишь четырехфермионные взаимодействия (при Nf = 2), уже является разумным приближением для построения эффективной теории [27]. При Nf — 3 в лагранжиане будут доминировать члены, схематически показанные в (1). Это эффективные вершины четырехкварковых взаимодействий типа Намбу — Иона-Лазинно3 (НИЛ) [28]-[30], которые симметричны относительно преобразований киральной U(3)l <8> U(3)r группы, и шестнкварковые взаимодействия т'Хофта. Каждое из них способно вызвать динамическое нарушение киральной симмет

23десь имеется в виду образование сi руны между цвешымп зарядами, которая состоит, в основном, из продольного электрического поля [14].

3Первоначально лагранжиан модели был написан в терминах нуклонных степеней свободы. В дальнейшем будем использовать его современную трактовку, основанную па кварковом описании. рии. Соответствующая аргументация [28, 31] основывается на изучении нетривиальных решений уравнения Хдртри — Фока для массового квар-кового оператора в приближении среднего ноля4.

Полуклассическая модель инстантониой жидкости феноменологически более успешна [13], [32]-[35], поэтому идея доминирования низших много-кварковых взаимодействий кажется предпочтительнее.

Еще один аргумент в пользу доминирования мы находим в теории вакуумных корреляторов [24]. Здесь, интегрируя по нолям глюонов в производящем функционале КХД, мы получаем эффективный кварковый лагранжиан, содержащий бесконечный набор многокварковых вершин. Каждая из них в качестве ядра включает неприводимые вакуумные корреляторы глюонных полей. Измерения на решегке5 указывают на наличие иерархии среди корреляторов и доминирование низшего из них (гауссов билокаль-нын коррелятор) [36]. Отсюда вытекает иерархия в семействе многокварковых вершин с доминированием низшего чегырехкваркового взаимодействия.

Общая структура моделей с многокварковыми квазилокальными взаимодействиями изучалась в работах [37]. Исходя из небольшого числа предположений (1/уУс-разложение, масштабная инвариантность), были классифицированы вершины эффективной теории, ответственные за динамическое нарушение киральной симметрии, и сделан вывод, что доминирующими здесь являются только четырех, шести и восьмикварковые взаимодействия.

Несмотря на достигнутые успехи, данная область исследований требует дальнейшего изучения как структуры эффективного многофермионного лагранжиана, так и теоретических методов, направленных на извлечение физической информации, заключенной в нем. Именно поэтому модели, основанные на эффективных многокварковых взаимодействиях, и составляют предмет исследования данной диссертационной работы. Мы ограничиваемся рассмотрением только локальных вершин и основные усилия направляем на формулировку новых методов, необходимых для бозонизации

4Существование таких решений не является достаточным условием для динамического нарушении симметрии. Важно, чтобы при этом эперпш вакуума была бы минимальна. При n/ = 2 это так, по при Nf — 3 эффективный потенциал неограничен снизу, а значит имеется серьезное внутреннее противоречие, которое, как будет далее показано, можно устрани п>, приняв во внимание следующий восьмиквлрковый член в разложении (1).

Сравнивались два вида кллнбровочно-ннвариантпых потевых корреляторов, которые отвечают значениям п — 1 и п — 4 в общем выражении Д^, = ('ft { gflli/l (.сь х0). g^nvr (т„,х0)}), где

GUti/t(xt,x о) = Ф(хо,х>)Рц,иг (.г,)Ф(а'г, ^о); и not годней формуле первый и третий члены — фа юный фактор в неабелевой теории Ф(.г, у) = Рехр i f* Л„ а «горой — чепзор напряженности глюонного поля. таких теорий. Распространение развитых здесь методов на случай более сложных по своей структуре нелокальных взаимодействий представляется отдельной самостоятельной задачей.

Целью диссертации является математический аппарат, который позволяет найти ответ на следующие физические вопросы: а) Как в эффективной теории с локальными мпогокварковыми взаимодействиями ввести переменные, отвечающие наблюдаемым составным кварк-антикварковым мезонным состояниям, и каким образом рассчитать амплитуды процессов с участием этих связанных состоянии? Здесь мы предлагаем новое решение известной проблемы, ориентированное на использование в рамках метода функционального интеграла, и применяем его для вычислений амплитуд 7г7г-рассеяпия и процесса 77 —> тпг. б) Как получить длинноволновое разложение для эффективного мезон-ного лагранжиана мпогокварковой теории, если известно, что киральная симметрия нарушена явным и спонтанным образом, а элементы массовой матрицы составляющих кварков не равны друг другу? Здесь па базе метода теплового ядра впервые решена задача ковариантного разложения теплового оператора в ряд по обратным степеням масс тяжелых кварков, а затем данный математический аппарат использован для нахождения эффективного мезонного лагранжиана, возникающего при бозонизацпи конкретной кварковой модели. в) Как бозонизировать многокварковые вершины? Здесь показано, что система уравнений стационарной фазы, возникающая при бозонизацпи модели на основе метода функционального интегрирования, вообще говоря, может иметь несколько действительных решении, что нежелательно, так как ведет к эффективному потенциалу неограниченному снизу, лишая теорию физического содержания. Нами впервые высказана гипотеза о том, что реалистическая модель с многокварковыми взаимодействиями должна удовлетворять требованию единственности стационарной траектории, которое может рассматриваться как прямое следствие наличия иерархии среди многокварковых сил. Гипотеза реализована при построении конкретной модели с SU(3)l ® SU(3)r киральной симметрией, где четырехкварковые и шестикварковые взаимодействия должны быть дополнены восьмиквар-ковыми вершинами, чтобы удовлетворить вышеуказанному требованию и тем самым ограничить эффективный потенциал теории снизу.

Очертим круг решаемых в диссертации задач более подробно. Модель НИЛ с четырехкварковыми U{3)l<8> U(3)r кирально симметричными взаимодействиями и нарушенной аксиальной U(1)a симметрией за счет шестикварковых взаимодействий т'Хофта уже давно и успешно используется для описания свойств низших мезонных состояний [38)-[49]. При этом по аналогии с четырехкварковым случаем предполагается, что нетривиальное решение уравнения Хартри — Фока для массового кваркового оператора по-прежнему характеризует состояние квазичастиц в адронном вакууме. Однако это не совсем так. Несложно убедиться, что нетривиальное решение хартри-фоковского уравнения в данном конкретном случае отвечает лишь локальному минимуму эффективного потенциала, который в целом неограничен снизу, что становится очевидным при задании его в виде функции от вакуумного ожидания (qq).

Бозонизация модели с помощью метода функционального интегрирования позволяет вскрыть источник проблемы. Как оказалось, система уравнений стационарной фазы6 т + Gh + ^h2 + ^/г3 + . = 0, (2) используемая для оценки производящего функционала Z, может иметь несколько корней Каждое действительное решение дает вклад в Z, т.е. Z ~ ^Z Zi, где г = 1. 2,. п - число действительных корней, а следовательно и в уравнение щели

J2h(i) +ml(m2) = 0, (3) i где /(m2) однопетлевой квадратично расходящийся интеграл, который обрезается при больших импульсах в евклиде р2Е = А2.

В модели НИЛ (G Ф 0, к, А — 0) уравнение (2) имеет единственное решение h = —m/G, при этом метод стацфазы дает точный результат: уравнение щели имеет тривиальное решение т = 0 (фаза Вигнера — Вейля), и при определенном условии, наложенном на параметры модели нетривиальное т ф 0, означающее спонтанное нарушение симметрии (фаза Намбу — Голдстоуна).

При включении взаимодействия т'Хофта (G, к ф 0. Л = 0) уравнение (2) имеет два действительных решения в области т > G2/2k, к, < 0, что разрушает теорию: во-первых, уравнение щели (3) теряет тривиальное решение, т.к. h^ + h= —2G/к ф 0, во-вторых, при малых к уравнение вВ качестве примера здесь рассматривается простейшее алгебраическое уравнение, возникающее когда четырехкварковые взаимодействия (константа связи G) дополняются шестикварковыми (константа к), а затем восьмнкварковыми взаимодействиями (константа Л); теория обладает киральной SU(3)l ® su(3)n симметрией, которая мол-сет быть спонтанно нарушена; то - щель и спектре квазичастиц. стацфазы является сингулярно возмущенным, т.е. если один из его действительных корней при н —> 0 переходит в решение невозмущенной задачи, то второй неограниченно растет но абсолютной величине и здесь уже нельзя говорить о малых поправках, вносимых взаимодействием т'Хофта.

Отсюда следует, что разумно ограничиться рассмотрением только таких эффективных многокварковых лагранжианов, для которых существует только одна действительная стационарная траектория. При этом мы предполагаем, что какой бы ни была реальная микроскопическая картина КХД вакуума, она не может описываться эффективной теорией, лишенной физического содержания. Высказанная гипотеза является важным конструктивным моментом при выборе эффективного лагранжиана. В частности, она указывает, что расширение модели НИЛ за счет шести-кваркового детерминанта т'Хофта, как минимум, должно сопровождаться одновременным добавлением восьмикварковых взаимодействий. Тогда, при выполнении определенных условий, наложенных на константы связи7, эффективный потенциал модифицированной теории будет определен при всех действительных значениях т pi будет иметь глобальный минимум.

Дальнейшее изучение модели позволяет установить, что величина восьмикварковых взаимодействий косвенно влияет на механизм динамического нарушения киральнон SU(^S)l® SU(3)h симметрии. Если они малы, нарушение симметрии — результат четьтрехкварковых сил. Однако, с ростом их интенсивности возможна конфигурация (т.е. феноменологически приемлемый набор значений параметров модели), при которой потенциал имеет сразу два локальных минимума, соответствующих кирально симметричному и кирально асимметричному вакуумным состояниям. При этом уже взаимодействие т'Хофта, а не четырехкварковые взаимодействия НИЛ, ответственны за спонтанное нарушение кирапыюй симметрии.

Теперь о бозонизации в целом. Бозоиизация многокварковых вершин, начиная с шестикварковых, не может быть выполнена точно. В диссертации она осуществляется методом функционального интегрирования и проводится в два этапа.

На первом этапе вводятся вспомогательные переменные; их число вдвое превышает количество независимых степеней свободы изучаемой задачи, поэтому, после смены порядка интегрирований, избыточные переменные исключаются, что достигается взятием соответствующих функциональных интегралов методом стационарной фазы. В результате многокварко

7В случае (2) таким условием будет g > к2/2А, которое возникает из требования монотонности кубической ф} икцп» на всей действительно» оси —тс < h < со. вые взаимодействия сводя 1ся к чисто мезониым и к взаимодействиям юка-вовского типа между кварками и мезонами. Это хорошо известный прием [40]. При его реализации требуется установить, что система стационарных уравнений, погруженная в девятимерное пространство группы ароматов U{3), совместна. Этот вопрос детально рассмотрен в диссертации. Показано что уравнения системы при определенном выборе параметров модели совместны и содержат единственное действительное решение, которое отвечает динамическому нарушению киральной SU{3)l С§> SU(3)ц симметрии8. В результате константы чисто мезонной части лагранжиана выражаются через коэффициенты стационарной траектории, которые в свою очередь рекурепгно связаны с величиной кваркового конденсата. При этом нам удалось заменить цепочку зацепляющихся уравнении ста-цфазы набором рекурентных формул для непосредственного вычисления коэффициентов эффективного лагранжиана.

На втором этапе интегрируются кварковые поля. Это интегрирование не требует приближенных методов. Здесь мы имеем дело с известными интегралами гауссова типа, которые ведут к формальному детерминанту оператора Дирака.

Новым достижением является метод, позволяющий построить длинноволновое разложение для модуля полученного детерминанта в условиях, когда киральная симметрия теории явно и спонтанно нарушена. Разложение дает вершины эффективного мезонного лагранжиана, причем каждый шаг разложения удовлетворяет требованиям симметрии исходного выражения. Предложенный метод является нетривиальным развитием известной техники Швингера — Девитта [51]-[55]. Результат совершенно оригинален, о чем, в частности, свидетельствует его включение в число современных успехов в развитии метода теплового ядра [56]. Следует подчеркнуть, что в литературе встречается множество задач, в которых авторы прибегают к длинноволновом}' разложению кнралыюго фермионного детерминанта (см., например, работы [57]-[62]). Общий их недостаток — отсутствие последовательной математически ясной процедуры для случая с явным нарушением киральной симметрии. В диссертации устранен этот очевидный пробел.

Второй метод, представленный в диссертации, связан с точным вычислением кваркового детерминанта. Он направлен на решение задач в ко

8Похожее исследование проводилось рапсе Пайсом при изучении уравнений отклика в октетном пространстве группы su{3), для выяснения возможности динамического нарушения su(3) симметрии сильных взаимодействий [50]. торых на первый план выходит знание полной импульсной зависимости бозонизированных мезонных вершин. Если первый метод дает нам инвариантное разложение эффективного мезонного лагранжиана по обратным степеням масс составляющих фермионов, то второй целиком формулируется в импульсном пространстве и направлен на вычисление п-частичных мезонных амплитуд на массовой поверхности этих составных состояний. Он также применим для построения низкоэнергетического разложения амплитуды по степеням импульсов и масс токовых кварков. Методы представляют собой два взаимно дополняющих друг друга подхода к проблеме описания динамики коллективных мезонных возбуждений на базе много-кваркового лагранжиана.

Отметим, что н-частпчные мезонные амплитуды можно вычислить с помощью уже имеющейся стандартной техники [63, 64, 39, 41, 42]. Уравнение щели в энергетическом спектре кварков в таком подходе возникает как следствие хартри-фоковского приближения в процессе решения собственно-энергетического уравнения для фермионной функции Грина, а коллективные мезонные возбуждения являются решениями соответствующих уравнений Бете — Солпитера на связанные кварк-антикварковые состояния. Предложенный в диссертации метод более универсален. Он содержит оригинальную процедуру бозопизации, существенным образом связанную с переходом от нефизических элементарных мезонных полей теории к составным физическим кварк-антикварковым состояниям (в импульсном пространстве). Это дает свои преимущества. Например, новый метод допускает возможность работы как с линейной, так и с нелинейной реализациями группы киральной симметрии. Мы показываем, что результаты линейного и нелинейного подходов полностью совпадают лишь па массовой поверхности составных мезонных состояний. В то же время они являются различными отправными точками при получении всевозможных пизкоэнергитических разложений теории. Кроме того, техника вычислений много проще стандартной, что позволило нам впервые получить целый ряд аналитических выражений ранее неизвестных в данной модели. Например, амплитуду распада р —» 7Г7Г, полностью учитывающую эффекты тг-ai смешивания, амплитуды 7гтг-рассеянпя, амплитуды двухфотонпых взаимодействий пионов 77 —> irir.

Многокварковые взаимодействия, в той форме в которой мы их здесь рассматриваем, не решают проблему конфайнмеита. Поэтому часть из полученных результатов имеет ограниченную область приложения. Так вершины рте7г или (77Г7Г используются в основном для описания одночастичных обменов в процессах с участием виртуальных р и а мезонов при энергиях ниже порога рождения кварк-ангикварковой пары, например, при изучении нпзкоэнергетической пионной физики. Чтобы исключить пефизпче-ские пороги, необходимо учесть конфайнмпрующие взаимодействия. Это возможно [65]-[67], но ценой дополнительных предположений. Нам представляется перспективной конструкция, иснользовапная в работе [25], и мы надеемся, что со временем методы, представленные в диссертации, будут распространены и на этот более общий случай.

Развитый здесь аппарат также может быть использован для расчетов в ядерной физике, где в последнее время появились и успешно развиваются лагранжевы модели, построенные на базе многонуклонных взаимодействий [68] и где нет необходимости в конфайимированин нуклонов.

Основной материал размещен в шести главах диссертации следующим образом.

В первой главе диссертации представлен метод, позволяющий вычислять произвольные n-частичные мезонные амплитуды с учетом полной импульсной зависимости лежащих в их основе кварковых однопетлевых диаграмм. Для простоты изложения рассматривается простейший вариант модели НИЛ с лагранжианом взаимодействия, инвариантным относительно преобразований киральной группы U(2)i ® С/(2)д. Стартовой точкой является формальное выражение для одиопетлевого фермионного детерминанта. Рассматривая собственно-энергетические мезонные фу нкции, мы показываем как следует определить нелокальные преобразования элементарных бозонных нолей к их физическим значениям; получаем выражения для констант мезон-кварковых взаимодействий, строим пропагаторы, описывающие псевдоскалярные п скалярные составные мезоны.

Интересно отметить, что в рамках излагаемого подхода уравнения на массы связанных кварк-антикварковых состояний совпадают с условиями полюсных особенностей в уравнениях Бете — Солпитера, хотя и получаются без явного суммирования бесконечной последовательности диаграмм, построенной из однопетлевых кварковых цепочек.

На основе уравнения щели и уравнения на массу пиона находятся тэйло-ровские разложения для основных физических величин в ряд по степеням токовой массы кварка. Они играют роль связующего звена при сравнении результатов развиваемого подхода с известными результатами, полученными ранее методом киральных лагранжианов. Непосредственное сравнение позволяет увидеть насколько быстро сходится киральное разложение, т.е. установить как отличаются матричные элементы, вычисленные на массовой поверхности связанных состояний, от результатов их последовательной аппроксимации в виде разложения в окрестности нефизического кирально симметричного решения.

Затем вычисляются: амплитуда 7Г7Г рассеяния, параметры эффективной области и длины рассеяния; подробно, в лидирующем приближении по 1 /Nc, исследуется процесс 77 — > 7гтг, находится его амплитуда н извлекаются дипольные поляризуемости пионов. Данные расчетов сравниваются с экспериментальными данными.

Во второй главе метод распространяется на случай расширенной модели НИЛ, содержащей помимо псевдоскалярных и скалярных мезонов векторные и аксиально-векторные состояния. Здесь возникает смешивание между псевдоскалярными и аксиально-векторными модами, а также между скалярной и векторной компонентами. Диагонализация соответствующих двухчастичных амплитуд осуществляется в импульсном пространстве. Нам принадлежит приоритет в учете п-а\ смешивания в модели НИЛ (Волков, Осипов: 1985 г.); оно ведет к увеличению массы составляющего кварка на 20%. Здесь также возникают соотношения, связывающие свойства пиона с характеристиками векторных и аксиально-векторных частиц. Соотношения подобного рода известны, обычно их получают, предполагая медленное изменение соответствующих формфакто-ров между р2 — 0 и массовой поверхностью состояний. В модели НИЛ мы выводим ряд моделыю-зависимых выражений, составленных из произведений формфакторов, которые справедливы при любых значениях р2 и, исходя из них, установливаем формулы, которые обобщают соотношение Гольдбергера — Треймана (на кварковом уровне), КСРФ (Каварабаяши и Сузуки, Риазуддин и Фаязуддин) соотношение и вайнберговскне правила сумм на случай составных кварк-антикварковых состояний.

Как и в предыдущей главе, исследуется эффект явного нарушения ки-ральной симметрии: построены киральные разложения для основных физических величин в присутствии частиц сшша-1. Показано, что в модели НИЛ с векторными мезонами улучшается сходимость кирального ряда.

Затем мы повторяем расчет амплитуды упругого тг7г-рассеяния, учитывая вклады р и а,1 мезонов, и извлекаем из нее информацию о фазах, длинах рассеяния и параметрах эффективной области взаимодействия.

В заключение метод распространяется на случай с нелинейной реализацией киральной симметрии, для чего используется стандартная техника индуцированных представлений. Мы показываем, что физические результаты не зависят от способа реализации киральной симметрии. Изменяется только диаграммное содержание теории и поведение амплитуд вне массовой поверхности. Так замена переменных, преобразующихся по линейному представлению кнральной группы, на переменные, преобразующиеся ио нелинейному закону, полностью меняет картину отдельных виртуальных вкладов в амплитуду 7Т7г рассеяния, однако их полная сумма на массовой поверхности пионов остается прежней.

В третьей главе строится разложение кирального фермионного детерминанта в ряд ио обратным степеням тяжелых масс кварков, когда массы кварков различаются. Отправным пунктом является знаменитое представление детерминанта эллиптического оператора в виде интеграла но собственному времени (оно известно, как формула Швингера —Девитта). Некоммутативность массовой матрицы с остальной частью оператора существенно усложняет задачу. Используя специально предложенную формулу, нам удается пересуммировать ряд так, что его члены собираются в инвариантные комбинации. В итоге каждый шаг асимптотического разложения теплового ядра сохраняет трансформационные свойства исходного выражения, что важно, например, при использовании метода тепловой функции для получения вершин эффективного мезонного лагранжиана, описывающего длинноволновый предел теории. Вычислены первые коэффициенты нового разложения, и показано, что они в частном случае равных кварковых масс совпадают с известными коэффициентами Снли — Девитта.

В четвертой главе мы бозонизируем модель, содержащую черырехквар-ковые взаимодействия ПИЛ и шестикварковые взаимодействия т'Хофта. В производящий функциональный интеграл вводятся дополнительные бо-зонные переменные, которые позволяют исключить все фермиоиные вершины лагранжиана степень которых выше второй. Вместо них появляются бозонные вершины, зависящие от вспомогательных полей. Избыточные переменные устраняются приближенным интегрированием с помощью метода стационарной фазы. Стационарные траектории удовлетворяют системе из восемнадцати кубических уравнений, которые совместны, но имеют несколько действительных корней. Показывается, что это дестабилизирует теорию: она не имеет вакуумного состояния. Возможное решение проблемы представлено в следующей главе, а здесь, как это обычно делается в литературе, рассматривается лишь одно действительное решение, отвечающее пересуммнрованшо ряда теории возмущений по константе т'Хофта (необходимый шаг для последующих сравнений). Полученная в предыдущей главе формула для длинноволнового разложения эффективного действия позволяет построить мезопный лагранжиан теории. Вычисляются спектр масс, константы слабого распада и углы смешивания псевдоскалярных мезонов.

В пятой главе к лагранжиану модели добавляются локальные эффективные восьмикварковые взаимодействия не содержащие производных. Показано, что при определенных условиях, наложенных на константы mhoi о-кварковых связей, система уравнений стационарной фазы имеет лишь одно действительное решение, и. благодаря этому, теория обладает стабильным вакуумным состоянием. Единственность действительного стационарного решения устанавливается в самом общем случае, когда ти ф та ф ms. Затем мы переходим к вычислению мезонпого спектра, и показываем его слабую чувствительность к величинам констант восьмикварковых взаимодействий с/1 и с/2- При этом наблюдается корреляция между величиной константы четырехкварковых взаимодействий G и величиной константы <?i, описывающей восьмикварковые взаимодействия, нарушающие правило Цвейга. Подробно обсуждается связь полученных массовых формул с ранее известными результатами.

В шестой главе исследуются специфические проявления восьмикварковых сил при кпральных фазовых переходах. Анализ основывается на изучении зависимости эффективного потенциала многокварковой системы от величины вакуумного ожидания билинейного по кварковым полям скалярного оператора (qq) в присутствии (а) внешнего постоянного магнитного поля; (б) при конечных температурах. Изучение фазовых переходов при конечной температуре осуществляется как для случая безмассовых, так п массивных кварков. Эффективный потенциал как функция (qq) строится в лидирующем приближении метода стационарной фазы.

В заключение суммируются основные результаты диссертации выносимые на защиту. На их основе делается вывод, что в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение. Там же приводится неполный список из наиболее важных семинаров п конференций, где были представлены результаты диссертационной работы.

Диссертация содержит три приложения, в которые вынесены некоторые детали вычислений, а также общее доказательство совместности системы уравнений стацфазы, которое является слишком длинным для включения в основной текст работы.

Публикации, на которых основана диссертация, указаны в общем списке литературы иод номерами [69]-[100].

Заключение

В диссертации предложено новое направление, суть которого состоит в изучении низкоэнергетпческой мезонной физики на базе эффективного лагранжиана с локальными многокварковыми взаимодействиями. Новыми являются: (а) развитый в диссертации математический аппарат, позволяющий построить эффективный мезонный лагранжиан бозонизированной теории; (б) модель, которая предполагает существование эффективных восьмикварковых взаимодействий, как правило игнорируемых большинством известных подходов. Восьмикварковые взаимодействия, как показано в диссертации, важны для формирования стабильного вакуумного состояния многокварковой системы и влияют на характер протекания фазовых процессов при конечной температуре, плотности и в присутствии внешнего магнитного поля.

Разработанные в диссертации новые теоретические методы позволяют повысить эффективность изучения теорий с многофермиопными взаимодействиями, упростить их теоретический анализ и повысить качество получаемых результатов. Методы могут быть полезными при построении эффективного мезонного лагранжиана в длинноволновом пределе теории или при расчетах амплитуд ?1-частичных процессов в лидирующем приближении 1/iV разложения. Можно предположить, что развитие и изучение новых фермионных моделей с нелинейными взаимодействиями продолжится. Такая уверенность, в частности, основывается на ожидании, что многофермпонные модели позволят извлечь ценную информацию о механизме динамического нарушения киральной симметрии в теории сильных взаимодействий pi прольют свет на природу генерации масс. Для этого необходимо установить общую структуру лагранжиана, которая несет ответственность за явное и спонтанное нарушение киральной U (3)/, <Э U(3)д симметрии и в частности понять, какое из эффективных многофермион-ных взаимодействий: четырехкварковое пли шестикварковое отвечает за это фундаментальное явление, какую роль здесь играют восьмикварковые взаимодействия и как все это связано с нарушением феноменологического правила Цвейга.

Суммируем основные научные результаты, представленные в диссертационной работе, которые выносятся на защиту:

1. Новый теоретический метод, позволяющий вычислять однопетлевые //-частичные амплитуды в теории составных частиц с учетом полной импульсной зависимости эффективных мезонных вершин в лидирующем порядке 1 JNC разложения.

2. Нелинейная формулировка метода, и вывод о полной эквивалентности линейного и нелинейного подходов на массовой поверхности составных мезонных полей.

3. Впервые полученные в модели НИЛ выражения для амплитуд 7Г7Г-рассеяния и 77 —тгтг вблизи порога, которые в лидирующем порядке 1/NC разложения полностью учитывают импульсную зависимость эффективных мезонных вершин, а также расчитанные на их основе длины рассеяния, параметры эффективной области, дипольные поляризуемости пионов.

4. Новое разложение тепловой функции в методе Швингера — Девитта по обратным степеням тяжелых масс составляющих кварков в случае, когда киральная симметрия теории нарушена явным и спонтанным образом, а также аналитические выражения для первых четырех коэффициентов асимптотического ряда.

5. Найденная связь между существованием единственного действительного решения у системы уравнений стационарной фазы, определяющей квазиклассическую траекторию при бозонизации многофермионных взаимодействий, и стабильностью основного состояния теории.

6. Доказательство, что нарушение U(1)a симметрии, осуществляемое детерминантом т'Хофта, в модели НИЛ с четырехфермионными U(3)l <g> U(3)r кирально симметричными взаимодействиями, ведет к теории, эффективный потенциал которой не ограничен снизу.

7. Решение проблемы нестабильности вышеуказанной теории, основанное на рассмотрении дополнительных локальных восьмикварковых взаимодействий.

8. Формулы для спектра легких мезонов и, в частности, обобщение формулы Виттена — Венециано для массы rf при наличие восьмикварковых сил.

9. Теоретическое предсказание возможности осуществления вторичного магнитного катализа в системе, которая помимо четырехфермионных обладает шести и восьмифермионными взаимодействиями, а именно: способности таких взаимодействий при квазистатическом увеличении магнитного поля дестабилизировать вакуумное состояние системы, катализированное слабым магнитным полем.

10. Эффект понижения температуры киралыю1 о перехода с ростом интенсивности восьмикварковых сил.

11. Результат, что восьмикварковые взаимодействия, нарушающие правило Цвейга, влияют на тип фазового перехода в многокварковой системе с явно нарушенной киральной симметрией, а именно: в зависимости от силы восьмикварковых взаимодействий в системе с Nj = 3 может осуществляться либо быстрый кроссовер переход, либо фазовый переход первого рода.

12. Вывод о имеющейся связи между интенсивностью восьмикварковых взаимодействий, нарушающих правило Цвейга, и механизмом динамического нарушения киральной симметрии: начиная с некоторого «критического» значения константы Sq-связи за спонтанное нарушение симметрии ответственны 6q-взaимoдcйcтвия т'Хофта, а не 4q-B3aHMOfleftcTBHH, которые вызывают данный процесс при слабых Sq-силах.

Материал, изложенный в диссертации, докладывался и обсуждался на семинарах Лаборатории ядерных проблем ОИЯИ, Боголюбовской лаборатории теоретической физики ОИЯИ, на теоретических семинарах ряда зарубежных научных центров: Университет г. Коимбра (Португалия), Университет им. Луиса Пастера г. Страсбург (Франция), Университет г. Регенсбург (Германия); а также на ряде международных конференций и рабочих совещаниях:

• The Quark Confinement and the Hadron Spectrum 2008, 1-6 Sept 2008, Mainz, Germany;

• The XIII International Conference "Selected Problems of Modern Theoretical Physics" (SPMTP08), June 23-27, 2008, Dubna, Russia;

• "Scadron'70" Workshop on Scalar Mesons and Related Topics, February 11-16, 2008, Lisbon, Portugal;

• "Quark Matter 2008" 20th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus Nucleus Collisions, February 4-10, 2008;

• The 7th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 07), 24-30 June 2007, Kyiv, Ukraine;

• The Hadronth06 Workshop, 7-9 September 2006, Perriscola, Spain;

• The Quark Confinement and the Hadron Spectrum VII, 2-7 September (2006), Azores, Portugal;

• The International Meeting on Topics in Quantum Field Theory, 10-14 April 2006, Belo Horizonte, BH, Brazil;

• The 6th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 05), 20-26 June 2005, Kyiv, Ukraine;

• The International Conference on High Energy and Mathematical Physics, Marrakech, Morocco, 4-7 April 2005;

• The 8th Workshop on Nonperturbative Quantum Chromodynamics, Paris, France, 7-11 June 2004;

• The 5th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 03), 23-29 June 2003, Kyiv, Ukraine;

• The International Conference on Many-Body Physics, Sept. 20-25, 1993, Coimbra, Portugal

Ссылки на полученные в диссертации результаты можно найти в центральных физических изданиях, включая обзорные журналы: «Physics Reports» и «Успехи Физических Наук». Данные исследования были поддержаны, как российским: РФФИ No 94-02-03028, так и европейскими: PCERN/FIS/1034/95, PCERN/FIS/1086/96, PCERN/ FIS/1062/97, PRA-XIS/P/FIS/12247/1998, POCTI/1999/FIS/35304, POSTI/FIS/35304/2000, CERN/Р/FIS/40119/2000, POSTI/FP/FNU/50336/2003, POCI/FP/63412/-2005, POCI/FP/63930/2005, POCI/FP/81926/2007 грантами; материал четырех последних глав является частью Европейской программы: Sixth Framework Programme: EU Integrated Infrastructure Initiative Hadron Physics Project: RII3-CT-2004-506078.

Мне хочется выразить благодарность Фонду Галуста Гульбекяна (Португалия) , удостоившего меня в октябре 2004 года стипендии почетного профессора фонда и поддержавшего исследования, приведенные в третьей, четвертой и пятой главах диссертации.

Я выражаю глубокую благодарность соавторам работ, вошедших в диссертацию: профессорам М. К. Волкову, Ulf-G. Meissner, V. Bernard, В. Hiller, А. Н. Blin, J. da Providencia, M. C. Nemes, M. Rosina, а также к.ф.-м. наук Ю. П. Иванову, и докторам J. Moreira и В. Bajc.

1. Callan С. G., Dashen R., Gross D. J. Toward a theory of the strong interactions // Physical Review D.-1978.-Vol. 17.-№ 10,- p. 2717-2763.

2. Casher A. Chiral symmetry breaking in quark confining theories // Physics Letters В.-1979,- Vol. 83.- № 3-4,- p. 395-398.

3. Banks Т., Casher A. Chiral symmetry breaking in confining theories // Nuclear Physics В.- 1980,- Vol. 169.-№ 1-2.- p. 103-125.

4. Nambu Y. Axial vector current conservation in weak interactions // Physical Review Letters.- I960,- Vol. 4.- № 7.- p. 380-382.

5. Goldstone J. Field theories with «superconductor» solutions // Nuovo Cimento.- 1961,- Vol. 19,- № 1,- p. 154-164.

6. Gasiorowicz S., GefTen D. A. Effective lagrangians and field algebras with chiral symmetry // Reviews of Modern Physics.- 1969.- Vol. 41.- № 3.-p. 531-573.

7. Dyakonov D. I., Petrov V. Yu. A theory of light quarks in the instanton vacuum // Nuclear Physics В.- 1986,- Vol. 272, № 2,- p. 457-489.

8. Schafer Т., Shuryak E. V. Instantons in QCD // Reviews of Modern Physics.- 1998,- Vol. 70.- № 2,- p. 323-425.

9. Симонов Ю. А. Конфайнмент // Успехи физических наук,- 1996,- т. 166,- т.- с. 337-362.

10. Chernodub М. N., Polikarpov М. I. Abelian projections and monopoles // arXiv: hep-th/9710205.

11. Chernodub M. N., Nakamura A., Zakharov V. I. Manifestations of magnetic vortices in equation of state of Yang-Mills plasma // arXiv: 0807.5012 hep-lat].

12. Witten E. Current algebra theorems for the £7(1) «Goldstone boson» // Nuclear Physics В.- 1979.- Vol. 156.- № 2,- p. 269-283.

13. Veneziano G. U( 1) without instantons // Nuclear Physics В.- 1979.- Vol. 159.- № 1-2,- p. 213-224.

14. Crewther R. J. Chirality selection rules and the U( 1) problem // Physics Letters В.- 1976,- Vol. 70.- № 3,- p. 349-354.

15. Manohar A., Georgi H. Chiral quarks and the non-relativistic quark model // Nuclear Physics В.- 1984,- Vol. 234.- № 1,- p. 189-212.

16. Simonov Yu. A. Theory of light quarks in a confining vacuum // Physics of Atomic Nuclei.- 1997.- Vol. 60.- № 12,- p. 2069-2093 Ядерная Физика.- 1997,- т. 60.- № 12.- с. 2252-2276].

17. Simonov Yu. A. Chiral Lagrangian with confinement from the QCD Lagrangian // Physical Review D.- 2002,- Vol. 65.- № 9.- 094018 10 p.

18. Simonov Yu. A. Effective quark lagrangian in the instanton-gas model // Physics Letters В.- 1997.- Vol. 412.- № 3-4.- p. 371-376.

19. Shuryak E. V. Applying the many-body theory to quarks and gluons // Physics Reports.- 2004,- Vol. 391.- № 3-6,- p. 381-428.

20. Вакс В. Г., Ларкин А. II. О применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 1961.- т. 40.- № 1.- с. 282-285.

21. Арбузов Б. А., Тавхелидзе А. Н., Фаустов Р. Н. К вопросу о массе фермиона в 75-инвариантноп модели квантовой теории поля // Доклады Академии наук СССР.- 1961,- т. 139,- № 2,- с. 345-347.

22. Caldi D. G. Quark-mass generation by pseudoparticles // Physical Review Letters.- 1977.- Vol. 39.- № 3.- p. 121-124.

23. I): Quark-giuon plasma // Nuclear Physics В.- 1982,- Vol. 203.- № 1,-p. 140-156. Shuryak E. Pseudoscalar mesons and instantons // Nuclear Physics В.- 1983.- Vol. 214,- № 2,- p. 237-252.

24. Schafer Т., Shuryak E., Verbaarschot J. J. M. Baryonic correlators in the random instanton vacuum // Nuclear Physics В.- 1994,- Vol. 412,- № 1-2,- p. 143-168.

25. Di Giacomo A., Dosch H. G., Shevchenko V. I., Simonov Yu. A. Field correlators in QCD. Theory and applications // Physics Reports.- 2002,-Vol. 372,- № 4,- p. 319-368.

26. Андрианов А. А., Андрианов В. А. Эффективные фермионные модели с динамическим нарушением симметрии // Теоретическая и математическая физика.- 1993.- т. 94,- №1- с. 6-18. Andrianov А. А.,

27. Andrianov V. A. Structure of effective fermion models in symmetry-breaking phase // International Journal of Modern Physics A.- 1993.-Vol. 8.- № 11.- p. 1981-1991.

28. Bernard V., Jaffe R. L., Meissner U.-G. Flavor mixing via dynamical chiral symmetry breaking // Physics Letters В.- 1987,- Vol. 198.- № 1,-p. 92-98.

29. Bernard V., Jaffe R. L., Meissner U.-G. Strangeness mixing and quenching in the Nambu — Jona-Lasinio model // Nuclear Physics B.-1988.- Vol. 308.- № 4,- p. 753-790.

30. Reinhardt H., Alkofer R. Instanton-induced flavour mixing in mesons // Physics Letters В.- 1988,- Vol. 207.- № 4,- p. 482-488.

31. Vogl U., Weise W. The Nambu and Jona-Lasinio model: Its implications for hadrons and nuclei // Progress in Particle and Nuclear Physics.-1991.- Vol. 27,- p. 195-272.

32. Takizawa M., Tsushima K., Kohyama Y., Kubodera K. Study of meson properties and quark condensates in the Nambu — Jona-Lasinio model with instanton effects // Nuclear Physics A.- 1990.- Vol. 507.- № 3-4,- p. 611-648.

33. Klevansky S. P. The Nambu — Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics // Reviews of Modern Physics.- 1992.- Vol. 64.- № 3.-p. 649-708.

34. Kunihiro Т., Hatsuda T. Effects of flavour mixing induced by axial anomaly on the quark condensates and meson spectra // Physics Letters В.- 1988.- Vol. 206.- № 3,- p. 385-390.

35. Hatsuda Т., Kunihiro T. QCD phenomenology based on a chiral effective lagrangian // Physics Reports.- 1994,- Vol. 247,- № 5-6,- p. 221-367.

36. Bernard V., Blin A. II., Hiller В., Mcifiner U.-G., Ruivo M. C. Strong and radiative meson decays in a generalized Nambu — Jona-Lasinio model // Physics Letters В.- 1993.- Vol. 305,- № 1-2,- p. 163-167.

37. Dmitiasinovic V. Ua{ 1) symmetry breaking, scalar mesons and the nucleon spin problem in an effective chiral field theory // Nuclear Physics A.- 2001.- Vol. 686.- № 1-4,- p. 379-392.

38. Naito К., Oka M., Takizawa M., Umekawa T. UA{1) breaking effects on the light scalar meson spectrum I j Progress of Theoretical Physics.-2003.- Vol. 109,- № 6,- p. 969-980.

39. Pais A. Some remarks about dynamical asymmetry // Physical Revicw.-1968,- Vol. 173,- № 5.- p. 1587-1595.

40. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization / / Physical Review.- 1951.- Vol. 82,- № 5.- p. 664-679.

41. DeWitt B. S. Dynamical Theory of Groups and Fields.- New York: Gordon and Breach, 1965. Девитт В. С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вылковыского.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.- 288 е.]

42. DeWitt В. S. Quantum field theory in curved spacetime // Physics Reports.- 1975.- Vol. 19.- № 6 p. 295-357.

43. Barvinsky A. O., Vilkovisky G. A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity // Physics Reports.-1985.- Vol. 119,- № 1.- p. 1-74.

44. Ball R. D. Chiral gauge theory // Physics Reports.- 1989,- Vol. 182,- № 1-2,- p. 1-186.

45. Vassilevich D. V. Heat kernel expansion: user's manual // Physics Reports.- 2003.- Vol. 388,- № 5-6.- p. 279-360.

46. Kikkawa K. Quantum corrections in superconductor models // Progress of Theoretical Physics.- 1976.- Vol. 56,- № 3.- p. 947-955.

47. Volkov M. K. Meson lagrangians in superconductor quark model // Annals of Physics.- 1984.- Vol. 157.- № 1.- p. 282-303.

48. Волков М. К. Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа // Физика элементарных частиц и атомного ядра,- 1986.- т. 17,- № 3.- с. 403-471.

49. Ebert D., Reinliardt Н. Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavour dynamics // Nuclear Physics B.-1986,- Vol. 271.- № 1,- p. 188-226.

50. Espriu D., de Rafael E., Taron J. The QCD effective action at long distances // Nuclear Physics В.- 1990,- Vol. 345,- № 1,- p. 22-56.

51. Bijnens J., Bruno C., de Rafael E. Nambu — Joim-Lasinio — like models and the low-energy effective action of QCD // Nuclcar Physics В.- 1993.-Vol. 390,- № 2.- p. 501-541.

52. Bernard V., Brockmann R., Schaden V., Weise W., Werner E. The goldstone pion and the quark-antiquark pion: (I). Pion mass and strength function // Nuclear Physics A.- 1984,- Vol. 412,- № 3,- p. 349-372.

53. Bernard V., Meissner U.-G. Properties of vector and axial-vector mesons from a generalized Nambu — Jona-Lasinio model // Nuclear Physics A.-1988.- Vol. 489.- № 4,- p. 647-670.

54. Celenza L. S., Shakin С. M., Sun W.-D., Szweda J., Zhu X. Scalar-isoscalar correlator in a phenomenological coupled-channel quark model // International Journal of Modern Physics E.- 1993,- Vol. 2.- № 3.- p. 603-627.

55. Celenza L. S., Shakin С. M., Sun W.-D., Szweda J., Zhu X. Quark model calculations of current correlators in the nonperturbative domain // Annals of Physics.- 1995,- Vol. 241,- № 1.- p. 1-36.

56. Celenza L. S., Shakin С. M., Sun W.-D., Szweda J., Zhu X. Vertex functions for confined quarks in momentum-space quark-liadron models // Physical Review D.- 1995.- Vol. 51,- № 7,- p. 3638-3651.

57. Nuclear Physics A.- 2003.- Vol. 729.- № 2-4,- p. 769-783. Mishustin I. N., Satarov L. M., Greiner W. How far is normal nuclear matter from the chiral symmetry restoration? // Physics Reports.- 2004,- Vol. 391.-№ 3-6.- p. 363-380.

58. Bernard V., Osipov A. A., Meifiner U.-G. Consistent treatment of the bosonized Nambu — Jona-Lasinio model // Physics Letters В.- 1992.-Vol. 285,- № 1-2,- p. 119-125.

59. Bajc В., Blin A. H., Hiller В., Nemes M. C., Osipov A. A., Rosina M. Low-energy dynamics of the 77 —> 7Г7Г reaction in the NJL model // Nuclear Physics A.- 1996.- Vol. 604.- № 4,- p. 406-428.

60. Bernard V., Blin A. H., Hiller В., Ivanov Yu. P., Osipov A. A., Meifiner U.-G. Quark-antiquark resonances in the NJL model // Physics Letters В.- 1997,- Vol. 409.- № 1-4,- p. 483-490.

61. Волков M. К., Осипов А. А. Поляризуемости пионов и каонов в квар-ковой модели сверхпроводящего типа // Ядерная Физика,- 1985.- т. 41, № 4.- с. 1027-1034.

62. Osipov A. A., Volkov М. К. Decays of the B,H,H',Q 1 and Q2 mesons in the quark model of superconducting type // Sov. Journal of Nuclear Physics.- 1985.- Vol. 41,- № 3,- p. 500-503 Ядерная Физика,- 1985.- т. 41,- № 3.- с. 785-790].

63. Osipov A. A., Volkov М. К. Pion-pion scattering lengths // Sov. Journal of Nuclear Physics.- 1984,- Vol. 39.- № 3.- p. 440-442 Ядерная Физика.-1984,- т. 39.- № 3,- с. 694-698].

64. Bernard V., Meifiner U.-G., Osipov A. A. The momentum-space bosonization of the Nambu — Jona-Lasinio model with vector and axial-vector mesons // Physics Letters В.- 1994,- Vol. 321,- № 2,- p. 201-208.

65. Bernard V., Blin A. H., Hiller В., Ivanov Yu. P., Osipov A. A., Meifiner U.-G. Pion observables in the extended NJL model with vector and axial-vector mesons // Annals of Physics.- 1996.- Vol. 249.- № 2.- p. 499-531.

66. Osipov A. A. The momentum-space bosonization // Physics of Atomic Nuclei.- 1996.- Vol. 59.- № 10.- p. 1786-1794 Осипов А.А. Бозонизация в импульсном пространстве // Ядерная Физика.-1996.- т. 59, № 10.-с. 1849-1858].

67. Волков М. К., Осипов А. А. 7г —> ai переходы и кварковые массы в модели сверхпроводящего типа.- Дубна, 1985.- 7 с. (Препринт ОИЯИ: P2-S5-390).

68. Волков М. К., Осипов А. А. 7га,1-Переходы и низкоэнергетическпн предел в линейной сигма-модели // Теоретическая и математическая физика,- 1991,- т. 86,- № 3.- с. 385-390.

69. Osipov A. A., Hiller В. One-loop fermion determinant with explicit chiral symmetry breaking // Physics Letters В.- 2000.- Vol. 488.- № 3-4.- p. 299-302.

70. Osipov A. A., Hiller В., Blin A. H. One-loop determinant of Dirac operator in non-renormalizable models // Physics Letters В.- 2000.- Vol. 475.- № 3-4,- p. 324-328.

71. Osipov A. A., Hiller B. Inverse mass expansion of the one-loop effective action // Physics Letters В.- 2001.- Vol. 515.- № 3-4,- p. 458-462.

72. Osipov A. A., Sampaio M., Hiller B. Implications of a new effective chiral meson lagrangian // Nuclear Physics A.- 2002,- Vol. 703.- № 1-2,- p. 378392.

73. Osipov A. A., Hiller B. Effective chiral meson Lagrangian for the extended Nainbu — Jona-Lasinio model // Physical Review D.- 2000.- Vol. 62.- № 11,- 114013 10 p.

74. Osipov A. A., Hiller B. Generalized proper-time approach for the case of broken isospin symmetry // Physical Review D.- 2001.- Vol. 63,- № 9.094009 10 p.

75. Osipov A. A., Hiller B. Large mass invariant asymptotics of the effective action // Physical Review D.- 2001.- Vol. 64,- № 8.- 087701 4 p.

76. Osipov A. A., Hansen H., Hiller B. Long distance expansion for the NJL model with SU{3) and UA( 1) breaking // Nuclear Physics A.- 2004,- Vol. 745.- № 1-2,- p. 81-103.

77. Editors: Berndt Miiller and Chung-I Tan // Special Issue of Int. Journal of Mod. Phys. A.- 2005.- Vol. 20.- № 19.- p. 4599-4608.

78. Osipov A. A., Hiller B. Path integral bosonization of the 't Hooft determinant: quasi-classical corrections // European Physical Journal C.-2004,- Vol. 35.- № 2,- p. 223-241.

79. Osipov A. A., Hiller B. Path integral bosonization of the 't Hooft determinant: fluctuations and multiple vacua // Physics Letters В .-2002.-Vol. 539,- № 1-2,- p. 76-84.

80. Osipov A. A., Hiller В., Bernard V., Blin A. H. Aspects of UA(1) breaking in the Nambu and Jona-Lasinio model // Annals of Physics.- 2006.- Vol. 321.- № 11.- p. 2504-2534.

81. Osipov A. A., Hiller В., Moreira J., Blin A. Ii. Stationary phase corrections in the process of bosonization of multi-quark interactions // European Physical Journal C.- 2006,- Vol. 46.- № 1,- p. 225-233.

82. Osipov A. A., Hiller В., da Providencia J. Multi-quark interactions with a globally stable vacuum // Physics Letters В.- 2006,- Vol. 634,- № 1,-p. 48-54.

83. Osipov A. A., Hiller В., Blin A. H., da, Providencia J. Effects of eight-quark interactions on the hadronic vacuum and mass spectra of light mesons // Annals of Physics.- 2007.- Vol. 322.- № 9.- p. 2021-2054.

84. Osipov A. A., Hiller В., Blin A. H., da Providencia J. Dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field and multi-quark interactions // Physics Letters В.- 2007.- Vol. 650.- № 4.- p. 262-267.

85. Hiller В., Osipov A. A., Blin A. II., da Providencia J. Effects of quark interactions on dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field99100101102103104105106107108

86. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications.-2008.- Vol. 4.- № 024,- 14 p.

87. Osipov A. A., Hiller В., Moreira J. Blin A. H., da Providencia J. Lowering the critical temperature with eight-quark interactions // Physics Letters В.- 2007,- Vol. 646,- № 2-3,- p. 91-94.

88. Osipov A. A., Hiller В., Moreira J., Blin A. H. OZI violating eight-quark interactions as a thermometer for chiral transitions // Physics Letters В.- 2008.- Vol. 659,- № 1-2,- p. 270-274.

89. Weinberg S. Elementary particle theory of composite particles // Physical Review.- 1963.- Vol. 130.- № 2.- p. 776-783.

90. Eguchi Т., Sugawara H. Extended model of elementary particles based on an analogy with superconductivity // Physical Review D.- 1974.- Vol. 10.- № 12,- p. 4257-4262.

91. Eguchi T. New approach to collective phenomena in superconductivity models // Physical Review D.- 1976,- Vol. 14,- № 10,- p. 2755-2763.

92. Kugo T. A. A simple derivation of Ginzburg — Landau — Iliggs type Lagrangian // Progress of Theoretical Physics.- 1976.- Vol. 55.- № 6.- p. 2032-2034.

93. Shizuya К. 1 /N expansion and the theory of composite particles // Physical Review D.-1980.- Vol. 21,- № 8,- p. 2327-2335.

94. Волков M. К., Эберт Д. Четырехкварковые взаимодействия как общий динамический источник гт-модели и модели векторной доминантности // Ядерная Физика,- 1982,- т. 36,- № 5 (И).- с. 1265-1277.

95. Ebert D., Volkov М. К. Composite-meson model with vector dominance based on U(2) invariant four-quark interactions // Zeitschrift. fur Physik C: Particles and Fields.- 1983.- Vol. 16,- № 3.- p. 205-210.

96. Волков M. К., Креопалов Д. В. Мезонные лагранжианы группы U(3) в модели с четырехкварковыми взаимодействиями // Теоретическая и математическая физика.- 1983 т. 57.- № 1.- с. 21-34.

97. Волков М. К., Креопалов Д. В. Массы токовых и составляющих кварков в модели с четырехкварковыми взаимодействиями // Ядерная физика.- 1984,- т. 39.- № 4.- с. 924-931.

98. Dhar A., Shankar R. Wadia S. R. Nambu — Jona-Lasinio — type effective lagrangian: anomalies and nonlinear lagrangian of low-energy, large-AT QCD // Physical Review D.- 1985,- Vol. 31.- № 12.- p. 3256-3267.

99. Cclenza L. S., Shakin С. М., Zhu X. Chiral symmetry in nuclear physics: a bosonized Nambu — Jona-Lasinio model for nuclear structure studies.-N.-Y., 1992 (Brooklyn College Report: BCCNT 92/082/225).

100. Celenza L. S., Shakin С. M., Szweda J. Low-mass scalar mesons in nuclear physics: multiloop effects in the bosonization of the Nambu — Jona-Lasinio model // International Journal of Modern Physics E.- 1993.- Vol. 2,- № 2,- p.437-450.

101. Bijnens J. Chiral Lagrangians and Nambu — Jona-Lasinio like models // Physics Reports.- 1996.- Vol. 265.- № 6,- p. 370-446.

102. Meissner Т., Arriola E. R., Goeke K. Regularization scheme dependence of vacuum observables in the Nambu — Jona-Lasinio model // Zeitschiift fur Physik A: Hadrons and Nuclei.- 1990.- Vol. 336,- № 1,- p. 91-96.

103. Pauli W., Villars F. On the invariant regularization in relativistic quantum theory // Reviews of Modern Physics.- 1949.- Vol. 21.- № 3.- p. 434-444.

104. Медведев Б. В., Павлов В. П., Суханов А. Д. Градиентная инвариантность и регуляризация // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1970,- т. 58.- № б.- с. 2099-2109.

105. Blin А. Н., НШег В., da Providencia J. Mesonic excitations in the Nambu — Jona-Lasinio quark-antiquark continuum // Physics Letters В.- 1990.-Vol. 241,- № 1,- p. 1-6.

106. Hansson Т. H., Prakash M., Zahed I. The Nambu — Jona-Lasinio model in light of chiral perturbation theory // Nuclear Physics В.- 1990.- Vol. 335.- № 1,- p. 67-76.

107. Arriola Б. R. The low energy expansion of the generalized SU(3) NJL model // Physics Letters В.- 1991.- Vol. 253.- № 3-4.- p. 430-435.

108. Schiiren C., Arriola E. R., Goeke K. Explicit chiral symmetry breaking in the Nambu — Jona-Lasinio model // Nuclear Physics A.- 1992,- Vol. 547,- № 4.- p. 612-632.

109. Бельков А. А., Ланев А. В. Бозонизированные лагранжианы в высших порядках кпралыюго разложения // Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1998 т. 29 - № 1,- с. 82-144.

110. Belkov A. A., Lanyov А. V., Schaale A., Scherer S. An Effective chiral meson Lagrangian at 0(p6) from the NJL model // Acta Physica Slovaca.- 1995,- Vol. 45.- № 2.- p. 121-134.

111. Gasser J., Leutwyler H. Chiral perturbation theory to one loop // Annals of Physics.- 1984,- Vol. 158,- № 1,- p. 142-210.

112. Weinberg S. Pion scattering lengths // Physical Review Letters.- 1966.-Vol. 17,- № 11,- p. 616-621.

113. Colangelo G., Gasser J., Leutwyler H. 7Г7Г scattering // Nuclear Physics В.- 2001,- Vol. 603.- M 1-2.- p. 125-179.

114. Nagels M. M. et al. Compilation of coupling constants and low-energy parameters // Nuclear Physics В.- 1979.- Vol. 147.- № 3-4.- p. 189-276.

115. Colangelo G., Gasser J., Leutwyler H. The 7Т7г S-wave scattering lengths // Physics Letters В.- 2000.- Vol. 488,- № 3-4,- p. 261-268.

116. Ananthanarayan В., Colangelo G., Gasser J., Leutwyler H. Roy equation analysis of ixit scattering // Physics Reports.- 2001.- Vol. 353.- № 4.- p. 207-279.

117. Pelaez J. R., Yndurain F. J. Precision of chiral-dispersive calculations of 7Г7Г scattering // Physical Review D.- 2003.- Vol. 68,- № 7,- 074005 18 p.

118. Pelaez J. R., Yndurain F. J. Regge analysis of pion-pion (and pion-kaon) scattering for energy s1/2 > 1.4GeV // Physical Review D.- 2004.- Vol. 69,- № 11.- 114001 12 p.

119. Pelaez J. R., Yndurain F. J. Pion-pion scattering amplitude // Physical Review D.- 2005,- Vol. 71.- A'" 7,- 074016 31 p.

120. Волков M. К., Креопалов Д. В. Мезонные лагранжианы группы U(3) в модели с четырехкварковыми взаимодействиями // Теоретическая и математическая физика 1983.- т. 57,- № 1,- с. 21-34.

121. Bellucci S., Bruno С. 77 —> 7г°7г° and 77 7г°77 at low energy within the extended Nambu Jona-Lasinio model // Nuclear Physics В.- 1995.-Vol. 452.- № 3,- p. 626-645.

122. Bel'kov A. A., Lanyov A. V., Scherer S. 77 —> 7г°7г° and 77 —> 7r°77 at 0(p6) in the NJL model // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics.- 1996.- Vol. 22,- № 10.- p. 1383-1394.

123. Bijnens J., Fayyazuddin A., Prades J. The 77 —> 7г°7г° and 77 —> 7r°77 transitions in the extended NJL model // Physics Letters В.- 1996.- Vol. 379.- № 1-4,- p. 209-218.

124. Bellucci S., Gasser J., Sainio M. E. Low-energy photon — photon collisions to two-loop order // Nuclear Physics В.- 1994.- Vol. 423.- № 1,-p. 80-122.

125. Mark II Collab., Boyer J. et al. Two-photon production of pion pairs // Physical Review D.- 1990.- Vol. 42,- № 5,- p. 1350-1367.

126. Crystal Ball Collab., Marsiske H. et al. Measurement of 7г°7г° production in two-photon collisions // Physical Review D.- 1990.- Vol. 41.- № 11.-p. 3324-3335.

127. Bijnens J., Cornet F. Two-pion production in photon-photon collisions // Nuclear Physics В.- 1988.- Vol. 296,- № 3.- p. 557-568.

128. Donoghne J. F., Holstcin B. R., Lin Y. C. The reaction 77 —7г°7г° and chiral loops // Physical Review D.- 1988,- Vol. 37,- № 9.- p. 2423-2430.

129. Donoghue J. F., Holstein B. R. Photon-photon scattering, pion polarizability, and chiral symmetry // Physical Review D.- 1933.- Vol. 48.- № 1,- p. 137-146.

130. Bijnens J., Dawson S., Valencia G. 7^ —4 7г°7г° and К^ —> 7г°77 in the chiral quark model // Physical Review D.- 1991.- Vol. 44,- W 11.- p. 3555-3561.

131. Gasser J., Ivanov M. A., Sainio M. E. Low-energy photon — photon collisions to two loops revisited // Nuclear Physics В.- 2005,- Vol. 728,-№ 1-3.- p. 31-54.

132. Baldin A. M. Polarizability of nucleons // Nuclear Physics.- I960.- Vol. 18,- p. 310-317.

133. Петрунькии В. А. Электрическая и магнитная поляризуемости адронов // Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1981,- т. 12.-№ 3,- с. 692-753.

134. Fil'kov L. V., Kashevarov V. L. Compton scattering 011 the charged pion and the process 77 —> 7г°7г° // The European Physical Journal A: Hadrons and Nuclei.- 1999.- Vol. 5,- № 3,- p. 285-292.

135. Калошин A. E., Персиков В. M., Серебряков В. В. Первые оценки (а + ру из двухфотонпых экспериментов // Ядерная Физика.- 1994.т. 57.- № 12,- с. 2298-2299.

136. Fil'kov L. V., Kashevarov V. L. Determination of 7r° meson quadrupole polarizabilities from the process 77 —7г°7г° // Physical Review C.- 2005.-Vol. 72,- № 3.- 035211 6 p.

137. Gasser J., Ivanov M. A., Sainio M. E. Revisiting 77 —> 7г+7г~ at low energies // Nuclear Physics В.- 2006.- Vol. 745.- № 1-2,- p. 84-108.

138. Bijnens J., Talavera P. 7r —> lи7 form factors at two-loop // Nuclear Physics В.- 1997.- Vol. 489.- № 1-2.- p. 387-404.

139. Geng C. Q., Ho I-L., Wu Т. H. Axial-vector form factors for and 7Г/2-, at 0(p6) in chiral perturbation theory // Nuclear Physics B- 2004.-Vol. 684,- № 1-2,- p. 281-317.

140. The CELLO collaboration / Behrend H.-J., et al. An experimental study of the process 77 —> 7r+7r~ // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields.- 1992.- Vol. 56.- № 3,- p. 381-390.

141. MARK II collaboration / Boyer J., et al. Two-photon production of pion pairs // Physical Review D.- 1990.- Vol. 42.- № 5.- p. 1350-1367.

142. Kaloshin A. E., Persikov V. M., Serebryakov V. V. Another look at the angular distributions of the 77 —> mr reactions.- Irkutsk, 1995 (Preprint: ISU-IAP.Th 95-01) arXiv: hep-ph/9504261],

143. Kaloshin A. E, Serebryakov V. V. 7r+ and 7Г° polarizabilities from 77 —> 7Г7Г data, // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields.- 1994,- Vol. 64.-№ 4,- p. 689-694.

144. Ahrens J., et al. Measurement of the 7r+— meson polarizabilities via the 7P 77T+7i reaction // The Europian Physical Journal A: Hadrons and Nuclei.- 2005,- Vol. 23.- № 1.- p. 113-127.

145. Fil'kov L. V., Ivashevarov V. L. Determination of ж^ meson polarizabilities from the 77 —»■ 7г+7г~ process // Physical Review C.-2006,- Vol. 73,- № 3.- 035210 6 p.

146. Weinberg S. Nonlinear Realizations of Chiral Symmetry // Physical Review.- 1968.- Vol. 166,- № 5.- p. 1568-1577.

147. Haag R. Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditions // Physical Review.- 1958.- Vol. 112,- № 2,- p. 669-673.

148. Chisholm I. S. R. Change of variables in quantum field theories // Nuclear Physics.- 1961.- Vol. 26,- № 3,- p. 469-479.

149. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР,- ОМЕН, 1937,- с. 551. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля / / Из дат. Ленинградского Университета.- 1957.- с. 141158.

150. Seeley R. Т. Complex powers of an elliptic operator //In Singular integrals / ed. by. A. P. Caldern.- Am. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math.- 1967.- Vol. 10.- c. 288-307.

151. Van de Ven A. E. M. Index-free heat kernel coefficients // Classical and Quantum Gravity.- 1998.- Vol. 15,- № 8,- p. 2311-2344.

152. Salcedo L. L. Generalized heat kernel coefficients // Eur.Phys.J. direct.-2001.- Vol. 3.- № 1,- p. 1-10.- arXive: hep-th/0107133].

153. Bernard V., Meissner U.-G. Electromagnetic Structure of the pion and the kaon // Physical Review Letters.- 1988.- Vol. 61.- № 20.- p. 2296-2299.

154. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking // Physical Review D.- 1973.- Vol. 7.-№ 6.- p. 1888-1910.

155. Gell-Mann M., Levy M. The axial vector current in beta decay // Nuovo Cimento.- I960.- Vol. 16,- № 4,- p. 705-726.

156. C. Amsler et al. (Particle Data Group). Review of Particle Physics // Physics Letters В.- 2008.- Vol. 667.- № 1-5,- p. 1-1340.

157. Keiser R. Diploma work.- University of Bern, 1997.

158. Feldmann Т., Kroll P., Stech B. Mixing and decay constants of pseudoscalar mesons // Physical Review D.- 1998.- Vol. 58.- № 11.114006 8 p.

159. Feldmann T. Quark structure of pseudoscalar mesons // International Journal of Modern Physics A.- 2000,- Vol. 15,- № 2.- p. 159-207.

160. Feldmann Т., Kroll P., Stech B. Mixing and decay constants of pseudoscalar mesons: the sequel // Physics Letters В.- 1999,- Vol. 449.-№ 3-4,- p. 339-346.

161. Hagiwara K. et al. (Particle Data Group) Review of Particle Properties // Phys. Rev. D.- 2002.- Vol. 66.- № 1.- 010001 974 p.

162. E791 Collaboration / Aitala E. M. et al. Dalitz plot analysis of the decay D+ —> A'^7T+7T+ and indication of a low-mass scalar Ктх resonance // Physical Review Letters.-2002.- Vol. 89.- № 12,- 121801 5 p.

163. Tornqvist N. A. Comparing the broken U(3) x U(3) linear sigma model with experiment // The European Physical Journal C.- 1999.- Vol. 11.-№ 2,- p. 359-363.

164. Schechter J., Ueda Y. General treatment of the breaking of chiral symmetry and scale invariance in the SU(3) a model // Physical Review

165. Oiler J. A., Oset E., Pelaez J. R. Meson-meson interactions in a nonperturbative chiral approach // Physical Review D.- 1999.- Vol. 59.-№ 7.- 074001 19 p. (Erratum-ibid. D 60 (1999) 099906). Oiler J. A., Oset

166. E., Pelaez J. R. Nonperturbative approach to effective chiral lagrangians and meson interactions // Physical Review Letters.- 1988.- Vol. 80.- № 16.- p. 3452-3455.

167. Black D., Harada M., Schechter J. Vector-meson-dominance model for radiative decays involving light scalar mesons // Physical Review Letters.- 2002,- Vol. 88,- № 18.- 181603 4 p.

168. Di Vecchia P., Veneziano G. Chiral dynamics in the large N limit // Nuclear Physics В.- 1980.- Vol. 171,- p. 253-272. Kawarabayashi K., Ohta

169. Rosenzweig C., Schechter J., Trahern C. G. Is the effective Lagrangian for quantum chromodynamics a a model? // Physical Review D.- 1980.-Vol. 21,- № 12.- p. 3388-3392.

170. Bicudo P. Mesons and tachyons with confinement and chiral restoration // Physical Review D.- 2006,- Vol. 74,- № 6.- 065001 11 p.

171. Del Debbio L., Giusti L., Pica C. Topological susceptibility in SU(3) gauge theory // Physical Review Letters.- 2005.- Vol. 94.- № 3.- 032003 3p.

172. Dmitrasinovic V. Ua( 1) breaking and scalar mesons in the Nambn and Jona-Lasinio model // Physical Review C.- 1996,- Vol. 53.- № 3.- p. 13831396.

173. Achasov N. N. Radiative decays of </>-meson about nature of light scalar resonances // Nuclear Physics A.- 2003,- Vol. 728,- № 3-4,- p. 425-438.

174. Klempt E. Hadron spectroscopy without constituent glue // International Journal of Modern Physics A.- 2005.- Vol. 20.- № 8-9,- p. 1720-1727.

175. E791 Collaboration / Goebel C. Light mesons and charm decays: New results from E791 /, Frascati Phys. Ser.- 2001,- Vol. 20.- p. 373-384 arXiv: hep-ex/0012009],

176. Jamin M. Flavour-symmetry breaking of the quark condensate and chiral corrections to the Gell-Mann Oakes - Renner relation // Physics Letters В.- 2002,- Vol. 538.- № 1-2,- p. 71-76.

177. Klevansky S. P., Lemmer R. H. Chiral-symmetry restoration in the Nambu — Jona-Lasinio model with a constant electromagnetic field // Physical Review D.- 1989.- Vol. 39,- № 11.- p. 3478-3489.

178. Krive I. V., Naftulin S. A. Dynamical symmetry breaking and phase transitions in a three-dimensional Gross-Neveu model in a strong magnetic field // Physical Review D.- 1992.- Vol. 46,- № 6.- p. 27372740.

179. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in 3 + 1 dimensions // Physics Letters В.- 1995,- Vol. 349.- № 4.- p. 477-483.

180. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and catalysis of dynamical symmetry breaking by a magnetic field // Nuclear Physics В.- 1996,- Vol. 462.- № 2-3,- p. 249-290.

181. Bardeen J., Cooper L. N., Sehrieffer J. R. Theory of superconductivity // Physical Review.- 1957,- Vol. 108,- № 5.- p. 1175-1204.

182. Ragazzon R. Nambu -— Jona-Lasinio model in a magnetic field with variable direction // Physical Review D.- 1999.- Vol. 59.- № 6.- p. 065006 5 p.

183. Brown F. R. et al. On the existence of a phase transition for QCD with three light quarks // Physical Review Letters.- 1990,- Vol. 65.- № 20.- p. 2491-2494.

184. Meyer-Ortmanns H. Phase transitions in quantum chromodynamics // Reviews of Modern Physics.- 1996.- Vol. 68.- № 2.- p. 473-598.

185. Lenaghan J. Т., Rischke D. H., Schaffner-Bielich J. Chiral symmetry restoration at nonzero temperature in the SU(3)д x SU(3)l linear sigma model // Physical Review D.- 2000,- Vol. 62,- № 8.- 085008 13 p.

186. Bernard C. et al. QCD thermodynamics with three flavors of improved staggered quarks // Physical Review D.- 2005.- Vol. 71,- № 3.- 034504 11 P

187. Ebert D., Kalinovsky Yu. L., Mimchow L., Volkov M. K. Mesons and diquarks in a NJL model at finite temperature and chemical potential // International Journal of Modern Physics A.- 1993.- Vol. 8.- № 7.- p. 1295-1312.

188. Ruster S. В., Werth V., Buballa M., Shovkovy I. A., Rischke D. H. Phase diagram of neutral quark matter: Self-consistent treatment of quark masses // Physical Review D.- 2005.- Vol. 72,- № 3.- 034004 13 P

189. Florkowski W. Description of hot compressed hadronic matter based on an effective chiral lagrangian // Acta Physica Polonica В.- 1997.- Vol. 28,- № 10.- p. 2079-2212.

190. Pisarski R. D., Wilczek F. Remarks on the chiral phase transition in chromodynamics // Physical Review D.- 1984.- Vol. 29,- № 2.- p. 338341.

191. Kapusta J. I. Finite-Temperature Field Theory.- Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

192. Iwasaki Y., Kanaya K., Kaya S., Sakai S., Yoshie T. QCD phase transition with strange quark in Wilson formalism for fermions // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields.- 1996,- Vol. 71.- № 2,- p. 343-346.