Многомерные предельные теоремы для бесконечных схем случайных размещений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

оа

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

<3

ь

МАМАТОВ Муротхон Тоштиллаевмч

(

МНОГОМЕРНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СХЕМ СЛУЧАЙНЫХ РАЗМЕЩЕНИЙ

¿71.01. 05 — Теория вероятностей и математическая

статистика

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ТАШКЕНТ—1995

Работа выполнена с Ташкентском государственном университете и Намангапском индустриально-технологическом институте

Научный руководитель—Член-корреспондент АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, . профессор Ш. К. ФОРМАНОВ.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук, профессор М. У. ГАФУ-РОВ.

; . . , Кандидат физико-математичес-

ких наук, доцент М. С. МУМИ-

нов.

Ведущая организация —Математический институт им.

В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 1995 г. в часов, на заседании специализи-

рованного совета Д. 015. 17. 21 при Институте математики <пм. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143. ул. фг Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан СхфЛ/рЗ 1995 Г-

ОЕГДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуэльпооть теки. Воаросн случзйшх размещепяЗ сзсггзлн-ит спецк-$ическкй круг вер&чтяосткжс задач дискретной мггеаасг-ки. Во-первых, случайные разявушя являются катешсячгскаЗ иодельэ квотах резлних яздсняЗ лз csras разных рзздегез ео-гестзознзгая. Вс-зтсрнх, пра решения задач, связанных со слу-чзЯкаиа рогглецзшзят, прилагаются разнообразные овалилйчеехггз кзгода в сочегапаи с прякнмя вероятзостигля рз осуждавшая. Таксе следует ззмеггть, что статасгаческао крнторхз, построен-шэ па основ© сдучаЗшх рззиечсвЕЙ, по ерэвяеапэ с другшз нрптсризя отличаются простотой лрз внчасловсчх вэойхрдголзгз уровней зяачпгостл. Еазригер, критерий "пустах яцаков" во многие случая:-: вырдядаг очень прсстнм относительно известных врз-терзев Ксжогсровя, тппэ ^ (см.В.Ф.Колчия, Б.А.Севастьянов, 3 Л. Чистяков. Случп&шо рззм&щенвя.. И.: Нзукэ, IS74). Различимо скол'ы случайных рззмсщсняЗ в случае конечного случая конечного ч'лсла ячеек исследована з рзботЕЛс А.Ревьи, П.Эрдешз, Б.А'. . Совсстьянсвя, В.ч'.Колч:;н2, В.П.Чпстяксдй', Г.П.Ивченко, А.М.Зуй-ковп, Б.Г.Ь!зхяйловг, Ш.А.йгрзхмедозэ и многих друггх. .Первой п фуидг:.'е;:гзльнсй работой ло зсследовсвиа бескозотягс слс:,: рззкз-

цевлй лзляотсл pa-JoTO C.KajOTHa ( S.KnrU.n. Centro! Unit thso-гег.'З for certain. infir.ite urn coheres. J,T!oth.e;:n I'och., 19,4(1 So"), 373-401), Ш.К.Формзпоз, А.Ас.чиоп зсслодсззтв справедливость ргздячшх пределыщ reopen для случайных зелл-глн, хррэктерп-' зукдах. бесвсвечвуа гашу случаЗанх рязнеп;е;;::й. Сяояугт зшетлть, чго в босяоночвах схекзх рпзг-Ю'де-Т'ш! многие задачи, згрбдзно вззяу» роль в коночное схеизх, герагл сшсл (например, часло пустах ячеек всегда ''есколечпо). Поэтому при переходе в несло-дегзшкх сг r.onewrix сха-.! к бесконоисга возвдкшзт трудное™;!, С2лзз:п';;е со сзквСечйоск-» рвсаззтргвзежд: зпдзч. 2 евззз с-зрзмепекзя мзпсстпих методов, рязрзбстзтнх для .пооледо-'!о::еч:1'~с cxc:i, гетречогт трудности прлпплплолгнс?с херя::-Лозлздпле к сл^нзт п;-;г!лпе;г тоге, что беекчяечкне ссгзктоя нсслсдсвйнюаз согрс;.;ен!>^-- отзпг рзззлтлл тс~-

Балъл дзштсй дсоссркгглсгшоЗ робок является усгзнсззбкгс--.ссгокттотспбсвсй норкзльнсстз ояП825«с вайтороп, коаяоязвш готорнх: средсгзвдазг ооеой рзслзчйыа яэргягсерлсгзка еаузесх-з: разшчеагй часзац э сэем^иш*: ячейках.

йэтозтоп вдслеэддзр'А осво28Ш ьз «станазлоана врздечав- , леппй харэк'гврасгачосквг фдагхзЗ взучае&ш: случайных ззатороз' и зйдй ыногомершх колч'рдхп: язиерралоо я сослоддаем анализе ьтах прбгвз^гглбЬйЛ. '

• Нзучвгя зозкгнз прзвазгшнх в дзссэрхацаЬ'ввой работа рв-■ зультагоз заключается с сладугдегл: , ' .

усгановлвяа коккрвкшо онзласдчсоявв прадсгавленш хараз-горз©гпчее?.2г <£ушсц23 язя случайны::, секторов, сгззаншх с задачам* случайка рззиазаавй чаенщ з йвсзонечнаг ячейках; •

получена асгхптсгпчзскпэ зырагеная для числовых характерно-, тон игучаеаа: случайных векторсз;.

доказана ыяогсмйрныа пределыаго теорема об асиштотичесяой аормзльносга случайных векторов п раэд&лгмиг статистигг, осязанных о задзчагз случз2аес раемевепиЗ 2 случае, бэско-Еачиа'о числа ячеек, . ■

Тоазв'пгч'готоя у'лрзттчаскёя д®пзоо*ь. работ •

иссят теореонсск?» характер. Они иогут оы*п> козоиззоазня' з

- - - ^ """т. о- , прогсг.г. сшчесхлх гелотэз,

1 _ , го "У 'л р боет з разной сйь-

- - - ^ 1 - с Ри 1 4.зсдагелш за П -Зер--

- ~ - " и. м ^жсс-'ей и .татг-

г " ч, *с ",), ла городсяс:.г сс;.;:;-

1 г "г ~ ~ г " статаетиха в

с „ « "т ■ ;,51 ! -

~........ ........■ -- -....., - . ..........- - V * - » О. •„■ ^ С Л 1 ^ : . .

_

Осяоят» 'рсзуттепг дксоеригш одубдаовсгм* n прлгелскис: з kcetjo ОБТоройерзта, Из copkpcîhux

'пзлс.шо; рслул^тсг7, пш^ёдлсмийр автору.

0?2£UZZIí2-?i-£üíí'l¿JZ!íüüiU' Pstíara состоит из ввздеага, zip:; lotoi?. encera попсл^зоезипсй ;;;; тер э туры п изложена по 103 czpeszsay: иззяяскзсйсго текста. Список лвтврзгура вкл»~

СОЕНЛПа: РАБОТЫ

Во взрдоря» пгаосд'п сЗзср работ,- сзлззнгдк с те-

c'i г: сбоскс-гша актуальность расшэ?рзвзсгдгх

зггз-:. . ■

Пуста a úeo;'oní-:i:jD псслодсззгсдьность ячеек с'помергнз

I, ñ, ... яагшпгагго or друга бросгется l'L чзстлц.

пзекпк» ncns.nee; э il - о у версгигссгью Р^ »

> Р. , ^i-o il ' Tí ..ZI, 3 M... • • • ■ '<:.--i -

2'::¡ c;:c:.'o рпз^роилл "пст;п; t.'orcf от" 'тяг;

олу-гойноо ;:с:;::?:;/пй со cíor:¡:.!:.i теслом осходоз ( йос^ооо-зоол лолптзиг.шз'гМг/зя сггс^п) к доо пап ;.:ол!;о еггелоь вопрос;;, isyun-

г случпо i^ocíoh'íooko'ü !!ол;1!'сд::«хьно;£ око;.;:; (г.л!.&«ь>аг.г'. Co Ire T'io'.bi!.'' g' díníTUct Ii; o r.ojio.-.lä iron en Arfínivo

dioerfî^iî b-oo^oiin.-oit-::.o*' IV!.'2 4 í-í, Л»

í,-.;rp. lï, íf^-5, óV-755-

В 'всвлёдо:шш;ях пряое.допг.'ог: :;,"стбепяуи po.-i?, ::гр:>ст

sotoi,-} - ¿1. í » «..гг. '.¡; 5»,

пул .

•Однам из глзвзах услсз:гЗ является регузярао-мвняексеть. • ЭТОЙ .|ункцля, 2.Э.

о1иГ) = Ь , 3.-*®° (I)

где Ц.0 медленно меняющаяся,:? схиоле Каракзта, функцзя. В . диссертации пряведзш несколько примеров существования з конкретные вда §ушда ОСЛ&О» удовлетворявшей условии (I).

В случае конечного числа ячеек однеЭ аз основных харзкте-ргстпя. случзШех раггезднлй является члсло пустых ячеек» ка которой ссногываегся известка кратеря.** "пустых яхаков"' тесряа проверки 1 сзатЕстачееких гзшогез (са.В.Ф.Колчин, Б.А.Севостьяяов, Б.П.Чистяков. Случайные разаеаденая. К.: Наука, 1974, глава У). Для того, чтоб! ввести аналог мой случайной велнчвш (с.в.)» по'сгу-пззкс следуюцал образом. Пусть число часгзц )£. - о2' .

ячейка псола бросангя 1П. • честил. Дслсяия

^ ^ _ | Л. . 06Ш -

^ .- \ 0'- , оои- Хла.) >0 .

-.з» ^ - с^ пусгоЗ ячейке прппаснваетаа "аос" Д. . Тогда' с.в. ' ~ ' . . " .

со

предсгззляет соо'ол суг,иу "20002'®, врадгсЕеэейггж пуста: ячейкам, с.в. в случае конечного часав ячеек подробно в§учева Б.Ро-

2'2*!сг.:.

Глаза I дзссертацза посвячеяз иногшертси праделыаа тео->:''«••<! дяя размещений ыяоготипнас частзц. по бесконечным ячейкам. Пусть имеется ГЦ , ¡\г. , частад 1-го, 2-го, ... 5-го гспоа. Эгь- частица незавякаго друг от друга разиеще-

ится в бесконечную последовательзосгь ячеек, црзчек кегдгя частица лвйсто тзва попадает э ft. - зз.ячейэт о версятлсстьэ

Положил

Представляет сяредолекннй.пзтерэс всслеловашгэ случайного ректора {с.век.)

Во-первых, многие конкретные задачи случайте* отображений : •-•: ст—"*конечных множеств сводятся к исследованию ^зсйрвделеппя с.зек. j4« . Во-вторых,' этот вектор иозво ян-теряротзровоть как случайный процесс, пороздентй схемоЗ сяу-чаЗвого размещения, где роль времени -игравт тела частиц ■

Ч , Ч+Ч 4+4* — + 4'

Б.А.Севостышовигл в случае коночного часлз ячеек вссдздозаяа сходимость

■ ^Дч^Лч^Ч^-- ••. JA.e(4+4+---+ ч)

пра {Ц+ ... + Ц. со к гауссогсксму я пуассововоскоку процессам. ^

В ? I.I устанерлеао представление характеристической функции (х.£.) с.век. JI0 2 влдо млогократакх кояз-урпкх вкгег-рзлов.

Б § 1.2 ксследовзсо асимптотическое псзадонав.матеиатзческо-го оалдааая 2 яовариагяоявой изтршщ с.век. ' ^ ври ваполвв-

■зла условия (I). Полота)

с^ (гц+ ... + а.--Н|1Д... + и,-Л

Б § 1.3 догазава •

Т В О Р 5 Ц А 1.4. Пусть выполнено условие (I) а , ... , К.^ -> ос таким обраошг, чтоби

ГЦ + ...+ ОСО , .....5

О Ф < ... <со

Тогда при П.,-Ч'М раоцредаяозле о.нея. а

сгсдагся к мнагшервоиу ворыальвгазу закону с вектором изиштг-ческп; .рнзданзЗ, равная вулд', и ксваргзязовно® ызтрздсЗ-

■ ^ -^цИ*.' ' : • / '

где

Б этш параграфе предварительно установлена волоЕатэльно-опре-делзнность мзтрвш СГ .

В последнее время усиленное бпемвкзэ спегрзалистсв привлекают так нагнЕэеше раздвлимае статистики, введенные В.И.Медве-дезым. Класс характеристик достаточно шярод, многие статистики тала ^, раиговне критерии являются частики случаем разде-л.т.'.пс; стагзсгзк. Исояедовавзе разделимых статистах в схеме слу-чзЗеых размещений дает всзмозшость улроствть подстановки ста-тшгсзчеыгазг задач, свлзянек с критерзяыл дустах ящиков, ааша-тотячесиой с$$ектнвнсстьо во Бахадуру, неяараметрачешап метода-хя проввргз статаемчвекях гипотез. Пусть

последовательность дсЗстаптельио-зпачм: $ункцпй, опродевонпнх -на квогостае О, I, 2,.../ Будем предполагать, что зет функция яри любой значезяи $ =.1, 2, ....¡К ' увовлэтаоржя условз--п:: ■ ' '

х- £I!>)!<«

г. 1м! 4 с. < ю а , Уц, ■

Пусть по-прегнему X* чесвэд £ - сЗ ячсЗкя поело

бросания И* чгстлц в бескоявчнуо кослвзогзгехвйсе» счеек. Пологет

* К -1

ÍÍO-L) -

c.BSE. (v. tyC) показаваот мвогомерноЗ раздедкмоЗ статистикой. В § 1.4 уставозлезо» что лгоизводшаая функция с.век. ¡^(ц.}

мззог öiii'b представлена а виде

CL- гаЗсЯ аажвуай контур, содвриидаЗ точку £.-()..

Восполззсзаашоь врйзздеиваа 'цредсхзвлевием в перехода рп ' прслзвсдяЕнх функций к характеристическим $ункцвяа, пра вшш-иеизи веггсторше асимпхогачэспгх соотнесший'; доказ8ва асзсю» таческза вораальвость с.век. (^Д'Л.*) (taopeaa 1.5).

В <"> 1.5 рассмотрев чествуй случай» когда 1U.-Í,

- Ю -

jfeV 1 i -ет Я.ФО

H ^ "=• - j Q t sc.rjj - 0

тпгдэ.

iîai - liia^ -1.

яредставляат собой число зэнязп ечзой э Ссс"сйо'1Г;с2 сдгге?. Бшгасвш явекэ (Jopriyci ддя Н п вз-языка

рзспрадвлепая.BGpoiiîBocrcS , ^ • ПрЯ пс^с:.-

sasa I.I, вмепцэЭ сжсстсятелькхй пагорез, установлена простое асзаштотачоскао чертили для M.'MnJ) л 'îi'îiOl.) (тоорс-кз 1.6).

Положи !

• счп. .«л - 'J п. U»0: , сел,

"Ч ) ~ S i й- i... _____ Й _ i

CCi

С ОС) -- UOtiOjiiL •

О LU

О ■

В § 1.5 доказана

Ï 5 О ? В M А 1.7. Пустз шпожпио усдсд-з (I) прл Гогда раЕВскерпо по |Ц ~

J. к,

-e^U^OCiT), il

• w

- II -

Из хеореиэ 1.7 веггедлазас следует еоюгаютачесиаа вориальвосгь

с,

ШЖ)

црл п.-'» 00 (теорема 1.8).

Глава П посвяцева сцепке скоросги сгодаостз к вудв ведачи-

. и Р -

Мьу-.^и-е

2 К . Л-1* "

Согласно тс-оремз 1„б .

В ? 2.1 дотаззц.м

Т Е О Р Е U А__2.1. Прз згслс^гл (I) sr.;sä? к^сгз сзокгсз

В 5 2.2 зсследсзаво аслмятетатсктсз э р-с::рлр:л:.-

пия с.з. г равного чзслу ячэзз, ссдсриспг в тстлосгл

1. частиц ( iii прз ешшлзс-нлз бодгз'

по сразпегаа с условие.! (I). Прздгзрптадзпа полгало г^дзгсз-лозао для проязвададей фухлатяп c.a. ЧЦ^Ю.*} - с^хо о

пзтзгрзла, из aotopcro слс-дзот, чгэ

йг^М^ск ч е; / ч- «

гда

■со и р Y .^D

O r r^DÇ ' 3 v- ^ ч D -

'-tlr^-f^e^t .

; Kfci- . " . W- * Cl

П-ОРП1А 2.2. Цуга рзсиргдссэгзз sapeiTScavd*

{ß 'P $ 1

(A) ups SL-* м , ce , в;Г ec

«г

• В-ЮО + ^ 4 * 00

(Б) Дрл ЩгЦД,.. ЭД г- П \И.

1 ^ (пР<Г „

00

11-4

Тогда дтл любого "2.

В упомянутой выше работе С.Кврлина без доказательства приведена многомерная интегральная предельная теорема для с.век.

<4 Лг,-----Ч^ Ь);

Пря этш условие (I) считается выяслкентшм.

В 'Г 2.3 получено представление х.й. гхото с.век.'в прз по-.-ксог этого представления доказана асимптотическая нормальность с.век. {?.). В ходе доказательства этой теорешг получены явше йор.'лули для олшентов предельной ясваряацгоиноЯ мзтргатг.

ЗШЗДШВ I. Условия теоремы 2.2 випслняются для воливомз-аль.ной схеш размещения IV. частиц з Н ячейках,если пара- .' мэтры, этой сха-.и азквЕявтся л центральной области. В ■этом случав

Р^о, я з» и + 1, . .

г суцестзузт констзктн С. , , СС4, такие, что

< £ cC, , ft. 00 , N ->

ЗМЕЯШЕ 2. Хая яоззсавзжт зсяштотзческйа вщтевзя для CL^ ¡1 ' в^ . уст-'вовлевнив з работе зз условия (I), следует справедливость ссотвоаенвй (А) а (Б).

ааШАНЙБ 3. В мовсграЯзл Ф.Сзшгера "Ераппавы случайна* блуздаявЭ" (II.: Map, 1263, 472 с.) замечено, что в критериях возвратности для случзЗшлс блугдакяЗ по дзскрегвш регосвам ваянув роль играеа- характеристика II^ - число ячеек, ссдер-зсащах начетное чзсло чзстэд. Sra с.в. acass быть представлена а виде

са

2

!л-

гдз <5уакцпя

ZL

Й - 4 ■ ■ /

если Z S l/lttcd.' з друг:::с случаям.

Пользуясь еснсвЕи методса работы, метсдсу гзтаградьвнх представлений, мояно асследовата аезмптотачеезпо свойства распределения с.э. II» . ..

_ Осаовноа содертанзо дзесортадгл елублзгвовазо в сдедттах работах:

1. Манатов U. О схсдалссгз л гяуссовскс^у ззхояу з едзей ore;; а размещения чзстац.//о сб.Зсгг.'-зркэ вопроса дрл:мздяс2 кгтгкп-.яшг з аеганзяз.' Труда Аггдзнтсдяго аолзгзгввческого пзстз-тутз згл.Берупз. Вкп,2. - 1534. - С.45-4Э.

2. Зормзпев П.К. .Ч'аглстоз 'йстсмарнзя пргдэлгзгл а • схема равизйошз! чзстз* чдолу «tees// 11^'л. Ш УзСС?» 1255. -Ь 4. - СЛг-СС.

3. Макаров И., Асвтев A. Ossssiya осга^сапсго члока s предельной теореме для схеш раалеэдвич чвстзц по <3сеяст?еч<50~7 числу ячее?:// Изг.АЕ УзСС:?. Сор.$л'3.-ыят.наук. - Ï3S5. .- Л G. -С.3-7.

<1, ¿йааяов M. Асгглпхзтичэскзя нереальность едпей стзтистгкп в схеде рззнезекпя часткц со.¿осгопечЕоку числу ячеек. // В ей. Вопроси евекжкн ooopyseasS п нздеквостз шеин. Труди Т22«овтсгсго ыз:п;п:озтрсзз?ель!:ого пв-тэ, 1983. Бнп.5. - С, 53-74.

5. l'sysïOB О ехсыа резмзцелпя чпеткц по счегвому числу ячеек. / дез. б ШИ eps ГаНТ РУз S 2333 - Ï3-S5. II с.

27.С2.95 г.

Г!.Т.Мэкэ?за

тлоодяяй ^¿шлш^н'^лртьаи

узя .сЪташ-:-! i:r.::r T2cj?2:':jj?

I. , i; ,____ na^atmn оэтая исуед гаягаа ¡r.;:-

тэ ззпотз тэглала-::. йп й;гг> s.vnnzra крпг.зп йорнк^ буЕлэгаа хопдз fC - «ч:; .ттей;;ага Ci- з бзгав асйдзгзЕЯ.

> ^ D , V:c,

h- - ¿, -„-M i

Лассспта&идз куйгаага язхгеттаэ п'гпгзп г

- кэз7;г>2ягзн тзсоа4^3 СХОНЗОХ &ясгз С:- ::/;

сахтэпсгп •Jyisnr.Ts;.-.:: /v.

I'. 7. Varstov

iSJLTISIkEIiSIQiiiJL LIlilT THEOREMS FOR IKFIHSIE SCH2.E5 OF RAiVDCM ALLOCATIONS

Let n be the nisiber of partihies which are independently tossod into infinite nurbor. of coils. Every particle is allocated into the k - th coll with probability Ph. k-1.2.... . Suppose- that

V > P* < 3 V^i 2?»;= 1

Following results have been ertabJ ischoa' in the candidate dtssertatIon :

- sorra concrete anal:tic representations cf tho characteristic functions of redden voctcrn , connected with ths problem-.: of particles into mfinato renter of cells ;

- asynptotlo expressions for nurlwr chorcctoristlcl cf

the rancor vtKtorrr;

- siultsdsrcnsicn»:, liir.t theorc-in; on vt.ct-.c norsality of' t.r.f r^-ido.-n voevcrs and docoiipenablo statistics. ec,moated vtth tho prcinorcr cf rccKJc?! aliocntiws of particles :.n t:ic cssp cf inf ;rv*.o nusfcsr cs eel"'.".