Многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БАЛАШОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

На правах рукописи. МИХАЛЬЧЕНКО ГАЛИНА ЕФИМОВНА

МНОГОШАГОВЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-

математических наук

Научный руководитель д. ф. - м. н, профессор

Половинкин В.И.

/

БАЛАШОВ - 1998 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ

§1.0 содержании диссертаии................................................................3

§ 2. Обозначил........................................................................................12

§ 3. Вспомогательные сведения............................................................14

ГЛАВА 1. НОРМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ ПОГРЕШНОСТЕЙ

§1.1. Интегральное представление функционалов погрешностей......22

§ 1.2. Верхние оценки функций, реализующих интегральное представление функционалов погрешностей............................................32

§1.3. Разложение функций, реализующих интегральное представле ние функционалов погрешностей, по степеням корней характе

ристического уравнения................................................................42

§1.4. Нормы функционалов погрешностей..........................................52

ГЛАВА 2. СХОДИМОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

§ 2.1.Верхние и нижние оценки норм функционалов погрешностей..59 § 2.2.Достаточные условия сходимости вычислительного процесса..68

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

§3.1. Необходимые и достаточные условия асимптотической оптимальности......................................................................................71

§3.2. Одношаговые формулы и последовательности функционалов с

пограничным слоем.....................................................................74

§3.3. Интегральное представление функционалов погрешностей од-

ношаговых формул......................................................................79

§3.4. Асимптотически оптимальные одношаговые формулы...........87

ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ

ФОРМУЛ

§4.1.Примеры асимптотически оптимальных одношаговых формул.93 §4.2.Примеры асимптотически оптимальных двухшаговых формул..96

ЛИТЕРАТУРА

97

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. О СОДЕРЖАНИИ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящей диссертации исследуются многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных функций.

Задача вычисления интеграла с переменными границами изучена в меньшей степени, чем задача вычисления определенного интеграла. Вычисление первообразной с помощью многошаговых формул было рассмотрено В.И.Крыловым в монографии [1].

Им исследовались квадратурные процессы и разностные схемы, связанные с приближенным неопределенным интегрированием, с точки зрения их сходимости на конкретных функциях, как это обычно делается в теории разностных схем [2-5]. Результаты В.И.Крылова приводятся в § 3 настоящего введения.

В данной работе исследуются аналогичные вычислительные процессы, но формулировки и доказательства основных результатов работы связаны с теорией кубатурных формул. Возникновение этой теории связывают с работами С.Л.Соболева.

Одним из наиболее развитых направлений современной теории кубатурных формул является проблематика асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных и квадратурных формул. В работах, относящихся к этому направлению, выводятся асимптотические представления норм функционалов погрешностей, строятся асимптотически оптимальные последовательности функционалов погрешно-стей.В связи с этим можно назвать работы Бесова О.В. [ 6-8 ], Поло-винкина В.И. [ 9-14 ], Рамазанова М.Д. [ 15-18 ], Шойнжурова Ц.Б. [ 19-22 ], Носкова М.В. [ 23-25 ], Бойкова И.В. [ 26-27 ], Корытова И.В. [ 28 ], Севастьяновой H.A. [ 29 ] и других.

Многие результаты теории кубатурных и квадратурных формул изложены в монографиях [30-32 ]. Ряд результатов в этом направлении опубликован в сборниках [33-36 ].

Наиболее близкими к тематике автора являются работы [ 9, 12, 14 ] В.И.Половинкина, который обобщил теорию асимптотически оптимальных формул с пространств i/™-* ( у Соболева ) на пространства

типа Lp(Q) (Lp[a,b] в одномерном случае).

Результаты В.И.Половинкина, используемые в диссертации, приводятся в § 3 введения.

Для изложения основных результатов диссертации сформулируем точную постановку задачи и дадим основные определения.

На интервале [а, со) ищем значение функции

X

у(х) = {ед<и + у0 (1)

а

в узлах равномерной сетки :

х{=а + \у, 1 = 0,1,..., (2)

где у - постоянный шаг сетки.

Значения у0,у1,...,уг_1 функции у(х) в первых г узлах сетки считаем известными:

У1 = У(Х|), 1 = 0,1,...,г-1. (3)

Вычислительный процесс задается формулой вида

г г

у 4 = £ А УУ1_ „ + у ]Г В / (х^ 1), I = г, г +1,.... (4)

У=1

Эта формула использует для нахождения каждого значения у; г предшествующих значений функции у(х) и называется г- шаговой. Коэффициенты в ней не зависят от шага вычисления и выби-

раются таким образом, чтобы формула (4) была точна на многочленах степени ниже т. Другими словами, формула (4) имеет алгебраический порядок точности т.

Всюду предполагается, что рассматриваемые функции имеют конечные полунормы

Ь"[а,=о)

1/р

ах

(5)

На линейном многообразии таких функций полунорма (5) индуцирует линейное нормированное пространство со) , элементами которого являются классы фикций. Все функции одного класса отличаются друг от друга на многочлен степени меньше т .

Разность между точным значением функции у(х) в точке xi сетки и его приближенным значением у1 , найденным по формуле (4) , рассматривается в диссертации как результат действия некоторого функционала (функционала погрешностей ) 1|(х) :

(1;(Х)Д(Х))^У(Х1)-У1, 1 = 0,1,,.. (6)

В силу того,что формула (4) точна на многочленах степени ниже т, 11(х)еЬр*[а,Х;].

Знание численных значений норм функционалов ^(х) позволяет полнить оценки точности приближенных формул

У(х;)*У1, 1 = 0,1,... (7)

на элементах выбранного пространства.

В отличие от задач, рассмотренных в [1, стр. 377 — 435 ], в диссертации исследуются вычислительные процессы, задаваемые формулой (4), с точки зрения сходимости к нулю последовательности функционалов (6) по норме, т.е. в смысле сильной сходимости.

Пусть [а, Ь] — конечный промежуток, N - натуральное число, у = (Ь - а) / N - шаг сетки 8Г.

Определение 1. Вычислительный процесс, задаваемый формулой (4), называется сходящимся по норме, если при N —» оо

М*)||

¥ т*

Ч

[а,Ъ]

-> 0.

Так как всякая последовательность функционалов, сходящаяся по норме, сходится поэлементно [37, с. 187 ], то вычислительный процесс, сходящийся в смысле определения 1, будет сходиться и для каждой конкретной функции выбранного пространства.

Кроме изучения вопросов сходимости вычислительного процесса, задаваемого многошаговыми формулами (4), существенная часть диссертации посвящена изучению асимптотической оптимальности таких формул.

Определение 2. Пусть формула

г г

у=1 j=0

(9)

вида (4) определяет последовательность функционалов по-

грешностей

(л(х), * (*)) = | + Уо - У.

а

приближенных формул

у(х;)«у}, 1 = 0,1,...

Формула (9) называется Ь™ - асимптотически оптимальной, если для

любой формулы вида (4) и соответствующей ей последовательности (х)} функционалов погрешностей выполняется неравенство:

^¡Иь-Па^] -ЬИьГ^х,]}-1- (10)

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В главе 1 рассматриваются многошаговые формулы вида (4), для которых соответствующее характеристическое уравнение

(п)

и=1

имеет простой корень Л = 1 и остальные корни которого меньше единицы по модулю. В этом случае, как следует из результатов В.И.Крылова (см. § 3, теоремы 1,2), вычислительный процесс, задаваемый формулами (4), будет устойчивым относительно погрешностей начальных данных и погрешностей округления.

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1.3. Если корень Я - 1 уравнения

простой, а все остальные корни этого уравнения меньше единицы по модулю, то при 1 —» оо имеет место равенство:

где В т(и)-многочлен Бернулли номера т, М = Ь^-Вт, Ъ°т - постоянная, определяемая равенством (1.3.10) , Вт - число Бернулли номера т.

Заметим, что представление (12) аналогично асимптотическому представлению норм функционалов погрешностей с пограничным слоем, полученному В.И.Половинкиным в [12] для квадратурных формул.

Для нахождения у1 и, затем, (11(х)Д(х)) решается методом

вариации постоянных разностное уравнение (4) порядка г . Затем от отрезка [а^] с помощью замены переменной переходим к отрезку

[0,1] и вводим новые функционалы I1 (х), связанные с функционалами 1;(х) равенствами:

¡п,ш!

|Вт(и)+М|

L_I0.11

+ о

, (12)

1

(1}(х)Д(х))=Ц1Чи)Д(а + тГ)),

1Чх)еЬ7[0Д].

Для вновь введенных функционалов, используя методику С.М.Никольского вывода оценок погрешностей квадратурных формул на классах функций [ 38, стр. 25 — 30 ], получаем интегральное представление вида

1

(1Чх)Д(х))=|рт'Чх)г(т)(х)ах,

(13)

где Гт'*(х)еЦ[0,1], 1/р+1/Ч=1.

Это представление дает возможность вычислить нормы функционалов 1!(х)

1Чх)

ьГ [ОД]

Ьч[0,1]

(14)

и, затем, 1; (х):

с[0,1]

(15)

Глава 2 посвящена вопросам сходимости вычислительных процессов, задаваемых многошаговыми формулами. Рассматриваются многошаговые формулы вида (4), для которых соответствующее уравнение (11) может иметь кратные корни равные единице по модулю. Вычислительный процесс, задаваемый этими формулами, не является устойчивым относительно погрешностей начальных данных и может быть неустойчивым относительно погрешностей округления ( теоремы 1, 2 в § 3 ). В этом случае для норм функционалов погрешностей 1; (х) получены оценки сверху (теорема 2.1 ) и, в некоторых случаях, снизу (теорема 2.2 ).

Пусть Я1 = ~~ корни уравнения (11) кратностей

Г!, г2,..., ги, соответственно, гх + г2 +• • = г; г * = тах г;.

Теорема 2.1. Если корни уравнения

лг- £ауЛг-у = О

у= 1

не превосходят единицу по модулю, то справедлива оценка

||1!(х)||1,Г1а11|1<Рут+1"'1",-1'Р, (16)

где I - постоянная, не зависящая от Теорема 2.2. Если корни уравнения

не превосходят единицу по модулю, то

1) при г1>2

ИМ*)!^«,,^-1".. (П)

2) при г, = 1 существует подпоследовательность {¡к| натурального ряда, для которой справедливо неравенство

.^""'к"1- С8)

где А, В - некоторые постоянные, не зависящие от

Доказательство теоремы 2.1 основано на равенствах (14), (15) и детальном исследовании свойств функции Р111,1 (х) из равенства (13).

Для получения нижних оценок норм функционалов погрешностей рассматриваются значения этих функционалов на функциях, которые строятся с помощью известного метода "шапочек" С.Л.Соболева [30]. Эти функции периодичны с периодом у на интервале [а, а + (г- 1 )у] и равны нулю вне этого интервала.

В теореме 2.3 приводятся достаточные условия сходимости по норме вычислительного процесса, задаваемого формулой (4) ( см. определение 1).

Теорема 2.3. Если корни уравнения

У=1

не превосходят единицу по модулю и г* < ш, то вычислительный процесс, задаваемый формулой (4), сходится по норме.

Доказательство этой теоремы опирается на теоремы 2.1 и 2.2.

В главе 3 приводятся результаты, касающиеся вопросов Ь™ -

асимптотической оптимальности многошаговых и одношаговых формул вида (4) ( см. определение 2 ).

В том случае, когда формулы вида (4) задают устойчивый вычислительный процесс, получены необходимые и достаточные условия их

Ь™ - асимптотической оптимальности.

Теорема 3.1. Если корень Л = 1 уравнения

У=1

простой, а остальные корни этого уравнения меньше единицы по модулю, то для того ,чтобы формула (4) была Ь™ - асимптотически

оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы при И—> 0 выполнялось равенство

(1Чх),хт) = гтк1Ьт + 0(Ь1И+1), (19)

где лгт|П - постоянная величина, определяемая равенством

||®т(и) [ОД]

(20)

Теорема 3.2. Если корни уравнения

не превосходят единицу по модулю, но среди корней, равных единице по модулю, есть кратные, то формула (4) не может быть

Ьр - асимптотически оптимальной.

Доказательство теоремы 3.1 опирается на равенство (13), установленное в теореме 1.3. При доказательстве теоремы 3.2 используются оценки снизу норм функционалов погрешностей из теоремы 2.2.

При рассмотрении одношаговых формул вида

г

У1 = У|-1 + 1 = Г,г +1,... (21)

]=о

показано, что соответствующие им функционалы погрешностей 1{(х)

(17(х),£(х)) ^ у(Х1)- У1, 1 = г,г + 1,... (22)

образуют так называемые последовательности функционалов с пограничным слоем. Такие последовательности были введены В.И.Поло-винкиным и характеризуются определенными им сопутствующим функционалом 1(х) и сопутствующим числом к. Точные определения этих понятий приводятся ниже в § 3 .

При получении достаточных условий Ь™ - асимптотической оптимальности одношаговых формул использовались результаты работы [12]. Доказана

Теорема 3.5. Если корень /1 = 1 уравнения

лг-Х\лг-у=

У=\

простой, а все остальные его корни меньше единицы по модулю, то 1) при р е (1,оо) одношаговая формула (21) , сопутствующее число к которой удовлетворяет условию

1 ч-1

||(-1)тВт(х) + к-| ^п((-1)тВт(х) + /фх = 0, (23)

является Ьр - асимптотически оптимальной среди многошаговых формул вида (4);

2) при т нечетном, или р=2 формула (21) будет Ь™ - асимптотически оптимальной, если для нее 1(х)еЬт+1, то есть, если 1(х) будет точен на многочленах степени т.

о

В главе 4 были построены примеры Ьр,Ь2- асимптотически

оптимальных одношаговых и двухшаговых формул. Было показано, что одношаговая формула

(24)

соответствующая формуле трапеций на отрезке [х^^] , является Ьр - асимптотически оптимальной; а двухшаговая формула

У1 (25)

соответствующая формуле Симпсона на отрезке [х ¡_!, х {], не является Ь22 - асимптотически оптимальной.

Результаты работы, представленные в диссертации, докладывались в КГТУ на научном семинаре под руководством проф. В.И.Половинкина ( г. Красноярск ), на семинаре института математики СО РАН (г. Новосибирск), на советско — венгерском симпозиуме по теории функций ( г. Новосибирск), в ВЦ СО РАН ( г. Красноярск), в Балашовском гос.пед.институте ( г. Балашов ), в Пензенском государственном техническом университете (г. Пенза).

По результатам диссертации опубликованы работы автора [39 —

43].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю за постоянное внимание к работе и помощь в организационных вопросах.

§2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нумерация формул, определений, теорем в работе принята следующая. Определения нумеруются одним числом. Формулы во введении нумеруются одним чилом, в главах номер формулы указывает на номер главы и на номер параграфа, где находится данная формула. В каждой главе своя нумерация теорем и лемм. Приведем важнейшие обозначения работы.

а, Ь, р, q,IV,у,Ь- действительные числа, такие, что -оо < а < Ь < оо,

р е (1,оо), q = р(р- 1) 1, т,IV,I - натуральные числа,

Ь = 1/1.

Р8 - множество многочленов степени меньше б,

I/ - множество линейных функционалов, определенных на Р8 и равных нулю на многочленах этого множества.

Ь™ [а, Ь] - банахово пространство с нормой

ш

(ь

Ь°[а,Ь]

|^т)(х)|рах

1/р

Оно индуцируется на линейном многообразии Ьр [а, Ь], состоящем

из функций, имеющих непрерывные производные до порядка т -1 и суммируемую в степени р производную порядка т . В некоторых работах, в частности, в [ 38 ], такие многообразия обозначаются через [М, а, Ь], где постоянная М определяется из неравенства

(ь п ^Р

М|г(т)(х)| ах

<м.

Если Г - представитель элемента (р е Ьр [а, Ь], 1 - линейный функционал, определенный на элементах Ф и таковой, что

(1,0 = 0 при и = о,

то функционал I индуцирует на Ьр [а, Ь] функционал 1 , определяемый равенством

М=('.*)■

В дальнейшем вместо 1 в таких случаях будем всегда писать 1.

Если отрезки M,N числовой оси таковы, что McN ( например, [a,Xj]c[a,b] ) и функционал leL™*(M), то функционал

1 е Lp* (N) , определенный равенством

(l(x),f(x))=(l(x),f(x)),

где f(x)~ сужение f(x) на область М, будет также обозначаться через 1 .

Через Lp*[a,b], Г™*[а,х{] обозначают пространства, сопряженные к пространствам L™ [a, b], L™ [а, х i ].

Наряду с приведенными обозначениями, в диссертации применяются и другие обозначения. Их введение оговаривается в соответствующем месте работы.

§3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

а) Результаты В.И.Крылова

Наиболее общая постановка задачи, рассмотренная в [ 1 ] такова. Пусть вычисление первообразных функций

х

y(x)=|f(t)dt+y0

хо

осуществляется на некоторой сетке {хк} (к = 0,1,2,...)отрезка [х 0, X] с помощью многошаговых формул вида

р m

Уп+i = I АпдпЧ + 2 Вп/(^) (п > р) (26) i=0 j=i

Вводится понятие погрешности рассчетной формулы (26). Это величина гп , возникающая в равенстве (26) при замене приближенных значений ук на точные значения у(хк):

р ш

У(хп+1)=1Апд(хи) + ХВп/(^) + гп (п > р). (27) ¡=0 ]=1

Далее, пусть ап- погрешность, допущенная при округлении правой части (26).

Через £п обозначается погрешность приближенной формулы

у(хп)«уп, п = 0,1,2,...; (28)

¿•0,¿•р- погрешности приближенных начальных значений у0, у!,..., ур , которые считаются известными.

В [1] доказано утверждение: Если все коэффициенты Ап>1 в ра-

р

венстве (26) неотрицательны, Ап>1 = 1 , | < е (1 = 0,1,..., р), то

1=0

для любого п справедливо неравенство

п-1

\еп\<е+^оск + гк (29)

к=Р

Последнее неравенство означает "медленное возрастание" погрешности £п , что благоприятно для вычислений по формуле (26) на большое число шагов.

В теории приближенного решения дифференциальных уравнений такие методы, имеющие наименьший порядок роста погрешности, называются устойчивыми.

Вопросы сходимости вычислительного процесса и связанные с ними понятия устойчивости уравнения рассмотрены в [ ] на примере уравнений частного вида.

Отрезок [х0,Х] , на котором разыскивается первообразная функция у(х), предполагается конечным и значения у(х) находятся на равномерной сетке (2) с ша